信号检测理论的部分作业

α = ∫ p ( x | H 0 )dx = ∫ p ( x | H 0 )dx
2 R1 ∞ 2
2 x 2 =σ 0 χ 2
R 1 = {x : x 2 > δ }
δ
H0
δ
=
∫σδ
∞
2 0
p ( χ | H 0 ) dχ =
2 2
1 2π
∫σδ t
2 0
∞
−
1 t − 2 2
e dt
【作业1.5】考察一假设检验问题，其转移概率为 作业1.5】考察一假设检验问题， 1.5
x2 1 p( x | H 0 ) = exp − 2 2π 1 p( x | H1 ) = exp(− x ) 2
（1）建立似然比检验，并对不同的判决门限确定判决区域； ）建立似然比检验，并对不同的判决门限确定判决区域； 损失， （2）对0—1损失，若P1=0.75，求Bayes检验的α和Pd； ） 损失 求 检验的 建立Neyman-Pearson检验。 检验。 （3）设α=0.2，建立 ） 建立 检验 【解】由条件转移概率密度
x
2
H1 H0
σ 02 1 σ 12 2σ (1 + 2 ) ln λ0 + ln1 + 2 σ1 2 σ 0
2 0
即 其中
x2
H1 H0
δ
σ 02 1 σ 12 δ = 2σ (1 + 2 ) ln λ0 + ln1 + 2 σ1 2 σ 0
【作业1.1】（加性高斯噪声中常量信号的检测问题） 作业1.1】 加性高斯噪声中常量信号的检测问题） 1.1 对二元假设
H 0 : x (t ) = v (t ) H1 : x (t ) = s + v (t )
其中s为常数， 其中 为常数，v(t)~N(0,σ2）。用N次观测对上述假设作最小 为常数 。 次观测对上述假设作最小 风险判决，并计算检测性能。 风险判决，并计算检测性能。 【解】由条件转移概率密度
得到对数似然比 得到对数似然比 因此判决准则 判决准则为 因此判决准则为 即
x2
2 p( x | H1 ) x 2 (σ 12 − σ 0 ) σ ln[λ ( x )] = ln = − ln 1 2 2σ 0 σ 12 σ0 p( x | H 0 )
x
H1 H0
2
H1 H0
p( x | H 0 ) = 1 2π 1 N 2 exp − ∑ xi , x = [ x1 , x2 ,L, xN ]T 2 i =1
(
)
N
1 N p( x | H1 ) = N exp − ∑ xi , x = [ x1 , x2 ,L, xN ]T 2 i =1
1 R0
δ
−∞
p ( x | H1 )dx
t2 2
=
tσ +s N
1 2π
∫
(δ − s ) N / σ
−∞
e dt = 1 − erfc (
−
(δ − s ) N
σ
)
【作业1.2】（加性高斯噪声中随机变量信号的检测问题） 作业1.2】 加性高斯噪声中随机变量信号的检测问题） 1.2 对二元假设
H 0 : x (t ) = v (t ) H1 : x (t ) = s + v ( t )
虚警概率为 虚警概率为
∞ x= R1
α = ∫ p ( x | H 0 ) dx = ∫ p ( x | H 0 ) dx =
δ
tσ N
σ
N ∫δ
∞ N /σ
p (t | H 0 )dt
=
1 2π
∫δ
∞ N /σ
e dt = erfc (
−
t2 2
δ N ) σ
漏报概率为 漏报概率为
β=
x=
∫ p( x | H )dx = ∫
(1 − P )( c10 − c00 ) 1 − 0.75 1 1 λ0 = = = P (c01 − c11 ) 0.75 3 1
对N=1
λ0 = , N = 1 ⇒ δ = 2 ln λ0 + N + N ln
1 3
2
π
= ln
2e <0 9π
显然由于l≥0，所以 l >δ始终成立，即始终判给 1假设，所 所以 始终成立，即始终判给H 假设， 显然由于 漏报概率为0， 以虚警概率α=1，漏报概率为 ，Pd=1。另外，由 漏报概率为 。另外，
因此判决准则 判决准则为 因此判决准则为
H1 H0
sT s s x σ ln(λ0 ) + 2 H0
T
H1
2
即
x
δ
其中
s δ= ln λ0 + Ns 2
σ2
最佳接收机结构为 最佳接收机结构为
x=[x1, x2,…,xN]T >0 H 1 计算平均 − ≤0 H0
δ
输入空间划分为 输入空间划分为
R 0 = {x : x ≤ δ }, R 1 = {x : x > δ }
2 0
输入空间划分为 输入空间划分为
x2 δ 2 R 0 = x : x ≤ δ = x : χ1 = 2 ≤ δ1 , δ1 = 2 σ 0 + σ 02 σ 0 + σ 12 δ x2 2 2 R 1 = x : x > δ = x : χ 0 = 2 > δ 0 , δ 0 = 2 σ0 σ0
x
H1 σ 2 H0
s
ln(λ0 ) +
s 2
δ
其中
δ=
σ2
s
ln λ0 +
s 2
R 0 = {x : x ≤ δ }
R 1 = {x : x > δ }
给定虚警概率α后，判决门限δ由
∫δ p( x | H
确定。 确定。
∞
0
)dx = α
由于 所以
H 0 : x ~ N (0, σ 2 ), H1 : x ~ N ( s, σ 2 )
2 2σ 0 σ 12 σ 1 ln λ0 2 2 σ1 − σ 0 σ 0
δ
其中
x
2 2σ 12σ 0 σ 1 δ= 2 ln λ0 2 σ1 − σ 0 σ 0
（1）接收机结构如图
( • )2
x2
>0 H 1 − ≤0
（2）观测空间划分为 R 0 = {x : x 2 ≤ δ } （3） α=P(H1|H0)为 为
其中s为常数， 观测对上述假设作 其中 为常数，v(t)~N(0,σ2）。用一次观测对上述假设作 为常数 。 Neyman-Pearson判决，并计算检测性能。 判决， 判决 并计算检测性能。 【解】由条件转移概率密度
x2 1 exp − 2 p( x | H 0 ) = 2π σ 2σ ( x − s )2 1 exp − p( x | H1 ) = 2σ 2 2π σ
dx = s )
1 2π
∫
δ −s σ
−∞
e dt
−
t2 2
1 2π
∫
σuα − s σ
−∞
e dt = 1 − erfc (uα −
−
t2 2
σ
观测对二元假设 【作业1.4】用一次观测对二元假设 作业1.4】 1.4
2 H 0 : x ~ N (0, σ 0 ) 2 H1 : x ~ N (0, σ 12 ), σ 12 > σ 0
β=
∫ p ( x | H ) dx = ∫
1 R0
δ1
0
p( χ | H1 )dx =
2 1
1 2π
∫
ห้องสมุดไป่ตู้
δ1 −
0
t e dt
t 1 − 2 2
【作业1.3】（加性高斯噪声中常量信号的检测问题） 作业1.3】 加性高斯噪声中常量信号的检测问题） 1.3 对二元假设
H 0 : x (t ) = v (t ) H1 : x (t ) = s + v (t )
π ≈ 0.7602 N λ0 ≥ 2e
x2 2σ 2 t2 2
α = ∫ p ( x | H 0 )dx =
R1
1 2π σ
∫δ
∞
e
−
dx =
1 2π
∫δ σe
∞
−
dt
⇒ δ = σuα
其中u 分位点。 其中 α为标准正态分布的上α分位点。漏报概率为
β=
=
∫ p ( x | H 1 ) dx =
R0
1 2π σ
∫
δ
−∞
e
−
( x − s )2 2σ 2
得到对数似然比 得到对数似然比
p ( x | H1 ) 1 σ 12 x2 x2 ln[λ ( x )] = ln = 2σ 2 − 2(σ 2 + σ 2 ) − 2 ln1 + σ 2 p( x | H 0 ) 0 0 1 0
因此判决准则 判决准则为 因此判决准则为
判决。 作Bayes判决。 判决 （1）画出接收机的结构； ）画出接收机的结构； （2）确定判决域 0和R1； ）确定判决域R （3）求α=P(H1|H0)。 ） 。 【解】由条件转移概率密度
x2 1 p( x | H 0 ) = exp − 2 2σ 0 2π σ 0 x2 1 p( x | H1 ) = exp − 2 2π σ 1 2σ 1
得到对数似然比 得到对数似然比
p( x | H1 ) x 2 ( x − s )2 sx s2 ln[λ ( x )] = ln = − = 2− 2 p( x | H 0 ) 2σ 2 2σ 2 σ 2σ
因此判决准则 判决准则为 因此判决准则为 即 观测空间划分
x
H1 H0
P1 ≤ 1 π 1+ 2e
N
≈
1 1 + 0.7602 N
固定N 固定N，看P1
即可。例如 即可。 即可。例如N=1时，只要满足 1<0.5681即可。 时 只要满足P 即可
另一方面，由“不会出现虚警概率始终为1，漏报概 另一方面， 不会出现虚警概率始终为 漏报概 率始终为0”的要求 率始终为 的要求
δ = 2 ln λ0 + N + N ln
2
π
= ln
(2e) N λ2 0
πN
可知， 可知，只要满足
( 2e) λ e)
N
πN
2 0
2 ≥ 1 ⇔ λ0 / N ≥
π ≈ 0.7602 N ⇔ λ0 ≥ 2e 2e
π
N
不会出现虚警概率始终为1 漏报概率始终为0的情况。 就不会出现虚警概率始终为1，漏报概率始终为0的情况。 代价， 对0-1代价，只要满足
其中s与v(t)相互独立，且 v (t ) ~ N (0, σ 02 ), s ~ N (0, σ 12 ) 。用一 其中 与 相互独立， 相互独立 次观测对上述假设作最小风险判决，并计算检测性能； 次观测对上述假设作最小风险判决，并计算检测性能； 作最小风险判决 【解】由条件转移概率密度
x2 1 p( x | H 0 ) = exp − 2 2σ 0 2π σ 0 x2 p( x | H1 ) = exp − 2 2 2 2(σ 0 + σ 12 ) 2π (σ 0 + σ 1 ) 1
{
2
}
{
}
虚警概率为 虚警概率为
α = ∫ p ( x | H 0 )dx = ∫
R1 ∞ 1 t ∞ − − 1 2 2 p ( χ 0 | H 0 ) dχ 0 = t 2 e 2 dt = 2 Γ(1 / 2) ∫δ 0
δ0
1 2π
∫δ t
0
∞ −
1 t − 2 2
e dt
漏报概率为 漏报概率为
p ( x | H1 ) 1 N 2 N N 2 得到对数似然比 得到对数似然比 ln[λ ( x )] = ln = ∑ xi − ∑ xi − ln 2 π i =1 p( x | H 0 ) 2 i =1
因此判决准则 判决准则为 因此判决准则为 即
l
H1 H0
∑ (x
p( x | H 0 ) = p( x | H1 ) =
( (
1 2π σ 1 2π σ
) )
N
xT x exp − 2σ 2 ( x − s)T ( x − s) exp − 2σ 2
N
得到对数似然比 得到对数似然比
p( x | H1 ) x T x ( x − s)T ( x − s) sT x sT s ln[λ ( x )] = ln = 2 − 2 = 2σ 2 − 2 2σ σ 2σ p( x | H 0 )
N i =1
2 i
− 2 xi + 1)
N
H1 H0
2 ln(λ0 ) + N + N ln
2
2
π
2
δ
其中
l = ∑ ( xi − 1)
i =1
δ = 2 ln λ0 + N + N ln
π
（1）判决区域为
R 0 = {x : l ≤ δ }
R 1 = {x : l > δ }
（2）对0—1损失和 1=0.75 损失和P 损失和