二次函数知识点及典型例题

二次函数知识点及典型例题-标准化文件发布号：（9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII

二次函数

一、二次函数的几何变换

二、二次函数的图象和性质(Ⅰ) y=a(x-h)2+k (a≠0)的图象和性质

(Ⅱ) y=ax2+bx+c (a≠0)的图象和性质

(Ⅲ) a、b、c的符号对抛物线形状位置的影响

三、待定系数法求二次函数的解析式

1、一般式：c bx ax y ++=2.已知图像上三点或三对x 、y 的值，通常选择一般式。

2、顶点式：()k h x a y +-=2

.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式。 3、交点式：已知图像与x 轴的交点横坐标1x 、2x ，通常选用交点式：()()21x x x x a y --=。

4、顶点在原点，可设解析式为y=ax 2

。

5、对称轴是y 轴（或者顶点在y 轴上），可设解析式为y= ax 2

+c 。 6、顶点在x 轴上，可设解析式为()2

h x a y -=。

7、抛物线过原点，可设解析式为y=ax2+bx 。

四、抛物线的对称性

1、抛物线与x 轴有两个交点（x 1,0）（x 2,0），则对称轴为x=

2x x 2

1+。 2、抛物线上有不同的两个交点（m ，a ）（n,a ），则对称轴为x=2n

m +。

3、抛物线c bx ax y ++=2（a ≠0）与y 轴交点关于对称轴的对称点为(a

b

-, c)。

五、二次函数与一元二次方程的关系

对于抛物线c bx ax y ++=2（a ≠0），令y=0，即为一元二次方程02=++c bx ax ，一元二次方程的解就是二次函数与x 轴交点的横坐标。要分三种情况：

1、 判别式△=b 2

-4ac ＞0⇔抛物线与x 轴有两个不同的交点（a

b 24ac

b -2+，

0）（a b 24ac b --2，0）。有韦达定理可知x 1+x 2=a b - ，x 1·x 2=

a

c 。

2、 判别式△=b 2

-4ac=0⇔抛物线与x 轴有一个交点（a

b 2-，0）。 3、 判别式△=b 2

-4ac=0⇔抛物线与x 轴无交点。

六、二次函数与一元二次不等式的关系

1、a ＞0：（1）02＞c bx ax ++的解集为：x ＜x 1或x ＞x 2（x 1＜x 2）。

（2）02

＜c bx ax

++的解集为：x 1＜x ＜x 2（x 1＜x 2）。

2、a ＜0：（1）02＞c bx ax ++的解集为：x 1＜x ＜x 2（x 1＜x 2）。

（2）02

＜c bx ax

++的解集为：x ＜x 1或x ＞x 2（x 1＜x 2）。

七、二次函数的应用 1、面积最值问题。

2、长度、高度最值问题。

3、利润最大化问题。

4、利用二次函数求近似解。

例1、抛物线c bx ax y ++=2与直线c ax y +=在同一平面直角坐标系中的图像大致是

（ ）

例2、已知二次函数y=-x 2+bx-8的最大值为8,则b 的值为 （ ）

A 、 8

B 、 -8

C 、 16

D 、 8或-8

例3、已知一抛物线与x 轴的交点是A （-2,0）B （1,0）且经过点C （2,8）

（1）求该抛物线的解析式； （2）求该抛物线的顶点坐标

例4、已知二次函数y=3（x ﹣1）2+k 的图象上有三点A （2，y 1），B （2，y 2），C

（5-，y 3），则y 1、y 2、y 3的大小关系为 。

例5把抛物线y=x 2+bx+c 的图象先向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得

的图象解析式是y= x 2

-3x+5,则a+b+c= 。

例6一次函数Y=kx+b 的图像与x 轴和y 轴分别交于A （-8,0）和点B （0,4），线

段

AB 垂直平分线CD 交x 轴与点C 交于AB 于点D ，求：

1、确定直线AB 的解析式

2、求过A 、B 、C 三点的抛物线解析式

3、抛物线对应的二次函数有最大值还是最小值？当X 等于几时，相应的最大值或最 小值是多少

例7、已知抛物线与x轴交于点A（-2，0），B（4，0），与y轴交于点C（0，8）．抛

物线顶点为D，直线CD交x轴于点E，过点B做x轴的垂线交直线CD于点F。

（1）求抛物线的解析式及其顶点D的坐标；

（2）求直线CD的解析式

（3）在线段BF上是否存在点P，使得P到直线CD的距离等于点P到原点O的距离。如果存在，求出点P坐标。

例8（2013•永州）如图，已知二次函数y=（x﹣m）2﹣4m2（m＞0）的图象与x轴交

于A、B两点。

（1）写出A、B两点的坐标（坐标用m表示）；

（2）若二次函数图象的顶点P在以AB为直径的圆上，求二次函数的解析式；

（3）设以AB为直径的⊙M与y轴交于C、D两点，求CD的长．

例9、（2010 常德）如图，已知抛物线y=2

1x 2+bx+c 与x 轴交于点A （-4，0）和B

（1，0）两点，与y 轴交于C 点． （1）求此抛物线的解析式；

（2）设E 是线段AB 上的动点，作EF ∥AC 交BC 于F ，连接CE ，当△CEF 的面积是△BEF 面积的2倍时，求E 点的坐标；

（3）若P 为抛物线上A 、C 两点间的一个动点，过P 作y 轴的平行线，交AC 于Q ，当P 点运动到什么位置时，线段PQ 的值最大，并求此时P 点的坐标．

例10、（1）已知二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象如图所示，有下列结论：①

b 2-4ac

＞0；②abc ＞0；③8a+c ＞0；④9a+3b+c ＜0其中，正确的结论是 。

图（1） 图（2）图（3）

（2）已知二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象如图所示，有下列5个结论：

①abc ＞0；②b ＜a+c ；③4a+2b+c ＞0；④2c ＜3b ；⑤a+b ＞m （am+b ），（m ≠1的实

数）．

其中正确的结论有______（填序号）