专题02 导数及其应用(解析版)

专题02 导数及其应用

1、（2019年江苏高考卷）.在平面直角坐标系xOy 中，点A 在曲线y =ln x 上，且该曲线在点A 处的切线经过点（-e ，-1)(e 为自然对数的底数），则点A 的坐标是____.

【答案】(e, 1).

【解析】设点()00,A x y ，则00ln y x =.又1y x '=

， 当0x x =时，0

1y x '=， 点A 在曲线ln y x =上的切线为000

1()y y x x x -=-， 即00

ln 1x y x x -=-， 代入点(),1e --，得00

1ln 1e x x ---=

-， 即00ln x x e =， 考查函数()ln H x x x =，当()0,1x ∈时，()0H x <，当()1,x ∈+∞时，()0H x >， 且()'ln 1H x x =+，当1x >时，()()'0,H x H x >单调递增，

注意到()H e e =，故00ln x x e =存在唯一的实数根0x e =，此时01y =，

故点A 的坐标为(),1A e .

导数运算及切线的理解应注意的问题：

一是利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆．

二是直线与曲线公共点个数不是切线的本质，直线与曲线只有一个公共点，直线不一定是曲线的切线，同样，直线是曲线的切线，则直线与曲线可能有两个或两个以上的公共点．

2、【2019年高考全国Ⅰ卷文数】曲线23()e x

y x x =+在点(0)0，处的切线方程为____________．

【答案】30x y -=

【解析】223(21)e 3()e 3(31)e ,x x x y x x x x x '=+++=++

所以切线的斜率0|3x k y ='==，

则曲线23()e x y x x =+在点(0,0)处的切线方程为3y x =，即30x y -=．

【名师点睛】准确求导数是进一步计算的基础，本题易因为导数的运算法则掌握不熟，而导致计算错误．求导要“慢”，计算要准，是解答此类问题的基本要求．

3、【2019年高考天津文数】曲线cos 2

x y x =-

在点(0,1)处的切线方程为__________. 【答案】220x y +-= 【解析】∵1sin 2

y x '=--

， ∴011|sin 022

x y ='=--=-， 故所求的切线方程为112y x -=-，即220x y +-=. 【名师点睛】曲线切线方程的求法：

（1）以曲线上的点(x 0，f (x 0))为切点的切线方程的求解步骤：

①求出函数f (x )的导数f ′(x )；

②求切线的斜率f ′(x 0)；

③写出切线方程y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)，并化简．

（2）如果已知点(x 1，y 1)不在曲线上，则设出切点(x 0，y 0)，解方程组0010010

()()y f x y y f x x x =⎧⎪-⎨'=⎪-⎩得切点(x 0，y 0)，进而确定切线方程．

4、【2018年高考天津文数】已知函数f (x )=e x ln x ，f ′(x )为f (x )的导函数，则f ′（1）的值为__________．

【答案】e

【解析】由函数的解析式可得f ′(x)=e x ×lnx +e x ×1x =e x (lnx +1x )，

则f ′(1)=e 1×(ln1+11

)=e . 即f′(1)的值为e.

【名师点睛】本题主要考查导数的运算法则，基本初等函数的导数公式等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

5、【2018年高考全国Ⅱ卷文数】曲线2ln y x =在点(1,0)处的切线方程为__________．