线性代数全套习题集(带答案)

1
第一部分 专项同步练习
第一章行列式
、单项选择题
1 .下列排列是5阶偶排列的是（
).
(C) 41523
(D)24351
(A) 24315 (B) 14325 2.如果n 阶排列
j 1j 2…j n 的逆序数是 k,则排列j n … j 2j 1的逆序数是（
)
n! n(n-1),
(A)k (B) n _ k (C) — - k 2 (D) k
2
3. n 阶行列式的展开式中含ana i2的项共有（ ）项.
2x
(A) 0
(B) n -2 (C) (n-2)!
(D) 5-1)!
4. 0 0 0 1
0 1 0 0
=( ).
5. 0 0 0 1 (A) 0
0 1 0 0
(A) 0
=( (B) -1
(C) 1 (D) 2
).
(B) -1
(C) 1 (D) 2
6.在函数 f(x)
-1
(A) 0
-x 0
3
项的系数是
（ ).
(B) -1 (C) 1
(D) 2
-1
2
a 11 a
12
a 13
1
，则 2
7.若 D = a 21 a 22 a 23
a 31 a
32
a
33
(A) 4 (B) -4
8.若 an ai 2 =a , 则 a 12 ka 22
a 21 a 22
an ka 21 (
(A) ka (B) -ka
D i
2a
11 a
13 2a 21 a 23 2a
31
a
33
(C) 2 ). (C) k 2a
a ii
a 21 a
31
- 2a 12 _ 2a 22 _ 2a 32
).
(D) - 2
(D) - k 2a
9 .已知4阶行列式中第1行元依次是- 4, 0,1, 3, 第3行元的余子式依次为 -2, 5,1, X , 则x =( ).
(A) 0 (A) -1 (A) -1
-8 6
1 3 1 0 5 7 -
2 1
3 (B)
4 3 1 -3 3 -1 1 -7 (C) 3 (D) 2 ,则D 中第一行元的代数余子式的和为（
). 0 1 -1 3 4 1 0 -2 (B) -2
0 1 0
2 (C)-3
(D)0
,则D 中第四行元的余子式的和为（
(B) -2 (C)-3
).
12. k 等于下列选项中哪个值时, 齐次线性方程组
(D)0
X 1 X 2 x-i kX 2
kX 1 X 2 kx 3 X 3
X 3
( ) (A) -1 (B) -2 (C)-3
(D)0
、填空题
3
1. 2n 阶排列24 (2n) 13 (2n -1)的逆序数是
.
2. 在六阶行列式中项a 32a 54a 4i a 65a i3a 26所带的符- 号是
3. ________________________________________ 四阶行列式中包含a 22a 43且带正号的项是 ___________________________________ .
4. 若一个n 阶行列式中至少有n 2 - n 1个元素等于0,则这个行列式的值等于
1 0 1 1 1 0 0 1 5.行列式
0 1 1 1
0 0 1 0
a
11
a
1 (nV)
a
1 n
9.已知某5阶行列式的值为5,将其第一行与第5行交换并转置，再用2乘所 有元素，则所得的新行列式的值为 _______
a
11 a
12 a 13
a
11 a
13
— 3a 12
3a 〔2
8.如果D =
a 21 a 22 a 23 =M ，贝U D 1 =
a 21 a 23 — 3a 22
3a ?2
a
31
a
32
a
33
a 31
a
33
— 3a 32
3a
32
a
n1
0 0 1 0 0
2
6.行列式
■・- … 0 0 0 n 0 0
n -1 0
a
2(n J)
7.行列式
1-11X —1
10.行列式1-1X +1-1
1X—11-1
X +1-11-1
1 +丸
一1
11. n阶行列式
1
12. 已知三阶行列式中第二列元素依次为
1,2,3,其对应的余子式依次为3,2,1, 则该行列式的值为
1 2 3
一 5 6 7
13. 设行列式D =
4 3 2
A4j(j =1, 2,3,4)为D中第四行元的代数余子式,
a c b
b
c
a
a
b
14.已知D =
b a
c c
a c
b d
D中第四列元的代数余子式的和为
1 32
3
3
4
15.设行列式D =
156
112A4j为a4j(j =1,2,3, 4)的代数余子式，则
则4阳3A42 2A43 A44 二
4
4
八6
7
2
A41 A42A43 A44
4
5
kx 1 2x 2 x 3 仃.齐次线性方程组2x , kx 2
X 1 - X 2
x 1
2X 2
x 3 = 0
2X 2 +5X 3=0有非零解，则
-3为 一 2x 2 kx 3 = 0
a b c
d
2 .2 2
.2
X y x + y
a b c d
3
.3
3
.3
2
・ y
x + y X
a b c
d
x + y
X
y b +c +d
a +c +d a +
b +d a + b +
c
、计算题
1.
7
X a 1
a2…
a n_42
1
0 1 X 1
a 1 X a 2… a
n~2 1 1 0 1 X =0 ； 4. a 1
a 2 x … a
n_42 1
X 1 1 0
1 X 1 0
a 1 a 2 a 3 (X)
1
a 1 a 2
a 3…
a n J
1
3.解方程
7
2n -1
16.已知行列式D 二
,D 中第一行元的代数余子式的和为
=0
工0仅有零解的充要条件是
18.若齐次线性方程组
1 -a -1
a 1 -a
11. D =0-1
00
00
000 a00 1-a a0 -11-a a 0-1 1 —a
a o 1 1
1 ai 1
5. 1 1 a2
1 1 1
1 1 1 (1)
3 1-b 1 (1)
6. 1 1 2—b (1)
1 1 1 …（n— 1） -b
111…1X a1a2…a n bi a1a…a a1X a2…a n
7.bi b2a2…a28.a1a2x …a n J
bi b2b3...a n a1a2a3 (X)
210 …
00
1 +
2
X1%x2---xx12 1 ・
・！■
00
9.x2% 1 +x；・・・X2X n
; 10.
01^2 ・00…---…… …■・・
1
1
1 佝知，j =0,1,…,n）；
a n
6
X n X X n X2■-・1+£000 (21)
000 (12)
7
8
四、证明题
6 fx a 1^b 1 e 1
a 〔
b [ C [
2. a 2 +b 2x a 2x +b 2 e 2
= (1-x 2) a ? b ? C 2
a 3+
b s x
a s x+d q
a
3
b
3
C
3
参考答案
b e =0的充要条件是a+b+
c = 0.
a 2 a 4
a
b
e
.2 2 b e .4
4
b e
d d 2
d 4
=(b _a)(c_a)(d _a)(c _b)(d _b)(d _ c)(a b e d).
1 1 a 1 a
2 4. 2 a
1
a ；
n
-2
a 1 nd a
2
n a
1
n a
2
a n 2 a n
n -2 a
n n a
n
n
八 a i ：佝-a) i 二 1
l i ； " j 切
b 1 2 *
1.设 abed =1，证明:
4 a
b 2 1 2 e
1 a
b
e d
1 1 =0. 1
1
5.设a,b,e 两两不等，证明a
3
a
9
一•单项选择题 ADACCDABCDBB 二•填空题 1. n ;
2. — ;
3. 814822831843 ；
4. 0 ;
5. 0 ;
6. (-1) n!;
n(n
丄)
7. (-1) 2 ama 2(nm a n1； 8.-3M; 9.-160;
10.x 4; 11( n) n ‘；
12.-2;
n
1
13.0; 14.0; 15.12,-9;
16.n!(1
); 17.k=-2,3; 18.k = 7
k 丝k
三•计算题
1. -(a b c d)(b-a)(c-a)(d-a)(c-b)(d-b)(d-c);
2. -2(x 3 y 3)；
11. (1 -a)(1 a 2 a 4). 四.证明题(略)
3. x - -2,0,1;
5. n
n
II (a k -1)(1
、
k =0
k =0
1 a k -1
);
n
7. (-1)打【(b k -a k );
k ± n
9. 1 ' X k ;
k =1
n 4
4.丨丨(x-aQ
k 珀
6. -(2 b)(1 _b) ((n_ 2) _b);
n
n
8. (x ' aj 【(x-aQ ;
km
kT
10. n 1;
27
8
10
(、
27 心
8
(a)
帀(b)盲
27 (c)号(d)
8 第二章 矩阵
一、单项选择题
1. A 、B 为n 阶方阵，则下列各式中成立的是()。

(a)
A 2|=|A 2
(b)
A 2 —
B 2 =(A —B)(A + B) (c) (A —B)A = A 2 —AB
(d) (ABf 二 A T B T
2. 设方阵A 、B C 满足AB=AC 当 A 满足()时，B=C (a) AB =BA (b) A=0 (c)
方程组AX=0有非零解(d) B 、C 可逆
3. 若A 为n 阶方阵，k 为非零常数，则kA=() 5. 设A ，B 为n 阶可逆矩阵，下面各式恒正确的是() (a) (A + B)」=A ，+ B -1 (b) (AB)T = A B
6. 设A 为n 阶方阵，A *为A 的伴随矩阵，则(
(2A)J -2A * =()
(a)
kA
(b) kA
4. 设A 为n 阶方阵，且A =0，则() (a) A 中两行(列)对应元素成比例(b)
(c) A 中至少有一行元素全为零 (d)
n
n
(c) k n
A
(d) k A
A 中任意一行为其它行的线性组合
A 中必有一行为其它行的线性组合 (c) (A 」+B)T
(d) (A B) J
-A 4 B _1
(a) (a) A *
(b)
7.设A 为3阶方阵,
A * =|A (c) 行列式A =1 ,
n 1
(d)
为A 的伴随矩阵，则行列式
11
8•设A , B 为n 阶方矩阵，A 'H B 2,则下列各式成立的是() (a) A = B (b)
A=—B (c)
|A =|B (d)
|A ^ B 2
9. 设A , B 均为n 阶方矩阵,则必有()。

2 2
(a) A + B|=|A|+|B| (b) AB = BA (c) AB BA (d) A =|B 10. 设A 为n 阶可逆矩阵，则下面各式恒正确的是( )。

(a ) 2A=2A T
(b)
(2A)」= 2A ，
'1
0 0"
'1 0 -3"
■0 0
-3"
'1
0 0、
(a )
0 1 0 (b) 0 1
0 (c) 0 1 0 (d) 0 1 0
L 3
0 1」
J 0 1」
1° —3 1
丿
■‘13
1、
12. 已知 A= 2 2 0，则(
<3 1
1」
(a) ACB=I (b ) CAB = I (c ) CBA = I (d ) BAC = I
14. 设A 为n 阶方阵，且|A|=0，则() (a) A 经列初等变换可变为单位阵I
a
11 a 12 a 13
a
11
—3a 31
a
12
— 3a 32
a
13
— 3a 33
11.如果A a
21
a 22 a 23 =
a
21
a 22 a 23
031
a
32
a
33
丿
I
a
31
a
32
a
33
(c) [(A 」)「[(A T )T
]‘ (d)
则A =(
T T
」
ITT
[(A ) ]
=[(A )]
(a ) A T
= A
(b)
'1 0 0"
'1 1 3"
(c ) A
0 0 1 = 2 0 2
<0 1 0」
<3 1 1」
*10 0"
'1 1 3"
(d)
0 0 1 A = 2 0 2
<0 1 0
<3 1 b
I 为单位矩阵，若ABC = I ，贝U( 13.设A,B,C,I 为同阶方阵,
)
(b)由AX 二BA，可得X 二B
(c)当(A|l)经有限次初等变换变为(I |B)时，有A-1二B
(d)以上(a)、(b)、(c)都不对
15. 设A为m n 阶矩阵，秩(A) = r ：：： m ：：： n，贝U( )。

(a) A中r阶子式不全为零(b) A中阶数小于r的子式全为零
d0、
(c) A经行初等变换可化为r(d) A为满秩矩阵
3 o丿
16. 设A为ms矩阵，C为n阶可逆矩阵，B = AC，则()。

(a) 秩(A)> 秩(B) (b) 秩(A)=秩(B)
(c)秩(A)<秩(B) (d) 秩( A)与秩(B)的关系依C而定
17. A，B为n阶非零矩阵，且AB=0，贝U秩(A)和秩(B)()。

(a)有一个等于零(b)都为n (c)都小于n (d) —个小于n，一个等于n
18.n阶方阵A可逆的充分必要条件是()。

(a) r( A)二r ::: n(b)A的列秩为n
(c) A的每一个仃向量都是非零向量(d)伴随矩阵存在
19.n阶矩阵A可逆的充要条件是()。

(a) A的每个行向量都是非零向量
(b) A中任意两个行向量都不成比例
(c) A的行向量中有一个向量可由其它向量线性表示
(d) 对任何n维非零向量X，均有AX =0
二、填空题
1. 设A为n阶方阵,I为n阶单位阵,且A? = I ,则行列式A= _____________
0 a b
2. 行列式-a 0 c = _____________
-b -c 0
12
13
8. 设A 为100阶矩阵，且对任何100维非零列向量X ，均有AX = 0，则A 的秩 为 _______ 9. 若A=(a j )
为15
阶矩阵，则
A T A 的第4行第8列的元素是 ______________________________________
10.
-1
丄
4>
0 1
入
3.设 2A = 0 2 0 ，贝U 行列式
<0 0 1丿
(A + 3I)'(A 2 -91)的值为
a 1
b 2 … ab 、
7.非零矩阵
azb a 2b 2
…
a 2
b n 的秩
为
l a n D
a n
b 2 …
a n b
n
丿
6.设4阶方阵A 的秩为 4.设 A =
1 2
仝
2
且已知A 6 = I ，则行列式A 11
5.设A 为5阶方阵，A 是其伴随矩阵，且A = 3，则
2,则其伴随矩阵A *的秩为
方 阵 A 与 4I 相 似， 贝U A 二
2K A
K +1 = 1 ----------------- 3K 」 若
丄 2K ::1 11.
12. lim
n —
三、计算题
1. 解下列矩阵方程(X为未知矩阵). 14
15
2)
广0
1 0^
广2
0、
n 3、
1 0 0 X
= 2 -1
1° 0 b
厂1
°」
勺1 0
卞
“01、
X(I -B 七)T B T =1 ,其中 B = 4 0 4
； C =
2 1 2 <4 2 2、
J 2
7
AX AX =A 2 +X —I ,其中 A= 0 4 1 -1
设A 为n 阶对称阵,且A 2 = 0,求A. 已知A 二
「1 <0
1 -1 0
2 1 0
1 ,求(A+21)( A 2
-41)」
<2
z
0 <0 0
」
「1
<0
2 1> A
A 」
4,求一秩为 2的方阵B,使AB =0.
'2 1 1 '
*011" A = 1 0 1 ,B = 1 2 1
<1 1 0 丿
<1 1 0」
设 6
丿
,求非奇异矩阵C ,使A 二C T BC.
求非奇异矩阵P,使P 4AP 为对角阵.
1) 3) 4) 5) 2. 3. 4. 5. 6. 7.
16
f 2 1 ) A = 1 2 V 2丿
求矩阵 A.
(0,0,1)T ,( -1,1,0)T ,( -2,111)T ,
广5 -3 2、
9.设 A=6
-4 4 ,求 A 100. ,4 M 5」
四、证明题
1.设A 、B 均为n 阶非奇异阵，求证AB 可逆.
2. 设A k =0(k 为整数),求证I -A 可逆.
3. 设耳©2,|1(@为实数,且如果a k=0 ,如果方阵A 满足
A k 飞胃「|)| a-A akI =0,求证A 是非奇异阵.
4. 设n 阶方阵A 与B 中有一个是非奇异的，求证矩阵AB 相似于BA.
5. 证明可逆的对称矩阵的逆也是对称矩阵.
6. 证明两个矩阵和的秩小于这两个矩阵秩的和.
7. 证明两个矩阵乘积的秩不大于这两个矩阵的秩中较小者 .
8. 证明可逆矩阵的伴随矩阵也可逆，且伴随矩阵的逆等于该矩阵的逆矩阵的伴 随矩阵.
9. 证明不可逆矩阵的伴随矩阵的逆不大于 1.
10. 证明每一个方阵均可表示为一个对称矩阵和一个反对称矩阵的和。

8.已知三阶方阵A 的三个特征根为1,1,2, 其相应的特征向量依次为
2)
1)
(1 1 -2
17
第二章参考答案 1. a ; 2. b ; 3.c ; 4.d ; 5.b ; 6.d ; 7.a ; 8.d ; 9.c ; 1O.d ; 11.b ; 12.c ; 13.b ; 14.a ; 15.a ; 16.b ; 17.c ; 18.b ; 19.d. 15 1. 1 或-1 ; 2. 0; 3. -4 ; 4. 1; 5. 81; 6. 0; 7. 1; 8. 100; 9. ' a i4 a i8 ; i -1 10. I ; 12. 0 ; 11. 0 2
<0 0丿 z
-10
三、 1.1 ）、 -13 -2 J 6 0 广3 -8
-6、 5) 、 2 -9 -6
I-2 12 -9
丿
，z
-3
-1 -P
5. ：
1
1 1 不唯-
U
0 0
丿 (1
‘ 、
--1
；2) 、 2 3
；
3）
)
1 0
<2
)
'0
3
2. 0 ；
3.
-1 -3
0 1
■
0 1 0 x
；6. 1 0 0 ；7 1)、
<0
0 1>
广
1
：
1 -1
1 -1
-1 L 1
-4 -5 6
4.
-3、
z
2
-3 ;4)、0
(1
-2 1
<0
2)
1 -
2 1
*3 2 0、
:3100
+2(2100
-1) 2 _2
100
_3100 3100-1 '
8. -1 0 0
；9. 2(2100 +3100) -4 4—2100 — 2(3100) 2(3100 -1)
-1
-1 1」
、2(3100 -1)
2(1-3100) 2(3100) -1』
1丿
0 1 3 0
0 2
>
0 1 -2 1
1 -3" 1 1 2
2
丿
第三章向量
、单项选择题
1. 〉1,〉2,〉3 , ：1, ：2都是四维列向量，且四阶行列式
w 口2 口3 优卜口」％B2a3a2 = n ,则行列式
耳«2 «3优+駡| =()
(a)m n (b)m _ n (c) _ m n (d)
_ m _ n
2. 设A为n阶方阵，且A =0,则()。

(a) A中两行(列)对应元素成比例
(b) A中任意一行为其它行的线性组合
(c) A中至少有一行元素全为零
(d) A中必有一行为其它行的线性组合
3. 设A为n阶方阵，r(A)=r：：：n，则在A的n个行向量中( )
(a) 必有r个向量性关
(b) 任意r个行向量线性无关
(c) 任意r个行向量都构成极大线性无关组
(d) 任意一个行向量都能被其它r个行向量线性表示
4. n阶方阵A可逆的充分必要条件是( )
(a)r( A) = r :: n
(b) A的列秩为n
18
(c)A的每一个行向量都是非零向量
(d)A的伴随矩阵存在
5. n维向量组:-1^-2,……，亠线性无关的充分条件是( )
(a) ：1^ 2,.......... ,〉s都不是零向量
(b) ：1^ 2,……，〉s中任一向量均不能由其它向量线性表示
(C)：1, ： 2 ,,〉s中任意两个向量都不成比例
(d) ：1/ 2,……「s中有一个部分组线性无关
6. n维向量组：-i/-2,……，〉s(s_2)线性相关的充要条件是()
(a) ：1, ：2,,〉s中至少有一个零向量
(b) 〉i, >2,............ 」s中至少有两个向量成比例
(C)：1,：2,s中任意两个向量不成比例
(d)〉1,〉2,……/ s中至少有一向量可由其它向量线性表示
7. n维向量组：1/-2,……，:s(3乞s乞n)线性无关的充要条件是()
(a) 存在一组不全为零的数k1 ,k2, ........ , k s使得如」很2〉2 * ............... k s〉s 0
(b) ：1,：2,……」s中任意两个向量都线性无关
(C)〉1,〉2,……」s中存在一个向量，它不能被其余向量线性表示
(dr 1/ 2,……，：• s中任一部分组线性无关
8. 设向量组:1<2, .......................... <■s的秩为r ,则( )
19
(a) 、，〉？,，〉s中至少有一个由r个向量组成的部分组线性无关
(b) r,〉2,..... s中存在由r • 1个向量组成的部分组线性无关
(c) 〉i,〉2,.,〉s中由r个向量组成的部分组都线性无关
(d) 2,..... ,〉s中个数小于r的任意部分组都线性无关
9. 设：-1^-2,..... ,〉s均为n维向量,那么下列结论正确的是()
(a) 若k r i k^ ..... k s〉s =0,则〉i「2,.................... 「s线性相关
(b) 若对于任意一组不全为零的数k i,k2,……,k s,都有
k^ i k^ ..... k s〉s =0,则?i/'2, ................ s线性无关
(c) 若：'i/'2,................. ,〉s线性相关,则对任意不全为零的数k i,k2,……,k s,都有
ki：i k2：2 ............... k s：s =0
(d) 若^i 0〉2 •……0〉s =0,则：'i/'2,……/ s线性无关
10. 已知向量组〉i,〉2,〉3,〉4线性无关，则向量组( )
(a) 〉i *2」2 *3,〉3 *4, >4 J 线性无关
(b) 〉i - >2,〉2 -〉3,〉3 - >4,〉4 - 儿线性无关
(c) ：i ：2, ：2 〉3「3 *4」4 -〉i 线性无关
(d) 〉i匕」2 *3」3 -〉4「4 -〉i线性无关
11. 若向量［可被向量组〉i「2,……」s线性表示，则( )
(a)存在一组不全为零的数k i,k2,……,k s使得2十宀• k2〉2 ……k^ s
i8
(c) 存在一组数k i, k?,............ ,k s使得：二k「i ・k2〉2 • ................. k s「s
(d) 对］的表达式唯一
12. 下列说法正确的是( )
(a) 若有不全为零的数k i,k?,......... , k s，使得k^ i k^ ...... k^ ^0，则
：'l/'2,……「s线性无关
(b) 若有不全为零的数k i, k2,........ , k s，使得k^ i k^ ...... k^ ^-=0，则
■■l/'2,..... ,〉s线性无关
(c) 若宀「2,……「s线性相关，则其中每个向量均可由其余向量线性表示
(d) 任何n 1个n维向量必线性相关
13. 设［是向量组：r =(1, 0, 0)T，:2=(0, 1, 0)T的线性组合，则1 =( )
(a)(0, 3,0)T(b)(2,
0,
1)T(c)(0, 0,1)T(d)(0,2, 1)T
14.设有向量组：1 二1, -1,2,4T，：：J2 ~0, 3,1, 2T，
：3 二 3 0,7, 14 T，: 4 一1,-2, 2, 0T，：'5 二2,1,5, 10 T，则该向量组的极大线性无关组为()
(a)：1, ：2,：3(b)
：1, ：'2, ： 4
(C)：1, ：2,：'5(d)
：1,
：'2, ：'4,：5
15.设〉二⑻,a2, a3)T，:(D,b2, b3)T，-* 1~ (a1 ,a2)T，
-1 = (6 ,匕2 )丁，下列正确的是( )
但)若:•「线性相关，则＞1, ■ 1也线性相关
(b)若：•「线性无关，贝V 宀，S也线性无关;
(b)存在一组全为零的数Ok?,,k s 使得-- k i ：• i • k? 2 ' ks：s
21
(c) 若\,打线性相关，贝V :「也线性相关；
(d) 以上都不对
二、填空题
1. 若>1=(1, 1, 1)T, : 2=(1, 2, 3)T, : 3=(1, 3, t)T线性相关，则t=—
2. n维零向量一定线性_______ 关。

3. 向量：•线性无关的充要条件是_____ o
4. 若〉1,〉2,〉3线性相关，则〉1,〉2, . / s (S 3)线性___________ 关。

5. n维单位向量组一定线性_______ o
6. 设向量组冷，〉2,. 」s的秩为r,则\,〉2,……，〉s中任意r个__________ 的向
量都是它的极大线性无关组。

7. 设向量：1 =(1, 0, 1)T与〉2 =(1, 1, a)T正交，则a= _________ o
8. 正交向量组一定线性_______ o
9. 若向量组冷，〉2,. ,〉s与'1, '2,……,\等价，则〉1,〉2,....................... 「s的秩与
打，',……J的秩_________
10. 若向量组〉1「2,.............. r s可由向量组：1, ：2,……,：t线性表示，则
r(〉1」2,……,亠) _______ r( -1, -2,……,-t) 0
11. 向量组M = a1, 1, 0, 0T，:2 = a2, 1, 1, 0T，:3 二a3, 1, 1, 1 T的
线性关系是_______ o
12. 设n 阶方阵A -「，，〉n ,〉1「2 *3,则A =_______________ .
1
13. 设。

1 =(0, y,-〒)T，«2=(x, 0, 0)T，若。

和卩是标准正交向量，则x
<2
22
23
和y 的值 _______ .
14. ______________________________ 两向量线性相关的充要条件是
三、计算题
a,b 为何值时，［不能表示为〉1」2「3,〉4的线性组合?
a,b 为何值时，：能唯一地表示为'「匕，：/,："的线性组合?
3. 求向量组：1=(1,
-1, 0,
4)T ，: 2=(2, 1, 5, 6)T ，: 3=(1, 2,
5, 2)T ，
>4=
(1, -1, -2, 0)T ，: 5=(3, 0, 7, 14)T 的一个极大线性无关组，
并将其余向量用该极大无关组线性表示。

4.设 6=(1,
1 1)T ，叫=(1,
2 2)T ，«3=(1
3『，t
为何值时 口 1«2«3 线性相
关，t 为何值时m3线性无关？
5.将向量组 >1=(1, 2, 0)T
，:- 2 =(-1, 0, 2)T
，:- 3=(0, 1, 2)T 标准正交
化。

四、证明题
.设=(W ・,1,
1)T ，: 2=(1,
.
2 T
—(0, ■,)， 问
(1)•为何值时,
［能由>1,〉2
(2)-为何值时,
:能由：「，>2 (3)-为何值时,
1
不能由：1, 2.设：1 =(1, 0, 2,
3)T ，:2=(1,
1 ' , 1)T ， -■ 3 = (1, h 1 ' )丁，
：3线性表示，但表达式不唯一?
1, 3, 5)T ，: 3=(1， 1，a 2, 1)T
，
2, 4, a 8广，1 =(1, 1, b 3, 5)T 问:
(1) 1厂2厂3,
2，
1 :4
=(1,
:'3
唯一地线性表示?
>2,〉3线性表示?
1.设：1 二〉1 *2, ：2 = 3〉2 - >1, ：3 = 2〉1 -〉2，试证：1, ：2, ：3 线性相关。

2. 设〉1,〉2, . ,〉n线性无关，证明>1心2,〉2匕3,.... ,〉n ：：/：1在门为奇
数时
线性无关；在n为偶数时线性相关。

3. 设〉1,：2……，〉s「线性相关，而九〉2,……，〉s线性无关，证明1能由
>1, >2,s线性表示且表示式唯一。

4. 设〉1,〉2,〉3线性相关，〉2,〉3,〉4线性无关，求证〉4不能由〉1,〉2,〉3线性表示。

5. 证明：向量组：1^ 2,……，〉s(S_2)线性相关的充要条件是其中至少有一个向
量是其余向量的线性组合。

6. 设向量组〉1,〉2,……「S中〉1 =0，并且每一个r都不能由前i-1个向量线性表示(i
=2,3,…,s)，求证：「，:七,…，：,线性无关。

7. 证明：如果向量组中有一个部分组线性相关，则整个向量组线性相关。

8. 设:O >1^' 2,…，〉s是线性无关向量组，证明向量组
>0, >0 J,〉0 *2，…,>0 *s也线性无关。

24
0 -18」
25
但表示式不唯一；
⑶当 k = -3时，方程组的增广阵
'-2 1 1 0 '
卩
-2
A =
1-21-3
T
0 -3
< 1 1 -2 9；
<0 0
1 -3
3 -12，r(A)^rfA)，方程组无解,
第三章向量参考答案
-、 单项选择
1. b
2.d
3.a
4.b
5.b
6.d
7.d
8.a
9.b 1O.c 11.c 12.d 13.a 14. b 15. a 二、 填空题
1. 5
2.相关
3. : -0
4.相关
5.无关
6.线性无关
7. -1
1
8.
无关 9.相等 10. < 11线性无关 12. 0 13. x =
「1,y 二二—— V 2
14.对应分量成比例 三、 解答题
1.解：设 一：=Xv 1 x^ 2 x^ 3
(^ /■■)x 1 x 2 x 3 = 0
则对应方程组为 x 1 (V ■ )x 2 x 3 = ■
2 x 1
x 2 (1 r Jx 3 :
1 + 九 1 1 其系数行列式|A =
1
H 1 =人2仏十3) 1
1
1 + 入
(1)当九鼻0,九H -3时，A H 0 ,方程组有唯一解，所以P 可由G 102。

3唯 地线性表示；
q 1
1
0、
广1 1 1 0、
(2)当丸=0时，方程组的增广阵 A =
1110 T
0 0 0 0 ，
J 1 1 0』
0 0 0j
r(A)二r(A) =1 ：： 3，方程组有无穷多解，所以一：可由〉1,〉2,〉3线性表示,
3,
3 3
6 6
1
，
26
所以P 不能由a 10203线性表示。

2.解:以 _：/ , _：：2, ：3〉4, '■为列构造矩阵
卩
1 1
1 1 \ 卩 1
1 1 1
0 1 1
2 1 0 1
1
2
1
a +1
T 0 0 1
0 2 3 a +2 4 b +3
4
v 3 5 1 a +8 5丿
0 0 0
1 - a
2 b
4
J
（1）当a - _1且b = 0时，：不能表示为：2「3,〉4的线性组合;
1 1 1
4.解： %,°2,口3 = 1 2 3
= t —5
1 3 t
当t=5时〉1,〉2」3线性相关，当t=5时:，1「2「3线性无关。

5.解：先正交化:
令「「1 = 1, 2, 0T
再单位化:
『1 2 1 1 3 '
1 0 -1 0 2
、
-1 1 2 -1 0
0 1 1 0 1
3.解：（01, C （2, «3, 。

4, 。

5）=
T
0 5 5 -2
7
0 0 0 1 -1
<4
6 2 0 14丿 1°
0 0 0 °」
(2) 当a -二1, b 任意
时,
1
能唯一地表示为〉1」2,〉3,〉4的线性组合
〉1,〉2,〉4为一个极大无关组，且：^ -
' ： 2'0'4 ,
:-5 = 2〉1 心2 - ’ 4
=ot
IP '：
-3,
2
5
27
Y 严电=1 A o L —电丄Z J ____________________________ L 〕T
1
1
.b 、5‘
，2
'2 .
30，
30，
.30
L .A JA 一丄丄｝
3
3
..6，
,.6，
.6
1, 2, 3
为标准正交向量组。

四、证明题
1•证：T 3「：1 一：2)-4(2 - - -3^0
——5^
3.
4-3 =0
--1, -2, -3线性相关
2.证：设 k 1(： 1 ： 2)k 2(： 2
： 3)… k n (： n ： 1)=0
则(k 1 k nT'1 - (k 1 - k 2)： 2 (k n 4
- k n)： n =0
•厲
1,^2,……,
«n 线性无关
飞 + kn = 0
• ••
匕 +k2 =0
K 4 * k n = 0
1
0 0 … 0 1
1 1 0 … 0 0
其系数行列式 0
1 1 …
0 0 = 1+(_1)n4t =丿
2, n 为奇数
Q n 为偶数
0 0 … 1 0
0 0 0 …
1 1
• 当 彳n 为奇数
时, k 1, k 2,
,k n 只能为零，口 102, …«n 线性无关; 当n 为偶数时，k 1,k 2,……,k n 可以不全为零，〉1「2,……「n 线性相关。

3•证：T〉1,〉2, .. 二s,:线性相关
•••存在不全为零的数k i,k2,……，k s,k使得
k r ：r k2：2亠亠k s：s k- = 0
,k s不全零) 若k = 0，则k r r- k2J2亠亠k s-：i s = 0 ,
( k r,k2,
与〉1,〉2 ,......... s线性无关矛盾
所以k = 0
于是一一匕
:能由冷，〉2,,〉s线性表示。

设？• k2〉2 亠• •亠k s> s①
飞=1“1 • 12〉2 亠•一l s〉s ②
则①-②得(k r -l1b1 (k2 -l2^ ..... • (k s - l s)> s口
T ：-i/-2,……Is线性无关
••• k i -l i =0,(i =1,2, ,s)
二« =l「(i =1,2，…，s) 即表示法唯一
4•证：假设：4能由m3线性表示
T ：2」3, >4线性无关，二〉2,〉3线性无关
T〉1」2」3线性相关，二>1可由：'2<3线性表示，
二>4能由〉2」3线性表示，从而〉2,〉3「4线性相关, 矛盾
28
29
•'•I 4
不能由〉1,〉2,〉3线性表示。

5.证：必要性
设向量组：'1/'2,……s 线性相关
则存在不全为零的数k i ,k 2, .................... , k s ,使得i • k 2> 2亠••亠k s> s = 0
即至少有一个向量是其余向量的线性组合 充分性
设向量组〉1「2, .. ,〉s 中至少有一个向量是其余向量的线性组合
不妨设 鳥s :• k 2壽2亠 亠k s f 」
所以〉1,〉2,……，〉s 线性相关。

6.证：用数学归纳法
当s=1时，>1=0，线性无关，
当s=2时，••• >2不能由：1线性表示，•：」「2线性无关， 设s=i-1时，:1」2,……,线性无关
则s=i 时，假设〉1」2,……「i 线性相关，7〉1「2,小」2线性无关，:i 可 由〉1,〉2,……/'i4线性表示，矛盾，所以〉1「2,……r'i 线性无关。

得证 7•证：若向量组〉1「2,……」s 中有一部分组线性相关，不妨设〉1,〉2,……<■ r
( r<s ) 线性相关，则存在不全为零的数k 1,k 2,……,k r ,使得
o\ k 2： 2 .............. k r ： r =0
不妨设k s = 0，贝U -：i s
k i k s
:i
k
2
k s
k s
于是k j ：4 k2 ：2 亠亠k r：r 0：r4 0： S = 0
因为k i, k2,.............. ,k r，0,—, 0不全为零
所以〉1「2,……，:'线性相关。

8.证：设k0_% ■ k4（二0亠-：“）• k2（二0亠’：：2）亠•亠k S（-：沖亠’：：s） = 0
则（k0 k4 k^ 亠k s）-：>0- k4_讪-k2> 2亠亠k s-：〉s = 0
因〉0,二1,二2,…，-讥线性无关，
k0+ 匕+ k2+ …+ k s = 0
k4 = 0
所以* k? = 0 解得k0 = & = k2二…=k s = 0
[ k s = 0
所以向量组：0, >0 • ：1, ：0心2,…，〉0比s线性无关。

30
2
2
31
(A)
(B)
kr 1 k 2(： 1 -： 2)
第四章 线性方程组
一、单项选择题
1 .设n 元齐次线性方程组AX =0的系数矩阵的秩为r ，则AX =0有非零解的充
分必要条件是(
)
(A) r = n (B) r :: n (C) r - n (D) r n
2 .设A 是m n 矩阵，则线性方程组AX =b 有无穷解的充要条件是()
(A)
r(A) :：: m
(B) r(A) :：: n
(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4
x-i x 2 x 3 - -1 2x ? — X 3 =九一2
x
3
=丸 一4
(一 1)% —(一 3))( — 1)) (A) 1
(B) 2
(C) 3
(D) 4
x 1 2x 2 -x 3 一 ’ -1 6 .方程组
3x 2 -x 3工怎「2 有无穷解的充分条件是■=()
X 2 -X 3 = ( ■ -3)( ■ -4)
( ■ -2)
(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4
7 .已知［「2是非齐次线性方程组 AX =b 的两个不同的解，〉1「2是导出组
AX =0的基本解系，k 1,k 2为任意常数，则AX 二b 的通解是()
(C) r(Ab) =r(A) ：：： m
设A 是m n 矩阵，非齐次线性方程组 :) (A) AX =b 必有无穷多解 (C) AX =0必有非零解
x-i 2x 2 _X 3 二 4
方程组 X 2 2x 3 = 2
.(■ -2)X 3 —( ’ -3)( ' -4)(，-1)
(D) r(Ab) =r(A) ：：： n
-b 的导出组为AX =0，若m ：：：
AX (B) (D) AX AX 二b 必有唯一解
=0必有唯一解
无解的充分条件是■=()
方程组
有唯一解的充分条件是
X 1 k 2
(r ： 2)
32
8 .设A 为m n 矩阵，则下列结论正确的是(
(A) 若AX =0仅有零解，则AX =b 有唯一解 (B) 若AX =0有非零解，则AX 二b 有无穷多解 (C) 若AX 二b 有无穷多解，则AX =0仅有零解 (D) 若AX =b 有无穷多解，则AX =0有非零解 9 .设A 为m n 矩阵，齐次线性方程组
AX =0仅有零解的充要条件为() (A) A 的列向量线性无关 (B) A 的列向量线性相关 (C) A 的行向量线性无关
(D) A 的行向量线性相关
X 1 X 2 X 3 = 1
10.线性方程组
x 1 2x 2 3x^ 0
()
4x 1 7x 2 10x 3 = 1
(A) 无解
(B)有唯一解
(C) 有无穷多解
(D)其导出组只
有零解
、填空题
1. 设A 为100阶矩阵，且对任意100维的非零列向量X ，均有AX=0，则A 的 秩为 ___ .
kx 1 2x 2 X 3 = 0
2. 线性方程组* 2洛十収2=0仅有零解的充分必要条件是 ________ .
x 1 - x 2 + x 3 = 0
3. 设X 1,X 2」l(X s 和^X 1 C 2X 2 •川C s X s 均为非齐次线性方程组
AX 二b 的解
(C|,C 2」l(C s 为常数)，则 C 1 • C 2 7( • C s 二 ____ .
4. 若线性方程组 AX 二b 的导出组与BX =0(r(B)二r)有相同的基础解系，贝U
r(A)=—.
5. 若线性方程组A mn X 二b 的系数矩阵的秩为m ，则其增广矩阵的秩为 ________
(C)
(D)
j
k 2(「
2
6. 设10 15矩阵的秩为8，则AX =0的解向量组的秩为_______
33
34
7. 如果n 阶方阵A 的各行元素之和均为0,且rA)扫1，则线性方程组AX = 0
的通解为 ____ .
若n 元齐次线性方程组AX=0有n 个线性无关的解向量，则 A 二
n 阶方阵A ，对于AX =0，若每个n 维向量都是解，则r(A)
12. 设5 4矩阵A 的秩为3，:-1,：-2^'3是非齐次线性方程组 AX 二b 的三个不同的
解向量，若：-2 2 ^(2,0,0,0) T ,3〉1 *2 =(2,4,6,8)T ，则 AX 二b 的通解 为 . 13. 设A 为m n 矩阵，r(A) = r ：：： min( m,n)，则AX =0有 __ 个解，有 ____ 个线
性无关的解• 三、计算题
1.已知吓2。

3是齐次线性方程组AX =0的一个基础解系，问 W +G 2。

扌G ,普+3是否是该方程组的一个基础解系？为什么?
性方程组AX =0的解，试问B 的四个行向量能否构成该方程组的基础解系？为 什么？
9. 广1 2 1 、
£
2 3 a +2 ,b = 3 ,x = X 2 订 a 一
2
」
g
，若齐次线性方程组AX=0只有零解,
(1 2 1 、
2 3 a+2 ,b = 3 ,x = X 2 J a -2」
©
g
，若线性方程组AX = b 无解，则
11. -
5 4 3 3 2.设 A =
0 1 2 2 3 2 1 1
1 1 1 1
-2010 -2 3
-2 0
，已知B 的行向量都是线
设A = 10.设 A -
-11 6
-3
1
-6 0 -2 1
35
1 X 亠 X 0
3.
设四元齐次线性方程组为 (I :彳1 2
J X ? - X 4 = 0
1) 求(I 的一个基础解系
2) 如果k i (0,1,1,0)T 人(-122,1)丁是某齐次线性方程组(II )的通解，问方程组 (I 和(II )是否有非零的公共解？若有，求出其全部非零公共解；若无，说明 理由。

4■问a,b 为何值时，下列方程组无解？有唯一解？有无穷解？在有解时求出全部 解(用基础解系表示全部解)
X i ax 2 X 3 = a 1) ax i X 2 X 3 = 1
2 X 1 X 2
ax 3
二 a
5.
求一个非齐次线性方程组，使它的全部解为
，Z
X 1
X 2
込3
6.
设＜ 2 J ，求恥2一个矩阵B ，使得A"。

，且 r(B )= 2
x 1 x 2 bx 3 二 4
2
-Xi bx 2 X 3 二 b X 1 _ X2 2X 3 二 _4
2)
3
2
1
36
、单项选择题
1. B
2.D
3.C
4.B
5.A
6.C
7.B
8.D
9.A 10.C
、填空题 1. 100 2. k = -2 且 k = 3 3. 1 4. r
(丄,0,0,0) T k(0,2,3,4) T
,k 任意实数 13.无穷，n-r 2
三、计算题
参考答案
5. m
6. 7
7. 0
k （1,1,|比1）T （ k 为任意实数） 8. 0
9. a = -1或 3
10.
-1
11.
12.
1. 是
2. 不能
3. 1)W =(0,0,1,0)T ,V 2 =(-1,1,0,1)T
2）心-1,1,1,1"其中k 为任意非零常数）
"当a-2时，无解；当a —2且E 时有唯一解：（一2*2*2* 当a=1时有无穷多
解：G （-1,1,0）T ，C 2（-1,0,1）T - （1,0,0）T （其中C 1,C 2为任意常数
4. 2） 当b —1时，无解；当b —1且b = 4时有唯一解 （世®,b 匹上空）；当b = 4时有无穷多解
b 1 b 1 b 1
c （-3,-1,1）T （0,4,0）T （其中 c 为任意常数）
5. 9x i 5x 2 -3x 3 二-5
6.
『1
0 11/2 -5 2
0 1 1/2
1/2
」
第五章特征值与特征向量
一、单项选择题
勺0 1、
1. 设A = 0 1 0 ,则A的特征值是()。

J 0 0」
(a) -1,1,1 (b) 0,1,1 (c) -1,1,2 (d) 1,1,2
广 1 1 0A
2. 设A= 1 0 1 ,则A的特征值是()。

<0 1 b
(a) 0,1,1 (b) 1,1,2 (c) -1,1,2 (d) -1,1,1
3. 设A为n阶方阵，A2=1 ,则()。

(a) | A | = 1 (b) A的特征根都是1 (c) r(A)= n (d) A一定是对称阵
4. 若x1,x2分别是方阵A的两个不同的特征值对应的特征向量，则k1x1 k2x2也是A的特征向量的充分条件是()。

(a) k^0且k2=0 (b) &=0且k2=0 (c) k1k^0 (d) K = 0 且k2=0
5. 若n阶方阵代B的特征值相同，则()。

(a) A 二B (b) |A|=|B| (c) A与B 相似(d) A与B合同
6. 设A为n阶可逆矩阵，■是A的特征值，则A*的特征根之一是()。

(a) 〜|A|n(b) - 4|A| (c) - |A| (d) - |A|n
7. 设2是非奇异阵A的一个特征值，则J A2)'至少有一个特征值等于()。

3
(a) 4/3 (b) 3/4 (c) 1/2 (d) 1/4
37
8. 设n阶方阵A的每一行元素之和均为a(a = 0),则2A= - E有一特征值为38
()
(a)a (b)2a(c)2a+1(d)-+1
a
9.矩阵A的属于不同特征值的特征向量( )0
(a)线性相关(b)线性无关
(c)两两相交(d)其和仍是特征向量
10. |A^B|是n阶矩阵A与B相似的()D
(a)充要条件(b)充分而非必要条件
(c)必要而非充分条件(d)既不充分也不必要条件
11. n阶方阵A有n个不同的特征根是A与对角阵相似的()。

(a)充要条件(b)充分而非必要条件(c)必要而非充分条件(d)既不充分也不必要条件
广 1 0(
1 *: 「0 0 0、
12.设矩阵A = a 1 P与B =0 1 0相似,则口严的值分别为()。

J E 1丿卫0 2丿
(a) 0,0 (b) 0,1 (c) 1,0 (d) 1,1
13.设代B为相似的n阶方阵,则()0
(a)存在非奇异阵P,使P^AP = B(b) 存在对角阵D,使A与B都相似于
(c)存在非奇异阵P,使P T AP = B(d) A与B有相同的特征向量
14.若n阶方阵A与某对角阵相似,则()
(a) r(A)= n(b)A有n个不同的特征值
(c) A有n个线性无关的特征向量(d)A必为对称阵
15.若A相似于B,则()。

(a) h i — A = h l_ B(b)| 丸1 —A|=|^l—B|
(c) A及B与同一对角阵相似(d)A和B有相同的伴随矩阵
39
40
10 0 2 丿
17.
下列说法不妥的是
()
(a) 因为特征向量是非零向量，所以它所对应的特征向量非零 (b) 属于一个特征值的向量也许只有一个 (c) 一个特征向量只能属于一个特征值 (d) 特征值为零的矩阵未必是零矩阵 18. 若AL B ，则下列结论错误的是
(c) 存在可逆矩阵P ，使P 」AP = B
(d)
二、填空题
1. n 阶零矩阵的全部特征值为 ________ 。

2. 设A 为n 阶方阵，且A 2 = I ，则A 的全部特征值为 _________ 。

3. 设A 为n 阶方阵，且A m =0(m 是自然数)，则A 的特征值为 __________ 。

4. 若A 2 = A ，则A 的全部特征值为 _______ 。

5. 若方阵A 与4I 相似，则A= _________ 。

6. 若n 阶矩阵A 有n 个相应于特征值九的线性无关的特征向量，则A = <
7. 设三阶矩阵A 的特征值分别为-1,0,2,则行列式A 2 + A + l = _____________ 。

16.设 A = 0
0 0
1 0 ,则与A 相似的矩阵是() r i (a)
0 I 。

(b) 0 2
丿
‘10 0、
0 2 0 1° 0
h
a (c)
0 b 0 1、
2 0
(d)
b
々00、
0 1 1
卫0 2」
(a) ■ E - A 二■ E - B
(b)
A=|B trA =trB
8. 设二阶矩阵A满足A2 -3A，2E =0，则A的特征值为_____________ 。

41
42
7. 求正交阵P ， 使P’AP 为对角阵，其中A 二
a
<b 9. 特征值全为1的正交阵必是 _________ 阵。

10. 若四阶矩阵A 与B 相似，A 的特征值为-,-,!,-，贝U B 」—E =
2 3 4 5
三、计算题
1. 若n 阶方阵A 的每一行元素之和都等于a ,试求A 的一个特征值及该特征值 对应的一个特征向量.
2. 求非奇异矩阵P,使P 」AP 为对角阵.
I-2 0 一1 丿
(0,0,1)T ,( -1,1,0)T ,( -2,1,1)T ,求矩阵 A.
于〉的特征值。

*0 0 1 x
设A= x 1 y 有三个线性无关的特征向量，求 x, y 满足的条件
J
0 0」
8. 设三阶矩阵A 的特征值为-1,2,5，矩阵B=3A-A 2，求 (1) B 的特征值；
(2) B 可否对角化，若可对角化求出与 B 相似的对角阵；
r
22 31
2
X <y x
I 3 4
B
A
若
广2 -1 2、
5 '
设A = 5 a
3 ，有一个特征向量« = 1
<-1 b
一2」
L 1」 4. 求a,b 的值，并求出对应
3 -P
『1、
设A = t
-2 2 ，有一个特征向量a = -2，求 s,t 的值
<3 s -b
<3>
5. 一
一
一
1)
2)
3. 已知三阶方阵A 的三个特征根为1,1,2,
其相应的特征向量依次为
6.
' 1 1 -2
(3)求 B , A-3E .
(1 -1 1 'f2
9.已知矩阵A J 2 4
与 B = | 2相似,
-2
(-3 -35」I y
丿
(1)求y ；
(2)求一个满足P ^AP = B的可逆阵P。

'5-3 2、
10. 设A = 6 -4 4 ,求A100.
/ M 5」
四、证明题
1. 设A是非奇异阵，，是A的任一特征根，求证1是A」的一个特征根，并且A
丸
关于■的特征向量也是A，关于—的特征向量.
&
2. 设A2二E,求证A的特征根只能是一1.
3. 设n阶方阵A与B中有一个是非奇异的，求证矩阵AB相似于BA.
4. 证明：相似矩阵具有相同的特征值.
5. 设n阶矩阵A = E，如果r(A • E) • r(A-E)二n，证明：-1是A的特征值。

6. 设AL B，证明A^| B k。

7. 设:是n阶矩阵A分别属于'1, -2的特征向量，且-2，证明＞1*2不是A的特征向量。

43
1
3
44
第五章 参考答案 一、单项选择题 1.a 2.c 3.c 4.d 14.c 15.b 16.b 5.b 17.a 6.b 7.b 8.d 9.b 18.a 1O.c
11.b 12.a 13.a
二、 填空题 1.0 2.1,-1 11.-17,-12 三、 计算题 3.0 4.0,1 5.4I 6. I 7.7 8.1,2 9.单位 10.24
2.(1)
-1 1 1 1」 1 -2
3. ■0 1
-2 6.
7. P 二 ,P‘AP 二
8.(1)-4,2,-10 (3)8
-10
9. ( 1) y =6, (2)特征值
2,2,6; p 二
-2
广JOO ,〜J00 八 c JOO c1OO
3 +2(2 -1) 2-2-3
10. 2(210。

+310。

)- 4 4- 2100— 2 3100
、2(3100 -1) 2(1- 300 ) 四.证明题(略)
3100一
1 ]
2(3100— 1)
2 300- 1
45
第六章二次型
一、单项选择题
1 . n阶对称矩阵A正定的充分必要条件是( )。

(a) A 0 (b)存在阶阵C,使A=C T C
(c)负惯性指数为零(d)各阶顺序主子式为正
2. 设A为n阶方阵，则下列结论正确的是( )。

(a) A必与一对角阵合同
(b) 若A的所有顺序主子式为正，则A正定
(c) 若A与正定阵B合同，贝U A正定
(d) 若A与一对角阵相似，则A必与一对角阵合同
3 .设A为正定矩阵，则下列结论不正确的是( )。

(a)A 可逆(b)A」正定
任给X =(X1,X2,|l|,X n)T =0,均有X T AX 0
(C) A的所有兀系为正(d )
4. 方阵A正定的充要条件是( )°
(a)A的各阶顺序主子式为正；(b) A是正定阵；
(c)A的所有特征值均大于零；(d) A A是正定阵。

5. 下列f (x, y, z)为二次型的是( )°
(a) ax2 by2 cz22
(b) ax by - cz
(c) axy byz cxz dxyz 2 2
(d) ax bxy czx
6. 设A、B为n阶方阵，X =(X i,X2,|l|,X n)T且X T AX=X T BX则A=B 的充要条件是( )。

(a) r(A)寸(B)(b) A T = A
(c) B T = B(d) A T= A，B T= B，
7. 正疋二次型f(X1, X2,X3,X4)的矩阵为A，则()必成立.
46
(a)A的所有顺序主子式为非负数(b) A的所有特征值为非负数
47
48
（c ） A 的所有顺序主子式大于零
（d ） A 的所有特征值互不相同
8 .设A , B 为n 阶矩阵，若（ ），则A 与B 合同.
（a ）.存在n 阶可逆矩阵P,Q 且PAQ =B
11.
已知A 是一个三阶实对称且正定的矩阵，那么 A 的特征值可能是（
）
(a)3, i, - 1;
(b)2, - 1,3;
(c)2, i, 4;
(d)1,3, 4
二、填空题
1. 二次型 f (X 1,X 2, X 3,) = X 1X 2 2X 2X 3 xf 的秩为 ________________ c 2 .二次型 f (X 1,X 2^ X 12X 2 6X 1X 2 3xf 的矩阵为 _________________
广1 0 4'
3 . 设A= 2 2 0，则二次型f=X T AX 的矩阵为 ______________________ 。

*3
0 -2 '
1
2 3" 0
4
6
(d)
4 5 6
厂2
6 5
」
Q 8 9
」(c) (b) 存在n 阶可逆矩阵P ，且P 」AP 二B (c) 存在n 阶正交矩阵Q ，且Q ‘AQ 二B (d) 9.
存在n 阶方阵C,T ，且CAT = B
列矩阵中，不是 二次型矩阵的为（
0 0 0 '
■1 0 0"
0 0 0
(b) 0 -1 0
0 -b
2
丿
10 •下列矩阵中是正定矩阵的为（
(a)
Go o'
'1 1 1 X
■'3 4
L
(c)
0 2-3
(d)
1 2 0
辽6丿
\0 -3 5 /
0 0 2.丿
）
(a). )
(b)。