挖掘中点,构造中位线
例析构造三角形中位线策略
例析构造三角形中位线策略作者：***来源：《中学教学参考·理科版》2023年第11期［摘要］三角形中位线是一条重要的线段，在解题过程中构造三角形中位线将事半功倍，能使问题获得突破。
文章结合几个例题，探讨构造三角形中位线的策略，给学生一些启示。
［关键词］构造；三角形；中位线；初中数学［中图分类号］ G633.6 ［文献标识码］ A ［文章编号］ 1674-6058（2023）32-0020-03三角形中位线是一条重要的线段，三角形中位线定理是初中阶段学习的重要定理。
在解题过程中，构造三角形中位线，将事半功倍，能使问题获得突破。
本文结合几个例题，探讨构造三角形中位线的策略，给学生一些启示。
一、直接连接两边中点，构造三角形中位线如果图形中有两个及以上的线段中点，此时，应考虑使用三角形中位线，辅助线作法为直接连接两边的中点，找出这两边所在的三角形，利用三角形中位线定理解决问题。
［例1］如图1所示，在边长为4的等边[△ABC]中，[D]、[E]分别为[AB]、[BC]的中点，[EF⊥AC]于点[F]，[G]为[EF]的中点，连接[DG]；（1）求[EF]的长；（2）求[DG]的长。
分析：（1）如图2所示，连接[DE]，利用三角形中位线定理得[DE=2]，且[DE]∥[AC]，再解直角三角形[EFC]求得[EF]的长；（2）在直角三角形[DEG]中，利用勾股定理求得[DG]的长。
解：（1）如图2所示，连接[DE]，∵在边长为4的等边[△ABC]中，[D]、[E]分别为[AB]、[BC]的中点，∴[DE]是[△ABC]的中位线，∴[DE=2]，且[DE]∥[AC]，[BD=BE=EC=2]，∵[EF⊥AC]于点[F]，[∠C=60°]，∴[∠FEC=30°]，[∠DEF=∠EFC=90°]，∴[FC=12EC=1]，故[EF=22−12=3]。
（2）∵[G]为[EF]的中点，∴[EG=32]，∴[DG=DE2+EG2=22+322=192]。
热点突破-与中点有关的联想(初中几何证明)
.
例2题图
模型解读
遇到直角三角形斜边的中点：连中线构造斜边上的中线.
结论：出现两个等腰三角形.
变式2
如图，已知在△ABC中，BD⊥AC于点D，
CE⊥AB于点E，M，N分别是BC，DE的中点.若BC＝
10，DE＝6，则△MDE的面积为 12
变式2题图ຫໍສະໝຸດ .类型三见多个中点，联想到中位线
A.3
B.4
第4题图
C.2
B ）
D.3 ��
5.如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，点M为BC
的中点，MN⊥AC于点N，则MN的长是
第5题图
.
6.如图，在正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG
上，BC＝1，CE＝3，H是AF的中点，那么CH的长
是 .
第6题图
2MN＝6.∴AC＝AD＋DC＝16.
类型四
见中线
联想
倍长中线
典例精讲
例4 如图，在△ABC中，BD是AC边上的中线，
BD⊥BC，∠ABC＝120°，AB＝8，则BC的长为
（
B ）
例4题图
A.3
B.4
C.5
D.6
变式4
如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，点D为BC
的中点，点E，F分别为AB，AC上的点，且ED⊥FD，
的中点，且S△ABC＝16，则S△DEF＝（
A.2
B.8
第1题图
C.4
A
D.1
）
2.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，CE＝
2，边AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，则AE
中考数学 精讲篇 考点系统复习 第四章 三角形 方法技巧突破(二) “中点”之六大模型
“中点”模型秘诀： 中点问题常用性质及常见辅助线作法
1．多个中点或“平行＋中点”―联―想→构造中位线； 联想
2．直角＋斜边中点――→直角三角形斜边中线的性质； 3．等腰＋底边中点―联―想→等腰三角形三线合一；
联想 4．同一边遇垂直＋中点――→垂直平分线性质； 5．中线或与中点有关线段―联―想→倍长中线构造全等； 6．圆＋弦(弧)的中点―联―想→垂径定理．
如图，∠ABC＝∠ADC＝90°.M，N 分别是 AC，BD 的中点，AC＝10，
BD＝8，则 MN 为
( A)
A．3
B．4
C．5
D．6
【思路点拨】连接 MB，MD，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一 半可证 MB＝MD，再由 ND，根据等腰三角形“三线合一”性质，得 MN⊥BD，在 Rt△BMN 中，利用勾股定理即可求解．
7 中点，过点 D 作 DE⊥AB 交 BC 的延长线于点 E，则 CE 的长为__ 3 __.
【思路点拨】根据勾股定理易求得 AB＝10，则 BD＝5，易证△ABC∽△EBD， 则 BC∶BD＝AB∶(BC＋CE)，从而求得 CE 的长．
5．如图，在△ABC 中，AB＝AC.∠A＝120°，BC＝6 cm，AB，AC 的垂直 平分线分别为 ME 与 NF，交 BC 边于点 M，N，则 NM 的长为__22__cm.
证明：如解图，延长 FD 到 G，使 DG＝DF，连接 CG. ∵AD 是 BC 边的中线，∴BD＝CD. 在△BDF 和△CDG 中，
BD＝ CD，
∠BDF＝∠CDG， DF＝ DG， ∴△BDF≌△CDG(SAS)，∴BF＝CG，∠BFD＝∠G.
∵AE＝EF，∴∠EAF＝∠EFA＝∠BFD，
四边形拓展—中点应用
四边形拓展练习——中点应用中点，特别是线段的中点是几何图形中的一个特殊点，直角三角形斜边中线、等腰三角形三线合一、中心对称图形、三角形中位线和梯形中位线等都有其身影．那么，如何恰当地利用中点和处理与中点有关的问题呢？关键在于：充分挖掘中点所包含的信息，合理联想构造含中点的图形来解决问题．一、利用中点构造三角形中线例1．如图，在ABC ∆中，AB AC =，90BAC ∠=︒，BD 是中线，AE BD ⊥交BC 于点E ．求证：2BE CE =．例2．如图，在ABC ∆中，AB AC =，90BAC ∠=︒，BD 是中线，AM BD ⊥于M ，交BC 于点E ．求CDE S ∆．【注】如果是等腰三角形的问题，则腰上的中点即为构造全等三角形创造了条件．三角形中线的性质是分三角形为两个面积相等的小三角形．在涉及求面积时，往往是常用的结论之一．二、利用中点构造中心对称三角形例3．如图，在梯形ABCD 中，90D ∠=︒，M 为AB 中点． 若 6.5CM =，17BC CD DA ++=，求梯形ABCD 的面积．BB例4．如图，在菱形ABCD 中，120ABC ∠=︒，F 是DC 的中点，AF 的延长线交BC 的延长线于点E ．求直线BF 与DE 所夹的锐角的度数．【注】：在四边形问题中，若已知条件中有一边的中点，往往可利用中点构造中心对称的全等的三角形，从而把分散的条件相对集中，为解题创造有利条件．三、利用中点构造三角形中位线例5．如图，在ABC ∆中，7AC =，4BC =，D 为AB 的中点，E 为AC 上一点，且1902AED C ∠=︒+∠．求CE 的长．例6．如图，已知AD 为ABC ∆的角平分线，AB ＜AC ，在AC 上截取CE AB =，M 、N 分别为边BC 、AE 的中点．求证：//MN AD ．【注】：在四边形问题中，当已知条件中出现四边形对边的两个中点时，常见的方法是：另外作对角线的中点，再利用三角形的中位线来解题．EA四、利用中点构造直角三角形斜边中线和三角形中位线例7．如图，在ABC ∆中，AB AC =，AD BC ⊥，垂足为D ，E G 、分别为AD AC 、的中点，DF BE ⊥，垂足为F ．求证：FG DG =．例8．如图，在ABC ∆内取一点P ，使PBA PCA ∠=∠，作PD AB ⊥于点D ，PE AC ⊥于点E ．求证：DE 的垂直平分线必经过BC 的中点M ．【注】：当题目的条件中涉及到三角形一边的中点和直角三角形时，常用的方法是：另取一边（一般取斜边）的中点，为沟通直角三角形斜边中线定理和三角形中位线定理架起一座桥梁．五、利用中点构造梯形中位线例9．在梯形ABCD 中，90ABC DCB ∠=∠=︒，AD 上有一点E 使得BE EC ⊥，且45CED ∠=︒．求证：AB CD BC +=．例10．如图，M N 、分别是四边形ABCD 边AB CD 、的中点，BN 与MC 交于点P ，AN 与MD 交于点Q ．求证：BCP ADQ MQNP S S S ∆∆=+四边形．六、利用多个中点构造三角形和四边形例11．如图，在任意五边形ABCDE 中，M N P Q 、、、分别为AB CD BC DE 、、、的中点，K L 、分别为MN PQ 、的中点．求证：//KL AE 且1=4KL AE ．例12．在六边形ABCDEF 中，//AB DE ，//BC EF ，//CD FA ，AB DE BC EF +=+，1111A B D E 、、、分别是边AB BC DE EF 、、、的中点，且1111A D B E =．求证：CDE AFE ∠=∠．ABE1ADABCD配套练习：1．如图，在菱形ABCD 中，100A ∠=︒，M N 、分别是边AB BC 、的中点，MP CD ⊥于点P ，求NPC ∠的度数．2．如图，在ABC ∆中，D 为边BC 的中点，点E F 、分别在边AC AB 、上，且ABE ACF ∠=∠，BE 与CF 交于点O ，作OP AC ⊥，OQ AB ⊥，P Q 、为垂足．求证：DP DQ =．3．如图，在ABC ∆中，2A B ACB ∠+∠=∠，8BC =，D 为AB 的中点，且CD =，求AC 的长．BBD BAFE MABCDM4．如图，在ABC ∆中，2B C ∠=∠，AD BC ⊥于D ，M 为BC 的中点，求证：12DM AB =5．如图，在ABC ∆中，2ABC C ∠=∠，AD 平分BAC ∠，过BC 的中点M 作AD 的垂线，交AD 的延长线于F ，交AB 的延长线于E ，求证：12BE BD =．6．如图，已知五边形ABCDE 中，90,ABC AED BAC EAD ∠=∠=︒∠=∠。
巧作三角形的中位线妙解题
数学篇三角形中位线是三角形中至关重要的线段.它平行于三角形的第三条边，且等于第三条边的一半.通过中位线可以得到一些相等的角和成比例的线段，因此，中位线定理在几何证明，以及线段、角度求值等问题中有着广泛的应用.但某些几何问题中并不会直接表明对应三角形的中位线，此时同学们就要深入挖掘问题中的隐含条件，添加辅助线构造中位线，进而借助中位线的性质来解题.一、连中点，构造三角形的中位线在求解某些数学问题时，若题中出现两个或多个中点，我们不妨先将中点连接起来构造中位线.若已知共端点的两条边的中点，连结这两边的另一端点，即可构造出含有中位线的三角形；若已知两条无公共端点线段的中点，那么可取第三边的中点，构造两条中位线，进而利用中位线定理解题.例1如图1，平行四边形ABCD 的对角线相交于O ，E 、F 、G 、H 分别是AB 、OB 、CD 、OD 的中点.求证：EH =FG.图1分析：观察图形，结合已知条件，连接EF 、HG ，则线段EH 与FG 是四边形EFGH的一组对边，只需证明四边形EFGH 是平行四边形即可得证.利用三角形的中位线定理很容易证得四边形EFGH 是平行四边形.的中点，∴EF 、GH 分别是△AOB 和△COD 的中位线，∴EF //OA ，GH //OC ，且EF =12EF =12OA ，GH =12G Η=12OC .∴EF //GH ，∵在平行四边形ABCD 中，OA =OC ，∴EF =GH ，∴四边形EFGH 是平行四边形，∴EH =FG .评注：本题已有四条线段的中点，因此首先考虑应用三角形中位线定理.通过连接中点可以明确各中位线的关系，再以各中位线构成的图形为中间桥梁，求证结论.二、证中点，构造三角形的中位线在解答某些几何问题时，常常会遇到一些中点位置较为隐蔽的问题.当题目给出的图中不存在中点，但求证的结论与三角形中位线定理很类似时，同学们要注意巧作辅助线，先证明线段的两端点为三角形两边的中点，明确三角形的中位线，再利用三角形中位线的性质解题.例2如图2，在△ABC 中，∠BAC 、∠ACB 的平分线AD 、CE 相交于点M ，BF ⊥AD 于点F ，BG ⊥CE 于点G ，若AB =11，BC =16，AC =21，求FG 的长.巧作三角形的中位线妙解题山东省济宁市第十五中学王卓勋学思导引数学篇分析：欲求FG 的长，需要先证FG 与△BPN 的关系.观察图形，若延长BF 交AC 于N ，由已知条件，易证△ABF ≌△ANF ，进而得到BF =FN ，即F 是BN 的中点.同理，延长BG 交AC 于点P ，易知G 是BP 的中点，这样可知FG 是△BPN 的中位线.最后再根据三角形中位线性质即可求出FG 的长.证明：延长BF 交AC 于N ，延长BG 交AC 于点P ．∵在△ABC 中，AD 为∠BAC 的平分线，∴∠BAF =∠NAF .又∵BF ⊥AD 于点F ，∴∠AFB =∠AFN .在△ABF 和△ANF 中，∠BAF =∠NAF ，AF =AF ，∠AFB =∠AFN ，∴△ABF ≌△ANF ，∴AB =AN ，BF =NF ，即F 是BN 的中点.同理可证得△BCG ≌△PCG ，∴BC =PC ，BG =PG ，即G 是BP 的中点.∴FG 是△BPN 的中位线.∵NP =AN +PC -AC =11+16-21=6，∴FG =12NP =3.评注：本题看似与中点无关，但若巧作辅助线，再联系已知条件，易证F 、G 分别为BN 、BP 的中点，即FG 是△BPN 的中位线，这样再利用三角形中位线的性质便可以轻松解题.三、添中点，构造三角形的中位线如果题目已知三角形一边的中点，而另一个中点不明确，不能构成三角形的中位线时，同学们要注意观察图形特征，通过取三角形一边的中点或倍长中线等方法添加一个中点，然后将两个中点连接起来，构成三角形的中位线，再利用三角形中位线的性质解题.例3如图3，AD 是△ABC 的中线，点E 在AD 上，延长BE 交AC 与点F .若AE =3ED ，求AFFC的值.图3分析：本题一个中点已知，而另一个中点未知.若过点D 作DG ∥CF 交BF 于点G ，可得DG 是△BFC 的中位线，这样根据三角形中位线性质，就可以得到DG =12CF ，CF =2DG ；再证明△DEG ∽△AEF ，不难求出AF FC的值.解：如图3所示，∵AD 是△ABC 的中线，∴BD =CD .过点D 作DG ∥CF 交BF 于点G ，∴BG =FG ，∴DG 是△BFC 的中位线，∴DG =12CF ，即CF =2DG .∵AE =3ED ,∴DE AE =13.∵GD ∥BF ，∴△DEG ∽△AEF ，∴DG AF =DE AE =13.∴AF =3DG ，∴AF FC =3DG 2DG =32.评注：利用三角形中位线性质构造相似三角形，是证明线段“倍分”关系的常用策略.本题过现有中点D 作平行线，得出DG 是△BFC 的中位线，再通过证三角形相似，得出相应的比例关系，进而求出线段的比值.总之，三角形的中位线与三角形的中点密切相关.当题目已知条件中有明确的中位线时，直接利用中位线的性质即可探求出线段之间的数量关系和平行关系；若题目已知条件中只有一个中点或中点位置较为隐蔽时，同学们要注意结合题目特点，巧添辅助线，构造中位线，再灵活利用三角形中位线的性质解题.学思导引27。
部编数学八年级下册专题18构造三角形中位线的常用技巧(解析版)含答案
专题18 构造三角形中位线的常用技巧（解析版）专题典例剖析及针对训练类型一 连接两中点构造中位线典例1如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝5，BC ＝6，D 、E 分别是AB 、AC 的中点，F 、G 为BC 上的两点，FG ＝3，线段DG ，EF 的交点为O ，当线段FG 在线段BC 上移动时，三角形FGO 的面积与四边ADOE 的面积之和恒为定值，则这个定值是（ ）A ．15B ．12C ．9D ．6思路指引：连接DE ，过A 作AH ⊥BC 于H ．由于DE 是AB 、AC 的中点，利用三角形中位线定理可得DE ∥BC ，并且可知△ADE 的高等于12AH ，再结合等腰三角形三线合一性质，以及勾股定理可求AH ，那么△ADE 的面积就可求．而所求S △FOG +S 四边形ADOE ＝S △ADE +S △DOE +S △FOG ，又因为△DOE 和△FOG 的底相等，高之和等于AH 的一半，故它们的面积和可求，从而可以得到S △FOG +S 四边形ADOE 的面积．解：如图：连接DE ，过A 向BC 作垂线，H 为垂足，∵△ABC 中，D 、E 分别是AB 、AC 的中点，∴DE ，AH 分别是△ABC 的中位线和高，BH ＝CH =12BC =12×6＝3，∵AB ＝AC ＝5，BC ＝6，由勾股定理得AH ==4，∴S △ADE =12BC •AH 2=12×3×42=3，设△DOE 的高为a ，△FOG 的高为b ，则a +b =AH 2=2，∴S △DOE +S △FOG =12DE •a +12FG •b =12×3（a +b ）=12×3×2＝3，∴三角形FGO 的面积与四边ADOE 的面积之和恒为定值，则这个定值是S △ADE +S △DOE +S △FOG ＝3+3＝6．故选：D ．方法点睛：本题属中等难度题目，涉及到三角形中位线定理，解答此类题目时一般只要知道中点要作中位线，已知等腰三角形要作高线，利用勾股定理解答．针对训练1．如图，△ABC 的中线BD ，CE 相交于点0，F ，G 分别是BO ，CO 的中点，求证：EF ∥DG 且EF ＝DG ．解：连接ED ，FG .证四边形DEFG 是平行四边形，∴EF ∥DG 且EF ＝DG ．类型二 连接第三边构造中位线典例2（2022秋•泰山区校级期末）如图，在菱形ABCD 中，E ，F 分别是边CD ，BC 上的动点，连接AE ，EF ，G ，H 分别为AE ，EF 的中点，连接GH ．若∠B ＝45°，BC ＝GH 的最小值为（ ）ABC DGF E DC B AABDE F G思路指引：连接AF，利用三角形中位线定理，可知GH=12AF，求出AF的最小值即可解决问题．解：连接AF，如图所示：∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC=∵G，H分别为AE，EF的中点，∴GH是△AEF的中位线，∴GH=12 AF，当AF⊥BC时，AF最小，GH得到最小值，则∠AFB＝90°，∵∠B＝45°，∴△ABF是等腰直角三角形，∴AF==∴GH=即GH故选：D．方法点睛：本题考查了菱形的性质、三角形的中位线定理、等腰直角三角形的判定与性质、垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，属于中考常考题型．针对训练1．（2021秋•孟津县期末）如图所示，已知四边形ABCD，R、P分别是DC、BC上的点，点E、F分别是AP、RP的中点，当点P在边BC上从点B向点C移动，且点R从点D向点C移动时，那么下列结论成立的是（ ）A ．线段EF 的长逐渐增大B ．线段EF 的长逐渐减少C ．线段EF 的长不变D ．△ABP 和△CRP 的面积和不变思路指引：连接AR ，根据三角形的中位线定理可得EF =12AR ，根据AR 的变化情况即可判断．解：连接AR ，∵E ，F 分别是AP ，RP 的中点，∴EF =12AR ，∵当点P 在BC 上从点C 向点B 移动，点R 从点D 向点C 移动时，AR 的长度逐渐增大，∴线段EF 的长逐渐增大．S △ABP +S △CRP =12BC •（AB +CR ）．∵CR 随着点R 的运动而减小，∴△ABP 和△CRP 的面积和逐渐减小．观察选项，只有选项A 符合题意．故选：A ．方法点睛：此题考查的是三角形中位线的性质，即三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半． 典例3 如图，点B 为AC 上一点，分别以AB ，BC 为边在AC 同侧作等边△ABD 和等边△BCE ，点P ，M ，N 分别为AC ，AD ，CE 的中点．（1）求证：PM ＝PN ；（2）求∠MPN 的度数．思路指引：（1）连接DC和AE，AE交CD于点M，证明△ABE≌△DBC，得到AE＝DC，利用中位线的性质证明PM＝PN；（2）根据中位线的性质把∠MPA+∠NPC转化成∠MCA+∠MAC，根据∠DMA＝∠MCA+∠MAC可知求出∠DMA度数即可．解：（1）连接DC和AE，AE交CD于点M，在△ABE和△DBC中，AB=BD∠ABE=∠DBCBE=BC∴△ABE≌△DBC（SAS）．∴AE＝DC．∵P为AC中点，N为EC中点，AE．∴PN=12DC．同理可得PM=12所以PM＝PN．（2）∵P为AC中点，N为EC中点，∴PN∥AE．∴∠NPC＝∠EAC．同理可得∠MPA＝∠DCA∴∠MPA+∠NPC＝∠EAC+∠DCA．又∠DQA＝∠EAC+∠DCA，∴∠MPA+∠NPC＝∠DQA．∵△ABE ≌△DBC ，∴∠QDB ＝∠BAQ ．∴∠DQA ＝∠DBA ＝60°．∴∠MPA +∠NPC ＝60°．∴∠MPN ＝180°﹣60°＝120°．方法点睛：本题主要考查全等三角形的判定和性质、中位线的性质、等边三角形的性质，解题的关键是找到“手拉手”全等模型．针对训练1.如图，分别以△ABC 的边AB ，AC 同时向外作等腰直角三角形，其中AB ＝AE ，AC ＝AD ，∠BAE ＝∠CAD ＝90°，点G 为BC 的中点，点F 为BE 的中点，点H 为CD 的中点．探索GF 与GH 的数量关系及位置关系，并说明理由．解：连接BD ，CE ，易证△ABD ≌△AEC ，∴BD ＝ CE ，易证BD ⊥CE .由中位线性质可得GF ＝GH ，GF ⊥GH .类型三 取中点构造中位线（1）直接取一边中点典例4（2022春•武昌区期中）如图，在△ABC 中，∠A ＝60°，BD 为AC 边上的高，E 为BC 边的中点，点F 在AB 边上，∠EDF ＝60°，若AF ＝2，BF =103，则BC 边的长为（ ）HG FEDCB AAB CDEFG HA ．163BCD 思路指引：过点D 作DM ⊥AB ，垂足为M ，取AB 的中点H ，连接EH ，DH ，根据已知可求出AB =163，先在Rt △ABD 中求出AD ，AH 的长，从而可得△ADH 是等边三角形，进而可得AD ＝DH ，∠ADH ＝∠AHD ＝60°，然后利用利用等腰三角形的三线合一性质求出AM 的长，从而求出DM ，DF 的长，最后证明手拉手模型﹣旋转型全等△ADF ≌△HDE ，从而利用全等三角形的性质可得DE ＝DF 进而利用直角三角形斜边上的中线，即可解答．解：过点D 作DM ⊥AB ，垂足为M ，取AB 的中点H ，连接EH ，DH ，∵AF ＝2，BF =103，∴AB ＝AF +BF =163，∵BD ⊥AC ，∴∠ADB ＝∠CDB ＝90°，∵∠A ＝60°，∴∠ABD ＝90°﹣∠A ＝30°，∴AD =12AB =83，∵点H 是AB 的中点，∴AH ＝BH =12AB =83，∴AD ＝AH ，∴△ADH 是等边三角形，∴AD ＝DH ，∠ADH ＝∠AHD ＝60°，∴AM＝MH=12AH=43，∴DM=∵AF＝2，∴MF＝AF﹣AM＝2―43=23，∴DF∵点H是AB的中点，点E是BC的中点，∴EH是△ABC的中位线，∴EH∥AC，∴∠DHE＝∠ADH＝60°，∴∠ADH＝∠A＝60°，∵∠EDF＝∠ADH＝60°，∴∠ADH﹣∠FDH＝∠EDF﹣∠FDH，∴∠ADF＝∠HDE，∴△ADF≌△HDE（ASA），∴DE＝DF=∵∠CDB＝90°，∴BC＝2DE=故选：D．方法点睛：本题考查了等边三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线，三角形的中位线定理，全等三角形的判定与性质，含30度角的直角三角形，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．针对训练1．（2022•长春一模）如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AC＝8，BD＝12，点E是CD的中点，点F是OA的中点，连结EF，则线段EF的长为 ．思路指引：取AD的中点M，连接FM，EM，构造三角形中位线，利用三角形中位线定理分别求得FM、EM的长度；然后利用勾股定理求得EF的长度．解：如图，取AD的中点M，连接FM，EM，∵点E是CD的中点，∴EM是△ACD的中位线．∴EM∥AC，EM=12AC＝4．同理，FM∥BD，FM=12OD=14BD＝3．在菱形ABCD中，AC⊥BD，则FM⊥ME．故在直角△EFM中，由勾股定理得到：EF5．故答案是：5．方法点睛：本题主要考查了菱形的性质和三角形中位线定理，解题过程中，巧妙地作出辅助线，利用三角形中位线定理求得直角三角形的两直角边的长度．（2）连接对角线，再取对角线中点典例5（2021秋•龙岗区校级期末）如图，四边形ABCD中，E，F分别是边AB，CD的中点，则AD，BC 和EF的关系是（ ）A．AD+BC＞2EF B．AD+BC≥2EF C．AD+BC＜2EF D．AD+BC≤2EF思路指引：连接AC，取AC的中点G，连接EF，EG，GF，根据三角形中位线定理求出EG=12BC，GF=12AD ，再利用三角形三边关系：两边之和大于第三边，即可得出AD ，BC 和EF 的关系．解：如图，取AC 的中点G ，连接EF ，EG ，GF ，∵E ，F 分别是边AB ，CD 的中点，∴EG ，GF 分别是△ABC 和△ACD 的中位线，∴EG =12BC ，GF =12AD ，在△EGF 中，由三角形三边关系得EG +GF ＞EF ，即12BC +12AD ＞EF ，∴AD +BC ＞2EF ，当AD ∥BC 时，点E 、F 、G 在同一条直线上，∴AD +BC ＝2EF ，所以四边形ABCD 中，E ，F 分别是边AB ，CD 的中点，则AD ，BC 和EF 的关系是AD +BC ≥2EF ．故选：B ．方法点睛：此题主要考查学生对三角形中位线定理和三角形三边关系的灵活运用，熟练掌握三角形的中位线定理是解题的关键．针对训练1．如图，在□ABCD 中，E 是CD 中点，F 是AE 的中点，FC 交BE 于点G（1）求证：GF ＝GC（2）求证：BG ＝3EG解：（1）取BE 的中点M ，∵FM ＝21AB ，∴FM //EC ，∴四边形 FMCE 为平行四边形，∴GF ＝GC（2）易证EG ＝MG ，∴EM ＝MB ，∴BG ＝3EG类型四 延长一边构造中位线典例6（2022秋•江北区校级期末）如图，在正方形ABCD 中，点E ，G 分别在AD ，BC 边上，且AE ＝3DE ，BG ＝CG ，连接BE 、CE ，EF 平分∠BEC ，过点C 作CF ⊥EF 于点F ，连接GF ，若正方形的边长为4，则GF 的长度是（ ）A B ．2C D 思路指引：延长CF 交BE 于H ，利用已知条件证明△HEF ≌△CEF （ASA ），然后利用全等三角形的性质证明GF =12BH ，最后利用勾股定理即可求解．解：延长CF 交BE 于H ，∵EF 平分∠BEC ，∴∠HEF ＝∠CEF ，∵CF ⊥EF ，∴∠HFE ＝∠CFE ，在△HEF 和△CEF 中，∠HEF =∠CEF EF =EF ∠HFE =∠CFE，∴△HEF ≌△CEF （ASA ），∴HF ＝CF ，EH ＝EC ，而BG ＝CG ，∴GF =12BH ，∵AE ＝3DE ，正方形的边长为4，∴AE ＝3，AB ＝CD ＝4，DE ＝1，在Rt △ABE 中，BE =5，在Rt △CDE 中，CE ＝HE ==∴BH ＝BE ﹣HE ＝5―∴GF =12BH 故选：C ．方法点睛：此题主要考查了全等三角形的性质与判定，也利用了正方形的性质，三角形的中位线的性质，有一定的综合性，对于学生的能力要求比较高．针对训练1．（2022•合肥一模）如图，△ABC 中，AD 平分∠BAC ，E 是BC 中点，AD ⊥BD ，AC ＝7，AB ＝4，则DE 的值为（ ）A ．1B ．2C ．12D ．32思路指引：延长BD 交AC 于H ，证明△ADB ≌△ADH ，根据全等三角形的性质得到AH ＝AB ＝4，BD ＝DH ，根据三角形中位线定理计算即可．解：延长BD 交AC 于H ，在△ADB 和△ADH 中，∠BAD =∠HAD AD =AD ∠ADB =∠ADH，∴△ADB ≌△ADH （ASA ）．∴AH ＝AB ＝4，BD ＝DH ，∴HC ＝AC ﹣AH ＝3，∵BD ＝DH ，BE ＝EC ，∴DE =12HC =32，故选：D ．方法点睛：本题考查的是三角形中位线定理、全等三角形的判定和性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．类型五 延长两边构造中位线典例7（2022秋•封丘县校级期末）如图，在△ABC 中，AE 平分∠BAC ，D 是BC 的中点AE ⊥BE ，AB ＝5，AC ＝3，则DE 的长为（ ）A ．1B ．32C ．2D ．52思路指引：连接BE 并延长交AC 的延长线于点F ，易证明△ABF 是等腰三角形，则得AF 的长，点E 是BF 的中点，求得CF 的长，从而DE 是中位线，即可求得DE 的长．解：连接BE 并延长交AC 的延长线于点F ，如图，∵AE ⊥BE ，∴∠AEB ＝∠AEF ＝90°，∵AE 平分∠BAC ，∴∠BAE ＝∠FAE ，∴∠ABE ＝∠AFE ，∴△ABF 是等腰三角形，∴AF ＝AB ＝5，点E 是BF 的中点，∴CF ＝AF ﹣AC ＝5﹣3＝2，DE 是△BCF 的中位线，∴DE =12CF =1．故选：A ．方法点睛：本题考查了等腰三角形的判定与性质，三角形中位线的性质定理，关键是作辅助线得到等腰三角形．针对训练1．如图，AD 为△ABC 的外角平分线，且AD ⊥BD 、M 为BC 的中点，若AB ＝12，AC ＝18，求MD 的长8．延长BD ，CA 交于点E ，易证AE ＝AB ，BD ＝ED ，∵BM ＝CM ，∴DM ＝21CE ＝21(AB ＋AC )＝15.类型六作平行线或倍长中线先构造8字全等再构造中位线典例7（2021秋•宛城区期中）如图，在△ABC中，∠A＝90°，AC＞AB＞4，点D、E分别在边AB、AC上，BD＝4，CE＝3，取DE、BC的中点M、N，线段MN的长为（ ）A．2.5B．3C．4D．5思路指引：如图，作CH∥AB，连接DN，延长DN交CH于H，连接EH，首先证明CH＝BD，∠ECH＝90°，解直角三角形求出EH，利用三角形中位线定理即可解决问题．解：作CH∥AB，连接DN并延长交CH于H，连接EH，∵BD∥CH，∴∠B＝∠NCH，∠ECH+∠A＝180°，∵∠A＝90°，∴∠ECH＝∠A＝90°，在△DNB和△HNC中，∠B=∠NCHBN=CN，∠DNB=∠HNC∴△DNB≌△HNC（ASA），∴CH＝BD＝4，DN＝NH，在Rt△CEH中，CH＝4，CE＝3，∴EH=5，∵DM＝ME，DN＝NH，EH＝2.5，∴MN=12故选：A．方法点睛：本题考查全等三角形的判定和性质，三角形的中位线定理，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．针对训练：如图，AB＝BC，DC＝DE，∠ABC＝∠CDE＝90°，D、B、C在一条直线上，F为AE的中点．（1）求证：BF∥CE；（2）若AB＝2，DE＝5，求BF的长．思路指引：（1）延长AB交CE于G，求出△ACG是等腰直角三角形，再根据等腰直角三角形的性质求出AB＝BG，然后根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半证明；（2）根据等腰直角三角形的性质求出CE、CG，再求出GE，然后求解即可．（1）证明：如图，延长AB交CE于G，∵AB＝BC，DC＝DE，∠ABC＝∠CDE＝90°，∴△ABC和△CDE都是等腰直角三角形，∴△ACG也是等腰直角三角形，∵∠ABC＝90°，∴BC⊥AG，∴AB＝BG，∵点F是AE的中点，∴BF是△AGE的中位线，∴BF∥CE；（2）解：∵AB ＝2，DE ＝5，∴CG ＝AC =＝CE =＝∴GE ＝CE ﹣CG ＝=∵BF 是△AGE 的中位线，∴BF =12GE方法点睛：本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，等腰直角三角形的判定与性质，熟记性质与定理并作辅助线构造出以BF 为中位线的三角形是解题的关键。
中点模型之中位线、斜边中线、中点四边形期末真题汇编(原卷版)-24年八年级数学下学期期末真题分类汇编
专题05中点模型之中位线、斜边中线、中点四边形期末真题汇编之六大题型中点模型是初中数学中一类重要模型，主要是结合三角形、四边形、圆的运用，在各类考试中都会出现中点问题，有时甚至会出现在压轴题当中，我们不妨称之为“中点模型”，它往往涉及到平分、平行、垂直等问题，因此探寻这类问题的解题规律对初中几何的学习有着十分重要的意义.常见的中点模型：①垂直平分线模型；②等腰三角形“三线合一”模型；③“平行线+中点”构造全等或相似模型（与倍长中线法类似）；④中位线模型；⑤直角三角形斜边中点模型；⑥中点四边形模型.本专题就中点模型的后三类模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握.模型1：中位线模型三角形的中位线定理：如图，在三角形ABC的AB，AC边的中点分别为D、E，则DE//BC且12DE BC，△ADE∽△ABC.中点三角形：三角形三边中点的连线组成的三角形，其周长是原三角形周长的一半，面积是原三角形面积的四分之一.模型运用条件：构造中位线（出现多个中点时）.模型2：直角三角形斜边中线模型定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．如图1，若AD为Rt ABC△斜边上的中线，则：（1）12AD BC =BD DC ==；（2）ABD △，ACD △为等腰三角形；（3）2ADB C ∠=∠，2ADC B ∠=∠．图1图2拓展：如图2，在由两个直角三角形组成的图中，M 为中点，则（1）AM MD =；（2）2AMD ABD ∠=∠．模型运用条件：连斜边上的中线（出现斜边上的中点时）模型3：中点四边形模型中点四边形：依次连接四边形四边中点连线的四边形得到中点四边形.中点四边形是中点模型中比较经典的应用.中点四边形不仅结合了常见的特殊四边形的性质，而且还会涉及中位线这一重要知识点，总体来说属于比较综合的几何模块.结论1：顺次连结任意四边形各边中点组成的四边形是平行四边形．如图1，已知点M 、N 、P 、Q 是任意四边形ABCD 各边中点，则四边形MNPQ 为平行四边形.图1图2图3图4结论2：顺次连结对角线互相垂直四边形各边中点组成的四边形是矩形．（特例：筝形与菱形）如图2，已知点M 、N 、P 、Q 是四边形ABCD 各边中点，AC ⊥DB ，则四边形MNPQ 为矩形.结论3：顺次连结对角线相等四边形各边中点组成的四边形是菱形．（特例：等腰梯形与矩形）如图3，已知点M 、N 、P 、Q 是四边形ABCD 各边中点，AC =DB ，则四边形MNPQ 为菱形.结论4：顺次连结对角线相等且垂直的四边形各边中点组成的四边形是正方形．如图4，已知点M 、N 、P 、Q 是四边形ABCD 各边中点，AC =DB ，AC ⊥DB ，则四边形MNPQ 为正方形.推广与应用1）中点四边形的周长：中点四边形的周长等于原四边形对角线之和.2）中点四边形的面积：中点四边形的面积等于原四边形面积的12.与三角形中位线有关的求解问题例题：（23-24八年级上·山东潍坊·期末）如图，在矩形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，点E 是边AD 的中点，点F 在对角线AC 上，且4AC AF =，连接EF ．若12AC =，则EF =．【变式训练】1．（23-24九年级上·重庆万州·期末）如图，DE 是ABC 的中位线，ACB ∠的角平分线交DE 于点F ，若614AC BC ==，，则DF 的长为．2．（23-24九年级上·山东淄博·期末）如图，已知Rt ABC △，延长直角边BC 至点D ，使6BD =，E 为直角边AC 上的点，且2AE =，ED ，P ，Q 分别为AB ，ED 的中点，连接PQ ，则PQ =．三角形中位线与三角形面积问题例题：（22-23八年级下·广东深圳·期末）如图，在ABC 中，E 是AC 的中点，D 在AB 上且2AD BD =，连接BE ，CD 相交于点F ，则BCF ADFE S S =四边形△．【变式训练】1．（22-23八年级上·山东烟台·期末）如图，DE 是ABC 的中位线，F 是DE 的中点，CF 的延长线交AB 于点G ，若CEF △的面积为212cm ，则DGF S 的值为2cm ．2．（22-23七年级下·江苏泰州·期末）如图，ABC 的面积是16，点D ，E ，F ，G 分别是BC ，AD ，BE ，CE 的中点，则四边形AFDG 的面积是．与三角形中位线有关的证明例题：（23-24八年级上·山东淄博·期末）如图，在四边形ABCD 中，AD BC ，点P 是对角线BD 的中点，M 是DC 的中点，N 是AB 的中点，延长线段AD 交NM 的延长线于点E ，延长线段BC 交NM 的延长线于点F ．(1)求证：AEN F ∠=∠；(2)若122A ABC ∠+∠=︒，求F ∠的大小．【变式训练】1．（21-22九年级上·四川眉山·期末）如图，四边形ABCD 中，AD BC =，P 是对角线AB 的中点，M 是AC 的中点，N 是BD 的中点．(1)判断PMN 的形状，并证明；(2)当AD 、BC 所在直线存在什么关系时，90MPN ∠=︒．2．（23-24九年级上·云南昆明·期末）数学模型可以用来解决一类问题，是数学应用的基本途径，通过猜想探究图形的变化规律，最终可以获得宝贵的数学经验，并将其运用到更广阔的数学天地．如图1，在等边ABC 中，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，AD AE =，连接BE ，CD ，点M ，N ，P 分别是BE ，CD ，BC 的中点．(1)观察猜想图1中PMN 的形状是______；(2)探究证明把ADE V 绕点A 逆时针方向旋转到图2的位置，PMN 的形状是否发生改变？并说明理由．三角形中位线的实际应用例题：（22-23八年级下·吉林·期末）如图，为估计池塘两岸边A ，B 两点间的距离，在池塘的一侧选取点O ，分别取OA OB ，的中点M ，N ，测得25m MN ，则A ，B 两点间的距离是m ．【变式训练】1．（22-23八年级下·湖南岳阳·期末）在数学实践活动中，为了测量校园内被花坛隔开的A ，B 两点的距离，同学们在AB 外选择一点C ，测得AC ，BC 两边中点的距离DE 为15m ，则A ，B 两点的距离是m ．2．（21-22八年级下·河南郑州·期末）如图所示，李叔叔家有一块呈等边三角形的空地ABC ．已知D E ，分别是,AB AC 的中点，测得10m DE =，李叔叔想把四边形DBCE 用篱笆围成一圈放养小鸡，则需要篱笆的长是m ．直角三角形斜边中线模型例题：（22-23八年级下·吉林·期末）如图，在Rt ABC 中，点D 是斜边AB 的中点，过点D 作DE AC ⊥于点E ，连接CD ，过点E 作CD 的平行线，交BC 的延长线于点F ．若8AB =，则EF 的长为．【变式训练】1．（23-24九年级上·贵州黔东南·期末）如图，在Rt ACB △中，90ACB ∠=︒，5AC =，4BC =，点P 是Rt ACB △内一动点，且2AP =，点Q 是BP 的中点，则CQ 的最小值为．2．（23-24八年级上·浙江宁波·期末）如图，在Rt ABC △中，D 为斜边AB 的中点，将ACD 沿中线CD 翻折，点A 落在点A '，连结A B '．（1）若26A ∠=︒，则ABA '∠的度数为；（2）若68BC AC ==，，则A B '的长为．中点四边形模型例题：（22-23八年级下·浙江湖州·期末）定义：对角线垂直的四边形叫做“对垂四边形”．如图，在“对垂四边形”ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，AC =若点E 、F 、G 、H 分别是边AB 、BC 、CD 、DA 的中点，且四边形EFGH 是“对垂四边形”，则四边形EFGH 的面积是．【变式训练】1．（21-22八年级下·江苏南京·期末）如图，E ，F ，G ，H 是四边形ABCD 各边的中点．(1)证明：四边形EFGH 为平行四边形．(2)若四边形ABCD 是矩形，且其面积是27cm ，则四边形EFGH 的面积是________2m2．（21-22八年级下·浙江宁波·期末）定义：对于一个四边形，我们把依次连接它的各边中点得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”．如果原四边形的中点四边形是个正方形，我们把这个原四边形叫做“中方四边形”．概念理解：下列四边形中一定是“中方四边形”的是_____________．A．平行四边形B．矩形C．菱形D．正方形性质探究：如图1，四边形ABCD是“中方四边形”，观察图形，写出关于四边形ABCD的两条结论；问题解决：如图2，以锐角△ABC的两边AB，AC为边长，分别向外侧作正方形ABDE和正方形ACFG，连接BE，EG，GC．求证：四边形BCGE是“中方四边形”；拓展应用：如图3，已知四边形ABCD是“中方四边形”，M，N分别是AB，CD的中点，（1）试探索AC与MN的数量关系，并说明理由．（2）若AC=2，求AB+CD的最小值．一、单选题1．（22-23八年级下·云南楚雄·期末）如图，在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，D ，E 分别是边AC ，AB 的中点，3DE =，5CE =，则AC =（）A ．4B ．6C ．8D ．102．（22-23八年级上·山东青岛·期末）如图所示，顺次连接四边形ABCD 各边中点得到四边形EFGH ，使四边形EFGH 为正方形，应添加的条件分别是（）A ．AB CD ∥且AB DC=B ．AB CD =且AC BD ⊥C ．AB CD ∥且AC BD ⊥D ．AC BD =且AC BD ⊥3．（23-24九年级上·四川乐山·期末）如图，ABC 中，E ，F 分别是AB ，AC 的中点，点D 在EF 上，延长AD 交BC 于N ，BD AN ⊥，6AB =，8BC =，则DF =（）A ．2B ．32C ．1D ．124．（23-24八年级上·山东烟台·期末）如图，DE 是ABC 的中位线，F 是DE 的中点，CF 的延长线交AB 于点G ，若DGF △的面积为2，则CEF △的面积为（）A ．4B ．6C ．8D ．95．（22-23八年级下·广西柳州·期末）如图，在四边形ABCD 中，AD BC =，50DAB ∠=︒，70CBA ∠=︒，P 、M 、N 分别是AB AC BD 、、的中点，若8BC =．则PMN 的周长是（）A ．10B ．12C ．16D ．186．（23-24八年级上·浙江丽水·期末）如图，在等腰三角形ABC 中，4AB AC ==，点E 为BC 的中点，连结AE ．以BC 为边向左作BCD △，且90BCD ∠=︒，BD AC ∥．连结DE ，记CDE 和ABE的面积分别为1S 和2S ，则1232S S -的最大值是（）A ．4B ．6C ．D ．8二、填空题7．（23-24八年级上·河北秦皇岛·期末）如图，公路AC BC ，互相垂直，公路AB 的中点M 与点C 被湖隔开．若测得AB 的长为6.4km ，则M ，C 两点间的距离为km ．8．（23-24九年级上·江苏连云港·期末）在周长为600米的三角形地块中修建如图所示的三条水渠，则水渠的总长为米．9．（21-22八年级下·广西桂林·期末）如图，顺次连接第一个矩形各边的中点得到第1个菱形，顺次连接这个菱形各边的中点得到第二个矩形，再顺次连接第二个矩形各边的中点得到第2个菱形，按照此方法继续下去．已知第一个矩形的面积为6，则第n 个菱形的面积为．10．（23-24八年级上·浙江绍兴·期末）如图，一副三角板拼在一起，O 为AD 的中点，4AB =．将ABO 沿BO 对折至A BO '△，M 为BC 上的动点，则A'M 的最小值为．11．（23-24八年级上·山东东营·期末）如图，ABC 的周长为a ，以它的各边的中点为顶点作111A B C △，再以11AB C △各边的中点为顶点作222A B C △，再以22AB C 各边的中点为顶点作333A B C △，……如此下去，则20242024AB C △的周长为．12．（23-24九年级上·江苏盐城·期末）如图，在矩形ABCD 中，4AB =，8AD =，点E 、F 分别为AD 、CD 边上的点，且EF 的长为4，点G 为EF 的中点，点P 为BC 上一动点，则PA PG +的最小值为．三、解答题13．（23-24八年级上·浙江杭州·期末）如图，在ABC 中，AD 是BC 边上的高线，CE 是AB 边上的中线，AD 与CE 交于点F ，点G 为CE 的中点，CD AE =．(1)求证：DG CE ^．(2)若AF EF =，求B ∠的度数．14．（23-24九年级上·江西九江·期末）课本再现：（1）定理直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．已知：如图1，在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，CD 是AB 边上的中线．求证：12CD AB =．证明：如图1，延长CD 到点E ，使得DE CD =，连接,BE AE ．……请把证明过程补充完整．知识应用：（2）如图2，在ABC 中，AD 是BC 边上的高，CE 是AB 边上的中线，F 是CE 的中点，连接DF 并延长交AC 于点G ，连接,2GE AB CD =．求证：=EG CG ．15．（22-23八年级下·河北石家庄·期末）【三角形中位线定理】已知：在ABC 中，点D 、E 分别是边AB AC 、的中点．直接写出DE 和BC 的关系；【应用】如图②，在四边形ABCD 中，点E 、F 分别是边AB AD ，的中点，若5BC =，3CD =，2EF =，45AFE ∠=︒．求ADC ∠的度数；【拓展】如图③，在四边形ABCD 中，AC 与BD 相交于点E ，点M ，N 分别为AD BC ，的中点，MN 分别交AC BD 、于点F 、G ，EF EG =．求证：BD AC =．16．（22-23八年级下·四川成都·期末）如图，已知Rt ABC △，90ACB ∠=︒，点D 是AB 的中点，连接CD ，把线段CD 沿射线DB 方向平移得到线段EF ，点F 在射线DB 上，连接CE .(1)如图1，当点F 与点B 重合时，求证：DF FE =；(2)如图2，当EF 经过BC 的中点G 时，连接DE ，若DE AB ⊥，求证：30DEF ∠=︒；(3)如图3，45A ∠=︒，F 在DB 的延长线上，连接BE ，当BF BD =时，求证：CE .17．（23-24八年级上·山东泰安·期末）在四边形ABCD 中，AB CD =，E 、F 分别是BC AD 、的中点．(1)如图1，若M 是AC 的中点，求证：EFM FEM ∠=∠．(2)如图2，连接EF 并延长，分别与BA CD 、的延长线交于点M 、N ，求证：BME CNE ∠=∠．(3)如图3，在ABC 中，AC AB >，D 点在AC 上，AB CD =，E 、F 分别是BC AD 、的中点，连接EF 并延长，与BA 的延长线交于点G ，若60EFC ∠=︒，连接GD ，判断AGD △的形状并说明理由．18．（21-22八年级下·福建泉州·期末）【猜想结论】如图1，在△ABC 中，点D 、E 分别是边AB 、AC 的中点，可以根据度量或目测猜想结论：DE ∥BC ，且DE 12=BC ．(1)【验证结论】如图2，在△ABC 中，点D 、E 分别是边AB 、AC 的中点，延长DE 至F ，使得EF＝DE，连接FC．求证：DE∥BC，DE12BC．(2)【应用结论】如图3，在四边形ABCD中，点E、F、G、H分别为边AB、BC、CD、DA的中点，顺次连接四边形ABCD各边中点得到新四边形EFGH，称为四边形ABCD中点四边形．应用上述验证结论，求解下列问题：①证明：四边形EFGH是平行四边形；②当AC、BD满足时，四边形EFGH是矩形；③当AC、BD满足时，四边形EFGH是正方形．。
初中数学中点模型的构造及应用 (2)
中点模型的构造及应用一、遇到以下情况考虑中点模型：任意三角形或四边形中点或与中点有关的线段出现两个或三个中点考虑三角形中线定理已知直角三角形斜边中点，可以考虑构造斜边中线已知等边、等腰三角形底边中点，可以考虑与顶角连接用“三线合一”如图，在∆ABC中，D为BC中点，延长AD∆EDB。
∆CFD。
常构造直角三角形斜边中线，然后再利用直角三D为AB中点，则有：12 CD AD BD AB ===（四）等腰三角形三线合一当出现等腰三角形时，常隐含有底边中点，将其与顶角连接，可构成三线合一。
在∆AC=BC?；（2）CD平分ACB∠?；（3）AD=BD?，（4）CD AB⊥“知二得二”：比如由（）可得出（1）（4）.也就是说，以上四条语句，任意选择两个作为条件，就可以推（五）中位线法当已知条件中同时出现两个及以上中点时，常考虑构造中位线；或出现一个中点，要求证明平行线段或线段倍分关系时也常考虑构造中位线。
如图，在∆ABC中，D，E分别是AB、AC边中点，则有DE BC，1DE BC2=。
三、练习（一）倍长中线法1.（2014秋?津南区校级期中）已知：在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE＝AC，延长BE交AC于F，求证：AF＝EF．2.（2017?湘潭）如图，在?ABCD 中，DE ＝CE ，连接AE 并延长交BC 的延长线于点F ．（1）求证：△ADE ≌△FCE ；（2）若AB ＝2BC ，∠F ＝36°．求∠B 的度数3.（2017江西萍乡，15）如图，在△ABC 中，CD 是AB 边上的中线，E 是CD 的中点，过点C 作AB 的平行线交AE 的延长线于点F ，连接BF ．（1）求证：CF ＝AD ；（2）若CA ＝CB ，试判断四边形CDBF 的形状，并说明理由．4.（2014?鄂尔多斯）如图1，在?ABCD 中，点E 是BC 边的中点，连接AE 并延长，交DC 的延长线于点F ．且∠AEC ＝2∠ABE ．连接BF 、AC ．（1）求证：四边形ABFC 的是矩形；（2）在图1中，若点M 是BF 上一点，沿AM 折叠△ABM ，使点B 恰好落在线段DF 上的点B ′ 5.（＝FC ，（2E 是BC（3上，且1.（2016．求2.（⊥BM ，垂足为M ，点5，求AC 的长；（2是△ABC 外一点，ED 并3.（2017?DF ．连1.（2016?折叠后，23C.33D.62.（2015?乌鲁木齐，9）如图，将斜边长为4的直角三角板放在直角坐标系xOy 中，两条直角边分别与坐标轴重合，P 为斜边的中点．现将此三角板绕点O 顺时针旋转120°后点P 的对应点的坐标是（）A ．1-）B.3（1，-）C.2-（）D.3（2，-2）3.（2017?新疆，22）如图，AC 为⊙O 的直径，B 为⊙O 上一点，∠ACB ＝30°，延长CB 至点D ，使得CB＝BD，过点D作DE⊥AC，垂足E在CA的延长线上，连接BE．（1）求证：BE是⊙O的切线；（2）当BE＝3时，求图中阴影部分的面积4.（2017?北京，22）如图，在四边形ABCD中，BD为一条对角线，AD∥BC，AD＝2BC，∠ABD＝90°，E为AD的中点，连接BE．（1）求证：四边形BCDE为菱形；（2）连接AC，若AC平分∠BAD，BC＝1，求AC的长．5.（2015北京东城，23）如图，△ABC中，∠BCA＝90°，CD是边AB上的中线，分别过点C，D作BA，BC的平行线交于点E，且DE交AC于点O，连接AE．（1）求证：四边形ADCE是菱形；（2）若AC＝2DE，求sin∠CDB的值（四）等腰三角形三线合一1.（，∠A＝30°，AB的垂直平分线l交D，的度数为（）° B.45°° D.75°2.（的内接三角形，∠C＝P是PB＝AB，则PAA.5B.53 252D.533.（如图，等腰三角形ABC中，BD，（21.（BD＝8，CD、G、HEFGH的周长是（）C.20D.222.（是中线，AE是角平分线，CF⊥AB＝5，________．3.（、G分别是BC、的面积是（）4.（2017?天津，17）如图，正方形ABCD和正方形EFCG的边长分别为3和1，点F，G分别在边BC，CD上，P为AE的中点，连接PG，则PG的长为______．5.（2014春?硚口区期末）如图，已知△ABC的中线BD、CE相交于点O、M、N分别为OB、OC的中点．（1）求证：MD和NE互相平分；（2）若BD⊥AC，EM＝，OD＋CD＝7，求△OCB的面积．6.（2017?云南，20）如图，△ABC是以BC为底的等腰三角形，AD是边BC上的高，点E、F分别是AB、AC的中点．（1）求证：四边形AEDF是菱形；（2）如果四边形AEDF 的周长为12，两条对角线的和等于7，求四边形AEDF 的面积S ．7.（2017?长春）【再现】如图①，在△ABC 中，点D ，E 分别是AB ，AC 的中点，可以得到：DE∥BC ，且1DE BC 2（不需要证明） 【探究】如图②，在四边形ABCD 中，点E ，F ，G ，H 分别是AB ，BC ，CD ，DA 的中点，判断四边形EFGH 的形状，并加以证明．【应用】在（1）【探究】的条件下，四边形ABCD 中，满足什么条件时，四边形EFGH 是菱形？你添加的条件是：__________．（只添加一个条件）（2）如图③，在四边形ABCD 中，点E ，F ，G ，H 分别是AB ，BC ，CD ，DA 的中点，对角线AC ，BD 相交于点O ．若AO ＝OC ，四边形ABCD 面积为5，则阴影部分图形的面积和为______.8.（2015?巴东县模拟）如图，在四边形ABCD 中，AB ＝DC ，E 、F 分别是AD 、BC 的中点，G 、H 分别是对角线（1（2）若AB ＝54，则当∠ABC ＋∠。
构造中位线基础
构造中位线的基础主要包括以下几种方法：
1.连或找中点，得中位线。
这是构造中位线最直接的方法，如果在一个图形中已知某条线段的中点，那么可以通过连接中点来构造中位线。
2.连中点不得中位线时，另取中点。
如果直接连接中点并不能得到中位线，那么可以取另一条线段的中点，然后通过这个新取的中点和原来的中点来构造中位线。
3.在三角形中，可以利用角平分线加垂直来构造中位线。
这种方法适用于等腰三角形或直角三角形等特殊三角形。
4.已知一边中点，取另一边中点构造三角形的中位线。
如果在一个三角形中已知某一边的中点，那么可以取另一条边上的中点，然后连接这两个中点来构造中位线。
5.已知两边中点，取第三边中点构造三角形的中位线。
这种方法适用于知道三角形两边中点的情况下，通过取第三边的中点来构造中位线。
以上是构造中位线的一些基础方法，需要注意的是，在具体应用时需要根据不同的图形和条件选择合适的方法来构造中位线。
同时，还需要注意线段的平行性质和三角形的基本性质等几何原理的应用。
知识卡片-三角形中位线定理
三角形中位线定理能量储备●三角形的中位线的概念连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．如图所示，在△ABC中，D为AB的中点，E为AC的中点，则DE是△ABC的中位线．●三角形中位线定理三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半.●三角形中位线定理的作用：1.可以证明两条直线平行.2.可以证明线段的相等或倍分.通关宝典★基础方法点1：构造中位线法当已知条件中出现中点时，我们往往通过此中点作平行线或连结另一边的中点构成中位线，并利用中位线的性质解决问题，这种方法可称之为构造中位线法，它是构造基本图形法中常见的一种类型．例：如图所示，在△ABC中，点D是AB的中点，CE平分∠ACB，AE⊥CE于点E.求证：DE∥BC.证明：如图所示，延长AE交BC于点F.∵CE平分∠ACB，∴∠1＝∠2.∵AE⊥CE，∴∠AEC＝∠FEC.又∵CE＝CE，∴△AEC≌△FEC(ASA)．∴AE＝EF，即点E是AF的中点．又∵点D是AB的中点，∴DE是△ABF的中位线．由三角形中位线定理知DE∥BF，即DE∥BC.★★易混易误点1:解决问题时不能正确构造三角形的中位线例：如图所示，在△ABC 中，点M 是BC 边的中点，AD 平分∠BAC ，BD ⊥AD 于点D ，AB ＝12，AC ＝18，求DM 的长．解：如图所示，延长BD 交AC 于点E.因为∠BAD ＝∠CAD ，AD ＝AD ，∠ADB ＝∠ADE ＝90°，所以△ABD ≌△AED.所以AE ＝AB ＝12，BD ＝DE.所以EC ＝AC －AE ＝18－12＝6.又因为M 为BC 的中点，所以DM 为△BCE 的中位线．所以DM ＝12EC ＝12×6＝3. 蓄势待发考前攻略考查利用三角形中位线定理证明两线段平行、相等或倍分及计算线段的长度．题型多样，有选择题、填空题、计算题、证明题等基本题型，也常出现设计开放题、探索题等，难度中等． 完胜关卡。
平行四边形--取中点,作平行线构造中位线
18.1.2(3.4)--取中点构造中位线一．【知识要点】1.已知中点，要求线段倍分关系，平行位置关系，通常要构造三角形中位线。
二．【经典例题】1.如图，四边形ABCD中，M，N分别为AD，BC的中点，连BD，若AB=10，CD=8，求MN的取值范围。
2.如图，在△ABC中，∠C=90°，CA=CB,E,F分别为CA,CB上一点，CE=CF，M，N分别为AF，BE的中点，求证:AE=.3.如图，在△ABC中，∠ABC=90°，BA=BC,△BEF为等腰直角三角形、∠BEF=90°，M为AF的中点，求证:12ME CF=。
4.（绵阳2020年期末18题）如图，在△ABC中，点E是AC的中点，点M是BE的中点,射线AM交BC于点F，若△BMF的面积为2，则△AME的面积为_______________.5.如图，△ABC的中线AD、BE相交于M，求证：AM=2DM三．【题库】 【A 】1．已知，如图平行四边形ABCD 中，E 是CD 的中点，F 是AE 的中点，FC 与BE 交于点G ，求证：GF ＝GC ．【B 】【C 】1.如图，△ABC 的中线AD 、BE 相交于点M ，求证AM=2DM.2.如图，AB ∥CD ，点M 为AD 的中点，N 为BC 的中点，连MN. (1)求证:MN ∥CD; (2)求证:()12MN CD AB =-3.如图，AD 为△ABC 的中线，F 为AC 上一点，BF 交AD 于E ，且AE=DE ，求证:CF=2AF【D】1.如图，点P为△ABC的边BC的中点，分别以AB，AC为斜边作Rt△ABD和Rt△ACE,且∠BAD=∠CAE，求证:PD=PE2.如在△ABC中，AD平分∠CAB交BC手E,若∠BDA=90，.E是AD的中点，DE=2,AB=5,求AC 的长。
3.如图，已知PB=PC=PA=2，∠BPC=120°，PA∥BC，且四边形PBAD为平行四边形，连CD，求CD的长。
找中点构造中位线解题汇总
找中点构造中位线解题三角形的中位线定理，是一个非常有价值的定理。
它是一个遇到中点，必须联想到的重要定理之一。
但是，在解题时，往往只知道一个中点，而另一个中点就需要同学们，根据题目的特点，自己去寻找。
本文就向同学们介绍三种在不同条件下寻找中点的方法，供同学们学习时参考。
一、知识回顾1、三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半。
2、应用时注意的几个细节：①定理的使用前提：三角形。
②定理使用时，满足的具体条件：两条边的中点，且连接这两点，成一条线段。
③定理的结论：位置上：与第三边是平行的；大小上：等于第三边的一半。
在应用时，要灵活选择结论。
二、应用举例1、直接找线段的中点，应用中位线定理例1、如图1所示，在三角形ABC 中，∠B=2∠C ，AD 是三角形的高，点M 是边BC 的中点，求证：DM=21AB 。
分析：看到结论的表达形式，我们就想到，三角形的中位线定理，有这样的特点，因此，我们就可以构造AB 上的中位线，再证明这条中位线与DM 是相等的。
证明：如图2所示，取边AC 的中点E ，连接ME ，则ME ∥AB ，ME=21AB ， 因为，ME ∥AB ，所以，∠B=∠EMC ，因为，∠B=2∠C ，所以，∠EMC=2∠C ，∠EMC 是三角形DME 的一个外角，所以，∠EMC=∠MDE+∠MED ，所以，2∠C=∠MDE+∠MED ，因为，AD 是三角形的高，所以，∠ADC 是直角，所以，DE 是直角三角形ADC 斜边上的中线，所以，DE=EC ，所以，∠MDE=∠C ，所以，2∠C=∠C +∠MED ，所以，∠MED=∠C ，所以，∠MDE=∠MED ，所以，DM=ME ，所以，DM=21AB 。
2、利用等腰三角形的三线合一找中点，应用中位线定理例2、如图3所示，在三角形ABC 中，AD 是三角形ABC ∠BAC 的角平分线，BD ⊥AD ，点D 是垂足，点E 是边BC 的中点，如果AB=6,AC=14，则DE 的长为 。
专训常用构造中位线的五种方法
八、句子工厂。
1．世界上有多少人能亲睹她的风采呢？ （陈述 句）
_________________________________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ 2．达·芬奇的“蒙娜丽莎”是全人类文 化宝库 中一颗 璀璨的 明珠。 （缩写 句子） ___________________________________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ____ 3．我在她面前只停留了短短的几分钟。 她已经 成了我 灵魂的 一部分 。（用 关联词 连成一 句话） __________________________________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ _____
证明：如图，延长FE至N，使EN＝EF，连接BN，AN.
易得ME＝
1 2
AN.∵EF＝EN，∠BEF＝90°，
∴BE垂直平分FN.∴BF＝BN.∴∠BNF＝∠BFN.
∵△BEF为等腰直角三角形，∠BEF＝90°，
∴∠BFN＝45°.∴∠BNF＝45°，
∴∠FBN＝90°，即∠FBA＋∠ABN＝90°.
3、别想一下造出大海，必须先由小河川 开始。 4、自信是所有成功人士必备的素质之一 ，要想 成功， 首先必 须建立 起自信 心，而 你若想 在自己 内心建 立信心 ，即应 像洒扫 街道一 般，首 先将相 当于街 道上最 阴湿黑 暗之角 落的自 卑感清 除干净 ，然后 再种植 信心， 并加以 巩固。 信心建 立之后 ，新的 机会才 会随之 而来。
中考数学专题复习学案 三角形中位线 (含答案)
中考复习之三角形中位线定义：：连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线一、与中点有关的概念三角形中线的定义：三角形顶点和对边中点的连线三角形中线的相关定理：直角三角形斜边的中线等于斜边的一半等腰三角形底边的中线三线合一(底边的中线、顶角的角平分线、底边的高重合)三角形中位线定义：连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边并且等于它的一半．中位线判定定理：经过三角形一边中点且平行于另一边的直线必平分第三边．直角三角形斜边中线：直角三角形斜边中线等于斜边一半二、常见的题型题型一:求线段的长例1、已知：如图，E、D、F分别为AB、BC、CA的中点.（1）若AC=10cm，则DE= 5 cm. （2）若EF=6cm，则CB= 12 cm.（3）若AB=10，AC=12，BC=8，则△DEF的周长 15练习：1.已知△ABC的周长为50cm，中位线DE=8cm，中位线EF=10cm，则另一条中位线DF的长是（）A.5cmB. 7cmC. 9cmD. 10cm【答案】B3.如图，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC的中点，∠A=50°，∠ADE=60°，则∠C的度数为（）A.50°B. 60°C. 70°D. 80°【答案】C3.如图，在△ABC中，E，D，F分别是AB、BC、CA的中点，AB=6，AC=4，则四边形AEDF的周长是（）A. 10B. 20C. 30D. 40【答案】B4.如图，在△ABC中，D，E，F分别为BC，AC，AB边的中点，AH⊥BC于H，FD=8，则HE等于（）A. 20B. 16C. 12D. 8 【答案】D题型二：证明线段的倍分问题例1.如图,△ABC 中,AB=AC,AD 是中线,BE=CF.(1)求证: △BDE ≌△CDF;(2)当∠B=60°时,G 、H 分别是AB 、AD 的中点,求证:GH=14AB证明：(1)∵AB=AC ∴∠ B=∠ C ∵AD 为中线，∴BD=CD 又∵EB=FC ∴△BDE ≌△CDF(2)∵AB=AC ∴△ABC 为等腰三角形，又∵∠B=60°，∴△ABC 为等边三角形 ∴BC=AB ∵G 、H 分别是AB 、AD 的中点 ∴GH=21BD=14BC 又∵BC=AB 所以GH=41AB. 练习：如图,在△ABC 中,AB=AC,延长AB 到D,使BD=AB,E 为AB 中点,连结CE 、CD ， 求证：CD=2EC证明：延长CE 使EF=CE=1/2CF 即 CF=2CE ∵∠AEC=∠BEF E 是AB 中点，即AE=BE CE=EF∴△ACE ≌△BFE(SAS) ∴BF=AC ∠FBE=∠A ∵AB=AC ∴∠ABC=∠ACB∵∠FBC=∠FBE+∠ABC=∠A+∠ABC ∠DBC=∠A+∠ACB ∴∠FBC=∠DBC∵BD=BA∴BF=BD∵BC=BC∠FBC=∠DBC∴△BCF≌△BCD(SAS)∴CF=CD∴CD=2CE题型三：常规辅助线的添加一：利用角平分线+垂直，构造等腰三角形如图，M是△ABC的边BC的中点，AN平分∠BAC，BN⊥AN于点N，延长BN交AC于点D，已知AB=10，BC=15，MN=3（1）求证：BN=DN；（2）求△ABC的周长．【解析】1）证明：在△ABN和△ADN中，∵12AN ANANB AND ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△ABN≌△ADN，∴BN=DN．（2）解：∵△ABN≌△ADN，∴AD=AB=10，DN=NB，又∵点M是BC中点，∴MN是△BDC的中位线，∴CD=2MN=6，故△ABC的周长=AB+BC+CD+AD=10+15+6+10=41．1.如图所示，M是△ABC的边BC的中点，AN平分∠BAC，BN⊥AN于点N，且AB=8，MN=3，则AC的长是（）A．12 B．14 C．16 D．18【答案】B2.如图，在△ABC中，AB=8，AC=6，AD、AE分别是其角平分线和中线，过点C作CG⊥AD于F，交AB于G，连接EF，则线段EF的长为（）A．1 B．2 C． 3 D．7【答案】A3.如图，△ABC中，BD平分∠ABC，且AD⊥BD，E为AC的中点，AD=6cm，BD=8cm，BC=16cm，则DE的长为（）cm．【答案】3如图，△ABC中，AB=8cm，AC=5cm，AD平分∠BAC，且AD⊥CD，E为BC中点，则DE=（）A.3 B.5 C.2.5 D.1.5【答案】D二：取中点构造中位线如图，在四边形ABCD 中，AD=BC ，20,110,,,CBD BDA E F P ∠=︒∠=︒分别是AB 、CD 、BD 的中点，探索PF 与EF 的数量关系.证明：连接PE ，20,11090CBD BDA EPF ∠=︒∠=︒⇒∠=︒，易得EF =.三：借助平行四边形的性质1. 如图，平行四边形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，点E ，F 分别是线段AO ，BO 的中点．若AC+BD=24cm ，△OAB 的周长是18cm ，则EF 的长为________cm ．【答案】∵四边形ABCD 是平行四边形，∴OA=OC，OB=OD，又∵AC+BD=24厘米，∴OA+OB=12厘米，∵△OAB的周长是18厘米，∴AB=6厘米，∵点E，F分别是线段AO，BO的中点，∴EF是△OAB的中位线，∴EF=1/2AB=3厘米．题型三借助平行四边形的性质边AB、BC的中点，G、H为AC的两个三等分点，连接EG、例3.如图，（1）E,F为ABCFH，并延长交于D，连接AD、CD.求证：四边形ABCD是平行四边形.【答案】如图，E、F分别为△ABC的边AB、BC的中点，G、H是AC上的三等分点。
微专题 中点问题六大方法
方法四 遇到三角形一边垂线过这边中点时，利用垂直平分线的性质 例 4 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4，点D是AB的中点，过点
7 D作DE⊥AB交BC的延长线于点E，则CE 的长为____6____． 【思考】点D是AB的中点且DE⊥AB，你想到了哪些学过的知识：D__E_是__线__段__A_B__的__垂__直__ _平__分__线__，__线__段__垂__直__平__分__线__上__的__点__到__线__段__两__端__点__的__距__离__相__等__．_
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针对训练
5. 如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，OD⊥BC于点D，AC＝6，则OD的长为
(B)
A
第5题图
6. 如图，AB是半圆O的直径，△ABC的两边AC，BC分别交半圆于D，E，且E为BC的 中点，已知∠BAC＝50°，则∠C＝____6_5_°__．
例5题图
方法总结 如图，(1)圆心O是直径的中点，常与已知中点连接，或过点O作一边的平行线或垂直 构造中位线解题； (2)圆中遇到弦的中点，联想“垂径定理”，出现“四中点一垂直”解决相应问题； (3)圆中遇到弧的中点，利用“一等四等”、“垂径定理”解决相应问题．
点E是弦AB的中点
点C是 »AB 的中点
∵D是BC的中点，∴BD＝CD，
∵∠BDG＝∠CDA，AD＝GD，
∴△ADC≌△GDB(SAS)．
∴AC＝GB，∠G＝∠EAF. 又∵AF＝EF，
∴∠EAF＝∠AEF.
∵∠AEF＝∠BED，
∴∠G＝∠BED.
例6题解图①
∴BE＝BG.
∴BE＝AC.
【思考】聪明的你还能想到哪些作辅助线的方法，至少再写出一种并解答．
初中数学的中点模型地构造及的应用
（一）倍长中线法（构造全等三角形，八字全等） 当已知条件中出现中线时，常常将此中线倍长构造全等三角形解决问题。 如图，在 ABC中，D 为 BC中点，延长 AD 到 E 使 AD=DE，连接 BE，则有：
ADC≌ EDB。作用：转移线段和角。
（二）倍长类中线法（与中点有关线段，构造全等三角形，八字全等） 当已知条件中出现类中线时，常常将此类中线倍长构造全等三角形解决问
（五）中位线法 当已知条件中同时出现两个及以上中点时， 常考虑构造中位线； 或出现一个
中点，要求证明平行线段或线段倍分关系时也常考虑构造中位线。 如图，在 ABC中，D，E分别是 AB、 AC边中点，则有 DE BC ， DE = 1 BC 。 2
三、练习
（一）倍长中线法 1.（ 2014 秋 ?津南区校级期中） 已知：在△ ABC中， AD 是 BC边上的中线， E 是 AD 上一点，且 BE＝ AC，延长 BE交 AC于 F，求证： AF＝ EF．
精彩文案
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5.（ 2017?贵阳 ,24）（1）阅读理解：如图①，在四边形 ABCD中， AB∥DC，E 是 BC的中点，若 AE 是∠ BAD的平分线，试判断 AB，AD，DC之间的等量关系． 解决此问题可以用如下方法： 延长 AE交 DC的延长线于点 F，易证△ AEB≌△ FEC， 得到 AB＝FC，从而把 AB， AD， DC转化在一个三角形中即可判断． AB、AD、DC之间的等量关系为 ____________； （ 2）问题探究：如图②，在四边形 ABCD中， AB∥ DC， AF 与 DC 的延长线交于 点 F，E 是 BC的中点，若 AE 是∠ BAF的平分线，试探究 AB，AF，CF之间的等量 关系，并证明你的结论． （ 3）问题解决：如图③， AB∥CF， AE 与 BC 交于点 E，BE：EC＝ 2：3，点 D 在 线段 AE 上，且∠ EDF＝∠ BAE，试判断 AB、 DF、CF 之间的数量关系，并证明你 的结论．
专题18构造三角形中位线的常用技巧(原卷版)
专题18 构造三角形中位线的常用技巧（原卷版）专题典例剖析及针对训练类型一 连接两中点构造中位线典例1如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝5，BC ＝6，D 、E 分别是AB 、AC 的中点，F 、G 为BC 上的两点，FG ＝3，线段DG ，EF 的交点为O ，当线段FG 在线段BC 上移动时，三角形FGO 的面积与四边ADOE 的面积之和恒为定值，则这个定值是（ ）A ．15B ．12C ．9D ．6针对训练1．如图，△ABC 的中线BD ，CE 相交于点0，F ，G 分别是BO ，CO 的中点，求证：EF △DG 且EF ＝DG ．类型二 连接第三边构造中位线典例2（2022秋•泰山区校级期末）如图，在菱形ABCD 中，E ，F 分别是边CD ，BC 上的动点，连接AE ，EF ，G ，H 分别为AE ，EF 的中点，连接GH ．若∠B ＝45°，BC ＝2√3，则GH 的最小值为（ ）A ．√3B ．√22C ．√6D ．√62针对训练1．如图所示，已知四边形ABCD ，R 、P 分别是DC 、BC 上的点，点E 、F 分别是AP 、RP 的中点，当点P 在边BC 上从点B 向点C 移动，且点R 从点D 向点C 移动时，那么下列结论成立的是（ ）A ．线段EF 的长逐渐增大B ．线段EF 的长逐渐减少C ．线段EF 的长不变D ．△ABP 和△CRP 的面积和不变典例3 如图，点B 为AC 上一点，分别以AB ，BC 为边在AC 同侧作等边△ABD 和等边△BCE ，点P ，M ，N GF E DBA分别为AC ，AD ，CE 的中点．（1）求证：PM ＝PN ；（2）求△MPN 的度数．针对训练1.如图，分别以△ABC 的边AB ，AC 同时向外作等腰直角三角形，其中AB ＝AE ，AC ＝AD ，△BAE ＝△CAD ＝90°，点G 为BC 的中点，点F 为BE 的中点，点H 为CD 的中点．探索GF 与GH 的数量关系及位置关系，并说明理由．类型三 取中点构造中位线（1）直接取一边中点典例4（2022春•武昌区期中）如图，在△ABC 中，∠A ＝60°，BD 为AC 边上的高，E 为BC 边的中点，点F 在AB 边上，∠EDF ＝60°，若AF ＝2，BF =103，则BC 边的长为（ ）A ．163B ．83√3C ．23√13D ．43√13针对训练1．（2022•长春一模）如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，AC ＝8，BD ＝12，点E 是CD 的中点，点F 是OA 的中点，连结EF ，则线段EF 的长为 ．（2）连接对角线，再取对角线中点HG FEDCBA典例5（2021秋•龙岗区校级期末）如图，四边形ABCD 中，E ，F 分别是边AB ，CD 的中点，则AD ，BC和EF 的关系是（ ）A ．AD +BC ＞2EFB ．AD +BC ≥2EF C ．AD +BC ＜2EF D ．AD +BC ≤2EF针对训练1．如图，在□ABCD 中，E 是CD 中点，F 是AE 的中点，FC 交BE 于点G（1）求证：GF ＝GC（2）求证：BG ＝3EG类型四 延长一边构造中位线典例6（2022秋•江北区校级期末）如图，在正方形ABCD 中，点E ，G 分别在AD ，BC 边上，且AE ＝3DE ，BG ＝CG ，连接BE 、CE ，EF 平分∠BEC ，过点C 作CF ⊥EF 于点F ，连接GF ，若正方形的边长为4，则GF 的长度是（ ）A ．5−√32B ．5−√152C ．5−√172D ．√17−32针对训练1．如图，AD 为△ABC 的外角平分线，且AD △BD 、M 为BC 的中点，若AB ＝12，AC ＝18，求MD 的长类型六作平行线或倍长中线先构造8字全等再构造中位线典例7（2021秋•宛城区期中）如图，在△ABC中，△A＝90°，AC＞AB＞4，点D、E分别在边AB、AC上，BD＝4，CE＝3，取DE、BC的中点M、N，线段MN的长为（）A．2.5B．3C．4D．5针对训练：如图，AB＝BC，DC＝DE，∠ABC＝∠CDE＝90°，D、B、C在一条直线上，F为AE的中点．（1）求证：BF∥CE；（2）若AB＝2，DE＝5，求BF的长．。
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挖掘中点，构造中位线 济宁市梁山县小路口镇初级中学 郑继春
（适用于鲁教版 初三版 12月刊）
三角形中位线定理是平面几何中一个重要定理，它既反映了线段之间的位置关系，又呈现了线段之间的数量关系.三角形中位线定理在一些几何解题中常见它的身影.特别是遇到中点时，经常要联想到三角形的中位线定理，利用三角形中位线定理能起牵线搭桥甚至是关键性的作.
但是，在解题时往往只知道一个中点，而另一个中点就需要同学们根据题目的特点，自己去挖掘.下面举几例向同学们介绍几种在不同条件下挖掘中点的方法，供同学们学习时参考.
一、直接取中点.
例1、已知：如图，AD 为ABC 的高，∠B =2∠C ，M 为BC 中点，
求证：12
DM AB 证明：取AC 中点N ，连结MN ，则MN ∥AB ,
且12
MN AB ,∠NMC =∠B 又Rt ADC 中，N 为斜边AC 中点，∴DN NC
∴∠NDC =∠C ,
又∵∠NMC =∠B =∠NDC +∠DNM =2∠C
∴∠DNM =∠NDC ,∴DM MN
∴12DM AB 【感悟】：此题中，DM 和AB 位置较远，不易推导关系.通过添中位线把
12AB 转化成MN ,MN 在DM 和12
AB 之间架起了一座桥梁，问题迎刃而解. 二、利用等腰三角形的“三线合一”找中点.
例2、△ABC 中，AD 平分∠BAC ，CD ⊥AD,E 为BC 的中点，求证：DE ∥AB. 证明：延长CD 交AB 于F
∵AD 平分∠BAC
∴∠BAD ＝∠CAD
∵CD ⊥AD
∴∠ADC ＝∠ADF ＝90 ∵AD ＝AD ∴△ACD ≌△AFD （ASA ）
∴CD ＝FD
∵E 是BC 的中点
∴DE 是△BCF 的中位线
∴DE ∥AB
【感悟】：本题关键是挖出隐含的中点，从而来使问题得以解决.如图若我们延长CD 交AB 于带点F ,根据题中条件容易证得AFD ≌ADC ,所以DF DC =,即D 为CF 的中点；又E 为BC 的中点，根据三角形的中位线定理可以得出,DE FB DE AB 即.
三、利用平行四边形的对角线的交点找中点
例3、如图，,ME AB ME AB =，D 为线段EC 的中点,A M D 、、三点在同一条直线D B E C
A F
上. 求证：MD ∥BC. 证明：连结BE ，交AM 于O.
∵,ME AB ME AB =， ∴四边形ABME 为平行四边形. ∴点O 为BE 的中点.
又∵D 为CE 的中点，
∴OD 为△BCE 的中位线，
∴OC ∥BC,
即MD ∥BC.
【感悟】要证明MD ∥BC.除了以前常用的方法外，现在三角形的中位线定理又使我们多了一条途径. 根据本题的条件已经有了D 为线段EC 的中点，若再找一个且是同一个三角形边的中点,连结就有了三角形中位线，有些中点是明显的，有的中点却是“隐藏”在图形中，需要用平时积累的知识使它现身.本题的,ME AB ME AB =可以得出：四边形ABME 是平行四边形，平行四边形的对角线是互相平分的，若我们连结对角线BE 与对角线AM 的交点O 就是线段BE 的中点，在EBC 中，根据三角形的中位线定理可以得出OC ∥BC ，即MD ∥BC.
总之，隐含在图形中的中点往往是我们平时容易忽视的，但挖出这些“隐藏的中点”往往有可能是一道题破题的一个关键环节.根据上面三道例题来看，隐藏的中点要注意平行四边形（包括特殊的平行四边形）的对角线互相平分、角的平分线与垂线相结合的图形交点、等腰三角形的三线合一等等知识点.
A D
C B M E
O
A D C
B M
E
O。