高等代数07向量空间
高等代数知识结构
高等代数知识结构高等代数是数学中的一个重要分支，它研究向量空间和线性变换的性质和结构。
在高等代数中，学习者需要了解的主要知识点包括向量空间、矩阵、线性方程组、特征值和特征向量，以及代数学的应用等。
下面是对这些知识点的详细介绍。
1.向量空间向量空间是高等代数的基础概念之一、在向量空间中，有两个基本操作：向量加法和标量乘法。
向量加法满足交换律和结合律，标量乘法满足分配律。
向量空间还需要满足零向量的存在性和反元素的存在性，即对于任意向量v，存在一个向量-u，使得v+u=0。
向量空间还可以进一步研究其子空间，即一个向量空间V的子集W，如果W也满足向量加法和标量乘法的封闭性，那么W也是一个向量空间。
2.矩阵矩阵是高等代数中另一个重要的概念。
矩阵可以看作是一个由m行n 列元素组成的矩形阵列。
矩阵的运算包括矩阵加法、矩阵乘法、矩阵的转置等。
矩阵加法满足交换律和结合律，矩阵乘法满足分配律。
矩阵的转置操作是将矩阵的行变成列，列变成行。
3.线性方程组线性方程组是高等代数中的一个重要内容。
线性方程组可以看作是一系列线性方程的集合，其中每个线性方程由一系列未知数和一个常数项组成。
求解线性方程组的目标是找到满足所有方程的解。
线性方程组有两种形式：齐次线性方程组和非齐次线性方程组。
齐次线性方程组的常数项全为零，非齐次线性方程组的常数项至少有一个非零。
求解线性方程组可以通过消元法、矩阵法或特解法等多种方法。
4.特征值和特征向量特征值和特征向量是矩阵理论中的重要概念。
对于一个n阶方阵A，如果存在一个标量λ和一个非零向量v，使得Av=λv，则称λ为A的特征值，v为A对应于特征值λ的特征向量。
特征值和特征向量具有重要的几何和实际意义。
特征值可以用于矩阵的对角化和谱分解，特征向量可以用于描述矩阵的主要方向。
5.代数学的应用代数学是高等代数的一个重要应用分支。
代数学在物理学、工程学、计算机科学等领域有广泛的应用。
在物理学中，代数学可以用于描述物理系统的运动和变化，例如力学中的刚体运动、量子力学中的波函数等。
高等数学中的向量空间概念解析
向量空间是高等数学中的一个重要概念，它在线性代数和多元微积分等学科中扮演着重要的角色。
向量空间是一种数学结构，它可以描述向量的代数运算和线性组合，是一类满足特定条件的向量的集合。
首先，我们来解析向量空间的定义。
一个向量空间是一个非空集合 V，其中定义了两种运算：向量的加法和数乘。
对于任意两个向量 u 和 v 属于向量空间V，则 u+v 也属于 V，称之为向量的加法；对于任意一个标量 k，向量 k*u 也属于 V，称之为向量的数乘。
这两种运算满足以下几个条件：1.加法运算满足结合律，即对于任意三个向量 u、v 和 w 属于 V，有(u+v)+w = u+(v+w)。
2.加法运算满足交换律，即对于任意两个向量 u 和 v 属于 V，有 u+v =v+u。
3.存在一个零向量 0，对于任意一个向量 v 属于 V，有 v+0 = v。
4.对于任意一个向量 v 属于 V，存在一个负向量 -v，使得 v+(-v) = 0。
5.数乘运算满足分配律，即对于任意一个标量 k 和任意两个向量 u 和 v属于 V，有 k*(u+v) = k u+k v。
6.数乘运算满足结合律，即对于任意两个标量 k 和 l 和任意一个向量 v属于 V，有 (kl)v = k(l*v)。
7.数乘运算满足单位元律，即对于任意一个向量 v 属于 V，有 1*v = v。
接下来，我们来看几个例子来更好地理解向量空间的概念。
首先，二维平面上的所有向量组成一个向量空间，记作 R^2。
这个向量空间中的向量可以表示为 (x, y)，其中 x 和 y 是实数。
任意两个向量在向量加法和数乘下仍然是属于 R^2 的，满足向量空间的定义。
其次，n 维实数空间 R^n 也是一个向量空间。
它包含所有由 n 个实数组成的向量。
同样地，对于任意两个向量和一个任意的标量，它们在向量加法和数乘下仍然属于 R^n，也满足向量空间的定义。
再次，由于向量空间的定义，我们也可以得出结论，零向量 0 在所有向量空间中都是存在且唯一的。
高等代数北大三版向量空间
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2. 向量空间的定义－抽象出的数学本质
定义1 设F是一个数域，V是一个非空集合.我们把V中的 元素称为向量，V称为向量空间，如果下列条件成立：
闭合性： (c1) V上有(闭合的)加法运算，即：对任意u,v属于V, 一定有u+v属于 V. (c2) F上的数对V上的向量有 (闭合的)数乘运算，即：对任意F中数 和V中元素v, 一定有： v属于V. 加法的性质： (a1) u+v= v +u，对所有u和v属于V. (a2) u+(v+w)= (u+v)+w, 对所有u、v和w属于V. (a3) V中存在一个向量பைடு நூலகம்记作o, 它满足：v+o= v 对所有V中的v. (a4) 给定V中每一个向量v, V中存在一个向量u满足：
➢ 向量空间产生有着丰富的数学背景，又在许多领域（包 括数学本身）中有着广泛的应用，例如：线性非常组解 的结构.
➢ 向量空间是我们遇到的第一抽象的代数系统. 所谓代数 系统，就是带有运算的集合.通过本章的学习，初步熟悉 用公理系统处理代数问题的思维方法、逻辑推理的方法.
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§6.1 向量空间的定义和例子
(c1) f(x)+g(x) F[x], 任给f(x),g(x) F[x]. (c2) af(x) F[x]，任给 aF，f(x)F[x]. (a1) f(x)+g(x)= g(x) + f (x), 任给f(x),g(x) F[x].
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(a2) [f(x)+g(x)]+h(x)= f(x)+ [g(x) +h(x) ],
《高等代数》知识点梳理
《高等代数》知识点梳理高等代数是一门重要的数学学科，它是线性代数的延伸和深化，主要研究向量空间和线性变换的性质和应用。
以下是《高等代数》常见的知识点梳理：1.矩阵和线性方程组：-矩阵：矩阵的定义和运算、矩阵的行列式、逆矩阵等。
-线性方程组：线性方程组的定义和解的分类、线性方程组的矩阵表示、线性方程组的消元法、高斯-约当法等。
2.向量空间：-向量空间的定义：向量空间的基本性质和运算规则。
-子空间和张成空间：子空间和子空间的运算、线性组合和线性相关、张成空间的定义和性质。
-基和维数：线性无关和极大线性无关组、基和维数的相关定义和性质。
3.线性变换：-线性变换的定义和性质：线性变换的基本性质和运算。
-线性变换的矩阵表示：矩阵的表示和判断、线性变换的示例和应用。
-矩阵相似和对角化：矩阵相似的定义和性质、对角化的定义和条件、对角化的意义和应用。
4.特征值和特征向量：-特征值和特征向量的定义：特征值和特征向量的基本概念和性质。
-特征多项式和特征方程：特征多项式和特征方程的定义和性质、求解特征多项式和特征方程的方法。
-对角化和相似对角化：对角化和相似对角化的概念和条件、对角化和相似对角化的关系和应用。
5.矩阵的特征值和特征向量的应用：-线性微分方程组：线性微分方程组的特征方程和特解、线性微分方程组的解的表示和求解方法。
-线性差分方程组：线性差分方程组的特征方程和特解、线性差分方程组的解的表示和求解方法。
- Markov过程：Markov过程的概念和性质、Markov过程的平稳分布和转移概率矩阵。
6.内积空间和正交变换：-内积和内积空间的定义：内积的基本性质和运算规则、内积空间的定义和性质。
-正交向量和正交子空间：正交向量和正交子空间的定义和性质。
-正交变换和正交矩阵：正交变换和正交矩阵的概念、正交变换的性质和应用。
7.对偶空间和广义逆：-对偶空间的定义和性质：对偶空间的定义和对偶基的求解方法、对偶空间的性质和应用。
高等数学中的向量空间理论
高等数学中的向量空间理论引言：向量空间理论是高等数学中重要的一部分，它是线性代数的基础，也是许多其他学科的基础。
向量空间理论的研究对象是向量空间及其性质，它具有广泛的应用价值。
本教案将从向量空间的定义、性质、子空间、基与维数以及线性变换等方面展开论述。
第一部分：向量空间的定义与性质（700字）1.1 向量空间的定义向量空间是指具有加法和数乘运算的集合，满足一定的公理。
我们可以将向量空间看作是一种具有线性结构的集合，其中的元素称为向量。
向量空间的定义包括了加法和数乘运算的封闭性、结合律、交换律、单位元等性质。
1.2 向量空间的性质向量空间具有许多重要的性质，如零向量的存在唯一性、加法逆元的存在唯一性、数乘与加法的分配律等。
这些性质为我们后续的研究提供了基础。
第二部分：子空间与基（700字）2.1 子空间的定义与性质子空间是指一个向量空间中的子集，满足向量空间的定义。
子空间具有一些特殊的性质，如零向量的存在、封闭性等。
我们可以通过判断子空间是否满足这些性质来确定一个集合是否是向量空间的子空间。
2.2 基与维数基是指向量空间中的一组线性无关的向量，它可以用来表示向量空间中的任意向量。
维数是指向量空间中的基的个数，它是向量空间的一个重要的度量指标。
基和维数的概念在向量空间的研究中起着重要的作用，它们与向量空间的结构密切相关。
第三部分：线性变换（600字）3.1 线性变换的定义与性质线性变换是指一个向量空间到另一个向量空间的映射，它保持向量空间的加法和数乘运算。
线性变换具有一些重要的性质，如保持零向量、保持加法和数乘运算等。
3.2 线性变换的表示与矩阵线性变换可以用矩阵来表示，这是线性代数中的重要概念。
矩阵表示使得线性变换的研究更加方便，我们可以通过矩阵的运算来研究线性变换的性质。
结论：向量空间理论是高等数学中的重要内容，它为我们理解和研究许多数学问题提供了基础。
通过对向量空间的定义、性质、子空间、基与维数以及线性变换等方面的论述，我们可以深入了解向量空间的本质和特点。
线性代数中的向量空间及其基本性质
线性代数中的向量空间及其基本性质向量空间是线性代数中的一个重要概念。
它起源于欧氏空间中的几何向量，但不仅仅局限于几何背景。
向量空间是所有线性组合构成的集合，在数学中有广泛的应用，如线性代数、微积分、统计学等。
本文将就向量空间及其基本性质进行详细的阐述。
一、向量空间的定义定义1：设V为一个数域k上的非空集合，称V上的元素为向量。
如果：① V中定义了向量的加法（+），使得∀u，v∈V，都有u+v∈V；② V中定义了数乘，即对于任意的k∈K，都有ku∈V；满足：①加法交换律：∀u，v∈V，都有 u +v=v +u；②加法结合律：∀u，v，w∈V，都有 u +(v +w)=(u +v)+w；③加法有零元：∃0∈V，使得对于任意的u∈V，都有u+0=u；④加法有负元：∀u∈V，∃v∈V，使得u+v=0；⑤数乘结合律：∀k，l∈K，∀u∈V，都有 (kl)u=k(lu)；⑥数乘分配律1：∀k∈K，∀u，v∈V，都有k(u+v)=ku+kv；⑦数乘分配律2：∀k，l∈K，∀u∈V，有 (k+l)u=ku+lu；⑧数乘有单位元1：∀u∈V，都有1u=u。
则称V是数域k上的向量空间，简称向量空间。
向量空间的典型例子包括n元有序实数对$(x_1,x_2,...,x_n)$以及所有n次实系数多项式构成的集合$P_n(R)$。
二、基本概念1. 向量向量是指向量空间中的元素。
2. 零向量零向量是指满足向量空间中定义的加法有零元的向量，用0表示。
3. 运算在向量空间中，有两种运算：加法和数乘。
向量空间中的任何向量都可以通过加法和数乘来表示。
4. 线性组合若给定向量空间V中的n个向量${\{v_1, v_2, …, v_n}\}$以及n 个标量${\{k_1, k_2, …, k_n}\}$，则它们的线性组合是指如下表达式：${v=k_1v_1+k_2v_2+…+k_nv_n=\sum_{i=1}^n k_iv_i}$其中，${v_1, v_2, …, v_n}$是向量空间V中的向量，${k_1,k_2, …, k_n}$是一个数域k中的标量。
高等代数向量空间定义和例子知识点总结
高等代数向量空间定义和例子知识点总结嘿！同学们，今天咱们来好好聊聊高等代数中向量空间这个重要的概念。
首先呢，咱们得弄清楚向量空间的定义到底是啥呀！向量空间，简单来说，就是一个集合，里面的元素叫做向量，并且这些向量要满足一些特定的条件。
哎呀呀，具体是啥条件呢？那就是对于向量的加法和数乘运算封闭。
啥叫封闭呢？就是说，任意两个向量相加，结果还在这个集合里；任意一个向量乘以一个数，结果也还在这个集合里。
比如说，咱们常见的三维空间中的向量，就是一个典型的向量空间呀！那些表示位置和方向的箭头，它们的加法和数乘运算都符合向量空间的定义呢。
再比如，全体实系数的多项式，也能构成一个向量空间哟！哇，是不是有点惊讶？接下来，咱们详细讲讲向量空间的几个重要性质。
其一，零向量一定在向量空间中呢。
为啥？因为对于任何向量v ，0 乘以v 都等于零向量呀。
其二，向量空间中的向量乘以-1 ，得到的向量与原来的向量相加，结果就是零向量。
这可都是很基础但又非常关键的性质哟！再说说向量空间的例子。
比如说，平面上的所有向量，就构成了一个二维向量空间。
想象一下，那些在平面上随意指向不同方向的箭头，它们相加和数乘之后，依然在这个平面上，这不就是向量空间嘛！还有，n 维欧几里得空间，这可是高等代数中经常会碰到的。
它里面的向量可以用n 个坐标来表示，加法和数乘运算都没问题，妥妥的向量空间呀！然后呢，咱们讲讲向量空间在实际中的应用。
哎呀呀，这可不少呢！在物理学中，比如力、速度、位移等，都可以用向量来表示，而它们构成的空间就是向量空间啦。
在计算机图形学中，处理图像的变换、建模等，也都离不开向量空间的知识哟。
哇！讲了这么多，希望大家对高等代数中的向量空间定义和例子有了更深入的理解。
同学们，加油呀，把这些知识牢牢掌握，以后在学习和工作中可都能派上大用场呢！接着，咱们再深入探讨一下向量空间的一些拓展内容。
比如说，子空间的概念。
一个向量空间的一部分，如果它本身也满足向量空间的定义，那它就是原向量空间的子空间。
向量空间的同构知识点总结
向量空间的同构知识点总结一、引言向量空间是线性代数中的一个重要概念，它是一个具有加法和数乘运算的集合，同时满足一定的性质。
同构是一个重要的概念，它指的是两个向量空间之间存在一个双射线性变换，使得它们具有相同的结构。
在本文中，我们将对向量空间的同构进行详细的介绍和总结。
二、向量空间的定义和性质向量空间是一个非空集合V，集合中的元素被称为向量，同时满足以下性质：1.加法封闭性：对于任意的向量u，v∈V，u+v∈V。
2.数乘封闭性：对于任意的向量u∈V和标量α，αu∈V。
3.加法结合律：对于任意的向量u，v，w∈V，有(u+v)+w=u+(v+w)。
4.加法交换律：对于任意的向量u，v∈V，有u+v=v+u。
5.加法单位元：存在一个向量0∈V，对于任意的向量u∈V，有u+0=u。
6.加法逆元：对于任意的向量u∈V，存在一个向量-v∈V，使得u+(-v)=0。
7.数乘结合律：对于任意的向量u∈V和标量α，β，有(αβ)u=α(βu)。
8.数乘分配律：对于任意的向量u∈V和标量α，β，有(α+β)u=αu+βu。
9.数乘分配律：对于任意的向量u∈V和标量α，β，有α(u+v)=αu+αv。
在向量空间中，我们可以定义向量的长度和夹角，从而引出内积和范数的概念。
内积和范数是向量空间的重要性质，它们在向量的运算和分析中起着重要的作用。
三、同构的概念同构是指两个向量空间之间存在一个一一对应的线性变换，使得它们具有相同的结构。
具体定义如下：设V和W是两个向量空间，如果存在一个线性变换T:V→W是一个一一对应，同时满足T(u+v)=T(u)+T(v)和T(αu)=αT(u)，则称V与W同构。
此时，我们将T称为从V到W的同构映射。
同构的概念是非常重要的，在许多情况下，我们需要将一个向量空间映射到另一个向量空间，通过同构，我们可以保持向量空间的结构不变，从而方便我们进行运算和分析。
四、同构的性质同构具有一些重要的性质，这些性质在研究向量空间的同构时起着重要的作用：1.同构是一一对应的：同构映射T是一个双射。
高等代数-向量空间
（3）若向量组
1
,
2
,
,
是向量空间
r
V
的一
个基，则 V 可表示为
V x 11 22 rr 1 ,,r R
例6 讨论向量空间 V { x (0, x2, 的基与维数.
, xn )T | x2,
, xn R}
解：显然
e2 (0,1, 0, , 0)T e3 (0, 0,1, , 0)T
1 1 1 1 3 0 3 0 2 3 0 3 3 5 5
~ r2 2r1
r3 r1
1 1 1 1 3 0 3 0 2 3 0 3 3 5 5
r2r3~(
3) 3
1 1 1 1 3
0
1
0
2
1
3
0
1
1
5 3
5 3
r2r3~(
3) 3
r1
~
r3
r3 r2
解 V2不是向量空间.
因为若 1,a2 ,,an T V2 , 则2 2,2a2 ,,2an T V2 .
例4 设a,b为两个已知的n维向量，集合
V x a b , R
试判断集合是否为向量空间.
解 V是一个向量空间.因为若x1 1a 1b x2 2a 2b， 则有
x1 x2 (1 2 )a (1 2 )b V ,
1,2, ,n 可由 1,2,
是 Rn 的基.
这n+1个向量线性相关, 且
,n 线性表示, 则 1,2, ,n
定义: 设1,2, ,n是n维向量空间V的基, 对任
一向量 ,有且仅有一组有序数组，x1, x2 , , xn使 x11 x22 xnn
称有序数组 x1, x2 , , xn 为向量 在基 x1, x2 , , xn
《工程高等代数》7第七章线性空间与线性变换习题解答
习 题 七A 组1．填空题（1）向量组(1,1,0,1),(1,2,3,0),(2,3,3,1)--生成的向量空间的维数是 ． 解 2．（2）设全体三阶上三角形矩阵构成的线性空间为V ，则它的维数是 ． 解 6．（3）次数不超过2的多项式的全体构成线性空间[]2P x ，其中的元素2()1f x x x =++在基1,1,(1)(2)x x x ---下的坐标是 ．解 T (3,4,1)．（4）设1231010,1,1110⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ααα是向量空间3V 的一个基，则向量111⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭α在该基下的坐标是 ．解 T111,,222⎛⎫⎪⎝⎭．（5）二维向量空间2R 中从基1211,01⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭αα到另一个基1211,12⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ββ的过渡矩阵是 ．解 2312⎛⎫⎪--⎝⎭．（6）三维向量空间中的线性变换(,,)(,,)T x y z x y x y z =+-在标准基1(1,0,0)=e ，2(0,1,0)=e ，3(0,0,1)=e 下对应的矩阵是 ．解 110110001⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭．2. 选择题（1）下列说法中正确的是 ． （A ）任何线性空间中一定含有零向量；（B ）由r 个向量生成的子空间一定是r 维的；（C ）次数为n 的全体多项式对于多项式的加法和数乘构成线性空间；（D ）在n 维向量空间V 中，所有分量等于1的全体向量的集合构成V 的子空间． （2）下列说法中错误的是 ．（A ）若向量空间V 中任何向量都可以由向量组12,,,n ααα线性表示，则12,,,n ααα是V 的一个基；（B ）若n 维向量空间V 中任何向量都可以由向量组12,,,n ααα线性表示，则12,,,n ααα是V 的一个基；（C ）若1n -维向量空间V 中任何向量都可以由向量组12,,,n ααα线性表示，则12,,,n ααα不是V 的一个基；（D ）n 维向量空间V 的任一个基必定含有n 个向量．（3） 下列3维向量的集合中， 是3R 的子空间． （A ）{}123123123(,,)0;,,x x x x x x x x x ⋅⋅≤∈R ； （B ）{}222123123123(,,)1;,,x x x x x x x x x ++=∈R ； （C ）{}123123123(,,);,,x x x x x x x x x ==∈R ； （D ）{}123123123(,,);,,x x x x x x x x x ≥≥∈R . （4）在2V 中，下列向量集合构成子空间的是 ． （A ）(0,0),(0,1),(1,0)组成的集合； （B ）(0,0)组成的集合；（C ）所有形如(,1)x 的向量组成的集合； （D ）满足1x y +=的所有(,)x y 组成的集合． （5）2V 的下列变换 不是线性变换． （A ）(,)(0,0)T x y =；（B ）(,)(,)T x y ax by cx dy =++，,,,a b c d 是实数； （C ）(,)(,1)T x y x y =+； （D ）(,)(0,)T x y x y =-．解 （1）A ; （2）A ; （3）C ; （4）B ；（5）C ． 3．验证：（1）主对角线上元素之和等于0的2阶矩阵的全体1S ；（2）2阶对称矩阵的全体2S ，对于矩阵的加法和乘数运算构成线性空间，并写出每个空间的一个基．解 (1)任取11,S S ∈∈A B ，,ac be d af b ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭A B ，其中,,,,,a b c d e f 表示任意实数，则对于任意的,k λ∈R ，有线性运算的封闭性成立：1ka bkc e k S kd fka b λλλλλ++⎛⎫+=∈⎪+--⎝⎭A B ．1S 的一个基是100100,,010010⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭． (2)任取22,S S ∈∈A B ，对于任意的,k λ∈R ，都满足运算成立：T T T 2()k k k S λλλ+=+=+∈A B A B A B ．2S 的一个基是100001,,000110⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．4．验证：与向量T (0,1,0)不平行的全体3维数组向量，对于数组向量的加法和乘数运算不构成线性空间．证明 与向量T (0,1,0)不平行的全体3维数组向量的集合记作V ，T T (1,1,1),(1,0,1)V ==∈αβ，但T(0,1,0)V -=∉αβ，所以V 不是线性空间．5．设U 是线性空间V 的一个子空间，证明：若U 与V 的维数相等，则U =V ． 证明 设12,,,r ααα是U 的一个基，因为U V ⊆，所以12,,,r V ∈ααα．对于任意的V ∈α，必定可被12,,,r ααα线性表示，否则与“U 与V 的维数相等”矛盾．由α的任意性知V U ⊆，从而U =V ．6. 判断22⨯R的下列子集是否构成子空间，说明理由．(1) 110,,0a W a b c b c ⎧⎫⎛⎫⎪⎪=∈⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭R ； (2) 100,,,00a b W a b c a b c c ⎧⎫⎛⎫⎪⎪=++=∈⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭R ． 解 (1)不构成．由于1100000W ⎛⎫==∈ ⎪⎝⎭A B 但 1200000W ⎛⎫+=∉ ⎪⎝⎭A B ，即1W 对矩阵加法不封闭．(2) 构成．任取1122221200,0000a b a b W W c c ⎛⎫⎛⎫=∈=∈ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭A B ， 有1112220,0a b c a b c ++=++=，121212000a a b bc c ++⎛⎫+= ⎪+⎝⎭A B ． 于是1212120a a b b c c +++++=，1212212000a a b bW c c ++⎛⎫+=∈ ⎪+⎝⎭A B ． 对任意k ∈R ，111000ka kb k kc ⎛⎫= ⎪⎝⎭A ，1110ka kb kc ++=，所以2k W ∈A ．2W 对矩阵加法和数乘运算封闭，所以2W 构成子空间．7. 判断22⨯R的下列子集是否构成子空间，说明理由．（1）由所有行列式为零的矩阵所组成的集合1W ； （2）由所有满足2=A A 的矩阵组成的集合2W ． 解 (1) 不构成．取10,00⎛⎫=⎪⎝⎭A 0001⎛⎫= ⎪⎝⎭B ，1,W ∈A B ，但是10,1,01⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭A B A B 因此1W +∉A B ，加法不封闭．(2) 不构成．取单位矩阵1001⎛⎫= ⎪⎝⎭E ，2=E E ，2W ∈E ，但2(2)42=≠E E E ，所以22W ∉E ，数乘不封闭．8. 在3R 中求向量T (2,7,6)=-α在基T T T123(2,0,1),(1,3,2),(2,1,1)=-==-ααα下的坐标． 解 设所求坐标为T123(,,)x x x ，则1232312322270362x x x x x x x x --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 解得T T 123(,,)(1,2,1)x x x =-． 9．3R 中两个基为T T T 123(1,1,1),(1,0,1),(1,0,1)==-=ααα；T T T 123(1,2,1),(2,3,4),(3,4,5)===βββ，求由基123,,ααα到基123,,βββ的过渡矩阵． 解 设123123(,,)(,,)=P βββααα，则1123123(,,)(,,)-=P αααβββ1111123234100234011111145100-⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪==-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭．10．在3R 中，取两个基T T T 123(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)===e e e ；T T T 123(1,0,0),(1,1,0),(1,1,1)===ααα，（1）求由基123,,e e e 到基123,,ααα的过渡矩阵；（2）已知由基123,,ααα到基123,,βββ的过渡矩阵为110011001-⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭A ，求123,,βββ； （3）已知α在基123,,βββ下的坐标为T (1,2,3)，求α在基123,,ααα下的坐标．解 （1）因为123123111(,,)(,,)011001⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭e e e ααα，所以基123,,e e e 到基123,,ααα的过渡矩阵为111011001⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭P ．（2）由于123123*********(,,)(,,)011011010001001001-⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪==-= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭A βββααα，故 T T T 123(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)===βββ．（3）设α在基123,,ααα下的坐标为T 123(,,)x x x ，则有112323(,,)x x x ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭αααα，又12312311(,,)2(,,)233⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A αβββααα，从而123111011201121300133x x x --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪==-=- ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭A ． 11．在3R 中取两个基T T 11T T 22T T33T T 44(1,0,0,0),(2,1,1,1),(0,1,0,0),(0,3,1,0),(0,0,1,0),(5,3,2,1),(0,0,0,1),(6,6,1,3).⎧⎧==-⎪⎪==⎪⎪⎨⎨==⎪⎪⎪⎪==⎩⎩e e e e αααα （1）求前一个基到后一个基的过渡矩阵；（2）求向量T 1234(,,,)x x x x 在后一个基下的坐标； （3）求在两个基下有相同坐标的向量．解 (1) 因为123412342561336(,,,)(,,,)11211013⎛⎫ ⎪⎪= ⎪- ⎪⎝⎭e e e e αααα，所以前一个基到后一个基的过渡矩阵为2056133611211013⎛⎫ ⎪⎪= ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭A ． (2) 设向量T 1234(,,,)x x x x 在后一个基下的坐标为T1234(,,,)y y y y ，则1112221234333444(,,,)x y y x y y x y y x y y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭A αααα，所以，11112221333444256133611211013y x x y x x y x x y x x --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭A 123412927331129231900182773926x x x x --⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-- ⎪⎪= ⎪⎪- ⎪ ⎪ ⎪⎪--⎝⎭⎝⎭． (3) 设向量T 1234(,,,)x x x x =α在两个基下有相同的坐标，则112212343344(,,,)x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭e e e e E α，112212343344(,,,)x x x xx x x x ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A ααααα，所以 1234()x x x x ⎛⎫⎪ ⎪-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭A E 0，解得T (1,1,1,1),k k =-∈R α． 12．说明xOy 平面上变换x x T y y ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A 的几何意义，其中(1) 1001-⎛⎫=⎪⎝⎭A ； (2) 0001⎛⎫= ⎪⎝⎭A ；(3) 0110⎛⎫=⎪⎝⎭A ； (4) 0110⎛⎫= ⎪-⎝⎭A ．解 (1)1001x x x x T y y y y --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭A ，关于y 轴对称；(2)00001x x x T y y y y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭A ，投影到y 轴；(3)0110x x x y T y y y x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭A ，关于直线y x =对称；(4)0110x x x y T y y y x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭A ，顺时针旋转90．13．n 阶对称矩阵的全体V 对于矩阵的线性运算构成一个(1)2n n +维线性空间．给定n 阶矩阵P ，以A 表示V 中的任一元素，变换T ()T =A P AP称为合同变换．证明合同变换T 是V 中的线性变换．证明 设,V ∈A B ，k ∈R ，则T T ,==A A B B ，所以T ()+=+A B A B ，T ()k k =A A ．从而+A B 与k A 是对称矩阵．又因为T T T ()()()()T T T +=+=+=+A B P A B P P AP P BP A B ，T T ()()()T k k k kT ===A P A P P AP A ，所以T 是V 中的线性变换．14．设3R 中123,,ααα是一个基，且线性变换T 在此基下的矩阵为460350361⎛⎫⎪=-- ⎪ ⎪--⎝⎭A ，（1）证明123312,,2-++-+αααααα也是3R 的一个基； （2）求线性变换T 在此基下的矩阵．证明 （1）令112323312,,2=-++==-+βαααβαβαα，可解得1123,=--αβββ 212322=--αβββ， 32=αβ，这说明了123,,ααα和123,,βββ可以相互线性表示，从而它们等价，所以123,,βββ是3R 的一个基．（2）设线性变换T 在基123,,βββ下的矩阵是B ，并设从基123,,ααα到基123,,βββ的过渡矩阵是P ，则1-=B P AP ，由条件知102101110--⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭P ，得1120121110-⎛⎫⎪=-- ⎪ ⎪--⎝⎭P ，从而 1200010001--⎛⎫⎪== ⎪ ⎪⎝⎭B P AP ．15．函数集合{}23210210(),,xV a x a x a e a a a ==++∈R α对于函数的线性运算构成三维线性空间．在3V 中取一个基2123,,x x x x e xe e ===ααα，求微分运算D 在这个基下的矩阵． 解 因为21123()220x x D x e xe =+=++αααα， 2123()0x x D e xe =+=++αααα，3123()00x D e ==++αααα，所以微分运算D 在这个基下的矩阵为100210011⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭．16．二阶对称矩阵的全体12312323,,x x V x x x x x ⎧⎫⎛⎫⎪⎪==∈⎨⎬⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭R A 对于矩阵的线性运算构成三维线性空间．在3V 中取一个基123100100,,001001⎛⎫⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭A A A ，在3V 中定义合同变换1011()1101T ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A A ，求T 在基123,,A A A 下的矩阵．解 因为11123101110101111()110111000111T ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫====++ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭A A A A A ，2223101110011101()2110111100112T ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫====+ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭A A A A ，333101110001100()110111010101T ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭A A A ，123123100((),(),())(,,)110121T T T ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A A A A A A ，所以T 在基123,,A A A 下的矩阵为100110121⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭．17．设A 是一个正定矩阵，向量1212(,,,),(,,,)n n x x x y y y ==αβ．在nR 中定义内积 [],αβ为[]T ,=A αβαβ．证明在这个定义之下，n R 是一个Euclid 空间．证明 按定义证明满足以下四条性质即可． （1）对称性 [][]T T T T T T ,(),=====A A A A αβαβαββαβαβα．（2）线性加性 [][][]TT T ,(),,+=+=+=+A A A αβγαβγαγβγαγβγ．（3）线性齐性 [][]T T ,()(),k k k k ===A A αβαβαβαβ．（4）非负性 由于A 是正定矩阵，所以[]T ,=A αααα是个正定二次型，从而[],0≥αα，当且仅当=0α时[],0=αα．18．设V 是一个n 维Euclid 空间，≠0α是V 中一固定向量，证明：[]{}1,0,V V ==∈x x αx 是V的一个子空间．证明 因为1V ∈0，所以1V 非空．再证1V 对两种运算封闭．任给121,V ∈x x ，即[][]12,0,,0==x αx α，根据V 的线性加性有[][][]1212,,,+=+=x x αx αx α000+=，从而可知121V +∈x x ．另一方面，由[][]11,,0k k ==x αx α可知，11k V ∈x ．此即证得[]{}1,0,V V ==∈x x αx 是V 的一个子空间．B 组1．求二阶矩阵构成的线性空间22⨯R中元素0123⎛⎫= ⎪-⎝⎭A 在基10111⎛⎫= ⎪⎝⎭G ，21011⎛⎫= ⎪⎝⎭G ，31101⎛⎫= ⎪⎝⎭G ，41110⎛⎫= ⎪⎝⎭G 下的坐标.解 设11223344k k k k =+++A G G G G ，则234134124123 0,1, 2, 3,k k k k k k k k k k k k ++=⎧⎪++=⎪⎨++=⎪⎪++=-⎩ 解得12340,1,2,3k k k k ==-=-=，所求坐标为T (0,1,2,3)--. 2．在二阶矩阵构成的线性空间22⨯R 中，（1）求基123410010000,,,00001001⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭E E E E到基123421035366,,,11102113⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭F F F F的过渡矩阵；（2）分别求向量11122122a a a a ⎛⎫=⎪⎝⎭M 在基1234,,,E E E E 和基1234,,,F F F F 下的坐标； （3）求一个非零向量A ，使得A 在这两个基下的坐标相等． 解 （1）因为112342=+-+F E E E E ， 21234030=+++F E E E E ， 31234532=+++F E E E E ， 41234663=+++F E E E E ，即1234123420561336(,,,)(,,,)11211013⎛⎫ ⎪⎪= ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭F F F F E E E E ， 所以，基1234,,,E E E E 到基1234,,,F F F F 的过渡矩阵为2056133611211013⎛⎫ ⎪⎪= ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭P ． （2）显然11121111222132242122a a a a a a a a ⎛⎫==+++⎪⎝⎭M E E E E ，得到M 在基1234,,,E E E E 下的坐标为T 11122122(,,,)a a a a ．设M 在基1234,,,F F F F 下的坐标为T 1234(,,,)y y y y ，则111212342122(,,,)a a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭M E E E E 1122123412343344(,,,)(,,,)y y y y y y y y ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭F F F F E E E E P ， 得111112121213212142222411119391412327932712003371126279327y a a y a a y a a y a a -⎛⎫-- ⎪ ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ⎪ ⎪-- ⎪⎝⎭P 1112212211122122112211122122411193914123279327123371126279327a a a a a a a a a a a a a a ⎛⎫+-- ⎪ ⎪ ⎪+-- ⎪= ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪--++ ⎪⎝⎭．（3）解方程111221221111122122122111222211122122411193914123279327123371126279327a a a a a a a a a a a a a a a a a a ⎛⎫+-- ⎪ ⎪⎛⎫⎪+-- ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎪ ⎪--++ ⎪⎝⎭，得11122122a a a a ===-，所以11,011k k ⎛⎫=≠ ⎪-⎝⎭A ．3. 设T 是四维线性空间V 的线性变换，T 在V 的基1234,,,αααα下的矩阵为1222265200120026----⎛⎫ ⎪⎪= ⎪-- ⎪ ⎪⎝⎭A 求T 在V 的基11212323434,,,==-+=-+=-+βαβααβααβαα下的矩阵.解 12341234(,,,)(,,,)=P ββββαααα，其中1100011000110001-⎛⎫ ⎪-⎪= ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭P , 所求矩阵11300240000130024-⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭B P AP . 4. 设12,,,n ααα是n R 的一个基．(1) 证明11212312,,,,n ++++++ααααααααα也是n R 的一个基；(2) 求由基12,,,n ααα到基11212312,,,,n ++++++ααααααααα的过渡矩阵；(3) 求向量α在基12,,,n ααα下的坐标T 12(,,,)n x x x 和在基1α，12+αα，123++ααα，，12n +++ααα下的坐标T 12(,,,)n y y y 间的变换公式.解 (1) 因为()()1121231212111011,,,,,,,001n n ⎛⎫⎪⎪++++++= ⎪⎪⎝⎭αααααααααααα，所以111011001⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭P ，10=≠P ，P 可逆，从而向量组1α，12+αα，123++ααα，，12n +++ααα与向量组12,,,n ααα等价，而12,,,n ααα是n R 的一个基，所以1α，12+αα，123++ααα，，12n +++ααα也是n R 的一个基．(2) 由基12,,,n ααα到基1α，12+αα，123++ααα，，12n +++ααα的过渡矩阵为111011001⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭P ． (3) 坐标变换公式为11111222211100000110001110010001100011000100001100001n n n n y x x x y x x x y x x x ---⎛⎫⎪- ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪===⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭- ⎪ ⎪⎝⎭P ． 5. 设12,,,n ααα是V 的一个基，且()()1212,,,,,,n n =A βββααα，证明12,,,n βββ是V的一个基的充分必要条件是矩阵A 为可逆矩阵．证明 由于12,,,n ααα线性无关，注意到()()112211221212,,,,,,n n n n n n k k kkk k k k k ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+++== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A ββββββααα，可得12,,,n βββ是V 的一个基⇔12,,,n βββ线性无关⇔1122n n k k k +++=0βββ时，必定有120n k k k ====⇔()1212,,,0n n k kk ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A ααα时，必定有120n k k k ====⇔12n k k k ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭A 0时，必定有120n k k k ====⇔齐次线性方程组=Ax 0只有零解 ⇔0≠A ⇔A 是可逆矩阵．6. 设12,V V 是线性空间V 的两个不同的子空间，且1V V ≠，2V V ≠，证明在V 中存在向量α，使得12,V V ∉∉αα同时成立．证明 由于1V V ≠，2V V ≠，于是在V 中存在向量,αβ，使得12,V V ∉∉αβ成立． 若2V ∉α，则α即为所求． 若2V ∈α，则对任意数k ，有2k V +∉αβ．否则，由于2V ∈α和2k V +∈αβ，可得2()k k V +-=∈αβαβ，与假设矛盾．于是，取12k k ≠，则11k V +∈αβ与21k V +∈αβ不能同时成立，否则12121()()()k k k k V +-+=-∈αβαβα，有1V ∈α，矛盾．故11k V +∉αβ与21k V +∉αβ至少有一个成立，不妨设11k V +∉αβ，又12k V +∉αβ，因此1k +αβ即为所求． 7. 设12,,,n ααα与12,,,n βββ是n 维线性空间V 的两个基，证明（1）在两组基下坐标完全相同的全体向量的集合1V 是V 的子空间； （2）设基12,,,n ααα到基12,,,n βββ的过渡矩阵是P ，若()R r -=E P ，则1dim V n r =-；（3）若V 中的每个向量在这两个基下的坐标完全相同，则1122,,,n n ===αβαβαβ．证明 （1）设1,V ∈αβ，即11221122n n n n x x x x x x =+++=+++ααααβββ， 11221122n n n n y y y y y y =+++=+++βαααβββ．则111222111222()()()()()()n n n n n n x y x y x y x y x y x y +=++++++=++++++αβαααβββ，1122n n k kx kx kx =+++αααα1122n n kx kx kx =+++βββ，即+αβ，k α在这两个基下的坐标也完全相同，于是1V +∈αβ，1k V ∈α，从而1V 是V 的子空间．（2）设α是1V 中任一向量，则12112212(,,,)n n n n x xx x x x ⎛⎫ ⎪ ⎪=+++= ⎪ ⎪⎝⎭ααααααα，12112212(,,,)n n n n x xx x x x ⎛⎫ ⎪ ⎪=+++= ⎪ ⎪⎝⎭αββββββ1212(,,,)n n x xx ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭P ααα．于是，α在两个基下的坐标存在关系=x Px ，T 12(,,,)n x x x =x ，即()-=E P x 0．由于()R r -=E P ，故此齐次线性方程组的解向量的全体构成n r -维空间，从而α的全体即1V 的维数是n r -． （3）i α(1,2,,)i n =在基12,,,n ααα下的坐标为T (0,0,,0,1,0,,0)（第i 个分量为1，余皆为0），即11100100i i i i n -+=++++++αααααα， 1,2,,i n =．而由条件，i α(1,2,,)i n =在基12,,,n βββ下的坐标也是T (0,0,,0,1,0,,0)，即11100100i i i i n -+=++++++αβββββ，1,2,,i n =，从而有i i =αβ，1,2,,i n =．。
大一上学期末高等代数导论核心概念解析
大一上学期末高等代数导论核心概念解析高等代数是大一学生在数学课程中的一门重要课程，它涉及到了许多核心概念和基本理论。
在学期末复习阶段，理解和掌握高等代数的核心概念对于考试取得好成绩是至关重要的。
本文将针对大一上学期末高等代数导论中的核心概念进行解析，希望能够帮助同学们更好地理解和掌握这些基础知识。
一、向量空间在高等代数中，向量空间是一个非常重要的概念。
向量空间是指一个非空集合V，其中定义了加法运算和标量乘法运算，并且满足相应的运算规则和性质。
具体来说，对于向量空间V中的任意两个向量u 和v，其和u+v仍然属于V；对于任意标量k和向量u，标量乘积ku 也属于V，并且满足分配律、结合律等运算性质。
了解和掌握向量空间的定义和性质，对于后续线性代数的学习至关重要。
二、线性相关与线性无关另一个重要的概念是线性相关和线性无关。
在向量空间中，如果存在一组向量，其中的某个向量可以表示为其他向量的线性组合，那么这组向量就是线性相关的；相反，如果不存在这样的关系，那么这组向量就是线性无关的。
线性相关和线性无关的概念是高等代数中的基础概念，对于理解矩阵、解线性方程组等内容都具有重要的作用。
三、线性变换线性变换是指向量空间V到向量空间W的一个映射，它满足保持加法运算和标量乘法运算的性质。
线性变换在实际应用中有着广泛的应用，比如在工程、物理、计算机图形学等领域都有着重要的作用。
理解线性变换的定义和性质，对于后续的矩阵理论和特征值特征向量的学习都具有着重要的指导作用。
四、特征值与特征向量在高等代数中，特征值和特征向量是矩阵理论中的重要概念。
对于一个n阶方阵A，如果存在一个非零向量x和一个数λ，使得Ax=λx，那么λ就是矩阵A的特征值，x就是对应于特征值λ的特征向量。
特征值和特征向量在矩阵对角化、矩阵相似等问题中具有重要的应用价值。
总结通过对大一上学期末高等代数导论核心概念的解析，我们了解到向量空间、线性相关与线性无关、线性变换、特征值与特征向量等概念在高等代数中具有重要的地位，对于后续的学习和应用都具有着重要的指导作用。
高等数学第七章空间解析几何与向量代数课件.ppt
D
b a BD
2 MB
b M
MA
1 2
(
a
b
)
MB
1 2
(
b
a
)
A
a
MC
1 2
(
a
b
)
MD
1 2
(
b
a
)
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C B
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三、空间直角坐标系
1. 空间直角坐标系的基本概念
过空间一定点 o ,由三条互相垂直的数轴按右手规则
组成一个空间直角坐标系.
• 坐标原点
Ⅲ
z z 轴(竖轴)
和
计算向量
的模 、方向余弦和方向角 .
解: M1M 2 ( 1 2, 3 2 , 0 2 ) (1, 1, 2 )
(1)2 12 ( 2)2 2
cos 1 , cos 2
2
2
2 ,
,
3
3
3
4
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3. 向量在轴上的投影与投影定理
z
r
在三个坐标轴上的分向量：
cos
x r
x x2 y2 z2
z
r
o
y
x
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cos x
r
cos y
r
cos rz
x x2 y2 z2
y x2 y2 z2
z x2 y2 z2
方向余弦的性质:
z
r
o
y
高等代数向量空间
注1：刚开始，步骤要完整.
宁波工程学院理学院《高等代数》课程组制作
例5 C[a,b]表示区间[a,b]上连续实函数按照通常的加法 与数乘构成实数域R的向量空间，称为函数空间. 证明： 比照例3，给出完整步骤.
例6 （1）数域F是F上的向量空间. （2）R是Q上的向量 空间，R是否为C上的向量空间？
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1. 引例―――定义产生的背景
例1 设 F 是一个数域，F mn 表示上m×n矩阵的集合，
mn
回忆一下 F
上所能够施行的运算（教材P182）：只有
加法和数乘两种，并且满足(教材P183)：
1. A+B=B+A
5. a(A+B)= aA+Ab
2. (A+B)+C= A+( B+C)
闭合性： (c1) V上有(闭合的)加法运算，即：对任意u,v属于V, 一定有u+v属于 V. (c2) F上的数对V上的向量有 (闭合的)数乘运算，即：对任意F中数 和V中元素v, 一定有： v属于V. 加法的性质： (a1) u+v= v +u，对所有u和v属于V. (a2) u+(v+w)= (u+v)+w, 对所有u、v和w属于V. (a3) V中存在一个向量，记作o, 它满足：v+o= v 对所有V中的v. (a4) 给定V中每一个向量v, V中存在一个向量u满足： u+v= 0. 这样的u称为v的负向量.
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例7
设 Amn (aij ), aij F
x1 x2 (1) 把满足AX = 0的解X表示为 X ， x n 显然 X F n。并记AX = 0的解集为 VA,0 {X F n | AX 0}
高等代数向量空间习题答案
高等代数向量空间习题答案高等代数是数学中的一门重要课程，其中向量空间是其中的一大重点内容。
在学习高等代数的过程中，习题是不可或缺的一部分，通过解答习题可以帮助我们巩固知识、提高能力。
本文将为大家提供一些高等代数向量空间习题的答案，希望对大家的学习有所帮助。
1. 给定向量空间V = {(x, y, z) | x + y + z = 0}，证明V是一个向量空间。
解答：首先，我们需要验证V满足向量空间的定义。
对于任意的向量u = (x1,y1, z1)和v = (x2, y2, z2)，我们有：u + v = (x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2)由于x1 + y1 + z1 = 0，x2 + y2 + z2 = 0，所以有：(x1 + x2) + (y1 + y2) + (z1 + z2) = (x1 + y1 + z1) + (x2 + y2 + z2) = 0因此，u + v也属于V。
另外，对于任意的标量k和向量u = (x, y, z)，我们有：k * u = (k * x, k * y, k * z)由于x + y + z = 0，所以有：k * (x + y + z) = k * 0 = 0因此，k * u也属于V。
综上所述，V满足向量空间的定义，因此V是一个向量空间。
2. 给定向量空间V = {(x, y, z) | x + y + z = 1}，求向量空间V的一组基。
解答：我们需要找到一组线性无关的向量，使得它们的线性组合可以表示向量空间V中的任意向量。
考虑向量u = (1, 0, 0)，v = (0, 1, 0)，w = (0, 0, 1)，它们满足x + y + z = 1。
对于任意的向量(x, y, z)属于V，我们可以通过线性组合来表示它：(x, y, z) = x * (1, 0, 0) + y * (0, 1, 0) + z * (0, 0, 1)因此，向量空间V的一组基为{(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)}。
向量空间的概念
向量空间的概念向量空间的概念向量空间是数学中一个重要的概念，它被广泛应用于各个领域，如物理、计算机科学、经济学等。
本文将从定义、基本性质、子空间、线性变换和坐标系等方面详细介绍向量空间的概念。
一、定义向量空间是由一组元素组成的集合，这些元素被称为向量。
这些向量满足以下条件：1.加法封闭性：对于任意两个向量u和v，它们的和u+v也在该集合内。
2.标量乘法封闭性：对于任意一个标量k和一个向量u，它们的积ku也在该集合内。
3.加法结合律：对于任意三个向量u、v和w，有(u+v)+w=u+(v+w)。
4.加法交换律：对于任意两个向量u和v，有u+v=v+u。
5.存在零元素：存在一个零向量0使得对于任意一个向量u，有u+0=u。
6.存在相反元素：对于任意一个向量u，存在一个相反元素-u使得u+(-u)=0。
二、基本性质1.唯一性：零元素0是唯一的，并且每个向量都有唯一的相反元素。
2.加法的可逆性：对于任意一个向量u，它的相反元素-u是唯一的。
3.分配律：对于任意一个标量k和两个向量u、v，有k(u+v)=ku+kv。
4.结合律：对于任意两个标量k和l以及一个向量u，有(kl)u=k(lu)。
5.单位元素：标量1是单位元素，即1u=u。
三、子空间子空间是指向量空间中的一个非空子集，它也是一个向量空间。
如果子空间H包含在向量空间V中，则H必须满足以下条件：1.零向量0在H中。
2.对于任意两个向量u和v属于H，则它们的和u+v也属于H。
3.对于任意标量k和向量u属于H，则它们的积ku也属于H。
四、线性变换线性变换是指将一个向量空间V映射到另一个向量空间W上的映射。
如果线性变换T满足以下条件，则称其为从V到W的线性变换：1.T(u+v)=T(u)+T(v)，对于任意两个向量u和v属于V。
2.T(ku)=kT(u)，对于任意标量k和向量u属于V。
3.T(0)=0。
五、坐标系在向量空间中，我们可以使用坐标系来描述向量。
向量空间知识点总结
向量空间知识点总结一、向量空间的定义和性质1.1 向量空间的定义向量空间的定义是线性代数中的基础知识之一。
一般来说，向量空间是一个满足一系列条件的集合。
设V是一个包含向量的集合，如果满足以下条件，则称V为一个向量空间：（1）V中的任意两个向量的和仍然在V中，即对于任意的u、v∈V，有u+v∈V；（2）V中的任意一个向量与实数的乘积仍然在V中，即对于任意的u∈V，λ∈R，有λu∈V；（3）向量空间V中存在一个零向量0∈V，满足对于任意的u∈V，有u+0=u。
满足以上三个条件的向量空间V，通常记作（V，+，·），其中“+”表示向量的加法运算，“·”表示数量乘法运算。
1.2 向量空间的性质向量空间具有一些重要的性质，这些性质对于理解向量空间具有重要意义，并且也是研究向量空间的基础。
向量空间的一些性质如下：（1）向量空间的加法和数量乘法封闭性：对于向量空间中的任意两个向量u和v，以及任意的实数λ，有u+v∈V和λu∈V，即向量空间对加法和数量乘法运算是封闭的。
（2）向量空间中的零向量唯一：向量空间中只存在一个零向量0，满足对于任意的u∈V，有u+0=u。
（3）向量空间中的相反元存在性：对于向量空间中的任意一个向量u，存在一个向量-v，使得u+(-v)=0。
（4）向量空间中的数量乘法分配律：对于向量空间中的任意两个实数λ和μ，以及任意的向量u，有(λ+μ)u=λu+μu和λ(u+v)=λu+λv。
向量空间的定义和性质是向量空间理论的基础，对于理解向量空间的概念和性质具有重要的意义。
在实际问题中，向量空间的定义和性质也具有重要的应用价值。
二、子空间2.1 子空间的定义子空间是向量空间中一个重要的概念，它是指在一个向量空间中的子集合，它本身也构成一个向量空间。
设V是一个向量空间，W是V的一个非空子集合，如果满足以下条件，则称W是V的一个子空间：（1）W中的任意两个向量的和仍然在W中，即对于任意的u、v∈W，有u+v∈W；（2）W中的任意一个向量与实数的乘积仍然在W中，即对于任意的u∈W，λ∈R，有λu∈W。
《高等代数》向量空间
例7
设 Amn (aij ), aij F
x1 x2 (1)把满足AX = 0的解X表示为 X ， x n 显然 X F n。并记AX = 0的解集为 VA,0 {X F n | AX 0}
证明 VA,0 是向量空间 F n 的一个子空间。 (2)记AX = β的解集为VA, {X F n | AX }, VA, 是 否也是 F n的一个字空间？这里 F n , 0
注1：刚开始，步骤要完整.
例5
C[a,b]表示区间[a,b]上连续实函数按照通常的加法与数 乘构成实数域R的向量空间，称为函数空间. 证明： 比照例3，给出完整步骤.
例6
（1）数域F是F上的向量空间.
（2）R是Q上的向量空间，R是否为C上的向量空间？
注2：这个例子说明向量空间与F有关.
例7 设数域取R, 集合为R+(实数)，加法和数乘定义为：
不懂向量空间者无法进入数学圣殿的大门 ---匿名者
向量空间（Vector Spaces）又称线性空间（Linear Spaces）.本章的特点及要求： 向量空间是线性代数的最基本的、最重要的概念之一， 是进一步学习数学必备的内容. 向量空间产生有着丰富的数学背景，又在许多领域（包 括数学本身）中有着广泛的应用，例如：线性非常组解 的结构.
6. (a+b)B=a B +Bb
7. (ab)A=a(b)A
还有一个显而易见的：
8. 1A＝A
例2
设R是实数域，V3表示空间向量的集合.两个向量可 按照解析几何的
以作加法（平行四边形法则），可以用R中的一个数乘一个
向量，加法和数乘满足同样的8条性质. 方法，向量可以用的坐标（x,y,z）来表达，加法和数乘都
高等代数知识点总结ppt
高等代数知识点总结一、引言高等代数是一门研究数学结构、代数运算和线性方程系统的学科。
它在数学、物理学、通信、计算机等领域都有广泛的应用。
本文将对高等代数中的几个重要知识点进行总结。
二、向量空间向量空间是高等代数中的重要概念，它是由一组向量构成的集合，并满足特定的代数运算法则。
2.1 向量空间的定义向量空间是一个非空集合，其中包含一组向量，满足以下几个条件：•加法封闭性：对于任意的向量u、v属于向量空间V，u + v也属于V。
•数乘封闭性：对于任意的向量u属于向量空间V和任意的标量c，cu 也属于V。
•零向量：向量空间V中存在一个零向量0，满足对于任意的向量u 属于V，u + 0 = u。
•相反向量：对于任意的向量u属于向量空间V，存在一个相反的向量-v，满足u + (-v) = 0。
2.2 子空间在向量空间V中，如果一个集合W也是一个向量空间，并且W是V的子集，则称W为向量空间V的子空间。
2.3 线性无关与线性相关在向量空间V中，如果存在一组向量{v1, v2, …, vn}以及一组不全为0的标量{c1, c2, …, cn}，满足c1v1 + c2v2 + … + cnvn = 0，则称该组向量是线性相关的；否则，称该组向量是线性无关的。
2.4 基和维数在向量空间V中，如果存在一组线性无关的向量{v1, v2, …, vn}，并且该组向量可以通过线性组合得到V中的任意向量，则称该组向量是向量空间V的一组基。
向量空间V的基中向量的个数称为维数，记为dim(V)。
三、矩阵与线性方程组3.1 矩阵的定义矩阵是由数按矩形排列而成的一个数组，它是线性方程组的重要表示形式。
3.2 矩阵的运算矩阵与矩阵之间可以进行加法、数乘和乘法运算。
•矩阵加法：给定两个矩阵A和B，只有当它们的维数相同时，才能进行加法运算。
•数乘：给定一个矩阵A和一个标量c，可以通过将c乘以A的每个元素来得到标量乘法的结果。
•矩阵乘法：给定两个矩阵A和B，它们能够进行乘法运算的前提是A 的列数等于B的行数。
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本征值和本征向量
定义1 定义1 中一个数,如果存在 中非零向量ξ 设λ是F中一个数 如果存在 中非零向量ξ,使得 中一个数 如果存在V中非零向量 (1) )=λξ σ(ξ)=λξ . 那么λ就叫做σ的一个本征值, 叫做σ 那么 λ 就叫做 σ 的一个本征值 , 而 ξ 叫做 σ 的属于本 征值λ的一个本征向量. 征值λ的一个本征向量.
定义2 定义2 是数域F上一个 阶矩阵,行列式 设A=(aij)是数域 上一个 阶矩阵 行列式 是数域 上一个n阶矩阵 行列式: x-a11 (x)=det(xIfA(x)=det(xI-A)= -a21 -an1 叫做矩阵A的特征多项式. 叫做矩阵A的特征多项式. -a12 … -a1n -a2n x-ann
命题 7.3.3 设数域F上的向量空间V的一个线性变换σ关于V 的一个取定的基的矩阵是A,那么σ可逆必要且只要A可逆,并且 σ-1关于这个基的矩阵就是A-1.
不变子空间
定义 V的一个子空间W说是在线性变换σ之下不变(或稳 的一个子空间W说是在线性变换σ之下不变( ),如果 定),如果 σ (W ) W . 如果子空间W在σ之下不变,那么W就叫做σ的一个不 如果子空间W 之下不变,那么W就叫做σ 变子空间. 变子空间.
命题 7.1.1 设V和W是数域F上向量空间,而σ:V→W是一个线性 映射.那么V的任意子空间在σ之下的像是W的一个子空间,而W 的任意子空间在σ之下的原像是V的一个子空间.
命题 7.1.2 设V和W是数域F上向量空间,而σ:V→W是一个线 性映射,那么 Im(σ)=W. (Ⅰ) σ是满射 (Ⅱ) σ是单射 Ker(σ)=|0|.
推论 7.6.3 令σ是数域F上n维向量空间V的一个线性变换. 如果σ的特征多项式fσ(x)在F内有n个单根,那么存在V的一个 基,使σ关于这个基的矩阵是对角形式.
推论 7.6.4 令A是数域F上一个n阶矩阵.如果A的特征多项 式fA(x)在F内有n个单根,那么存在一个n阶可逆矩阵T,使 T-1AT= λ1 0 0 … 0 0 λ2 0 … 0 … … … … 0 … λn 0 0
线性变换和矩阵
定义1 定义1 是数域F上一个n维向量空间, 设V是数域F上一个n维向量空间,令σ是V的一个 线性变换,取定V 线性变换,取定V的一个基 α1,α2,,… ,αn , 考虑V中任意一个向量 考虑 中任意一个向量 ξ=x1α1+x2α2+…+xnαn +x 仍是V的一个向量. σ(ξ)仍是V的一个向量.
A=
a11 a12 …. a1n . a21 a22 …. a2n . ……………. an1 an2 …. ann .
如果V中向量ξ关于这个基的坐标是(x1,x2,…,xn),而σ(ξ)的坐 标是(y1,y2,…yn),那么 y1 x1 y2 x2 ┆ = A ┆ xn yn
例1 令V是数域F上的一个n维向量空间,σ:ξ 个位似,那么σ关于V的任意基的矩阵是 k k . 0 .. k 0 kξ是V的一
命题 7.6.1 令σ是数域F上向量空间V的一个线性变换.如果 ξ1,ξ2, … ,ξn分别是σ的属于互不相同的本征值 λ1,λ2, … ,λn的本征向量,那么ξ1,ξ2, … ,ξn线性无关.
推论 7.6.2 设σ是数域F上向量空间V的一个线性 变换,λ1, … ,λt是σ的互不相同的本征值,又设 ξi1, … ,ξisi是属于本征值λi的线性无关的本征 向量,i=1, … ,t,那么向量 ξ11, … ,ξ1s1,… ,ξt1,… ,ξtst线性无关.
例1
对于R2的每一向量ξ=(X1,X2)定义:
σ(ξ)=(X1,X1-X2,X1+X2) ∈ R3，
σ是R2到R3的一个映射，我们证明，σ是一个线性映射. （i）设ξ=(x1,x2),η=(y1,y2)是R2的任意两个向量. 我们有 σ(ξ+η) =σ((x1+y1, x2+y2)) = (x1+y1,(x1+y1) - (x2+y2), (x1+y1)+(x2+y2)) = (x1+y1,(x1-x2) + (y1-y2), (x1+x2)+(y1+y2)) = ( x1,x1-x2，x1+x2)+(y1，y1-y2， y1+y2) = σ(ξ) +σ(η) (ii)设σ∈R，ξ=（x1,x2）∈R2，我们有 σ(αξ) =σ((αx1, αx2)) = (αx1, αx1-αx2,αx1+αx2) = α(x1,x1-x2, x1+x2) = ασ(ξ) 因此σ是R2到R3的一个线性映射。
显然,如果ξ是σ的属于本征值λ的一个本征向量.那么对 于任意α∈F,都有 σ(αξ)=ασ(ξ)=αλξ=λ(αξ)
例1 令H是V3的一个过原点的平面,而σ是把V3的每一向量变成这 个向量在H上的正射影的线性变换.那么H中每个非零向量都 是σ的属于本征值1的本征向量,而过原点与平面H垂直的直线 上每一个非零向量都是σ的属于本征值0的本征向量. 例2 令D表示定义在全体实数上的可微分任意次的实函数所成的 向量空间,δ:f(x) f’(x)是求导数运算.δ是D的一个线性变换. 对于每一个实数λ,我们有 δ(eλx)=λeλx 所以任何实数λ都是δ的本征值，而eλx是属于λ的一个本征 向量.
例题1 例题1 V本身和零空间 显然在任意线性变换之下不变 本身和零空间{0}显然在任意线性变换之下不变 本身和零空间 显然在任意线性变换之下不变.
例2 令σ是V的一个线性变换,那么σ的核Ker(σ)和像Im(σ)都 在σ之下不变.
例3 V的任意子空间在任意位似变换之下不变. 例4 令σ是V3中以某一过原点直线L为轴,旋转一个角θ的旋转. 那么旋转轴L是σ的一个一维不变子空间,而过原点与L垂直 的平面H是σ的一个二维不变子空间.
线性变换的运算
定义1 定义1 上一个向量空间. 到自身的一个线性 令V 是数域 F 上一个向量空间 V到自身的一个线性 映射叫做V的一个线性变换 的一个线性变换. 映射叫做 的一个线性变换 我们用L(V)表示向量空间 的一切线性变换所成的集合. 我们用 表示向量空间V的一切线性变换所成的集合 表示向量空间 的一切线性变换所成的集合
定理7.2.1 定理7.2.1
L(V)对于加法和数与线性变换的乘法来说作成数域 F上一个 向量空间.
对于任意ρ,σ,τ∈L(V),以下等式成立: ⑴ ⑵ ⑶ ⑷ ⑸ ⑹ ⑺ ⑻ ⑼ ⑽ ⑾ σ+τ=τ+σ; (ρ+σ)+τ=ρ+(σ+τ); θ+σ=σ; σ+(-σ)=θ; k(σ+τ)=kσ+ kτ; (k+l)σ= kσ+ lτ; (kl)σ= k(lσ); lσ=σ; ρ(σ+τ)=ρσ+ρτ; (σ+τ)ρ=σρ+τρ; (kσ)τ=σ(kτ)=k(στ).
x-a22 … … … … … -an2 …
命题 7.5.1 设σ是数域F上n维向量空间V的一个线性变 换.λ∈F是σ的一个本征值必要且只要λ是σ的特征多项式 fσ(x)的一个根.
例3 设 A=
a b c d
,那么 fA(x) =
x-a -c
-b x-b
= x2-(a+d)x+(cd-bc) = x2-trAx+detA .
第七章 向量空间
§7.1 §7.2 §7.3 §7.4 §7.5 §7.6 线性映射 线性变换的运算 线性变换和矩阵 不变子空间 本ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ值和本征向量 可以对角化的矩阵
线性映射的定义
定义1 定义1 设 F是一个数域,V和 W是F上向量空间.设 σ是 V到W的 是一个数域,V和 上向量空间. ,V 一个映射,如果下列条件被满足, 一个映射 ,如果下列条件被满足 ,就称σ是 V 到 W的一 个线性映射: 个线性映射: (1) ξ,η∈ V,σ(ξ+η)= σ(ξ) + σ(η); (2) α ∈ F, ξ∈ V, σ(αξ)=ασ(ξ)。 αξ)= )=α
命题 7.6.5 令σ是数域F上n维向量空间V的一个线性变 换,σ可以对角化的充分且必要的条件是 ⑴ σ的特征多项式的根都 F 内: ⑵ 对于σ的特征多项式的每一个根λ,本征子空间Vλ的维 数等于λ的重数.
推论 7.6.6 设A是数域F上的一个n阶矩阵.A可以对角化 的充分必要条件是 ⑴ A的特征根都在F内; ⑵ 对于A的每一特征根λ, 秩(λI-A)= n–s, I A 这里s是λ的重数.
可以对角化的矩阵
定义 是数域F n(n≥1)维向量空间 的一个线性变换. 维向量空间V 设σ是数域F上n(n≥1)维向量空间V的一个线性变换.如果 存在V的一个基,使得σ 存在V的一个基,使得σ关于这个基的矩阵具有对角形式 λ1 0 0 … 0 0 λ2 0 … 0 … … … … 0 0 0 … λn 那么就说, 可以对角化. 那么就说,σ可以对角化.
特别V的单位变换关于任意基的矩阵是单位矩阵, 关于任意基的矩阵是零矩阵.
命题 7.3.2 设V是数域F上一个n维向量空 间,{α1,α2,…,αn }是V的一个基,那么对于V中任意n个向量 { β1,β2,…βn,恰有V的一个线性变换σ使得 )=β i=1,2,…,n. σ(αi)=βi , i=1,2, ,n.
令
A=
a11 a12 …. a1n . a21 a22 …. a2n . ……………. an1 an2 …. ann .
矩阵A叫做线性变换σ关于的{ 矩阵. 矩阵A叫做线性变换σ关于的{α1,α2,,… ,αn }矩阵.
命题 7.3.1 令V是数域F上一个n维向量空间,σ是V的一个线性 变换,而σ关于V的一个基本{α1,α2,,… ,αn }的矩阵是 {
我们把这种化法归结为以下步骤: