第一章 计算机系统概述(三)

第一章计算机系统概述（三）
1.5.1进位计数制及相互转换
凡是用数字符号Байду номын сангаас列，由低位向高位进位计数的方法叫做进位计数制，简称进位制。
1.进位计数制
数据无论使用哪种进位制，都涉及两个基本要素：基数(radix)与各数位的“位权”(weight)。
一种计数制允许选用基本数字符号(数码)的个数叫基数。在基数为J的计数制中，包含J个不同的数字符号，每个数位计满J就向高位进1，即“逢J进一”。例如最常用的十进制中，每一位上允许选用0，1，2，…，9，共10个不同数码中的一个，则十进制的其基数为10，每位计满10时向高位进一。
【例1.5.2】将十进制数(153)10转换成二进制数
[解:]计算过程
所以( 1 5 3 )10=（1 0 0 1 1 0 0 1）2
(2)小数转换方法——乘基顺取整法
设十进制小数M转换成J进制小数后的m位J进制小数是0.k-1k-2…k-m+1k-m，ki是第i位的系数，则有：
等式两边同乘以J得到：
二进制运算规则简单
十进制两个一位数的“和”与“积”的结果各有55种，而二进制两个一位数的“和”与“积”分别只有3种结果。
逻辑运算方便
由于二进制数码与逻辑代数变量值0与1吻合，所以二进制数同时可以使计算机方便地逻辑运算。
二进制的基数为2，只有“0”和“1”两个数码，计数逢二进一。第i位上的位权是2的i次幂。一个二进制数展开成多项式和的表达式是：
【例1.5.4】把二进制数11010110110.1001B转换成八进制数
[解:]计算过程
所以( 1 1 0 1 0 1 1 0 1 1 0. 1 0 0 1)2=（3 2 6 6. 4 4 )8
从二进制数转换成八进制数时，只要从小数点开始，分别向左右两边把3位二进制数码划为一组，最左和最右一组不足3位用0补充，然后每组用一个八进制数码代替即成。
一个数字符号处在不同位时，它所代表的数值是不同的。每个数字符号所表示的数值等于该数字符号值乘以一个与数码所在位有关的常数，这个常数叫做“位权”，简称“权”。位权的大小是以基数为底，数码所在位置的序号为指数的整数次幂，例如十进制数的百分位、十分位、个位、百位、千位的权依次是10-2、10-1、100、101、102、103。整数部分的个位位置的序号是0。
作业
P22 16、17、18、19题
教学反馈
从二进制数转换成十六进制数时，从小数点开始，分别向左右两边把4位二进制数码划为一组，最左和最右一组不足4位用0补充，然后每组用一个十六进制数码代替即成。
【例1.5.5】把十六进制数3A65.B2H转换成二进制数
[解:]计算过程
所以( 3 A 6 5. B 2 )16=（1 1 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1. 1 0 1 1 0 0 1 )2
3.八进制数与十六进制数
计算机采用的是二进制，但由于二进制数写起来很长，且很难记，为方便起见，人们编写程序或书写指令时，通常采用八进制数或十六进制数。
八进制数基数为8，有0，1，2，3，4，5，6，7，共八个数码，逢八进一，第i位上的位权是8的i次幂。一个八进制数展开成多项式和的表达式是：
十六进制数基数为16，有0，1，2，3，4，5，6，7，8，9及大写英文字母A，B，C，D，E，F(数码A ~ F对应十进制数分别是10 ~ 15)共十六个数码，逢十六进一，第i位上的位权是16的i次幂。一个十六进制数展开成多项式和的表达式是：
显然，上式中的整数部分即为k-1，取掉k-1，剩余部分再乘J取整，得k-2，依此类推，可得k-3，…，k-m+1，k-m。最后将每次得到的整数按顺序排列起来就得到对应的J进制数。这种方法称为乘基顺取整法。
注意，小数转换不一定能算尽，只能算到一定精度的位数为止，故要产生一些误差。不过当位数足够多时，这个误差就很小了。
4.进位计数制的相互转换
为了清晰方便起见，常在数字后面加字母B(binary)表示二进制数；用O(octal)表示八进制数，为避免把字母O误认为数字0，这里改用Q字母；用H(hexadecimal)表示十六进制数，以D(decimal)或不加字母表示十进制数。
★J进制(J= 2，8，16)到十进制的转换
(1)整数转换方法——除基逆取余法
设十进制整数M，转换成J进制整数后为knkn-1…k1k0，ki则是第i位的系数，则有：
其中J为转换后计数制的基数。
将上面等式两端同除以J，得：
显然，上面等式右边括号内一定为整数，可见(M)10除以J所得余数即为k0。然后，从中减去余数，所得到的差再除以J取余便得到k1，以此类推，直到商为0，可把k0，k1，…，kn-1，kn全部确定下来，最后将每次得到的余数按逆序排列起来就得到对应的J进制数。这种方法称为除基逆取余法。
可以看出，J进制数相邻两个数的权相差J倍，如果小数点向左移一位，数缩小J倍；反之，小数点右移一位，数扩大J倍。
2.二进制
现代计算机对各种各样的数据甚至操作命令、相位地址等都使用二进制代码表示，这是因为：
技术容易实现
二进制表示的数的每一位只取两个数码0和1，因而可以用任何具有两个不同稳定状态的元件来表示，并且数据的存储和传送也可用简单而可靠的方式进行。如果采用十进制，要电子元件保持十种稳定状态不太容易。
J进制数每位的值等于该位的权与该位数码的乘积。一个J进制可以写成按权展开的多项式和的形式，一个J进制数(S)J按权展开的多项式和的一般表达式为：
其中：n—J进制数整数部分的位数；
m—J进制数小数部分的位数；
ki—第i位上的数码，也称系数；
Ji—第i位上的权。在整数部分，i是正数，在小数部分，i应是负数。
【例1.5.3】把十进制小数0.7875D转换成二进制数
[解:]计算过程
所以( 0. 7 8 7 5 )10=（0. 1 1 0 0 1 )2
如果一个十进制数既有整数部分又有小数部分，可将整数部分和小数部分分别进行J进制的等值转换，然后合并就可得到结果。
★八进制、十六进制与二进制数的转换
从八进制数转换成二进制数时，只需将一位八进制数码用三位二进制代码代替。将一个十六进制数转换成二进制数时，将一位十六进制数码用四位二进制代码代替。
一个J进制数转换为十进制数时，只需要将此J进制数写成按权展开多项式和的形式，再计算此表达式的和即可。
【例1.5.1】将八进制数714.3 Q转换为十进制数
[解:]计算过程
所以( 7 1 4. 3 )8=（4 6 0. 3 7 5 )10
★十进制到J进制(J= 2，8，16)的转换
十进制数转换为J进制数时，整数部分与小数部分换算算法不同，需要分别进行。
四川警安职业学院标准教案纸
课程名称
计算机组成原理（第三讲）
任课教师
陈平
授课时间
地点
多媒体
授课班级
教学目标
1.了解进位计数制表示
2.掌握进位计数制之间的相互转换
教学重点
1.进位计数制之间的相互转换
教学难点
1.十进制数转换为二进制数
教学时数
2节
教学方法
讲授法、演示法、实践操作法
教学手段
多媒体教学
教学内容：