二项分布与正态分布
二项分布和正态分布的关系
二项分布和正态分布的关系二项分布和正态分布是概率统计中常用的两种分布。
虽然它们的形态不同，但是它们之间有着密切的关系。
二项分布是指在n次独立重复试验中，成功的次数服从参数为n和p的二项分布。
其中，p表示每次试验成功的概率。
二项分布的形态呈现出一种类似梯形的形状。
当试验次数越多，成功概率越小时，梯形的左侧越陡峭，右侧越平缓。
这种形态的分布，适合描述二元事件的概率分布，如抛硬币正反面的概率分布等。
而正态分布则是一种具有对称性的连续概率分布。
其形态呈现出钟形曲线的形状。
正态分布的均值和方差是其分布的两个重要参数。
在实际应用中，许多自然现象和人类行为都可以用正态分布来描述。
例如，身高、体重等连续变量的分布，以及IQ、学习成绩等离散变量的分布等。
二项分布和正态分布之间的关系，主要体现在以下两个方面：1.大样本情况下，二项分布可以近似为正态分布当试验次数n足够大，成功概率p足够小（或足够大），二项分布可以近似为正态分布。
这是因为，二项分布的期望和方差分别为np 和np(1-p)，当n足够大时，np和n(1-p)都足够大，从而使得二项分布的形态逐渐接近于正态分布。
这种近似关系，可以用中心极限定理来证明。
2.正态分布可以用来近似计算二项分布的概率由于二项分布的计算比较繁琐，而且在一些情况下，二项分布的参数也不易确定，因此可以用正态分布来近似计算二项分布的概率。
具体方法是，将二项分布的期望和方差分别用正态分布的均值和方差进行替换，从而得到一个近似的正态分布。
需要注意的是，这种近似计算方法的精度，取决于二项分布的参数和正态分布的均值和方差的选择。
一般来说，当试验次数n足够大时，正态分布的均值和方差可以分别取为np和np(1-p)，此时的近似效果较好。
二项分布和正态分布之间存在着密切的关系。
在实际应用中，可以根据具体问题的特点，选择合适的分布来描述概率分布，并采用相应的数学方法来求解问题。
同时，也需要注意分布的参数和近似方法的选择，以保证计算结果的准确性和可靠性。
正态分布和二项分布的关系
正态分布和二项分布的关系
1 正态分布
正态分布是以均值为中心，以特定的标准差表示散布趋势的，即
服从“正态分布”的随机变量之总体的概率密度分布。
正态分布也称
为高斯分布，它是一种连续概率分布，其中大部分的值出现在均值附近，而少数出现在均值很远的地方。
事实上，正态分布是用来描述连
续随机变量概率分布的标准分布模型，是一种实用性很强的分布模型。
2 二项分布
二项分布是描述随机变量的定义在一组取值中发生的频次的概率
分布。
它是二项实验的概率分布，即对多次重复的独立实验，每次实
验只有有限的两种结果，称为二项分布。
二项分布的概率值只与重复
次数、试验的两种结果出现的概率有关。
一般情况下，当重复次数越多，二项分布就会越接近正态分布。
3 正态分布与二项分布之间的关系
从数学上讲，正态分布与二项分布之间有很大的不同：正态分布
是一种连续分布，而二项分布是一种离散分布。
尽管其绝对的概率分
布形状不同，但事实上，当样本数量足够大时，正态分布与二项分布
有着相当大的相似度。
事实上，一般认为，当样本大小足够大时，若
以正态模型估计样本和可以得到满意的结果。
正态分布和二项分布的最大区别在于，二项分布只能用来估计定义在一组取值中发生的次数，而正态分布可以用来估计任何满足正态分布条件的连续随机变量的概率分布。
不过，即使是正态分布，当样本数量变得越来越大时，这两种分布的结果也会越来越接近。
二项分布与正态分布
二项分布与正态分布二项分布与正态分布是概率统计学中两个重要的分布模型。
它们在实际应用中发挥着重要的作用，对于描述随机事件和现象的分布规律具有重要意义。
本文将分别介绍二项分布和正态分布的基本概念和性质，并对它们之间的关系进行探讨。
一、二项分布二项分布是概率统计学中最基本的离散型概率分布之一。
它描述了在n次独立重复试验中成功次数的概率分布。
其中，每次试验成功的概率为p，失败的概率为1-p。
试验次数n和成功次数X（取值范围为0到n）是二项分布的两个重要参数。
二项分布的概率质量函数可以表示为：P(X=k) = C(n, k) * p^k * (1-p)^(n-k)其中，C(n, k)表示从n个物体中取出k个的组合数。
二项分布具有以下性质：1. 期望和方差：二项分布的期望为E(X) = np，方差为Var(X) = np(1-p)。
2. 归一性：二项分布的概率之和为1，即∑P(X=k) = 1，其中k的取值范围为0到n。
二、正态分布正态分布是概率统计学中最重要的连续型概率分布之一。
它以钟形曲线的形式描述了大量随机变量分布的特征。
正态分布由两个参数决定，即均值μ和标准差σ。
正态分布的概率密度函数可以表示为：f(x) = (1 / (σ * sqrt(2π))) * exp(-(x-μ)^2 / (2σ^2))其中，exp表示自然指数函数，sqrt表示开方。
正态分布具有以下性质：1. 对称性：正态分布呈现出关于均值对称的特点，即其左右两侧的曲线是镜像关系。
2. 均值和方差：正态分布的均值即为μ，方差即为σ^2。
3. 中心极限定理：当样本容量较大时，多个独立随机变量的均值近似服从正态分布。
三、二项分布与正态分布的关系在一些情况下，二项分布可以近似看作正态分布。
当试验次数n较大，成功概率p较接近0.5时，二项分布的概率分布形状逐渐接近于正态分布。
根据中心极限定理，当n足够大时，二项分布的均值和方差趋近于正态分布的均值和方差，因此可以用正态分布来近似描述二项分布的概率分布。
二项分布与正态分布
2021年新高考数学总复习第十二章《概率、随机变量》二项分布与正态分布1．条件概率及其性质(1)对于任何两个事件A 和B ，在已知事件A 发生的条件下，事件B 发生的概率叫做条件概率，用符号P (B |A )来表示，其公式为P (B |A )＝P (AB )P (A )(P (A )>0)． 在古典概型中，若用n (A )表示事件A 中基本事件的个数，则P (B |A )＝n (AB )n (A ). (2)条件概率具有的性质①0≤P (B |A )≤1；②如果B 和C 是两个互斥事件，则P (B ∪C |A )＝P (B |A )＋P (C |A )．2．相互独立事件 (1)对于事件A ，B ，若事件A 的发生与事件B 的发生互不影响，则称事件A ，B 是相互独立事件．(2)若A 与B 相互独立，则P (B |A )＝P (B )，P (AB )＝P (B |A )P (A )＝P (A )P (B )． (3)若A 与B 相互独立，则A 与B ，A 与B ，A 与B 也都相互独立．(4)若P (AB )＝P (A )P (B )，则A 与B 相互独立．3．独立重复试验与二项分布(1)独立重复试验是指在相同条件下可重复进行的，各次之间相互独立的一种试验，在这种试验中每一次试验只有两种结果，即要么发生，要么不发生，且任何一次试验中发生的概率都是一样的．(2)在n 次独立重复试验中，用X 表示事件A 发生的次数，设每次试验中事件A 发生的概率为p ，则P (X ＝k )＝C k n p k (1－p )n －k (k ＝0,1,2，…，n )，此时称随机变量X 服从二项分布，记为X ～B (n ，p )，并称p 为成功概率．4．两点分布与二项分布的均值、方差(1)若随机变量X 服从两点分布，则E (X )＝p ，D (X )＝p (1－p )．(2)若X ～B (n ，p )，则E (X )＝np ，D (X )＝np (1－p )．5．正态分布(1)正态曲线：函数φμ，σ(x)＝22()21e2πx uσσ--，x∈(－∞，＋∞)，其中实数μ和σ为参数(σ>0，μ∈R)．我们称函数φμ，σ(x)的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线．(2)正态曲线的特点①曲线位于x轴上方，与x轴不相交；②曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称；③曲线在x＝μ处达到峰值1σ2π；④曲线与x轴之间的面积为1；⑤当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移，如图甲所示；⑥当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散，如图乙所示．(3)正态分布的定义及表示一般地，如果对于任何实数a，b(a<b)，随机变量X满足P(a<X≤b)＝ʃb aφμ，σ(x)d x，则称随机变量X服从正态分布，记作X～N(μ，σ2)．正态总体在三个特殊区间内取值的概率值①P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝0.682 6；②P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)＝0.954 4；③P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)＝0.997 4.概念方法微思考1．条件概率中P(B|A)与P(A|B)是一回事吗？提示不一样，P(B|A)是在A发生的条件下B发生的概率，P(A|B)是在B发生的条件下A发生的概率．2．“事件相互独立”与“事件互斥”有何不同？提示两事件互斥是指两个事件不可能同时发生，两事件相互独立是指一个事件发生与否对另一事件发生的概率没有影响，两事件相互独立不一定互斥．题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)。
二项分布与正态分布详解
在二项分布和正态分布中的应用举例
二项分布参数估计
正态分布参数估计
二项分布假设检验
正态分布假设检验
对于二项分布B(n, p)，可以使 用样本比例作为成功概率p的 点估计。同时，根据二项分布 的性质，可以构造出p的置信 区间进行区间估计。
对于正态分布N(μ, σ^2)，可 以使用样本均值作为总体均值 μ的点估计，样本方差作为总 体方差σ^2的点估计。同样地 ，可以构造出μ和σ的置信区间 进行区间估计。
02
通过对二项分布和正态分布进行深入剖析，探讨它们之间的联
系和区别，以便更好地理解这两种分布。
为后续概率论与数理统计学习打下基础
03
二项分布和正态分布是概率论与数理统计中的重要内容，掌握
它们对于后续学习具有重要意义。
预备知识
概率论基础知识
要理解二项分布和正态分布，首先需要具备概率论的基础知识， 如事件、概率、随机变量等概念。
正态分布转化为二项分布的条件
在实际应用中，如果某个连续型随机变量可以取整数值，且这些整数值出现的概率可以 用二项分布来描述，那么可以将这个连续型随机变量近似为二项分布。但需要注意的是
，这种转化通常需要在一定的精度范围内进行。
实际应用中的选择依据
• 在实际应用中，选择使用二项分 布还是正态分布通常需要考虑以 下因素：首先，需要判断随机变 量是离散的还是连续的；其次， 需要考虑随机变量所描述的实际 情况是否符合二项分布或正态分 布的定义和性质；最后，还需要 考虑样本量大小、数据分布情况 等因素来选择最合适的分布类型 进行建模和分析。
方差
正态分布的方差等于其标准差的平方，即D(X)=σ^2。
正态分布的应用举例
01 02
质量控制
二项分布与正态分布了解二项分布与正态分布的性质与应用
二项分布与正态分布了解二项分布与正态分布的性质与应用二项分布与正态分布二项分布和正态分布是概率统计学中两个重要的分布形式。
二项分布适用于独立重复试验，每次试验只有两种可能的结果，成功或失败；而正态分布则是一种连续性的概率分布，常用于描述一组数据的分布情况。
本文将介绍二项分布和正态分布的性质与应用。
一、二项分布二项分布，又称为伯努利分布，是最基本的离散型概率分布之一。
它描述了在一系列相互独立的、同类的随机试验中，成功的次数的概率分布。
一次伯努利试验中，只有两个可能的结果，例如抛硬币的正反面。
二项分布的概率质量函数如下：P(X=k) = C(n,k) * p^k * (1-p)^(n-k)其中，X表示成功的次数，n表示试验的总次数，p表示每次试验成功的概率，C(n,k)表示从n次试验中选取k次成功的组合数。
从公式中可以看出，二项分布的参数为n和p。
二项分布的性质：1.期望和方差：二项分布的期望为E(X) = np，方差为Var(X) = np(1-p)。
2.形状特点：二项分布的形状呈现对称性，随着试验次数n的增加，其形状逐渐接近正态分布。
二项分布的应用：1.质量控制：在质量控制中，可以使用二项分布来描述合格品和不合格品的比例，判断产品是否符合生产标准。
2.市场调查：通过市场调查统计来预测某个事件的发生概率，例如选举候选人的支持率。
3.投资决策：根据二项分布的特点，可以计算在不同投资情况下的预期收益和风险。
二、正态分布正态分布，也称为高斯分布，是一种连续型的概率分布。
在自然界和社会科学中，许多现象都可以被正态分布描述，例如身高、体重等。
正态分布的概率密度函数如下：f(x) = 1/(σ*sqrt(2π)) * exp(-(x-μ)^2/(2σ^2))其中，x表示连续随机变量的取值，μ表示均值，σ表示标准差。
正态分布的参数为μ和σ。
正态分布的性质：1.对称性：正态分布是对称分布，其均值和中位数重合。
2.标准正态分布：当μ=0、σ=1时，得到标准正态分布。
二项分布与正态分布
二项分布与正态分布二项分布（Binomial Distribution）和正态分布（Normal Distribution）是统计学中常用的两种分布类型，它们在描述概率和随机变量的分布特征上有着重要的应用。
一、二项分布二项分布是一种离散概率分布，适用于两个互斥事件（成功和失败）发生的多次独立重复实验。
每个实验的结果只有两种可能性，并且各试验之间的概率不会发生变化。
该分布以两个参数来描述：n（实验次数）和p（事件成功的概率）。
二项分布的概率质量函数为P(X=k) = C(n, k) * p^k * (1-p)^(n-k)，其中X为成功事件发生的次数，k为取值范围，C(n, k)表示组合数。
例如，某外卖平台的数据显示，在送达100份订单中，正好有20份遇到问题，成功率为0.2。
如果我们想要了解在送达下一个订单时会出现多少问题的概率分布，我们就可以使用二项分布来计算。
二、正态分布正态分布是一种连续概率分布，也被称为高斯分布。
在统计学中，正态分布常常用来描述一组数据中心性的表现，其图形呈钟形曲线。
正态分布由两个参数来描述：均值（μ）和标准差（σ^2）。
正态分布的概率密度函数为f(x) = 1 / (σ * √(2π)) * exp(-(x-μ)^2 /2σ^2)，其中x为取值范围。
例如，在考试成绩分析中，如果我们知道某门考试的平均分是80分，标准差是10分，我们就可以使用正态分布来计算不同分数段的比例和概率。
三、二项分布与正态分布的关系当二项分布的参数n（实验次数）足够大，同时p（事件成功的概率）也足够接近0.5时，二项分布可以近似地用正态分布来描述。
根据中心极限定理（Central Limit Theorem），当样本容量足够大时，无论数据服从什么分布，其样本均值的分布均近似服从正态分布。
由于二项分布和正态分布之间的关系，我们可以利用正态分布的性质对二项分布进行近似计算。
这种近似计算可简化复杂的二项分布计算，并提高效率。
二项分布与正态分布
二项分布与正态分布随机现象在统计学中起着重要的作用，而其中最常见的概率分布是二项分布和正态分布。
本文将对二项分布和正态分布进行详细的论述，以便更好地理解和运用它们。
一、二项分布二项分布是指在n次相互独立的伯努利试验中，成功的次数所服从的概率分布。
每一次试验只有两种可能的结果，记为"成功"和"失败"。
例如，扔一枚硬币正面朝上为成功，反面朝上为失败。
随机变量X表示成功的次数，则X满足二项分布B(n, p)，其中n表示试验的次数，p表示每次试验成功的概率。
二项分布的概率质量函数为：P(X=k) = C(n, k) * p^k * (1-p)^(n-k)其中，C(n, k)表示组合数。
二项分布的特点是每次试验都是相互独立的，并且成功的概率为p。
二、正态分布正态分布是最常见的连续型概率分布之一，也被称为高斯分布。
正态分布的概率密度函数为：f(x) = (1/√(2πσ^2)) * exp(-(x-μ)^2/(2σ^2))其中，μ表示均值，σ表示标准差。
正态分布的特点是呈钟形曲线，均值μ决定了曲线的中心位置，标准差σ决定了曲线的形状。
正态分布在自然界和人类社会中广泛存在，例如人的身高、智力测验成绩等。
根据统计学的中心极限定理，当试验次数足够多时，二项分布的近似分布趋近于正态分布。
三、二项分布与正态分布的关系当试验次数n较大、成功的概率p接近于0.5时，二项分布可以近似地看作是正态分布。
这是因为中心极限定理的影响，当试验次数n趋近于无穷时，二项分布的形态越来越接近正态分布。
这使得我们可以利用正态分布对二项分布进行近似计算，简化问题的解决过程。
四、应用举例1. 计算二项分布的概率：假设某产品的质量合格率为0.8，每次抽检3个产品，问其中有2个合格的概率是多少？根据二项分布的公式，代入n=3，k=2，p=0.8，可以计算出概率为2.88%。
2. 近似计算二项分布：假设某超市每天卖出的某种商品数目服从二项分布，已知每个顾客买到该商品的概率为0.2，每天有100名顾客来购买。
二项分布与正态分布
)
(5)P(B|A)表示在事件A发生的条件下,事件B发生的概率,P(AB)表
示事件A,B同时发生的概率,一定有P(AB)=P(A)P(B).( × )
第十一章
11.4
二项分布与正态分布
必备知识
知识梳理
-9-
关键能力
考点自诊
2.(2019 福建莆田一中模拟,6)五一放假,甲、乙、丙去厦门旅游的
①P(μ-σ<X≤μ+σ)≈ 0.682 7 ;
②P(μ-2σ<X≤μ+2σ)≈ 0.954 5 ;
③P(μ-3σ<X≤μ+3σ)≈ 0.997 3 .
-6-
第十一章
11.4
二项分布与正态分布
必备知识
知识梳理
关键能力
考点自诊
1.A,B中至少有一个发生的事件为A∪B.
2.A,B都发生的事件为AB.
3.A,B 都不发生的事件为A B.
11.4
二项分布与正态分布
第十一章
11.4
二项分布与正态分布
必备知识
知识梳理
关键能力
考点自诊
1.条件概率及其性质
条件概率的定义
条件概率的性质
设 A,B 为两个事件,且 P(A)>0,
(1)0≤P(B|A)≤1
P(AB )
称 P(B|A)=
P(A)
为在事件 A 发
(2)若 B,C 是两个互斥事件,则
C.9
D.10
解析:设事件 A 表示“甲能回答该问题”,事件 B 表示“乙能回答该问
题”,事件 C 表示“这个问题被解答”,则
4
× 1-
1
5
正态分布与二项分布
正态分布与二项分布主要内容正态分布的概念和特征标准正态分布正态分布曲线下的面积医学参考值范围二项分布的基本概念和性质二项分布的概率计算方法体重分布65.062.560.057.555.052.550.047.545.042.540.06050403020100Std. Dev = 5.76Mean = 51.5N = 300.00正态分布正态分布（normal distribution）又称高斯（Gauss）分布，是以均数为中心，左右两侧基本对称的钟型分布。
越接近均数，频数分布越多，离均数越远，频数分布越少。
正态分布是一种重要的连续型分布，是许多统计方法的理论基础。
正态分布的概率密度函数 将正态分布曲线用函数形式表达，称为正态分布的概率密度函数，记为f(x)，即正态分布曲线的方程为：一般用N （μ，σ2）表示均数为μ，方差为σ2的正态分布。
222)(21)(σμσπ--=x e x f正态分布曲线3210-1-2-3μ-σμ+σμ正态分布曲线密度曲线图中，横轴表示测量指标x，纵轴表示密度函数值f(x)。
⏹观察值x附近个体值分布越密集，f(x)值越大；⏹x附近的个体值分布越稀疏，f(x)值就越小。
密度函数f(x)的大小，反映了x附近的测量值的密集程度。
正态分布的特征正态曲线为位于横轴上方的钟形曲线。
正态分布以μ为中心，左右两侧对称。
正态分布曲线以横轴为其渐近线，但两端与横轴永不相交。
正态分布有两个参数，即μ和σ。
可通过标准化变换将一般正态分布N（μ，σ2）转化为标准正态分布N（0，1）。
正态分布曲线下的面积具有一定的规律性。
正态分布的两个参数：μ和σμ是位置参数，用以描述正态分布的集中位置。
⏹当σ恒定，改变μ，则曲线沿x轴平移，但形状不变，⏹μ越大，则曲线沿横轴越向右移动；μ越小，则曲线沿横轴越向左移动。
σ是变异度参数或形状参数，用以描述曲线的离散程度。
⏹当μ恒定时，改变σ，则曲线的形状会发生变化，而曲线的中心位置不变，⏹σ越大，表示数据越分散，曲线越扁平，变异越大；σ越小，表示数据越集中，曲线越陡峭，变异越小。
二项分布与正态分布的特点比较
二项分布与正态分布的特点比较1. 引言在统计学中，二项分布和正态分布是两个非常重要的概率分布。
它们在实际问题中被广泛运用，并且具有许多相似和不同的特点。
本文将比较二项分布和正态分布的特点，包括定义、概率密度函数、期望值与方差、形状等方面的差异。
2. 二项分布2.1 定义二项分布是离散概率分布的一种，用于描述在 n 次独立重复试验中成功次数的概率分布。
每次试验只有两个可能的结果：成功或失败。
每次试验成功的概率为p，在 n 次试验中成功次数的概率可以通过二项分布来计算。
2.2 概率密度函数二项分布的概率密度函数可以表示为：P(x) = C(n, x) * p^x * (1 - p)^(n - x)其中，C(n, x) 表示组合数，表示在 n 次试验中选择 x 次成功的组合方式数。
2.3 期望值与方差二项分布的期望值为 E(x) = n * p，方差为 Var(x) = n * p * (1 - p)。
2.4 形状二项分布的形状取决于试验次数 n 和成功的概率 p。
当 n 很大且 p 不接近 0 或1 时，二项分布可以近似为正态分布。
3. 正态分布3.1 定义正态分布是连续概率分布的一种，也被称为高斯分布。
它在自然界和社会科学中的应用非常广泛，且具有许多重要的性质。
正态分布以其钟形曲线而著称。
3.2 概率密度函数正态分布的概率密度函数可以表示为：f(x) = 1 / (σ * √(2π)) * e^(-(x - μ)^2 / (2σ^2))其中，μ 表示期望值，σ 表示标准差。
3.3 期望值与方差正态分布的期望值和方差分别等于μ 和σ^2。
3.4 形状正态分布的形状由期望值和标准差决定。
当期望值为0，标准差为1时，其形状为标准正态分布。
正态分布的曲线呈现对称性，且有一个唯一的峰值。
4. 比较4.1 定义•二项分布是用于描述在 n 次独立重复试验中成功次数的离散概率分布。
•正态分布是用于描述连续随机变量的概率分布，常用于近似离散分布。
二项分布与正态分布二项分布正态分布的性质与应用
二项分布与正态分布二项分布正态分布的性质与应用二项分布与正态分布概述：统计学中，二项分布和正态分布都是重要的概率分布。
它们在不同领域有着广泛的应用。
本文将介绍二项分布和正态分布的性质以及它们在实际问题中的应用。
一、二项分布的性质与应用1. 二项分布的定义：二项分布是一种离散概率分布，用于描述在重复进行相同试验的情况下，成功的次数的概率分布。
它的概率密度函数为：P(X=k)=C(n,k)p^k(1-p)^(n-k)，其中n为试验次数，k为成功次数，p为每次试验成功的概率。
2. 二项分布的性质：（1）期望和方差：对于二项分布，其期望值μ=np，方差σ^2=np(1-p)。
这意味着在大量重复试验中，预期的成功次数接近于np，方差的开方近似于标准差。
（2）对称性：当p=0.5时，二项分布是对称的。
（3）独立性：在独立重复试验中，每次试验的结果不会影响其他试验的结果。
3. 二项分布的应用：（1）品质控制：二项分布可用于质量检验中，判断产品合格与否的概率。
（2）医学研究：例如，某种药物的治疗成功率可以用二项分布进行建模和分析。
（3）市场调研：根据市场调查的结果，可以利用二项分布对样本群体的属性进行推断。
二、正态分布的性质与应用1. 正态分布的定义：正态分布是一种连续概率分布，是自然界中许多随机现象的近似分布。
正态分布的概率密度函数为：f(x)=1/(σsqrt(2π)) * exp(-(x-μ)^2/(2σ^2))，其中μ为均值，σ为标准差。
2. 正态分布的性质：（1）均值与标准差：正态分布完全由均值μ和标准差σ确定。
均值决定了分布的位置，标准差决定了分布的宽度。
（2）对称性：正态分布是关于均值对称的，曲线在均值处达到峰值。
（3）中心极限定理：大量独立随机变量的和趋近于正态分布。
3. 正态分布的应用：（1）统计推断：正态分布在统计学中起到重要的作用，例如，利用正态分布进行参数估计和假设检验。
（2）风险管理：正态分布在金融领域常用于模拟资产回报率和风险价值的计算。
二项分布与正态分布
二项分布与正态分布在概率统计学中，二项分布和正态分布是两个非常重要的概率分布。
二项分布是描述离散型随机变量的分布，而正态分布则是描述连续型随机变量的分布。
本文将对二项分布和正态分布进行详细介绍和比较。
一、二项分布二项分布是由进行多次独立的二元实验而引起的概率分布。
在每次实验中，结果只有两种可能，成功或失败，成功的概率为p，失败的概率为1-p。
进行n次实验后，成功的次数就构成了一个二项分布。
二项分布的概率质量函数可以用公式表示为：P(X=k) = C(n,k) * p^k * (1-p)^(n-k)其中，C(n,k)表示从n个实验中取出k个成功的组合数，p表示成功的概率，(1-p)表示失败的概率。
二、正态分布正态分布又称为高斯分布，是自然界中非常常见的一种连续型概率分布。
正态分布的概率密度函数在数学上表达为：f(x) = (1/σ√(2π)) * e^-(x-μ)^2/(2σ^2)其中，μ表示分布的均值，σ表示标准差，e表示自然对数的底。
正态分布的形状是一个钟形曲线，呈现对称性，并且均值、中位数、众数都位于曲线中心。
三、二项分布与正态分布的关系当二项分布中的实验次数n足够大，并且成功的概率p足够接近于0.5时，二项分布可以近似地用正态分布来描述。
这是由于中心极限定理的作用，即大量相互独立的随机变量的和近似服从正态分布。
具体来说，当n比较大时，二项分布的均值μ=n*p和方差σ^2=n*p*(1-p)的值也比较大。
而正态分布的均值和方差可以通过对二项分布的均值和方差进行适当的变换得到。
当n趋近于无穷大时，二项分布与正态分布的差别越来越小，因此可以用正态分布来近似描述二项分布。
四、应用场景二项分布常用于描述二元实验的结果，比如投掷硬币的结果、产品的合格率等。
通过对二项分布进行分析，可以计算出实验成功的概率、失败的概率以及在一定实验次数下成功的期望次数。
而正态分布则广泛应用于自然和社会科学的各个领域。
由于其对称性和中心极限定理的作用，正态分布可以用于描述和分析连续型随机变量的分布情况。
二项分布与正态分布
象为正态分布密度曲线,简称正态曲线. (2)正态曲线的特点 (i)曲线位于x轴上方且与x轴不相交; (ii)曲线是单峰的,它关于直线x=μ对称; (iii)曲线在x=μ处达到峰值
1 ; σ 2
(iv)曲线与x轴之间的面积为1;
(v)当σ一定时,曲线随着μ的变化而沿x轴移动; (vi)当μ一定时,曲线的形状由σ确定,σ越小,曲线越“瘦高”;σ越大,曲线 越“矮胖”. 2.正态分布 (1)正态分布的定义及表示 如果对于任何实数a,b(a<b),随机变量X满足P(a<X≤b)= φμ,σ(x)dx,则称
(4)若P(AB)=P(A)P(B),则A与B相互独立. 3.独立重复试验与二项分布
独立重复试验 定义 二项分布 一般地,在相同条件下重复做的n次试验称为 一般地,在n次独立重复试验中,设事件A发生 n 次独立重复试验 的次数为X,在每次试验中事件A发生的概率 为p,此时称随机变量X服从二项分布,记作X~ B(n,p) 计算 公式 用Ai(i=1,2,…,n)表示第i次试验结果,则P(A1A2 在n次独立重复试验中,事件A恰好发生k次的 …An)=P(A1)P(A2)…P(An) 概率为P(X=k)= p (1-p) (k=0,1,2,…,n)
6 10
3 5
3 5
3 5
2 8 ∴P(ξ=0)= = , 5 125
3
36 , 3 2 = P(ξ=1)= C1 3 5 5 125 54 , 2 = 2 3 P(ξ=2)= C3 5 5 125
解析 设x为掷红色骰子得到的点数,y为掷蓝色骰子得到的点数,则所 有可能的事件与(x,y)建立一一对应的关系,共有36个基本事件.
正态分布和二项分布
正态分布和二项分布
一、正态分布
1、什么是正态分布
正态分布是一种均匀分布的概率分布，也叫高斯分布或正态分布。
它的特征是平均值与标准差具有相同的值，大多数值都聚集在均值附近，而变异程度较小。
2、正态分布的特点
正态分布有以下特点：
（1）正态分布又称高斯分布，是概率论中常见的概率分布，非常重要。
（2）正态分布形状为一个像山峰一样的曲线，大多数数据集中在中心，两侧逐渐递减，呈现出双峰状。
（3）正态分布满足一定数学公式，其概率密度函数为：
y=1/sigma*sqrt(2*pi)*exp(-1/2*(x-μ)2/sigma2)（4）正态分布具有均值、方差、峰值、中位数、四分位数等特性。
二、二项分布
1、什么是二项分布
二项分布是概率论中最常用的概率分布之一，用于表示一系列独立事件发生次数的分布情况，它是随机变量x的分布，其取值范围是0、1、2、3....或m次，m为给定的次数。
2、二项分布的特点
二项分布有以下特点：
（1）二项分布是概率论中常用的分布，也是非常重要的概率分布。
（2）二项分布独立表示一个随机事件发生的次数，一般指满足特定条件的时候发生的次数。
（3）二项分布只有两种取值，0或1，二项分布的概率分布函数为：
P(x)=Cnx*p^x*q^(n-x)
其中，Cnx是组合数，p是发生事件的概率，q是不发生事件的概率。
高中数学课件：二项分布与正态分布
[抓特征] 该选手获奖可分三种情形：一是猜对 2 次；二是
猜对 3 次；三是猜对 4 次.利用独立重复试验的概率公式，即可
得结果.也可以利用其对立事件的概率公式去求解.
[解析] 法一：该选手获奖的概率 P＝C24×124＋C34×124＋ C44×124＝1116＝0.687 5.
法二：该选手获奖的对立事件为“该选手只猜对一次和一次 都没有猜对”，故所求概率 P＝1－C14×124＋124＝1－156＝1116＝ 0.687 5.
考法(三) 二项分布 [例 3] 某气象站天气预报的准确率为 80%，计算(结果保留 到小数点后第 2 位)： (1)5 次预报中恰有 2 次准确的概率； (2)5 次预报中至少有 2 次准确的概率； (3)5 次预报中恰有 2 次准确，且其中第 3 次预报准确的概率．
[解] 令 X 表示 5 次预报中预报准确的次数，
⑤当 σ 一定时，曲线的位置由 μ 确定，曲线随着__μ__的变化而沿
x 轴平移； ⑥当 μ 一定时，曲线的形状由 σ 确定，σ 越小 ，曲线越“瘦高”，
表示总体的分布越集中；σ 越大 ，曲线越“矮胖”，表示总 体的分布越分散．
(2)正态分布的三个常用数据 ①P(μ－σ＜X≤μ＋σ)≈ 0.682 6 ； ②P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)≈ 0.954 4 ； ③P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)≈ 0.997 4 .
1
公式，得 P(B|A)＝PPAAB＝120＝14.
答案：14
5
2．(2020·石家庄摸底)某种电路开关闭合后会出现红灯或绿灯闪 烁，已知开关第一次闭合后出现红灯的概率为12，两次闭合后 都出现红灯的概率为15，则开关在第一次闭合后出现红灯的条 件下第二次闭合后出现红灯的概率为________． 解析：设“开关第一次闭合后出现红灯”为事件 A，“开关 第二次闭合后出现红灯”为事件 B，则“开关两次闭合后都 出现红灯”为事件 AB，“开关在第一次闭合后出现红灯的 条件下第二次闭合后出现红灯”为事件 B|A，由题意得
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• 变成 E{[ X E( X )]2} ，这就是方差D(X)。
• 标准差的概率意义与方差是类似的，只 不过大小不一定相等而已。
• 显然，方差（标准差）越大，波动就越 大（稳定性越差）；方差（标准差）越 小，波动就越小（稳定性越好）。
• 可以证明：若X~B(n ,p)，则
第三节 二项分布与正态分布
• 一 二项分布 • 1 二项分布的定义 • 定义 在一定条件下做试验，若对该试验
中的每一个试验结果（即样本点或基 • 本事件） ，都唯一地对应着一个确定 • 的实数 X (), 则称 X ()为随机变量，简 • 记为 X
• 例1 设有产品100件，其中有10件次品， 现从中任取5件，问：抽得的次品数是多少？
• 则可以E(X)为基准，而用 X E(X ) 刻划随机波
• 动（分散）程度。为了消除随机性在人们头脑中形成的不太确
切的印象，可考虑所谓平均波 E( X E(X ) )
• 动程度 X E(X ) （注意 也是随机变量）。这样做原
• 则上是可以的，但绝对值参与运算往往不方便。为了理论上的
合理和运算上的方便，通常用 [ X E( X )]来2 刻划随
•
D(X)=npq， npq
• 不难得知，二项分布可由随机变量X服从二项分布， 且E(X)=30，D(X)=20。试求出这 个二项分布的具体形式。
布置作业：
• P158: 1. 2. 3.
/
C5 100
(k
0,1,2,3,4,5).
• 对例2中的X，有
P( X k) 0.2k10.8(k 1,2,3,).
• 定义 若随机变量X的概率分布为
P( X k) Cnk pk qnk (k 0,1,2,, n),
• 则称X服从参数为n,p的二项分布，记作
X~B(n,p)。其中，0<p<1, q=1 p 。
可以看作是一个随机变量。我们要学会 把随机变量概念与实际工作中的具体问 题自然地联系起来。
• 定义 若随机变量X仅取有限多个或可数无 穷多个值，则称X为离散型随机变量。
• 显然，例1、例2中的随机变量X均为离散型 的。
• 定义 设离散型随机变量X的取值为
• x1, x2 ,, xk ,
• （有限多pk个或P可( X数无xk穷)(多k 个1）,2,，则) 称
例4 设随机变量X的概率分布表为
•
X 100 200
•
P 0.01 0.99
• 由于X仅取100与200两个值，可能有人
认为，X的平均值为100与200的算术平
均值
1 (100 200) 150 2
• 但另一方面，从直觉看来，这个150并不真正体现 X取值的平均，它是将100与200一视同仁的结果从
P( X k) Cnk pk qnk (k 0,1,2,, n)
• 其中 q 1 p
• 例3中所述的概率模型称为独立试验序列概型， 也称为贝努里概型，其中的X~B(n,p)。由此可解 决一些实际问题。
• 例如，设有n个电子元件，每个发生故障的概率 都是p，则发生故障的元件个数X~B(n,p)。等等。
• 例2 某射手每次射击打中目标的概率都
是0.8，现连续向一个目标射击，直到第
一次射中为止，则射击次数X是一个随机
变量，且X=1,2,3, 。
• 随机变量的概念在概率统计中既基本又 重要，在实际问题中随机变量比比皆是。 如在工业生产中，随便取一产品，问它 的质量指标（强度、硬度、光洁度、纤
维长度， ） 是多少，这个质量指标就
• 显然，若X~B(n,p)，则X取n+1个值：
•
0,1,2,, n
由二项式定理
n
(a b)n Cnk akbnk k 0
• 不难得知，二项分布满足前述概率分布 的两条性质。
• 例3 设在单次试验中，事件A发生的概率 为p(0<p<1)，则在n次独立重复试验中，事 件A发生的次数X满足
10个
990个
100 100 100 200 200 200
1000
100 0.01 200 0.99 199
• 这个199就是X的真正的平均值，而它恰是经 过“X的取值乘以相应的概率后再累加”后 而得到的（加权平均）。此即前述定义中的
概率的角度分析，X几乎只取200为值（因0.99
1），而取100为值的可能性微乎其微（0.01
0）。因此我们断言，
• 这个平均值应该非常接近200，而不是150。究竟 怎样算呢？
• 由概率的统计定义，假设进行了1000次（独立重复） 试验，则大约有10次使X取100为值，而大约有990 次使X取200为值。我们认为X的平均值应为这10个 “100”与这990个“200”的算术平均值：
• 2 二项分布的平均值 • 定义 设X的概率分布为
pk P( X xk )(k 1,2,3,)
• 则称 E( X ) xk pk
k
x1 p1 x2 p2 xk pk
• 为随机变量X的数学期望、期望或平均值、均值，也记 作M(X)
• E(X)是描述X取值的平均情况的。关于此 定义的合理性，我们举例说明如下。
• 为X的概率分布或分布列。 • 概率分布表：
X x1 x2 xk P p1 p2 pk
• 概率分布的性质：
• （1） pk 0(k 1,2,)
• （2） pk 1
k
• 不难计算出例1、例2中的概率分布：
• 对例1中的X，有
P( X
k
)
C C k 5k 10 90
E(X)
• 例5 设X~B(n ,p)，则E(X)=np
1
• 3 二项分布的标准差 • 定义 设X为随机变量，则称
D( X ) E{[ X E( X )]2}
• 为X的方差，称 D(X )
• 为X的标准差。 解释：D(X)是刻划随机变量取值的分散程度的一
个数量指标。
• 为什么呢？容易想象：既然E(X)为X的平均值，