勒让德(legendre)多项式及其性质

勒让德（legendre ）多项式及其性质

一． 勒让德多项式

勒让德多项式是由勒让德方程的通解推导出来的，所以我们首先引入勒让德方程，以及勒让德方程的幂级数解，勒让德方程的表达式如下：

2'''(1)2(1)0x y xy n n y --++= 其中n 为非负实数 （1.1）

它的幂级数解如下：

12y y y =+ （1.2）

其中：

224

1200

(1)(2)(1)(3)[1]2!4!k

k k n n n n n n y a x a x x ∞

=+-++==-+⋅⋅⋅∑ （1.3）

21

35

22110

(1)(2)(1)(3)(2)(4)[]3!5!

k k k n n n n n n y a x

a x x x ∞

++=-+--++==-++⋅⋅⋅∑ （1.4）

由达朗贝尔判别法可知，当0n ≥不为整数时，这两个级数的收敛半径为1，在（1.3）式和（1.4）式中，0a 与1a 可以任意取值，它们起着任意常数的作用，显然，在区间（－1，1）内1y 和

2y 都是方程（1.1）的解，所以（1.2）是（1.1）的通解。

上面（1.3）和（1.4）幂级数当||1x <时级数收敛，此外级数是发散的。并且，我们发现，当

n 取非负整数时，1y 和2y 中有一个便退化为n 次多项式，它就是方程（1.1）在闭区间[-1,1]上的有

界解。此时，适当的选定这个多项式的最高次幂系数n a ，所得的多项式称为n 阶勒让德多项式或第

一类勒让德函数，记作()n P x ，下面我们来推导勒让德多项式()n

P x 的表达式。

① 当n 为正偶数时

1y 退化为n 次多项式。为求得()n P x 的表达式，

在1y 中我们通过n a 来表示其它各项的系数。为此，将系数递推关系式改写成下列形式：

2(2)(1)()(1)

k k k k a a k n k n +++=-++ （1.5）

在（1.5）式中取2k

n =-，得：

2(1)

2(21)

n n n n a a n --=-

- （1.6）

习惯上取n a 为 2

(2)

2(!)n n

n a n = （1.7）

于是有：

2(1)2(21)(22)!2(21)2(1)!(1)(2!)n n n n n n n a n n n n n n ----=-

----

(22)!

2(1)!(2)!n

n n n -=--- （1.8）

在（1.5）式中取4k

n =-，并利用2n a -之值得：

4

2(2)(3)4(23)

n n n n a a n ----=--

2

(2)(3)(22)!

(1)

4(23)2(1)!(2)!n n n n n n n ---=----

2

(24)!

(1)2(2!)(2)!(4)!n

n n n -=--- （1.9）

一般地，我们有

()

()222!

12!()!(2)!m

n m n n m a m n m n m --=--- （0,1,,2

n

m =⋅⋅⋅⋅⋅⋅） （1.10）

我们将这些系数带入（1.3）中，并把此时的1y 记作()n P x ，可得：

2

20

(22)!()(1)2!()!(2)!

n m

n m

n n m n m p x x m n m n m -=-=---∑ （1.11）

这就是当n 为正偶数时勒让德多项式。 ② 当n 为正奇数时

2y 退化为n 次多项式，我们把2y 记作()n P x ，同理可得：

1

2

20

(22)!

()(1)2!()!(2)!n m

n m n n m n m p x x m n m n m --=-=---∑ （1.12）

把（1.11）和（1.12）写成统一的形式，得

[]2

20

(22)!

()(1)2!()!(2)!n m

n m n n m n m p x x m n m n m -=-=---∑ （1.13）

其中[]2n 表示2

n

的整数部分

由上述讨论可知，当n 为非负整数时，1y 和2y 中有一个是n 阶勒让德多项式，而另一个是无穷级数，记作()n Q x ，称为第二类勒让德函数，此时方程（1.1）通解为：

12()()n n y c P x c Q x =+ （1.14）

特别当0,1,2,3,4,5n =时，由（1.11）和（1.12）式得：

0()1P x = 1

()P x x = 2

21()(31)2

P x x =- 331()(53)2P x x x =- 42

41()(35303)8

P x x x =-+ 5351()(637015)8P x x x x =-+

它们的图形如下：

二． 勒让德多项式的性质

首先介绍一下勒让德多项式的母函数： 试将函数

1

2

2

(,)(12)

x z xz z -∅=-+ （1.15）

展开成z 的幂级数

(,)n n n x z A z ∞

=∅=∑ （1.16）

可以证明(,)x z ∅级数展开式中n z 的系数恰好是勒让德多项式，最终得到

1

2

2

(,)(12)

()n n n x z xz z P x z ∞

-=∅=-+=∑ （1.17）

因此称(,)x z ∅为勒让德多项式的母函数。

1．()(1)()n

n n P x P x -=- （1.18）

将式（1.17）中的x 以x -代入，z 以z -代入，立即得到此结果。此式说明()n P x 的奇偶性由n 而定，当n 为偶数时，()n P x 为偶函数，当n 为奇数时，()n P x 为奇函数。

2．(1)1,(1)(1)n

n n

P P =-=- （1.19） 将1x =代入式（1.17），得到

1

(1)(1)n n n z P z ∞

-=-=∑

而

1

(1)n n z z ∞

-=-=∑

所以

(1)1n P =

由上式和（1.18）立即得到

(1)(1)(1)n n n P P -=-

3．勒让德多项式的递推公式：

11(1)()(21)()()0n n n n P x n xP x nP x +-+-++= （1.20）

'''11()()2()()n n n n P x P x xP x P x +-=-+ （1.21）