兰琦_构图方式决定解题方式

构图方式决定解题方式

——对一道解析几何试题的分析与解答

兰琦

北京市学而思教育教研中心

题目（2012年丰台一模理科数学试题）已知M 为椭圆22

:142x y E +=的左顶点，不与x 轴垂直的直线

AB 与椭圆交于()11,A x y 、()22,B x y ．直线MA 、MB 与直线:4l x =分别交于点()34,P y 、()44,Q y ．若1234

1111

y y y y +=+

，求证：直线AB 过定点．

分析 依题意，由对称性容易推得直线AB 过x 轴上的定点，设为N ．

此题涉及的动点有A 、B 、P 、Q ，动直线有MAP 、MBQ 、ANB ，可谓“点多线杂”．正因为此，大家在解此题时可能颇感吃力，尤其在消参阶段，可能更感力不从心．其实，只要在构图阶段理清图形的结构，把握好参数的依存关系，对整个解题过程就会有全局性的规划，从而在消参阶段做到有条不紊、从容不迫．

从构图的角度看，本题既可以从点出发（如构图法1和构图法2），也可以从直线出发（如构图法3和构图法4）．

构图法1

1、在直线l 上选取P 、Q 两点；

2、连接MP 、MQ ，分别与椭圆交于A 、B ；

3、连接AB 与x 轴交于点N ． 构图法2

1、在椭圆E 上选取A 、B 两点；

2、连接MA 、MB ，分别与直线l 交于P 、Q ；

3、连接AB 与x 轴交于点N ． 构图法3

1、作直线AB 与x 轴交于点N ；

2、直线AB 与椭圆E 交于点A 、B ；

3、连接MA 、MB ，分别与直线l 交于P 、Q ． 构图法4

1、过M 作直线MAP 和MBQ ；

2、直线MAP 分别与椭圆E 和直线l 交于点A 、P ；

3、直线MBQ 分别与椭圆E 和直线l 交于点B 、Q ．

解析几何题目有几个显著的特点，就在于构图方式决定解法的格局和方向，表达方式决定所列方程（或不等式）的复杂程度，消参方式影响解法的运算量．下面就上述几种不同的构图方式分别给出对应的解法，

供大家参考，希望对大家在求解直线与圆锥曲线关系的问题时有所启发．

解法1

由()34,P y ，得()3

:26

y MP y x =

+． 联立直线MP 与椭圆E ，得()

22223331844720y x y x y +++-=． 因此233

2

23

336212,1818y y A y y ⎛⎫- ⎪++⎝⎭

，同理可得244

2

24436212,1818y y B y y ⎛⎫

- ⎪++⎝⎭

． ……① 由()11,A x y 、()22,B x y 得()12

1112:y y AB y x x y x x -=-+-，因此211212,0x y x y N y y ⎛⎫- ⎪-⎝⎭

． ……② 将①代入

1234

1111

y y y y +=+

，得346y y =-． ……③ 将①代入②，得N 点的横坐标为

34

21121234

186y y x y x y y y y y +-=

--． 将③代入上式，即得N 点的横坐标为1，因此直线AB 过定点()1,0N ，原命题得证． 解法2

由()11,A x y ，得()1

1:22y MA y x x =++，因此1164,2y P x ⎛⎫ ⎪+⎝⎭，同理可得2264,2y Q x ⎛⎫ ⎪+⎝⎭

．

从而由

1234

1111

y y y y +=+

，得()1212214y y x y x y +=+． ……① 由()11,A x y 、()22,B x y 得()12

1112:y y AB y x x y x x -=

-+-，因此211212,0x y x y N y y ⎛⎫- ⎪-⎝⎭

． ……② 考虑到2211142x y +=，2222142x y +=

，因此设11112cos x y θθ=⎧⎪⎨

=⎪⎩

，22

22

2cos x y θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩，则

①即

)()1212sin sin θθθθ+=+，也即12

12

2cos

cos

2

2

θθθθ-+=． ……③

②即N

12

12

1212

2sin cos

2212cos sin 22

θθθθθθθθθθ---=

=+-

因此直线AB 过定点()1,0N ，原命题得证． 解法3

设直线AB 的方程为x my n =+，则(),0N n ． 由()11,A x y ，得()1

1:22y MA y x x =++，因此1164,2y P x ⎛⎫ ⎪+⎝⎭，同理可得2264,2y Q x ⎛⎫ ⎪+⎝⎭

．

从而由

1234

1111

y y y y +=+

，得()1212214y y x y x y +=+ 将11x my n =+、22x my n =+代入上式，得()()121242n y y my y -+= ……①

联立直线AB 与椭圆E ，得()

2222240m y mny n +++-=

因此12222

mn

y y m -+=+，212242n y y m -=+ ……②

将②代入①，解得1n =．

因此直线AB 过定点()1,0N ，原命题得证． 解法4

设直线MAP 、直线MBQ 的方程分别为12x m y =-、22x m y =-，则 联立直线MAP 与椭圆E ，得()

2211240m y m y +-= 于是点2112

211244,22m m A m m ⎛⎫

- ⎪++⎝⎭

． ……① 联立直线MAP 与直线l ，得点P 的纵坐标3y 为

1

6

m ． ……② 同理可得22222

22244,22m m B m m ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，42

6

y m =． ……③ 将①②③代入

1234

1111

y y y y +=+

，得126m m =-． ……④ 由()11,A x y 、()22,B x y 得()12

1112:y y AB y x x y x x -=

-+-，因此211212,0x y x y N y y ⎛⎫- ⎪-⎝⎭

． 将①②③代入，有N 点的横坐标为222112

2

222

21121212122212244244222224

442

22

m m m m m m m m m m m m m m m m --⋅-⋅+++++=

--

++ ……⑤ 将④代入⑤，可得N 点的横坐标为1． 因此直线AB 过定点()1,0N ，原命题得证．