2020年高一数学新教材第一册同步学案(人教版)2.2 基本不等式(解析版)
2020年人教版新高一数学教学设计 基本不等式
教学设计封面题目：人教版必修一第一册第二章2.2基本不等式教学设计学段：2020年新高一数学基本不等式教学设计一、教材分析不等关系和相等关系一样，都是数学中最基本的数量关系，而实际问题中常常需要利用不等关系构造出不等式，进而解决实际问题。
这其中有一类重要的不等式——基本不等式。
新教材中，基本不等式排在必修一“第二章一元二次函数、方程和不等式”的第二节，在第一节“2.1等式性质与不等式性质”之后。
这充分体现了基本不等式在中学数学体系中的重要性和基础性，同时也为学生在高中阶段解决数学内外的相关问题提供了工具上的准备。
此外，掌握好基本不等式也为后续的函数最值、值域问题和选修内容里不等式的相关内容等内容作铺垫，为后续的进一步学习提供了一个良好的开端和奠基。
二、学情分析基本不等式在老教材里是必修五里面的内容，要到高一下学期或高二上学期才会学习，现在在新教材中排到必修一第二章，所以对新高一的学生来说难度略高。
再加上疫情期间的网课中，多数学生的学习效果不很理想，这就注定接受起基本不等式来会有难度，所以在教学中应该降低切入点，减少偏难怪题的出现，辅之以一些简单、常见的知识及例题、习题等来加深对基本不等式的理解和掌握。
三、教学目标1、探究、理解不等式的证明过程。
(),02a b a b+≤>，并能初步应用基本不等式求最值和证明简单的不等式。
3、结合具体实例，能用基本不等式解决简单的最大值和最小值问题。
四、教学重难点1、教学重点基本不等式的定义、证明方法和几何解释，用基本不等式解决简单的最值问题。
2、教学难点基本不等式的几何解释，用基本不等式解决简单的最值问题。
五、教学方法启发、引导、小组合作与讨论、讲授结合。
六、教学过程设计（一）引入导入语：在初中我们知道，乘法公式在代数式运算中有重要的作用，那么在解决不等式的问题中是否也有类似作用的“公式”呢？下面就由我们前面刚学习的重要不等式来推导出今天学习的重点——基本不等式。
高中数学新教材必修第一册第二章 一元二次函数、方程和不等式2.2 基本不等式(南开题库含详解)
高中数学新教材必修第一册2.2 基本不等式（南开题库）一、选择题（共40小题；共200分）1. 设是等差数列．下列结论中正确的是A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则2. 已知命题；命题，则下列判断正确的是A. 是假命题B. 是真命题C. 是真命题D. 是真命题3. 若，，，则下列不等式中①；②；③；④．对一切满足条件的，恒成立的序号是A. ①②B. ①③C. ①③④D. ②③④4. 已知，，且，则A. B. C. D.5. 设，．若是与的等比中项，则的最小值为A. B. C. D.6. 已知，则函数有A. 最小值B. 最大值C. 最小值D. 最大值7. 若正数，满足，则的最小值是A. B. C. D.8. 过抛物线的焦点作直线，与抛物线交于，，，四点，且，则的最大值等于A. B. C. D.9. 已知，且，则的最小值是A. B. C. D.10. 已知函数，设，若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围是A. B. C. D.11. 若函数有最大值，则的值是A. B. C. D.12. 设，、为正常数，则的最小值为A. B. C. D.13. 设，，，，若，，则的最大值为A. B. C. D.14. 在矩形中，，，为矩形内一点，且，若，则的最大值为A. B. C. D.15. 二次函数的值域为，则的最小值为A. B. C. D.16. 下列说法中错误的是A. 命题"若，则“的逆否命题是”若，则 "B. 若，则" “是” "的充要条件C. 已知命题和，若为假命题，则与中必一真一假D. 若命题：，，则：，17. 设，，．若，，则的最大值为A. B. C. D.18. 若，且恒成立，则的最小值是A. B. C. D.19. 已知直线将圆平分，则直线与两坐标轴围成的三角形的面积的最小值为A. B. C. D.20. 中国宋代的数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设在平面内有一个三角形，边长分别为，，，三角形的面积可由公式求得，其中为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦﹣秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足，，则此三角形面积的最大值为A. B. C. D.21. 设为坐标原点，是以为焦点的抛物线上任意一点，是线段上的点，且，则直线的斜率的最大值为A. B. C. D.22. 给出下列三个命题：①若，则；②若正整数和满足，则；③设为圆上任意一点，圆以为圆心且半径为．当时，圆与圆相切．其中假命题的个数为A. B. C. D.23. 设正实数，，满足，则当取得最大值时，的最大值为A. B. C. D.24. 已知，，若不等式恒成立，则的最大值为A. B. C. D.25. 一个篮球运动员投篮一次得分的概率为，得分的概率为，不得分的概率为，已知他投篮一次得分的数学期望为，则的最小值为A. B. C. D.26. 已知，，（为自然对数的底数），则A. B. C. D.27. “”是“”的A. 充要条件B. 充分而不必要条件C. 必要而不充分条件D. 既不充分也不必要条件28. 若直线过点，则的最小值为A. B. C. D.29. 设向量，，，其中为坐标原点，＞，＞，若，，三点共线，则的最小值为A. B. C. D.30. 如图，在边长为的正三角形中，，分别为边，上的动点，且满足，，其中，，，分别是，的中点，则的最小值为A. B. C. D.31. 如图所示，正三角形的边长为，其外接圆为圆，点为劣弧上的一个动点（不与点、重合），过点与的中点的直线交圆于另一点，则的最小值为A. B. C. D.32. 已知函数，若恒成立，则的取值范围是A. B. C. D.33. 设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，则的取值范围是A. B. C. D.34. 函数且的图象恒过定点，且点在直线上，则的最小值为A. B. C. D.35. 在中，角，，的对边分别为，，，且，若的面积，则的最小值为A. B. C. D.36. 设正实数满足．则当取得最小值时，的最大值为A. B. C. D.37. 设，若直线与圆相切，则的取值范围是A.B.C.D.38. 设是内一点，且，，定义，其中，，分别是，，的面积，若，则的最小值是A. B. C. D.39. 如图，在长方体中，，，点在棱上，且，则当的面积最小时，棱的长为A. B. C. D.40. 已知棱长为的正四面体，在侧棱上任取一点（与，不重合），若点到平面与平面的距离分别为，，则的最小值为A. B. C. D.二、填空题（共40小题；共200分）41. 椭圆上一点到两焦点的距离之积是，当取最大值时，点坐标为．42. 已知，，，则的最小值为．43. 已知，则函数的最小值为．44. 已知，，分别为三个内角，，的对边，，且，则面积的最大值为．45. 若直线过点，则的最小值为．46. 已知，且，则的最小值为．47. 若，，则的最小值为．48. 已知正数，满足，那么使得取最小值的实数对是．49. 设，，，则的最大值为．50. 已知，则函数的值域是．51. 已知，且满足，则的最小值为．52. 已知，下列不等式：①，②，③，④，其中一定恒成立的是（填写序号）．53. 若，均为正实数，且，则的最小值为．54. 函数的图象恒过定点，若点在直线上，则的最小值为．55. 已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围是．56. 函数（且）的图象恒过定点，若点在直线上，其中，则的最小值为．57. 若对于，恒成立，则的取值范围是．58. 己知，，且，则的最小值为．59. 已知：，均为正，，则的最小值为．60. 已知，则的最小值为．61. 已知，，，则的最小值是．62. 已知，分别为三角形两个内角，满足，则取最大值时．63. 若对，，总有不等式成立，则实数的取值范围是．64. 设，，则的最小值为．65. 设，若直线与轴相交于点，与轴相交于点，且与圆相交所得弦的长为，为坐标原点，则面积的最小值为．66. 给出下列命题：①函数既有极大值又有极小值，则或；②若，则的单调递减区间为；③过点可作圆的两条切线，则实数的取值范围为或；④双曲线的离心率为，双曲线的离心率为，则的最小值为．其中为真命题的序号是．67. 已知集合，，则集合．68. 已知实数，，的等差中项为，设，，则的最小值为．69. 在等腰梯形中，已知，，，，动点和分别在线段和上，且，，则当时，有最小值为．70. 某公司一年购买某种货物吨，每次都购买吨，运费为万元/次，一年的总存储费用为万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则吨．71. 已知集合，，则集合．72. 已知，都是正实数，且满足，则的最小值为．73. 设，，则当时，取得最小值．74. 设，，则的最小值为．75. 若数列满足，，为非零常数，则称数列为“梦想数列”，已知正项数列为“梦想数列”，且，则的最小值是．76. 在三棱锥中，，，两两垂直，且，设是底面内一点．定义，其中分别是三棱锥，三棱锥，三棱锥的体积．若，且恒成立，则正数的最小值为．77. 已知函数，若函数有四个零点，，，，且，则的取值范围是．78. 已知，，分别为的三个内角，，的对边，，且，则面积的最大值为．79. 在等腰梯形中，已知，，，．动点和分别在线段和上，且，，则的最小值为．80. 已知为的外心，，，，若，则的最小值为三、解答题（共20小题；共260分）81. 已知函数的定义域为，且．设点是函数图象上的任意一点，过点分别作直线和轴的垂线，垂足分别为，．（1）求的值．（2）问：是否为定值?若是，则求出该定值；若不是，请说明理由．（3）设为坐标原点，求四边形面积的最小值．82. 已知直线与函数的图象相切于点．（1）求实数的值；（2）证明除切点外，直线总在函数的图象的上方；（3）设，，是两两不相等的正实数，且，，成等比数列，试判断与的大小关系，并证明你的结论．83. 某工厂生产某种产品，每日的成本（单位：元）与日产量（单位：吨）满足函数关系式，每日的销售额（单位：元）与日产量满足函数关系式，已知每日的利润，且当时，．（1）求的值；（2）当日产量为多少吨时，毎日的利润可以达到最大，并求出最大值．84. 已知函数的最小值为．（1）求的值以及此时的的取值范围；（2）若实数，，满足，证明：．85. 设函数的最小值为．（1）求的值；（2）已知，，求的最小值．86. 已知定义在上的函数，若存在实数使得成立．（1）求实数的值；（2）若，，求证：．87. 已知函数，．（1）求不等式的解集；（2）若的最小值为，正数，满足，求的最小值．88. 已知，，为正实数，且，证明：．89. 已知函数的最大值．（1）求的值；（2）若，试比较与的大小．90. 已知函数的最小值为，且．（1）求的值以及实数的取值集合；（2）若实数，，满足，证明：．91. 已知，．（1）求的最小值；（2）是否存在，，满足?并说明理由．92. 已知实数，，均大于．（1）求证：；（2）若，求证：．93. 已知椭圆的离心率，且点在椭圆上．（1）求椭圆的方程；（2）直线与椭圆交于，两点，且线段的垂直平分线经过点．求（为坐标原点）面积的最大值．94. 在一张足够大的纸板上截取一个面积为平方厘米的矩形纸板，然后在矩形纸板的四个角上切去边长相等的小正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的长方体纸盒（如图）．设小正方形边长为厘米，矩形纸板的两边，的长分别为厘米和厘米，其中．（1）当时，求纸盒侧面积的最大值；（2）试确定，，的值，使得纸盒的体积最大，并求出最大值．95. 已知函数，其中．（1）当时，求曲线在点处切线的方程；（2）当时，求函数的单调区间；（3）若，证明对任意，恒成立．96. 给定椭圆，称圆为椭圆的“伴随圆”，已知椭圆的短轴长为，离心率为．（1）求椭圆的方程；（2）若直线与椭圆交于，两点，与其“伴随圆”交于，两点，当时，求面积的最大值．97. 已知是定义在上的单调递增函数．对于任意的正数、满足；对于满足．（1）求；（2）若，解不等式；（3）求证：．98. 已知抛物线：．（1）写出抛物线的准线方程，并求抛物线的焦点到准线的距离；（2）过点且斜率存在的直线与抛物线交于不同的两点，，且点关于轴的对称点为，直线与轴交于点．（i）求点的坐标；（ii）求与面积之和的最小值．99. 在平面直角坐标系中，，分别为椭圆的左、右焦点，为短轴的一个端点，是椭圆上的一点，满足，且的周长为．（1）求椭圆的方程，（2）设点是线段上的一点，过点且与轴不垂直的直线交椭圆于、两点，若是以为顶点的等腰三角形，求点到直线距离的取值范围．100. 设函数，．（1）解方程：；（2）令，求的值；（3）若是实数集上的奇函数，所以，且对任意实数恒成立，求实数的取值范围．答案第一部分1. C 【解析】因为为等差数列，所以．当时，得公差，所以，所以，所以，即．2. C 【解析】由题可知，是真，是假，为真．3. C 【解析】，所以，所以①正确；，所以②不正确；，所以③正确；，所以④正确．4. C5. B【解析】因为，所以，于是，当且仅当即时“ ” 成立．6. A7. C8. D 【解析】如图所示，由抛物线可得焦点．设直线的方程为：，因为，可得直线的方程为．设，，，．联立化为，得，．同理可得，．所以同理可得．所以当且仅当时取等号．所以的最大值等于．9. D10. A【解析】当时，关于的不等式在上恒成立，即为，即有，由的对称轴为，可得处取得最大值；由的对称轴为，可得处取得最小值，则当时，关于的不等式在上恒成立，即为，即有，由（当且仅当）取得最大值；由（当且仅当）取得最小值．则由可得，．11. B 12. C 【解析】，等号当且仅当，即时取得．13. C 【解析】因为，取对数，得 ， ， 所以．14. A 【解析】因为 ，两边平方得，所以 ． 因为，所以． 15. C【解析】因为 的值域为 ， 所以 ， ，即 ，即 ， 所以．16. C 【解析】对于（C ），若 为假命题，则 与 均为假命题，所以（C ）错误． 17. C18. B 【解析】因为 恒成立，所以恒成立．两边同时平方，整理后得恒成立，即不等式左边的最大值 不等式右边的最小值．因为 （当且仅当" "时取" "），所以不等式左边的最大值为 ，所以 ，所以 ． 19. B 20. B【解析】由题意， ，所以此三角形面积的最大值为 ． 21. C 【解析】如图所示，设 ，则，即．设，由，得化简可得所以直线的斜率为（当且仅当时取等号）．22. B 【解析】①在上为增函数，故①真；由均值不等式知②真；③由题意知点为圆的交点，得不出其他结论，故③假，假命题个数为．23. B 【解析】由，得．所以，当且仅当，即时取等号．此时，（当且仅当时等号成立）．24. B 【解析】因为，且，，所以，又（当且仅当时等号成立），所以，故的最大值为．25. C26. A27. C28. D 【解析】因为直线过点，所以，即，因为，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为．29. C30. C【解析】所以因为，所以，所以．31. D 【解析】由相交弦定理，．所以（当且仅当时，等号成立）．32. C 【解析】因为恒成立，所以恒成立．①当时，恒成立，即恒成立．此时．②当时，恒成立，即恒成立，即恒成立．即．综上，的取值范围为．33. B 【解析】可得两条直线分别过定点和且垂直，可得．当点在点或点时，取得最小值，而由得的最大值为，当且仅当时等号成立．34. A 【解析】由题意知，于是有，所以35. B36. C 【解析】含三个参数，消元，利用基本不等式及配方法求最值．所以当且仅当，即时" "成立，此时．所以所以当时，取到最大值．37. D 【解析】直线与圆相切，圆心到直线的距离为所以设，则，解得38. D 【解析】在中，，，所以，，所以，因为是，，的面积之和，所以，所以，当且仅当，即时，即，时取等号．39. A 【解析】设，，则 .因为，根据勾股定理： . ，整理得 .又当且仅当时等号成立．此时，所以 .40. C【解析】如图，连接，，设为底面三角形的中心，连接，则正四面体的高．因为，所以，所以当且仅当，即时取等号．第二部分41. 或42.43.44.【解析】由正弦定理及，得．又因为，所以．所以．由余弦定理得．因为，所以．由，得，当且仅当时等号成立，即．所以．故面积的最大值为．45.46.47.【解析】，，所以当且仅当时等号成立，即即，或，时取“”；所以上式的最小值为．48.【解析】当且仅当即时等号成立．49.【解析】设，则，当且仅当时，等号成立，即，．所以的最大值为．50.51.52. ①②③53.【解析】由，得，因为，均为正实数，所以（当且仅当时等号成立），即，解得，即，故的最小值为 .54.【解析】由题意可知，因为点在直线上，所以．所以当且仅当时成立．55.【解析】若恒成立，只须的最小值大于．．，．56.57.【解析】由题意恒成立，，所以．58.【解析】因为，，，所以又，则其中等号成立的条件：当且仅当解得，，，所以的最小值是．59.【解析】因为，均为正，，所以，当且仅当时，等号成立．60.【解析】由题意，，所以，所以，当，时取得最小值．61.62.【解析】，把代入得，当，即时取得最大值．63.【解析】因为，即恒成立．只需．而令，．因为，当且仅当时取等号，所以在上为减函数，所以当时，取最小．所以，所以．64.【解析】因为，所以．显然当，且时，上式取等号，此时，联立，解得，此时．所以的最小值为．65.【解析】根据直线方程，得．由直线被圆截得的弦长为，得圆心到直线的距离为，即，整理得．因此，根据均值不等式，得．当且仅当时，取得最小值．66. ①②④【解析】①正确，令，因为既有极大值又有极小值，所以，解出或；②正确，令，解出的单调递减区间为；③错误；由题意可说明点在圆外，点和圆心之间的距离大于半径，求出；④正确，，当且仅当时，取最小值为．67.【解析】集合，所以；集合，，当且仅当时取等号，所以，所以．68.69. ，【解析】由题意，易得．所以，（当且仅当时等号成立）．70.71.【解析】因为，，所以．72.【解析】因为，所以，即，所以，当且仅当：，时，取“”，即的最小值为：．73.【解析】当，时，取得最小值．由，，解得．74.【解析】当时，当时，综上所述，的最小值是．75.【解析】因为为“梦想数列”，所以，即，是以为公比的等比数列．所以，所以，又因为，所以．76.77.【解析】由题意，画出函数的图象，如图所示，又函数有四个零点，，，，且，所以，且，所以，，所以，，所以，当且仅当时“”成立；所以的取值范围是．78.【解析】先由正弦定理，得；再由余弦定理，得，然后结合均值定理，得（当且仅当时取等号）；最后由三角形面积公式，得．79.【解析】当且仅当，即时等号成立（舍去）．80.【解析】利用向量投影的定义可得：由，代入整理后得：得整理得所以．第三部分81. （1）因为，所以．（2）设点的坐标为，则有，＞，由点到直线的距离公式可知，，，所以有，即为定值，这个值为．（3）由题意可设，可知．因为与直线垂直，所以，即．解得．又，所以．所以，．所以四边形．当且仅当时，等号成立．此时四边形的面积有最小值：．82. （1）设切点为，则，由，有，解得，于是，得．（2）构造函数，其导数，当时，；当时，，所以在区间单调递减，在区间单调递增，所以，因此对于，总有，即除切点外，直线总在函数的图象的上方．（3）因为，，是两两不相等的正实数，所以，又因为，，成等比数列，所以，于是，而，，由于，且函数是增函数，因此，故．83. （1）由题意可得：．因为时，，所以，所以．（2）当时，，所以当且仅当即时取等号．当时，，所以当时，取得最大值，所以当日产量为吨时，毎日的利润可以达到最大值．84. （1）依题意，得，故的值为．当且仅当，即时等号成立，即的取值范围为．（2）因为，故．因为，当且仅当时等号成立，，当且仅当时等号成立，所以，故，当且仅当时等号成立．85. （1）函数，故函数的减区间为，增区间为，故当时，函数取得最小值为 .（2）已知，，所以当且仅当时，取等号，故的最小值为．86. （1）因为，所以要使有解，则，解得．因为，所以．（2），，所以，所以当且仅当，即，时“”成立，故．87. （1）当时，；当时，．所以不等式等价于或所以，或．所以所以原不等式的解集为．（2）由（1），得．可知的最小值为．所以．所以，变形得．因为，，所以当且仅当，即时，取等号．所以的最小值为．88. 因为，，为正实数，所以由基本不等式，得，，，当且仅当时取等号．三式相加，得：．又，所以．89. （1）函数，所以的最大值为，所以．（2）因为，且，，所以当且仅当，即，时等号成立；所以．90. （1）因为，当且仅当时，等号成立，所以的最小值等于，即，，则实数的取值集合为．（2）因为，所以，所以，因为，所以，所以，所以，当且仅当时取等号，所以，又因为，当且仅当时取等号，所以，所以，当且仅当或时取等号，综上所述，结果是：．91. （1），当且仅当时，等号成立．所以的最小值为．（2）不存在．因为，所以，所以，又，所以．从而有，因此不存在，，满足．92. （1）因为实数，，均大于，所以，，，三式相加，可得：．（2）因为，，，所以．93. （1）由已知，所以，因为点在椭圆上，所以，解得，．所以所求椭圆方程为．（2）设，，因为的垂直平分线过点，所以的斜率存在．当直线的斜率时，所以，，所以，当且仅当时取" "，所以时，，当直线的斜率时，设．所以消去得，由得①所以，，所以，所以，所以的中点为，由直线的垂直关系有，化简得②由①②得，所以，又到直线的距离为，，，所以时，．由于，所以，解得．即时，．综上，．94. （1）因为矩形纸板的面积为，故当时，，从而包装盒子的侧面积，．因为，故当时，侧面积最大，最大值为平方厘米．（2）包装盒子的体积，，．当且仅当时等号成立．设，．则．于是当时，，所以在上单调递增；当时，，所以在上单调递减．因此当时，有最大值，此时，．答：当，时纸盒的体积最大，最大值为立方厘米．95. （1）当时，，，所以，因为，所以切线方程为：，整理得：；（2），令，解得：或．①若，，当变化时，，的变化情况如表：增函数极大值减函数极小值增函数所以在区间和内是增函数，在内是减函数；②若，，当变化时，，的变化情况如表：增函数极大值减函数极小值增函数所以在区间和内是增函数，在内是减函数．（3）因为，所以在内是减函数，又，不妨设，则，．于是等价于，即，令，因为在内是减函数，故．从而在内是减函数，所以对任意，有，即，所以当，对任意，恒成立．96. （1）由题意得，又因为，所以．所以椭圆的方程为．（2）“伴随圆”的方程为，①当轴时，由，得圆心到的距离为，即、点的横坐标为，代入椭圆方程得、点的纵坐标为，．②当与轴不垂直时，由，得圆心到的距离为．设直线的方程为，得．设，，由得．所以，．当时，，当且仅当，即时等号成立，此时．当时，．综上所述：，此时的面积取最大值．97. （1）令，则，解得．（2）由，得由，得由在上单调递增，解得．因此，原不等式的解集为．（3）因为在上单调递增，且，所以时，；时，．由，得，从而由，在上递增，得．由，得，从而．由均值不等式，得从而．由，得由在上递增，得由，得由，得结合，解得．98. （1）由题可得，，所以准线方程为，抛物线的焦点到准线的距离为．（2）（i）令，，则，且令，令：，，所以，，则直线方程为，，，当时，，，，，所以．（ii），，则当且仅当时，即等号成立．99. （1）由已知，设，即，，所以，即，所以．得：．①又的周长为，所以．②由①②得：，，所以，所以所求椭圆的方程为：．（2）设点，直线的方程为，由消去，得：，设，，中点为，则，所以，所以，，即．因为是以为顶点的等腰三角形，所以即，所以．设点到直线距离为，则，所以．即点到直线距离的取值范围是．另解：，所以．法：因为是以为顶点的等腰三角形，所以．因为，，，所以．又，，所以．所以，所以．以下同解法一．100. （1）即：，解得或舍，．（2）．因为，所以，．（3）因为是实数集上的奇函数，所以．，在实数集上单调递增．由得，又因为是实数集上的奇函数，所以，，又因为在实数集上单调递增，所以即对任意的都成立，即对任意的都成立，．。
人教A版高中同步学案数学必修第一册精品课件 第二章 2.2 基本不等式
两个正数的算术平均数不小
积的2倍
于它们的几何平均数
文字叙述
“=”成立的条件 a=b
a=b
2.基本不等式的变形
(1)ab≤
b
(2)
a
a+b 2
(a>0,b>0),当且仅当
2
a
+ ≥2(a>0,b>0),当且仅当
b
a=b 时,等号成立;
a=b 时,等号成立.
第一个变形体现了两正数的积与两正数和的平方之间的关系.当不等式的
1
1
1
(1) + + ≥8;
(2)
1
1+
+
1
1+
1
1
1
证明(1) + +
1
1
∴ +
=
=
≥9.
1
1
+
1
1
+ + =2 +
,∵a+b=1,a>0,b>0,
+
+
+
=2+
+
≥2+2=4,
1
1
1
∴ + + ≥8(当且仅当
1
a=b= 时,等号成立).
+ 2
.
2
(2)当 xy 是定值时,x+y 有最小值,且最小值等于 2 .
重难探究•能力素养全提升
探究点一 对基本不等式的理解
【例1】 (多选题)设a>0,b>0,下列不等式恒成立的是(
人教版(新教材)高中数学必修1(第一册)学案：2.2 第2课时 基本不等式的应用
第2课时 基本不等式的应用学习目标 1.熟练掌握基本不等式及变形的应用.2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.3.能够运用基本不等式解决生活中的应用问题．知识点 用基本不等式求最值用基本不等式x ＋y2≥xy 求最值应注意：(1)x ，y 是正数；(2)①如果xy 等于定值P ，那么当x ＝y 时，和x ＋y 有最小值2P ； ②如果x ＋y 等于定值S ，那么当x ＝y 时，积xy 有最大值14S 2.(3)讨论等号成立的条件是否满足． 预习小测 自我检验1．已知0<x <12，则y ＝x (1－2x )的最大值为________．『答 案』 18『解 析』 y ＝x (1－2x )＝12·2x ·(1－2x )≤12⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1－2x 22＝18， 当且仅当2x ＝1－2x ，即x ＝14时取“＝”．2．某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x 吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x 万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x ＝________. 『答 案』 20『解 析』 总运费与总存储费用之和 y ＝4x ＋400x ×4＝4x ＋1600x ≥24x ·1600x＝160，当且仅当4x ＝1600x ，即x ＝20时取等号．3．某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润y (单位：万元)与机器运转时间x (单位：年)的关系为y ＝－x 2＋18x －25(x ∈N *)，则该公司每台机器年平均利润的最大值是________万元． 『答 案』 8『解 析』 年平均利润y x ＝－x ＋18－25x ＝－⎝⎛⎭⎫x ＋25x ＋18≤－225x·x ＋18＝－10＋18＝8，当且仅当x ＝5时取“＝”．4．已知x >2，则x ＋4x －2的最小值为________．『答 案』 6 『解 析』 x ＋4x －2＝x －2＋4x －2＋2， ∵x －2>0，∴x －2＋4x －2＋2≥24＋2＝4＋2＝6.当且仅当x －2＝4x －2，即x ＝4时取“＝”．一、利用基本不等式变形求最值例1 已知x >0，y >0，且1x ＋9y ＝1，求x ＋y 的最小值．解 方法一 ∵x >0，y >0，1x ＋9y ＝1，∴x ＋y ＝⎝⎛⎭⎫1x ＋9y (x ＋y )＝y x ＋9xy ＋10 ≥6＋10＝16， 当且仅当y x ＝9xy，又1x ＋9y ＝1，即x ＝4，y ＝12时，上式取等号． 故当x ＝4，y ＝12时，(x ＋y )min ＝16.方法二 由1x ＋9y ＝1，得(x －1)(y －9)＝9(定值)．由1x ＋9y ＝1可知x >1，y >9， ∴x ＋y ＝(x －1)＋(y －9)＋10≥2(x －1)(y －9)＋10＝16，当且仅当x －1＝y －9＝3， 即x ＝4，y ＝12时上式取等号， 故当x ＝4，y ＝12时，(x ＋y )min ＝16.延伸探究 若将条件换为：x >0，y >0且2x ＋8y ＝xy ，求x ＋y 的最小值． 解 方法一 由2x ＋8y －xy ＝0，得y (x －8)＝2x . ∵x >0，y >0，∴x －8>0，y ＝2x x －8， ∴x ＋y ＝x ＋2xx －8＝x ＋(2x －16)＋16x －8＝(x －8)＋16x －8＋10≥2(x －8)×16x －8＋10＝18.当且仅当x －8＝16x －8，即x ＝12时，等号成立．∴x ＋y 的最小值是18.方法二 由2x ＋8y －xy ＝0及x >0，y >0， 得8x ＋2y＝1. ∴x ＋y ＝(x ＋y )⎝⎛⎭⎫8x ＋2y ＝8y x ＋2xy＋10≥28y x ·2xy＋10＝18. 当且仅当8y x ＝2xy ，即x ＝2y ＝12时等号成立．∴x ＋y 的最小值是18.反思感悟 应根据已知条件适当进行“拆”“拼”“凑”“合”“变形”，创造应用基本不等式及使等号成立的条件．当连续应用基本不等式时，要注意各不等式取等号时的条件要一致，否则也不能求出最值；特别注意“1”的代换．跟踪训练1 已知正数x ，y 满足x ＋y ＝1，则1x ＋4y 的最小值是________．『答 案』 9『解 析』 ∵x ＋y ＝1， ∴1x ＋4y ＝(x ＋y )⎝⎛⎭⎫1x ＋4y ＝1＋4＋y x ＋4x y.∵x >0，y >0，∴y x >0，4xy >0，∴y x ＋4xy≥2y x ·4xy＝4， ∴5＋y x ＋4x y≥9.当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1，y x ＝4x y，即x ＝13，y ＝23时等号成立．∴⎝⎛⎭⎫1x ＋4y min ＝9.二、基本不等式在实际问题中的应用例2 “足寒伤心，民寒伤国”，精准扶贫是巩固温饱成果、加快脱贫致富、实现中华民族伟大“中国梦”的重要保障．某地政府在对山区乡镇企业实施精准扶贫的工作中，准备投入资金将当地农产品二次加工后进行推广促销，预计该批产品销售量Q 万件(生产量与销售量相等)与推广促销费x 万元之间的函数关系为Q ＝x ＋12(其中推广促销费不能超过3万元)．已知加工此批农产品还要投入成本2⎝⎛⎭⎫Q ＋1Q 万元(不包含推广促销费用)，若加工后的每件成品的销售价格定为⎝⎛⎭⎫2＋20Q 元/件． 那么当推广促销费投入多少万元时，此批产品的利润最大？最大利润为多少？(利润＝销售额－成本－推广促销费) 解 设该批产品的利润为y ， 由题意知y ＝⎝⎛⎭⎫2＋20Q ·Q －2⎝⎛⎭⎫Q ＋1Q －x ＝2Q ＋20－2Q －2Q －x ＝20－2Q－x＝20－4x ＋1－x ＝21－⎣⎢⎡⎦⎥⎤4x ＋1＋(x ＋1)，0≤x ≤3.∵21－⎣⎢⎡⎦⎥⎤4x ＋1＋(x ＋1)≤21－24＝17，当且仅当x ＝1时，上式取“＝”， ∴当x ＝1时，y max ＝17.答 当推广促销费投入1万元时，利润最大为17万元．反思感悟 应用题，先弄清题意(审题)，建立数学模型(列式)，再用所掌握的数学知识解决问题(求解)，最后要回应题意下结论(作答)．使用基本不等式求最值，要注意验证等号是否成立． 跟踪训练2 2016年11月3日20点43分我国长征五号运载火箭在海南文昌发射中心成功发射，它被公认为是我国从航天大国向航天强国迈进的重要标志．长征五号运载火箭的设计生产采用了很多新技术新产品，甲工厂承担了某种产品的生产，并以x 千克/时的速度匀速生产时(为保证质量要求1≤x ≤10)，每小时可消耗A 材料kx 2＋9千克，已知每小时生产1千克该产品时，消耗A 材料10千克．消耗A 材料总重量为y 千克，那么要使生产1000千克该产品消耗A 材料最少，工厂应选取何种生产速度？并求消耗的A 材料最少为多少． 解 由题意，得k ＋9＝10，即k ＝1， 生产1000千克该产品需要的时间是1000x ，所以生产1000千克该产品消耗的A 材料为 y ＝1000x (x 2＋9)＝1000⎝⎛⎭⎫x ＋9x ≥1000×29＝6000， 当且仅当x ＝9x，即x ＝3时，等号成立，且1<3<10.故工厂应选取3千克/时的生产速度，消耗的A 材料最少，最少为6000千克．基本不等式在实际问题中的应用典例 围建一个面积为360m 2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙(利用的旧墙需维修)，其他三面围墙要新建，在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为2m 的进出口，如图．已知旧墙的维修费用为45元/m ，新墙的造价为180 元/m.设利用的旧墙长度为x (单位：m)，修建此矩形场地围墙的总费用为y (单位：元)．试确定x ，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用． 解 设矩形的另一边长为a m ，则y ＝45x ＋180(x －2)＋180×2a ＝225x ＋360a －360.由已知xa ＝360，得a ＝360x ，∴y ＝225x ＋3602x －360.∵x >0，∴225x ＋3602x ≥2225×3602＝10800.∴y ＝225x ＋3602x －360≥10440.当且仅当225x ＝3602x时，等号成立．即当x ＝24m 时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是10440元．『素养提升』 数学建模是对现实问题进行数学抽象，建立和求解模型的过程耗时费力，所以建立的模型要有广泛的应用才有价值．本例中所涉及的y ＝x ＋ax (a >0)就是一个应用广泛的函数模型．1．设x >0，则3－3x －1x 的最大值是( )A ．3B ．3－2 2C ．－1D ．3－2 3『答 案』 D『解 析』 ∵x >0，∴3x ＋1x≥23x ·1x ＝23，当且仅当x ＝33时取等号，∴－⎝⎛⎭⎫3x ＋1x ≤－23，则3－3x －1x≤3－23，故选D.2．已知x 2－x ＋1x －1(x >1)在x ＝t 时取得最小值，则t 等于( )A ．1＋ 2B ．2C ．3D ．4『答 案』 B『解 析』 x 2－x ＋1x －1＝x (x －1)＋1x －1＝x ＋1x －1＝x －1＋1x －1＋1≥2＋1＝3，当且仅当x －1＝1x －1，即x ＝2时，等号成立．3．将一根铁丝切割成三段做一个面积为2m 2、形状为直角三角形的框架，在下列四种长度的铁丝中，选用最合理(够用且浪费最少)的是( ) A ．6.5mB ．6.8mC ．7mD ．7.2m 『答 案』 C『解 析』 设两直角边分别为a ，b ，直角三角形的框架的周长为l ，则12ab ＝2，∴ab ＝4，l＝a ＋b ＋a 2＋b 2≥2ab ＋2ab ＝4＋22≈6.828(m)．∵要求够用且浪费最少，故选C.4．已知正数a ，b 满足a ＋2b ＝2，则2a ＋1b 的最小值为________．『答 案』 4『解 析』 2a ＋1b ＝⎝⎛⎭⎫2a ＋1b ×12(a ＋2b ) ＝12⎝⎛⎭⎫4＋a b ＋4b a ≥12(4＋24)＝4. 当且仅当a b ＝4b a ，即a ＝1，b ＝12时等号成立，∴2a ＋1b的最小值为4. 5．设计用32m 2的材料制造某种长方体车厢(无盖)，按交通法规定厢宽为2m ，则车厢的最大容积是________m 3. 『答 案』 16『解 析』 设车厢的长为b m ，高为a m. 由已知得2b ＋2ab ＋4a ＝32，即b ＝16－2aa ＋1，∴V ＝a ·16－2a a ＋1·2＝2·16a －2a 2a ＋1.设a ＋1＝t ，则V ＝2⎝⎛⎭⎫20－2t －18t ≤2⎝⎛⎭⎫20－22t ·18t ＝16，当且仅当t＝3，即a＝2，b＝4时等号成立．1．知识清单：(1)已知x，y是正数．①若x＋y＝S(和为定值)，则当x＝y时，积xy取得最大值．②若x·y＝P(积为定值)，则当x＝y时，和x＋y取得最小值．即：“和定积最大，积定和最小”．(2)求解应用题的方法与步骤．①审题，②建模(列式)，③解模，④作答．2．方法归纳：注意条件的变换，常用“1”的代换方法求最值．3．常见误区：缺少等号成立的条件．。
2020新版教材人教A版高中数学必修第一册第二章2.2.1基本不等式
b 2
ab
(a 0, b 0)
一、复习引入
重要不等式：如果a，b∈R，那么a2+b2≥2ab
（当且仅当a=b 时，取“=”）
注意：1．指出定理适用范围： a,b R
2．强调取“=”的条件： a b
如果a ＞ 0，b ＞ 0，我们用 a ，b 分别 代替上式中的 a，b， 可得：
a b 2 ab
x
因此f(x)≤ 1 2 6
当且仅当 2x 3 ，即 x2 3 时，式中等
x
2
号成立。
由于x>0，所以 x
6 2
，式中等号成立，
因此 f (x)max 1 2 6
，此时 x 6 。
2
重要不等式 a2 b2 2ab
基本不等式a b 2 ab (a、b∈R+) 结（1）两个正数积为定值，和有最小值。 论（2）两个正数和为定值，积有最大值。
当且仅当x 4 ,即x 2时,等号成立. x
2.求以下问题中的最值 :
(1)若a 0,则当a (2)x, y都为正数,
且 _232_x__y时,42a, xy的9a 有最最大小值值是__11__2____;.
2
3.已知x>0, y>0, xy=24, 求4x+6y的最小值，并说 明此时x,y的值．
AC=a，BC=b.过C点作垂直于AB的弦DE, 连
接AD,BD.你能利用这个图形，得出基本不等
式的几何解释吗？
D
A
a Cb B
E
证明：连接OD，OD a b .又 △ ACD ∽ △ DCB ，
则 CD ab
2
当a≠b时，OD>CD，即 当a=b时，OD=CD，即
2.2《基本不等式》教学设计-2020-2021学年高一人教A版(2019)数学必修第一册第二章
《基本不等式》教学设计一、知识结构框图二、学习目标（1）知识与技能：会从不同角度探索基本不等式，会用基本不等式解决简单的最值问题；（2）过程与方法：经历基本不等式的推导过程，体会数形结合、分类讨论等数学思想，提升数学抽象、直观想象、逻辑推理等数学核心素养；（3）情感态度价值观：培养学生主动探索、勇于发现的科学精神，并在探究的过程中，体会数学的严谨性，发现数学的实用性三、重点、难点重点：（1）基本不等式的定义，证明方法和几何解释（2）用基本不等式解决简单的最值问题.难点：（1）基本不等式的几何解释，用基本不等式解决简单最值问题.四、教学过程教学内容师生活动设计意图情境导学探新知情境1：展示第24届国际数学家大会的会标，介绍赵爽弦图历史渊源.情境2：介绍知名校友国际数学新秀韦东奕.师：展示部分北京数学家大会的图片，介绍发展史.生：欣赏和感受数学历史文华,榜样就在我们身边.渗透德育，激发学生的民族自豪感，调动学生数学学习积极性.合作探究释疑难问题1：你能否从数学家的角度来欣赏会标，由哪些几何图形构成？蕴含怎样的不等关系？师：提出问题1，留给学生一分钟时间独立思考.生：整个图案由正方形和四个全等的直角三角形构成.生：大正方形面积不小于四个直角三角形面积和.师：设直角三角形的直角边分别为a,b,如何表示上激发学生探究欲望，引导学生从几何图形出发抽象出重要不等式，为接下来基本不等式做铺垫，体会数学建模，的必要条件，也就是“a b=”和“等号成立”互为充要条件.师：肯定学生能够前后知识融会贯通.意识.合作探究释疑难问题5：如图AB是圆的直径，点C是AB上一点，AC=a,BC=b,过点C做垂直于AB的弦DE，连接AD,BD，你能利用这个图形得到基本不等式的几何解释吗？师：前后4人小组，4分钟时间讨论交流.生：小组讨论，选派小组代表上台为同学展示交流成果，其他同学做补充.师：肯定小组交流成果.师：几何画板动态演示，使学生直观感受变与不变.师：引导学生总结，半径即为2a b+，CD ab=，圆中直径不小于任意一条弦，当且仅当弦过圆心时，二者相等.学生自己发现基本不等式的几何解释相对较困难，给出几何图形后，引导学生将ab和2a b+与图中的几何元素建立起联系，再观察这些几何元素在变化中表现得大小关系，从而得到基本不等式五、板书设计。
新教材高中数学一元二次函数方程和不等式 第1课时基本不等式学案含解析新人教A版必修第一册
2．2 基本不等式第1课时 基本不等式[目标] 1.理解基本不等式的内容及证明；2.能熟练运用基本不等式来比较两个实数的大小；3.能初步运用基本不等式证明简单的不等式．[重点] 基本不等式的内容及证明． [难点] 运用基本不等式证明简单的不等式．知识点 两个不等式[填一填]1．重要不等式：∀a ,b ∈R ,有a 2＋b 2≥2ab ,当且仅当a ＝b 时,等号成立．2．基本不等式：如果a ,b ∈R ＋,那么ab ≤a ＋b 2,当且仅当a ＝b 时,等号成立．其中a ＋b2叫做正数a ,b 的算术平均数,ab 叫做正数a ,b 的几何平均数．所以两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．[答一答]1．下面是基本不等式ab ≤a ＋b2的一种几何解释,请你补充完整． 如图所示,AB 为⊙O 的直径,AC ＝a ,CB ＝b ,过点C 作CD ⊥AB 交⊙O 上半圆于D ,连接OD ,AD ,BD .(1)由射影定理可知,CD ＝ab ,而OD ＝a ＋b2；(2)因为OD ≥CD ,所以a ＋b2≥ab 当且仅当C 与O 重合,即a ＝b 时,等号成立；(3)基本不等式ab ≤a ＋b2的几何意义是半径不小于半弦．2．不等式a 2＋b 2≥2ab 和基本不等式ab ≤a ＋b2成立的条件有什么不同？提示：不等式a 2＋b 2≥2ab 对任意实数a ,b 都成立；ab ≤a ＋b2中要求a ,b 都是正实数．3．(1)基本不等式中的a ,b 可以是代数式吗？ (2)a ＋b 2≥ab 与⎝⎛⎭⎫a ＋b 22≥ab 是等价的吗？提示：(1)可以．但代数式的值必须是正数,否则不成立． (2)不等价,前者条件是a >0,b >0,后者是a ,b ∈R .类型一 用基本不等式比较大小[例1] 若0<a <1,0<b <1,且a ≠b ,试找出a ＋b ,a 2＋b 2,2ab ,2ab 中的最大者． [解] ∵0<a <1,0<b <1,且a ≠b ,∴a ＋b >2ab ,a 2＋b 2>2ab ,∴四个数中最大的应从a ＋b ,a 2＋b 2中选择． 而a 2＋b 2－(a ＋b )＝a (a －1)＋b (b －1), ∵0<a <1,0<b <1,∴a (a －1)<0,b (b －1)<0, ∴a 2＋b 2－(a ＋b )<0,即a 2＋b 2<a ＋b , ∴a ＋b 最大．利用基本不等式比较实数大小的注意事项(1)利用基本不等式比较大小,常常要注意观察其形式(和与积),同时要注意结合函数的性质.(2)利用基本不等式时,一定要注意条件是否满足a >0,b >0.[变式训练1] (1)已知a ,b ∈R ,且ab >0,则下列结论恒成立的是( D ) A ．a 2＋b 2>2ab B ．a ＋b ≥2ab C.1a ＋1b >2abD.b a ＋a b≥2 解析：对于A,当a ＝b 时,a 2＋b 2＝2ab ,所以A 错误；对于B,C,ab >0只能说明a ,b 同号,当a ,b 都小于0时,B,C 错误；对于D,因为ab >0,所以b a >0,a b >0,所以b a ＋ab ≥2b a ·a b ,即b a ＋ab≥2成立．(2)已知a ,b 是不相等的正数,x ＝a ＋b2,y ＝a ＋b ,试比较x ,y 的大小．解：a ,b 是不相等的正数,由x ＝a ＋b 2得x 2＝a ＋b ＋2ab 2<a ＋b ＋a ＋b2＝a ＋b ,又∵y ＝a ＋b ,即y 2＝a ＋b ,∴x 2<y 2,即x <y . 类型二 用基本不等式证明不等式[例2] (1)已知a ,b ,c 为不全相等的正实数,求证：a ＋b ＋c >ab ＋bc ＋ca . (2)已知a ,b ,c 为正实数,且a ＋b ＋c ＝1, 求证：⎝⎛⎭⎫1a －1⎝⎛⎭⎫1b －1⎝⎛⎭⎫1c －1≥8.[分析] (1)左边是和式,右边是带根号的积式之和,所以用基本不等式,将和变积,并证得不等式．(2)不等式右边数字为8,使我们联想到左边因式分别使用基本不等式,可得三个“2”连乘,又1a －1＝1－a a ＝b ＋c a ≥2bc a,可由此变形入手． [证明] (1)∵a >0,b >0,c >0,∴a ＋b ≥2ab >0,b ＋c ≥2bc >0,c ＋a ≥2ca >0.∴2(a ＋b ＋c )≥2(ab ＋bc ＋ca ), 即a ＋b ＋c ≥ab ＋bc ＋ca .由于a ,b ,c 为不全相等的正实数,故等号不成立． ∴a ＋b ＋c >ab ＋bc ＋ca . (2)∵a ,b ,c 为正实数,且a ＋b ＋c ＝1, ∴1a －1＝1－a a ＝b ＋c a ≥2bc a , 同理1b －1≥2ac b ,1c －1≥2ab c.由上述三个不等式两边均为正,分别相乘,得⎝⎛⎭⎫1a －1⎝⎛⎭⎫1b －1⎝⎛⎭⎫1c －1≥2bc a ·2ac b ·2ab c ＝8. 当且仅当a ＝b ＝c ＝13时,等号成立．利用基本不等式证明不等式的策略与注意事项1．利用基本不等式证明不等式,关键是所证不等式中必须有“和”式或“积”式,通过将“和”式转化为“积”式或将“积”式转化为“和”式,从而达到放缩的效果．2．注意多次运用基本不等式时等号能否取到．3．解题时要注意技巧,当不能直接利用基本不等式时,可将原不等式进行组合、构造,以满足能使用基本不等式的形式．[变式训练2] 已知a ,b ,c 为正数,且a ＋b ＋c ＝1,证明：1a ＋1b ＋1c≥9.证明：1a ＋1b ＋1c ＝a ＋b ＋c a ＋a ＋b ＋c b ＋a ＋b ＋c c ＝3＋(b a ＋a b )＋(c a ＋a c )＋(c b ＋b c )≥3＋2＋2＋2＝9.当且仅当a ＝b ＝c ＝13时,等号成立．1．给出下列条件：①ab >0；②ab <0；③a >0,b >0；④a <0,b <0,其中能使b a ＋ab ≥2成立的条件有( C )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解析：当b a ,a b 均为正数时,b a ＋ab ≥2,故只须a 、b 同号即可．所以①③④均可以．2．已知x >0,y >0,且2x ＋1y ＝1,若x ＋2y >m 恒成立,则实数m 的取值范围是( D )A ．{m |m <6}B ．{m |m ≤6}C ．{m |m ≤8}D ．{m |m <8}解析：本题考查基本不等式的应用．x ＋2y ＝(x ＋2y )·⎝⎛⎭⎫2x ＋1y ＝4＋4y x ＋x y≥4＋24＝8(当且仅当4y x ＝xy ,即x ＝4,y ＝2时等号成立),所以x ＋2y >m 恒成立,只需(x ＋2y )min >m .所以m <8.故选D.3．设b >a >0,且a ＋b ＝1,则四个数12,2ab ,a 2＋b 2,b 中最大的是( A )A ．bB ．a 2＋b 2C ．2abD.12解析：因为b >a >0,所以a 2＋b 2>2ab .又因为a ＋b ＝1,所以b >12.又b ＝b (b ＋a )＝b 2＋ab >b 2＋a 2,所以b 最大,故选A.4．若a >0,b >0,a ＋b ＝2,则下列不等式对一切满足条件的a ,b 恒成立的是①③⑤(写出所有正确命题的序号)．①ab ≤1；②a ＋b ≤2；③a 2＋b 2≥2；④a 3＋b 3≥3；⑤1a ＋1b ≥2.解析：因为a >0,b >0,a ＋b ＝2,所以ab ≤(a ＋b 2)2＝1,所以①恒成立； a ＋b ≤2(a )2＋(b )22＝2,所以②不恒成立； a 2＋b 2≥(a ＋b )22＝2,所以③恒成立；当a ＝b ＝1时,a 3＋b 3＝2<3,所以④不恒成立； 1a ＋1b ＝12(a ＋b )(1a ＋1b )＝12(2＋a b ＋ba )≥2, 所以⑤恒成立． 5．已知x ,y 都是正数． 求证：(1)y x ＋xy≥2；(2)(x ＋y )(x 2＋y 2)(x 3＋y 3)≥8x 3y 3. 证明：(1)∵x ,y 都是正数,∴x y >0,yx >0,∴y x ＋x y≥2y x ·x y ＝2,即y x ＋x y≥2, 当且仅当x ＝y 时,等号成立． (2)∵x ,y 都是正数,∴x ＋y ≥2xy >0, x 2＋y 2≥2x 2y 2>0,x 3＋y 3≥2x 3y 3>0.∴(x ＋y )(x 2＋y 2)(x 3＋y 3)≥2xy ·2x 2y 2·2x 3y 3＝8x 3y 3,即(x ＋y )(x 2＋y 2)(x 3＋y 3)≥8x 3y 3, 当且仅当x ＝y 时,等号成立．——本课须掌握的两大问题1．两个不等式a 2＋b 2≥2ab 与a ＋b2≥ab 都是带有等号的不等式,对于“当且仅当…时,取‘＝’”这句话的含义要有正确的理解．一方面：当a ＝b 时,a ＋b 2＝ab ；另一方面：当a ＋b2＝ab 时,也有a ＝b .2．在利用基本不等式证明的过程中,常需要把数、式合理的拆成两项或多项或把恒等式变形配凑成适当的数、式,以便于利用基本不等式．。
高中数学新教材同步必修第一册 第2章 §2.2 第1课时 基本不等式
由于CD小于或等于圆的半径， 故用不等式表示为 ab≤a＋2 b， 由此也可以得出圆的半径不小于半弦.
知识梳理
最值定理 已知x，y都为正数，则(1)如果积xy等于定值P，那么当且仅当x＝y时， 和x＋y有最小值 2 P ；(2)如果和x＋y等于定值S，那么当且仅当x＝y时， 积xy有最大值 14S2 ，简记为：积定和最小，和定积最大. 注意点： (1)三个关键点：一正、二定、三相等.①一正：各项必须为正；②二定： 各项之和或各项之积为定值；③三相等：必须验证取等号时的条件是 否具备.(2)探求过程中常需依据具体的问题进行合理的拆项、凑项、配 项等变换.
故原式的最大值为－4.
2.当 x>1 时，求 x＋x－4 1的最小值.
解 因为x>1，故有x－1>0， 所以 x＋x－4 1＝x－1＋x－4 1＋1≥2 x－1·x－4 1＋1＝5， 当且仅当 x－1＝x－4 1，即 x＝3 时等号成立. 因此所求最小值为5.
反思感悟 在利用基本不等式求最值时要注意三点 一是各项均为正；二是寻求定值，求和式最小值时应使积为定值，(恰 当变形，合理拆分项或配凑因式是常用的解题技巧)；三是考虑等号成 立的条件是否具备，检验多项式取得最值时的x的值是否为已知范围内 的值，故三点缺一不可.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
8.下列不等式：①a2＋1>2a；②x＋1x≥2；③a＋abb≤2；④x2＋x2＋1 1≥1.其 中正确的个数是___2__. 解析 由基本不等式可知②④正确.
人教版高中数学新教材必修第一册2.2基本不等式1导学案1
2.2基本不等式 (一)导学案 班级 小组 姓名 自我评介 教师评价 学习目标 学会推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等； 学习重点① 了解基本不等式的证明过程② 会用基本不等式解决简单的最大小值问题学习难点：基本不等式的应用【知识链接】1：重要不等式：对于任意实数,a b ，有22____2a b ab +，当且仅当________时，等号成立. 2：基本不等式：设,(0,)a b ∈+∞，则_____2a b ab +，当且仅当____时，不等式取等号. 称_______为a,b 的算术平均数，_____为a,b 的几何平均数。
基本不等式又称为________.3. 基本不等式的几何意义是：_________不小于_________.自主学习一.复习重要结论：一般的，如果,R a b ∈，我们有222a b ab +≥当且仅当a b =时，等号成立. 探究1：你能给出它的证明吗？特别的，如果0a >，0b >，我们用a 、b 分别代替a 、b ，可得2a b ab +≥，通常我们把上式写作：(a>0,b>0)2a b ab +≤问：由不等式的性质证明基本不等2a b ab +≤？ 用分析法证明：证明：要证 2a b ab +≥ (1) 只要证 a b +≥ (2)要证（2），只要证____0a b +-≥ （3）要证（3），只 要证2(__________)0-≥ （4）显然，（4）是成立的. 当且仅当a=b 时，（4）中的等号成立.二、理解基本不等式2a b ab +≤的几何意义 探究2：课本的“探究” 在右图中，AB 是圆的直径，点C 是AB 上的一点，AC=a ，BC=b. 过点C 作垂直于AB 的弦DE ，连接AD 、BD. 你能利用这个图形得出基本不等式2a b ab +≤的几何解释吗？结论：基本不等式2a b ab +≤几何意义是三、基本不等式(a>0,b>0)2a b +，当且仅当a b =时，等号成立在数学中，我们称2a b +为a 、b a 、b 的几何平均数.本节定理还 可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.四.例题讲解：例1. 0x >时，当x 取什么值时，1x x +的值最小？最小值是多少？变式1：把0x >改为0<x ，上式的最小值还成立吗？ 变式2：把0x >改为2≥x ，上式的最小值还成立吗例2 已知y x ,都是正数，求证：（1）如果积xy 等于定值P ，那么当y x =时，和y x +有最小值P 2（2）如果和y x +等于定值S ，那么当时，积xy 有最大值241S 五、课堂练习多少？取得最小值？最小值是取什么值时，当221.1x x x + ;11,1.2的最小值求时当-+=>x x y x .111.32的最大值，求已知x x -≤≤-六、自我总结:我学到了什么?我有哪些问题与老师交流?七、达标检测1. 已知x >0，若x ＋81x的值最小，则x 为（ ）. A ． 81 B ． 9 C ． 3 D ．162. 若实数a ，b ，满足2a b +=，则33a b +的最小值是（ ）.A ．18B ．6C ．D ．3. 已知x ≠0，当x =_____时，x 2＋281x 的值最小，最小值是________. 4. 做一个体积为323m ，高为2m 的长方体纸盒，底面的长为_______，宽为________时，用纸最少.八、作业布置 课本48页 习题2.2 复习巩固1、 2九、课后反思。
2020年高中数学新教材同步必修第一册 第2章 2.2 第1课时 基本不等式
2 题型探究
PART TWO
一、利用基本不等式比较大小
例1 某工厂生产某种产品，第一年产量为A，第二年的增长率为a，第三年的增长
率为b，这两年的平均增长率为x(a，b，x均大于零)，则
A.x＝a＋2 b
√B.x≤a＋2 b
a＋b C.x> 2
D.x≥a＋2 b
反思 感悟
基本不等式 a＋2 b≥ ab 一端为和，一端为积，使用基本不等式比较大小
解析 x＋1x0＋1x＋2＝x＋1＋x9＋x1＋1＋1 ＝x＋12＋x1＋01x＋1＋9＝(x＋1)＋x＋9 1＋10， ∵x>－1，∴x＋1>0， ∴(x＋1)＋x＋9 1＋10≥2 9＋10＝16. 当且仅当 x＋1＝x＋9 1， 即x＝2时，等号成立.
12345
课堂小结
KE TANG XIAO JIE
B.a2＋b2≥4ab
√D.x2＋x32≥2 3
解析 a<0，则 a＋4a≥4 不成立，故 A 错； a＝1，b＝1，则a2＋b2<4ab，故B错； a＝4，b＝16，则 ab<a＋2 b，故 C 错； 由基本不等式可知D项正确.
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5.已知 x>－1，则x＋1x0＋1x＋2的最小值为___1_6____.
∴
ab>a.故
a＋b b> 2 >
ab>a.
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2.下列不等式正确的是 A.a＋1a≥2
√C.a2＋a12≥2
B.(－a)＋－1a≤－2 D.(－a)2＋－1a2≤－2
解析 ∵a2>0，故 a2＋a12≥2 成立.
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3.下列等式中最小值为4的是 A.y＝x＋4x
新教材2020-2021学年高中数学人教A版必修第一册：2.2 第1课时 基本不等式
关键能力·攻重难
题型探究 题型一 利用基本不等式判断命题真假
例 1 下列不等式一定成立的是( C )
A． x2＋14> x(x>0)
B．x＋1x≥2(x≠0)
C．x2＋1≥2|x|(x∈R)
D．x2＋1 1>1(x∈R)
[解析] 选项 A 中，x2＋41≥x(当且仅当 x＝12时，x2＋14＝x)，故选项 A 不正确；选项 B 中，x＋1x≥2(x>0)，x＋1x≤－2(x<0)，故选项 B 不正确； 选项 C 中，x2－2|x|＋1＝(|x|－1)2≥0(x∈R)，故选项 C 正确；选项 D 中， x2＋1≥1，则 0<x2＋1 1≤1，故选项 D 不正确．
第二章
一元二次函数、方程和不等式
2.2 基本不等式
【素养目标】 1．了解基本不等式的代数和几何背景．(数学抽象) 2．理解并掌握基本不等式及其变形．(逻辑推理) 3．会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题．(数学运算) 4．会用基本不等式进行代数式大小的比较及证明不等式．(逻辑推 理) 5．会用基本不等式求最值问题和解决简单的实际问题．(数学运算)
理的拆、凑、配等变换．
基础自测
1．判断正误(对的打“√”，错的打“×”)
(1) 两 个 不 等 式
a2 ＋ b2≥2ab
与
a＋b 2
≥
ab 成 立 的 条 件 是 相 同
的．( × )
(2)当 a>0，b>0 时，a＋b≥2 ab.( √ )
(3)当 a>0，b>0 时，ab≤(a＋2 b)2.( √ )
(4)函数 y＝x＋1x的最小值是 2.( × )
[解析] (1)不等式 a2＋b2≥2ab 成立的条件是 a，b∈R；不等式a＋2 b ≥ ab成立的条件是 a>0，b>0.
2020新版教材人教A版高中数学必修第一册第二章2.2.2基本不等式
（2）求y的最值.
解：设污水处理池的长为 x m, 总造价为y元，则
y=400·(2x+200/x×2)+248·(2×200/x) +80×200
=800x+259200/x+16000.
≥2
800x 25当800x=259200/x, 即x=18时，取等号
练习:某工厂拟建一座平面图为矩形且面积200m2 的三级污水处理池（平面图如上图）。如果池四 周围墙建造单价400元/m，中间两道隔墙建造单 价为248元/m，池底建造单价为80元/m2，水池 所有墙的厚度忽略不计，试设计污水处理池的长 和宽，使总造价最低，并求出最低造价。 分析：设污水处理池的长为 x m,总造价为y元，
当且仅当x=y时，式中等号成立，
此时x=y=10。
因此，当这个矩形的长与宽都是10m时， 它的周长最短，最短周长是40m.
(2)设矩形菜园的长为 x m,宽为 y m, 则 2(x+y)=36, x+y =18,矩形菜园的面积为 xy m2.
因为x>0，y>0，所以， xy ≤ x y
2
因此 xy ≤9 将这个正值不等式的两边平方，得xy≤81,
答：池长18m，宽100/9 m时，造价最低为 30400元。
三、知识小结
重要 a2 b2 2ab
不等式 a b 2 ab (a、b∈R+)
结 论 ：（1）两个正数积为定值，和有最小值。 （2）两个正数和为定值，积有最大值。
应用要点：一正、二定 、三相等
重要不等式 a2 b2 2ab
(1)
ab
1
2
1
;
ab
(新教材)【人教B版】20版必修一2.2.2(数学)
为
，故满足题意的整数解为0，1，2，共3
个.
{x | 1 x 5}
3
2
【加练·固】
关于x的不等式组
的解集为(-∞，4)，
则实数m的取值范围为__x_5_6___x4_.1，
x m 0
【式解x+析m<】0的不解等集式为x(-5∞6 ，x4-m1)的，解要集使为不等(-式∞组，的4)解，集不为等 (-∞，4)，需满足-m≥4，即m≤-4.
【解析】不等式可以看作数轴上到点-2的距离大于到
点1的距离的点的集合，而到点-2的距离等于到点1的
距离的点是- ，故点- 右边的点满足不等式.所以不
等式的解集为
.
1
1
2
2
( 1， ) 2
所以-1-x+1-x=3，得x=- 3 .
同理设B点右侧有一点B1到2 A，B两点的距离和为3，B1 对应数轴上的x，所以x-1+x-(-1)=3.所以x= .
从数轴上可看到，点A1，B1之间的点到A，B的距离之 和都小于3；点A1的左边或点B1的右边的任何点3 到A，B
2
的距离之和都大于3，所以原不等式的解集是 .
不等式(m>0) |x|<m |x|>m
|x-b|<m
解集的几何意义
数轴上与原点的距离小于m的所有 数的集合
数轴上与原点的距离大于m的所有 数的集合
数轴上与表示b的点的距离小于m的 所有数的集合
不等式(m>0)
解集的几何意义
|x-b|>m
数轴上与表示b的点的距离大于m的 所有数的集合
【思考】 (1)数轴上任意两点之间的距离都可以利用此公式计算 吗？ 提示：可以. (2)不等式|x+1|≤3的解集的几何意义是什么？ 提示：数轴上与表示-1的点的距离小于或等于3的点对 应的所有数组成的集合.
新教材高中数学第2章基本不等式第1课时基本不等式学案含解析新人教A版必修第一册
新教材高中数学新人教A 版选择性必修第一册：2.2 基本不等式第1课时 基本不等式学 习 目 标核 心 素 养1.了解基本不等式的证明过程．(重点) 2．能利用基本不等式证明简单的不等式及比较代数式的大小.1.通过不等式的证明，培养逻辑推理素养． 2．借助基本不等式形式求简单的最值问题，提升数学运算素养.如图，是2002年8月在北京召开的第24届国际数学家大会的会标．它依据我国著名数学家赵爽研究勾股定理的弦图进行设计，颜色的明暗使其看起来像一个风车．问题：依据会标，你能找到一些相等或不等关系吗？ 提示：由图可知①a 2＋b 2＝(a －b )2＋2ab ；②a 2＋b 2≥2ab ，当且仅当a ＝b 时，取“＝”．基本不等式(1)有关概念：当a ，b 均为正数时，把a ＋b2叫做正数a ，b 的算术平均数，把ab 叫做正数a ，b 的几何平均数．(2)不等式：当a ，b 是任意正实数时，a ，b 的几何平均数不大于它们的算术平均数，即ab ≤a ＋b 2，当且仅当a ＝b 时，等号成立．1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)对任意a ，b ∈R ，a 2＋b 2≥2ab ，a ＋b ≥2ab 均成立．( ) (2)若a ≠0，则a ＋1a≥2a ·1a＝2. ( ) (3)若a >0，b >0，则ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22.( )[提示] (1)任意a ，b ∈R ，有a 2＋b 2≥2ab 成立，当a ，b 都为正数时，不等式a ＋b ≥2ab 成立．(2)只有当a >0时，根据基本不等式，才有不等式a ＋1a≥2a ·1a＝2成立． (3)因为ab ≤a ＋b2，所以ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22. [答案] (1)× (2)× (3)√2．不等式a 2＋1≥2a 中等号成立的条件是( ) A ．a ＝±1 B ．a ＝1 C ．a ＝－1D ．a ＝0B [当a 2＋1＝2a ，即(a －1)2＝0，即a ＝1时，“＝”成立．] 3．已知0＜a ＜1,0＜b ＜1，且a ≠b ，下列各式中最大的是( ) A ．a 2＋b 2B ．2abC ．2abD ．a ＋bD [∵0＜a ＜1,0＜b ＜1，∴a 2＜a ，b 2＜b ， ∴a 2＋b 2＜a ＋b ，又a 2＋b 2＞2ab (∵a ≠b )， ∴2ab ＜a 2＋b 2＜a ＋b .又∵a ＋b ＞2ab (∵a ≠b )，∴a ＋b 最大．]4．当a ，b ∈R 时，下列不等关系成立的是________(填序号)． ①a ＋b2≥ab ；②a －b ≥2ab ；③a 2＋b 2≥2ab ；④a 2－b 2≥2ab .③ [根据a 2＋b 22≥ab ，a ＋b2≥ab 成立的条件判断，知①②④错，只有③正确．]对基本不等式的理解【例1】 给出下面四个推导过程： ①∵a ，b 为正实数，∴b a ＋a b ≥2b a ·ab＝2； ②∵a ∈R ，a ≠0，∴4a ＋a ≥24a·a ＝4；③∵x ，y ∈R ，xy ＜0，∴x y ＋y x＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫－x y ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－y x ≤－2⎝ ⎛⎭⎪⎫－x y ⎝ ⎛⎭⎪⎫－y x ＝－2. 其中正确的推导为( ) A ．①② B ．①③ C ．②③D ．①②③B [①∵a ，b 为正实数，∴b a ，a b为正实数，符合基本不等式的条件，故①的推导正确． ②∵a ∈R ，a ≠0，不符合基本不等式的条件， ∴4a ＋a ≥24a·a ＝4是错误的．③由xy ＜0，得x y ，y x 均为负数，但在推导过程中将整体x y ＋y x提出负号后，⎝ ⎛⎭⎪⎫－x y ，⎝ ⎛⎭⎪⎫－y x 均变为正数，符合基本不等式的条件，故③正确．]1．基本不等式ab ≤a ＋b2(a ＞0，b ＞0)反映了两个正数的和与积之间的关系．2．对基本不等式的准确掌握要抓住以下两个方面：(1)定理成立的条件是a ，b 都是正数．(2)“当且仅当”的含义：当a ＝b 时，ab ≤a ＋b2的等号成立，即a ＝b ⇒a ＋b2＝ab ；仅当a ＝b 时，a ＋b2≥ab 的等号成立，即a ＋b2＝ab ⇒a ＝b .[跟进训练]1．下列不等式的推导过程正确的是________． ①若x ＞1，则x ＋1x ≥2x ·1x＝2. ②若x ＜0，则x ＋4x＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤－x ＋⎝⎛⎭⎪⎫－4x≤－2－x ·⎝⎛⎭⎪⎫－4x＝－4.③若a ，b ∈R ，则b a ＋a b ≥2b a ·ab＝2. ② [ ①中忽视了基本不等式等号成立的条件，当x ＝1x时，即x ＝1时，x ＋1x≥2等号成立，因为x ＞1，所以x ＋1x＞2，③中忽视了利用基本不等式时每一项必须为正数这一条件．]利用基本不等式比较大小【例2】 (1)已知a ，b ∈R ＋，则下列各式中不一定成立的是( ) A ．a ＋b ≥2abB.b a ＋a b≥2 C.a 2＋b 2ab≥2abD ．2aba ＋b≥ab (2)已知a ，b ，c 是两两不等的实数，则p ＝a 2＋b 2＋c 2与q ＝ab ＋bc ＋ca 的大小关系是________．(1)D (2)a 2＋b 2＋c 2＞ab ＋bc ＋ac [(1)由a ＋b2≥ab 得a ＋b ≥2ab ，∴A 成立； ∵b a ＋a b ≥2b a ·ab＝2，∴B 成立； ∵a 2＋b 2ab ≥2ab ab＝2ab ，∴C 成立；∵2ab a ＋b ≤2ab 2ab＝ab ，∴D 不一定成立． (2)∵a ，b ，c 互不相等，∴a 2＋b 2＞2ab ，b 2＋c 2>2bc ，a 2＋c 2>2ac . ∴2(a 2＋b 2＋c 2)>2(ab ＋bc ＋ac )． 即a 2＋b 2＋c 2>ab ＋bc ＋ac .]1．在理解基本不等式时，要从形式到内含中理解，特别要关注条件．2．运用基本不等式比较大小时应注意成立的条件，即a ＋b ≥2ab 成立的条件是a >0，b >0，等号成立的条件是a ＝b ；a 2＋b 2≥2ab 成立的条件是a ，b ∈R ，等号成立的条件是a ＝b .[跟进训练]2．如果0＜a ＜b ＜1，P ＝a ＋b2，Q ＝ab ，M ＝a ＋b ，那么P ，Q ，M 的大小顺序是( )A ．P ＞Q ＞MB ．M ＞P ＞QC ．Q ＞M ＞PD ．M ＞Q ＞PB [显然a ＋b2＞ab ，又因为a ＋b2＜a ＋b (由a ＋b ＞a ＋b24也就是a ＋b4＜1可得)，所以a ＋b ＞a ＋b2＞ab .故M ＞P ＞Q .]利用基本不等式证明不等式【例3】 已知a ，b ，c 是互不相等的正数，且a ＋b ＋c ＝1，求证：1a ＋1b ＋1c>9.[思路点拨] 看到1a ＋1b ＋1c>9，想到将“1”换成“a ＋b ＋c ”，裂项构造基本不等式的形式，用基本不等式证明．[证明] ∵a ，b ，c ∈R ＋，且a ＋b ＋c ＝1， ∴1a ＋1b ＋1c ＝a ＋b ＋c a ＋a ＋b ＋c b ＋a ＋b ＋c c＝3＋b a ＋c a ＋a b ＋c b ＋a c ＋bc＝3＋⎝⎛⎭⎪⎫b a ＋ab ＋⎝⎛⎭⎪⎫c a ＋ac ＋⎝⎛⎭⎪⎫c b ＋bc≥3＋2b a ·ab ＋2c a ·a c ＋2c b ·b c＝3＋2＋2＋2 ＝9.当且仅当a ＝b ＝c 时取等号，∴1a ＋1b ＋1c>9.本例条件不变，求证：⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1b －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1c －1>8. [证明] ∵a ，b ，c ∈R ＋， 且a ＋b ＋c ＝1，∴1a －1＝b ＋c a >0，1b －1＝a ＋c b >0，1c －1＝a ＋b c>0，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1b －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1c －1＝b ＋c a ·a ＋c b ·a ＋b c ≥2bc ·2ac ·2ababc＝8，当且仅当a ＝b ＝c 时取等号， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1b －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1c －1＞8.1．条件不等式的证明，要将待证不等式与已知条件结合起来考虑，比如本题通过“1”的代换，将不等式的左边化成齐次式，一方面为使用基本不等式创造条件，另一方面可实现约分与不等式的右边建立联系．2．先局部运用基本不等式，再利用不等式的性质(注意限制条件)，通过相加(乘)合成为待证的不等式，既是运用基本不等式时的一种重要技能，也是证明不等式时的一种常用方法．[跟进训练]3．已知x ，y ，z 都是正数，求证： (x ＋y )(y ＋z )(z ＋x )≥8xyz . [证明] ∵x ，y ，z 都是正数，∴x ＋y ≥2xy ，y ＋z ≥2yz ，z ＋x ≥2zx ， ∴(x ＋y )(y ＋z )(z ＋x )≥2xy ·2yz ·2zx ＝8xyz . 当且仅当x ＝y ＝z 时，等号成立．4．已知a ＞1，b ＞0，1a ＋3b＝1，求证：a ＋2b ≥26＋7.[证明] 由1a ＋3b ＝1，得b ＝3aa －1(a ＞1)，则a ＋2b ＝a ＋6a a －1＝a ＋6a －1＋6a －1＝a ＋6a －1＋6＝(a －1)＋6a －1＋7≥26＋7， 当a －1＝6a －1时，即a ＝1＋6时，取等号.1．记牢2个不等式 (1)a 2＋b 2≥2ab ；(2)a ＋b2≥ab (a ，b 都是正数)．2．掌握2个注意点利用基本不等式证明不等式时应关注两点：(1)应用基本不等式时要时刻注意其成立的条件，只有当a >0，b >0时，才会有ab ≤a ＋b2.对于“当且仅当……时，‘＝’成立”这句话要从两个方面理解：一方面，当a ＝b 时，a ＋b2＝ab ；另一方面，当a ＋b2＝ab 时，也有a ＝b .(2)应用基本不等式证明不等式的关键在于进行“拼”“凑”“拆”“合”“放缩”等变形，构造出符合基本不等式的条件结构．1．设a >b >0，则下列不等式中一定成立的是( ) A ．a －b <0 B ．0<ab<1 C.ab <a ＋b2D ．ab >a ＋bC [∵a >b >0，由基本不等式知ab <a ＋b2一定成立．]2．不等式9x －2＋(x －2)≥6(其中x ＞2)中等号成立的条件是( ) A ．x ＝3 B ．x ＝－3 C ．x ＝5D ．x ＝－5C [由基本不等式知等号成立的条件为9x －2＝x －2，即x ＝5(x ＝－1舍去)．] 3．若0＜a ＜b 且a ＋b ＝1，则下列四个数中最大的是( ) A.12 B ．a 2＋b 2C ．2abD ．aB [a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab ≥(a ＋b )2－2·⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝12. a 2＋b 2－2ab ＝(a －b )2≥0，∴a 2＋b 2≥2ab .∵0＜a ＜b 且a ＋b ＝1，∴a ＜12.∴a 2＋b 2最大．]4．若x ＞0，则x ＋1x________2(填“＝”“≥”“≤”“＞”“＜”)．≥ [x ＞0时，x ＋1x≥2x ·1x ＝2，当且仅当x ＝1x，即x ＝1时取等号．]5．设a >0，b >0，证明：b 2a ＋a 2b≥a ＋b .[证明] ∵a >0，b >0，∴b 2a ＋a ≥2b ，a 2b ＋b ≥2a ， ∴b 2a ＋a 2b≥a ＋b .。
人教版(新教材)高中数学第一册(必修1)：第二课时 基本不等式的应用学案
第二课时基本不等式的应用课标要求素养要求1.进一步熟练掌握基本不等式，能够通过拼凑、变形等利用基本不等式求最值.2.能够利用基本不等式解决实际问题.通过学习掌握基本不等式及其应用，重点提升数学运算、逻辑推理、数学建模素养.教材知识探究(1)某养殖场要用100米的篱笆围成一个矩形的鸡舍，怎样设计才能使鸡舍面积最大？(2)某农场主想用篱笆围成一个10 000平方米的矩形农场，怎样设计才能使所用篱笆最省呢？问题实例中两个问题的实质是什么？如何求解？提示这两个都是求最值问题.第一个问题是矩形周长一定，即长x与宽y的和一定，求xy的最大值，xy≤⎝⎛⎭⎪⎫x＋y22＝252＝625，即鸡舍为正方形，长与宽各为25米时鸡舍面积最大.第二个问题是矩形面积一定，求矩形长x与宽y之和最小问题，x＋y≥2xy＝210 000＝200，当且仅当x＝y＝100时，即当农场为正方形，边长为100米时，所用篱笆最省.1.基本不等式与最大(小)值 口诀：和定积最大，积定和最小两个正数的和为常数时，它们的积有最大值；两个正数的积为常数时，它们的和有最小值.(1)已知x ，y 都是正数，如果和x ＋y 等于定值S ，那么当x ＝y 时，积xy 有最大值14S 2.(2)已知x ，y 都是正数，如果积xy 等于定值P ，那么当x ＝y 时，和x ＋y 有最小值2.基本不等式在解决实际问题中有广泛的应用，是解决最大(小)值问题的有力工具.教材拓展补遗『微判断』1.对于实数a ，b ，若a ＋b 为定值，则ab 有最大值.(×) 提示 a ，b 为正实数.2.对于实数a ，b ，若ab 为定值，则a ＋b 有最小值.(×) 提示 a ，b 为正实数.3.若x >2，则x ＋1x 的最小值为2.(×)提示 当且仅当x ＝1时才能取得最小值，但x >2. 『微训练』1.已知正数a ，b 满足ab ＝10，则a ＋b 的最小值是________. 『解 析』 a ＋b ≥2ab ＝210，当且仅当a ＝b ＝10时等号成立. 『答 案』 2102.已知m ，n ∈R ，m 2＋n 2＝100，则mn 的最大值是________.『解 析』 由m 2＋n 2≥2mn ，∴mn ≤m 2＋n 22＝50.当且仅当m ＝n ＝±52时等号成立.『答 案』 50 『微思考』1.利用基本不等式求最大值或最小值时，应注意什么问题呢？提示利用基本不等式求最值时应注意：一正，二定，三相等.2.已知x，y为正数，且1x＋4y＝1，求x＋y的最小值.下面是某同学的解题过程：解：因为x>0，y>0，所以1＝1x＋4y≥2×2xy＝4xy，所以xy≥4.从而x＋y≥2xy≥2×4＝8.故x＋y的最小值为8.请分析上面解法是否正确，并说明理由.解这个同学的解法是错误的.理由如下：上述解法中连续使用两次基本不等式，但这两个不等式中的等号不能同时成立.第一个不等式当且仅当1x ＝4y＝12，即x＝2，y＝8时，等号成立；第二个不等式当且仅当x＝y时，等号成立，因此x＋y不能等于8.正解∵x>0，y>0，1x＋4y＝1，∴x＋y＝(x＋y)⎝⎛⎭⎪⎫1x＋4y＝1＋yx＋4xy＋4＝yx＋4xy＋5≥2·yx·4xy＋5＝9，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧1x＋4y＝1，yx＝4xy，即x＝3，y＝6时，等号成立.故x＋y的最小值为9.题型一利用基本不等式求最值注意基本不等式成立的条件，且等号能否取得『例1』(1)已知x>2，求x＋4x－2的最小值；(2)已知2x＋2y＝1，(x>0，y>0)，求x＋y的最小值.解(1)∵x>2，∴x－2>0，∴x ＋4x －2＝x －2＋4x －2＋2≥2（x －2）·4x －2＋2＝6，当且仅当x －2＝4x －2，即x ＝4时，等号成立. ∴x ＋4x －2的最小值为6. (2)∵x >0，y >0，∴x ＋y ＝(x ＋y )·⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2y ＝4＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫x y ＋y x ≥4＋4x y ·y x ＝8.当且仅当x y ＝yx ，即x ＝y ＝4时取等号，x ＋y 的最小值为8. 规律方法 利用基本不等式求最值的策略『训练1』 (1)若x <0，求12x ＋3x 的最大值； (2)设x >0，y >0，且2x ＋8y ＝xy ，求x ＋y 的最小值. 解 (1)因为x <0，所以12x ＋3x ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫－12x ＋（－3x ）≤－2⎝ ⎛⎭⎪⎫－12x ·（－3x ）＝－12，当且仅当－12x ＝－3x ，即x ＝－2时等号成立，所以12x＋3x 的最大值为－12. (2)法一 由2x ＋8y －xy ＝0，得y (x －8)＝2x . ∵x >0，y >0，∴x －8>0，y ＝2x x －8， ∴x ＋y ＝x ＋2xx －8＝x ＋（2x －16）＋16x －8＝(x －8)＋16x －8＋10≥2（x －8）×16x －8＋10＝18.当且仅当x －8＝16x －8，即x ＝12时，等号成立. ∴x ＋y 的最小值是18.法二 由2x ＋8y ＝xy 及x >0，y >0，得8x ＋2y ＝1. ∴x ＋y ＝(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫8x ＋2y＝8y x ＋2xy ＋10≥28y x ·2xy ＋10＝18.当且仅当8y x ＝2xy ，即x ＝2y ＝12时等号成立. ∴x ＋y 的最小值是18.题型二 利用基本不等式解决实际应用问题『例2』 某房地产开发公司计划在一楼区内建造一个长方形公园ABCD ，公园由长方形A 1B 1C 1D 1的休闲区和环公园人行道(阴影部分)组成.已知休闲区A 1B 1C 1D 1的面积为4 000平方米，人行道的宽分别为4米和10米(如图所示).(1)若设休闲区的长和宽的比A 1B 1B 1C 1＝x (x >1)，求公园ABCD 所占面积y 关于x 的函数的『解 析』式；(2)要使公园所占面积最小，则休闲区A 1B 1C 1D 1的长和宽该如何设计？ 解 (1)设休闲区的宽为a 米，则长为ax 米，由a 2x ＝4 000，得a ＝2010x. 则y ＝(a ＋8)(ax ＋20)＝a 2x ＋(8x ＋20)a ＋160＝4 000＋(8x ＋20)·2010x ＋160＝8010⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋5x ＋4 160(x >1).(2)8010⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋5x ＋4 160≥8010×22x ×5x＋4 160＝1 600＋4 160＝5 760.当且仅当2x ＝5x，即x ＝2.5时，等号成立，此时a ＝40，ax ＝100. 所以要使公园所占面积最小，休闲区A 1B 1C 1D 1应设计为长100米，宽40米. 规律方法 利用基本不等式解决实际问题的步骤解实际问题时，首先审清题意，然后将实际问题转化为数学问题，再利用数学知识(函数及不等式性质等)解决问题.用基本不等式解决此类问题时，应按如下步骤进行：(1)先理解题意，设变量.设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数. (2)建立相应的函数关系式.把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题. (3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值. (4)正确写出『答 案』.『训练2』 某食品厂定期购买面粉，已知该厂每天需用面粉6吨，每吨面粉的价格1 800元，面粉的保管费及其他费用为平均每吨每天3元，购买面粉每次需支付运费900元.求该厂多少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少？解 设该厂每x 天购买一次面粉，其购买量为6x 吨. 由题意可知，面粉的保管等其他费用为3×『6x ＋6(x －1)＋6(x －2)＋…＋6×1』＝9x (x ＋1). 设平均每天所支付的总费用为y 1元，则y 1＝1x 『9x (x ＋1)＋900』＋6×1 800＝9x ＋900x ＋10 809≥29x ·900x ＋10 809＝10 989(元)，当且仅当9x ＝900x ，即x ＝10时，等号成立.所以该厂每10天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少. 题型三 基本不等式的综合应用基本不等式应用的关键是获得定值的条件，解题时需灵活的选择方法 『探究1』 已知x >0，y >0且1x ＋9y ＝1，则x ＋y 的最小值为________. 『解 析』 法一 (1的代换)： 因为1x ＋9y ＝1，所以x ＋y ＝(x ＋y )·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋9y ＝10＋y x ＋9x y . 因为x >0，y >0，所以y x ＋9xy ≥2y x ·9xy ＝6，当且仅当y x ＝9xy ，即y ＝3x ①时，取“＝”. 又1x ＋9y＝1，② 解①②可得x ＝4，y ＝12.所以当x ＝4，y ＝12时，x ＋y 的最小值是16. 法二 (消元法)：由1x ＋9y ＝1，得x ＝yy －9.因为x >0，y >0，所以y >9. 所以x ＋y ＝y y －9＋y ＝y ＋y －9＋9y －9＝y ＋9y －9＋1＝(y －9)＋9y －9＋10. 因为y >9，所以y －9>0， 所以(y －9)＋9y －9≥2（y －9）·9y －9＝6.当且仅当y －9＝9y －9，即y ＝12时，取“＝”，此时x ＝4，所以当x ＝4，y ＝12时，x ＋y 的最小值是16. 法三 (构造定值)：因为x >0，y >0，且1x ＋9y ＝1， 所以x >1，y >9.由1x ＋9y ＝1，得y ＋9x ＝xyxy －9x －y ＋9－9＝0(x －1)(y －9)＝9(定值).所以x ＋y ＝(x －1)＋(y －9)＋10≥2（x －1）（y －9）＋10＝2×3＋10＝16.当且仅当x －1＝y －9＝3，即x ＝4，y ＝12时取等号，所以x ＋y 的最小值是16. 『答 案』 16『探究2』 已知正数x ，y 满足x ＋y ＝1，则4x ＋2＋1y ＋1的最小值为________. 『解 析』 正数x ，y 满足x ＋y ＝1， 即有(x ＋2)＋(y ＋1)＝4，则4x ＋2＋1y ＋1＝14『(x ＋2)＋(y ＋1)』⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋2＋1y ＋1 ＝14⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤5＋x ＋2y ＋1＋4（y ＋1）x ＋2≥14⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤5＋2x ＋2y ＋1·4（y ＋1）x ＋2＝14×(5＋4)＝94，当且仅当x ＝2y ＝23时，取得最小值94. 『答 案』 94『探究3』 已知a >0，b >0，若不等式2a ＋1b ≥m2a ＋b 恒成立，则m 的最大值等于( ) A.10 B.9 C.8D.7『解 析』 因为a >0，b >0，所以2a ＋b >0，所以要使2a ＋1b ≥m2a ＋b恒成立，只需m ≤(2a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋1b 恒成立，而(2a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋1b ＝4＋2a b ＋2b a ＋1≥5＋4＝9，当且仅当a ＝b 时，等号成立，所以m ≤9. 『答 案』 B规律方法 利用基本不等式求条件最值的常用方法(1)“1”的代换：利用已知的条件或将已知条件变形得到含“1”的式子，将“1”代入后再利用基本不等式求最值. (2)构造法：①构造不等式：利用ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22，将式子转化为含ab 或a ＋b 的不等式，将ab ，(a ＋b )作为整体解出范围；②构造定值：结合已知条件对要求的代数式变形，构造出和或积的定值，再利用基本不等式求最值.(3)函数法：若利用基本不等式时等号取不到，则无法利用基本不等式求最值，则可将要求的式子看成一个函数求最值.『训练3』 (1)已知2a ＋b ＝1，a >0，b >0，则1a ＋1b 的最小值是( ) A.2 2 B.3－2 2 C.3＋2 2D.3＋ 2(2)已知a ，b ，c 都是正数，且a ＋2b ＋c ＝1，则1a ＋1b ＋1c 的最小值是( ) A.3＋2 2 B.3－2 2 C.6－4 2D.6＋4 2(3)求x (m －x )(0<x <m )的最大值.(1)『解 析』 1a ＋1b ＝(2a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＝3＋b a ＋2a b ≥3＋2b a ·2ab ＝3＋2 2.当且仅当b a ＝2a b ，即a ＝1－22，b ＝2－1时，等号成立.∴1a ＋1b 的最小值是3＋2 2.『答案』 C(2)『解析』1a＋1b＋1c＝⎝⎛⎭⎪⎫1a＋1b＋1c(a＋2b＋c)＝4＋2ba＋ca＋ab＋cb＋ac＋2bc≥4＋22ba·ab＋2 ca·ac＋2 cb·2bc＝6＋42，当且仅当2ba＝ab，ca＝ac，cb＝2bc时，等号成立，即a2＝c2＝2b2时，等号成立.『答案』 D(3)解∵0<x<m，∴x>0，m－x>0.∴x(m－x)≤⎝⎛⎭⎪⎫x＋m－x22＝m24.当且仅当x＝m－x时，即x＝m2时，x(m－x)(0<x<m)取最大值m24.一、素养落地1.通过运用基本不等式求解函数的最值，培养数学运算及逻辑推理素养，通过运用基本不等式解决实际应用问题，提升数学建模素养.2.利用基本不等式求最值(1)利用基本不等式求最值要把握下列三个条件：①“一正”——各项为正数；②“二定”——“和”或“积”为定值；③“三相等”——等号一定能取到.这三个条件缺一不可.(2)利用基本不等式求最值的关键是获得定值条件，解题时应对照已知和欲求的式子运用适当的“拆项、添项、配凑、变形”等方法创建应用基本不等式的条件.(3)在求最值的一些问题中，有时看起来可以运用基本不等式求最值，但由于其中的等号取不到，所以运用基本不等式得到的结果往往是错误的，这时通常可以借助函数y ＝x ＋p x (p >0)的图象求得函数的最值.二、素养训练1.当x >0时，12x ＋4x 的最小值为( )A.4B.8C.8 3D.16『解 析』 ∵x >0，∴12x >0，4x >0.∴12x ＋4x ≥212x ·4x ＝8 3. 当且仅当12x ＝4x ，即x ＝3时取最小值83，∴当x >0时，12x ＋4x 的最小值为8 3.『答 案』 C2.已知x >－2，则x ＋1x ＋2的最小值为( ) A.－12B.－1C.2D.0『解 析』 因为x >－2，∴x ＋1x ＋2＝x ＋2＋1x ＋2－2≥2－2＝0，当且仅当x ＝－1时“＝”成立.『答 案』 D3.已知4x ＋a x (x >0，a >0)在x ＝3时取得最小值，则a ＝________.『解 析』 4x ＋a x ≥24x ·a x ＝4a . 当且仅当4x ＝a x ，即4x 2＝a 时等号成立.由题意得a ＝4×32＝36.『答 案』 364.某工厂第一年的产量为A ，第二年的增长率为a ，第三年的增长率为b ，则这两年的平均增长率x 与增长率的平均值的大小关系为________.『解 析』 由题意得(1＋x )2＝(1＋a )(1＋b )，所以1＋x ＝（1＋a ）（1＋b ）≤1＋a ＋1＋b 2＝1＋a ＋b 2， 所以x ≤a ＋b 2，当且仅当a ＝b 时等号成立.『答 案』 x ≤a ＋b 25.已知正数x ，y 满足8x ＋1y ＝1，求x ＋2y 的最小值.解 ∵x >0，y >0，8x ＋1y ＝1，∴x ＋2y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫8x ＋1y (x ＋2y )＝10＋x y ＋16y x ≥10＋2x y ·16y x ＝18， 当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧8x ＋1y ＝1，x y ＝16y x，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12，y ＝3时，等号成立，故当x ＝12，y ＝3时，x ＋2y 的最小值为18.。
2020-2021学年数学新教材人教A版必修第一册 2.2 基本不等式 学案
第二章 一元二次函数、方程和不等式2.2 基本不等式（共2课时）（第1课时）1. 推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当两个数相等；2. 通过实例探究抽象基本不等式；通过多媒体体会基本不等式等号成立条件, 掌握运用基本不等式求最值；1.的证明过程，会用此不等式求某些简单函数的最值； 2.基本不等式等号成立条件； 一、情境导学（1）如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，赵爽是为了证明勾股定理而绘制了弦图。
弦图既标志着中国古代的数学成就，又象一只转动的风车，欢迎来自世界各地的数学家们。
思考1：这图案中含有怎样的几何图形？思考2：你能发现图案中的相等关系或不等关系吗？ （2）探究图形中的不等关系将图中的“风车”抽象成如图，在正方形A BCD 中有4个全等的直角三角形．设直角三角形的两条直角边长为a,b （a≠b ）,那么正方形的边长为．这样，4个直角三角形的面积的和是2ab ，正方形的面积为．由于4个直角三角形的面积之和小于正方形的面积，我们就得到了一个不等式：．ab ba ≤+22a bab +≤ab ba ≤+222b a +22b a +ab b a 222≥+问题1.思考证明：你能给出它的证明吗？二、新知探究基本不等式：如果a>0,b>0,我们用、分别代替a 、b ，可得把上式写作：基本不等式（a>0,b>0)（当且仅当a=b 时，取等号）（1）在数学中，我们称为a 、b 的算术平均数，称为a 、b 的几何平均数.本节定理还可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.此不等式又叫均值不等式。
探究1.从不等式的性质推导基本不等式如果学生类比重要不等式的证明给出证明，再介绍书上的分析法。
分析法证明：证明不等式探究2.理解基本不等式的几何意义 在右图中，AB 是圆的直径，点C 是AB 上的一点，AC=a,BC=b ．过点C 作垂直于AB 的弦DE ，连接AD 、BD ．的几何解释吗？ (1)AB 表示什么? (2)表示哪个线段？ (3)对应哪个线段呢？ （4）OD 与CD 的大小关系如何？ 典例解析：利用基本不等式求最值例1.10,0,36,a b ab a b （）已知求的最小值。
2020年高一数学新教材第一册同步学案(人教版)2.2 基本不等式(解析版)
2.2 基本不等式运用一 直接运用公式【例1】（1）（2019·新疆高一期中）已知0x >，函数4y x x=+的最小值是 （ ） A ．5B ．4C ．8D ．6（2）若0＜x ＜125，则函数y ＝x (12－5x )的最大值为________． （3）（2019·天津高考模拟（理））若实数x ，y 满足1xy =，则224x y +的最小值为______．【答案】（1）B （2）365（3）4 【解析】（1）由均值不等会死，，当且仅当时不等式取，故选B 。
（2）因为0＜x ＜125，所以y ＝15⨯5x (12－5x )≤215125()52x x +-＝365，当且仅当5x ＝12－5x ，即x ＝65时取等号．故填365（3）因为1xy=，所以()2222422244x y x y x y xy +=+≥⨯⨯==，当2x y =时取“=”，所以224x y +的最小值为4，故答案为4. 【触类旁通】1．（2019·新疆高二期末）已知x ，()0,y ∈+∞，1x y +=，则xy 的最大值为（ ） A ．1 B ．12C ．13D ．14【答案】D【解析】因为x ，()0,y ∈+∞，1x y +=，所以有2111()24x y xy =+≥≤=，当且仅当12x y ==时取等号，故本题选D.2．（2019·黑龙江高一期中）函数15(1)1y x x x =++>-的最小值为( ) A ．6 B ．7C ．8D ．9【答案】C 【解析】1x >，10x ->，∴函数151y x x =++-1(1)61x x =-++-2(1)6x -8=， 当且仅当2x =时取等号，因此函数151y x x =++-的最小值为8答案选C 运用二 条件型【例2】（1）（2019·云南高一月考）已知正数x 、y 满足41x y +=，则11x y+的最小值为（ ） A ．8B ．12C ．10D ．9（2）（2019·贵州高一期末）已知正实数a ，b 满足41a b +=，则1b a+的最小值为（ ） A ．4B ．6C ．9D ．10（3）．若正数x y 、满足40x y xy +-=，则4x y+的最大值为（ ） A ．25B ．49 C ．12D ．47【答案】（1）D （2）C （3）B 【解析】（1）正数x 、y 满足 41x y +=，根据不等式性质得到：()111144441559.x y x y x y x y x y y x y x ⎛⎫+=++=+++=++≥+= ⎪⎝⎭ 等号成立的条件为4x yy x= 故答案为：D. （2）∵0a >，0b >，41a b +=，∴141b a b a b a ⎛⎫⎛⎫+=++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭45529ab ab ab =+++=，当且仅当4,41ab aba b ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩时，即1,36a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩时取“=”.故答案选C （3）∵正数x y 、满足40x y xy +-=， ∴04xy x =>-，解得4x >，∴44444449145444x x y x x x x x x ===≤=++++-++---，当且仅当444x x -=-时，等号成立，∴4x y +的最大值为49．故选：B ．【触类旁通】1．（2019·新疆高一月考（理））已知0,0,2a b a b >>+=，则14y a b=+的最小值是（ ） A ．92B ．72C ．5D ．4【答案】A【解析】∵a ＞0，b ＞0，a +b ＝2， ∴y 1412a b =+=（14a b +）（a +b ）12=（1+44b a a b ++）12≥（）92=， 当且仅当b ＝2a 时等号成立，故选：A ．2．（2019·河北高一期末）设0,0a b >>，且4a b +=，则a bab+的最小值为 （ ） A ．8 B ．4 C ．2D ．1【答案】D【解析】11111112221444a b b ab aa bab a b a b a b a b，当且仅当b aa b=，即2a b ==时""=成立，故选D 。
2019-2020学年高中人教B版数学新教材必修第一册学案：第二章 2.2 2.2.3 一元二次不等式的解法 Word版含解析
2.2.3一元二次不等式的解法(教师独具内容)课程标准：1.理解一元二次不等式和一元二次不等式的解集的概念.2.理解一元二次方程、一元二次不等式与一元二次函数的关系.3.熟练掌握一元二次不等式的两种解法．教学重点：1.一元二次方程、一元二次不等式与一元二次函数之间的关系.2.一元二次不等式的解法．教学难点：一元二次方程、一元二次不等式与一元二次函数之间的关系.【情境导学】(教师独具内容)我国南宋数学家杨辉曾提出这样一个问题：“直田积(矩形面积)，八百六十四(平方步)，只云阔(宽)不及长一十二步(宽比长少12步)，问阔及长各几步？”若将上述问题改为“阔(宽)不及长一十二步(宽比长少12步)，直田积(矩形面积)不小于八百六十四(平方步)”，你能求出阔和长的取值范围吗？【知识导学】知识点一元二次不等式的概念一般地，形如ax2＋bx＋c>0的不等式称为□01一元二次不等式，其中a，b，c是常数，而且□02a≠0.一元二次不等式中的不等号也可以是□03“<”“≥”“≤”等．【新知拓展】1．代数法将所给不等式化为一般式后借助分解因式或配方法求解．当m<n时，若(x－m)(x－n)>0，则可得x>n或x<m；若(x－m)(x－n)<0，则可得m<x<n.有口诀如下：大于取两边，小于取中间．2．含有参数的一元二次型的不等式在解含有参数的一元二次型的不等式时，往往要对参数进行分类讨论，为了做到分类“不重不漏”，讨论需从如下三个方面进行考虑：①关于不等式类型的讨论：二次项系数a >0，a <0，a ＝0.②关于不等式对应的方程根的讨论：两个不同的实根(Δ>0)，两个相同的实根(Δ＝0)，无实根(Δ<0)．③关于不等式对应的方程根的大小的讨论：x 1>x 2，x 1＝x 2，x 1<x 2.1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)x (x －2)>0的解集为(0,2)．( )(2)(x ＋a )(x ＋a ＋1)<0(a 是常数)是一元二次不等式．( )(3)不论实数a 取什么值，不等式ax 2＋bx ＋c ≥0的解集一定与相应方程ax 2＋bx ＋c ＝0的解有关．( )(4)设二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两解为x 1，x 2(x 1<x 2)，则一元二次不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集不可能为{x |x 1<x <x 2}．( )答案 (1)× (2)√ (3)√ (4)× 2．做一做(请把正确的答案写在横线上) (1)不等式x 2－2x ＋3>0的解集为________． (2)不等式－x 2－3x ＋4>0的解集为________．(3)已知不等式ax 2－bx ＋2<0的解集为{x |1<x <2}，则a ＋b ＝________. 答案 (1)R (2){x |－4<x <1} (3)4题型一 不含参数的一元二次不等式的解法 例1 求下列不等式的解集： (1)2x 2＋7x ＋3>0；(2)x 2－4x －5≤0； (3)－4x 2＋18x －814≥0；(4)－12x 2＋3x －5>0； (5)－2x 2＋3x －2<0.[解] (1)方程可变为(2x ＋1)(x ＋3)>0，从而转化为两个不等式组⎩⎨⎧ 2x ＋1>0，x ＋3>0或⎩⎨⎧2x ＋1<0，x ＋3<0.因此原不等式的解集为(－∞，－3)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞.(2)原不等式可化为(x －5)(x ＋1)≤0， 因此原不等式的解集为[－1,5]．(3)原不等式可化为⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －922≤0，所以原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝94.(4)原不等式可化为x 2－6x ＋10<0，即(x －3)2＋1<0，因此原不等式的解集为∅.(5)原不等式可化为2x 2－3x ＋2>0，即2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －342＋78>0，因此原不等式的解集为R .金版点睛解不含参数的一元二次不等式的一般步骤(1)通过对不等式的变形，使不等式右侧为0，使二次项系数为正． (2)对不等式左侧因式分解，若不易分解，则用配方法求解．[跟踪训练1] 求下列不等式的解集： (1)3x 2＋5x －2>0；(2)－9x 2＋6x －1<0； (3)x 2－4x ＋5>0；(4)2x 2＋x ＋1<0.解 (1)原不等式可化为(3x －1)(x ＋2)>0，所以原不等式的解集为(－∞，－2)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫13，＋∞.(2)原不等式可化为(3x －1)2>0，所以原不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，13∪⎝ ⎛⎭⎪⎫13，＋∞. (3)原不等式可化为(x －2)2＋1>0，所以原不等式的解集为R . (4)原不等式可化为2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋142＋78<0，所以原不等式的解集为∅.题型二 含参数的一元二次不等式的解法 例2 求不等式ax 2－(a ＋1)x ＋1<0(a ∈R )的解集． [解] 若a ＝0，原不等式为－x ＋1<0，解集为(1，＋∞)；若a <0，原不等式可化为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a (x －1)>0，解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，1a ∪(1，＋∞)；若a >0，原不等式可化为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a (x －1)<0，(*)其解的情况应由1a 与1的大小关系决定，故 ①当a ＝1时，由(*)式可得解集为∅； ②当a >1时，由(*)式可得解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，1；③当0<a <1时，由(*)式可得解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，1a .综上所述，当a <0时，解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，1a ∪(1，＋∞)；当a ＝0时，解集为(1，＋∞)；当0<a <1时，解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，1a ；当a ＝1时，解集为∅；当a >1时，解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，1.金版点睛解含参数的一元二次不等式的一般步骤(1)讨论二次项系数：二次项若含有参数应讨论是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为二次项系数为正的形式．(2)若二次项系数为定值，则按不含参数的步骤解，再根据参数的取值确定解集范围．[跟踪训练2] 解关于x 的不等式x 2－(a ＋a 2)x ＋a 3>0. 解 原不等式可化为(x －a )(x －a 2)>0.方程x 2－(a ＋a 2)x ＋a 3＝0的两根为x 1＝a ，x 2＝a 2. 由a 2－a ＝a (a －1)可知： ①当a <0或a >1时，a 2>a .解原不等式得x >a 2或x <a ，不等式的解集为(－∞，a )∪(a 2，＋∞)． ②当0<a <1时，a 2<a ，解原不等式得x >a 或x <a 2，不等式的解集为(－∞，a 2)∪(a ，＋∞)．③当a＝0时，原不等式为x2>0，∴x≠0，不等式的解集为(－∞，0)∪(0，＋∞)．(4)当a＝1时，原不等式为(x－1)2>0，∴x≠1，不等式的解集为(－∞，1)∪(1，＋∞)．综上可知，当a<0或a>1时，原不等式的解集为(－∞，a)∪(a2，＋∞)；当0<a<1时，原不等式的解集为(－∞，a2)∪(a，＋∞)；当a＝0时，原不等式的解集为(－∞，0)∪(0，＋∞)；当a＝1时，原不等式的解集为(－∞，1)∪(1，＋∞)．1．在下列不等式中，解集是∅的是()A．x2－3x＋5>0 B．x2＋4x＋4>0C．x2＋4x－4<0 D．－2＋3x－2x2>0答案 D解析A的解集为R；B的解集是(－∞，－2)∪(－2，＋∞)；方程x2＋4x －4＝0的Δ＝42＋4×4>0，故C的解集不为空集，用排除法应选D.2．在R上定义运算⊙：a⊙b＝ab＋2a＋b，则满足x⊙(x－2)<0的实数x的取值范围为()A．(0,2) B．(－2,1)C．(－∞，－2)∪(1，＋∞) D．(－1,2)答案 B解析∵x⊙(x－2)＝x(x－2)＋2x＋x－2<0，∴x2＋x－2<0即(x－1)(x＋2)<0，解集为(－2,1)．∴选B.3．不等式－0.1x2－5x＋3000>0的解集为()A．(－∞，－200) B．(150，＋∞)C．(150,200) D．(－200,150)答案 D解析原不等式可化为x2＋50x－30000<0，(x－150)·(x＋200)<0，所以不等式的解集为(－200,150)．4．若t >2，则关于x 的不等式(x －t )⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1t <0的解集为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫1t ，t B ．(－∞，t )∪⎝ ⎛⎭⎪⎫1t ，＋∞C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，1t ∪(t ，＋∞) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫t ，1t 答案 A解析 ∵t >2，∴t >1t ，∴(x －t )⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1t <0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫1t ，t .5．解不等式1<x 2－3x ＋1<9－x . 解 由x 2－3x ＋1>1得x 2－3x >0，x (x －3)>0，不等式的解集为(－∞，0)∪(3，＋∞)． 由x 2－3x ＋1<9－x ，得x 2－2x －8<0， (x ＋2)(x －4)<0，不等式的解集为(－2,4)．(－∞，0)∪(3，＋∞)与(－2,4)的交集为(－2,0)∪(3,4)，所以，原不等式的解集为(－2,0)∪(3,4)．。
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2.2 基本不等式运用一 直接运用公式【例1】（1）（2019·新疆高一期中）已知0x >，函数4y x x=+的最小值是 （ ） A ．5B ．4C ．8D ．6（2）若0＜x ＜125，则函数y ＝x (12－5x )的最大值为________． （3）（2019·天津高考模拟（理））若实数x ，y 满足1xy =，则224x y +的最小值为______．【答案】（1）B （2）365（3）4 【解析】（1）由均值不等会死，，当且仅当时不等式取，故选B 。
（2）因为0＜x ＜125，所以y ＝15⨯5x (12－5x )≤215125()52x x +-＝365，当且仅当5x ＝12－5x ，即x ＝65时取等号．故填365（3）因为1xy=，所以()2222422244x y x y x y xy +=+≥⨯⨯==，当2x y =时取“=”，所以224x y +的最小值为4，故答案为4. 【触类旁通】1．（2019·新疆高二期末）已知x ，()0,y ∈+∞，1x y +=，则xy 的最大值为（ ） A ．1 B ．12C ．13D ．14【答案】D【解析】因为x ，()0,y ∈+∞，1x y +=，所以有2111()24x y xy =+≥≤=，当且仅当12x y ==时取等号，故本题选D.2．（2019·黑龙江高一期中）函数15(1)1y x x x =++>-的最小值为( ) A ．6 B ．7C ．8D ．9【答案】C 【解析】1x >，10x ->，∴函数151y x x =++-1(1)61x x =-++-2(1)6x -8=， 当且仅当2x =时取等号，因此函数151y x x =++-的最小值为8答案选C 运用二 条件型【例2】（1）（2019·云南高一月考）已知正数x 、y 满足41x y +=，则11x y+的最小值为（ ） A ．8B ．12C ．10D ．9（2）（2019·贵州高一期末）已知正实数a ，b 满足41a b +=，则1b a+的最小值为（ ） A ．4B ．6C ．9D ．10（3）．若正数x y 、满足40x y xy +-=，则4x y+的最大值为（ ） A ．25B ．49 C ．12D ．47【答案】（1）D （2）C （3）B 【解析】（1）正数x 、y 满足 41x y +=，根据不等式性质得到：()111144441559.x y x y x y x y x y y x y x ⎛⎫+=++=+++=++≥+= ⎪⎝⎭ 等号成立的条件为4x yy x= 故答案为：D. （2）∵0a >，0b >，41a b +=，∴141b a b a b a ⎛⎫⎛⎫+=++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭45529ab ab ab =+++=，当且仅当4,41ab aba b ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩时，即1,36a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩时取“=”.故答案选C （3）∵正数x y 、满足40x y xy +-=， ∴04xy x =>-，解得4x >，∴44444449145444x x y x x x x x x ===≤=++++-++---，当且仅当444x x -=-时，等号成立，∴4x y +的最大值为49．故选：B ．【触类旁通】1．（2019·新疆高一月考（理））已知0,0,2a b a b >>+=，则14y a b=+的最小值是（ ） A ．92B ．72C ．5D ．4【答案】A【解析】∵a ＞0，b ＞0，a +b ＝2， ∴y 1412a b =+=（14a b +）（a +b ）12=（1+44b a a b ++）12≥（）92=， 当且仅当b ＝2a 时等号成立，故选：A ．2．（2019·河北高一期末）设0,0a b >>，且4a b +=，则a bab+的最小值为 （ ） A ．8 B ．4 C ．2D ．1【答案】D【解析】11111112221444a b b ab aa bab a b a b a b a b，当且仅当b aa b=，即2a b ==时""=成立，故选D 。
3．（2019·福建高二期末（文））已知0,0,42a b a b >>+=，则11a b+的最小值是 A ．4 B ．92C ．5D ．9【答案】B【解析】因为114()(4)4159b a a b a b a b ++=+++≥+= ， 又42a b +=，所以119()2a b +≥， 当且仅当12,33a b ==时取""=，故选：B 。
运用三 配凑型【例3】（1）（2019·河北高一期末）已知1x >-，则331x x ++的最小值是_______. （2）已知1x >-，则函数27101x x y x ++=+的值域为________．（3）（2019·四川高一期末）已知正数x 、y 满足1x y +=，则141x y++的最小值为（ ） A ．2B ．92C ．143D ．5（4）（2019·云南高二期中（理））已知0a b >>，则412a a b a b+++-的最小值为（ ）A ．4B ．6C ．3D ．【答案】（1）3（2）[9,)+∞（3）B （4）B 【解析】（1）因为1x >-，所以10x +>，所以()3333133311x x x x +=++-≥=++（当且仅当0x =时，等号成立）.（2）设1t x =+由1x >-知，0t >，1x t =-，故22710(1)7(1)10451x x t t y t x t t++-+-+===+++，∵44t t+≥ （当且仅当2t =时，等号成立）． ∴函数2710(1)1x x y x x ++=>-+的值域为[9,)+∞．（3）1x y +=，所以，(1)2x y ++=，则141441412()[(1)]()52591111x y x yx y x y x y y x y +++=+++=+++=++++， 所以，14912x y ++， 当且仅当4111x y y x x y +⎧=⎪+⎨⎪+=⎩，即当2313x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩时，等号成立，因此，141x y ++的最小值为92，故选：B ． （4）∵0a b >>，∴41412()()a a b a b a b a b a b a b++=+++-++-+- ∵4()4a b a b ++≥=+，1()2a b a b -+≥=- ∴4126a a b a b++≥+-，当且仅当2,1a b a b +=-=时等号成立. 【触类旁通】1．（2019·宁夏高一期末）当1x ≤-时，1()1f x x x =++的最大值为__________. 【答案】-3.【解析】当1x ≤-时，()11[(1)]111f x x x x x =+=--+--++ 1(1)21x x -+-≥+ ()11[(1)]1311f x x x x x =+=--+--≤-++故答案为：-32．（2019·广东高二期中（文））已知1,0,2a b a b >>+=，则1112a b+-的最小值为（ ）A ．32B ．34 C ．3+D ．12+【答案】A【解析】由题意知1,0,2a b a b >>+=，可得：(1)1,10a b a -+=->，则11111133[(1)]()1121222122a b a b a b a b b a -+=-++=+++≥+=+---， 当且仅当121a bb a -=-时，等号成立，则1112a b +-的最小值为32+。
故选：A ． 3．（2019·江西高二期末（文））已知正数x ，y 满足5x y +=，则1112x y +++的最小值为________. 【答案】12【解析】由5x y +=，可得()()128x y +++=且10,20x y +>+>，则()()111111212812x y x y x y ⎛⎫+=++++⎡⎤ ⎪⎣⎦++++⎝⎭1211111281282y x x y ⎛⎛⎫++=+++≥+= ⎪ ++⎝⎭⎝，（当且仅当2112y x x y ++=++即3,2x y ==时取“=”）. 故1112x y +++的最小值为12. 运用四 换元型【例4】（2019·浙江高一月考）若正数a ，b 满足111a b +=，则1911a b +--的最小值为（ ） A ．6 B ．9C ．12D ．15【答案】A 【解析】由111a b +=得：1111a b a a -=-=，即：1ab a =- 0b >，0a > 10a ∴->()19191916111111a a ab a a a ∴+=+=+-≥=------ 当且仅当()1911a a =--，即43a =时取等号 min19611a b ⎛⎫∴+= ⎪--⎝⎭本题正确选项：A【触类旁通】1．（2019·浙江高一期末）已知0a >，0b >，且21a b ab +=-，则2+a b 的最小值为A ．5+B ．C ．5D ．9【答案】A【解析】由21a b ab +=-得3102a b =+>-，解得2b >.所以2+a b ()3522552b b =++-≥+=+-当且仅当()3222b b =--，即22b =+时等号成立.故本小题选A.2已知正实数a ，b 满足a 2－b ＋4≤0，则u ＝2a ＋3b a ＋b 的最小值为________．【答案】145【解析】 ∵a 2－b ＋4≤0，∴b ≥a 2＋4，∴a ＋b ≥a 2＋a ＋4. 又∵a ，b >0，∴aa ＋b ≤a a 2＋a ＋4，∴－a a ＋b ≥－aa 2＋a ＋4，∴u ＝2a ＋3b a ＋b ＝3－a a ＋b ≥3－aa 2＋a ＋4＝3－1a ＋4a＋1≥3－12a ·4a＋1＝145， 运用五 利用不等式求参数【例5】（2019·河北高一期末）已知0m >，0xy >，当2x y +=时，不等式24mx y+≥恒成立，则m 的取值范围是 A ．)+∞B ．[)2,+∞C ．(D ．(]0,2 【答案】B【解析】因为0m >，0xy >，2x y +=，所以()21212222m m mx y x y m x y x y y x ⎛⎫⎛⎫+=++=+++≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()122m ++.因为不等式24m x y +≥恒成立，所以()1242m ++≥，整理得0≥≥2m ≥.【触类旁通】1．（2019·黑龙江高二期末（理））若两个正实数,x y 满足211x y+=,且222x y m m +>+恒成立，则实数m 的取值范围是（ ）A ．()[),24,-∞-+∞B ．()[),42,-∞-+∞C ．()2,4-D ．()4,2-【答案】D【解析】由基本不等式得()21422448y x x y x y x y x y ⎛⎫+=++=++≥=⎪⎝⎭， 当且仅当4y xx y=，由于0x >，0y >，即当2x y =时，等号成立， 所以，2x y +的最小值为8，由题意可得228m m +<，即2280m m +-<， 解得42m -<<，因此，实数m 的取值范围是()4,2-，故选：D. 2．（2019·吉林高一月考）已知210,0,1,x y x y>>+=且若222x y m m +>+恒成立，则实数m 的取值范围是（ ）A ．(,2)[4,)-∞-⋃+∞B ．(,4)[2,)-∞-+∞C ．(-2,4)D ．(-4,2)【答案】D【解析】由211x y +=，可得()21224448x y x y x y x y y x ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭， 而222x y m m +>+恒成立()222min m m x y ⇔+<+，所以228m m +<恒成立，即2280m m +-<恒成立， 解得42m -<<，故选D ．3．（2019·黑龙江高一月考（文））已知0x >，0y >，且280x y xy +-=，若不等式a x y ≤+恒成立，则实数a 的范围是（ ） A ．(,12]-∞ B ．(,14]-∞C ．(,16]-∞D ．(,18]-∞【答案】D【解析】由280x y xy +-=得：2810y x +-=，即821x y+= ()8228288210x y x yx y x y x y y x y x ⎛⎫∴+=++=+++=++ ⎪⎝⎭0x，0y > 20x y ∴>，80y x>288x y y x ∴+≥=（当且仅当28x y y x =，即2x y =时取等号） 10818x y ∴+≥+=（当且仅当2x y =时取等号）18a ∴≤本题正确选项：D运用六 实际应用【例6】（2019·四川高一期末）用篱笆围一个面积为2100m 的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短，最短的篱笆是（ ） A ．30 B ．36C ．40D ．50【答案】C【解析】设矩形的长为()x m ，则宽为100()m x ，设所用篱笆的长为()y m ，所以有10022y x x=+⋅，根据基本不等式可知：1002240y x x =+⋅≥=，（当且仅当10022x x =⋅时，等号成立，即10x =时，取等号）故本题选C. 【触类旁通】1．某工厂建造一个无盖的长方体贮水池，其容积为34800m ，深度为3m .如果池底每21m 的造价为150元，池壁每21m 的造价为120元，要使水池总造价最低，那么水池底部的周长为______m . 【答案】160【解析】设水池底面一边的长度为xm ，则另一边的长度为48003m x， 由题意可得水池总造价()48004800150120232333f x x x ⎛⎫=⨯+⨯+⨯⨯ ⎪⎝⎭()16002400007200x x x ⎛⎫=++> ⎪⎝⎭，则()1600720240000720240000f x x x ⎛⎫=++≥⨯ ⎪⎝⎭ 720240240000297600=⨯⨯+=当且仅当1600x x=，即40x =时，()f x 有最小值297600， 此时另一边的长度为4800403m x=， 因此，当水池的底面周长为160m 时，水池的总造价最低，最低总造价是297600元， 故答案为160．1（2019·黑龙江高一期中）函数15(1)1y x x x =++>-的最小值为( ) A ．6 B ．7C ．8D ．9【答案】C 【解析】1x >，10x ->，∴函数151y x x =++-1(1)61x x =-++-2(1)6x -8=， 当且仅当2x =时取等号，因此函数151y x x =++-的最小值为8答案选C 2．（2019·吉林高一期末（文））若函数1()(2)2f x x x x =+>-在x a =处取最小值，则a 等于（ ）A ．3B ．1C ．1D ．4【答案】A【解析】当2x >时，20x ->，则()()11222=422f x x x x x =+=-++≥-- 当且仅当()1222x x x -=>-时，即当3x =时，等号成立，因此，3a =，故选：A. 3．（2019·河南高二开学考试（理））当4x >时，不等式44x m x +≥-恒成立，则m 的取值范围是（ ） A ．8m ≤ B ．8m <C ．8m ≥D ．8m >【答案】A【解析】∵4x >，∴40x ->，∴44444844x x x x +=-++≥=-- 当且仅当444x x -=-，即6x =时取等号， ∵当4x >时，不等式44x m x +≥-恒成立， ∴只需min 484m x x ⎛⎫≤+= ⎪-⎝⎭．∴m 的取值范围为：(8],-∞．故选：A ．4．（2019·上海高二期末）若正数,a b 满足111a b +=，则1411a b +--的最小值为（ ） A ．3 B ．4C ．5D ．6【答案】B【解析】∵110,0,1a b a b>>+= ；∴1,1,a b a b ab >>+= ∴140,011a b >>--∴1442411(1)(a b a +==--- 当且仅当1411a b =--，即3,32a b ==时，等号成立.故选B. 5．（2019·湖北高一期末）任意正数x ，不等式21ax x ≤+恒成立，则实数a 的最大值为 A ．1 BC ．2D ．2【答案】C【解析】2011x x a x x x>+∴≤=+又12x x +≥=（当且仅当11x x x =⇒=取到等号）2a ∴≤6．（2019·黑龙江高一月考）设正实数, x y 满足1,12x y >>，不等式224121x y m y x +≥--恒成立，则m 的最大值为 （ ）A ．8B ．16C ．D ．【答案】A【解析】设1,21y b x a -=-=，则()()()110,102y b b x a a =+>=+> 所以()()2222111114121a b a b ab a b x yy x ba++++++++=+≥=--()222228⎛=≥=⋅+= ⎝当且仅当1a b ==即2,1x y ==时取等号所以224121x y y x +--的最小值是8，则m 的最大值为8.故选A 7．若0, 0a >b >，则“4a b +≤”是 “4ab ≤”的_____条件 【答案】充分不必要【解析】当0,0a b >>时，由基本不等式，可得a b +≥，当4a b +≤时，有4a b +≤，解得4ab ≤，充分性是成立的； 例如：当1,4a b ==时，满足4ab ≤，但此时=5>4a+b ，必要性不成立， 综上所述，“4a b +≤”是“4ab ≤”的充分不必要条件. 故答案为：充分不必要条件.8．已知,0a b >，且1a b +=，则2ab ab+的最小值为___________． 【答案】334【解析】因为,0a b >，且1a b +=，所以210()24a b ab +<≤=，当且仅当12a b ==时，取等号，设1(0)4ab t t =<≤，所以设21()(0)4f t t t t =+<≤，'22()1f t t=-，显然当104t <≤时，'()0f t <，所以()f t 在104t <≤上，是单调递减函数，所以min 133()()44f t f ==. 9．（2019·云南高一期末）已知0m >，0n >，且2m n +=，则21n m n+的最小值为________. 【答案】52【解析】因为2m n +=，所以2122n n m n m n m n ++=+211522222n m m n =++≥+=，当且仅当43m =，23n =时取等号.10．（2019·浙江高二期末）已知正数x y ，满足23x y +=，则212y x y+的最小值____________．【解析】23x y +=，∴212226y y x y x y x y ++=+ 212126363y x y x x y x y =+++=，当且仅当26y x x y =，即x y =时取等号，∴212y x y +．． 11．（2019·山西高一期末）已知0a >，0b >，a ，b 的等比中项是1，且1m b a =+，1n a b=+，则m n +的最小值是______. 【答案】4【解析】a ，b 的等比中项是11ab ⇒=11224m n b a b a a b+=+++=+≥= 当1a b ==时等号成立. 故答案为412．（2019·甘肃高二期末（理））已知,,(0,)a b c ∈+∞，且1a b c ++=，则111a b c++的最小值为________. 【答案】9【解析】1a b c ++=，111111a b c a b c a b c b c a c a b a b c a b c a a b b c c++++++++=++=++++++++ ()()()322239b a c b a ca b b c c a=++++++≥+++= 当13a b c ===时等号成立.故答案为913．（2019·安徽高一期末）已知正数a 、b 满足226a b +=，则__________． 【答案】5【解析】226a b +=，22452b a ++≤=当b =1,a b ==. 故答案为：514．（2019·浙江高一期末）已知正实数,x y 满足3x+y+=xy ，则x y +的最小值为__________． 【答案】6【解析】由题得2)34x y x+y+=xy +≤（,所以2)4(x y x y +-+≥（）-120， 所以6)(2)0x y x y +-++≥（， 所以x+y ≥6或x+y ≤-2(舍去)， 所以x+y 的最小值为6. 当且仅当x=y=3时取等. 故答案为：615．（2019·浙江高一期末）设正数,a b 满足22144a b ab++=，则a =_____；b =_____． 【答案】112【解析】()222114244a b a b ab ab ab ++=-++≥= 当且仅当20a b -=且21ab =即11,2a b ==时，“=”成立. 所以11,2a b ==. 16．（2019·湖北高一期中）已知,a b ∈R ，且280a b -+=，则124ab +的最小值为______． 【答案】18【解析】∵280a b -+=，则11248a b +≥===. 当且仅当2a b =-即2b =，4a =-时取等号， 故答案为：18． 17．（2019·浙江高一期末）已知0a >，0b >，若不等式212m a b a b+≥+恒成立，则m 的最大值为______． 【答案】9.【解析】由212m a b a b +≥+得()212m a b a b ⎛⎫≤++ ⎪⎝⎭恒成立，而()212225a b a b a b b a ⎛⎫++=++ ⎪⎝⎭5549≥+=+=，故9m ≤，所以m 的最大值为9. 18．（2019·天津高三月考（文））已知x y ，为正实数，则22x x yx y x+++的最小值为_________.【答案】32+ 【解析】原式1221yy x x=+++，令0y t x =>，则上式变为1212t t +++()113121222t t =++++3322≥+=+()11112,1222t t t =+=+时等号成立，故最小值为32+. 19．已知0, 0, 223x y x y xy >>++=，则2x y +的最小值为_____．【答案】2【解析】由题可得：()2223232x y x y x y +⎛⎫+=-⋅≥- ⎪⎝⎭（当且仅当2x y =时取等号）， 整理得：()()2242120x y x y +++-≥， 即：()()22260x y x y +-++≥， 又：20x y +>，所以：22x y +≥ （当且仅当2x y =时取等号）， 则：2x y +的最小值是2． 故答案为：2．20．已知a ＞b ＞c ，求证：1140a b b c c a++---. 【答案】见证明【解析】证明：因为a ＞b ＞c ， 所以a －b ＞0，b －c ＞0，a －c ＞0.所以4(a －b )(b －c )≤[(a －b )＋(b －c )]2＝(a －c )2.所以4()()a ca b b c a c ----，即()()40()()b c a b a b b c a c-+-----. 所以1140a b b c c a++---. 21．（2019·江苏高二期末）已知a ，b 是正数，求证：22144a b ab++. 【答案】见证明【解析】证明：因为a ，b 是正数，所以2244a b ab +. 所以221144244a b ab ab ab+++=. 即22144a b ab++. 当且仅当1a =，12b =时取等号22（2019·重庆高一期末）某厂家拟举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）x 万件与年促销费用m 万元（0m ≥）满足31kx m =-+（k 为常数），如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是1万件.已知年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分资金）. （1）将该产品的年利润y 万元表示为年促销费用m 万元的函数； （2）该厂家年促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？ 【答案】（1）16281y m m =--+ ；（2）厂家年促销费用投入3万元时，厂家的利润最大 【解析】（1）由题意可知，当0m =时，1x = （万件）， 所以13-k =，所以2k =，所以231x m =-+， 每件产品的销售价格为8161.5xx +⨯（万元）， 所以年利润816161.581648281x y x x m x m m x m +=⨯⨯---=+-=--+ 所以16281y m m =--+，其中0m ≥. （2）因为0m ≥时，16181m m ++≥+，即1671m m +≥+ 所以28721y ≤-=，当且仅当1611m m =++，即3m = （万元）时，max 21y = （万元）. 所以厂家年促销费用投入3万元时，厂家的利润最大.23．（2019·黑龙江高二期末（文））（1）已知,a b ∈R ，且360a b -+=，求128ab+的最小值。