31一维晶格振动

2. 一维复式格子的振动
w与q间存在着两种不同色散关系：对一维复式格子，可存在两种独立的格波. 复式格子的振动频率在波矢空间内具有周期性及反演对称性
(q 2 ) (q),(q) (q)
a
一维布喇非格子，波矢q增加2π/a的整数倍， 原子的位移和色散关系不变，限制：
q
) )

0 0
向右的拉伸力 向左的排斥力
第n个原子受力：
f (un1 un ) - (un un-1) (un1 un-1 - 2un )
m d 2un dt2

(un1 un-1 - 2un ) : n 1,2,3......
1.一维布拉菲格子的振动
1.一维布拉菲格子的振动
q0

2
q
:un1un un1；长波极限；
q
a


2
a
2a;un1un un1;短波极限.
2. 一维复式格子的振动
只考虑最近邻原子间相互作用，采用简谐近似， 第2n个原子和第2n+1个原子的运动方程和位移分别为
M
d 2u2n dt2

波动方程解 :
y

i( 2
Ae
qna : 序列号为n的原子在t
xt )

0时刻的振动相位；
一
x na：从坐标原点数第n个原子距离原点的距离； 维
比较两式
:
q

2
: 格波的波矢, 属于倒格空间物理量；

布
拉
un Aei(naqt) :
菲
晶体原子集体热运动形成的波成为格波。格波可以看成由相互 独立的各种简振振动模式所构成。
u2n1
一
2 对于光学波
B A

1 2 MO2 1 2eiqa
q0
B A

M m
或AM

Bm
0
维 复
式
格
子
的
振
动
长光学波:原胞相邻原子作相对振动，质量大的振幅A小,质量小的振幅B较大. 保持整体的质心不动，即长光学波是保持原子质心不动的一种振动模式。
长声学波:相邻原子的位移相同，原胞内不同原子以相同的振幅和位相作整体运动 .它代表原子质心的运动。
0 xX
谐振动微分方程：
d2x dt2

2x

0
方程的解：： x Acost 0 i sint 0
运动学方程： x A cost 0
复习：简谐振动与简谐波
x Acost 0 Acos2ft 0
位移(x)：从平衡位置指向物体所在位置的有向线段. 振幅(A): 振动物体离开平衡位置的最大距离，它等于振 动位移的最大值。 反映了振动强弱和振动能量大小. 频率(f)—— 单位时间内振动物体完成全振动的次数.
aq2

2


2
晶格中具有物理意义的波长 仅在于第一布里渊区内
q
a
a
由于原子质量集中在原子实，所以对格点振动有贡献的是原子 实，两原子实之间的振动在物理上是没有意义的。即
原子实: 原子中，原子核及除价电子以外 的内层电子组成原子实。例如，钠Na的该 外电子排布为：1s22s22p63s1，其中第1、 2电子层与原子核组成原子实，此原子实与 氖Ne（1s22s22p6）的结构相同，
un ：序号为n的原子t 时刻离开平衡位置的位移; r a un1 un 晶格振动时序号n和n+1的两原子间在t时刻的距离.
U(r) 两原子间相互作用势.
平衡位置附近U (r)与U (a)相差不大，将U (r)在平衡位置附近展成泰勒级数：
2
3
U
(r)

U
(a)

(
dU dr
)a
(r

a)

1 2
(
dU dr2
)a
(r

a)2

1 6
(
dU dr3
)a
(r

a)3

......
2
3
相互作用力：f
(r)

(
dU dr
)a

(
dU dr2
)a
(r

a)

1 2
(d U dr3
)a
(r

a)2

......
1.一维布拉菲格子的振动
两原子间相互作用力：
2
3
f
(r)

(
dU dr
)a
2

即原子的位移构成了波 格波

振 动
简谐近似下，格波为简谐波.
1.一维布拉菲格子的振动
简谐近似下，格波为简谐波
向右的箭头:原子沿X轴正向振动 向左的箭头:原子沿X轴负向振动
1.一维布拉菲格子的振动
简谐近似下，格波为简谐波
向上的箭头:原子沿X轴向右振动
向下的箭头:原子沿X轴向左振动
格波方程 un Aei(naqt ) :
B'e 2

Bei(qnat )
M 2 A 1(B A) 2 ( A Beiqna )
m 2B 2 ( Aeiqna B) 1(B A)
2. 一维复式格子的振动

1
2

(1 2 )
2mM
(m

M
)

(m

q



a
:
u n1u n
un1; 相邻原子以相同振幅作相对运动.
格波的频率：

2(

1
)2
sin( qa
);v



2(

1
)2
sin( qa
)
m
2
q qm
2
v

2(

1
)2
sin( qa
)
q0; sin qa

qa
qm
2
2 2
1
v

a

2
m
晶格具有周期性，晶格的振动具有波的形式 —— 格波 格波的研究 : 先计算原子之间的相互作用力 根据牛顿定律写出原子运动方程，最后求解波方程
第三章 晶格振动与晶体热力学性质
□ 一维晶格的振动 □ 三维晶格的振动 □ 简正振动 声子 □ 晶格振动热容理论
1.一维布拉菲格子的振动
一维晶格由质量为m的全同原子构成; a:相邻原子平衡位置的间距;
(un1 un-1 - 2un );un

Ae i ( qnat )
如果相邻两原子相差aq 2 aq
两个原子的振动状态相同
格波1波矢
q1
2 1

2
4a


2a
相邻原子位相差

aq1 2
格波2波矢
q2

2 2

2 5
4a / 5 2a
相邻原子的位相差
(
dU dr2
)a
(r

a)

1 2
(
dU dr3
)a
(r

a)2
......
r
a

un1

un
令：

dU ( dr2
)
，忽略上式非线性小量，
a
得到第n个原子与第n 1个原子的互作用力：
f
(un1 un )
f


(un1

un
)

(un1 (un1

un un
第三章 晶格振动与晶体热力学性质
□ 一维晶格的振动 □ 三维晶格的振动 □ 简正振动 声子 □ 晶格振动热容理论
复习：简谐振动与简谐波
简谐振动:
物体在一固定位置附近作来回的往复运动，称为机械振动。 任何一个振动都可看成若干不同频率的简谐振动的合成。
弹簧振子谐振动方程及解
K
F
F kx d2x
F kx m d 2t
1.一维布拉菲格子的振动----
m
d 2un dt2
(un1 un-1 - 2un ) m
un Aei(qnat)
色散关系: 2un un (eiqa

eiqa
d2x dt2


2x

0
2) 2uncosqa1
格波的频率： 2

2
1 cos( qa )
M
)2
16mM12 (1 2 )2
sin2
(
qa 2
)
2


1

2 A

(1 2 ) 2mM
(m

M
)

(m

M
)2

16mM1 2 (1 2 )2
sin
2
(
qa 2
)
2



声学波频率；
A

1
O2
1.N个原子头尾相接形成一个环链，保持了 所有原子等价的特点
2.N很大，原子运动近似为直线运动
3. 处理问题时要考虑到环链的循环性
第n个原子的动力学方程：m d 2un dt2
(un1 un-1 - 2un ) : (n 1,2,3.......n)
A : 振幅；

动力学方程解：un Aei(qnat) : ：圆频率；

(1 2 ) 2mM
(m

M
)

(m

M
)2

16mM12 (1 2 )2
sin
2
(
qa 2
)
ห้องสมุดไป่ตู้
2

O光学波频率；
1 对于声学波
B 1 2eiqa A 1 2 m2A
q 0 A
0 un
格波的截止频率
max
2(

)
1 2
m

q



a
1.一维布拉菲格子的振动
m
d 2un dt2
(un1 un-1 - 2un )
un Aei(qnat)
un1 Aei(qnat)eiqa
un1 Ae e i(qnat ) iqa
q 0 :un1un un1；相邻原子以相同的振幅和相位作振动；
周期性边界条件：
un Aei(qnat ) unN Aeiq(nN )at
eiqNa1 q 2 l l为整数
Na
q
a a
N
l

N
N为晶格的原胞数目
2
2
振动谱是分离谱;
允许的波矢的数目等于N;
晶格振动的波矢q数目等于晶格的原胞数目. 频率与波矢的关系:色散关系
第n个原子的动力学方程：m
d 2un dt2

(un1
un-1 - 2un ) : (n 1,2,3.......n)
除了原子链两端的两个原子外，其他原子都有一个类似方程.
玻恩-卡门周期边界条件：
在实际晶体外，仍有无限多个相同的晶体相 联结，各晶体对应原子的运动情况都一样.
实际的晶体为有限，形成的链不是无穷长， 链两头的原子不能用中间原子的运动方程来描述.

2(

1
)2
sin(
qa
)
m
m
2
qa变化范围0 ~ 2，q的变化范围0 ~ 2 ,考虑到q q;所以
a
格波的波矢q : q
a
a
2 M
格波传播速度v：v




(

1
)2
sin( a
)
q m

频率与波矢的关系:色散关系 振动频谱或振动谱
1.一维布拉菲格子的振动
' 4a 的振动是没有物理意义的.
5
假如有这样的波存在，那么它与 4a的波在物理上是不可分的.
晶格中具有物理意义的波长仅存在于
- q 的区间内（负号表明行波方向相反，由于左行波与右行波上是不可分的.
a
a
离子实：把在原子结合中起作用的价电子和内层电子分离, 内层电子与原子核一起运动,构成离子实.
a
a
周期性边界玻恩-卡曼边界条件：
un
u(nN )
N 2
l

N 2
光学波和声学波的色散关系
q 0, A
(m

1 M )(1

2 )
qa, vA

1
a
(m M )(1 2)
结论
格波：晶格中的原子振动是以角频率w为平面波形式在晶体中传 播、存在，这种波为格波。
格波波长 2 q
格波波矢
q

2
n

格波相速度 vp / q
格波的波形图
不同原子间位相差 n' aq naq (n'n)aq
相邻原子的位相差 (n 1)aq naq aq
1.一维布拉菲格子的振动
分析波长为1
4a和2

4a 5
格波：
m
d 2un dt2
1(u2n1 u2n ) 2 (2un
u2n1)
m
d 2u2n1 dt2

2 (u2n2
u2n1) 1(2u2n1
u2n )
u2n

i[( q( 2n )at ]
Ae 2

Aei(qnat )
u2n1

i[( q( 2n )aqbt ]
序列号为n的原子原子位移：un Aei(qnat)
格
序列号为n'的原子原子位移：un'

Aei(qn'at )
u eiqa(n' n) n
子 的
若
n
n

n n
' '

2 l
qa

un'

un
（2l 1)
qa
un'

un


任意时刻原子位移有一定的周期分布：
波动方程：y

A
cos


t

x v


0

y Ae Ae i


t

x v

0

i( 2 xt )
第三章 晶格振动与晶体热力学性质
晶体中原子的平衡位置虽有周期性，但原子数目很大， 原子间存在着相互作用，任一原子的位移至少与相邻原子、 次邻近原子的位移有关，故实际上晶格振动很复杂.