分式的基本性质与运算
分式的概念与运算
分式的概念与运算分式，也可称为有理数的形式，是表示两个整数之间关系的一种数学表达式。
它由一个分子和一个分母组成，分子表示除法的被除数，分母表示除法的除数。
在数学中，分式广泛应用于各种实际问题的求解与计算中。
本文将介绍分式的概念、基本性质，以及分式的加减乘除运算。
一、分式的概念分式的本质是一个数的表达方式，它可以表示两个整数之间的比例关系。
例如，$\frac{1}{2}$表示整数1与整数2之间的比值，读作“1除以2”。
在分式中，分子和分母可以是任意整数，并且分母不能为零。
当分子为0时，分式的值为0。
二、分式的基本性质1. 分式的值可以是一个整数、一个真分数或带分数。
当分子大于分母时，分式的值大于1；当分子小于分母时，分式的值小于1。
2. 分式可以进行化简。
也就是说，可以约分分式中的分子和分母，将它们的公约数约掉，使得分子和分母互质。
例如，$\frac{2}{4}$可以化简为$\frac{1}{2}$。
3. 分式可以进行扩展。
也就是说，可以将分子和分母同时乘以一个非零整数，得到等价的分式。
例如，$\frac{3}{5}$可以扩展为$\frac{6}{10}$。
三、分式的加减乘除运算1. 分式的加法和减法分式的加法和减法遵循公式：$$\frac{a}{b} \pm \frac{c}{d} = \frac{ad \pm bc}{bd}$$其中$a$、$b$、$c$和$d$为任意整数。
具体来说，对于分式$\frac{a}{b}$和$\frac{c}{d}$，只需将两个分式的分母取公倍数得到新的分母，然后将分子相应操作后得到新的分子，即可得到结果。
示例：$$\frac{3}{5} + \frac{2}{3} = \frac{9}{15} + \frac{10}{15} =\frac{19}{15}$$$$\frac{7}{8} - \frac{1}{4} = \frac{7}{8} - \frac{2}{8} = \frac{5}{8} $$2. 分式的乘法和除法分式的乘法和除法遵循公式：$$\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{ac}{bd}$$$$\frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c} =\frac{ad}{bc}$$其中$a$、$b$、$c$和$d$为任意整数。
第20讲 分式的意义、性质及综合计算(解析版)
第20讲分式的意义、性质及综合计算一、分式的意义与基本性质：1、分式的概念：两个整式A、B相除，即A B÷时，可以表示为AB．如果B中含有字母，那么AB叫做分式，A叫做分式的分子，B叫做分式的分母．在理解分式的概念时，注意以下三点：（1）分式的分母中必然含有字母；（2）分式的分母的值不为0；（3）分式必然是写成两式相除的形式，中间以分数线隔开．2、分式有意义的条件：两个整式相除，除数不能为0，故分式有意义的条件是分母不为0，当分母为0时，分式无意义．例如：分式1x，当0x≠时，分式有意义；当0x=时，分式无意义．3、分式值为零的条件：分式的值为零时，必须满足分式的分子为零，且分式的分母不能为零，注意是“同时”．4、分式的基本性质：分式的基本性质：分式的分子和分母都乘以(或除以)同一个不为零的整式，分式的值不变．上述性质用公式可表示为：a amb bm=，a a mb b m÷=÷(0m≠)．注意：①在运用分式的基本性质时，基于的前提是0m≠；②强调“同时”，分子分母都要乘以或者除以同一个“非零”的数字或者整式；原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1③分式的基本性质是约分和通分的理论依据．二、分式的乘除：1、分式的乘法：两个分式相乘，将分子相乘的积作分子，分母相乘的积作分母，用式子表示为：A C ACB D BD ⋅=．2、分式的乘方法则：分式乘方就是把分子、分母各自乘方．即nn n A A B B ⎛⎫= ⎪⎝⎭．3、分式的除法法则：分式除以分式，将除式的分子和分母颠倒位置后，再与被除式相乘．用公式表示为：A C A D ADB D BC BC÷=⋅=．4、分式的乘除混合运算：分式的乘除混合运算，有括号先算括号里的，没有括号按从左到右的顺序计算．【注意】1、在分式除法运算中，除式或（被除式）是整式时，可以看作分母是1的分式，然后按照分式的乘除法的法则计算．2、要注意运算顺序，对于分式的乘除来讲，它只含同级乘除运算，而在同级运算中，如果没有附加条件（如括号等），那么就应该按照由左到右的顺序计算．三、分式的加减：1、同分母的分式加减法法则：同分母分式相加减，分母不变，分子相加减．2、异分母的分式加减法法则：（1）通分：将几个异分母的分式分别化为与原来分式的值相等的同分母分式的过程叫做通分，这几个相同的分母叫做公分母．（2）异分母分式加减法法则：分母不同的几个分式相加减，应先进行通分，化成同分母分式后再进行加减运算，运算结果能化简的必须化简．四、分式的综合运算：与分数的混合运算类似，先算乘除，再算加减，如果有括号，要先算括号内的．1.不改变分式的值，使分式115101139x yx y -+的各项系数化为整数，分子、分母应乘以（）A 、10B 、9C 、45D 、90【答案】D【解析】找5，10，3，9的最小公倍数．【总结】本题主要考查分式的基本性质．2.分式1a b +、222a a b -、bb a-的最简公分母是（）原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3A 、()()()22a b a b b a +-－B 、()()22a b b a +－C 、()()22a b b a -－D 、22a b -【答案】D【解析】考察最简公分母的定义．3.在下列各式中：①222mn a b -⎛⎫ ⎪⎝⎭；②42528m n an a b bm -⋅；③2222m nb ab a ⎛⎫⎛⎫⋅ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭；④2222mn a ab m ÷．相等的两个式子是（）A 、①②B 、①③C 、②③D 、③④【答案】B【解析】①22224224mn m n a b a b -⎛⎫= ⎪⎝⎭；②4223524288m n an m n a b bm a b -⋅=-；③2222222224242244m nb m n b m n ab a a b a a b ⎛⎫⎛⎫⋅=⋅= ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭；④2222222232222mn a mn m m n ab m ab a a b÷=⋅=．【总结】本题主要考查分式的约分．4.已知2519970x x --=，则代数式()()222112x x x ---+-的值为（）A 、1999B 、2000C 、2001D 、－2【答案】D【解析】()()222112x x x ---+-22442112x x x x x -+-+-+=-242x x -+=-()222x x --=-2=-．【总结】本题主要考查分式的化简，分式的最终结果跟x 的取值并无关系．5.若269a a -+与1b -互为相反数，则式子()a b a b b a ⎛⎫-÷+ ⎪⎝⎭的值为__________．【答案】32．【解析】∵269a a -+与1b -互为相反数，∴26910a a b -++-=，即()0132=-+-b a ，∴3=a ，1=b ．∴()22123a b a b a b a b b a ab a b ab --⎛⎫-÷+=⋅== ⎪+⎝⎭．【总结】本题一方面考查分式的混合运算，一方面注意相反数的概念．6.当x _______时，分式1111x++有意义．【答案】1-≠x 且2-≠x ．【解析】∵01≠+x 且0111≠++x，∴1-≠x 且2-≠x ．7.当x _______时，分式211xx++的值为零．【答案】2-=x ．【解析】由题意，得：02=+x 且0≠x 且011≠+x，所以2-=x ．【总结】本题主要考查分式值为零的条件．8.已知：222222M xy y x yx y x y x y--=+--+，则M =_________．【答案】2x ．【解析】因为()()()22222222x y xy y x x y x y x y x y--+=-+--，所以2M x =．【总结】本题一方面考查异分母分式的加减，另一方面考查当两个分式相等并且分母相等时，分子也相等．9.已知对任意x 有324231+3x A Bx Cx x x x x ++=++--+，则A =_______，B =______，C =______．【答案】1；-1；-1．【解析】因为222(3)()(1)1+3(1)(3)A Bx C A x x Bx C x x x x x x x +++++-+=-+-++3()()(3)23A B x A B C x A C x x ++-++-=+-，又324231+3x A Bx Cx x x x x ++=++--+所以0134A B A B C A C +=⎧⎪-+=⎨⎪-=⎩，解得111A B C =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩．【总结】本题一方面考查分式的混合运算，另一方面考查当两个分式相等并且分母相等时，分子也相等．10.计算：原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！5（1）22266(3)(2)443x x x x x x x x -+-÷+⋅⋅--+-；（2）222221211()()22x x x x x x x x--+÷÷---+．【答案】（1）2；（2）xx -22．【解析】（1）22266(3)(2)443x x x x x x x x -+-÷+⋅⋅--+-()()()()223321(2)332x x x x x x x -+-=⋅⋅⋅-+--2=；（2）222221211()()22x x x x x x x x--+÷÷---+()()()()()222222121211x x x x x x x --=⋅⋅+-+-22x x=-．【总结】本题主要考查分式的乘除运算，注意对法则的准确运用．11.计算：（1）22221244n m m n m n m mn n --+÷--+；（2）322114221x x x x x x ⎛⎫+--+⋅⎪-++⎝⎭．【答案】（1）nm n+3；（2）44223+-+x x x ．【解析】（1）原式()()()2122m n m n n m m n m n +--=+÷--()()()2212m n n mm n m n m n --=+⋅-+-21m n m n -=-+3nm n=+；（2）原式322214142121x x x x x x x x +---=⋅+⋅-+++()()()()()()()()2112211222121x x x x x x x x x x x x x +-++-+-+-=⋅+-+++()()()()21212x x x x x =-+++--32244x x x =+-+．【总结】本题主要考查分式的混合运算，注意对法则的准确运用以及方法的选择．12.计算：（1）2222963441644x x x x x x x x -+-++÷⋅---；（2）22214(1)441a a a a a a --÷+⋅++-．【答案】（1）()()()()2423-++-x x x x ；（2）22+-a a ．【解析】（1）原式()()()()()()2232444322x x x x x x x x -+-=⋅⋅+--+-()()()()3242x x x x -+=+-；（2）原式()()()()()211221112a a a a a a a -++-=⋅⋅+-+2222a aa a --=-=++．13.已知21610x x --=，求331x x -的值．【答案】4144．【解析】∵21610x x --=，∴161=-xx ．∴331x x -2211++1x x x x ⎛⎫⎛⎫=- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭211=+2+1x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫--⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦()2=1616+3⨯=4144．【总结】本题综合性较强，一方面考查对原式的变形，另一方面考查立方差的运用．14.已知：0a b c ++=，8abc =，求证：1110a b c++<．【答案】证明略，见解析．【解析】∵0=++c b a ，∴()()022222=+++++=++ac bc ab c b a c b a ．即2222220a b c ab ac bc +++++=．∴2221()2ab ac bc a b c ++=-++．∵8abc =，∴a 、b 、c 均不为零．∴2221111=()016bc ac ab a b c a b c abc ++++=-++<．【总结】本题综合性较强，主要还是利用了异分母分式的加减以及完全平方公式．15.若111122229999199991A +=+，222233339999199991B +=+，试比较A 与B 的大小．【答案】A B >．【解析】设11119999a =，则2+1=1a A a +，23+1=1a B a +．则B A -2322323+1+12=11(1)(1)a a a a a a a a a -+-=++++223(1)(1)(1)a a a a -=++．又111199991a =>，所以10a ->．所以0A B ->，所以A B >．【总结】本题主要考查通过换元法试原来的式子变得简洁一些，然后再通过做差比较两数大小．原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！716.设10x y z a b c a b c x y z++=++=，，求222222x y z a b c ++的值．【答案】1．【解析】设m a x =，n b y =，t cz=．∵1x y za b c ++=，∴1=++t n m ．∵0=++zcy b x a ，∴0111=++tn m ，∴0=++mntmnmt nt ，∴0=++mn mt nt ．∴()()222222222222101x y z m n t m n t mn nt mt a b c++=++=++-++=-=．【总结】本题也是考查对换元法的理解和运用．1.（2023年上海浦东新区模拟卷）2023年1月，中国迎来奥密克戎变异毒株的首波感染高峰．已知该病毒的直径长120纳米，1纳米＝910-米，则这种冠状病毒的半径用科学记数法表示为（）A ．71.210-⨯米B ．111.210-⨯米C ．8610-⨯米D ．70.610-⨯米【答案】C【分析】绝对值小于1的负数也可以用科学记数法表示，一般形式为10n a -⨯，其中110,a ≤<根据题意，该病毒的直径长120纳米，即可求出这种冠状病毒的半径用科学记数法表示．【详解】解：()9812026010610--÷=⨯=⨯纳米米．故选：C.【点睛】本题主要考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为10n a -⨯，其中110,a ≤<熟练掌握科学记数法是解此题的关键．2.（2023年上海民办华育期中真题）对于分式226xx --，下列说法错误的是（）A ．当2x =时，分式的值为0B ．当3x =时，分式无意义C ．当2x >时，分式的值为正数D ．当83x =时，分式的值为1【答案】C【分析】直接利用分式的值为零，分式无意义，分式的求值进行判断即可．【详解】解：A ．当2x =时，20x -=，2620x -=-≠，分式226xx --的值为0，故此项选项不符合题意；B ．当3x =时，260x -=，分式226xx --无意义，故此选项不符合题意；C 当2x >时，当3x =时，260x -=，分式226xx --无意义，故此选项符合题意；D ．当83x =时，822233182262633x x ---===-⨯--，故此选项不符合题意．故选：C ．【点睛】本题考查分式值为零的条件，分式无意义的条件，分式的求值．解题的关键是能熟练掌握分式相关知识进行解答．3.（2022年上海新华中学期中真题）若2m n +=，则代数式2n m nm m m ⎛⎫--÷ ⎪⎝⎭的值为（）A ．2B ．2-C ．12D ．12-【答案】B【分析】先根据分式的混合运算化简，再整体代入即可作答．【详解】2n m nm m m ⎛⎫--÷⎪⎝⎭22·n m mm m m n ⎛⎫=- ⎪-⎝⎭22·n m m m m n-=-()()·n m n m m m m n+-=-()n m =-+n m =--，∵2m n +=，∴原式2n m =--=-，故选：B ．【点睛】本题考查了分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则是解答本题的关键．4.（2023年上海新华中学期中真题）下列运算正确的是（）A ．22m m ÷=B ．()222m n m n-=-C ．33322n n m m ⎛⎫=⎪⎝⎭D ．2yxy x x÷=原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！9【答案】D【分析】根据整式以及分式的运算法则逐项计算即可判断．【详解】A.221m m ÷=，即原计算错误，本项不符合题意；B.()2222m n m mn n -=-+，即原计算错误，本项不符合题意；C.33328n n m m ⎛⎫= ⎪⎝⎭，即原计算错误，本项不符合题意；D.2y xy xy yx x x÷=⨯=，即原计算正确，本项符合题意；故选：D ．【点睛】本题考查了整式以及分式的运算，掌握相应的运算法则是解答本题的关键．5.计算321b a a⎛⎫-÷ ⎪⎝⎭的结果为（）A ．3b a-B ．3b a C ．35b a -D ．35b a【答案】A【分析】先计算乘方，再计算除法即可求解．【详解】解：321b a a⎛⎫-÷ ⎪⎝⎭3321b a a =-÷323b aa =-⋅3b a=-．故选：A ．【点睛】本题考查分式混合运算，熟练掌握分式乘方与除法运算法则是解题的关键．6.小强上山和下山的路程都是S 千米，上山的速度为1v 千米时，下山的速度为2v 千米时，则小强上山和下山的平均速度为（）A ．122sv v +千米/时B ．122sv v +千垙时C ．12ss s v v +千时D ．12122v v v v +千米/时【答案】D【分析】先表示出上山时间与下山时间，然后根据总路程除以总时间，即可求解．【详解】解：依题意，上山所用时间为：1Sv ，下山所用时间为：2S v ，∴小强上山和下山的平均速度为()1212121212222v v SSS Sv v S v v v v v v ==+++，故选：D ．【点睛】本题考查了列代数式，分式的加减运算，根据题意列出代数式是解题的关键．7.（2023年上海民办华育期中真题）下列分式从左到右变形错误的是（）A ．155c c =B ．3344b a a b +=+C ．11a b b a=---D ．2242442a a a a a --=+++【答案】B【分析】根据分式的基本性质进行计算即可解答．【详解】解：A 、155c c =，故A 不符合题意；B 、3344b a a b+≠+，故B 符合题意；C 、11a b b a=---，故C 不符合题意；D 、2224(2)(2)244(2)2a a a a a a a a -+--==++++，故D 不符合题意；故选B ．【点睛】本题考查了分式的基本性质，解题的关键是熟练掌握分式的基本性质，分式的分子和分母同时乘以或除以同一个不为0的整式，分式的值不变．8.对于任意的x 值都有()()272121x M Nx x x x +=++-+-，则M ，N 值为（）A ．1M =，3N =B ．1M =-，3N =C ．2M =，4N =D ．1M =，4N =【答案】B【分析】对等式右边通分并进行加法运算，再根据对应项系数相等列方程组求解即可．【详解】解：∵()()()()()()()()()()12227212121M x N x M N x M N x x x x x x x -++++-++==+-+-+-，∴227M N M N +=⎧⎨-+=⎩，解得：13M N =-⎧⎨=⎩．故选：B ．【点睛】本题考查分式的加法，二元一次方程组．掌握分式的加减运算法则是解题的关键．原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！119.当x ________时，分式226xx -有意义．【答案】3≠【分析】根据分式有意义的条件：分母0≠，进行求解即可．【详解】解：依题意得：260x -≠．解得：3x ≠．故答案是：3≠．【点睛】本题考查了分式有意义的条件，熟练掌握分式有意义的条件：分母不等于0，是解题的关键．10.（2023年上海兰生复旦中学月考）约分：221827xyx y -=______．【答案】23xy-【分析】根据分式的约分解答即可．【详解】解：221829227393xy xyx y xy xy xy ⋅-=-=-⋅．故答案为：23xy -．【点睛】本题主要考查了分式的约分，掌握分式的基本性质是解答本题的关键．11.化简：2211a a a -+-÷()21a -＝_____．【答案】11a +【详解】解：()222111a a a a -+÷--()()()211111a a a a -=⨯-+-11a =+故答案为：11a +【点睛】此题考查了分式的除法运算，熟练掌握除法法则是解题的关键．12.若分式222x x x ---的值为0，则x 的值为_______．【答案】2-【分析】根据分式的值为0的条件，即可求解．【详解】解：由分式的值为零的条件得：20x -=，且()()22210x x x x --+-=≠，解得2x =-，故答案为：2-．【点睛】本题考查了分式的值为零的条件．若分式的值为零，需同时具备两个条件：①分子的值为0，②分母的值不为0，这两个条件缺一不可．13.（2023年上海兰生复旦中学月考）分式261812a a a -+，24(1)b a -，23(2)c a -的最简公分母是__.【答案】()()221212a a ﹣﹣/()()221221a a ﹣﹣【分析】根据最简公分母的定义解决此题.【详解】解：()()()2261812632612a a a a a a ++﹣＝﹣＝﹣﹣ ，根据最简公分母的定义，这三个分式的最简公分母为()()221212aa ﹣﹣，故答案为：()()221212a a ﹣﹣．【点睛】本题主要考查最简公分母的定义，熟练掌握最简公分母的找法是解决本题的关键.14.如图，一个长、宽、高分别为a ，b ，2r 的长方体纸盒装满了一层半径为r 的小球，则纸盒的空间利用率（小球总体积与纸箱容积的比）为______（结果保留π，球体积公式343V r π=）．【答案】6π【分析】由题意可知：小球的直径为2r ，每个小球的体积为343V r π=，计算小球的总数，就可以算出小球的总体积，算出长方体纸盒的体积为；根据纸盒空间利用率为小球总体积与纸箱容积的比即可解答；【详解】由题意可知：小球的直径为2r ，每个小球的体积为：343V r π=沿长边摆放了2a r 个小球，沿宽摆放了2b r个小球；所以小球的总数为：2·224a b ab r r r =原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！13所以小球的总体积为：324·343ab rab r r ππ=长方体纸盒的体积为：22ab r abr⨯=所以纸盒空间利用率为：326abr abr ππ=故答案为：6π．【点睛】本题考查了圆，两圆相切的性质，如果两圆相切，那么连心线必经过切点，也考查了分式的运算．15.计算：2a b b a b++=-______．【答案】2-a a b【分析】根据分式的运算求解即可．【详解】解：原式2()()a b a b b a b a b-+=+--222a b b a b-+=-2a a b=-．故答案为：2-a a b．【点睛】此题考查了分式的混合运算，解题的关键是熟练掌握分式的有关运算法则．16.（2023年上海兰生复旦中学月考）先化简，再求值：222112111x x x x x x ⎛⎫-+÷ ⎪-+--⎝⎭，其中x 是满足条件11x -≤≤的整数．【答案】1x，1-【分析】先对分式进行化简，然后根据11x -≤≤及分式有意义的条件可进行代值求解．【详解】解：222112111x x x x x x ⎛⎫-+÷ ⎪-+--⎝⎭()()()22111111x x x x xx ⎡⎤+-=-⨯⎢⎥-⎥⎣⎦--⎢211111x xx x x -⎛⎫=-⨯ ⎪-⎭+-⎝211x x x x-=⨯-1x=；∵x 是满足条件11x -≤≤的整数，且0x ≠且1x ≠，∴=1x -，∴原式1=-．【点睛】本题主要考查分式的化简求值，熟练掌握分式的混合运算法则是解题的关键，注意分式有意义的条件．17.约分：(1)262ab b-；(2)22348a b a b--；(3)22222a ab a b ab ++；(4)22222a a b ab b -++．【答案】(1)3ab-(2)2b a (3)1b (4)a ba b-+【分析】（1）分子分母约去2b 即可；（2）分子分母约去24a b 即可；（3）首先把分子分母分解因式，然后再约去分子分母的公因式()2a a b +即可；（4）首先把分子分母分解因式，然后再约去分子分母的公因式()a b +即可．【详解】（1）262ab b-3ab =-；（2）22348a b a b--2b a=；（3）22222a ab a b ab ++()()22a a b ab a b +=+1b =；原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！15（4）22222a a b ab b -++()()()2a b a b a b +-=+a b a b -=+．【点睛】此题考查了分式的约分，解题的关键是熟练掌握分式的基本性质．18.当x为何整数时，(1)分式421x +的值为正整数；(2)分式21x x +-的值是整数．【答案】(1)0(2)2或0或4或2-【分析】（1）若使该式的值为正整数，则()21x +能够被4整除，所以21x +可以为1，2，4；即0x =，0.5，1.5；由x 为整数得，0x =即可；（2）分式21x x +-进行变形，化为311x +-，若要使21x x +-值为整数，则31x -的值一定是整数，则1x -一定是3的约数，从而求得x 的值．【详解】（1）解：若使该式的值为正整数，则()21x +能够被4整除，21x ∴+可以为1，2，4，x ∴=，0.5，1.5，x 为整数，0x ∴=；（2）解：21331111x x x x x +-+==+---，21x x +- 的值为整数，且x 为整数；1x ∴-为3的约数，1x ∴-的值为1或1-或3或3-；x ∴的值为2或0或4或2-．【点睛】此题考查了分式的值，分式的加减，解决此题的关键是要熟练掌握分式的加减法法则．1.下列各式中，是分式的是（）A ．132x +B ．3m n+-C ．33x +D ．1x -【答案】C【分析】根据分式的定义即可判断．【详解】解：A 、选项中分母中不含有字母，故此项不符合题意；B 、选项中分母中不含有字母，故此项不符合题意；C 、选项中3和3x +都为整式，且分母中含有字母，故此项符合题意；D 、选项中分母中不含有字母，故此项不符合题意；【点睛】本题考查了分式的概念及相关的基础问题，熟练掌握分式的定义：一般地，如果A 、B （B 不等于零）表示两个整式，且B 中含有字母，那么式子A B就叫做分式，是解此题的关键．2.如图，约定：上方相邻两数之和等于这两数下方箭头共同指向的数．下列判断正确的是（）结论I ：若n 的值为5，则y 的值为1；结论Ⅱ：x y +的值为定值；结论Ⅲ：若31m n x -=，则y 的值为4或1．A ．I ，Ⅲ均对B ．Ⅱ对，Ⅲ错C ．Ⅱ错，Ⅲ对D ．I ，Ⅱ均错【答案】B【分析】先由题意得到232x y m x y n +=⎧⎨+=⎩①②，8m n +=，然后解方程组得到234n m x m n y -⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，当5n =时，3m =，则此时33514y ⨯-==，即可判断I ；+①②得448x y +=，即可判断②；根据1的任何次方为1，1-的偶次方为1，非零底数的0次方为1，三种情况讨论求解即可判断Ⅲ．【详解】解：由题意得，232x y m x y n +=⎧⎨+=⎩①②，8m n +=，原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！17-②①得2x n m =-，解得2n m x -=，把2n m x -=代入①得22n m y m -+=，解得34m n y -=，∴方程组的解为234n m x m n y -⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，∵8m n +=，∴当5n =时，3m =，则此时33514y ⨯-==，故结论I 正确；+①②得448x y +=，∴2x y +=，故结论Ⅱ正确；当1x =时，1y =，此时满足31m n x -=；当30m n -=时，则3m n =，此时62m n ==，，∴2x =-，4y =，此时满足31m n x -=；当=1x -时，则3y =，此时123513233m n =-+⨯=⎧⎨=-⨯+⨯=⎩，∴35334m n -=-⨯=-，此时满足31m n x -=，综上所述，若31m n x -=，则y 的值为4或3或1，故结论Ⅲ错误，故选B ．【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组和二元一次方程的解，零指数幂和负整数指数幂，熟练掌握相关知识是解题的关键．3.已知13,x x -=则221x x+=___．【答案】11【分析】由13,x x -=两边平方可得22129,x x-+=移项即可的结果．【详解】解：13,x x -= 22129,x x ∴-+=22111,x x ∴+=故答案为：11.【点睛】本题主要考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式的变形推导是解此题的关键．4.已知122b a -=，则234436a ab b ab a b+--+的值为______．【答案】72-【分析】根据已知条件得出22a b ab -=，代入分式进行计算即可求解．【详解】解：∵122b a-=，∴22a b ab-=即22a b ab -=，∴()()223234437436432462a b ab a ab b ab ab ab a b ab a b ab ab -++-+===--+---，故答案为：72-．【点睛】本题考查了分式的加减以及分式的求值，得出22a b ab -=是解题的关键．5.计算1x a +•212a x-的结果是_____．【答案】12a -【分析】先将原式进行因式分解，再进行分式的乘法运算，化简求值就可．【详解】解：原式＝()()+1112a a x a x -⋅+＝12a -，故答案为：12a -．【点睛】本题考查分式的乘法运算，解题的关键是熟练运用分式的乘法运算，本题属于基础题型．6.计算（1）2222452343a b c d abc cd ab d⋅÷；（2）22819369269a a a a a a a --+÷⋅++++；（3）22233x y z ⎛⎫- ⎪⎝⎭；（4）222255a a a b b b ⎛⎫-⎛⎫÷⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．【答案】（1）252b ；（2）2-；（3）424x y z；（4）54ab 【分析】（1）按照分式乘除混合运算法则进行计算即可．原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！19（2）按照分式乘除运算法则进行计算即可．（3）分式的分子分母分别平方即可．（4）按照分式混合运算法则进行计算即可．【详解】（1）2222222222223222452453605==343342242a b c d abc a b c d da bc d cd ab d cd ab abc a b cd b ⋅÷=⋅⋅（2）222(9)(9)2(3)81933=26926999(3)aa a a a a a a a a a a a a +---++÷⋅⋅⋅=-++++-+++（3）2224243=3x y z x y z ⎛⎫- ⎪⎝⎭（4）22222242255==55454a a a a b a b b b b a b ab⎛⎫-⎛⎫÷⋅⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【点睛】本题考查分式的乘除法，熟练掌握运算法则是解题关键．7.（1）化简：()()()22222a b a b a b +--+；（2）先化简222313(9369x xx x x x --÷---+，然后x 从-3、0、1、3中选择一个合适的数代入求值．【答案】（1）2510b ab +；（2）13x -+；14-.【分析】（1）先去括号，然后合并同类项，即可得到答案；（2）先化简分式，然后将x=1代入求值，即可得到答案.【详解】解：（1）()()()2222a b a b a b +--+=4a 2+b 2+4ab-2（2a 2-2b 2-3ab ）=4a 2+b 2+4ab-4a 2+4b 2+6ab=5b 2+10ab ；（2）222313()9369x xx x x x --÷---+=22233(3)()99(3)x x x x x x +--÷---=3(3)(3)x xx x x--⨯+-=13x -+；∵x 2-9≠0，x-3≠0，x 2-3x≠0，∴3x ≠±，0x ≠，当x=1时，原式=11134-=-+；【点睛】本题考查了整式的化简与分式的化简求值，熟练运用完全平方公式与分解因式是解题的关键．。
分式分式及其基本性质分式
求解最值问题
通过建立分式方程，可以求解某 些数学问题的最值。
简化计算
分式方程可以用于简化某些计算 ，例如分数计算等。
05
分式的应用
分式在生活中的应用
物理学
分式在物理学中被广泛应用，例如用 于描述物体的运动状态、力的分解和 合成、能量转换等。
工程学
在工程学中，分式用于描述各种物理 量之间的关系，如电阻、电容、电感 等。
分式的乘除法
概念
分式的乘除法是指将两个或多个分式进行乘除运算的过程。
运算法则
分式的乘法是将分式的分子与分子相乘，分母与分母相乘；分式的除法是将除式 的分子与分母相乘，被除式的分子与分子相乘，分母与分母相乘。
分式的混合运算
概念
分式的混合运算是指将加减乘除等运算结合在一起进行计算的过程。
运算法则
混合运算先乘除后加减，有括号的先算括号。
分式在数学中有广泛的应用，如解方 程、求导数、计算面积和体积等等。
02
分式的基本性质
分式的约分
分子和分母同时除以最大公约数，化简为最简分式。
约分可以化简分数，使其更易于比较大小或计算。
分式的通分
01
找到几个分式的最简公分母。
02
将各个分式的分子与最简公分母相乘，得到通分后的分式。
通分可以将几个分式化为同分母分式，便于比较大小或进行运
分式的符号
一个分式可以表示成 a/b 的形式，其中 a 和 b 都是整式，b 不等于 0。
如果 b 是正数，那么分式的值是正数或负数 ；如果 b 是负数，那么分式的值是正数或负
数，具体取决于 a 和 b 的3
分式是一种数学运算的结果，表示两 个整式相除的结果。
分式的值可以是一个具体的数字，也 可以是一个未知数。
分式的性质与应用
分式的性质与应用分数是数学中的一种特殊的数，可以用于表示一部分或一份。
它的形式是a/b，其中a称为分子，b称为分母，a和b都是整数且b不等于0。
分式的性质与应用是数学知识的重要内容，本文将从分式的基本性质、分式的四则运算、分式在方程与不等式中的应用等方面进行探讨。
一、分式的基本性质1.分式的值域与定义域分式的值域是指分式所能取的实数的集合，而定义域是指分式中变量可以取的所有实数的集合。
对于分式a/b，它的值域是除数不为零的实数集合，即除数b不等于0。
定义域是所有使得分母不为零的实数集合。
2.分式的约分分式的约分是指将分子和分母中的公因子约掉，使分式保持不变但分子和分母不再有公因子。
一般来说，我们可以将分式约分至最简形式，即分子与分母的最大公约数为1。
3.分式的整数部分和小数部分对于一个分式a/b，如果分子a能整除分母b，则该分式可以化简为一个整数；如果分子不能整除分母，则该分式的值是一个小数。
将小数部分转化为分数形式时，可以将小数位数乘以一个合适的倍数，然后将分子设置为小数位数乘以倍数，分母设置为10的小数位数乘以倍数次幂。
二、分式的四则运算1.分式的加法与减法分式的加法和减法要求两个分式的分母相同，将分子进行相应的加法或减法运算，保持分母不变。
如果分式的分母不同，需要找到它们的最小公倍数，并进行转化，然后进行相应的加法或减法运算。
2.分式的乘法与除法分式的乘法要求将两个分式的分子和分母分别相乘，得到的新分式即为所求的结果。
分式的除法可以转化为乘法，即将除法转化为乘法的倒数形式，然后进行分式的乘法运算。
三、分式在方程与不等式中的应用1.方程中的分式分式经常会在方程中出现，我们需要求出方程的解。
对于含有分式的方程，我们可以先化简方程，消去分式的分母，得到一个整式方程，然后求解整式方程得到解。
但要注意验证分式的定义域，排除不满足定义域的解。
2.不等式中的分式分式在不等式中也有重要的应用。
当分式为正数时，不等式的符号保持不变；当分式为负数时，不等式的符号取相反号。
分式知识点题型总结
分式知识点题型总结分式是数学中的一个重要概念，在代数运算和实际问题中都有广泛的应用。
下面我们来对分式的相关知识点和常见题型进行总结。
一、分式的定义形如\（＼dfrac{A}｛B}＼）（＼（A\）、＼（B\）是整式，且\（B\）中含有字母）的式子叫做分式。
其中\（A\）叫做分子，＼（B\）叫做分母。
需要注意的是：1、分式的分母不能为零，否则分式无意义。
2、分式的值为零的条件是分子为零且分母不为零。
二、分式的基本性质分式的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不为零的整式，分式的值不变。
即：＼（＼dfrac{A}｛B} ＝＼dfrac{A ＼times M}｛B ＼times M}＼），＼（＼dfrac{A}｛B} ＝＼dfrac{A ＼div M}｛B ＼div M}＼）（＼（M\）为不为零的整式）三、分式的约分与通分1、约分：把一个分式的分子和分母的公因式约去，叫做分式的约分。
约分的关键是确定分子和分母的公因式。
2、通分：把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分。
通分的关键是确定几个分式的最简公分母。
四、分式的运算1、分式的乘除乘法法则：＼（＼dfrac{a}｛b} ＼times ＼dfrac{c}｛d} ＝＼dfrac{ac}｛bd}＼）除法法则：＼（＼dfrac{a}｛b} ＼div ＼dfrac{c}｛d} ＝＼dfrac{a}｛b} ＼times ＼dfrac{d}｛c} ＝＼dfrac{ad}｛bc}＼）2、分式的加减同分母分式相加减：＼（＼dfrac{a}｛c} ±＼dfrac{b}｛c} ＝＼dfrac{a ± b}｛c}＼）异分母分式相加减：先通分，化为同分母分式，再按照同分母分式的加减法法则进行计算。
五、分式方程1、定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程。
2、解分式方程的步骤：去分母，将分式方程化为整式方程。
解整式方程。
验根，将求得的未知数的值代入原分式方程的分母，若分母不为零，则是原方程的解；若分母为零，则不是原方程的解，应舍去。
分式法则
分式定义：一般地，如果A,B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子A/B叫做分式。
分式A/B中，A叫做分子，B叫做分母。
分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分尸的值不变。
用字母表示为A/B=(A*C)/(B*C), A/B=(A÷C)/(B÷C)(C≠0)。
分式法则一、乘法法则分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。
用字母表示(a/b)*(c/d)=(a*c)/(b*d);二、除法法则分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与除式相乘。
用字母表示（a/b）÷(c/d)= (a/b)*(d/c)= (a*d)/(b*c);知识拓展：（1）分式乘、除法的运算按从左到右的顺序进行，结果如果不是最简分式，要进行约分。
（2）根据分式乘法法则有：①分式与分式相乘时，如果分子和分母是多项式，那么先分解因式，再看能否约分，然后相乘；②整式与分式相乘时，可以直接把整式看成分母是1的代数式，再与分式相乘；③分式的乘法实质就是约分，所以计算结果如能约分的，必须约分，或通过分解因式后能约分的也要约分，必须把结果化为最简分式或整式。
（3）根据法则我们知道，分式的除法需转化成乘法，转化过程实际上是“一变一倒”的过程，即除号变为乘号，除式的分子与分母颠倒位置。
当除式是整式时，可以将整式看成分母是1的代数式进行运算。
分式的乘方分式乘方要把分子、分母分别乘方。
用字母表示分式的乘方法则是：知识拓展：（１）分式的乘方法则是由乘方的意义和分式的乘法法则推导出来的。
（２）分式的乘方法则中“把分子、分母分别乘方”，是把分子、分母分别看做一个整体，如分式的加减法一、同分母分式加减法法则。
同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减。
用字母表示为：（a/c）+（b/c）=（a+b）/c。
二、异分母分式加减法法则。
异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减。
分式知识点总结及例题
分式知识点总结及例题一、分式的概念分式是指以分数的形式表示的数，通常由分子和分母两部分组成，分子表示分数的一部分，分母表示分数的总份额。
分式通常用来表示比例、部分和整体的关系。
二、分式的基本性质1. 分式的分子和分母可以分别约分。
2. 分式的值与分子和分母的乘除有关。
3. 分式的运算可以转化为通分和通分的计算问题。
三、分式的化简分式的化简是指将分式表示的数化为最简形式的操作，主要包括分子分母约分、常数和分式的转化等。
四、分式的加减法分式的加减法是指对分式的分子和分母进行通分后，进行加减运算的操作。
五、分式的乘法和除法分式的乘法是指对分式的分子和分母分别进行乘法运算后，化简为最简形式的操作。
分式的除法是指对分式进行倒数运算，然后化简为最简形式的操作。
六、分式的应用分式在实际问题中有着广泛的应用，如物体的比例尺、物体的比重、长方形的面积和周长等问题都可以用分式进行表示和计算。
七、例题1. 化简分式$\frac{6}{8}$解：分子和分母可以同时除以2，得到$\frac{6}{8}=\frac{3}{4}$，所以$\frac{6}{8}$的最简形式为$\frac{3}{4}$。
2. 计算$\frac{3}{5}+\frac{2}{3}$解：先将两个分式通分，得到$\frac{3}{5}+\frac{2}{3}=\frac{9}{15}+\frac{10}{15}=\frac{19}{15}$，再化简得$\frac{19}{15}=1 \frac{4}{15}$。
3. 计算$\frac{5}{6} \times \frac{2}{3}$解：将两个分式分别相乘得到$\frac{5}{6} \times \frac{2}{3}=\frac{10}{18}$，再将$\frac{10}{18}$化简为最简形式，得$\frac{10}{18}=\frac{5}{9}$。
4. 计算$\frac{4}{5} \div \frac{2}{3}$解：将两个分式进行倒数运算，得到$\frac{4}{5} \div \frac{2}{3}=\frac{4}{5} \times\frac{3}{2}=\frac{12}{10}=1 \frac{2}{10}=1 \frac{1}{5}$。
分式基本概念与运算法则
乘方与开方的混合运算
乘方与开方的 混合运算是指 将分式的乘方 和开方进行混
合运算
混合运算的步 骤包括：先乘
方，后开方
混合运算的结 果是一个新的
分式
混合运算需要 注意的问题包 括：分式的符 号、分母的变
化等
分式与整式的运算
05
顺序
先乘除后加减的顺序
分式与整式的运算顺序： 先乘除后加减
乘除法运算：先计算乘除 法，再计算加减法
先进行分数与小数的运算
分数与小数的运算顺序：先分数后小数
分数与小数的运算方法：分数与小数可以相互转化，然后进行运算
分数与小数的运算技巧：利用分数与小数的性质和规律，简化运算过 程 分数与小数的运算应用：在实际问题中，分数与小数的运算可以解 决很多问题
先进行根式与分式的运算
根式与分式的运算顺序：先根式后分式 根式与分式的运算方法：根式运算法则、分式运算法则 根式与分式的运算技巧：简化、合并、化简 根式与分式的运算实例：具体例子，如根式与分式的加减乘除运算
乘除混合运算的 注意事项：注意 运算顺序，避免 错误
乘除混合运算的 应用：解决实际 问题，如计算面 积、体积等
04
分式的乘方与开方
分式的乘方法则
分式的乘方： 分式的分子 和分母分别 乘方
分式的开方： 分式的分子 和分母分别 开方
分式的乘除： 分式的分子 和分母分别 乘除
分式的加减： 分式的分子 和分母分别 加减
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分式基本概念与运算法则
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目 录
01 分 式 的 定 义 与 性 质 02 分 式 的 加 减 法 03 分 式 的 乘 除 法 04 分 式 的 乘 方 与 开 方 05 分 式 与 整 式 的 运 算 顺 序02分式的加减法
分式知识点
分式知识点一、分式定义形如AB，A、B是整式，B中含有未知数且B不等于0的式子叫做分式。
其中A叫做分式的分子，B叫做分式的分母。
二、分式的基本性质（1）分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变。
（2）分式中的符号法则：分子、分母、分式本身同时改变两处的符号，分式的值不变。
三、最简分式一个分式的分子与分母没有公因式时，叫最简分式。
和分数不能化简一样，叫最简分数。
四、最简公分母（1）最简公分母的定义通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母。
（2）一般方法①如果各分母都是单项式，那么最简公分母就是各系数的最小公倍数，相同字母的最高次幂，所有不同字母都写在积里。
②如果各分母都是多项式，就可以将各个分母因式分解，取各分母数字系数的最小公倍数，凡出现的字母（或含字母的整式）为底数的幂的因式都要取最高次幂。
五、分式有、无意义的条件1、分式有意义的条件（1）分式有意义的条件是分母不等于零。
（2）分式无意义的条件是分母等于零。
（3）分式的值为正数的条件是分子、分母同时大于零。
（4）分式的值为负数的条件是分子、分母异号。
2、分式的值为零的条件分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零。
注意：“分母不为零”这个条件不能少3、分式无意义的条件分式有意义的条件是分母等于零六、分式的化简求值先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值。
在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简。
化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式。
最简分式的定义：一个分式的分子与分母没有公因式时，叫最简分式。
分数不能化简一样，叫最简分数。
七、分式的通分与约分通分（1）通分的定义：把几个异分母的分式分别化为与原来的分式相等的同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分。
（2）通分的关键是确定最简公分母。
①最简公分母的系数取各分母系数的最小公倍数。
第一讲分式的基本性质与运算
分式的基本性质和运算D 、士 11 一2.如果分式 的值为负数，则的x 取值范围是（）1 -2x1111x B 、 x C 、 x D 、 x -2 2 2 22、要分式的值为零，需要同时满足两项条件:（1）分式的分母的值不等于零； （2）分子的值等于零. 【练习】：x 亠a1.分式 中，当X 二-a 时，下列结论正确的是（3x —1A 、分式的值为零3. x 取什么值时，分式（1）无意义？（ 2）有意义？ （3）值为零?（x —2）（x+3）4. 2001-2003年某地的森林面积（单位：公顷）分别是3,S 2,S 3 , 2003年与2002年相比，森林面积增长率提高【知识归纳】 1、分式概念: 般地，如果 A , B 表示两个整式，并且 B 中含有字母，那么式子AA 叫做分式. B注意：（1）分母中应含有字母; （2）分母的值不能为零.（分式的分母表示除数，由于除数不能为 0,所以分式的分母不能为0，即当B = 0A A 时，分式A 才有意义；当B=0时，分式-无意义）B B 【例】：1 •式子①-② 亠■上③④亠 中，是分式的有（ x 5 2 —a 7.-1A 、①②B 、③④C 、①③D 、①②③④ 2.当x 取什么值时，下列分式有意义. (1) 2x (2)飞 x 【练习】： 1.若分式 ——无意义，则x 的值是（x -1C 、若a = -丄时,分式的值为零3 D 、若a =1时,分式的值为零32. (1) 当4x 3时,分式 ------ 的值为 x —51. (2 )当1时，分式 -----_x 5的值为正•C 、-1 B 、分式无意义 x -5了多少？（用式子表示） 5•学校用一笔钱买奖品，若以1支钢笔和2本日记本为一份奖品，则可买60份奖品；若以1支钢笔和3本日记本为一份奖品，则可买 50份奖品，那么这笔钱全部用来买钢笔可以买多少支？ 3、分式的基本性质 （或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变.用式子表示是:【例】约分:【练习】：11 .对于分式永远成立的是（ ）1 21X +11 X -1 1 -1A 、B 、22 D 、--- -----------------x -1 x 1 x-1 x -1x -1(X-1)X -1 x -32•下列各分式正确的是()2 2 2 2b b a+b 丄「 a —2a+1 彳3x —4y 1A 、 2B 、 a b c 、1「a D 、2a a a +b1 -a8xy —6x 2x2 23•若4x =5y(y 鼻0),则x ；y 的值等于 ______________yx - 1-一1的结果是 1 -x5•将分式的分子与分母中各项系数化为整数6•把下列各式约分：x ■ v7.已知：分式的值是m ,如果分式中x, y 用它们的相反数代入,1 _xy&有四块小场地：一块边长为 a 米的正方形，一块边长为 b 米的正方形，两块长 a 为米，宽为b 米的长方形.另 有一块大长方形场地，它的面积等于上面四块场地面积的和，它的长为2 （ a +b ）米，试用最简单的式子表示出分式的分子与分母同乘以-35a 4b 3c 21a 2b 4d2x(x — y)3 4y(y-x)2 (3)X 2 -(y -Z)2 (x y)2-z 24•化简分式a %3 1. a b 3(1) 4a 2b 3 30ab 4m 2 -2m 1 1 _m 2(a - b)2 (b-a)4那么所得的值为n 则m, n 的关系是什么?大长方形场地的周长.【例】通分：方法：①最简公分母的系数，取各分母系数的最小公倍数；②最简公分母的字母，取各分母所有字 母的最高次幕的积。
分式知识点总结
分式知识点总结分式是数学中的一个重要概念，它在实际应用中十分常见。
本文将对分式的定义、基本性质以及常见的操作进行总结和讲解。
一、分式的定义分式由分子和分母组成，通常形式为a/b，其中a和b为整数，b不等于0。
分子表示了被分割的数量，分母表示了每份的份数。
二、分式的基本性质1. 分式的值是一个有理数，可以是正数、负数或零。
2. 分式的值可以是一个整数、真分数或带分数。
3. 分式可以化简，即将分子和分母同时除以一个公因数，得到一个等价的分式。
4. 分式可以相互比较大小，分子相乘，分母相乘，得到的积的大小关系不变。
三、分式的运算1. 分式的加法和减法：- 分式加法：将两个分式的分母找到一个公倍数，分别乘以这个公倍数后得到新的分数，然后将它们的分子相加，分母保持不变。
- 分式减法：与分式加法类似，将两个分式的分母找到一个公倍数，分别乘以这个公倍数后得到新的分数，然后将它们的分子相减，分母保持不变。
2. 分式的乘法和除法：- 分式乘法：将两个分式的分子相乘，分母相乘，得到的分子作为新分数的分子，得到的分母作为新分数的分母。
- 分式除法：将第一个分式的分子与第二个分式的分母相乘，作为新分数的分子；将第一个分式的分母与第二个分式的分子相乘，作为新分数的分母。
3. 分式的化简：- 将分式的分子和分母同时除以一个公因数，直到分子和分母没有公因数为止，得到一个等价的分式。
四、分式的应用场景1. 比例和比例分配问题：比例可以用分式来表示，通过求解分式可以解决比例分配问题。
2. 股票涨跌问题：利用分式可以计算股票的涨跌幅度。
3. 质量问题：分式可以用来表示物体的质量与体积之间的关系，解决质量问题。
通过以上对分式的定义、基本性质以及常见的操作进行总结和讲解，相信读者对分式的概念及其应用有了更深入的理解。
在实际问题中，对分式的灵活运用可以帮助我们更好地解决各种计算和应用问题。
分式的基本性质及其运算
分式的基本性质及其运算【知识点归纳】知识点一：分式的定义一般地，如果A，B表示两个整数，并且B中含有字母，那么式子叫做分式，A为分子，B为分母。
知识点二：与分式有关的条件①分式有意义：分母不为0（）②分式无意义：分母为0（）③分式值为0：分子为0且分母不为0（）④分式值为正或大于0：分子分母同号（或）⑤分式值为负或小于0：分子分母异号（或）⑥分式值为1：分子分母值相等（A=B）⑦分式值为-1：分子分母值互为相反数（A+B=0）知识点三：分式的基本性质分式的分子和分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变。
字母表示：，，其中A、B、C是整式，C0。
拓展：分式的符号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变，即注意：在应用分式的基本性质时，要注意C0这个限制条件和隐含条件B0。
知识点四：分式的约分定义：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分。
步骤：把分式分子分母因式分解，然后约去分子与分母的公因式。
注意：①分式的分子与分母为单项式时可直接约分，约去分子、分母系数的最大公约数，然后约去分子分母相同因式的最低次幂。
②分子分母若为多项式，约分时先对分子分母进行因式分解，再约分。
最简分式的定义：一个分式的分子与分母没有公因式时，叫做最简分式。
知识点五：分式的通分①分式的通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母分式，叫做分式的通分。
②分式的通分最主要的步骤是最简公分母的确定。
最简公分母的定义：取各分母所有因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母。
确定最简公分母的一般步骤：Ⅰ、取各分母系数的最小公倍数；Ⅱ、单独出现的字母（或含有字母的式子）的幂的因式连同它的指数作为一个因式；Ⅲ、相同字母（或含有字母的式子）的幂的因式取指数最大的。
Ⅳ、保证凡出现的字母（或含有字母的式子）为底的幂的因式都要取。
注意：分式的分母为多项式时，一般应先因式分解。
分式的基本性质与运算
分式的基本性质与运算1. 分式的基本性质分式是数学中一种特殊的表示形式，由分子和分母组成，分子与分母之间用分数线分隔。
分式在代数运算中有着重要的地位，它具备以下基本性质：1.1. 分式的定义域分式的定义域是指使分式中的分母不为零的实数集合。
因为在分式运算中，分母为零的情况是不合法的，会导致分式无法计算。
所以在定义分式运算时，需要排除分母为零的情况。
1.2. 分式的约束条件分式的约束条件是指对分子和分母的进行约束，使分式保持在最简形式。
一个约束条件是分子与分母的最大公约数为1，即分子和分母没有共同的因子。
另一个约束条件是分式的分子没有负号，而负号只出现在分式的整体前面。
1.3. 分式的唯一性分式在满足定义域和约束条件的前提下，具备唯一性。
即给定一个分式，它的分子和分母确定后，分式的值也就确定了。
这个性质在分式的运算中是非常重要的，保证了分式的计算结果是确定的。
2. 分式的运算分式的运算包括加法、减法、乘法和除法四种基本运算。
下面分别对这四种运算进行讨论。
2.1. 分式的加法两个分式的加法可以通过通分的方式来实现。
通分是指使两个分式的分母相同，然后将它们的分子相加。
通分的方法是将两个分式的分母取最小公倍数，然后分别将分子乘以相应的倍数。
最后得到的分式就是它们的和。
2.2. 分式的减法分式的减法与加法类似，也可以通过通分来实现。
通分的方法与加法相同，只是将分子相减而不是相加。
最后得到的分式就是它们的差。
2.3. 分式的乘法分式的乘法可以通过将两个分式的分子相乘，分母相乘来实现。
最后得到的分式就是它们的乘积。
2.4. 分式的除法分式的除法可以通过将一个分式的分子乘以另一个分式的倒数来实现。
倒数是指将分子和分母交换位置得到的新的分式。
最后得到的分式就是它们的商。
3. 分式的简化与展开在分式的运算中，有时需要将分式进行简化来得到最简形式。
分式的简化可以通过约分来实现，即将分子和分母同时除以它们的最大公约数。
七年级下册数学分式
七年级下册数学分式
一、分式的基本概念与性质
1.分式的定义：分式是指一个含有两个数的表达式，其中分母不能为零。
分式的形式为a/b，其中a称为分子，b称为分母。
2.分式的基本性质：
（1）分式的分子与分母同时乘以（或除以）同一个非零整式，分式的值不变。
（2）分式的分子与分母同时加减同一个整式，分式的值不变。
（3）分式的分子与分母同时乘以（或除以）同一个有理数，分式的值不变。
二、分式的运算
1.分式加减法：分式加减法实质上是通分后的同分母分式的加减运算。
首先确定最简公分母，然后将各分式的分子按照最简公分母进行变换，最后进行加减运算。
2.分式乘除法：分式乘除法实质上是分子与分母的乘除运算。
分子与分母的乘法遵循分配律，除法则是分子与分母的乘法的逆运算。
3.乘法公式在分式中的应用：平方差公式、完全平方公式等乘法公式在分式运算中同样适用。
三、分式方程与不等式
1.分式方程的解法：先将分式方程转化为整式方程，然后求解整式方程，最后验根。
2.分式不等式的解法：与分式方程类似，先将分式不等式转化为整式不等式，然后解整式不等式，最后验根。
四、分式应用题
1.实际问题与分式的联系：许多实际问题都可以用分式来表示，如速度与时间的关系、单价与数量的关系等。
2.解题策略与方法：分析题目中的数量关系，将未知数用分式表示，然后建立分式方程或不等式，最后求解。
分式是七年级下册数学的重要内容，掌握分式的基本概念、运算方法、方程与不等式的解法以及应用题的解题策略，有助于提高我们的数学素养。
第5-6讲-分式的基本性质和运算
第5讲 分式的基本性质一、方法与技巧归纳1、分式的定义A 、B 都是整式，且B ≠0，就把A ÷B 表示成B A 的形式.如果B 中含有字母，式子BA就叫做分式.2、分式有意义、无意义或等于零的条件（1）分式有意义⇒分式的 不等于零； （2）分式无意义⇒分式的 等于 ；（3）分式的值等于零的条件⇒分式的 等于零且 不等于零. 3、分式的基本性质 4、最简分式一个分式的分子和分母没有公因式，这个分式叫做最简分式，也叫既约分式.二、专题剖析专题一：分式与最简分式的判别例题1：（1）在x 1，3a ，y x x -，a ab ，22-+x x ，π1+x ，)(41y x -，)(1b a y +，y x z 22-，b a b ab a +++222中，分式的个数有 个.（2）下列分式a c b 4122，x y y x ++2)(5，)(322b a b a +，b a b a --2422，2233b a b a ++，ab ba --中，最简分式的个数是 .专题二：分式的意义与分式值等于0的条件 例题2：当a 为何值时，分式)2(5)2(2a a a a +-有意义？值为零？例题3：当x 为何值时，下列分式有意义？（1）11-x （2）112-+x x （3）122+x x例题4：若分式1)1)(2(-+-x x x 的值为零，则x 的取值应为（ ）A.12-==x x 或B. 1-=xC. 1±=xD.2=x 【巩固练习】1.能使分式122--x xx 的值为零的所有x 的值是 .2.分式xx -+212中，当____=x 时，分式没有意义，当____=x 时，分式的值为零. 3.当________________x 时，分式8x 32x +-无意义. 4.当____=x 时，23-x x无意义，当____=x 时，这个分式的值为零. 5.要使分式11x x -+的值是0，则x 为 . 6.22456x x x -++=0，则x 为 . 7.若10ab a b +--=，试判断11a - ，11b +是否有意义. 8.当x 取何值时，下列分式的值为零.（1）212-+-x x x （2）34922+--x x x9.（七中嘉祥）若0)413(3212=+++--y y x x ，求代数式132123--+y x 的值. 专题三：分式的基本性质与约分1.下列等式成立的是 （ ）A.22m n m n =B.)0(≠++=a a m a n m nC.)0(≠--=a a m a n m nD.)0(≠=a ma na m n 2.如果把分式xyyx 2+中的x 和y 都扩大3倍，那么分式的值（ ） A.扩大3倍 B.缩小3倍 C.缩小6倍 D.不变 例题5：不改变分式的值，将下列各分式的分子与分母的系数都化成整数.（1）y x yx 81416131+- （2）b a b a 06.05.003.02.0+- 例题6：约分.（1）c ab bc a 2321525- （2）96922+--x x x （3）ay ax xy y x +++222 【巩固练习】 1.化简下列分式.（1）22969x x x --+ （2）22211x x x -+- （3）2242156x x x x --++（4）221620x x x -+- （5）()322332x x x x x --+<<--2.已知20x y -=，求2222323x xy y x xy y -++-的值.3.已知234x y z ==，求222xy yz zx x y z ++++的值. 4.已知4,3a b ab +==，求（1）11a b +； （2）b aa b+的值. 5.已知113x y -=，求535x xy yx xy y +---的值.6.已知2310a a -+=，求2421a a a ++的值.7.若x 为整数，使分式6321x x +-的值为整数，求x 的值. 8.试求分式226121022x x x x ++++的最小值.9.若1)1)(3()3(-=---x xx a x a 成立，求a 的取值.10.化简求值：)1999)(1998(1)3)(2(1)2)(1(1)1(1+++++++++++x x x x x x x x（其中x=10）第6讲 分式的运算一、方法与技巧归纳分式的运算法则1、分式乘法法则：bdacd c b a =⋅ 2、分式的除法法则：bcad c d b a d c b a =⋅=÷ 3、分式的乘方法则：n nn ba b a =)(4、同分母分式相加减法则：bca b c b a ±=± 5、异分母分式相加减法则：bdbcad bd ad d c b a ±==±二、专题剖析（一）、化简或计算：（点拨：一般先将分式的分子和分母分解因式，再进行运算．）1．22444122--⨯+--a a a a a ２．168422+--x x xx ，其中x =5.３．m n n n m m m n n m -+-+--2 ４. 21223933m m m -+--+ ５．11111x xx x x ⎛⎫-÷ ⎪--+⎝⎭ ６. xx x x x x x x 4)44122(22-÷+----+ ７．222142442x x x x x x x x ---⎛⎫-÷⎪++++⎝⎭，其中2210x x +-= 8．3,32,1)()2(222222-==+--+÷+---b a b a a b a a b ab a a b a a 其中 ９．先化简，再求值：22224421y xy x y x y x y x ++-÷+--，其中.1,12-=+=y x （二）、待定系数法： 已知:22)2(2)2(3-+-=-+x Bx A x x ，求A 、B 的值.（三）、裂项和添项法： 1、计算：2211132561x x x x x +-+++++ 2、已知0,0a b c abc ++=≠，求111111a b c b c a c a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值.（济南竞赛） （四）、反复利用已知条件：1、已知0abc ≠且a b c +=，求222222222222b c a c a b a b c bc ca ab+-+-+-++的值.（太原竞赛）2、已知a b cb c c a a b++---=0，求证：2220()()()a b c b c c a a b ++=--- （五）、与整数有关的分式求值： 1．已知x 为整数，且222218339x x x x ++++--为整数，求所有符合条件的x 的值.2．设一次函数11n y x n n =-+++（n 为正整数）的图象与坐标轴围成的三角形的面积为n s （n =1，2，3，…）,试求1232008s s s s ++++的值.分式的计算1、（09湖北）14)1(441222--⋅+÷++-a a a a a a2、（08南充）2292312aaa a a a --÷-+- 3、262--x x ÷ 4432+--x x x 4、（09成都）22221369x y x y x y x xy y +--÷--+ （六）其它情形1、（整数型）已知x 为整数 ，且918232322-++-++x x x x 也为整数，求所有符合条件的x 的值的和. 2、（单向型）先化简，再求值：22232232bab a b b ab b a a b a b +-÷+-⋅-，其中5=a ，25-=b 3、（条件变形型）已知的值求ba ba b ab a +-=-+,0622． 4、（整体代入型）已知a 2＋2a －1＝0，求分式24)44122(22+-÷++--+-a a a a a a a a 的值． 5、（倒数型）已知,1011x x x 2=++求1x x x 242++的值 【名校、名书、中考、竞赛在线】一、选择题:1.（2009 培优班）若的值则满足式cb a abc c b a c b a 111,8,0,,++==++（ ） A 、正数 B 、负数 C 、零 D 、正数或负数2．（七中）已知122432+--=--+x Bx A x x x ，其中A 、B 为常数，则4A －B 的值为（ ）A 、7B 、9C 、13D 、5 二、填空题：1.(1)263,____x x x -分式时当的值为负；(2)342-+x x 已知分式的值为非负数，x 的取值范围为 . 2.已知312x y z==，则222225x y z xy yz zx -+++= .3.（七中）已知:._________,214422是的取值范围则x x x x x -=+-- 4.（四中）若代数式4x 3x 2x 1x ++÷++有意义，则x 的取值范围是 . 5.（10成外）已知：311=-b a ，则分式bab a bab a ---+232的值为 .6.（09成外）已知x 为整数，且分式1222-+x x 的值为自然数，则x 的值为 .三、解答题：1．（09天府前沿）),0(072,0634≠=-+=--xyz z y x z y x 若求代数式的值222222103225zy x z y x ---+.2．（09乐山）若实数x y 、满足2690x x +=．求代数式2211yx y x y x y⎛⎫+÷ ⎪-+-⎝⎭的值．（要求对代数式先化简，再求值．）3.（08贵州）先化简：224226926a a a a a --÷++++，再任选一个你喜欢的数代入求值.。
第讲分式的基本性质及其运算
第3讲 分式的基本性质及其运算第一部分 知识要点一、分式的性质1. 形如A B（A 、B 是整式，且B 中含有字母，B ≠0）的式子叫做分式。
① 分式有意义⇔分母B ≠0②分式无意义⇔分母B=0③ 分式值为0⇔分子A=0且分母B ≠02. 分式的基本性质：分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变。
用式子表示为：MB M A M B M A B A ÷÷=⨯⨯=。
3. 最简分式就是分子、分母中不含有公因式的分式。
4. 分式的符号变号法则：分子、分母与分式本身的符号，改变其中任意两个，分式的值不变，用式子表示为：BA B A B A B A --=--=--=。
5. 约分是把分子、分母中的公因式约去的过程；通分是根据分式本身的性质，不改变分式的值，把几个分母不同的分式化为分母相同的分式的过程。
二、分式的运算1. 分式运算法则： ①bcad c d b a d c b a =⨯=÷ ②为正整数）n ba b a n nn ()(= ③bdbc ad bd bc bd ad d c b a ±=±=± ④)0()1(1≠==-a a a a p p p 2. 分式的乘除运算其实就是约分，约分时，分子、分母如果是多项式的，先因式分解再约分；分式的加减运算其实就是通分，通分的关键在于确定公分母。
3. 分式的加减乘除乘方混合运算顺序，应注意选择合适的运算律改变运算顺序以使运算简便三 分式方程1、分母里含有未知数的方程叫做分式方程。
解分式方程，主要是把分式方程转化为整式方程，通常的方法是去分母，并且要检验，但对一些特殊的分式方程，可根据其特征，采取灵活的方法求解2. 解分式方程组的基本思想是：化为整式方程（两种做法：去分母，换元；常见思路：取倒，方程叠加）。
3. 分式方程的应用主要是列方程解应用题。
做题步骤为：①审；②设；③列；④解；⑤检；⑥答。
分式 知识点及典型例题
分式知识点及典型例题正文：分式，又称有理数，是数学中的一个重要概念，它由分子和分母组成，表示两个数的比值关系。
在分式的运算中，我们需要了解一些基本知识点，并且通过典型的例题来加深理解。
一、分式的定义和基本性质分式可以用“a/b”的形式表示，其中a为分子，b为分母。
分子和分母都可以是整数、小数或者其他分式。
分式也可以是正数、负数或者零。
分式的基本性质有：1. 当分子为0时，分式的值为0，即0/b=0。
2. 当分母为1时，分式的值等于分子本身，即a/1=a。
3. 当分子和分母互为相反数时，分式的值为-1，即（-a）/a=-1。
二、分式的运算1. 分式的加减运算分式的加减运算遵循相同分母则分子相加减的原则。
具体步骤如下：（1）将两个分式的分母化为相同的分母；（2）将两个分式的分子按照相同分母相加减；（3）将结果化简为最简形式。
例如：计算1/3 + 1/4 - 1/6。
解：首先将三个分式的分母化为12，得到4/12 + 3/12 - 2/12，再将分子相加减，得到5/12。
2. 分式的乘除运算分式的乘除运算遵循分子相乘除，分母相乘除的原则。
具体步骤如下：（1）将两个分式的分子相乘或相除；（2）将两个分式的分母相乘或相除；（3）将结果化简为最简形式。
例如：计算2/3 × 5/8 ÷ 4/5。
解：根据乘除法的原则，分子相乘得到10，分母相乘得到24，再将结果化简为最简形式，得到5/12。
三、分式的简化分式的简化是将分子和分母的公因式约去，使其达到最简形式。
具体步骤如下：（1）求分子和分母的最大公因数；（2）将分子和分母分别除以最大公因数。
例如：将12/18简化为最简分式。
解：求12和18的最大公因数为6，将分子和分母都除以6，得到最简分式2/3。
四、分式的应用举例1. 问题：小明爸爸买了一块布长3米，要均分给他和他妹妹，他分到几分之几的布？解：设小明分到的布的长度为x米，他妹妹分到的布的长度为y米，则由题意可得分式x/y=3/2。
分式知识点总结
分式知识点总结分式是小学数学中一个重要的知识点，也是高中数学的基础。
分式的概念和应用广泛，是解决实际问题中常用的方法之一。
本文将从分式的定义、基本性质、运算法则以及应用等方面进行总结。
一、分式的定义分式是两个整数的比，由分子和分母两部分构成。
分子表示被除数，分母表示除数。
通常用a/b的形式表示，其中a为分子，b为分母。
二、分式的基本性质1. 分式的值可以是整数、小数、真分数或假分数，分式可以化简为最简形式。
2. 分式的值与分子和分母的关系密切相关，当分子增大而分母不变时，分式的值增大；当分子减小而分母不变时，分式的值减小。
3. 分式的值可以用图形来表示，例如在数轴上表示为一个点。
三、分式的运算法则1. 分式的加法和减法：分式的加法和减法归结为求他们的公共分母，将分子相加或相减即可。
例如：a/b + c/d = (ad+bc)/bda/b - c/d = (ad-bc)/bd2. 分式的乘法和除法：分式的乘法和除法的规则较为简单，直接将分子相乘或相除，分母相乘或相除即可。
例如：(a/b) × (c/d) = ac/bd(a/b) ÷ (c/d) = ad/bc3. 分式的混合运算：分式的混合运算可以结合加减乘除的运算法则来进行。
在计算过程中，首先进行括号内的运算，然后进行乘除运算，最后进行加减运算。
四、分式的应用分式可以应用于实际问题中，例如在计算比例、百分比、利润和折扣等方面。
1. 比例问题：比例可以表示为分式的形式，通过求解分式可以得到两个量的比值。
例如：甲乙两个人的身高比为3/5，已知甲的身高为150cm，求乙的身高。
2. 百分比问题：百分比可以表示为分式的形式，通过分式可以求解出百分比的具体数值。
例如：某商店举办打折促销活动，原价为120元的商品现在打8折，求折后的价格。
3. 利润和折扣问题：利润和折扣可以表示为分式的形式，通过求解分式可以得到具体的数值。
例如：某商品的进价为180元，利润率为20%，求售价；或者某商店举办折扣促销活动，折扣率为30%，求折后价格。
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分式的基本性质与运算温故知新1、如果（9n ）2=38，则n 的值是（ ） A ．4B ．2C ．3D ．无法确定2、下列计算正确的是（ ） A ．2x 3•3x 3=6x 9 B ．（2x 3）3=6x 9 C ．3x 8•4x 4=12x 12D ．x 5+y 5=（xy ）53、计算：﹣m 2•m 3•m 5= ．4、分解因式：x 3+2x 2y+xy 2= ．5、已知（x 2+mx+n ）（x 2﹣3x+2）中，不含x 3项和x 项，求m ，n 的值.课前热身一、分式的概念与分式有意义的条件 1、下列各式：（1﹣x ），，，，，其中分式共有（ ）A ．5个B ．4个C ．3个D ．2个 2、若分式有意义，则x 的取值范围是（ ）A ．x ＞1B ．x ＜1C ．x≠1D ．x≠0二、分式的基本性质 3、分式、、、、，中最简分式有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 4、约分：（1）acbc2 （2）2)(xy y y x5、通分：（1）bd c 2与243bac（2）2)(2y x xy +与22y x x -三、分式的运算6、计算：（1）291643a b b a ⋅ （2）y x a xy 28512÷（3）32223)3()2(b c d c ab -⋅- （4）a bc a cd + （5）2222235y x x y x y x ---+ （6）2123--+x x遗漏分析1、分式的概念与分式有意义的条件2、分式的基本性质：①分式的约分；②分式的通分3、分式的运算：①分式的乘除法；②分式的幂运算；③分式的加减法知识精讲精讲一 从分数到分式1、概念：一般地，如果A 、B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子BA叫做分式,分式BA中，A 叫做分子，B 叫做分母. 例1-1、下列那些是分式？ （1）s +227 （2）a -43 （3）a b （4）S V (5)542、分式的分母表示除数，由于分母不能为0，所以分式的分母不能为0，即当B≠0时，分式BA才有意义。
例1-2、下列分式中的字母满足什么条件时分式有意义? （1）x 32 （2）1-x x (3)b351- (4)y x y x -+精讲二 分式的基本性质1、分式的分子与分母乘（或除以）同用一个不等于0的整式，分式的值不变. 用式子表示为：C B C A B A ⋅⋅=， CB CA B A ÷÷=(C≠0) 例2-1、填空（1）y xy x (___)3= （2）ba ab 2(___)1= （3）(____)63322y x x xy x +=+ （4）ba ab a 22(___)2=- （b≠0） 2、约分：根据分式的基本性质，把一个分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分。
像这样分子，分母没有公因式的分式，叫做最简分式.分式的约分，一般要约去分子和分母所有的公因式，使得结果成为最简分式或者整式. 例2-2、约分：（1）acbc2 （2）2)(xy y y x + （3）22)(y x xy x ++ （4）222)(y x y x --3、通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分.注意：通分，要先确定各分式的公分母，一般取各分母的所有因式的最高次幂的积作为公分母，它叫做最简公分母.例2-3、通分： （1）ab x 与ac y （2）b a 223与cab b a 2- （3）52-x x 与53+x x（4）)2(+x a x 与)2(+x b y精讲三 分式的运算1、分式的乘除：（1）乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母. （2）除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘.上述法则可以用式子表示为： db c a d c b a ⋅⋅=⋅ cb da c db a dc b a ⋅⋅=⋅=÷例3-1、计算（1）2234x yy x ⋅ （2）cdb ac ab 4522223-÷ （3）291643a b b a ⋅ （4） y x axy 28512÷（3）分式的幂运算：分式乘方要把分子、分母分别乘方.即：nnn b a b a =)(例3-2、计算：（1）22)32(c b a - （2）324)32(z y x -（3）23332)2(2)(a c d a cd b a ⋅÷-2、分式的加减，分式的加减法法则：（1）同分母分式相加减，分母不变，分子相加减；（2）异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式再加减； 上述法则可用式子表示为cba cbc a ±=± bdbcad bd cb bd ad d c b a ±=±=± 例3-3、计算： （1）abca cd + （2）2222235y x x y x y x ---+ （3）2123--+x x （4）q p q p 3121-++3、整数指数幂，整数指数幂有以下运算性质： （1）nm n m a a a +=⋅ （m.n 都是整数）;（2）mnnm aa =)( （m.n 都是整数）;（3）nnn b a ab =)( （n 都是整数）; （4）nm nmaa a -=÷ （a≠0,m.n 都是整数）;（5）n nn ba b a =)( n 都是整数）;（6）n naa1=- （n 都是整数）; 注意：当0≠a 时，10=a .例3-4、计算:（1）52a a ÷- (2)223)(-a b(3)321)(b a - (4)32222)(---⋅b a b a变式2、用科学计数法表示下列数：（1）0.0000000001 （2）0.0012 （3）0.0000000345 （4）0.0000000108巩固练习1、在式子、、、中，分式的个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 2、若代数式有意义，则实数x 的取值范围是（ ）A ．x=0B ．x=4C ．x≠0D ．x≠43、约分：（1）﹣（2）4、通分：（1）和﹣（2）和5、计算：（1）÷（x ﹣3）•（2）23332)2(2)(a c d a cdb a ⋅÷-（3）2222235y x x y x y x ---+ （4）qp q p 321321-++6计算：（1）3132)(y x y x -- （2）32232)()2(b a c ab ---÷7、化简：．8、先化简，再求值：（+）÷，其中x=﹣1．课堂小结强化提升1、在代数式，，+，，中，分式有（ ）A．1个B．2个C．3个D．4个2、分式有意义，则x的取值范围是（）A．x≠2B．x≠﹣2 C．x=2 D．x=﹣23、分式的值为零，则x的值为（）A．0 B．2 C．﹣2 D．2或﹣24、下列各式与相等的是（）A．B．C．D．5、若分式化简为，则x应满足的条件是（）A．x≠﹣1或x≠0B．x≠﹣1 C．x≠﹣1且x≠0D．x≠0 6、下列分式是最简分式的是（）A．B．C．D．7、分式，，的最简公分母是（）A．（m+n）2（m﹣n） B．（m+n）3（m﹣n）C．（m+n）（m﹣n）D．（m2﹣n2）28、下列计算正确的是（）A．﹣2﹣2=0 B．C．3÷=1 D．52=20 9、约分：（1）（2）10、通分：（1）和﹣（2）和11、计算：（1）﹣﹣（2）﹣12、化简：÷（2x﹣）课后作业【第1、2天】1、若分式的值为0，则x的取值是（）A．x≠2B．x≠﹣1 C．x=2 D．x≠±12、当x≠﹣1时，对于分式总有（）A．=B．=C．=D．=3、分式：①，②，③，④中，最简分式有（）A．1个B．2个C．3个D．4个4、把分式，，进行通分，它们的最简公分母是（）A．x﹣y B．x+y C．x2﹣y2D．（x+y）（x﹣y）（x2﹣y2）5、已知，则的值是（）A．B．C．D．6、计算（﹣3a﹣1）﹣2的结果是（）A．6a2B．C．D．9a27、约分：（1）（2）8、通分：（1），（2），，．9、计算：（1）÷（2）÷（1+）10、先化简，再从﹣2，1，2中选择一个合适的数代入求值．11、先化简，再求值：（a ﹣）÷（），其中a 满足a 2﹣3a+2=0．【第7天】1、若分式的值为零，则x 的值为（ ） A ．0 B ．1 C ．﹣1D ．±1 2、对分式，，通分时，最简公分母是（ ） A ．24x 2y 3B ．12x 2y 2C ．24xyD ．12xy 2 3、约分： （1）c ab bc a 2321525- （2）96922++-x x x （3）y x y xy x 33612622-+-4、计算：（1）x y xy 32)3(2÷- （2）411244222--⋅+-+-a a a a a a（3）2123--+x x （4）q p q p 3121-++ 5、化简：÷÷。