插值方法综述报告

实用数值方法(Matlab)

综述报告题目：插值方法综述

小组成员姓名：毛晓雯学号：************ 班级：机自6 班

2014-2015(1)学期

提交日期：2014年12月29日

插值方法综述

1 插值方法总结

在离散数据基础上补插出连续函数是计算数学中最基本最常用的手段，是函数逼近的重要方法，利用它可以通过函数在有限个点处的取值状况估算该函数在其它点处的值。因此，插值方法是观测数据处理、函数近似表示、计算几何造型等所常用的工具，又是导出其它许多数值方法的依据。

在教材的第二章中我们重点学习了Lagrange 插值、Aitken 逐步插值、Taylor 插值和Hermite 插值，另外也初步了解了分段插值和样条插值。下面对此做一简单介绍：

首先，Lagrange 插值要求其插值函数()p x 与所逼近的函数()f x 在一系列节点上取相同的函数值，其形式为00n

n

j

i i j i j

j i

x x y y x x ==≠⎛⎫- ⎪= ⎪- ⎪⎝⎭

∑∏。Aitken 逐步插值是对Lagrange 插值的改进，它是将多点的Lagrange 插值化归为两点插值的重复，是一个规模递减的过程。Talor 插值则是要求插值函数与原来的函数在一系列节点上导数相同，其形式''()'

20000000()

()()()()()()()2

!

n n n f x f x p x f x f x x x x x x x n =+-+-+

+-。

Hermite 插值综合了Lagrange 插值和Talor 插值，它既要求插值函数与原来的函数在节点上具有相同的函数值，又要求其在节点上导数相同。Hermite 插值函数可通过待定系数法、余项校正法、基函数法这三种方法构造。分段插值是将插值函数逐段多项式化，选取分段多项式最为插值函数。最后样条插值是指选取样条函数作为插值函数，是一种改进的分段插值，具有光滑性和间断性。

2 Newton 插值方法

Newton 插值方法与我们教材中的Aitken 逐步插值相似，它们都是对Lagrange 插值方法的改进，克服了Lagrange 插值在增加插值节点后，必须重新计算所有的插值基函数的缺点。 首先我们设通过n+1个点()()i i x f x +()0,1,i n =的n 次插值多项式为

01()

()n n a x x x x -+--

其中，01,,,n a a a 为待定系数，由插值条件

P ()(),0,1,

n j j x f x j n ==

可得：

当0x x =时，()000()n P x a f x ==

当1x x =时，101101()()()n P x a a x x f x =+-=，推得

10110

()()

f x f x a x x -=

-

当2x x =时，20110220212()()+()()()n P x a a x x a x x x x f x =+---=，推得

()()()()

21102110

220

f x f x f x f x x x x x a x x ---

--=

- 依次递推，可得3,

n a a 。为了给出系数()0,1,k a k n =的一般表达式，下面引进差商的概念。

2.1 差商的定义和性质

定义 设()y f x =在点()01,,

n i j x x x i j x x ≠≠时，处的取值分别为()()01,,

,f x f x ()n f x ，称

()(),j i j i

f x f x i j x x -≠-

为函数()f x 在,i j x x 处的一阶差商，并记为,i j f x x ⎡⎤⎣⎦；一般地，将

][]

010

,

,k k k x f x x x x ---

称为()f x 在01,,

k x x x 处的k 阶差商。

差商的计算可列表进行（见表1-1）

表2-1 差商表

性质1 ()f x 在01,,k x x x 处的k 阶差商[]01,,,k f x x x 可以表示为函数值()0f x ，()1,f x ()k f x 的

线性组合，形如

]0k

k i x ==∑

其中，()()10

k

k j j x x x ω+==-∏。

性质2 差商具有对称性，即在[]01,,,k f x x x 中任意改变节点,i j x x 的次序，其值不变。 性质3 对于n 次多项式()f x 的k 阶差商[]01-1,,,k f x x x ，当k n ≤时，是n k -次多项式，而当k n >时，其值恒等于零。

2.2 Newton 插值公式

设在01,,

,n x x x x 处，函数()y f x =的取值分别为()()01,,

,()n f x f x f x 和()f x ，由差商的定义

[]()()

000

,f x f x f x x x x -=

-

从而有

()()[]()000,f x f x f x x x x =+-

类似地，由各阶差商的定义，可以依次得到

][][]()1010,,,

,,,

,n n n n x f x x x f x x x x x -=+-

对式（2-4）的第二式两边同乘()0x x -，第三式两边同乘()()01x x x x --，……，依此类推，将最后一式两边同乘()()()011n x x x x x x ----。然后将上面分别乘过不同因式后所有n+1个等式两边相加，

整理得

]()

()[]()()

0100,

,,,,n n n n x x x x x f x x x x x x x -+

--+--

记

()[]()[]()()

[]()()

0010012010110,,,,,,n n f x f x x x x f x x x x x x x f x x x x x x x -+-+--+

+--

()[]()()~

00,,n n n R x f x x x x x x x =--

则