2020高考数学圆锥曲线复习综合高考实战篇圆锥曲线实用讲义

答：AM BM (x1 2)2 y12 (x2 2)2 y2 2 又答：取AB的中点为M 0，则k AB kMM0 1，M 0代入直线AB的方程等号成立. 12.点M在以AB为直径的圆上 答：MA MB 0
13.点M在以AB为直径的圆内
答：MA MB 0 14.M是以OA, OB为临边的平行四边形的 顶点 答：
2020高考数学圆锥曲线复习综合高考实战篇圆锥曲线实用讲义
目录 第一章 题目信息转化为坐标表达/4
1.1 距离公式与弦长公式/5 1.2 题目核心条件转化为坐标/10 1.3 转化为坐标后，怎么处理/16
第二章 获得点的坐标解决问题/23
2.1 通过表示点的坐标解决问题/24 2.2 怎么获取点的坐标/26 2.3 设点与设直线结合起来/37
TA 15.T (1,0), A(x1`, y1`), B(x2 , y2 )三点共线，则 TB 答：y1`
y2
- 11 -
16.设A(x1, y1 ), B(x2 , y2 ),直线AB的倾斜角为，则 AB sin y1 y2 , AB cos x1 x2 ,
17.若I是△ABC的内心，则 AI AB AI AC
第一章的所有题的总思路，都是先把题目信息坐标化，然后联立直线与曲线，最
后使用韦达定理。
一，距离公式
1.1 距离公式与弦长公式
假设 A(xA, yA ), B(xB , yB ) ，则 A, B 之间的距离：
AB
(xA xB )2 (yA yB )2
1 k AB 2 x A xB
1
k
1
答案：k 1 对距离公式的理解：不需要求解 P 点的纵坐标来算距离，只需要两个横坐标以 及斜率即可。
二. 抛物线中的弦长公式 ①已知抛物线y 2 2 px( p 0),过焦点F的直线与抛物线交于A, B两点，
设A(x1, y1 ), B(x2 , y2 )，那么
AF
x1
p 2
BF
x2
p 2
首先说一说为什么有些题要使用韦达定理解决：
拿椭圆来说： ax
2 2
y2 b2
1联立得(b2
a2k 2)x2
2kma 2 x a 2 (m2
b2) 0
y kx m
-4-
而韦达定理x1
x2
2kma 2 b2 a2k2
, x1 x2
a2 (m2 b2 ) b2 a2k2
可以观察到：
第六章 切线/70
-2-
第七章 轨迹方程/77 第八章 借助几何分析解决问题/82 第九章 探索类问题/98 第十章 对称问题/104 第十一章 弦中点与点差法/109
-3-
第一章 题目信息转化为坐标表达
总思路：
题目中核 心信息
坐标表达 式
可使用韦 达定理的 形式
联立直线 与曲线
例： 抛物线y 2 4x,与直线l交于A, B,且OA OB,求证AB过定点
提示：代数不行几何来帮忙，即 AC BD AB CD (等量加等量，和相等).
答案：(1) y 2 x 2 1；（2）k 6
98
4
建议记住的内容(你会发现节约大量运算时间的)：
设椭圆 x 2 a2
y2 b2
1与直线y kx m交于A, B两点
则 AB 1 k 2
4a 2b 2 (b 2 a 2k 2 m 2 ) b2 a2k2
1 k2
4a 2b2 (二次项系数 m2 ) 二次项系数
二次项系数指的是直线与椭圆联立后x 2的系数. 三.圆的弦长公式。 圆的弦长可借助垂径定 理与勾股定理来求解：
-8-
如图，圆O的半径为R,OE AB,其中AB为圆O的弦，AB与直径CD交于点E. OE d ,则 AB 2 R 2 d 2 计算d时，需要使用点到直线 的距离公式.
PF2 F1F2
(1)求椭圆的离心率;
(2)设直线PF2与椭圆相交于A, B两点，若直线PF2与圆(x 1)2 ( y 3)2 16相交 于M , N两点，且 MN 5 AB ,求椭圆的方程.
8
1.2 题目核心条件怎么转化为坐标 圆锥曲线题目中的条件往往与坐标无关，那么具体如何转化为坐标表达， 下面举出常见的案例（缺失部分自己请同学们自行查阅回顾）： 已知直线AB与某曲线相交，设A(x1, y1 ), B(x2 , y2 ), M (2,0),O为原点, 将下列问题换为 关于x1, x2 , y1, y2的坐标表达式 1.问：遇到OA OB怎么办？ 答： OA OB 0 x1x2 y1 y2 0 又答： 2.问：遇到MA MB怎么办？ 答：
AB，所以k PC
1 k
PC
1 k PC 2 xP xC
1 ( 1 )2 2 x1 x2
k
2
1 ( 1 )2 2 x1 x2
k
2
-6-
AB 1 k 2 xA xB 1 k 2 x1 x2 1 k 2 x1 x2
接下来的任务就是联立 x 2 y 2 1与y k(x 1),使用韦达定理代换的过程了 2
AF BF
-7-
【2015湖南文】已知抛物线C1 : x 2
4 y的焦点F也是椭圆C2
:
y2 a2
x2 b2
1(a
b 0)
的一个焦点，C1与C2的公共弦长为2 6,过点F的直线l与C1相交于A, B两点，与C2
相交于C, D两点，且 AC与BD同向.
(1)求C2的方程; (2)若 AC BD ,求直线l的斜率.
共线、直线方程。这是因为我们的长度有距离公式的坐标表达，像垂直、平行、
向量都可转化为相应的坐标表达。对于角度的处理，我们往往借助三角函数，
第三章 定点定值/41
3.1 什么样的直线过定点/42 3.2 怎么解决直线过定点/43 3.3 圆过定点与定值举例/48
第四章优化计算/50
4.1 反设直线/51 4.2 简化运算的技巧/53
第五章 面积与最值/56
5.1 三角形的面积表达/57 5.2 求最值之变量化一/63 5.3 求最值之均值不等式/64 5.4 求最值之借助导数/68
2 AB
yA yB
，
1.距离公式源于两点间距离公式，任何时候都能用，不 是非得与曲线联立才能用，只要找横（纵）坐标和斜率 共计三个量即可表示距离。 2.如果 A 与 B 是曲线上的两个点，那么上述式子称之为 弦长公式。 3.弦长公式是万用的，只要是直线与曲线有两个交点 A,B. 都可以用上述式子计算弦长。
(2014重庆)已知直线ax y 2 0与圆心为C的圆(x 1)2 ( y a)2 4相交于A, B
两点，且△ ABC为等边三角形，则实数a ______
思路：结合图像：△ ABC等边，且圆的半径为2.所以AB 2.所以圆心到直线的
距离为 3.
2a 2 又圆心(1, a)到直线ax y 2 0的距离d
AB
Hale Waihona Puke BaiduAC
18. 若H为△ABC的垂心，则
答：
19.设A( x1 ,
y1 ),
B(x2 ,
y2
),C(x3 ,
y3 ),则△ABC的重心坐标(
x1
x2 3
x3
,
y1
y2 3
y3
)
20.点M , N在x轴上,点Q在y轴上, OQM ONQ 正切值相等 OM OQ OQ ON
21.y 2 2 px在A(x1, y1 )处的切线方程 答：y1 y px1 px 22.x 2 2 py在A(x1, y1 )处的切线方程 答：求导数写切线方程或x1x py1 py 23.MA与圆C相切于点A, MB与圆C相切于点B,求AMB
a2 1
2a 2
所以
3，解得a 4 15
a2 1
【2014陕西文】椭圆 x 2 4
y2 3
1(焦点为F1 ,
F2
)与直线l
:
y
1 2
x
m交于A，B两点，
与以F1F2为直径的圆交于C, D两点，且满足
AB CD
5 3 ,求直线l的方程. 4
-9-
【2011天津文】椭圆
x a
2 2
y2 b2
1(a b 0)的左右焦点分别为F1, F2 .点P(a,b)满足
设直线AB为：y kx m, A(x1, y1 ), B(x2 , y2 ).
OA OB
x1 x2 y1 y2 0
y12 4
y22 4
y1 y2
0
y1 y2 16
y kx
联立
y
2
4x
m
ky 2
4y
4m
0
y1 y2
4m k
16
m
4k
代入到直线方程
y
kx 4k
k(x 4)
直线过(4,0)
3.问：遇到AM 2MB怎么办？ 答： 4.问： 遇到 MA MB ,怎么办？
答：(x1 2)2 y12 (x2 2)2 y2 2 又答： 5.问：A, B, M三点共线，怎么办？
- 10 -
答：k MA
k MB
y1 x1 2
y2 x2 2
6.问：遇到AMB为锐角怎么办？
答：MA MB 0
第二步：联立所得直线y 2x 2与椭圆 x 2 y 2 1得 5
21x 2
- 40x
15
0其中x1 x2
15 21
5 7
,
x1
x2
40 . 21
第三步：使用韦达定理
FA FB 2 x1x2 2(x1 x2 ) 4 学会使用方法，答案略。 思考：解答使用的是关 于x的距离公式，我们能否 使用关于y的距离公式？
7.问：遇到OA与MB共线，怎么办？ 答： 8.问：M在直线AB上，AM 2 BM
答：
1
1 k2
y1 0
2
1
1 k2
y2 0 （弦长公式）
9.AOM的面积等于BOM的面积的2倍
答： y1 2 y2
10.AMO BMO
答：k AM
k BM
0
y1 x1 2
y2 x2 2
0
11.AB的中垂线过点M
答：FA
1
1 k AB 2
yA yF
2 y A , FB
1
1 k AB 2
yB yF
2 yB
所以 FA FB 2 y A yB 2 y1 y2
这里我们观察到 :由于F点的纵坐标是0,使用关于y的 距离公式的话，结果变 得非常简洁.联立时只需要消 去x, 保留y.这给我们的经验就是： 可以留心有没有纵 坐标为0，使得距离公式大幅简 化.
我们看下面两个例子： 例：椭圆 x 2 y 2 1的右焦点为F，斜率为2且过点F的直线l,与该椭圆相交于A, B两点,
5 求 FA FB
解析：第一步：题目信 息坐标化：
设A(x1, y1 ), B(x2 , y2 ),因为F( 2,0 )
-5-
所以 FA 1 k FA2 xA xF 1 22 x1 2 所以 FB 1 k FB 2 xB xF 1 22 x2 2 FA FB 5 x1 2 x2 2 5 x1x2 2(x1 x2 ) 4
【2015江苏】知椭圆 x 2 y 2 1,过右焦点F的直线l与椭圆交于A, B两点，AB的垂 2
直平分线交x 2和AB于点P,C,已知 PC 2 AB，求k
思路：设A( x1 ,
y1 ),
B(x2 ,
y2
),
AB的中点为C (
x1
2
x2
,
y1
2
y2
), 设直线AB为y
k(x
1),
因为PC
第一，可以看出韦达定理右侧的式子跟椭圆与直线中的 a 2 ,b2 , k, m 这些参数有关。
而我们题目中往往会要求我们求这些参数或者参数的范围。
第二，题目中核心条件往往可以转化为与 x1, x2 , y1, y2 有关的坐标形式。 总之，韦达定理是一个桥梁，它连接了题干中的条件与方程中的参数。所以我们
答：sin AMC 半径，AMC 1 AMB,也可尝试正切入手
MC
2
24.△AOM中，AOM AMO AM OA
25.△MAB中，设MA MB,则 AB sin BAM
26.OA cos AOB OA OB (数量积与投影) OB
可以看出：上述案例转化后的落脚点都是长度、垂直、平行、向量表示、三点
AB AF BF x1 x2 p
②已知抛物线x 2 2 py( p 0),过焦点F的直线与抛物线交于A, B两点，
设A(x1, y1 ), B(x2 , y2 )，那么 同理：AB y1 y2 p
注意： 1. 如果直线过焦点 F，则不必使用弦长公式，而是使用 更快捷的焦半径公式。 2. 不要盲目使用，直线不过焦点的话，我们还是得乖乖 的使用万能的弦长公式。
例：过M (2,0)作直线l与抛物线y 2 4x交于A, B两点,其中直线的斜率为1，求 AB
例：过点M (1,0)作直线l与抛物线y 2 4x交于A, B两点,其中直线的斜率为1,求 AB
例：已知曲线C : y 2 4x，已知过点(1,0)的直线与曲线C交于A, B两点. 求证：1 1 1.