4.2 广义二重积分
二重积分的计算法2
D
D
及坐标轴所围成的在第一象限内的区域. 2. ( x 2 y 2 )d 其中 D 是由直线
D
y x , y x a, y a, y 3a(a 0)所围成的区域. 3. R2 x 2 y 2 d ,其中 D 是由圆周
D
x 2 y 2 Rx 所围成的区域. 2 2 2 2 4. , 其中 D : x y 3. x y 2 d
三、设平面薄片所占的闭区域 D 是由螺线 r 2 上一段
弧( 0 )与直线 所围成,它的面密度为 2 2
( x , y ) x 2 y 2 ,求这薄片的质量.
四、 计算以 xOy 面上的圆周 x 2 y 2 ax 围成的闭区域为底， 而以曲面 z x 2 y 2 为顶的曲顶柱体的体积.
D1
(1 x y )
R
D1
(1 r )
r 2 1 (1 R ) 1 d d r 2 1 0 (1 r ) 0
I lim I ( R) lim
R
2 1 (1 R ) R 1
2
, 当 1 1 1 当 1 ,
d e r rdr
2
2 0
a
a x
0
D
2
0
1 r2 a ( e ) 0 d 2
2
0
1 a2 a2 (1 e )d (1 e ). 2
通常当积分区域的边界由圆弧、射线组成且被积函数 y 含有x y ， 等形式时，用极坐标计算较为简单. x
2 2
例 2 计算 ( x 2 y 2 )dxdy，其 D 为由圆 x 2 y 2 2 y ，
二重积分的计算与应用
目录摘要 (1)关键词 (1)Abstract (1)Keywords (1)前言 (1)1.二重积分的概念 (1)1.1二重积分的定义 (1)1.2可积条件 (2)1.3可积类 (2)1.4二重积分的性质 (2)2.二重积分的计算方法 (3)2.1直角坐标系下的二重积分的计算 (3)2.2二重积分的变量变换 (4)2.2.1普通情况下的变换 (4)2.2.2极坐标计算二重积分 (4)3.广义二重积分 (6)4.二重积分的应用 (6)4.1体积 (7)4.2曲面的面积 (8)4.3其它 (8)参考文献 (9)二重积分的计算与应用学生姓名：学号：数学与信息科学学院数学与应用数学专业指导教师：职称：摘要：研究了二重积分的几何意义，概念，性质以及在直角坐标系及极坐标下的计算方法，并给出了计算公式及相关例题,最后总结了二重积分的计算方法.关键词：二重积分;直角坐标系;极坐标;曲顶柱体The calculation and application of double integral Abstract : This paper mainly studies the geometric significance of double integral, the concept, nature and calculation method under the rectangular coordinate system and polar coordinate calculation method.Key Words: Double integral; The rectangular coordinate system; The polar coordinate; Curved top cylinder前言我们已经很熟悉定积分的一些性质及计算方法.同样，二重积分在实际中应用广泛，且有直观的几何解释，所不同的是现在讨论的对象为定义在平面区域上的二元函数.这类问题在物理学与工程技术中也常遇到，如求非均匀平面的质量、质心、转动惯量等.二重积分的计算的基本途径是将其转化成二次积分计算，计算二重积分时选择积分顺序，交换积分次序以及转换坐标系都是至关重要的问题.本文对二重积分的计算方法进行了全面的概括和总结，并对各种计算方法的选择进行了认真地研究，为准确的计算二重积分提供有效的帮助.1.二重积分的概念1.1[]2二重积分的定义设(,)f x y是定义在可求面积的有界闭区域D上的函数.J是一个确定的数，若对任给的某个正数ε，总存在某个正数δ，是对于D的任何分割T，当它的细度||T||时，属于T 的所有积分和都有1(,)||ni i i i f J ξσσε=∆-<∑则成(,)f x y 在D 上可积，数J 称为(,)f x y 的二重积分，记为(,)σDJ f x y d =⎰⎰.1.2[]1可积条件二重积分的可积条件与定积分类似(1)必要条件：函数(,)f x y 在D 上可积，则(,)f x y 在D 上必有界. (2)充要条件：①函数(,)f x y 在D 上可积s S =⇔(其中S ，s 分别为在上的上积分和下积分). ②函数(,)f x y 在D 上可积⇔对0>∀ε，存在分割T ，使得()().ε<-T s T S③函数(,)f x y 在D 上可积⇔对0>∀ε，存在分割T ，使得.1εσω<∑=∆ni i i1.3[]1可积类(1)有界闭区域D 上的连续函数必可积.(2)若(,)f x y 在有界闭区域D 上有界，且仅在D 内有限条光滑曲线上不连续，则(,)f x y 在D 上可积.1.4[]2二重积分的性质性质4.1（线性性） (,)σ(,)σDDkf x y d k f x y d =⎰⎰⎰⎰.性质4.2（线性性）[](,)(,)σ=(,)σ(,)σDDDf x yg x y d f x y d g x y d ±±⎰⎰⎰⎰⎰⎰.性质4.3（分段可加性）1212(,)σ=(,)σ+(,)σD D D D f x y d f x y d f x y d +⎰⎰⎰⎰⎰⎰.性质4.4（保不等式性） 设(,),(,)(,)x y D f x y g x y ∀∈<, 则 (,)σ(,)σDDf x y dg x y d <⎰⎰⎰⎰.性质4.5 设(,)m f x y M ≤≤,则(,)σDm f x y d M σσ≤≤⎰⎰其中σ表示D 的面积.性质4.6 (二重积分的中值定理)设函数(,)f x y 在闭区域D 上连续，D S 是D 的面积，则∃（ζ，η）∈D 使得(,)Df x y ⎰⎰σd =(,)f ξηDS.其中中值定理的几何意义：以D 为底，z=(,)f x y ((,)f x y ≥0)为曲顶的曲顶柱体体积等于一个同底的平顶柱体的体积，这个平顶柱体的高等于(,)f x y 在区域D 某点的函数值(,)f ξη.2.二重积分的计算方法定理1 设在矩形区域[][],,D a b c d =⨯上可积，且对每个[],x a b ∈积分存在，则累次积分(,)b d acdx f x y dy ⎰⎰也存在，且(,)σ=(,)b d acDf x y d dx f x y dy ⎰⎰⎰⎰.另外，同理(,)σ=(,)db caDf x y d dy f x y dx ⎰⎰⎰⎰.2.1[]4直角坐标系下的二重积分的计算此方法的关键就是化二重积分为累次积分，对于一般区域，通常可以分为以下两种区域进行计算：①X 型区域：平面点集12{(,)|()(),},D x y y x y y x a x b =≤≤≤≤ 则化二重积分为累次积分21()()(,)σ(,)bx a x Dy f x y d dx f x y dy y =⎰⎰⎰⎰. ②Y 型区域：平面点集{12(,)|()(),}D x y x y x x y c y d =≤≤≤≤则化二重积分为累次积分21()()(,)σ=(,)dy c y Dx f x y d dy f x y dx x ⎰⎰⎰⎰. 例1 设D 是由直线0,1x y ==及x y =围成的区域，试计算22()y DI x e d σ-=⎰⎰.解 利用Y 型区域积分：231123001()3yy y I dy x e dx y e dy --==⎰⎰⎰.由分部积分法得 1163I e=-. 例2 计算二重积分Dd σ⎰⎰，其中D 为由直线2,2y x x y ==及3x y +=所围的三角形区域.解 利用X 型区域，则相应的221()2(01),()3(12),2x y x x x y x x x y =≤≤=-<≤=所以 1223012212x x x x DD D d d d dx dy dx dy σσσ-=+=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰1201(2)(3)22x xx dx x dx =-+--⎰⎰ =32. 2.2[]5 二重积分的变量变换定理2 设(,)f x y 在有界闭区域D 上可积，变换T: (,),(,)x u v y u v ==将uv 平面由按段光滑闭曲线所围成的闭区域∆一对一的映成xy 平面上的闭区域D ,函数(,),(,)x u v y u v 在∆内分别具有一阶连续偏导数且它们的行列式 (,)0(,)(,)x y J u v u v ∂=≠∈∆∂， 则 (,)((,),(,))|(,)|D f x y dxdy f x u v y u v J u v dudv ∆=⎰⎰⎰⎰. 2.2.1普通情况下的变换例3 求抛物线22,y mx y nx ==和直线,y x y x αβ==所围成的区域D 的面积S （0,0m n αβ<<<<）.解 D 的面积DS dxdy =⎰⎰为了简化积分区域，做变换2,,u ux y v v==则[][],,m n αβ∆=⨯.由于4(,)(,)(,)x y uJ u v u v v ∂==∈∆∂,所以 22334433()()6n m Du dv n m S dxdy dudv u du v v βαβααβ∆--====⎰⎰⎰⎰⎰⎰. 2.2.2极坐标计算二重积分当积分区域是圆域或圆域的一部分时，或者背积函数的形式为22()f x y +时，采用极坐标变换T ：cos ,sin (0,02)x r y r r θθθπ==≤<+∞≤≤, 则 (,)(,)(,)x y J r r u v θ∂==∂.定理3 设(,)f x y 满足定理1的条件，且在极坐标变换下xy 平面上有界闭区域D 与r θ平面上区域∆对应，则成立(,)(cos ,sin )Df x y dxdy f r r rdrd θθθ∆=⎰⎰⎰⎰.二重积分在极坐标下化为累次积分有以情况：1.θ型区域：若原点o D ∈，且xy 平面上射线θ=常数与D 的边界至多交与两点,则必可表示为12()(),r r r θθαθβ≤≤≤≤, 于是有 2()1()(,)(cos ,sin )r r Df x y dxdy d f r r rdr βθαθθθθ=⎰⎰⎰⎰.R 型区域：若平面上的圆r =常数与D 的边界至多交与两点，则∆必可表示为1212()(),r r r r r θθθ≤≤≤≤,于是有 2211()()(,)(cos ,sin )r r Dr f x y dxdy rdr f r r d r θθθθθ=⎰⎰⎰⎰.2．若原点为D 的内点，D 的边界的极坐标方程为()r r θ=，则∆必可表示成为0(),02r r θθπ≤≤≤≤,于是有 2()0(,)(cos ,sin )r Df x y dxdy d f r r rdr πθθθθ=⎰⎰⎰⎰.3．若原点O 在D 的边界上，则∆为0(),r r θαθβ≤≤≤≤, 于是有 ()0(,)(cos ,sin )r Df x y dxdy d f r r rdr βθαθθθ=⎰⎰⎰⎰.例4 计算I=D其中D 为圆域.122≤+y x解 由于原点为D 的内点故有210Dd πθ=⎰⎰[].212010202πθθππ=--=⎰⎰d d r例5 求球体2222x y z R ++≤被圆柱体22x y Rx +=所割下部分的体积（称为维维安尼体（Viviani ））.解 由所求立体的对称性，只要求出第一卦限的部分体积后乘以4即可.在第一卦限内的体积是一个曲顶柱体，其底为xy 平面内由0y ≥和22x y Rx +=所确定的区域，曲顶的方程为z =所以4DV σ=.其中D={}22(,)|0,x y y x y Rx ≥+≤，用极坐标变换后有cos33322004424(1sin )()3323R V d R d R ππθπθθθ==-=-⎰⎰⎰.3[]4.广义二重积分若在无界区域D 上(),0,≥y x f 则()σd y x f D⎰⎰,收敛⇔在D 的任何有界子区域上f 可积,且积分值有上界.例6 证明反常积分σd e Dy x⎰⎰+-)(22收敛,其中[)[);,0,0+∞⨯+∞=D 并由此计算概率积分.02dx e x ⎰+∞-证明 设(),,)(22y xe y xf +-= 则显然()y x f ,在[)[)+∞⨯+∞=,0,0D 上非负.设,0,0,:222≥≥≤+y x R y x D R 则).1(4r 2222020)(R Rr Dy x e e d d e--+--==⎰⎰⎰⎰πθσπ显然对D的任何有限子集'D ,只要R 充分大,总可使得,'R D D ⊂ 于是有.4'22'22)()(πσσ≤≤⎰⎰⎰⎰+-+-d e d e Dy xDy x即广义积分σd e Dy x⎰⎰+-)(22收敛.记,2dx e I x ⎰+∞-=则.))(()(022222dxdy e dy e dx e I Dy xy x ⎰⎰⎰⎰+-+∞-+∞-== 其中[)[),,0,0:+∞⨯+∞D 做极坐标代换,0,20,sin ,cos +∞<≤≤≤⎩⎨⎧==r r y r x πθθθ 则,4r 02022πθπ==⎰⎰∞+-dr e d I r .202π==⎰∞+-dx e I x 4.二重积分的应用二重积分在几何、物理等许多学科中有着广泛的应用，这里重点介绍它在几何方面的应用． 4.1体积根据二重积分的几何意义，⎰⎰Dd y x f σ),(表示以),(y x f 为曲顶，以),(y x f 在xOy坐标平面的投影区域D 为底的曲顶柱体的体积．因此，利用二重积分可以计算空间曲面所围立体的体积． 例7[]6 求椭球面1222222=++cz b y a x 所围之椭球的体积．解 由于椭球体在空间直角坐标系八个卦限上的体积是对称的．令D 表示椭球面在xOy 坐标面第一象限的投影区域，则D ,0,0,1),(2222⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥≥≤+=y x b y a x y x体积.),(8⎰⎰=Ddxdy y x z V 作广义极坐标变换θθsin ,cos br y ar x ==,则此变换的雅可比行列式abr J =，与D 相对应的积分区域{},20,10),(*πθθ≤≤≤≤=r r D 此时,1),(2r c y x z z -==从而 abrdr r c d drd J br ar z V D ⎰⎰⎰⎰-==2*1218)sin ,cos (8πθθθθ.34128102abc dr r r abc ππ⎰=-⋅= 例8[]6 求球面+2x 2224a z y =+与圆柱面)0(222>=+a ax y x 所围立体的体积.图1解 由对称性（图1（a ）给出的是第一卦限部分）.44222⎰⎰--=Ddxdy y x a V其中D 为半圆周22x ax y -=及x 轴所围成的闭区域（图1（b ））．在极坐标系中，与闭区域D 相应的区域*D {},20,cos 20),(πθθθ≤≤≤≤=a r r 于是⎰⎰⎰⎰-=-=Da rdr r a d rdrd r a V 20cos 2022224444πθθθ=.)322(332)sin 1(33220333⎰-=-ππθθa d a4.2曲面的面积设曲面S 的方程为),,(y x f z = 它在xOy 面上的投影区域为,xy D 求曲面S 的面积.A若函数),(y x f z =在域xy D 上有一阶连续偏导数，可以证明，曲面S 的面积.),(),(122dxdy y x f y x f A xyD y x ⎰⎰'+'+=（1）例9 计算抛物面22y x z +=在平面1=z 下方的面积．解 1=z 下方的抛物面在xOy 面的投影区域xy D {}.1),(22≤+=y x y x又,2x z x =',2y z y =' 221y x z z '+'+=,44122y x ++ 代入公式（1）并用极坐标计算，可得抛物面的面积 ⎰⎰⎰⎰+=++=xyxyD D rdrd r dxdy y x A *22241441θ=).155(6)41(201212-=+⎰⎰πθπrdr r d如果曲面方程为),(z y g x =或),(z x h y =，则可以把曲面投影到yOz 或xOz 平面上，其投影区域记为yz D 或xz D ，类似地有.),(),(122dydz z y g z y g A yzD zy ⎰⎰'+'+= 或.),(),(122dxdz x z h x z h A xzD z x⎰⎰'+'+= 4.3其它例10[]4 平均利润 某公司销售商品Ⅰx 个单位，商品Ⅱy 个单位的利润),(y x P .5000)100()200(22+----=y x现已知一周内商品Ⅰ的销售数量在150～200个单位之间变化，一周内商品Ⅱ的销售数量在80～100个单位之间变化．求销售这两种商品一周的平均利润．解 由于y x ,的变化范围{},10080,200150),(≤≤≤≤=y x y x D 所以D 的面积.10002050=⨯=σ 由二重积分的中值定理，该公司销售这两种商品一周的平均利润为[]σσσd y x d y x P DD⎰⎰⎰⎰+----=5000)100()200(10001),(122 []dy y x dx 5000)100()200(100012210080200150+----=⎰⎰ dx y y y x 100803220015050003)100()200(10001⎥⎦⎤⎢⎣⎡+----=⎰ 20015020015023292000)200(2030001⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--=x x dx 4033300012100000≈=（元）． 参考文献：[1] 赵树原,胡显佑,陆启良.微积分学习与考试指导[M] .北京：中国人民大学出版社, 1999. [2] 华东师范大学数学系.数学分析(第三版)[M]. 北京：高等教育出版社,2004. [3] 刘玉琏,傅沛仁等.数学分析讲义(第四版)[M]. 北京：高等教育出版社,2003. [4] 周应编著. 数学分析习题及解答[M]. 武汉：武汉大学出版社，2001. [5] 胡适耕，张显文编著. 数学分析原理与方法[M].北京：科学出版社，2008. [6] 吴良森等编著. 数学分析习题精解[M].北京：科学出版社，2002.。
二重积分的概念及性质
积分对变量的可加性
定义
如果f(x,y)在平面上是可积的，那么对于任 意的a和b，有 ∫∫Df(x,y)dσ=∫a→bf(x,y)dσ+∫∫Df(x,y)dσ， 其中D是包含在区间[a,b]内的可积区域。
应用
该性质可以用于计算二重积分，特别是当被 积函数与某个变量的关系较为简单时。
04 二重积分的物理应用
个小弧段进行积分，然后将结果相加得到总长度。
平面曲线的曲率与挠率
曲率
曲率是描述曲线弯曲程度的量，可以 通过二重积分计算出曲线的曲率。
挠率
挠率是描述曲线在垂直方向上的弯曲 程度的量，也可以通过二重积分计算 出曲线的挠率。
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积分区域的可加性
定义
如果D1和D2是平面上互不相交的可积区域，则它们分别上的二重积分之和等于它们并集上的二重积分。 即，如果D=D1∪D2，则∫∫Df(x,y)dσ=∫∫D1f(x,y)dσ+∫∫D2f(x,y)dσ。
应用
该性质可以用于简化复杂的积分区域，将复杂区域分解为简单区域进行计算。
积分对区域的可加性
转换坐标
将被积函数从直角坐标转换为极坐标形式，即$x = rhocostheta$，$y = rhosintheta$。
分层积分
将极坐标下的二重积分拆分成两个累次积分，即先对角度积分再对极径积分。
逐个计算
对每个角度范围，计算其在极径上的积分值，并求和。
得出结果
将所有角度范围的积分结果相加，得到整个极坐标区域上的二重积分值。
二重积分的概念及性质
目录
• 二重积分的定义 • 二重积分的计算方法 • 二重积分的性质和定理 • 二重积分的物理应用 • 二重积分的数学应用
广义二重积分
2π
+∞
= ∫ [ lim
0
2π
b →+∞
∫0 e rdr ]dθ = 2π lim
1 b2 (1 e ) = π . b →+∞ 2
2
3
注3 若在普哇松积分 ∫∞ e dx 中令 x =
x2
+∞
1 2
y,
则
则
∫
∫
+∞
∞
+∞
1 2
e dx = π .
x2
2
∞
1 x22 e dx = 1. 2π
例22 计算
∫∫ e
D
x2 y 2
dxdy,其中D是整个xy平面,
即 ∞ < x < +∞, ∞ < y < +∞.
解 整个xy平面用极坐标表示是D : 0 ≤ r < +∞, 0 ≤ θ ≤ 2π
∫∫ e
D
x2 y 2
dxdy = ∫
b r2
+∞
∞
∫
+∞
∞
e
x2 y 2
dxdy = ∫ dθ ∫ e rdr
1 x22 e 是统计学中常用的 此式中的被积函数 ( x) = 2π
标准正态分布的密度函数.
4
例24 计算
∫ ∫
∞
+∞
+∞
1 2πσ 1σ 2
∞
e
( x 1 )2 ( x 2 )2 2σ12 2σ 22
dxdy (σ 1 > 0, σ 2 > 0)
x = 2σ 1 + 1 x 1 y 2 解 令u= ,v = , 则得 2σ 1 2σ 2 y = 2σ 2 + 2
二重积分的概念及几何意义
若函数$f(x,y)$和$g(x,y)$在区域$D$ 上均可积，则有 $iint_{D}[f(x,y)+g(x,y)]dsigma=iint_ {D}f(x,y)dsigma+iint_{D}g(x,y)dsig ma$。
积分区域的可加性
简单区域的叠加
若复杂区域$D$可以划分为有限个简单区域（如矩形、三角形等）的并集，且函数在每个简单区域上 均可积，则二重积分可以通过在这些简单区域上分别进行积分并求和得到。
复杂区域的分解
对于复杂的不规则区域，可以通过引入辅助线将其划分为几个较简单的子区域，然后在每个子区域上 分别进行积分，最后将结果相加。这种方法在处理具有复杂边界或包含多个不同部分的积分区域时特 别有用。
03
二重积分的计算
直角坐标系下的二重积分
积分区域为矩形区域
通过对矩形区域进行划分，将二重积分转化为累次积分进行计算。
对于环形区域，可以通过对内外圆的极径 进行划分，将环形区域划分为若干个小扇 形区域，然后对每个小扇形区域进行积分 ，最后将结果相加得到二重积分的值。
二重积分的换元法
直角坐标与极坐标的互化
通过直角坐标与极坐标之间的互化公式，可以将直角坐标系下的二重积分转化为极坐标 系下的二重积分进行计算。
一般变换
对于一般的二重积分，可以通过变量代换的方法将其转化为更简单的形式进行计算。常 用的变量代换方法有极坐标代换、广义极坐标代换等。
积分的数乘性质
若函数$f(x,y)$在区域$D$上可积，则对于任意常数$k$，有 $iint_{D}kf(x,y)dsigma=kiint_{D}f(x,y)dsigma$。
可加性质
积分区域的可加性
若区域$D$可分成两个不相交的区域$D_1$和 $D_2$，且函数$f(x,y)$在$D_1$和$D_2$上均 可积，则有 $iint_{D}f(x,y)dsigma=iint_{D_1}f(x,y)dsigm a+iint_{D_2}f(x,y)dsigma$。
广义二重积分.docx
网极限在我们所采用的定义1至定义4中均应用了网极限的概念，因此有必要将网极限的一般定义及部分可能要用到的性质略作阐述•定义0.1设集合D「I ,称D上的二元关系：:：为半序关系，若其满足：(i) 非自反性:-X)y D,x：：：y=x = y(ii) 传递性:-χ,y,z D 若x ：：y,y ：： Z 则:X Z定理0.1如此定义的半序集中没有最大元证明仮设-χ D,-∖z D St X Z另T Z D St z ：： Z由(ii)知:X ：：Z'但由⑴知：Z=Z矛盾.即得证.注:半序关系中并没有要求- χ,y∙ D , 一定要有X ：：： y或y：：：x,只要两者不同时成立即可.也就是说,两者可以在这种关系下无法比较.我们回忆在学习数列时定义极限的情形，不难发现当时是依靠N中的良序关系来描述极限的，然而在更多的情形下，极限的基未必能满足这样的良序关系.为了使这样的极限也能利用序列来进行描述，我们引入半序关系.这样,用能序列描述的极限的范围就被极大地扩展了.定义0.2称偶(D I：：：)为半序集若D=•一且：：：为D上的半序关系.定义0.3称半序集(D, 0为定向集,若其满足：(iii) 共尾性：一X, y D z D st X ：：z, y ：： Z这个性质对网极限的定义至关重要，正是共尾性保障了我们所定义极限的唯一性定义0.4称映射S:D— X为X中的网若集合Df 一且(D,：：：)为定向集,记作S = <S(d)∣d E D}一般的网极限理论是在拓扑空间展开的，我们在此不必涉及.我们所讨论的的网极限中恒令X= R.定义0.5对于定向集(D,：：：)上的网S: D- R)若Ξ IER)对〒 E A0,E D ,Fdd cd)有∣S(d) _l| <ε则称I为映射S在定向集(D」：：)上的网极限，即记作Iim S(D,Q定理0.1定义5中所述的网极限是唯一的.证明：假设三∣I,∣2^R si Vε>0^dι^ DΛ∕d∕^<d,有∣ S(d) —∣ιIegΞd2^D,Wd2cd,有IS(d)-I2Ieg由(D,：：：)上的共尾性：d> D si d1* <d*,d2* ： d*■ ” - * *从而有：S(d ) - ∣ι V 呂且S(d ) -∣2 < E ,于是∣l1- 12| <2E由；的任意性知：I1=I2即证网极限是唯一的，说明定义5是良好的.定义0.6设集合D^D且(D1, <)中沿用(D,：)中的半序关系.若:-d D, d√D1, St d 9,则称网S:D— R的限制S1P1— R为网S的临界子网，称半序集(D1, <)为(D, ■■■■.)的临界子定向集.定理0.2上述定义6中的(D1,.)为定向集证明:首先按照定义，(U ,)是半序集又一X, y D I-D Z- D st x ： z, y ：： ZT Z l D I St z ：： z1由半序关系的传递性:X z1, y z即(Dj)为定向集.定义0.7称S1P1—R为网S的临界子网若网S:D— R限制在(D,：：：)的一个临界子定向集上.在临界子网上也可以定义网极限，为了证明广义二重积分在不同定义下的等价性我们有必要建立起不同网之间的关系•定理0.3 Iim S= Iim S(D,Q (Dι,Q这个定理常用来反证网极限不存在，也就是说我们可以选取一个临界子网使极限在此子网上极限不存在，从而说明网极限不存在•定义0.8称定向集(D1, <1)与(D2, ：2)是等价的,若映射T:D i—D2 满足:x：：：y= T(X) <T(y),记作(D i,勺)三(D?, Q定义0.9称网S i： D i —R与网S2: D2—R是等价的，若(D i, G 二(D2, ：：2)且S I=S T ,记作S I二S?定理0.4 S i r S2= ∣im S i Iim S2' 2(D i,<⅛(D2&证明:不妨设Iim S I存在且Iim S i=I i,(D i,-⅛' (D i,匕' 'V & >0 三d；E D i W d E D i, d； Cd ∣S1(d^ I i∣<z由S 三S2 的定义,我们有：Vε>0 ΞT(di^ D2 V d E D2,T(d i )cd由T 为i _i 映射:d i D st T(d i*) <T(d i)再由T 的保序性得：d i* <d i= ∣S i(d i H∣^ε 即∣S2(T(d i)) — I I G即Iim S2存在且Iim S2 =I i(D2, ■)2(D2, ：：) 2'下面来说明我们以后证明中使用频率最高的共同临界子网的概念.定义0.i0称S l与S2存在共同临界子网若S的临界子网与S的临界子网等价.至此,我们可以提出我们证明的一般思路了.如我们要证明定义i=定义2:StePi对于正函数，在定义i,2下的网收敛=临界子网收敛Step2在定义1,2下,有绝对收敛性,即f收敛=:f收敛Step3找出定义1中的网与定义2中的网的一个公共临界子网于是 f E R (0)= I f e R (O)U (Iim)S(If|,0)二(Dm)S2(∣f∣,0)= ∣f 乏R2(O)= "R2(Ω)其中第一个和第五个等价性是由广义二重积分的绝对收敛性得出的，第二个和第四个等价是由正函数的广义二重积分网极限与临界子网极限同时存在得出，而第三个等号是由公共临界子网的等价性得出。
第九章第三节广义二重积分
是在此期间，欧阳修在滁州留下了不逊于《岳阳楼记》的千古名篇——《醉翁亭记》。接下来就让我们一起来学习这篇课文吧！【教学提示】结合前文教学，有利于学生把握本文写作背景，进而加深学生对作品含义的理解。二、教学新课目标导学一：认识作者，了解作品背景作者简介：欧阳修(1007—1072)，字永叔，自号醉翁，晚年又号“六一居士”。吉州永丰(今属
f ( x, y)d lim f (x, y)d
D
D1 D D1
否则称积分是发散的。
■
123
例1 计算 ex ydxdy ,其中D是由直线x=0 D
与y=x所围成的属于第一象限的区域.
解： 积分区域如图所示，它是一个无界区域。
作一条直线y=c(c>0) ,它与直线 y
4．体会作者的思想感情，理解作者的政治理想。一、导入新课范仲淹因参与改革被贬，于庆历六年写下《岳阳楼记》，寄托自己“先天下之忧而忧，后天下之乐而乐”的政治理想。实际上，这次改革，受到贬谪的除了范仲淹和滕子京之外，还有范仲淹改革的另一位支持者——北宋大文学家、史学家欧阳修。他于庆历五年被贬谪到滁州，也就是今天的安徽省滁州市。也
环滁/皆山也。其/西南诸峰，林壑/尤美，望之/蔚然而深秀者，琅琊也。山行/六七里，渐闻/水声潺潺，而泻出于/两峰之间者，酿泉也。峰回/路转，有亭/翼然临于泉上者，醉翁亭也。作亭者/谁？山之僧/曰/智仙也。名之者/谁？太守/自谓也。太守与客来饮/于此，饮少/辄醉，而/年又最高，故/自号曰/醉翁也。醉翁之意/不在酒，在乎/山水之间也。山水之乐，得之心/而寓之
参知政事范仲淹等人遭谗离职，欧阳修上书替他们分辩，被贬到滁州做了两年知州。到任以后，他内心抑郁，但还能发挥“宽简而不扰”的作风，取得了某些政绩。《醉翁亭记》就是在这个时期写就的。目标导学二：朗读文章，通文顺字1．初读文章，结合工具书梳理文章字词。2．朗读文章，划分文章节奏，标出节奏划分有疑难的语句。节奏划分示例
广义二重积分
5
谢谢!
祝同学们暑假愉快!
6
§9.5 广义二重积分
类似于一元函数的广义积分,对于二元函数也有两 类广义二重积分.即可分为积分区域无限与被积函数无 界两种,下面只研究无界区域上的二重积分的计算方法. 定义3 设D是xoy面上的无界区域,ƒ(x,y)在D上连续且G 是D上的任意一个闭区域上.若G以任何方式无限扩展且
趋于D时,均有
lim
[ lim
b er2 rdr]d 2 lim 1 (1 eb2 ) .
0 b 0
2 b
2
3
注3
若在普哇松积分 ex2 dx中令 x 1 y,
2
则
1
e
x2 2
dx
.
2
则
1
e
x2 2
dx
1.
2
此式中的被积函数 (x)
1
e
x2 2
是统计学中常用的
2
标准正态分布的密度函数.
4
例24 计算
义积分, 先求二重积分, 再求二重极限即可.
例22 计算 ex2y2 dxdy,其中D是整个xy平面,
D
即 x , y .
Байду номын сангаас
解 整个xy平面用极坐标表示是D : 0 r , 0 2
ex2 y2 dxdy
ex2 y2 dxdy
2
d
er2 rdr
0
0
D
2
1
21 2
e dxdy
(
x1 )2 212
(
x2 )2
2
2 2
(1
0, 2
0)
解
令u
x 1 , v 2 1
广义二重积分
广义二重积分
广义二重积分是微积分中的重要概念，用于计算非紧致区域上的函数的积分。
它是定积分的一种推广形式，适用于函数在某些区域上不连续或无界的情况。
在一元函数中，定积分是对函数在闭区间上的积分。
而在二元函数中，广义二重积分则是对函数在非紧致区域上的积分。
这意味着函数的定义域可以是无界的或者包含无穷多个不连续点的区域。
广义二重积分的计算可以通过将区域分割为无穷小的小矩形来近似
求解。
通常使用的方法有极限、Riemann和和Lebesgue积分等。
其中，Riemann积分适用于函数在有限区域上有界的情况，而Lebesgue 积分则适用于函数在更一般的非紧致区域上的情况。
广义二重积分的计算可以用于求解面积、质量、质心、转动惯量等问题。
与一元函数的定积分类似，广义二重积分也具有线性性质和积分换元法则。
需要注意的是，在计算广义二重积分时，由于函数的定义域可能是无穷的，所以可能存在收敛和发散的情况。
当积分收敛时，我们可以得到一个有限的积分值；当积分发散时，积分值为无限大或不存在。
总结起来，广义二重积分是对非紧致区域上的二元函数进行积分的一种推广形式。
它在数学和物理领域中有着广泛的应用，用于解决各种与区域积分相关的问题。
广义二重积分
,,有
由上得共尾性: ,
从而有:且,于就是
由得任意性知:
即证网极限就是唯一得,说明定义5就是良好得.
定义0。6设集合且中沿用中得半序关系、若:,,,则称网得限制为网得临界子网,称半序集为得临界子定向集、
定理０、2上述定义６中得为定向集
证明:首先按照定义,就是半序集
又,
由半序关系得传递性:
即为定向集、
定义0。7称为网得临界子网,若网限制在得一个临界子定向集上.
在临界子网上也可以定义网极限,为了证明广义二重积分在不同定义下得等价性,我们有必要建立起不同网之间得关系。
定理0。３
这个定理常用来反证网极限不存在,也就就是说我们可以选取一个临界子网使极限在此子网上极限不存在,从而说明网极限不存在。
我们先证明:若,则:有界
取,,当时,
即
,,且
若,则:,从而有
若,则:,从而有:
而为某定区域,在上有界,则在上有界
于就是我们得到:有界,
而,故
综上所述,,有界性得证
下面再证明:
:
反设,则
取得分划,,其下与,
即:
我们将分为以下两类:
<1>在上,
〈2>在上,(此时有)
将第二类取出,并记为,
则
记,则
而这与矛盾,于就是
定义1
定理1。1设为区域中任意可求积得子集得全体集合,赋序,
则为一个定向集、
证明:先说明就是一个半序集:
非自反性:
传递性:
且满足共尾性:,记,取
则包围得区域满足:可测,且,
定义１。1称在上述定向集上得映射,为有限积分网,
记作
引理1。2当二元函数时,有
广义积分
广义二重积分
无界区域上的二重积分
含瑕点的二重积分
积分计算的技巧
一、无界区域上的二重积分
设D是平面上的一无界区域,函数f(x,y)在D中有 定义且有界.用任意一条光滑曲线L在D中划出有
界区域D0 (可求面积）,
线L连续变动时,
存在,当曲ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
为函数f(x,y)在无界区域D上的广义积分.记作
若极限存在,称为广义二重积分值.此时称函 数广义可积或可积 若极限不存在,或依赖曲线的形状,称广义
发散.
3.若瑕点不止一个,可作类似的讨论.
例3
计算
其中 D {( x, y) | x2 y 2 1}
解: 在极坐标系下D变为
D* {(r , ) | 0 r 1, 0 2 }
2
原式=
d
0
2 .
三、计算积分的一些技巧 关于利用对称性计算积分 设有界闭区域的形状关于xoy面对称, 且 f (x, y, z) = f (x, y, z),则
y 是奇, 偶函数的结论,以及 关于 yoz 面对称,
而 f (x, y, z) 关于x 是奇, 偶函数的结论. 如不积分,求
z 3dv, xdv, sin ydv.
其中为单位球 x2+ y2 + z2 1.
练习1
计算
1 2 2 由 z ( x y ), z 1, z 4 围成. 2
积分发散.
例1
计算
其中
D {( x, y) | x , y }
解: 在极坐标系下D变为
D* {(r , ) | 0 r , 0 2 }
第九章第一节二重积分的概念
在 D 内有 1 x y 2 e ,
故 0≤ ln( x y ) 1,
于是ln( x y ) ln( x y ) ,
2
o
1
x
因此
ln( x y )d [ln( x y )]
D D
2
d .
■
x
f ( x, y)d f ( x, y)dxdy
D D
■
1 2 3
对二重积分定义的说明：
1．函数 z=f（x，y）在有界闭区域 D 上的二重积 分与区域 D 的分割法及点 (i ,i ) 的选取是无关的。
2.在有界闭区域D上连续的函数一定可积.
■
1 2 3
根据二重积分的定义，前面的体积和质 量都可以用二重积分来表示： 面密度作为 被积函数 1.平面薄片的质量：
体积逼近实际值４８
■
1 2 3
将上述计算过程的步骤总结如下：
1.分割：
首先用一组曲线网将有界 闭区域D任意分割为n个小 闭区域 ， 分别以这些小闭区域的 边界为准线，作母线平 行于z轴的小柱面，这 些小柱面把曲顶柱体分 为n个小曲顶柱体。
z
z f ( x, y)
o
x
y
■
1 2 3
将上述计算过程的步骤总结如下： z hi f ( i ,i ) 1.分割： 2.近似计算：
记为 f ( x , y )d ，即
D
f ( , ) f ( x, y )d lim
D 0 i 1 i i
n
i
.
■
1 2 3
积分变量
面积元素
n
f ( , ) f ( x, y)d lim
二重积分的计算法
第九章
二重积分的计算法
一、利用直角坐标计算二重积分 二、利用极坐标计算二重积分 *三、二重积分的换元法
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一、利用直角坐标计算二重积分
• 二重积分定义为积分和式的极限．如果 直接用二重积分的定义去计算它的值， 是相当困难的，甚至是不可能的.
• 下面我们根据二重积分的几何意义—曲 顶柱体的体积来导出二重积分的计算方 法.
dx0
f (x, y)dy
解: 积分域由两部分组成:
y
D1
:
0
y
1 2
x2,
0x2
D2
: 0
y 2
8 x2 x2 2
将 D D1 D2 视为Y–型区域 , 则
x2 y2 8
2
y
1 2
x2 D1 D2
o 22 2 x
D
:
2y x 0 y2
8 y2
2
8 y2
I D f (x, y) d x d y 0 dy 2y f (x, y)dx
a x b
D
(x,
y)
c
y
d
0
c
a
z=f (x,y)
y
d
y
b
D
x
二重积分的计算 (D是矩形区域z )
I f ( x, y)dxdy
D
D是矩形区域
z
f (x, y y
y)
z=f (x,y)
a x b
D
(x,
y)
c
y
d
b
0
c
y
Q( y) a f (x, y)dx a
d
y
d
第二节 二重积分的计算法(全面版)资料
第二节二重积分的计算法（全面版）资料第二节 二重积分的计算法教学目的：熟练掌握二重积分的计算方法教学重点：利用直角坐标和极坐标计算二重积分 教学难点：化二重积分为二次积分的定限问题 教学内容：利用二重积分的定义来计算二重积分显然是不实际的,二重积分的计算是通过两个定积分的计算(即二次积分)来实现的. 一、利用直角坐标计算二重积分我们用几何观点来讨论二重积分f x y d D(,)σ⎰⎰的计算问题.讨论中,我们假定f x y (,)≥0；假定积分区域D 可用不等式 a x b x y x ≤≤≤≤ϕϕ12()()表示,其中ϕ1()x , ϕ2()x 在[,]a b 上连续.据二重积分的几何意义可知,f x y d D(,)σ⎰⎰的值等于以D 为底,以曲面z f x y =(,)为顶的曲顶柱体的体积.在区间[,]a b 上任意取定一个点x 0,作平行于yoz 面的平面x x =0,这平面截曲顶柱体所得截面是一个以区间[(),()]ϕϕ1020x x 为底,曲线z f x y =(,)0为曲边的曲边梯形,其面积为A x f x y dy x x ()(,)()()001020=⎰ϕϕ一般地,过区间[,]a b 上任一点x 且平行于yoz 面的平面截曲顶柱体所得截面的面积为A x f x y dy x x ()(,)()()=⎰ϕϕ12利用计算平行截面面积为已知的立体之体积的方法,该曲顶柱体的体积为V A x a dx f x y dy dx bx x a b ==⎡⎣⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎰⎰⎰()(,)()()ϕϕ12从而有dx dy y x f d y x f ba x x D⎰⎰⎰⎰⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=)(2)(1),(),(ϕϕσ (1)上述积分叫做先对Y,后对X 的二次积分,即先把x 看作常数,),(y x f 只看作y 的函数,对),(y x f 计算从)(1x ϕ到)(2x ϕ的定积分,然后把所得的结果( 它是x 的函数 )再对x 从a 到b 计算定积分.这个先对y , 后对x 的二次积分也常记作f x y d dx f x y dy Dabx x (,)(,)()()σϕϕ⎰⎰⎰⎰=12在上述讨论中,假定了0),(≥y x f ，利用二重积分的几何意义,导出了二重积分的计算公式(1).但实际上,公式(1)并不受此条件限制,对一般的),(y x f (在D 上连续),公式(1)总是成立的. 例如:计算 I x d D x y x y D=-=-≤≤≤≤⎰⎰(){(,)|,}111022σ解: []dx y xdy x dx I 21122211)1()1(⎰⎰⎰---=-=38322)1(2113112=-=-=--⎰x x dx x类似地,如果积分区域D 可以用下述不等式c yd y x y ≤≤≤≤,()()φφ12表示,且函数φ1()y ,φ2()y 在[,]c d 上连续,f x y (,)在D 上连续,则f x y d f x y dx dy dy f x y dx D y y c dc d y y (,)(,)(,)()()()()σφφφφ⎰⎰⎰⎰⎰⎰=⎡⎣⎢⎢⎤⎦⎥⎥=1212 (2)显然,(2)式是先对x ,后对y 的二次积分.二重积分化二次积分时应注意的问题1、积分区域的形状前面所画的两类积分区域的形状具有一个共同点:对于I 型(或II 型)区域, 用平行于y 轴(x 轴 )的直线穿过区域内部,直线与区域的边界相交不多于两点.如果积分区域不满足这一条件时,可对区域进行剖分,化归为I 型(或II 型)区域的并集.2、积分限的确定二重积分化二次积分, 确定两个定积分的限是关键.这里,我们介绍配置二 次积分限的方法-- 几何法.画出积分区域D 的图形(假设的图形如下 )在],[b a 上任取一点x ,过x 作平行于y 轴的直线,该直线穿过区域D ,与区域D 的边界有两个交点))(,(1x x ϕ与))(,(2x x ϕ,这里的)(1x ϕ、)(2x ϕ就是将x ,看作常数而对y 积分时的下限和上限；又因x 是在区间[,]a b 上任意取的,所以再将x 看作变量而对x 积分时,积分的下限为a 、上限为b .例1计算322x y d D⎰⎰σ,其中D 是由x 轴,y 轴和抛物线yx =-12在第一象限内所围成的区域.类似地,D y x y :,0101≤≤≤≤-[]==-⎰⎰-x y dy y y dy y3211322011()令y t t t dt =⋅=⋅--=⎰sin cos sin ()!!()!!!!24502224151916315π例2计算xyd D⎰⎰σ, 其中D 是由抛物线y x 2=及直线y x =-2所围成的区域.3322012201x y d dy x y dx D y⎰⎰⎰⎰=-σD y y x y :,-≤≤≤≤+1222xyd dy xydx x y dy D y y y y σ⎰⎰⎰⎰⎰==⎡⎣⎢⎤⎦⎥-+-+12221222212[]=+-=-⎰1224582512y y y dy () 例3求由曲面zx y =+222及z x y =--6222所围成的立体的体积.解: 1、作出该立体的简图, 并确定它在xoy 面上的投影区域消去变量z 得一垂直于xoy 面的柱面 x y 222+=,立体镶嵌在其中,立体在xoy 面的投影区域就是该柱面在xoy 面上所围成的区域 D x y :222+≤2、列出体积计算的表达式V x y x y d D=---+⎰⎰[()()]6222222σ =--⎰⎰()63323x y d Dσ3、配置积分限, 化二重积分为二次积分并作定积分计算V d x d y d DDD=--⎰⎰⎰⎰⎰⎰63322σσσ而 d Dσπ⎰⎰=2由x ,y 的对称性有 x d y d DD22σσ⎰⎰⎰⎰=x d x dx dy x x dx Dx x 22222222222222σ⎰⎰⎰⎰⎰==------=-=⎰⎰42442222202xx dx sin cos θθπ=⋅--+⋅162121222()!!()!!()!!π=⋅⋅⋅⋅1611422π=π所求立体的体积为V =-=1266πππ二、利用极坐标计算二重积分1、变换公式按照二重积分的定义有f x y d f Di i i i n(,)lim (,)σξησλ⎰⎰∑=→=01∆现研究这一和式极限在极坐标中的形式.用以极点0为中心的一族同心圆 r =常数以及从极点出发的一族射线θ=常数,将D 剖分成个小闭区域.除了包含边界点的一些小闭区域外,小闭区域∆σi的面积可如下计算i i i i i i i i i i r r r r r r θθθσ∆∆∆+=∆-∆∆+=∆)2(2121)(2122i i i i i i i i r r r r r r θθ∆∆=∆∆∆++=2)(其中,r i 表示相邻两圆弧半径的平均值.(数学上可以证明: 包含边界点的那些小闭区域所对应项之和的极限为零, 因此, 这样的一些小区域可以略去不计)在小区域∆σi 上取点(,)r i iθ,设该点直角坐标为(,)ξηi i ,据直角坐标与极坐标的关系有ξθηθi i i i i i r r ==cos ,sin于是lim (,)lim (cos ,sin )λλξησθθθ→=→=∑∑=⋅0101f f r r r r i i i i n i ni i i i i i i ∆∆∆即f x y d f r r rdrd DD(,)(cos ,sin )σθθθ⎰⎰⎰⎰=由于f x y d D (,)σ⎰⎰也常记作f x y dxdy D (,)⎰⎰, 因此,上述变换公式也可以写成更富有启发性的形式f x y dxdy f r r rdrd D D(,)(cos ,sin )⎰⎰⎰⎰=θθθ (1)(1)式称之为二重积分由直角坐标变量变换成极坐标变量的变换公式,其中,rdrd θ就是极坐标中的面积元素.(1)式的记忆方法:x r →cos θy r →sin θdxdy rdrd →θf x y dxdyD(,)⎰⎰f r r rdrd D(cos ,sin )θθθ⎰⎰2、极坐标下的二重积分计算法极坐标系中的二重积分, 同样可以化归为二次积分来计算. 【情形一】积分区域D 可表示成下述形式αθβϕθϕθ≤≤≤≤12()()r其中函数ϕθ1(), ϕθ2()在[,]αβ上连续.则 f r r rdrd d f r r rdr D(cos ,sin )(cos ,sin )()()θθθθθθαβϕθϕθ⎰⎰⎰⎰=12【情形二】积分区域D 为下述形式显然,这只是情形一的特殊形式ϕθ10()≡( 即极点在积分区域的边界上 ).故 f r r rdrd d f r r rdr D(cos ,sin )(cos ,sin )()θθθθθθαβϕθ⎰⎰⎰⎰=0【情形三】积分区域D 为下述形式显然,这类区域又是情形二的一种变形( 极点包围在积分区域D 的内部 ),D 可剖分成D 1与D 2,而D r D r 120020:,():,()≤≤≤≤≤≤≤≤θπϕθπθπϕθ故 D r :,()020≤≤≤≤θπϕθ则 f r r rdrd d f r r rdr D(cos ,sin )(cos ,sin )()θθθθθθπϕθ⎰⎰⎰⎰=020由上面的讨论不难发现, 将二重积分化为极坐标形式进行计算, 其关键之处在于: 将积分区域D 用极坐标变量r ,θ表示成如下形式αθβϕθϕθ≤≤≤≤,()()12r下面通过例子来介绍如何将区域用极坐标变量来表示. 例4将下列区域用极坐标变量表示 1、D x y y 1222:+≤2、D R x R R y R R x 222:,-≤≤≤≤+-D x y 31:+≤先画出区域的简图, 据图确定极角的最大变化范围[,]αβ；再过[,]αβ内任一点θ作射线穿过区域,与区域的边界有两交点,将它们用极坐标表示,这样就得到了极径的变化范围[(),()]ϕθϕθ12.注: 本题不能利用直角坐标下二重积分计算法来求其精确值.利用此题结果可求出著名概率积分 Iedx x =-+∞⎰2.而被积函数满足022>--y x e,从而以下不等式⎰⎰⎰⎰⎰⎰------<<22222122D y x Sy x D y x dxdy edxdy edxdy e成立，再利用例二的结果有)1(42122RDy x e dxdy e ----=⎰⎰π, )1(422222RDy x e dxdy e ----=⎰⎰π , ⎰⎰⎰⎰⎰⎰------==Ry RxRyx R S yx dy e dx e dy edx dxdy e22222220000022222⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎰⎰⎰⎰⎰-----Rx R x R x Ry Rx dx e dx e dx e dy e dx e于是不等式可改写成下述形式ππππ441414222022R R x R R R e e dx e →+∞---→+∞←−−−−-<⎛⎝ ⎫⎭⎪<-−→−−−⎰()()故当R →+∞时有edx x-+∞⎰⎛⎝ ⎫⎭⎪=224π, 即 Iedx x ==-+∞⎰22π.3、使用极坐标变换计算二重积分的原则(1)、积分区域的边界曲线易于用极坐标方程表示( 含圆弧,直线段 )； (2)、被积函数表示式用极坐标变量表示较简单( 含()x y 22+α, α为实数 ). 例6计算I dxdyx y a x y a axa a x =+⋅-+>⎰⎰--+-022*******()()解此积分区域为D x a x y a a x :,022≤≤-≤≤-+-区域的简图为该区域在极坐标下的表示形式为D r a :,sin -≤≤≤≤-πθθ4002I rdrd r a rd dra r r a d Da a =-=-=⎡⎣⎢⎤⎦⎥⎰⎰⎰⎰⎰----θθθπθθπ44222402202024sin sin arcsin=-=-=--⎰()θθθπππd 42421232 小结 二重积分计算公式直角坐标系下 ⎰⎰⎰⎰=Dbax x dy y x f dx dxdy y x f )()(21),(),(φφ X —型⎰⎰⎰⎰=dcy y Ddx y x f dy dxdy y x f )()(21),(),(ϕϕ Y —型极坐标系下 ⎰⎰⎰⎰=Ddr r r f d rdrd r r f βαϑφϑφϑϑϑϑϑϑ)()(21)sin ,cos ()sin ,cos (作业 教材P 161 习题2（I ）（2）（3）3（1）（3）4（2）（4）第二节教学目标1. 了解小提琴常见的演奏技法，及其音乐表现特色。
第八章 二重积分 第三节 广义二重积分
e
D
x2 y2
dxdy ,其中D是整个xy平面, 即
x , y .
解 整个xy平面用极坐标表示是D : 0 r ,0 2
e
D
x2 y2
dxdy bຫໍສະໝຸດ e
x2 y2
dxdy d e r rdr
§2.3 广义二重积分
类似于一元函数的广义积分，对于二元函数也有两类 广义二重积分. 即可分为积分区域无限与被积函数无界 两种，下面只研究无界区域上的二重积分的计算方法. 定义1 设D是xoy面上的无界区域, ƒ(x, y)在 D上连续且 G 是 D上的任意一个闭区域. 若 G 以任何方式无限扩展
lim f ( x , y )dxdy I 且趋于D 时, 均有 G D
G
则称此极限值 I 为ƒ(x, y)在无界区域 D上的二重积分,
并记为
f ( x , y )dxdy lim f ( x, y )dxdy
D GD G
当极限值I存在时， 则称广义二重积分 收敛；否则, 称广义二重积分发散.
f ( x , y )dxdy
D
注 由定义1知: 要求广义二重积分，只需仿照一元广 义积分， 先求二重积分， 再求二重极限即可. 例1 计算
( x, y) J 2 1 2 ( u, v )
故
1 2 1 2
1
e
( x 1 )2 ( x 2 )2 2 12 2 22
dxdy
e
u2 v 2
dudv 1
x2
dx.
的原函数不能用初等函数表示，故用
二重积分
推论 平面有界图形 P 的面积为零的充要条件是它
的外面积 I P 0 , 即对任给的 0 , 存在直线网 T, 使得
S P (T ) ,
或对任给的 0 , 平面图形 P 能被有限个面积总和 小于 的小矩形所覆盖.
示的光滑曲线或按段光滑曲线,其面积一定为零. 推论2 由平面光滑曲线或按段光滑曲线所围的平面 图形都是可求面积的. 注 平面中并非所有的点集都是可求面积的. 例如
D ( x, y ) x, y Q [0,1] .
易知 0 I D I D 1, 因此 D 是不可求面积的.
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D D
f ( x , y ) d .
6. 若 f ( x , y ) 在 D 上可积, 且
m f ( x , y) M , ( x , y) D ,
则有
mS D f ( x , y )d MS D ,
D
这里 S D 是积分区域 D 的面积.
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7. (积分中值定理) 若 f ( x , y ) 在有界闭域 D 上连续, 则存在 ( , ) D , 使得
D
D
就等于积分区域 D 的面积.
注1 xy . 此时通常把 f ( x , y )d 记作
f ( x , y)dxdy .
D
D
(6)
注2 可积条件
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可积的必要条件: 函数 f ( x , y ) 在可求面积的D上可积
的必要条件是它在 D上有界.
设函数 f ( x , y ) 在 D 上有界, T 为 D 的一个分割, 它 把 D 分成 n 个可求面积的小区域 1 , 2 , , n . 令 M i sup f ( x , y ) ( x , y ) i ( i 1,2, , n). mi inf f ( x , y )
高等数学-二重积分
数
f ( x, y)d
b
dx
2 ( x) f ( x, y)dy.
D
a
1( x)
［X－型］
学
f ( x, y)d
d
dy
2 ( y) f ( x, y)dx.
［Y－型］
c
1( y)
电D
2、二重积分在极坐标下的计算公式
子
f (r cos ,r sin )rdrd
2
d
a e r2 rdr
D
0
0
教
(1 ea2 ).
案
高
等 例 10 求广义积分 ex2dx. 0
数 解 D1 {( x, y) | x2 y2 R2 }
学
D2 {( x, y) | x2 y2 2R2 }
D2
S
DSD1 2
电 S {( x, y) | 0 x R,0 y R}
0
0
0
学
I1 e x2 y2dxdy
电
D1
子
2 d
R e r2 rdr
(1 e R2 );
0
0
4
教 案
同理 I 2
D2
ex2 y2 dxdy
(1 e 2R2 4
);
高
等 I1 I I2,
数
(1 e R2 ) ( R e x2 dx)2 (1 e 2R2 );
改变积分
2a
dx
0
2ax
2axx2 f ( x, y)dy (a 0)
的次序.
数
解
二重积分
d
c
dy
2 ( y)
1 ( y )
f ( x , y )dx .
X型区域的特点： 穿过区域且平行于y轴的直 线与区域边界相交不多于两个交点.
Y型区域的特点：穿过区域且平行于x轴的直 线与区域边界相交不多于两个交点.
若区域如图， 则必须分割. 在分割后的三个区域上分别 使用积分公式 .
f ( x , y )d 的值等于以 D 为底，以曲面 z
D
f ( x , y ) 为曲顶的柱体的体积．
应用计算“平行截 面面积为已知的立 体求体积”的方法,
y
z
z f ( x, y )
A( x0 )
a
2 ( x )
0x
y 2 ( x)
b
x
得
f ( x , y )d dx
2
2 x
f ( x , y )dy 的次序.
y 2 x
解 积分区域如图
原式 0 dy 1
1 2 y 1 y 2
y 2x x2
f ( x , y )dx .
例3 计算
xy dxdy
2 D
D
y x, y x
2
x2 y x 解一 D： X—型 0 x1
D : 0 x 1,0 y 1.
D
练习题
2、 x cos( x y )d _______________.其中D 是顶 点分别为 ( 0,0) ，( ,0) ， ( , ) 的三角形闭区域 . 3、将二重积分 f ( x , y )d ,其中D 是由x 轴及半圆周 x 2 y 2 r 2 ( y 0) 所围成的闭区域,化为先对 y 后对 x 的二次积分,应为_____________________.
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1 x22 e 是统计学中常用的 此式中的被积函数 ( x) 2
标准正态分布的密度函数.
例24 计算
1 2 1 2
e
( x 1 )2 ( x 2 )2 212 2 22
dxdy ( 1 0, 2 0)
x 2 1 1 x 1 y 2 解 令u ,v , 则得 2 1 2 2 y 2 2 2
Chapter 4(2)
广义二重积分
广义二重积分
类似于一元函数的广义积分,对于二元函数也有两 类广义二重积分. 即可分为积分区域无限与被积函数无 界两种,下面只研究无界区域上的二重积分的计算方法. 定义3 设D是xoy面上的无界区域,ƒ(x,y)在D上连续且G 是D上的任意一个闭区域上.若G以任何方式无限扩展且
e
D
x2 y 2
dxdy
b r2
e
x2 y 2
dxdy d e rdr
r2 0 0
2
2
0
1 b2 [ lim e rdr ]d 2 lim (1 e ) . b 0 b 2
注2 利用上面的结果,可计算概率论中很重要的普哇 松积分 e dx.
dy
e
x2 y 2
dxdy .
I e
x2
dx .
注3 若在普哇松积分 e dx 中令 x
x2
1 2
y,
则
则
1 2
e dx .
x2
2
1 x22 e dx 1. 2
x2
例23 计算I e dx.
x2
解 因e
x2
的原函数不能用初等函数表示,故用一元
广义积分的方法不能求出该积分的值.但
I e
2 x2 x2
dx e
y2
y2
dy
I e dx e
lim 趋于D时,均有 G D f ( x, y )dxdy I
G
则称此极限值 I 为ƒ(x,y)在无界区域D上的二重积分,并 记为
f ( x, y)dxdy lim f ( x, y)dxdy
D GD G
当极限值 I 存在时,则称广义二重积分 f ( x, y)dxdy 收敛;否则,称广义二重积分发散.
( x, y) J 2 1 2 . (u, v)
1 2 1 2
e
( x 1 )2 ( x 2 )2 212 2 22
dxdy
1
e
u 2 v2
dudv 1.
D
注1 由定义3知:要求广义二重积分,只需仿照一元广 义积分, 先求二重积分, 再求二重极限即可.
例22 计算
e
D
x2 y 2
dxdy,其中D是整个xy平面,
即 x , y .
解 整个xy平面用极坐标表示是D : 0 r ,0 2