2009年江西省高考数学试卷(理科)及答案

2009年江西省高考数学试卷（理科）
一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）若复数z=（x2﹣1）+（x﹣1）i为纯虚数，则实数x的值为（）A．﹣1 B．0 C．1 D．﹣1或1
2．（5分）函数的定义域为（）
A．（﹣4，﹣1）B．（﹣4，1）C．（﹣1，1）D．（﹣1，1]
3．（5分）已知全集U=A∪B中有m个元素，（∁U A）∪（∁U B）中有n个元素．若A∩B非空，则A∩B的元素个数为（）
A．mn B．m+n C．n﹣m D．m﹣n
4．（5分）若函数，则f（x）的最大值是（）A．1 B．2 C．D．
5．（5分）设函数f（x）=g（x）+x2，曲线y=g（x）在点（1，g（1））处的切线方程为y=2x+1，则曲线y=f（x）在点（1，f（1））处切线的斜率为（）A．4 B．﹣ C．2 D．﹣
6．（5分）过椭圆+=1（a＞b＞0）的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P，F2为右焦点，若∠F1PF2=60°，则椭圆的离心率为（）
A．B．C．D．
7．（5分）（1+ax+by）n展开式中不含x的项的系数绝对值的和为243，不含y的项的系数绝对值的和为32，则a，b，n的值可能为（）
A．a=2，b=﹣1，n=5 B．a=﹣2，b=﹣1，n=6
C．a=﹣1，b=2，n=6 D．a=1，b=2，n=5
8．（5分）数列{a n}的通项a n=n2（cos2﹣sin2），其前n项和为S n，则S30为（）
A．470 B．490 C．495 D．510
9．（5分）如图，正四面体ABCD的顶点A，B，C分别在两两垂直的三条射线Ox，Oy，Oz上，则在下列命题中，错误的为（）
A．O﹣ABC是正三棱锥B．直线OB∥平面ACD
C．直线AD与OB所成的角是45°D．二面角D﹣OB﹣A为45°
10．（5分）为了庆祝六一儿童节，某食品厂制作了3种不同的精美卡片，每袋食品随机装入一张卡片，集齐3种卡片可获奖，现购买该食品5袋，能获奖的概率为（）
A．B．C．D．
11．（5分）一个平面封闭区域内任意两点距离的最大值称为该区域的“直径”，封闭区域边界曲线的长度与区域直径之比称为区域的“周率”，下面四个平面区域（阴影部分）的周率从左到右依次记为τ1，τ2，τ3，τ4，则下列关系中正确的为（）
A．τ1＞τ4＞τ3＞τ2B．τ3＞τ4＞τ1＞τ2C．τ4＞τ2＞τ3＞τ1D．τ3＞τ2＞τ4＞τ1 12．（5分）设函数f（x）=（a＜0）的定义域为D，若所有点（s，f （t）（s，t∈D）构成一个正方形区域，则a的值为（）
A．﹣2 B．﹣4 C．﹣8 D．不能确定
二.填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．请把答案填在答题卡上13．（4分）已知向量=（3，1），=（1，3），=（k，7），若（）∥，则k=．
14．（4分）正三棱柱ABC﹣A1B1C1内接于半径为2的球，若A，B两点的球面距离为π，则正三棱柱的体积为．
15．（4分）若不等式≤k（x+2）﹣的解集为区间[a，b]，且b﹣a=2，则k=．
16．（4分）设直线系M：xcosθ+（y﹣2）sinθ=1（0≤θ≤2π），对于下列四个命题：
A．M中所有直线均经过一个定点
B．存在定点P不在M中的任一条直线上
C．对于任意整数n（n≥3），存在正n边形，其所有边均在M中的直线上D．M中的直线所能围成的正三角形面积都相等
其中真命题的代号是（写出所有真命题的代号）．
三.解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
17．（12分）设函数f（x）=，
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）若k＞0，求不等式f′（x）+k（1﹣x）f（x）＞0的解集．
18．（12分）某公司拟资助三位大学生自主创业，现聘请两位专家，独立地对每位大学生的创业方案进行评审．假设评审结果为“支持”或“不支持”的概率都是．若某人获得两个“支持”，则给予10万元的创业资助；若只获得一个“支持”，则给予5万元的资助；若未获得“支持”，则不予资助，令ξ表示该公司的资助总额．
（1）写出ξ的分布列；
（2）求数学期望Eξ．
19．（12分）△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，，sin（B﹣A）=cosC．
（1）求A，C；
（2）若S
=，求a，c．
△ABC
20．（12分）在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=4，AB=2．以AC的中点O为球心、AC为直径的球面交PD于点M，交PC于点N （1）求证：平面ABM⊥平面PCD；
（2）求直线CD与平面ACM所成的角的大小；
（3）求点N到平面ACM的距离．
21．（12分）已知点P1（x0，y0）为双曲线（b为正常数）上任一点，
F2为双曲线的右焦点，过P1作右准线的垂线，垂足为A，连接F2A并延长交y轴于P2．
（1）求线段P1P2的中点P的轨迹E的方程；
（2）设轨迹E与x轴交于B、D两点，在E上任取一点Q（x1，y1）（y1≠0），直线QB，QD分别交y轴于M，N两点．求证：以MN为直径的圆过两定点．
22．（14分）各项均为正数的数列{a n}，a1=a，a2=b，且对满足m+n=p+q的正整数m，n，p，q都有．
（1）当时，求通项a n；
（2）证明：对任意a，存在与a有关的常数λ，使得对于每个正整数n，都有
．
2009年江西省高考数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）（2009•江西）若复数z=（x2﹣1）+（x﹣1）i为纯虚数，则实数x的值为（）
A．﹣1 B．0 C．1 D．﹣1或1
【分析】复数z=（x2﹣1）+（x﹣1）i为纯虚数，复数的实部为0，虚部不等于0，求解即可．
【解答】解：由复数z=（x2﹣1）+（x﹣1）i为纯虚数，
可得x=﹣1
故选A．
2．（5分）（2009•江西）函数的定义域为（）
A．（﹣4，﹣1）B．（﹣4，1）C．（﹣1，1）D．（﹣1，1]
【分析】由题意知，解得﹣1＜x＜1，由此能求出函数的定义域．
【解答】解：由题意知，函数的定义域为
，
解得﹣1＜x＜1，
故选C．
3．（5分）（2009•江西）已知全集U=A∪B中有m个元素，（∁U A）∪（∁U B）中有n个元素．若A∩B非空，则A∩B的元素个数为（）
A．mn B．m+n C．n﹣m D．m﹣n
【分析】要求A∩B的元素个数，可以根据已知绘制出满足条件的韦恩图，根据图来分析（如解法一），也可以利用德摩根定理解决（如解法二）．
【解答】解法一：∵（C U A）∪（C U B）中有n个元素，如图所示阴影部分，又∵U=A∪B中有m个元素，故A∩B中有m﹣n个元素．
解法二：∵（C U A）∪（C U B）=C U（A∩B）有n个元素，
又∵全集U=A∪B中有m个元素，
由card（A）+card（C U A）=card（U）得，
card（A∩B）+card（C U（A∩B））=card（U）得，
card（A∩B）=m﹣n，
故选D．
4．（5分）（2009•江西）若函数，则f（x）的最大值是（）
A．1 B．2 C．D．
【分析】先对函数f（x）=（1+tanx）cosx进行化简，再根据x的范围求最大值．
【解答】解：f（x）=（1+tanx）cosx=cosx+sinx=2sin（x+）
∵0≤x，∴≤x+
∴f（x）∈[1，2]
故选B．
5．（5分）（2009•江西）设函数f（x）=g（x）+x2，曲线y=g（x）在点（1，g（1））处的切线方程为y=2x+1，则曲线y=f（x）在点（1，f（1））处切线的斜率为（）A．4 B．﹣ C．2 D．﹣
【分析】欲求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处切线的斜率，即求f′（1），先求出f′（x），然后根据曲线y=g（x）在点（1，g（1））处的切线方程为y=2x+1求出g′（1），从而得到f′（x）的解析式，即可求出所求．
【解答】解：f′（x）=g′（x）+2x．
∵y=g（x）在点（1，g（1））处的切线方程为y=2x+1，
∴g′（1）=2，∴f′（1）=g′（1）+2×1=2+2=4，
∴y=f（x）在点（1，f（1））处切线斜率为4．
故选：A．
6．（5分）（2009•江西）过椭圆+=1（a＞b＞0）的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P，F2为右焦点，若∠F1PF2=60°，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．
【分析】把x=﹣c代入椭圆方程求得P的坐标，进而根据∠F1PF2=60°推断出=整理得e2+2e﹣=0，进而求得椭圆的离心率e．
【解答】解：由题意知点P的坐标为（﹣c，）或（﹣c，﹣），
∵∠F1PF2=60°，
∴=，
即2ac=b2=（a2﹣c2）．
∴e2+2e﹣=0，
∴e=或e=﹣（舍去）．
故选B．
7．（5分）（2009•江西）（1+ax+by）n展开式中不含x的项的系数绝对值的和为243，不含y的项的系数绝对值的和为32，则a，b，n的值可能为（）A．a=2，b=﹣1，n=5 B．a=﹣2，b=﹣1，n=6
C．a=﹣1，b=2，n=6 D．a=1，b=2，n=5
【分析】据（1+ax+by）n展开式中不含x的项是n个（1+ax+by）都不出ax即（1+ax+by）n展开式中不含x的项的系数绝对值的和就是（1+by）n展开式中系数绝对值的和，同样的道理能得不含y的项的系数绝对值的和，列出方程解得．【解答】解：不含x的项的系数的绝对值为（1+|b|）n=243=35，不含y的项的系数的绝对值为（1+|a|）n=32=25，
∴n=5，，将各选项的参数取值代入验证知，a=1，b=2，n=5
故选D．
8．（5分）（2009•江西）数列{a n}的通项a n=n2（cos2﹣sin2），其前n项和为S n，则S30为（）
A．470 B．490 C．495 D．510
【分析】利用二倍角的公式化简可得一个三角函数，根据周期公式求出周期为3，可化简S30，求出值即可．
【解答】解：由于{cos2﹣sin2}以3为周期，
故S30=（﹣+32）+（﹣+62）+…+（﹣+302）=
∑[﹣+（3k）2]=∑[9k﹣]
=﹣25=470
故选A
9．（5分）（2009•江西）如图，正四面体ABCD的顶点A，B，C分别在两两垂直的三条射线Ox，Oy，Oz上，则在下列命题中，错误的为（）
A．O﹣ABC是正三棱锥B．直线OB∥平面ACD
C．直线AD与OB所成的角是45°D．二面角D﹣OB﹣A为45°
【分析】结合图形，逐一分析答案，运用排除、举反例直接计算等手段，找出正确答案．
【解答】解：对于A，如图ABCD为正四面体，∴△ABC为等边三角形，
又∵OA、OB、OC两两垂直，∴OA⊥面OBC，∴OA⊥BC．
过O作底面ABC的垂线，垂足为N，连接AN交BC于M，
由三垂线定理可知BC⊥AM，∴M为BC中点，
同理可证，连接CN交AB于P，则P为AB中点，
∴N为底面△ABC中心，∴O﹣ABC是正三棱锥，
故A正确．
对于B，将正四面体ABCD放入正方体中，如图所示，
显然OB与平面ACD不平行．则答案B不正确．
对于C，AD和OB成的角，即为AD和AE成的角，即∠DAE=45°，
故C正确．
对于D，二面角D﹣OB﹣A即平面FDBO与下底面AEBO成的角，
故∠FOA为二面角D﹣OB﹣A的平面角，显然∠FOA=45°，
故D正确．
综上，故选：B．
10．（5分）（2009•江西）为了庆祝六一儿童节，某食品厂制作了3种不同的精美卡片，每袋食品随机装入一张卡片，集齐3种卡片可获奖，现购买该食品5袋，能获奖的概率为（）
A．B．C．D．
【分析】3种不同的卡片分别编号1、2、3，购买该食品5袋，能获奖的情况有两种①（5张中有3张相同的）12311；12322；12333；②（5张中有2张相同的）12312；12313；12323，且两事件互斥，根据概率的加法公式可求
【解答】解析：获奖可能情况分两类：
①12311；12322；12333；②12312；12313；12323．
①P1=，②P2=，
∴P=P1+P2==．
故选D
11．（5分）（2009•江西）一个平面封闭区域内任意两点距离的最大值称为该区
域的“直径”，封闭区域边界曲线的长度与区域直径之比称为区域的“周率”，下面四个平面区域（阴影部分）的周率从左到右依次记为τ1，τ2，τ3，τ4，则下列关系中正确的为（）
A．τ1＞τ4＞τ3＞τ2B．τ3＞τ4＞τ1＞τ2C．τ4＞τ2＞τ3＞τ1D．τ3＞τ2＞τ4＞τ1【分析】由题意设出边长，求出四个图形的直径，四个图形的周长，计算它们的比值，即可比较大小．
【解答】解：由题意，设图形的边长或直径为a，则第一个图的直径为a，后三个图形的直径都是a，
第一个封闭区域边界曲线的长度为4a，所以t1=，
第二个封闭区域边界曲线的长度为×2，所以t2==π；
第三个封闭区域边界曲线的长度为a+2×+2×2×=3a，所以t3==3，第四个封闭区域边界曲线的长度为2a，所以t4==2，
所以τ4＞τ2＞τ3＞τ1
故选C．
12．（5分）（2009•江西）设函数f（x）=（a＜0）的定义域为D，若所有点（s，f（t）（s，t∈D）构成一个正方形区域，则a的值为（）A．﹣2 B．﹣4 C．﹣8 D．不能确定
【分析】此题考查的是二次函数的性质问题．在解答时可以先将问题转化为方程，因为一个方程可以求解一个未知数．至于方程的给出要充分利用好“构成一个正方形区域”的条件．
【解答】解：由题意可知：所有点（s，f（t））（s，t∈D）构成一个正方形区域，则对于函数f（x），其定义域的x的长度和值域的长度是相等的，
f（x）的定义域为ax2+bx+c≥0的解集，
设x1、x2是方程ax2+bx+c=0的根，且x1＜x2
则定义域的长度为|x1﹣x2|==，
而f（x）的值域为[0，]，
则有，
∴，∴a=﹣4．
故选B．
二.填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．请把答案填在答题卡上13．（4分）（2009•江西）已知向量=（3，1），=（1，3），=（k，7），若（）∥，则k=5．
【分析】由题意可得=（3﹣k，﹣6），由（）∥，可得（3﹣k，﹣6）=λ（1，3），解出k 值．
【解答】解：由题意可得=（3﹣k，﹣6），
∵（）∥，
∴（3﹣k，﹣6）=λ（1，3），
∴3﹣k=λ，﹣6=3λ，解得k=5，
故答案为5．
14．（4分）（2009•江西）正三棱柱ABC﹣A1B1C1内接于半径为2的球，若A，B 两点的球面距离为π，则正三棱柱的体积为8．
【分析】由已知中正三棱柱ABC﹣A1B1C1内接于半径为2的球，若A，B两点的球面距离为π，我们易求出∠AOB的大小，进而求出棱柱底面棱长，进而求出棱柱的高和底面面积，代入棱柱体积公式，即可求出答案．
【解答】解：∵正三棱柱ABC﹣A1B1C1内接于半径为2的球
又∵A，B两点的球面距离为π，故∠AOB=90°，
又∵△OAB是等腰直角三角形，∴AB=2，则△ABC的外接圆半径为
则O点到平面ABC的距离为
∴正三棱柱高h=，又∵△ABC的面积S=
∴正三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积V=S•h=8．
故答案为：8
15．（4分）（2009•江西）若不等式≤k（x+2）﹣的解集为区间[a，b]，且b﹣a=2，则k=．
【分析】此不等式属根式不等式，两边平方后再解较繁，可以从数形结合寻求突破．
【解答】解：设y1=，y2=k（x+2）﹣，
则在同一直角坐标系中作出其图象草图如所示
y1图象为一圆心在原点，半径为3的圆的上半部分，
y2图象为过定点A（﹣2，﹣）的直线．
据此，原不等式解集可理解为：半圆上圆弧位于直线下方时圆弧上点的横坐标x
所对应的集合．
观察图形，结合题意知b=3，
又b﹣a=2，所以a=1，即直线与半圆交点N的横坐标为1，
代入y1==2，所以N（1，2）
由直线过定点A知直线斜率k==．
故答案为：．
16．（4分）（2009•江西）设直线系M：xcosθ+（y﹣2）sinθ=1（0≤θ≤2π），对于下列四个命题：
A．M中所有直线均经过一个定点
B．存在定点P不在M中的任一条直线上
C．对于任意整数n（n≥3），存在正n边形，其所有边均在M中的直线上D．M中的直线所能围成的正三角形面积都相等
其中真命题的代号是BC（写出所有真命题的代号）．
【分析】验证发现，直线系M：xcosθ+（y﹣2）sinθ=1（0≤θ≤2π）表示圆x2+（y﹣2）2=1的切线的集合，
A．M中所有直线均经过一个定点（0，2）是不对，可由圆的切线中存在平行线得出，
B．存在定点P不在M中的任一条直线上，观察直线的方程即可得到点的坐标．C．对于任意整数n（n≥3），存在正n边形，其所有边均在M中的直线上，由直线系的几何意义可判断，
D．M中的直线所能围成的正三角形面积一定相等，由它们是同一个圆的外切正三角形可判断出．
【解答】解：因为点（0，2）到直线系M：xcosθ+（y﹣2）sinθ=1（0≤θ≤2π）中每条直线的距离d==1，直线系M：xcosθ+（y﹣2）sinθ=1（0
≤θ≤2π）表示圆x2+（y﹣2）2=1的切线的集合，
A．由于直线系表示圆x2+（y﹣2）2=1的所有切线，其中存在两条切线平行，M 中所有直线均经过一个定点（0，2）不可能，故A不正确；
B．存在定点P不在M中的任一条直线上，观察知点M（0，2）即符合条件，故B正确；
C．由于圆的所有外切正多边形的边都是圆的切线，所以对于任意整数n（n≥3），存在正n边形，其所有边均在M中的直线上，故C正确；
D．如下图，M中的直线所能围成的正三角形有两类，
其一是如△ABB′型，是圆的外切三角形，此类面积都相等，另一类是在圆同一侧，如△BDC型，此一类面积相等，但两类之间面积不等，所以面积大小不一定相等，故本命题不正确．
故答案为：BC．
三.解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
17．（12分）（2009•江西）设函数f（x）=，
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）若k＞0，求不等式f′（x）+k（1﹣x）f（x）＞0的解集．
【分析】（1）对函数f（x）进行求导，当导数大于0时是单调递增区间，当导数小于0时是原函数的单调递减区间．
（2）将f'（x）代入不等式即可求解．
【解答】解：（1）∵f（x）=
∴
由f'（x）=0，得x=1，
因为当x＜0时，f'（x）＜0；
当0＜x＜1时，f'（x）＜0；当x＞1时，f'（x）＞0；
所以f（x）的单调增区间是：[1，+∝）；单调减区间是：（﹣∞，0），（0，1]（2）由f'（x）+k（1﹣x）f（x）==＞0，得：（x﹣1）（kx﹣1）＜0，
故：当0＜k＜1时，解集是：{x|1＜x＜}；
当k=1时，解集是：φ；
当k＞1时，解集是：{x|＜x＜1}．
18．（12分）（2009•江西）某公司拟资助三位大学生自主创业，现聘请两位专家，独立地对每位大学生的创业方案进行评审．假设评审结果为“支持”或“不支持”的概率都是．若某人获得两个“支持”，则给予10万元的创业资助；若只获得一个“支持”，则给予5万元的资助；若未获得“支持”，则不予资助，令ξ表示该公司的资助总额．
（1）写出ξ的分布列；
（2）求数学期望Eξ．
【分析】（1）ξ的所有取值为0，5，10，15，20，25，30，然后根据相互独立事件的概率公式解之，得到分布列；
（2）利用数学期望公式Eξ=ξ1×p1+ξ2×p2+ξ3×p3+…+ξn×p n直接解之即可．
【解答】解：（1）ξ的所有取值为0，5，10，15，20，25，30
；
依此类推；
；；
所以其分布列为：
ξ0510********
P
（2）
∴数学期望Eξ=15
19．（12分）（2009•江西）△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，，sin（B﹣A）=cosC．
（1）求A，C；
=，求a，c．
（2）若S
△ABC
【分析】（1）先根据同角三角函数的基本关系将正切化为正余弦之比再相乘可得到3内角的正弦关系式，再由sin（B﹣A）=cosC可求出答案．
（2）先根据正弦定理得到a与c的关系，再利用三角形的面积公式可得答案．【解答】解：（1）因为
所以左边切化弦对角相乘得到
sinCcosA﹣cosCsinA=cosCsinB﹣sinCcosB，
所以sin（C﹣A）=sin（B﹣C）．
所以C﹣A=B﹣C或C﹣A=π﹣（B﹣C）（不成立）
即2C=A+B，C=60°，
所以A+B=120°，
又因为sin（B﹣A）=cosC=，
所以B﹣A=30°或B﹣A=150°（舍），
所以A=45°，C=60°．
（2）由（1）知A=45°，C=60°∴B=75°∴sinB=
根据正弦定理可得即：∴a=
S=acsinB==3+
∴c2=12∴c=2
∴a==2
20．（12分）（2009•江西）在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=4，AB=2．以AC的中点O为球心、AC为直径的球面交PD于点M，交PC于点N
（1）求证：平面ABM⊥平面PCD；
（2）求直线CD与平面ACM所成的角的大小；
（3）求点N到平面ACM的距离．
【分析】法一：（1）要证平面ABM⊥平面PCD，只需证明平面PCD内的直线PD，垂直平面PAD内的两条相交直线BM、AB即可；
（2）先根据体积相等求出D到平面ACM的距离为h，即可求直线PC与平面ABM所成的角；
（3）先根据条件分析出所求距离等于点P到平面ACM距离的，设点P到平面ACM距离为h，再利用第二问的结论即可得到答案．
法二：建立空间直角坐标系，
（2）求出平面ACM的一个法向量，结合然后求出
即可．
（3）先根据条件分析出所求距离等于点P到平面ACM距离的，再利用向量的射影公式直接求点P到平面ACM距离h即可得到结论．
【解答】解：
方法一：（1）图1依题设知，AC是所作球面的直径，则AM⊥MC．
又因为P A⊥平面ABCD，则PA⊥CD，又CD⊥AD，
所以CD⊥平面PAD，则CD⊥AM，所以A M⊥平面PCD，
所以平面ABM⊥平面PCD．
（2）由（1）知，AM⊥PD，又PA=AD，则M是PD的中点可得，
则
=V M﹣ACD即，
设D到平面ACM的距离为h，由V D
﹣ACM
可求得，
设所求角为θ，则，．
（3）可求得PC=6．因为AN⊥NC，由（7），得PN=（8）．所以NC：PC=5：9（9）．
故N点到平面ACM的距离等于P点到平面ACM距离的．
又因为M是PD的中点，则P、D到平面ACM的距离相等，由（2）可知所求距离为．
方法二：
（1）同方法一；
（2）如图2所示，建立空间直角坐标系，则A（0，0，0），P（0，0，4），B（2，0，0），C（2，4，0），D（0，4，0），M（0，2，2）；
设平面ACM的一个法向量，由可得：，令z=1，则．
设所求角为α，则，
所以所求角的大小为．
（3）由条件可得，AN⊥NC．在Rt△PAC中，PA2=PN•PC，所以，则，，
所以所求距离等于点P到平面ACM距离的，设点P到平面ACM距离为h 则，
所以所求距离为．
21．（12分）（2009•江西）已知点P1（x0，y0）为双曲线（b为正常
数）上任一点，F2为双曲线的右焦点，过P1作右准线的垂线，垂足为A，连接F2A并延长交y轴于P2．
（1）求线段P1P2的中点P的轨迹E的方程；
（2）设轨迹E与x轴交于B、D两点，在E上任取一点Q（x1，y1）（y1≠0），直线QB，QD分别交y轴于M，N两点．求证：以MN为直径的圆过两定点．
【分析】（1）由已知得，则直线F2A的方程为：y=﹣
（x﹣3b），令x=0得P2（0，9y0），设P（x，y），则，由此能求出P的轨迹E的方程．
（2）在中，令y=0得x2=2b2，设，直线QB的方程为：，直线QD的方程为：
，则M（0，），N（0，），由此能导出以MN为直径的圆过两定点（﹣5b，0），（5b，0）．
【解答】解：（1）由已知得，则直线F2A的方程为：y=﹣（x﹣3b），
令x=0得y=9y0，即P2（0，9y0），
设P（x，y），则，即代入得：，
即P的轨迹E的方程为．
（2）在中令y=0得x2=2b2，则不妨设，于是直线QB的方程为：，∴直线QD的方程为：
，
则M（0，），N（0，），
则以MN为直径的圆的方程为：，
令y=0得：，而Q（x1，y1）在上，则，
于是x=±5b，即以MN为直径的圆过两定点（﹣5b，0），（5b，0）．
22．（14分）（2009•江西）各项均为正数的数列{a n}，a1=a，a2=b，且对满足m+n=p+q 的正整数m，n，p，q都有．
（1）当时，求通项a n；
（2）证明：对任意a，存在与a有关的常数λ，使得对于每个正整数n，都有．
【分析】（1）由，令m=1，p=2，q=n﹣1，并将代入化简，可得数列是首项为，公比为的等比数列，从而可求数列的通项；
（2）记为b m
，则，考察函数+n
，则在定义域上有，从而对n∈N*，b n
≥g（a）恒成立，结合，即可得证．
+1
【解答】（1）解：由得
．
将代入化简得．
所以，
故数列是首项为，公比为的等比数列，从而，即．
，则（2）证明：由题设的值仅与m+n有关，记为b m
+n
．
考察函数，则在定义域上有
故对n∈N*，b n
≥g（a）恒成立
+1
又，
注意到，解上式得
，取，即有．。