五邑大学2017高数一期末考试
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任课老师： 刘赛华 试卷分类（A 卷或B 卷） B
五邑大学 试卷参考答案及评分标准
学期： 2017 至 2018 学年度 第 1 学期 课程： 高等数学（一）（1） 课程代号： 0500011
使用班级：
(每小题5分，共计30分。) 1. 2
|sin |
lim
1
x
x x x 2. 0
ln(1)
1cos x x x x
lim
0 ---(5分)
2
12
2
x x x x lim
---(5分) 3. 2
1
21
lim(
)11x x x
4. 2
x xe dx
21
1lim
1
12
x x x
---(5分)
222
12
12
x x
e dx e c ---(5分)
5. (1)sin 2x xdx
6.222
2d x x
sin 2sin 211cos 2cos 2sin 222111()cos 2sin 2224x xdx xdx
x x xdx xdx x x x c ---(5分)
---(5分)
（每小题8分，共计24分。）
1. 已知 (sin cos )x y e x x ,求',''y y 。 解: '2cos x y e x （--4分）
''2(cos sin )x y e x x （--8分）
2.设函数y y x =()由方程sin cos()0y x x y 确定，求'y 。
解: 两边对x 求导得：
'sin cos [sin()](1')0y x y x x y y
（--4分）
整理得sin()cos 'sin()sin x y y x
y x y x
（---8分）
3. 求曲线cos x t
y t
=⎧⎨=-⎩在2
t
处的法线方程.
解.sin dy t
dx
= （--4分）
2
|1,,0
22t
dy t
x
y dx 且时
（--6分）
法线：().2
y x π=-- （--8分）
1.求由曲线1
y
x
与直线y x 及3x 所围成的图形的面积。
（本小题10分） 解：x 的变化范围为 [1,3]。 （--2分） 取x 为积分变量，则所求面积为： 3
1
1
()A x dx x
（--6分）
4ln3 （--10分）
2. 求由曲线y x 与直线x a (0a 为常数)及0y 所围成的图形绕x 轴旋转一周所得旋转体的体
积。（本小题10分）
解：x 的变化范围为 [0,a]。 （--2分） 则所求体积为：
20
V
()a x dx （--6分）
2
12
a （--10分）
3. 求函数21()
ln(x 1)2f x x x 在区间3
[,5]2
上的最值。
（本小题8分） 解：函数定义域为(1,
)
1(x 2)
'()
1
11
x f x x x x （--4分） 令'()0f x ，得定义域内唯一驻点2x 。 （--6分）
判断2x
左右区间的导数符号（略）可知：
2x 是唯一极值点，且为极小值点，即为最小值点，最小值为(2)0f
分别计算两个端点处的函数值：
3315()ln 2,(5)2ln 22
82
f f ， 因此，函数的最大值是 15
(5)2ln 22
f （--8分）
四、 1.求030
sin lim
ln(1)x
x x tdt x 。（本小题6分）
解：03
sin lim
ln(1)
x
x x tdt x
03
sin lim
x
x x tdt x
(--2分)
2
sin sin lim
3x x tdt x x
x (--4分)
01sin lim
36x x
x 1
2
(--6分)
2.求解下列微分方程的通解或满足初始条件的特解（12分,每小题6分）
（1）21
3'0x y x
（2）'2y y x
解: 整理得: 解: 此方程为一阶线性微分方程
21'3y x x
(--2分) (2C)dx dx
y e
xe dx (--4分) 两端积分得： 方程的通解为： 3ln y x x C ， (--6分) 22x
y Ce
x 。 (--6分)