高等数学I(电子)512 12数列的极限

内,
因此该数列发散
.
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2. 收敛数列一定有界.
证: 设
取 1, 则 N , 当 n N 时, 有
xn a 1, 从而有
xn a a 1 a
取
M max x1 , x2 , , xN , 1 a
则有
xn M ( n 1, 2 , ) .
由此证明收敛数列必有界.
(n N)
几何解释 :
(
a xN 1
)
xN2 a
即 xn ( a, )
(n N)
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例如,
1,2 23
,3 4
, , n , n 1
xn
n n 1
1
(n )
收
敛
xn
n (1)n1 n
1
(n )
2 , 4 , 8 , , 2n , xn 2n (n ) 发
证: 利用二项式公式 , 有
xn (1 1n)n
1
n 1!
1 n
n(n1) 2!
1 n2
n(n1)(n2) 3!
1 n3
n(n1)(nn1) n!
1 nn
11
21!(1 1n)
31!(1
1 n
)
(1
2 n
)
n1!(1 1n) (1 n2) (1 nn1)
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xn
11
1. 收敛数列的极限唯一.
证: 用反证法. 假设
及
且 a b.
取
因
lim
n
xn
a,
故存在
N1
,
使当
n
>
N1
时,
从而
xn
ab 2
同理, 因
lim
n
xn
b,
故存在 N2 ,
使当 n > N2 时, 有
从而
xn
ab 2
矛盾取. 故Nb假2a设ma不xxn真Nba1!, 因Nbb222此aa,收则敛当数n列3a>a22的bNb极时x限nx, nx必n3满唯ba22a足一b 的. 不等式
An S
刘徽 目录 上页 下页 返回 结束
定义: 自变量取正整数的函数称为数列, 记作
或
称为通项(一般项) .
若数列
及常数 a 有下列关系 :
当 n > N 时, 总有
则称该数列
的极限为 a , 记作
lim
n
xn
a
或 xn a (n )
此时也称数列收敛 , 否则称数列发散 . a xn a
证: 设数列
是数列 的任一子数列 .
若
则 0, N ,当
时, 有
现取正整数 K , 使
于是当 k K 时, 有
nk N
xN
*********************
N
从而有
xnk a
, 由此证明
lim
k
x
n
k
a.
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说明:
由此性质可知 , 若数列有两个子数列收敛于不同的极
n
n2 2
lim n1
1
n2
1
lim n
n
1
n2
n2
1
2
n2
1
n
1
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2. 单调有界数列必有极限 ( 准则2 ) ( P52 )
lim
n
xn
a
(M
)
a
lim
n
xn
b
(m)
b
( 证明略 )
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例6. 设
证明数列
极限存在 . (P52～P54)
第二节 数列的极限
一、数列极限的定义 二 、收敛数列的性质 三 、极限存在准则
第一章
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一 、数列极限的定义
引例. 设有半径为 r 的圆 , 用其内接正 n 边形的面积
逼近圆面积 S .
如图所示 , 可知
n
r
当 n 无限增大时, 无限逼近 S (刘徽割圆术) ,
数学语言描述: 0, 正整数 N, 当 n > N 时, 总有
当
时,
lim
n
xn
a
当
时,
令 N max N1 , N2, 则当 n N 时, 有
由条件 (1) a yn xn zn a
即
xn a
,
故
lim
n
xn
a
.
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例5. 证明
证: 利用夹逼准则 . 由
n
n2
1
n2
1
2
n2
1
n
n2
n2
且
lim
n
说明: 此性质反过来不一定成立 . 例如,
数列 (1 )n1 虽有界但不收敛 .
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3. 收敛数列的保号性.
若
且
时, 有
( 0).
证: 对 a > 0 , 取
( 0),
推论: 若数列从某项起
( 0)
( 0). (用反证法证明)
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4. 收敛数列的任一子数列收敛于同一极限 .
例2. 已知
证明
证: xn 0
(n
1 1) 2
1 n 1
(0,1), 欲使
只要
1
n 1
,
即
n
1 1.
取
N
[ 1 1] ,
则当
n
N
时, 就有
xn 0
,
故
lim
n
xn
lim
n
(1)n (n 1)2
0
也可由
xn 0
1 (n1)2
说明: N 与 有关, 但不唯一. 取
N
1
1
不一定取最小的故N也. 可取
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例4. 证明数列
是发散的.
证: 用反证法.
假设数列 xn 收敛 , 则有唯一极限 a 存在 .
取
1 2
, 则存在 N ,
使当 n > N
时,有
a
1 2
xn
a
1 2
但因 xn交替取值 1 与－1 , 而此二数不可能同时落在
长度为
1
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的开区间 (
a
1 2
,
a
1 2
)
限 , 则原数列一定发散 .
例如，
发散 !
lim
k
x
2k
1
三、极限存在准则
夹逼准则; 单调有界准则; 柯西审敛准则 .
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1. 夹逼准则 (准则1) (P49)
(1) yn xn zn ( n 1, 2, )
(2)
lim
n
yn
lim
n
zn
a
证: 由条件 (2) , 0, N1, N2 ,
1 2!
(1
1n)
31! (1
1 n
)
(1
n2)
1 n!
(1
1 n
)
(1
2 n
)
(1
nn1)
xn1
11
1 2!
(1
n11)
31! (1
n11)(1
n21)
大
N
[
1
]
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例3. 设 q 1 , 证明等比数列
的极限为 0 .
证: xn 0
欲使
只要
即
亦即 n 1 ln .
ln q
因此
,
取
N
1
ln
ln q
, 则当 n > N
时,
就有
qn1 0
故
lim qn1 0
n
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二、收敛数列的性质
散
xn (1)n1 趋势不定
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例1. 已知
证明数列 的极限为1.
证:
xn 1
n (1)n 1 n
0 , 欲使
即
只要
n
1
因此 ,
取
N
[1 ],
则当
n
N
时, 就有
n (1)n 1
n
故
lim
n
xn
lim n
n
(1)n n
1
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