高等数学I(电子)512 12数列的极限
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《数列极限》课件
数列极限的求法和定理
夹逼定理
当数列中的部分项趋近于某值 时，可以用夹逼定理计算数列 极限。
单调有界性原理
针对单调有界数列极限计算， 有效避免无关项的干扰。
等比数列求和公式
等比数列常用求和公式是根据 数列的公比、项数和首项等参 数来计算其总和。
数Байду номын сангаас极限的应用
1
概率论
数列极限可以用于计算连续抛硬币等随机事件的概率。
2
微积分
通过数列极限的积分运算，在空间形体的计算上取得模型化精确结果。
3
金融学
通过数列极限的公式及定理，对于计息的时间长度和贷款利率有精确的计算方法。
数列极限和函数极限的关系
概念解释
数列极限和函数极限都是极 限概念，数列极限为数列中 每一项趋向于某个常数值， 函数极限为自变量无限接近 某一值时因变量所趋向的极 限值。
《数列极限》PPT课件
欢迎大家来学习本课程，我们将深入了解数列极限的概念及应用，同时带您 领略数学的神奇之处。
数列极限概述
1 数列
数列就是按照一定次序排 列的一列数。
2 收敛与发散
数列收敛是指数列的值无 限地靠近某个数，发散表 示数列的值趋于正无穷或 负无穷。
3 应用
数列极限有诸如杨辉三角、 黄金分割数等数学问题的 解决方法。
针对实际问题，通过数列极限相 应的公式和求值技巧得出定量结 果。
数列的定义及分类
等差数列
其数列中每一项与前一项之差相 等。
等比数列
其数列中每一项与前一项之比相 等。
斐波那契数列
其数列中每一项都等于前两项之 和。
数列极限的定义和性质
1 数列极限的定义
数列极限是 指随着数列项数的增加，数列中 的每一项趋近于某个确定的常数。
数列的极限ppt
恒有 f ( x) A .
记作 lim f ( x) A 或 x x0 0 ( x x0 )
注意:{x 0 x x0 }
f ( x0 0) A.
{ x 0 x x0 } { x x x0 0}
. Sept. 26 Mon
Review
1.数列极限性质：唯一性，有界性，夹逼性， 保号性；
定理 : lim f ( x) A x x0
f ( x0 0) f ( x0 0) A.
lim
n
xn
a,
或 xn a (n ).
如果数列没有极限,就说数列是发散的.
注意：1. 不等式 xn a 刻划了 xn 与 a 的无限接近;
2. N 与任意给定的正数 有关.
极限的 N 定义:
lim
n
xn
a
0, N 0,使 n N 时,恒有 xn a .
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x1 , x2 ,, xi ,xn ,
xn1 , xn2 ,, xnk ,
xn
1
(1)n 2
子列 1，1，
0，0，
0, 1, 0, 1,
定义3. 设有序列{ xn }，若 M 0，对一切n 都有： | xn | M 则称 {xn} 是有界序列。
例： 0,1,0,1,
为有界序列。
二. 数列极限的定义
有界，几个特殊数列的极限; 。
高等数学(第五版)同济大学主编 1-2节数列极限
第二节 数列的极限
§2.1数列的极限
我国古代数学家刘徽（公元3世纪）利用圆内接 正多边形来推算圆面积的方法——割圆术，就是极限 思想在几何学上的应用．
1
按照某一法则依次序排列的数，例如：
1 2 3 n , , ,, , ; 2 3 4 n 1
n xn n 1
2,4,8,,2 ,;
1 1 1 1 , , , , n , ; 2 4 8 2
| xn 0 |
得证 lim xn 0
n
11
例
1 证明： lim n 0. n 2
证 0,
1 1 1 1 2n 由 n 0 n n log 2 2 2
故取
N [log 2 ] 1
则 n > N 时,
1 0 n 2 1 由极限的定义, 得 lim n 0 . n 2
2 1 3 2 2 1 3 2 n 1 1
课堂练习P30。 1. 6
的极限存在，则极限值 定理 （唯一性）若数列 xn 1 唯一的。
的极限存在，则 xn 是有界的。 定理2 （有界性）若数列 xn
即M 0, n N , 有 xn M .
解
例5
1 2 n 求 lim ( 2 2 2 ). n n n n
n 时, 是无穷小之和． 先变形再求极限.
解
1 2 n 1 2 n lim( 2 2 2 ) lim n n n n n n2
1 n( n 1) 1 1 1 2 lim lim (1 ) . 2 n n 2 n n 2
n
设 lim xn a, lim yn b, 则
§2.1数列的极限
我国古代数学家刘徽（公元3世纪）利用圆内接 正多边形来推算圆面积的方法——割圆术，就是极限 思想在几何学上的应用．
1
按照某一法则依次序排列的数，例如：
1 2 3 n , , ,, , ; 2 3 4 n 1
n xn n 1
2,4,8,,2 ,;
1 1 1 1 , , , , n , ; 2 4 8 2
| xn 0 |
得证 lim xn 0
n
11
例
1 证明： lim n 0. n 2
证 0,
1 1 1 1 2n 由 n 0 n n log 2 2 2
故取
N [log 2 ] 1
则 n > N 时,
1 0 n 2 1 由极限的定义, 得 lim n 0 . n 2
2 1 3 2 2 1 3 2 n 1 1
课堂练习P30。 1. 6
的极限存在，则极限值 定理 （唯一性）若数列 xn 1 唯一的。
的极限存在，则 xn 是有界的。 定理2 （有界性）若数列 xn
即M 0, n N , 有 xn M .
解
例5
1 2 n 求 lim ( 2 2 2 ). n n n n
n 时, 是无穷小之和． 先变形再求极限.
解
1 2 n 1 2 n lim( 2 2 2 ) lim n n n n n n2
1 n( n 1) 1 1 1 2 lim lim (1 ) . 2 n n 2 n n 2
n
设 lim xn a, lim yn b, 则
高等数学12数列的极限
数列极限的保序性〔保号性〕
定理 设
3
〔保序性〕假
lni m xna,lni m ynb，且
a b，那 N N , nN ,有 xn yn .
么
证明：
lni m xna,lni m ynb，且 a b.
取 a b , 由极限定义知：
2
a b a b N 1 N , n N 1 ,|x n a |2 x n2
lim 1 1
y n n
b
证明略。
数列收敛的判别准那么
准那么 I. (夹逼定理/两边夹定理) 有三个数列，假
设 (1) yn xn zn ( n 1, 2, L)
(2)
lim
n
yn
lim
n
zn
a
lim
n
xn
a
证: 由条件 (2) , 0, N1 0, N2 0,
当 n N1 时, yn a ; 当 nn NN22 时, zznnaa ; .
定理6 也称为连续性公理。
单调数列
定义 4 如果数列{ x n } 的项满足
x 1 x 2 x 3 x n x n 1
那么称这个数列为单调递增数列。 如果数列 { x n } 的项满足
x 1 x 2 x 3 x n x n 1
那么称这个数列为单调递减数列。 这两种数列统称单调数列。
令 N max N1 , N2, 那么当n N 时, 有
a yn a , a zn a , 由条件 (1) a yn xn zn a
即
xn a ,
故
lim
n
xn
a
.
例： 证明 lim ( 1 1 1 )存在，
n n2 1 n22
高等数学电子版 (2)
第一章极限与连续第一节 数列的极限 一、数列极限的概念按照某一法则,对于每一个+∈N n ,对应一个确定的实数n x ,将这些实数按下标n 从小到大排列,得到一个序列,,,,21n x x x称为数列,简记为数列}{n x ,n x 称为数列的一般项。
例如:,1,,43,32,21+n n ,2,,8,4,2n,21,,81,41,21n,)1(,,1,1,11+--n,)1(,,56,43,34,21,21n n n --+ 一般项分别为1+n n ,n 2,n 21,1)1(+-n ,n n n 1)1(--+数列}{n x 可瞧成自变量取正整数n 的函数,即)(n f x n =,+∈N n设数列nn x n n 1)1(--+=,来说明数列}{n x 以1为极限。
为使100111)1(|1|1<=--+=--n n n x n n ,只需要100>n ,即从101项以后各项都满足1001|1|<-n x , 为使100000111)1(|1|1<=--+=--n n n x n n ,只需要100000>n ,即从100001项以后各项都满足1000001|1|<-n x , 为使ε<=--+=--nn n x n n 11)1(|1|1(ε就是任意给定的小正数),只需要ε1>n ,即当ε1>n 以后,各项都满足ε<-|1|n x 。
令]1[ε=N ,当N n >时,ε1>n ,因此有ε<-|1|n x ,即任意给定小正数ε,总存在正整数]1[ε=N ,当N n >时的一切n x 都满足ε<-|1|n x ,则定义:设}{n x 为一数列,如果存在常数a ,对于任意给定的正数ε(不论它多么小),总存在正整数N ,使得当N n >时的一切n x 都满足不等式ε<-||a x n则说常数a 就是数列}{n x 的极限,或者说数列}{n x 收敛于a ,记为a x n n =∞→lim 或 a x n →)(∞→n如果不存在这样的常数a ,则说数列}{n x 没有极限,或者说数列}{n x 发散。
高等数学 第二节 数列的极限
{xn } 单调增加, 也记为 {xn } ↓ .
不增加的
严格单调增加(单调增加) 严格单调减少(单调减少) 单调增加(不减少的) 单调减少(不增加的) 数列
统称为单调数列
(2) 数列的有界性
回想一下前面讲过的 函数的有界性的情形
我学过吗 ？
若 ∃ M > 0, 使得当 x ∈ I 时, 有 | f ( x ) | ≤ M 成立,
{xn } 单调增加, 也记为 {xn } ↑ .
不减少的 数列单调减少的情形怎么定义？ 有谁来说一说.
若 {xn } 满足 x1 > x2 > ⋯ > xn > ⋯ , 则称
{xn } 严格单调增加, 记为 {xn } ↓ .
单调减少
若 {xn } 满足 x1 ≥ x2 ≥ ⋯ ≥ xn ≥ ⋯ , 则称
故有
n→ +∞
lim | xn | = | a | .
注意：该例题结论的逆命题不真. 例如, {(−1)n}.
三. 数列的性质
单调性
有界性
(1) 数列的单调性
若 {xn } 满足 x1 < x2 < ⋯ < xn < ⋯ , 则称
{xn } 严格单调增加, 记为 {xn } ↑ .
单调增加
若 {xn } 满足 x1 ≤ x2 ≤ ⋯ ≤ xn ≤ ⋯ , 则称
证明 : 若 lim xn = a, 则 lim | xn | = | a | .
n →+∞ n→+∞
证
因为 lim xn = a, 所以 ∀ε > 0, ∃ N > 0,
n→ +∞
当 n > N 时, 有 | x n − a | < ε .
不增加的
严格单调增加(单调增加) 严格单调减少(单调减少) 单调增加(不减少的) 单调减少(不增加的) 数列
统称为单调数列
(2) 数列的有界性
回想一下前面讲过的 函数的有界性的情形
我学过吗 ？
若 ∃ M > 0, 使得当 x ∈ I 时, 有 | f ( x ) | ≤ M 成立,
{xn } 单调增加, 也记为 {xn } ↑ .
不减少的 数列单调减少的情形怎么定义？ 有谁来说一说.
若 {xn } 满足 x1 > x2 > ⋯ > xn > ⋯ , 则称
{xn } 严格单调增加, 记为 {xn } ↓ .
单调减少
若 {xn } 满足 x1 ≥ x2 ≥ ⋯ ≥ xn ≥ ⋯ , 则称
故有
n→ +∞
lim | xn | = | a | .
注意：该例题结论的逆命题不真. 例如, {(−1)n}.
三. 数列的性质
单调性
有界性
(1) 数列的单调性
若 {xn } 满足 x1 < x2 < ⋯ < xn < ⋯ , 则称
{xn } 严格单调增加, 记为 {xn } ↑ .
单调增加
若 {xn } 满足 x1 ≤ x2 ≤ ⋯ ≤ xn ≤ ⋯ , 则称
证明 : 若 lim xn = a, 则 lim | xn | = | a | .
n →+∞ n→+∞
证
因为 lim xn = a, 所以 ∀ε > 0, ∃ N > 0,
n→ +∞
当 n > N 时, 有 | x n − a | < ε .
高等数学上册 1.2 数列的极限
ln
在此处键入公式。
> 1+
.
− 1 ln < ln , 亦即
ln||
ln
, 则当n > N 时, 就有
因此, 取 = 1 +
ln||
| −1 − 0 | < ,
故
第二节 数列的极限
lim −1 = 0.
→∞
第一章 函数与极限
二、收敛数列的性质
定理1 收敛数列的极限唯一.
证
用反证法.
假设数列 收敛, 则有唯一极限存在.
1
取 = , 则存在N , 使当n > N 时, 有
2
1
1
− < < + .
2
2
但因 交替取值1与－1, 而此二数不可能同时落在
1
1
长度为1的开区间 − , + 内, 因此该数列发散.
2
2
第二节 数列的极限
第一章 函数与极限
→∞
+
−
.
− <
, 从而 >
2
2
取 = max 1 , 2 ,则当 n > N 时, 满足的不等式 矛盾.
故假设不真 ! 因此收敛数列的极限必唯一.
第二节 数列的极限
第一章 函数与极限
+1 ( = 1, 2, ⋯ )
是发散的.
例4 证明数列 = (−1)
= 0.
故 →∞
→∞ ( + 1)2
思考:
也可由
1
− 0 =
( + 1)2
1
取 =
−1
N 的存在性
在此处键入公式。
> 1+
.
− 1 ln < ln , 亦即
ln||
ln
, 则当n > N 时, 就有
因此, 取 = 1 +
ln||
| −1 − 0 | < ,
故
第二节 数列的极限
lim −1 = 0.
→∞
第一章 函数与极限
二、收敛数列的性质
定理1 收敛数列的极限唯一.
证
用反证法.
假设数列 收敛, 则有唯一极限存在.
1
取 = , 则存在N , 使当n > N 时, 有
2
1
1
− < < + .
2
2
但因 交替取值1与－1, 而此二数不可能同时落在
1
1
长度为1的开区间 − , + 内, 因此该数列发散.
2
2
第二节 数列的极限
第一章 函数与极限
→∞
+
−
.
− <
, 从而 >
2
2
取 = max 1 , 2 ,则当 n > N 时, 满足的不等式 矛盾.
故假设不真 ! 因此收敛数列的极限必唯一.
第二节 数列的极限
第一章 函数与极限
+1 ( = 1, 2, ⋯ )
是发散的.
例4 证明数列 = (−1)
= 0.
故 →∞
→∞ ( + 1)2
思考:
也可由
1
− 0 =
( + 1)2
1
取 =
−1
N 的存在性
高等数学1_2数列极限(含weierstrass定理以及单调递增
xn0,只要
1 n 1
,
即
1 n
1
.
取
N [11],
则当
nN时, 就有
xn0,
故 nl im xnnl im (n(11)n)20 也可由 xn0(n11)2
说明: N 与 有关, 但不唯一. 取 N11
x 不n一0 定 取n1 最1 小1 n 的, 故N 也. 可取
设{ x n } 为一数列 如果存在常数 a , 对于任意给定 的正数 ， 总存在正整数 N , 使得当 n 时N 总有
xn a 成立 则称常数 a 是数列{ x n } 的极限 或者称数列{ x n } 收敛于 a ， 记为
lim
n
xn
a,
或
xn a(n ).
•极限定义的简记形式
所以
(1 1), n1
11
1
lim
1.
n 12 23 n(n1)
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三.收敛准则
定理2.5 单调有界数列必有极限 单调增，上有界数列必有极限 单调减，下有界数列必有极限
anan1,anM
a1
a3
a2
A
aN
M
o an
m
bn1bn,mbn
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数列的极限
观察数列
{1
(1)n1 n
} 的变化趋势。
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数列的极限
观察数列
{1
(1)n1 n
} 的变化趋势。
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数列的极限
观察数列
12数列的极限 共57页
①图示: ln imxn =a
② N与e 的关系:
e 的任意小性，N 的存在性，
且N=N(e )不是唯一的，一般e 越小，N 越大.
xn
例如
a e1
ln i m xn=1(1n )n1 =1.
a e2
a
a e2
a e1 N 1
N2
n
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四、收敛数列的性质
ba ba
数列{xn}可以看作自变量为正整数n的函数 xn=f(n), nN .
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三、数列的极限 观察{1数 (1列 )n1}当 n 时的变 . 化
n
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数列极限的通俗定义
当n无限增大时, 如果数列{xn}的一般项xn无限接近 于常数a, 则常数a称为数列{xn}的极限, 或称数列{xn}收敛 a, 记为
1 , 2 , 3 , , n ;
234
n1
2, 4, 8, , 2n , ;
{ 1 } 1 , 1 , 1 , , 1 , ;
2n 2 4 8
2n
1, 1, 1, , (1)n1, .
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结束
P28例4 证明 xn数 =(1)列 n1是发 . 散的
证
设 ln i m xn=a,
由定义, 对于e = 1, 2
即 则 N n , 使 当 N 时 ,x n 得 n 1 N (a 时 ,当 有 1 2,a x n 1 1 2 a ) ,区1 2 间成 长度,为立 1.
高等数学(2017高教五版)课件数列极限数列极限的概念(工科类).
< 1 ). 事实上, 对 0 < < 1 若能验证 { an } 满足
定义 1, 那么对 1 自然也可以验证成立.
再论 “ - N ” 定义
2. N 的相对性:从定义1 中又可看出, 随着 的取值
不同, N 当然也会不同. 但这并不意味着 N 是由
惟一确定. 例如, 当 n >N 时, 有 |an a| ,
N ,使得当 n N时, 有 an G, 则称 {an }是无穷大
数列, 记作
lim
n
an
.
若 an G, 改为 an G 或 an G, 则称 {an } 是正无
穷大数列或负无穷大数列, 分别记作
lim
n
an
或
lim
n
an
.
一些例子
一些例子
为了更好地理解 “ N ” 定义, 再举一些例题.
从而 lim an 0 . n n!
an 1 ,
n! n
一些例子
注 这里我们将 N 取为正数, 而非正整数. 实际上
N 只是表示某个时刻, 保证从这一时刻以后的所
有项都能使不等式 | an a | 成立即可.
例7 证明 lim sin 1 0 . n n
证 我们用两种方法来证明.
数列的 定义
数列的定义
若函数 f 的定义域为全体正整数的集合 N+ , 则称 f : N+ R 或 f (n), n N+
为数列. 因为N+的所有元素可以从小到大排列出来, 所以我们也将数列写成
a1 , a2 ,L , an ,L , 或简记为 {an}. 这里 an 称为数列 {an} 的通项.
解
|a
定义 1, 那么对 1 自然也可以验证成立.
再论 “ - N ” 定义
2. N 的相对性:从定义1 中又可看出, 随着 的取值
不同, N 当然也会不同. 但这并不意味着 N 是由
惟一确定. 例如, 当 n >N 时, 有 |an a| ,
N ,使得当 n N时, 有 an G, 则称 {an }是无穷大
数列, 记作
lim
n
an
.
若 an G, 改为 an G 或 an G, 则称 {an } 是正无
穷大数列或负无穷大数列, 分别记作
lim
n
an
或
lim
n
an
.
一些例子
一些例子
为了更好地理解 “ N ” 定义, 再举一些例题.
从而 lim an 0 . n n!
an 1 ,
n! n
一些例子
注 这里我们将 N 取为正数, 而非正整数. 实际上
N 只是表示某个时刻, 保证从这一时刻以后的所
有项都能使不等式 | an a | 成立即可.
例7 证明 lim sin 1 0 . n n
证 我们用两种方法来证明.
数列的 定义
数列的定义
若函数 f 的定义域为全体正整数的集合 N+ , 则称 f : N+ R 或 f (n), n N+
为数列. 因为N+的所有元素可以从小到大排列出来, 所以我们也将数列写成
a1 , a2 ,L , an ,L , 或简记为 {an}. 这里 an 称为数列 {an} 的通项.
解
|a
高等数学电子版
高等数学电子版-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN第一章极限与连续第一节 数列的极限一、数列极限的概念按照某一法则，对于每一个+∈N n ，对应一个确定的实数n x ，将这些实数按下标n 从小到大排列，得到一个序列,,,,21n x x x称为数列，简记为数列}{n x ，n x 称为数列的一般项。
例如： ,1,,43,32,21+n n ,2,,8,4,2n ,21,,81,41,21n ,)1(,,1,1,11+--n ,)1(,,56,43,34,21,21n n n --+ 一般项分别为1+n n ，n 2，n 21，1)1(+-n ，n n n 1)1(--+ 数列}{n x 可看成自变量取正整数n 的函数，即)(n f x n =，+∈N n 设数列n n x n n 1)1(--+=，来说明数列}{n x 以1为极限。
为使100111)1(|1|1<=--+=--n n n x n n ，只需要100>n ，即从101项以后各项都满足1001|1|<-n x ， 为使100000111)1(|1|1<=--+=--n n n x n n ，只需要100000>n ，即从100001项以后各项都满足1000001|1|<-n x ， 为使ε<=--+=--n n n x n n 11)1(|1|1（ε是任意给定的小正数），只需要ε1>n ，即当ε1>n 以后，各项都满足ε<-|1|n x 。
令]1[ε=N ，当N n >时，ε1>n ，因此有ε<-|1|n x ，即任意给定小正数ε，总存在正整数]1[ε=N ，当N n >时的一切n x 都满足ε<-|1|n x ，则 定义：设}{n x 为一数列，如果存在常数a ，对于任意给定的正数ε（不论它多么小），总存在正整数N ，使得当N n >时的一切n x 都满足不等式ε<-||a x n则说常数a 是数列}{n x 的极限，或者说数列}{n x 收敛于a ，记为a x n n =∞→lim 或 a x n →)(∞→n 如果不存在这样的常数a ，则说数列}{n x 没有极限，或者说数列}{n x 发散。
高数数列的极限.ppt
由此证明收敛数列必有界.
说明: 此性质反过来不一定成立 . 例如,
数列 (1 )n1 虽有界但不收敛 .
例4 证明数列xn = (1)n1是发散的.
证
设
lim
n
xn
=
a,
由定义, 对于 = 1 , 2
则N ,使得当n N时, 即当n N时, xn (a
有 1, 2
a
2 a
x2 x1 xN 1 a xN 2 x3 x
当n N时, 所有的点 xn都落在(a , a )内,
只有有限个(至多只有N个) 落在其外.
注意：数列极限的定义未给出求极限的方法.
例1 证明 lim n (1)n1 = 1.
n
n
证
xn 1
=
xn a a 1),
2
1 成立, 2 区间长度为1.
而xn无休止地反复取1, 1两个数,
不可能同时位于长度为1的区间内.
事实上,{xn }是有界的, 但却发散.
3、 收敛数列的保号性.
定理3 若
时, 有 证: 对 a > 0 , 取
且
( 0),
( 0).
推论: 若数列从某项起
( 0)
n
xn
=
A
则由递推公式有
x1 0,
xn 0, 故
lim
n
xn
=
a
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2. 设
证明下述数列有极限 .
证: 显然 xn xn1 , 即
(1 ) 1
单调增, 又
(1
1 a1 )(1
ak )
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说明: 此性质反过来不一定成立 . 例如,
数列 (1 )n1 虽有界但不收敛 .
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3. 收敛数列的保号性.
若
且
时, 有
( 0).
证: 对 a > 0 , 取
( 0),
推论: 若数列从某项起
( 0)
( 0). (用反证法证明)
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4. 收敛数列的任一子数列收敛于同一极限 .
(n N)
几何解释 :
(
a xN 1
)
xN2 a
即 xn ( a, )
(n N)
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例如,
1,2 23
,3 4
, , n , n 1
xn
n n 1
1
(n )
收
敛
xn
n (1)n1 n
1
(n )
2 , 4 , 8 , , 2n , xn 2n (n ) 发
1. 收敛数列的极限唯一.
证: 用反证法. 假设
及
且 a b.
取
因
lim
n
xn
a,
故存在
N1
,
使当
n
>
N1
时,
从而
xn
ab 2
同理, 因
lim
n
xn
b,
故存在 N2 ,
使当 n > N2 时, 有
从而
xn
ab 2
矛盾取. 故Nb假2a设ma不xxn真Nba1!, 因Nbb222此aa,收则敛当数n列3a>a22的bNb极时x限nx, nx必n3满唯ba22a足一b 的. 不等式
内,
因此该数列发散
.
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2. 收敛数列一定有界.
证: 设
取 1, 则 N , 当 n N 时, 有
xn a 1, 从而有
xn a a 1 a
取
M max x1 , x2 , , xN , 1 a
则有
xn M ( n 1, 2 , ) .
由此证明收敛数列必有界.
限 , 则原数列一定发散 .
例如，
发散 !
lim
k
x
2k
1
三、极限存在准则
夹逼准则; 单调有界准则; 柯西审敛准则 .
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1. 夹逼准则 (准则1) (P49)
(1) yn xn zn ( n 1, 2, )
(2)
lim
n
yn
lim
n
zn
a
证: 由条件 (2) , 0, N1, N2 ,
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例4. 证明数列
是发散的.
证: 用反证法.
假设数列 xn 收敛 , 则有唯一极限 a 存在 .
取
1 2
, 则存在 N ,
使当 n > N
时,有
a
1 2
xn
a
1 2
但因 xn交替取值 1 与－1 , 而此二数不可能同时落在
长度为
1
的开区间 (
a
1 2
,
a
1 2
)
散
xn (1)n1 趋势不定
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例1. 已知
证明数列 的极限为1.
证:
xn 1
n (1)n 1 n
0 , 欲使
即
只要
n
1
因此 ,
取
N
[1 ],
则当
n
N
时, 就有
n (1)n 1
n
故
lim
n
xn
lim n
n
(1)n n
1
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第二节 数列的极限
一、数列极限的定义 二 、收敛数列的性质 三 、极限存在准则
第一章
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一 、数列极限的定义
引例. 设有半径为 r 的圆 , 用其内接正 n 边形的面积
逼近圆面积 S .
如图所示 , 可知
n
r
当 n 无限增大时, 无限逼近 S (刘徽割圆术) ,
数学语言描述: 0, 正整数 N, 当 n > N 时, 总有
An S
刘徽 目录 上页 下页 返回 结束
定义: 自变量取正整数的函数称为数列, 记作
或
称为通项(一般项) .
若数列
及常数 a 有下列关系 :
当 n > N 时, 总有
则称该数列
的极限为 a , 记作
lim
n
xn
a
或 xn a (n )
此时也称数列收敛 , 否则称数列发散 . a xn a
1 2!
(1
1n)
31! (1
1 n
)
(1
n2)
1 n!
(1
1 n
)
(1
2 n
)
(1
nn1)
xn1
11
1 2!
(1
n11)
31! (1
n11)(1
n21)
大
N
[
1
]
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例3. 设 q 1 , 证明等比数列
的极限为 0 .
证: xn 0
欲使
只要
即
亦即 n 1 ln .
ln q
因此
,
取
N
1
ln
ln q
, 则当 n > N
时,
就有
qn1 0
故
lim qn1 0
n
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二、收敛数列的性质
当
时,
lim
n
xn
a
当
时,
令 N max N1 , N2, 则当 n N 时, 有
由条件 (1) a yn xn zn a
即
xn a
,
故
lim
n
xn
a
.
Байду номын сангаас
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例5. 证明
证: 利用夹逼准则 . 由
n
n2
1
n2
1
2
n2
1
n
n2
n2
且
lim
n
证: 利用二项式公式 , 有
xn (1 1n)n
1
n 1!
1 n
n(n1) 2!
1 n2
n(n1)(n2) 3!
1 n3
n(n1)(nn1) n!
1 nn
11
21!(1 1n)
31!(1
1 n
)
(1
2 n
)
n1!(1 1n) (1 n2) (1 nn1)
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xn
11
n
n2 2
lim n1
1
n2
1
lim n
n
1
n2
n2
1
2
n2
1
n
1
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2. 单调有界数列必有极限 ( 准则2 ) ( P52 )
lim
n
xn
a
(M
)
a
lim
n
xn
b
(m)
b
( 证明略 )
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例6. 设
证明数列
极限存在 . (P52～P54)
例2. 已知
证明
证: xn 0
(n
1 1) 2
1 n 1
(0,1), 欲使
只要
1
n 1
,
即
n
1 1.
取
N
[ 1 1] ,
则当
n
N
时, 就有
xn 0
,
故
lim
n
xn
lim
n
(1)n (n 1)2
0
也可由
xn 0
1 (n1)2
说明: N 与 有关, 但不唯一. 取
N
1
1
不一定取最小的故N也. 可取
证: 设数列
是数列 的任一子数列 .
若
则 0, N ,当
时, 有
现取正整数 K , 使
于是当 k K 时, 有
nk N
xN
*********************
N
从而有
xnk a
, 由此证明
lim
k
x
n
k
a.
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说明:
由此性质可知 , 若数列有两个子数列收敛于不同的极