二次函数的性质_课件PPT

2a
o
③当 x b 时，函数有最大值4ac b2 。
2a
4a
y
( b , 4ac b2 ) 2a 4a
x
x b 2a
巩固练习2
已知二次函数 y 2x2 4x 3，当x 为何值时， y 随着x 的增大而增大？当x 为何值时，y 随着x 的增
大而减小？函数有最大值还是最小值，并求出最值。
通过演示可知，对于二次函数
y
y ax2的对称轴是 y 轴，顶点是原点，
当a 0时，抛物线 y ax2的开口向上， 当a 0 时，抛物线 y ax2的开口向下， o x | a |的值越大，开口越小，反之越大。
二次函数的性质
二次函数 y a(x h)2 k 的性质。
一般地，抛物线
y a(x h)2 k 与 y ax2的形状相同。抛 物线 y a(x h)2 k 有如
y x=h
下的特点：
①a 0 时，开口向上，
a 0时，开口向下； ②对称轴是直线x h ； ③顶点坐标是 (h，k ) 。
o
x
（h，k）
二次函数的性质
对于标准形式
y ax2 bx c（a 0 ）
通过配方改写成为：
y
a
x
b 2a
2
4ac 4a
b2
因此，
抛物线 y ax2 bx c
的增大而增大； o
③当 x b 时，函数有最小值4ac b2 。
2a
4a
y x b 2a
x
(
b
4ac b2
,
)
2a 4a
二次函数的增减性
抛物线 y ax2 bx c （a 0 ），
a 0时，开口向下，结合图象可知：
①当 x b 时，y 随着x 的增大而增大； 2a
②当 x b 时，y 随着x 的增大而减小；
二次函数的相关概念
如右图是某二次函数的图象， 由于二次函数的图象形状象抛出 物体的运动轨迹，所以二次函数 图象又叫做抛物线。
y a
二次函数都是轴对称图形，
o
x
图中直线a 是函数图象的对称
轴。
M
对称轴与抛物线的交点叫
做抛物线的顶点，如图中的点M。
二次函数的性质
二次函数 y ax2 (a 0)的性质。
解这个方程组，得
a 1 ，b 0 ，c 2
∴函数解析式为 y x2 2
过顶点和一普通点的二次函数解析式确定
由 于 抛 物 线 y a(x h)2 k 顶 点 坐 标 是 (h，k )，反之，已知顶点坐标为(h，k )，则可设函数
解析式为 y a(x h)2 k 。 [ 例 题] 已 知 某 抛 物 线 的 顶 点 坐 标(3，4) 且 过 点
已知某二次函数的图象过(1，10) ，(1，4) ，(2，7) 三
点，求这个函数的解析式。
解：设所求函数解析式为 y ax2 bx c 由已知函数图象过(1，10) ，(1，4) ，(2，7) 三点得 a b c 10 a b c 4 4a 2b c 7 解这个方程组得a 2 ，b 3，c 5
增减性
解析式的确定
已知三点 已知顶点和另一点
的对称轴是直线 x b ， 2a
顶点坐标 b ，4ac b2 。 2a 4a
y
x b 2a
y ax2 bx c(a 0)
o
x
( b , 4ac b2 ) 2a 4a
巩固练习1
已知二次函数 y 2x2 4x 3，试确定
的它开口方向、对称轴和顶点坐标。
解：∵a 2 0
2
1
o -1
1
-1
y x2 2x 1
x 2 3
-2
2、在连线时，在起始点和结束点还要沿
函数图象的趋势向外延长一部分。
小结
由此可知画二次函数图象的一般步骤是： 1、取值列表； 2、描点连线。 在此过程中需要注意的有： 1、自变量取值间隔要一致，通常取5或7个值； 2、在起始点和终点函数图象还要沿着函数图象 的趋势延长一部分； 3、函数图象要能够反映出函数的整体变化情况。
∴函数图象开口向上
y 2x2 4x 3 y 2(x 1)2 1
∴函数图象的对称轴是直线 x 1， 顶点坐标是（ 1 ，1）。
二次函数的增减性
抛物线 y ax2 bx c （a 0 ），
a 0时，开口向上，结合图象可知：
①当 x b 时，y 随着x 的增大而减小； 2a
②当x b 时，y 随着x 2a
解：∵a 2 0
∴函数图象开口向上
b 4 1 2a 2 2
当 x 1时，y 随着x 的增大而增大 当 x 1时，y 随着x 的增大而减小 当 x 1时，y 有最小值，最小值为 1
二次函数解析式的确定
过三点的二次函数解析式的确定 过顶点和一普通点的二次函数解析式确定
过三点的二次函数解析式的确定
(1，8) ，求它的函数解析式。 解：∵顶点坐标是(3，4)
∴可设函数解析式为 y a(x 3)2 4 又过点(1，8)
∴8 a(1 3)2 4 解得a 1 ∴函数解析式为 y (x 3)2 4 即 y x21，1) ，且过 点 (2，0) 试确定它的函数解析式。
二次函数 y ax2 bx c(a 0)
定义
y x b 2a
图象
相关概念
o
性质
二次函数解析式的确定
y ax2 bx c(a 0)
x
(
b
4ac b2
,
)
2a 4a
二次函数的定义
一般地，如果
y ax2 bx c（a b， ，c 是常数，a 0 ） 那么， y 叫做x 的二次函数。
从二次函数的解析式可知二次函数的自
变量x 的取值范围是全体实数。
二次函数的图象
例 1．已知二次函数y x2 2x 1，试在
平面直角坐标系画出它的函数图象。
解：列表
x
-1 0 1 2 3
y=x2-2x-1 2 -1 -2 -1 2
描点画图
注意：
1、取值列表时，自变量X
-2
的取值间隔要一致；
y
4
3
∴所求得的函数解析式为 y 2x2 3x 5。
巩固练习4
已知某二次函数图象上有(1，3) ，(1，3) ，(2，6)三
个点，求它的函数解析式。
解：设函数解析式为 y ax2 bx c
由已知，函数图象上有(1，3) ，(1，3) ，(2，6)三个点，
得
a b c 3 a b c 3 4a 2b c 6
解：∵二次函数的顶点为(1， 1) ∴可设二次函数解析式为 y a(x 1)2 1 又函数过点 (2，0)
∴0 a(2 1)2 1
解得a 1 ∴二次函数的解析式为 y (x 1)2 1 即 y x2 2x
本课知识小结
二次函数
定义
相关概念
抛物线 对称轴
性质
顶点
开口方向、对称轴、顶点坐标
图象