插值方法综述报告
插值法总结
插值法在生产实践过程和科学实验中，经常要研究变量之间的函数关系，但在很多的情况下，又很难找到具体的函数表达式，往往只能通过测量或者观察获得一些量以及对应的值，这种无法求出其他量的对应的函数值，也不能进一步研究函数的分析性质。
为了解决这个问题，我们设法通过已给的量以及对应的值来求出一个简单函数P （x ）,使P (x )=x x (x =0,1,2…x )成立。
这个求插值函数P （x ）的方法称为插值法。
1 拉格朗日插值法先考虑一个简单的插值问题：求一个n 次插值多项式x x (x ),使它在各节点x x (i=0,1…,n)上的值为x x (x )={0 (x ≠x )1 (x =x )(I,k=0,1,2…n) 由上式可知，x x (x )在x 0,x 1,…x x −1,x x +1,..x x 处有根，所以可设x x (x )=x x (x −x 0)(x −x 1)…(x −x x −1)(x −x x +1)…(x −x x )由x x (x x )=1,可求得！x x =1(x x −x 0)(x x −x 1)…(x x −x x −1)(x x −x x +1)…(x x −x x )则 x x (x )=(x −x 0)(x −x 1)…(x −x x −1)(x −x x +1)…(x −x x )(x x −x 0)(x x −x 1)…(x x −x x −1)(x x −x x +1)…(x x −x x )从而插值多项式 x x (x )=∑x x (x )x x x x =0,这就是拉格朗日插值多项式。
其优点是结构紧凑，系数有明确的定义，便于理论研究。
缺点是当插值节点的个数有变动时，拉格朗日的基函数x x (x )也要随之发生变化，从而整个插值公式都发生变化，也就是拉格朗日插值不具有承袭性，这在实际计算时是不方便的。
2 牛顿插值法为了克服拉格朗日插值不具有承袭性的缺点，下面介绍了牛顿插值法。
空间插值方法大致总结
前段时间要对气象要素进行插值,翻看了多种方法,做了个PPT报告.对每个方法有简单的介绍极一些总结,不一定都是个人看法,参考了多方书面(sufer,ArcGIS应用教程)以及坛子里,百度上等搜到的资料的看后笔记,有些注了出处有些忘了.截图共享下,也不知有用没用.有错的地方请跟贴指正,谢谢啦!--------------------------------所谓空间数据插值,即通过探寻收集到的样点/样方数据的规律,外推/内插到整个研究区域为面数据的方法.即根据已知区域的数据求算待估区域值, 影响插值精度的主要因素就是插值法的选取空间数据插值方法的基本原理:任何一种空间数据插值法都是基于空间相关性的基础上进行的。
即空间位置上越靠近,则事物或现象就越相似, 空间位置越远,则越相异或者越不相关，体现了事物/现象对空间位置的依赖关系。
（/dky/nb/page/2000-3-3/2000332117262480.htm，南京师范大学地理科学学院地理信息系统专业网络课程教程）➢由于经典统计建模通常要求因变量是纯随机独立变量，而空间插值则要求插值变量具备某种程度的空间自相关性的具随机性和结构性的区域化变量。
即区域内部是随机的，与位置无关的，而在整体的空间分布上又是有一定的规律可循的，这也是不宜用简单的统计分析方法进行插值预估的原因。
从而空间统计学应用而生。
➢无论用哪种插值方法，根据统计学假设可知，样本点越多越好，而样本的分布越均匀越好。
常用的空间数据插值方法之一：趋势面分析⏹趋势面分析（Trend analyst）。
严格来说趋势面分析并不是在一种空间数据插值法。
它是根据采样点的地理坐标X，Y值与样点的属性Z值建立多元回归模型，前提假设是，Z值是独立变量且呈正态分布，其回归误差与位置无关。
⏹根据自行设置的参数可建立线性、二次…或n次多项式回归模型，从而得到不同的拟合平面，可以是平面，亦可以是曲面。
精度以最小二乘法进行验证。
插值法综述《计算方法》学习报告.讲义
插值法综述一、插值法及其国内外研究进展1.插值法简介插值法是一种古老的数学方法，它来自生产实践，早在一千多年前，我国科学家在研究历法上就应用了线性插值与二次插值，但它的基本理论却是在微积分产生之后才逐渐完善的，其应用也日益增多，特别是在计算机广泛使用之后，由于航空、机械加工、自动控制等实际问题的需要，使插值法在实践和理论上都显得更为重要，并得到了空前的发展。
2.国内外研究进展● 插值法在预测地基沉降的应用● 插值法在不排水不可压缩条件下两相介质的两重网格算法的应用 ● 拉格朗日插值法在地震动的模拟研究中的应用 ● 插值法在结构抗震可靠性分析中的应用● 插值法在应力集中应变分布规律实验分析中的应用 3.代表性文献● 不等时距GM(1%2c1)模型预测地基沉降研究 秦亚琼 武汉理工大学学报(交通科学与工程版) 2008.2● 不排水不可压缩条件下两相介质的两重网格算法 牛志伟 岩土力学 2008.3 ● 基于拉格朗日插值法的地震动的模拟 白 可 山西建筑 2010.10 ● 响应表面法用于结构抗震可靠性分析 张文元 世界地震工程 1997 ● 小议应力集中应变分布规律的实验方法 查珑珑 淮海工学院学报（自然科学版）2004.6二、插值法的原理【原理】设有n+1个互不相同的节点（i x ，i y ） （i=0，1，2，...n ）则存在唯一的多项式： 2012()...(1)nn n L x a a x a x a x =++++使得()(0,1,2,...)(2)n j j L x y j n ==证明：构造方程组20102000201121112012......(3)...n n nn n nn n n n a a x a x a x y a a x a x a x y a a x a x a x y⎧++++=⎪++++=⎪⎨⎪⎪++++=⎩令：0011111nn n nn x x x x A x x ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦01n a a X a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦01n y y Y y ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 方程组的矩阵形式如下：(4)AX Y=由于110()0nn i j i j A x x -===-≠∏∏所以方程组（4）有唯一解。
插值法综述
H ( x) = H ( 2 x + 1) = a 0 + a1 x L a 2 n +1 x 2 n +1 。
6、分段低次插值（Piecewise Linear Interpolation） 通过插值点用折线段连接起来逼近 f ( x ) 。设已知区间 [a, b] 上的 n + 1 个节点 a = x 0 < x1 < L < x n = b 上的函数值 y i = f ( xi )(i = 0,1, L , n ) ，作一个折线函数 ϕ (x ) 满足： ① ϕ (x ) 是区间 [a, b] 上的连续函数；② ϕ (xi ) = y i (i = 0,1,2,L , n ) ；③ ϕ (x ) 在每个小区间
这 些 函 数 称 为 拉 格 朗 日 插 值 基 函 数 ， 而 ϕ n ( x) 它 是 至 多 n 次 多 项 式 ， 且 满 足
ϕ n ( x k ) = ∑ y i l i ( x k ) = y k (k = 0,1,2,..., n) 称其为 n 次拉格朗日插值多项式。
i =0
n
4、牛顿插值多项式： 设有函数 f ( x ) ， x0 , x1 , x 2 , L, 为一系列互不相等的点，称
f ( x) = f ( x0 ) + ( x − x0 ) f [ x, x0 ] + ( x − x0 )( x − x1 ) f [ x 0 , x1 , x 2 ] + L + ( x − x0 )( x − x1 ) L ( x − x n −1 ) f [ x0 , x1 ,L x n ] + ( x − x0 )( x − x1 ) L ( x − x n ) f [ x, x0 , x1 ,L x n ] = N n ( x ) + Rn ( x ) 其中 N n ( x) = f ( x0 ) + ( x − x 0 ) f [ x, x0 ] + ( x − x0 )( x − x1 ) f [ x 0 , x1 , x 2 ] + L + ( x − x0 )( x − x1 ) K ( x − x n −1 ) f [ x0 , x1 , L x n ] Rn ( x) = ( x − x0 )( x − x1 ) L ( x − x n ) f [ x, x0 , x1 , L x n ] = ω n +1 ( x) f [ x, x0 , x1 , L x n ] 显然， N n ( x) 是满足插值条件的至多 n 次的多项式。可得 f ( xi ) = N n ( xi )(i = 0,1,L n) 。 因而它是 f ( x ) 的 n 次的插值多项式。我们称 N n ( x) 为牛顿插值多项式。 5、埃尔米特（Hermite）插值 设已知函数 y = f ( x) 在 n + 1 互异的节点 a ≤ x0 ≤ x1 ≤ L ≤ xn ≤ b 的值 yi = f ( xi ) (i = 1, 2,K n ) 和 y i' = f ' ( x i ) (i = 1, 2,K n ) ，要求一个至多 2n + 1 次的插值多项式
插值方法_实验报告
肖建 计科三班 20095420开课学院、实验室： 数统学院实验时间 ：2011年 5 月 8 日实验项目类型课程名称数学实验实验项目名 称插值方法验证演示综合设计其他指导教师李东成 绩实验5 插值方法一、实验目的及意义[1] 了解插值的基本原理[2] 了解拉格朗日插值、线性插值、样条插值的基本思想； [3] 了解三种网格节点数据的插值方法的基本思想；[4] 掌握用MATLAB 计算三种一维插值和两种二维插值的方法；[5] 通过范例展现求解实际问题的初步建模过程；通过自己动手作实验学习如何用插值方法解决实际问题，提高探索和解决问题的能力。
通过撰写实验报告，促使自己提炼思想，按逻辑顺序进行整理，并以他人能领会的方式表达自己思想形成的过程和理由。
提高写作、文字处理、排版等方面的能力。
二、实验内容1．编写拉格朗日插值方法的函数M 文件；2．用三种插值方法对已知函数进行插值计算，通过数值和图形输出，比较它们的效果；3．针对实际问题，试建立数学模型，并求解。
三、实验步骤1．开启软件平台——MATLAB ，开启MATLAB 编辑窗口； 2．根据各种数值解法步骤编写M 文件3．保存文件并运行；4．观察运行结果(数值或图形)；5．写出实验报告，并浅谈学习心得体会。
四、实验要求与任务根据实验内容和步骤，完成以下具体实验，要求写出实验报告（实验目的→问题→数学模型→算法与编程→计算结果→分析、检验和结论→心得体会）基础实验1. 一维插值 利用以下一些具体函数，考察分段线性插值、三次样条插值和拉格朗日多项式插值等三种插值方法的差异。
1），x ∈[-5,5]； 2）sin x , x ∈[0,2π]; 3）cos 10x , x ∈[0,2π]．211x+M 文件：（1）clcx=linspace(-5,5,11);y=1./(1+x.^2);x0=linspace(-5,5,101);y0=1./(1+x.^2);y1=interp1(x,y,x0,'spline')y2=interp1(x,y,x0);A=[ones(11,1) x' (x.^2)' (x.^3)' (x.^4)' (x.^5)' (x.^6)' (x.^7)' (x.^8)' (x.^9)' (x.^10)']a=A\y';y3=a(1)+a(2).*x0+a(3).*x0.^2+a(4).*x0.^3+a(5).*x0.^4+a(6).*x0.^5+a(7).*x0.^6+a(8).*x0.^7+a(9).*x0.^8+a(10).*x0.^9+a(11).*x0.^10;plot(x0,y3,'r'),gtext('Lagr.'),hold on ,plot(x0,y2,'b'),gtext('Pies.Lin.'),hold on ,plot(x0,y1,'m'),gtext('Spline')hold off（2）x=linspace(0,2*pi,11); y=cos(x);x0=linspace(0,pi,101);y0=cos(x0);剩余代码和（1）中相同（3）x=linspace(0,pi,11);y=cos(x).^10;x0=linspace(0,pi,101);y0=cos(x0).^10;剩余代码和（1）中相同注意：适当选取节点及插值点的个数；比较时可以采用插值点的函数值与真实函数值的差异，或采用两个函数之间的某种距离。
插值数值实验报告(3篇)
第1篇一、实验目的1. 理解并掌握插值法的基本原理和常用方法。
2. 学习使用拉格朗日插值法、牛顿插值法等数值插值方法进行函数逼近。
3. 分析不同插值方法的优缺点，并比较其精度和效率。
4. 通过实验加深对数值分析理论的理解和应用。
二、实验原理插值法是一种通过已知数据点来构造近似函数的方法。
它广泛应用于科学计算、工程设计和数据分析等领域。
常用的插值方法包括拉格朗日插值法、牛顿插值法、样条插值法等。
1. 拉格朗日插值法拉格朗日插值法是一种基于多项式的插值方法。
其基本思想是：给定一组数据点，构造一个次数不超过n的多项式，使得该多项式在这些数据点上的函数值与已知数据点的函数值相等。
2. 牛顿插值法牛顿插值法是一种基于插值多项式的差商的插值方法。
其基本思想是：给定一组数据点，构造一个次数不超过n的多项式，使得该多项式在这些数据点上的函数值与已知数据点的函数值相等，并且满足一定的差商条件。
三、实验内容1. 拉格朗日插值法（1）给定一组数据点，如：$$\begin{align}x_0 &= 0, & y_0 &= 1, \\x_1 &= 1, & y_1 &= 4, \\x_2 &= 2, & y_2 &= 9, \\x_3 &= 3, & y_3 &= 16.\end{align}$$（2）根据拉格朗日插值公式，构造插值多项式：$$P(x) = \frac{(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)}{(x_0-x_1)(x_0-x_2)(x_0-x_3)}y_0 + \frac{(x-x_0)(x-x_2)(x-x_3)}{(x_1-x_0)(x_1-x_2)(x_1-x_3)}y_1 + \frac{(x-x_0)(x-x_1)(x-x_3)}{(x_2-x_0)(x_2-x_1)(x_2-x_3)}y_2 + \frac{(x-x_0)(x-x_1)(x-x_2)}{(x_3-x_0)(x_3-x_1)(x_3-x_2)}y_3.$$（3）计算插值多项式在不同点的函数值，并与实际值进行比较。
实验一---函数插值方法报告
实验一 函数插值方法报告一、问题提出对于给定的一元函数)(x f y =的n+1个节点值(),0,1,,j j y f x j n ==。
试用Lagrange公式求其插值多项式或分段二次Lagrange 插值多项式。
数据如下：（1）求五次Lagrange 多项式5L ()x ，和分段三次插值多项式，计算(0.596)f ,(0.99)f 的值。
（提示：结果为(0.596)0.625732f ≈, (0.99) 1.05423f ≈ ）（试构造Lagrange 多项式6，计算的(1.8)f ,(6.15)f 值。
（提示：结果为(1.8)0.164762f ≈, (6.15)0.001266f ≈ ）二、要求1、 利用Lagrange 插值公式00,()n ni n kk i i k k i x x L x y x x ==≠⎛⎫-= ⎪-⎝⎭∑∏编写出插值多项式程序； 2、 给出插值多项式或分段三次插值多项式的表达式；3、 根据节点选取原则，对问题（2）用三点插值或二点插值，其结果如何；4、 对此插值问题用Newton 插值多项式其结果如何。
Newton 插值多项式如下： 10010,()()[,,]()k n n j k k j j k N x f x f x x x x -==≠=+•-∑∏其中：0,()() [,,]k ikii jj j ikf xx x f x x==≠-=∑∏三、目的和意义1、学会常用的插值方法，求函数的近似表达式，以解决其它实际问题；2、明确插值多项式和分段插值多项式各自的优缺点；3、熟悉插值方法的程序编制；4、如果绘出插值函数的曲线，观察其光滑性。
四、实验学时：2学时五、实验步骤：1．进入C或matlab开发环境；2．根据实验内容和要求编写程序；3．调试程序；4．运行程序；5．撰写报告,讨论分析实验结果.解：一、编写插值函数结构程序Lagrange插值多项式M文件：lagrange1.mfunction [A1,LN,L1,B1]=lagrange1(X,Y)m=length(X); LN=ones(m,m);for k=1: mx1=1;for i=1:mif k~=ix1=conv(x1,poly(X(i)))/(X(k)-X(i));endendL1(k,:)=x1; B1(k,:)=poly2sym (x1)endA1=Y*L1;LN=Y*B1分段三次艾尔米特插值多项式的M文件：Hermite3.mfunction [f,ff] = Hermite3(x,y,y1)syms t;f = 0.0;if(length(x) == length(y))if(length(y) == length(y1))n = length(x);elsedisp('y和y的导数的维数不相等');return;endelsedisp('x和y的维数不相等！');return;endfor i=1:nh = 1.0;a = 0.0;for j=1:nif( j ~= i)h = h*(t-x(j))^2/((x(i)-x(j))^2);a = a + 1/(x(i)-x(j));endendf = f + h*((x(i)-t)*(2*a*y(i)-y1(i))+y(i));endff = subs(f,'t');L()x，和分段三次插值多项式。
插值法及其应用【文献综述】
文献综述信息与计算科学插值法及其应用插值问题是数值计算中基础而又核心的问题. 在许多实际问题及科学研究中, 因素之间往往存在着函数关系, 然而, 这种关系经常很难有明显的解析表达, 通常只是有观察与测试得到一些离散数值.有时即使给出了解析表达式, 却由于表达过于复杂, 不仅使用不便, 而且不易与进行计算与理论分析. 例如在工程实际问题中, 我们也经常会碰到诸如此类的函数计算问题, 被计算的函数有时不容易直接计算, 如表达式过于复杂或者只希望能用一个“简单函数”逼近被计算函数, 然后用该简单函数的函数值近似代替被计算函数的函数值. 这种方法就叫插值逼近或者插值法. 插值法要求给出函数的一个函数表, 然后选定一种简单)(x f 的函数形式, 比如多项式、分段线性函数及三角多项式等, 通过已知的函数表来确定一个简单的函数作为的近似, 概括地说, 就是用简单函数为离散数组建立连续模型. )(x )(x f 插值方法是一类古老的数学方法, 它来自生产实践. 早在数千多年前, 由于经典的牛顿力学尚未诞生, 因而人们无法用解析式描述日月五星的运行规律. 我们的祖先凭借插值方法, 利用对日月五星运行规律的有限个观测值获得了比较完整的日月五星的运行规律. 在一千多年前的隋唐时期, 中华先贤在制定历法的过程中就已经广泛地运用了插值技术. 公元6世纪, 隋朝刘焊已将等距结点的二次插值应用于天文计算. 但插值的基本理论和结果是在微积分产生以后才逐步完善的, 随后其应用也日益增多, 特别是在电子计算机广泛使用以后, 由于航空、造船、精密机械加工等实际问题的需要,使插值法在实践上或理论上显得更为重要, 并得到进一步发展.经典的插值方法以Taylor 插值和Lagrange 插值为代表. Taylor 插值利用函数在定义域内某点处的阶至n 阶导数信息给出复杂函数或未知函数的近似多项式表达式, Lagrange 插0值利用多个离散点的函数信息给出函数的近似多项式的表达式, 进一步根据插值结果对复杂函数或未知函数相关的理论和应用问题做出讨论.因此Taylor 插值和Lagrange 插值有着紧密的联系, Taylor 插值可以看作Lagrange 插值的极限形式；Lagrange 插值则是Taylor 插值的离散化形式.Lagrange 插值的优点是插值多项式特别容易建立, 缺点是增加节点时原有多项式不能利用, 必须重新建立, 即所有基函数都要重新计算, 这就造成计算量的浪费；Newton插值多项式是代数插值的另一种表现形式, 当增加节点时它具有所谓的“承袭性”. .在很多实际应用问题中, 为了保证插值函数能更好的密合原来的函数, 不但要求插值函数“过点”, 即插值函数和被插值函数在节点上具有相同的函数值, 而且要求“相切”, 即两者在节点处还具有相同的导数值, 这类插值称作切触插值, 即Hermite插值.由于Taylor 插值利用的是“一点”的各阶导数信息, Lagrange插值利用的“多点”函数信息, 而Hermite插值即利用函数值信息又利用导数信息, 所以Hermite插值是Taylor插值和Lagrange插值的综合和推广.现在, 插值技术应用越来越广泛了. 当我们尚未认识到某一事物的本质时, 常从其观测点出发, 利用插值技术以加深或拓展对该事物的认识或解决某些特定的问题.密钥共享即是插值法的应用之一. 在现代密码体制中, 数据的加密算法是公开的, 数据的安全性主要取决于对密钥的保护. 现在基于Lagrange插值多项式也研究出了一种密钥共享方法, 解决了密钥保护问题.目前实际中使用的也不仅仅局限与上述的插值方法, 很多都是对经典方法的改进, 例如《空间插值法在地阶梯度场中的分析》一文中介绍了4种空间插值法在房产估值中的应用, 4种空间插值方法都各有优缺点, 作者通过对各种方法研究比较, 最后选择克里金插值法作为住宅用地地价梯度场研究的主要方法.根据其研究成果房地产决策者和规划者可以对城市居住用地的土地利用向最有效使用方向调整, 最大限度的实现土地的最高使用价值.随着计算机的发展以及图像处理的重要性, 插值法在计算机图像处理中也有着重要的作用.图像放大是一种常用的数字图像处理技术, 在航天航天、医学、通讯、多媒体等领域有着广泛的应用, 常用的图像插值算法中, 最临近插值算法的实现最为简单、方便, 但它只是原始像素简单复制到其邻域内, 放大图像会出现明显的方块或锯齿, 即我们平时所说的失真.目前较为好的方法之一即双线性插值算法, 双线性插值算法利用映射点在输入图形的4个邻点的灰度值对映射点进行插值, 即插值点处的数值用待插点最近的4个点的值加权求得. 双线性插值能够较好的消除锯齿, 放大后图像平滑性好.但是其缺点是图像高频信息丢失严重, 即图像细节与轮廓的模糊, 影响了放大图像的清晰度.因此在双线性插值放大技术的基础之上, 加入边缘锐化处理, 增强平滑图像的轮廓, 使放大后的图像有较好的清晰度.插值法的基本理论和结果是在微积分产生以后才逐步完善的, 其应用也日益增多, 特别是在电子计算机广泛使用以后, 由于航空、造船、精密机械加工等实际问题的需要, 使插值法在实践上或理论上显得更为重要, 并得到进一步发展.参考文献[1]李庆扬, 王能超, 易大义.数值分析.第4版[M].北京:清华大学出版社, 2001.[2]黄铎, 陈兰平, 王凤.数值分析[M].北京:科学出版社, 2000.[3]沈燮昌.多项式最佳逼近实现[M].上海:上海科学技术出版社, 1984.[4]Stoer J, Bulirsh R. Introduction to Numerical Analysis[M].New York:Springer-Verlag, 1980 .[5]吴才斌．插值法及其应用[J].湖北大学成人教育学院学报, 1999, 17(5):77-80.[6]杨士俊, 王兴华.Hermite插值多项式的差商表示及其应用[J].高校应用数学学报, 2006,21(1):70-78.[7]姜琴, 周天宏.常见的插值法及其应用[J].郧阳师范高等专科学校学报, 2006, 26(3):6-8.[8]陈文略, 王子羊.三次样条插值在工程拟合中的应用[J].华中师范大学学报, 2004,38(4):418-422.[9]朱春钢.二元线性样条插值[J].应用数学, 2006, 19(3):575-579.[10]李洪杰.关于三次样条插值方法在应用中的一点改进[J].计算机与应用化学, 1991,8(3):187-190.[11]王芳.牛顿插值法在数学中的应用[J].浙江师范大学学报, 1994, 17(4):67-73.[12]张元巨.Hermite插值的一种新形式[J].苏州科技学院学报, 2004, 24(3):27-29.[13]文畅平.埃米尔特插值函数的工程应用[J].人民黄河, 2006, 28(4):69-70.[14]C.R.Selvaraj. Lacunary interpolation by consine polynomials [J].Hungar, 1994, 64(4):361-372.[15]R.D.Riess. Error estimates of hermite interpolation [J].BIT, 1973, 13:338-343.。
插值法综述《计算方法》学习报告
插值法综述《计算方法》学习报告一、引言计算方法是计算机科学与技术专业的一门重要基础课程，主要介绍了插值法在数值计算中的应用。
插值法是一种用已知的离散数据拟合出连续函数的方法，广泛应用于数据分析、数据处理以及图像处理等领域。
本学期我在学习《计算方法》过程中，对插值法进行了深入学习与研究，现将所学内容进行总结。
二、插值法的基本概念插值法是指在给定的有限数据点集上，通过构造插值多项式来拟合出一个连续的函数，从而可以用于求解数据点之间的未知函数值。
插值法的基本思想是利用已知的数据点，通过构造插值函数来拟合这些数据点，并且能够满足特定的插值条件。
常见的插值法有拉格朗日插值法、牛顿插值法、埃尔米特插值法等。
三、拉格朗日插值法拉格朗日插值法是由法国数学家拉格朗日在18世纪中叶提出的，它利用了多项式的唯一性和插值条件，通过巧妙选择权重系数来构造插值多项式。
拉格朗日插值法的优点是简单易懂，易于计算，而且适用于实际问题中的绝大多数情况。
四、牛顿插值法牛顿插值法是由英国物理学家牛顿在17世纪提出的，它通过不断增加插值点，逐步逼近所需插值函数。
牛顿插值法的优点是计算过程简单直观，当新增一个数据点时，只需重新计算差商即可，不需要重新计算整个插值多项式。
五、埃尔米特插值法埃尔米特插值法是由19世纪德国数学家埃尔米特提出的，它是拉格朗日插值法和牛顿插值法的推广和扩展。
埃尔米特插值法在插值点不仅给定数据值，还给定导数值的情况下，构造一个既满足插值条件又满足切线条件的插值多项式。
埃尔米特插值法的优点是在一定程度上提高了插值函数的光滑性和拟合精度。
六、插值法的应用插值法在计算机科学与技术中有广泛的应用，例如在数据处理与分析中，可以利用插值法来填补缺失数据、修复损坏数据和平滑噪声数据；在图像处理中，可以利用插值法来实现图像的放大缩小、旋转变换和形状重建等操作。
插值法还可以应用于科学计算中的数值积分、数值微分以及数值解常微分方程等问题的求解。
计算方法——插值法综述
计算方法——插值法11223510 李晓东在许多实际问题及科学研究中，因素之间往往存在着函数关系，然而，这种关系经常很难有明显的解析表达，通常只是一些离散数值。
有时即使给出了解析表达式，却由于表达式过于复杂，使用不便，且不易于计算与分析。
解决这类问题我们往往使用插值法：用一个“简单函数”)(x ϕ逼近被计算函数)(x f ，然后用)(x ϕ的函数值近似替代)(x f 的函数值。
插值法要求给出)(x f 的一个函数表，然后选定一种简单的函数形式，比如多项式、分段线性函数及三角多项式等，通过已知的函数表来确定)(x ϕ作为)(x f 的近似，概括地说，就是用简单函数为离散数组建立连续模型。
一、 理论与算法（一）拉格朗日插值法在求满足插值条件n 次插值多项式)(x P n 之前，先考虑一个简单的插值问题：对节点),,1,0(n i x i =中任一点)0(n k x k ≤≤，作一n 次多项式)(x l k ，使它在该点上取值为1，而在其余点),,1,1,1,0(n k k i x i +-=上取值为零，即⎩⎨⎧≠==k i ki x l i k 01)( （1.1）上式表明n 个点n k k x x x x x ,,,,,,1110 +-都是n 次多项式)(x l k 的零点，故可设)())(())(()(1110n k k k k x x x x x x x x x x A x l -----=+-其中，k A 为待定系数。
由条件1)(=k k x l 立即可得)())(()(1110n k k k k k k k x x x x x x x x A ----=+-（1.2）故 )())(()()())(()()(110110n k k k k k k n k k k x x x x x x x x x x x x x x x x x l --------=+-+-（1.3）由上式可以写出1+n 个n 次插值多项式)(,),(),(10x l x l x l n 。
地下水空间变化及插值方法综述
地下水空间变化及插值方法综述发表时间：2020-12-28T11:51:03.163Z 来源：《基层建设》2020年第25期作者：丘宁姜苗苗[导读] 摘要：地下水是大气降水以及地表水渗入地下，赋存于地下含水层中的水体，是水资源的重要组成部分，受气象、地形及人类活动等因素的影响，地下水变化呈现出一定的空间分布规律。
黄河水利委员会山东水文水资源局山东济南 250100摘要：地下水是大气降水以及地表水渗入地下，赋存于地下含水层中的水体，是水资源的重要组成部分，受气象、地形及人类活动等因素的影响，地下水变化呈现出一定的空间分布规律。
地下水空间分布及影响因素研究是水资源时空演变规律分析的重要研究内容之一，描述其空间变化及成因是水资源合理开发利用和科学管理的前提，采用一定的空间插值方法由地下水站点观测信息得到其空间变化，是认识地下水资源量空间分布规律的重要途径。
关键词：地下水；空间分布；影响因素；插值方法1.引言自然地理、水热条件的差异以及人类活动影响了区域水资源分布，使得地下水位呈现出显著的空间变化。
根据地下水站点观测信息得到其空间变化特征及其成因，是认识地下水资源量空间分布规律的重要途径。
地下水位空间分布图在水文、环境、地质领域都具有重要意义，可通过基于空间统计学的空间插值方法或地下水数值模型模拟得到，这两种方法分别属于随机方法和确定性模型/方法。
本文概述了地下水在空间上的分布特征及其影响因素，同时阐述了空间插值方法的在地下水动态估计中的研究进展。
2 地下水空间变化及其影响因子地下水是大气降水以及地表水渗入地下，赋存于地下含水层中的水体，是水资源的重要组成部分。
地下水资源的分布受主要补给来源降水、地形、地质条件、人类取水（农田灌溉）、修建水库等影响。
我国地下水资源占全国水资源总量的1/3，分布由东南向西北减少，这主要由降水的空间分布决定，占全国面积60%的北方地区地下水资源量仅占全国地下水总量的30%，地下水资源量南北方分布差异明显，但地下水开采量北方约140km3/a，占全国地下水开采总量的49%。
高等数值分析-插值法报告
南京理工大学课程考核论文课程名称：高等数值分析论文题目：基于matlab的函数插值方法性能比较姓名：xxx学号：xxxxxxxxxx成绩：摘要函数插值是指已知某函数的在若干离散点上的函数值或者导数信息，通过求解该函数中待定形式的插值函数以及待定系数，使得该函数在给定离散点上满足约束。
本文首先介绍了五种插值方法：线性插值、lagrange插值、newdun插值、三次样条插值和三次B样条插值，并从五种插值法的基本思想和具体实例仿真入手，探讨了五种插值法的优缺点。
通过对五种插值法的对比研究及实际应用的总结，从而使我们在以后的应用中能够更好、更快的解决问题。
关键字插值法对比matlab目录摘要 (2)0 引言 (4)1插值问题的提出、发展史及简单应用 (4)1.1插值问题的提出 (4)1.2插值法的发展史 (4)1.3插值法的简单应用 (4)2 五种插值法的定义 (5)2.1线性插值法 (5)2.2Lagrange插值法 (5)2.3Newton插值法 (6)2.4 三次样条插值法 (6)2.5B样条插值 (6)3五种插值法的matlab仿真实现 (8)4五种插值方法性能对比 (11)5结束语 (12)参考文献 (12)0 引言近半世纪由于计算机的广泛使用和造船、航空、精密机械加工等世纪问题的需要，使插值法在理论上和实践上得到进一步发展，尤其是20世纪40年代后期发展起来的样条插值等，更获得广泛应用，称为计算机图形学的基础。
插值是指已知某函数的在若干离散点上的函数值或者导数信息，通过求解该函数中待定形式的插值函数以及待定系数，使得该函数在给定离散点上满足约束。
插值函数又叫作基函数，如果该基函数定义在整个定义域上，叫作全域基，否则叫作分域基。
1插值问题的提出、发展史及简单应用1.1插值问题的提出许多实际问题都用函数来表示某种内在规律的数量关系，其中相当一部分函数是通过实验或观测得到的。
虽然()x f 在某个区间[]b a ,上是存在的，有的还是连续的，但却只能给出[]b a ,上一系列点i x 的函数值()() 2,1,0==i x f y i i ，这只是一张函数表.有的函数虽有解析表达式，但由于计算复杂，使用不方便，通常也造一个函数表，如大家熟悉的三角函数表、对数表、平方根和立方根表.为了研究函数的变化规律，往往需要求出不在表中的函数值.因此，我们希望根据给定的函数表做一个既能反映函数()x f 的特性，又便于计算简单函数()x p ，用()x p 近似()x f 。
地统计插值方法综述
备注：excel矩阵求逆函数minverse(),转置函 数transpose()，相乘函数mmult()
核心内容，必须掌握
0.022 0.518
0.147 0.171
0.089
0.077 0.371
0.605
“屏蔽”作用
二、简单克立格与普通克立格
(1)点普通克里格法的计算 ②不规则格网采样数据 在一研究区内，Z(x)为区域化变量，满足二阶平稳 假设，协方差函数为C(h)，变异函数为γ (h)，且是 一个二维各向同性的指数模型。模型参数为 C0=0,C=10,a=10，模型为
注意：当样品不是点支撑，而是以xi为中心的小块 段vi时，以上矩阵适用，只需将xi换为vi ，但含义 不同。假设条件适用情况同前。
作业4
（1）写出普通克里格方程组和估计方差 的推导过程，并分别用协方差函数和变异 函数表达； （2）写出普通克里格方程组和估计方差 的矩阵表达式推导过程，并分别用协方差 函数和变异函数表达；
对系数 λi求偏导，并令其为0， 令n=3
则偏导数通式为：
整理得简单克立格方程 组， 即，
则n个未知量，n个方程，解出系数 λi，
二、简单克立格与普通克立格
得Y(V)的简单克立格估计量， 记为Yk# 得到简单克立格估计方差:
二、简单克立格与普通克立格
二、简单克立格与普通克立格
2、普通克里格法 设Z(x)为区域化变量，满足 二阶平稳假设或本征假设， 其数学期望为m，为未知常 数，协方差函数为C(h)，变 异函数为γ (h) 估计中心点为x， 体积为V的待估块段的平均值 ZV(x), 在待估块段V附近有n个样点xi(i=1,2,…n),其观测值 为Z(xi) (i=1,2,…n)，则： 点： 块段：
计算方法-插值法报告
计算方法报告——插值1.原理简介插值法是利用函数f (x)在某区间中已知的若干点的函数值，作出适当的特定函数，在区间的其他点上用这特定函数的值作为函数f (x)的近似值。
根据算法和插值要求的不同，有多种插值方法。
拉格朗日插值：有平面上点集{（x i,y i）}共n个点，现作函数f(x)图像使其过这n个点P i(x)=∏x−x j x i−x jnj=0 j≠i L n(x)=∑P i(x)×y ini=1则f(x)=L n(x)牛顿插值：同样点集，用不同方法构造插值多项式。
定义差商：f[x0，x1]=f(x0)−f(x1) x0−x1f[x0，x1……x k]=f[x0，x1……x k−1]−f[x1，x2……x k]x0−x k则有：N(x)=f[x0]+∑f[x0，x1……x k](x−x0)(x−x1)…（x−x k−1）nk=1理论上牛顿插值与拉格朗日插值所得插值多项式完全相同，只是不同写法。
2.算法描述分析函数：homework1.C 画图函数：DrawPlot.cpp为简化程序，将Lagrange插值与Newton插值算法作为子函数调用。
子函数Lagrange()中，输入插值点个数n，插值点集x[n]，y[n]，即可得到x点的Lagrange插值函数值L(x)。
同样，Newton()中输入相同信息可得到x点Newton插值函数值N(x)。
主函数main()中，先根据设定选择样点为等距分割还是Chebyshev分割，取得点集point_x[n+1]和point_y[n+1]，取点范围（-1，1）。
再调用子函数分别计算各x[i]点下的真实函数值，牛顿插值函数值，拉格朗日插值函数值及各种误差，在循环结束后将需要的误差L_inf 和L1输出到屏幕。
最后利用root TGraph把计算得到的数组画出函数图像，并存到rootfile 中。
在误差计算中只用了-1~0上的点，画图时扩大范围画到-1~1全部点DrawPlot函数中读取了homework1.C中画的函数图像，将其整合到一起，设置线条颜色及宽度，加上一个图例，重新生成一张图像。
插值法综述《计算方法》学习报告
插值法综述一、插值法及其国内外研究进展1.插值法简介插值法是一种古老的数学方法，它来自生产实践,早在一千多年前,我国科学家在研究历法上就应用了线性插值与二次插值,但它的基本理论却是在微积分产生之后才逐渐完善的，其应用也日益增多,特别是在计算机广泛使用之后，由于航空、机械加工、自动控制等实际问题的需要，使插值法在实践和理论上都显得更为重要,并得到了空前的发展。
2.国内外研究进展● 插值法在预测地基沉降的应用● 插值法在不排水不可压缩条件下两相介质的两重网格算法的应用 ● 拉格朗日插值法在地震动的模拟研究中的应用 ● 插值法在结构抗震可靠性分析中的应用● 插值法在应力集中应变分布规律实验分析中的应用 3．代表性文献● 不等时距ＧM （1%2c1)模型预测地基沉降研究 秦亚琼 武汉理工大学学报(交通科学与工程版) ２00８.2● 不排水不可压缩条件下两相介质的两重网格算法 牛志伟 岩土力学 2００８．３● 基于拉格朗日插值法的地震动的模拟 白 可 山西建筑201０.10● 响应表面法用于结构抗震可靠性分析 张文元 世界地震工程1997● 小议应力集中应变分布规律的实验方法 查珑珑 淮海工学院学报(自然科学版)200４.6二、插值法的原理【原理】设有n+1个互不相同的节点（i x ,i y ) （i=0,1,2，...n ）则存在唯一的多项式:2012()...(1)nn n L x a a x a x a x =++++ 使得()(0,1,2,...)(2)n j j L x y j n ==证明：构造方程组20102000201121112012......(3)...n n nn n nn n n n a a x a x a x y a a x a x a x y a a x a x a x y⎧++++=⎪++++=⎪⎨⎪⎪++++=⎩令:0011111nn n n n x x x x A x x ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦01n a a X a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦01n y y Y y ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 方程组的矩阵形式如下：(4)AX Y=由于110()0nn i j i j A x x -===-≠∏∏所以方程组（４）有唯一解。
插值方法综述报告
实用数值方法(Matlab)综述报告题目：插值方法综述小组成员姓名：毛晓雯学号：201202070607 班级：机自6 班2014-2015(1)学期提交日期：2014年12月29日插值方法综述1 插值方法总结在离散数据基础上补插出连续函数是计算数学中最基本最常用的手段，是函数逼近的重要方法，利用它可以通过函数在有限个点处的取值状况估算该函数在其它点处的值。
因此，插值方法是观测数据处理、函数近似表示、计算几何造型等所常用的工具，又是导出其它许多数值方法的依据。
在教材的第二章中我们重点学习了Lagrange 插值、Aitken 逐步插值、Taylor 插值和Hermite 插值，另外也初步了解了分段插值和样条插值。
下面对此做一简单介绍：首先，Lagrange 插值要求其插值函数()p x 与所逼近的函数()f x 在一系列节点上取相同的函数值，其形式为00nnji i j i jj ix x y y x x ==≠⎛⎫- ⎪= ⎪- ⎪⎝⎭∑∏。
Aitken 逐步插值是对Lagrange 插值的改进，它是将多点的Lagrange 插值化归为两点插值的重复，是一个规模递减的过程。
Talor 插值则是要求插值函数与原来的函数在一系列节点上导数相同，其形式''()'20000000()()()()()()()()2!n n n f x f x p x f x f x x x x x x x n =+-+-++-L 。
Hermite 插值综合了Lagrange 插值和Talor 插值，它既要求插值函数与原来的函数在节点上具有相同的函数值，又要求其在节点上导数相同。
Hermite 插值函数可通过待定系数法、余项校正法、基函数法这三种方法构造。
分段插值是将插值函数逐段多项式化，选取分段多项式最为插值函数。
最后样条插值是指选取样条函数作为插值函数，是一种改进的分段插值，具有光滑性和间断性。
插值方法_实验报告
肖建 计科三班 20095420开课学院、实验室： 数统学院实验时间 ：2011年 5 月 8 日实验项目类型课程名称数学实验实验项目名 称插值方法验证演示综合设计其他指导教师李东成 绩实验5 插值方法一、实验目的及意义[1] 了解插值的基本原理[2] 了解拉格朗日插值、线性插值、样条插值的基本思想； [3] 了解三种网格节点数据的插值方法的基本思想；[4] 掌握用MATLAB 计算三种一维插值和两种二维插值的方法；[5] 通过范例展现求解实际问题的初步建模过程；通过自己动手作实验学习如何用插值方法解决实际问题，提高探索和解决问题的能力。
通过撰写实验报告，促使自己提炼思想，按逻辑顺序进行整理，并以他人能领会的方式表达自己思想形成的过程和理由。
提高写作、文字处理、排版等方面的能力。
二、实验内容1．编写拉格朗日插值方法的函数M 文件；2．用三种插值方法对已知函数进行插值计算，通过数值和图形输出，比较它们的效果；3．针对实际问题，试建立数学模型，并求解。
三、实验步骤1．开启软件平台——MATLAB ，开启MATLAB 编辑窗口； 2．根据各种数值解法步骤编写M 文件3．保存文件并运行；4．观察运行结果(数值或图形)；5．写出实验报告，并浅谈学习心得体会。
四、实验要求与任务根据实验内容和步骤，完成以下具体实验，要求写出实验报告（实验目的→问题→数学模型→算法与编程→计算结果→分析、检验和结论→心得体会）基础实验1. 一维插值 利用以下一些具体函数，考察分段线性插值、三次样条插值和拉格朗日多项式插值等三种插值方法的差异。
1），x ∈[-5,5]； 2）sin x , x ∈[0,2π]; 3）cos 10x , x ∈[0,2π]．211x+M 文件：（1）clcx=linspace(-5,5,11);y=1./(1+x.^2);x0=linspace(-5,5,101);y0=1./(1+x.^2);y1=interp1(x,y,x0,'spline')y2=interp1(x,y,x0);A=[ones(11,1) x' (x.^2)' (x.^3)' (x.^4)' (x.^5)' (x.^6)' (x.^7)' (x.^8)' (x.^9)' (x.^10)']a=A\y';y3=a(1)+a(2).*x0+a(3).*x0.^2+a(4).*x0.^3+a(5).*x0.^4+a(6).*x0.^5+a(7).*x0.^6+a(8).*x0.^7+a(9).*x0.^8+a(10).*x0.^9+a(11).*x0.^10;plot(x0,y3,'r'),gtext('Lagr.'),hold on ,plot(x0,y2,'b'),gtext('Pies.Lin.'),hold on ,plot(x0,y1,'m'),gtext('Spline')hold off（2）x=linspace(0,2*pi,11); y=cos(x);x0=linspace(0,pi,101);y0=cos(x0);剩余代码和（1）中相同（3）x=linspace(0,pi,11);y=cos(x).^10;x0=linspace(0,pi,101);y0=cos(x0).^10;剩余代码和（1）中相同注意：适当选取节点及插值点的个数；比较时可以采用插值点的函数值与真实函数值的差异，或采用两个函数之间的某种距离。
插值问题综述
视频图像去抖动技术综述1视频图像去抖动的目的和意义视频图像去抖动是图像处理的重要内容之一，普遍应用于军事、航空、医学、通讯、气象、遥感、动画制作和电影合成等领域。
视频图像去抖动就是利用已知邻近像素点的灰度值来产生未知像素点的灰度值，以便由原始图像再生出具有更高分辨率的图像。
研究结果表明，人眼对图像的边缘纹理等细节部分特别敏感，插值后图像细节部分的视觉效果对一幅图像质量有十分重要的影响。
因此，一个好的图像插值方法应该既能保证图像的清晰度，又能保持图像边缘的光滑性，并可以获得较高的图像质量，因此采用插值技术实现数字图像的分辨率变换有着极其重要的意义。
2研究现状目前文献中已经提出了很多实现插值的方法。
传统的插值方法侧重于图像的平滑，从而取得更好的视觉效果。
但这类方法在保持图像平滑的同时，常常导致图像的边缘模糊。
而图像的边缘信息是影响视觉效果的重要因素，同时也是目标识别与跟踪、图像匹配、图像配准等图像处理问题的关键因素。
因此，基于边缘的插值技术成为近年来研究的热点。
基于低分辨图像边缘指导进行插值的方法，可提高图像的边缘清晰度，但存在边缘偏离的现象，放大倍数越大，偏离越严重。
基于高分辨率图像边缘进行增强处理的方法，可提高传统方法的边缘对比度，得到较好的主观视觉效果，但由于对图像进行了滤波处理，会导致图像客观质量有一定下降。
同样是为了保持图像的边缘信息，近年来又出现了一些基于区域一致性的图像插值方法。
基于区域一致性的插值方法，无论从主观上还是客观上，图像质量均较好。
同时，理论分析也表明，基于区域的插值方法更符合实际，更科学。
3主要方法传统图像插值算法在传统图像插值算法中，最近邻插值较简单，它是通过计算与点00(,)f x y 邻近的四个点，并将与点00(,)f x y 最近整数坐标点(,)x y 的灰度值取为00(,)f x y 点灰度近似值。
在00(,)f x y 点各邻域灰度变化较小时，这种方法简单快速，早期的时候应用比较普遍。
插值方法总结范文
插值方法总结范文插值方法是一种用于预测未知数据点的方法，基于已知数据点之间的关系进行推断。
在统计学、计算机图形学、数据分析和地理信息系统等领域广泛应用。
插值方法可以大致分为确定性插值和随机插值两类。
1.确定性插值方法：a)线性插值：线性插值是一种最简单的插值方法，基于线性关系对两个已知数据点之间的未知点进行估计。
假设有两个已知数据点(x1,y1)和(x2,y2)，要估计点(x,y)的值。
可以通过以下公式计算：y=y1+(x-x1)*(y2-y1)/(x2-x1)b)多项式插值：多项式插值利用多项式函数逼近已知数据点之间的未知点。
最常用的多项式插值方法是拉格朗日插值和牛顿插值。
拉格朗日插值基于拉格朗日多项式，牛顿插值基于牛顿插值多项式，两者都可以计算未知点的值。
c)样条插值：样条插值方法通过逼近已知数据点之间的未知点来构建平滑的曲线。
常用的样条插值方法有线性样条插值、二次样条插值和三次样条插值。
2.随机插值方法：a)克里金插值：克里金插值是一种常用的随机插值方法，基于空间自相关性对未知点进行估计。
克里金插值假设未知点的值是空间上的一个随机变量，并通过不同的变差函数和半方差函数来进行预测。
b)泛克里金插值：泛克里金插值是克里金插值的扩展，可以处理非正定半方差函数和离散样本点，对于大规模数据有较好的适用性。
c)径向基函数插值：径向基函数插值是一种基于径向基函数构建稀疏矩阵的插值方法。
径向基函数是一个以数据点为中心的函数，通过计算未知点与已知数据点之间的距离来进行估计。
插值方法的选择取决于数据的特点、插值的目的和要求。
线性插值简单且计算效率高，适用于均匀分布的数据。
多项式插值可以实现较高的精度，但在数据点密集的情况下容易产生振荡。
样条插值可以实现光滑曲线，在光滑性要求较高的应用中较为常用。
克里金插值适用于具有空间自相关性的数据，并且可以通过参数调整来达到不同的预测效果。
总之，插值方法是一种对未知数据点进行预测的有力工具。
插值方法总结范文
插值方法总结范文插值方法是一种通过已知的离散数据点来估计未知数据点的方法。
在科学计算和数据分析领域中，插值方法被广泛应用。
本文将对插值方法进行总结。
首先，最简单直接的插值方法是线性插值。
线性插值假设在两个已知数据点之间的未知数据点是在这两个已知数据点之间的直线上。
线性插值的计算很简单，只需要根据两个已知数据点的坐标和未知数据点的位置来计算直线上的点的数值。
然而，线性插值的精度有限，特别是当数据点之间的变化非常剧烈时。
在这种情况下，更好的插值方法是多项式插值。
多项式插值假设在已知数据点之间有一个多项式函数，可以通过已知数据点的坐标来确定多项式的系数。
然后，使用这个多项式来估计未知数据点的数值。
多项式插值的精度可以通过增加多项式的次数来提高。
然而，随着多项式的次数增加，插值结果可能会出现振荡或者不稳定的情况。
为了避免多项式插值的问题，其他插值方法被提出。
其中一种常用的方法是样条插值。
样条插值将插值区域分成多个小区间，在每个小区间内使用低次多项式进行插值。
这样，样条插值可以保持插值结果光滑，并减少插值误差。
样条插值的计算相对复杂，需要解线性方程组来确定每个小区间的多项式系数。
然而，样条插值可以提供比多项式插值更好的精度和稳定性。
除了多项式插值和样条插值，还有其他一些插值方法被应用。
例如，径向基函数插值使用径向基函数来估计未知数据点的数值。
这种方法对于高维数据和非结构化数据具有很好的效果。
另外，Kriging插值是一种基于统计学原理的插值方法，可以利用已知数据的空间相关性来估计未知数据点的值。
总之，插值方法是一种通过已知数据来估计未知数据的方法。
线性插值和多项式插值是简单直接的方法，但精度有限。
样条插值可以提供更好的精度和稳定性。
其他插值方法，如径向基函数插值和Kriging插值，可以适用于特定的数据结构和类型。
在实际应用中，需要根据问题的特点选择合适的插值方法。
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实用数值方法(Matlab)综述报告题目：插值方法综述小组成员姓名：毛晓雯学号：************ 班级：机自6 班2014-2015(1)学期提交日期：2014年12月29日插值方法综述1 插值方法总结在离散数据基础上补插出连续函数是计算数学中最基本最常用的手段，是函数逼近的重要方法，利用它可以通过函数在有限个点处的取值状况估算该函数在其它点处的值。
因此，插值方法是观测数据处理、函数近似表示、计算几何造型等所常用的工具，又是导出其它许多数值方法的依据。
在教材的第二章中我们重点学习了Lagrange 插值、Aitken 逐步插值、Taylor 插值和Hermite 插值，另外也初步了解了分段插值和样条插值。
下面对此做一简单介绍：首先，Lagrange 插值要求其插值函数()p x 与所逼近的函数()f x 在一系列节点上取相同的函数值，其形式为00nnji i j i jj ix x y y x x ==≠⎛⎫- ⎪= ⎪- ⎪⎝⎭∑∏。
Aitken 逐步插值是对Lagrange 插值的改进，它是将多点的Lagrange 插值化归为两点插值的重复，是一个规模递减的过程。
Talor 插值则是要求插值函数与原来的函数在一系列节点上导数相同，其形式''()'20000000()()()()()()()()2!n n n f x f x p x f x f x x x x x x x n =+-+-++-。
Hermite 插值综合了Lagrange 插值和Talor 插值，它既要求插值函数与原来的函数在节点上具有相同的函数值，又要求其在节点上导数相同。
Hermite 插值函数可通过待定系数法、余项校正法、基函数法这三种方法构造。
分段插值是将插值函数逐段多项式化，选取分段多项式最为插值函数。
最后样条插值是指选取样条函数作为插值函数，是一种改进的分段插值，具有光滑性和间断性。
2 Newton 插值方法Newton 插值方法与我们教材中的Aitken 逐步插值相似，它们都是对Lagrange 插值方法的改进，克服了Lagrange 插值在增加插值节点后，必须重新计算所有的插值基函数的缺点。
首先我们设通过n+1个点()()i i x f x +()0,1,i n =的n 次插值多项式为01()()n n a x x x x -+--其中，01,,,n a a a 为待定系数，由插值条件P ()(),0,1,n j j x f x j n ==可得：当0x x =时，()000()n P x a f x ==当1x x =时，101101()()()n P x a a x x f x =+-=，推得10110()()f x f x a x x -=-当2x x =时，20110220212()()+()()()n P x a a x x a x x x x f x =+---=，推得()()()()21102110220f x f x f x f x x x x x a x x -----=- 依次递推，可得3,n a a 。
为了给出系数()0,1,k a k n =的一般表达式，下面引进差商的概念。
2.1 差商的定义和性质定义 设()y f x =在点()01,,n i j x x x i j x x ≠≠时，处的取值分别为()()01,,,f x f x ()n f x ，称()(),j i j if x f x i j x x -≠-为函数()f x 在,i j x x 处的一阶差商，并记为,i j f x x ⎡⎤⎣⎦；一般地，将][]010,,k k k x f x x x x ---称为()f x 在01,,k x x x 处的k 阶差商。
差商的计算可列表进行（见表1-1）表2-1 差商表性质1 ()f x 在01,,k x x x 处的k 阶差商[]01,,,k f x x x 可以表示为函数值()0f x ，()1,f x ()k f x 的线性组合，形如]0kk i x ==∑其中，()()10kk j j x x x ω+==-∏。
性质2 差商具有对称性，即在[]01,,,k f x x x 中任意改变节点,i j x x 的次序，其值不变。
性质3 对于n 次多项式()f x 的k 阶差商[]01-1,,,k f x x x ，当k n ≤时，是n k -次多项式，而当k n >时，其值恒等于零。
2.2 Newton 插值公式设在01,,,n x x x x 处，函数()y f x =的取值分别为()()01,,,()n f x f x f x 和()f x ，由差商的定义[]()()000,f x f x f x x x x -=-从而有()()[]()000,f x f x f x x x x =+-类似地，由各阶差商的定义，可以依次得到][][]()1010,,,,,,,n n n n x f x x x f x x x x x -=+-对式（2-4）的第二式两边同乘()0x x -，第三式两边同乘()()01x x x x --，……，依此类推，将最后一式两边同乘()()()011n x x x x x x ----。
然后将上面分别乘过不同因式后所有n+1个等式两边相加，整理得]()()[]()()0100,,,,,n n n n x x x x x f x x x x x x x -+--+--记()[]()[]()()[]()()0010012010110,,,,,,n n f x f x x x x f x x x x x x x f x x x x x x x -+-+--++--()[]()()~00,,n n n R x f x x x x x x x =--则称()n N x 为n 次Newton 插值多项式，()~n R x 为相应的截断误差。
显然，()n N x 是不超过n 次的多项式，若能验证()n N x 满足插值条件,n则通过n+1个点()()(),0,1,i i x f x i n =的插值多项式就可按式（2-6）进行构造。
而要验证插值条件式（2-9），只需证明()()n n N x L x =即可。
事实上，设()P x 是任意一个不超过n 次的多项式，将()P x 按式(2-5)展开，则由差商性质3可知其截断误差为零，即[]()()0101,,,n n P x x x x x x x -+-- 现取()f x 在节点01,,n x x x 的Lagrange 插值多项式()n L x 作为式（2-10）中的()P x ，则()n L x 也可表示成()[]()[]([]()()00100120101,,,,,,n n n n n x L x x x x L x x x x x L x x x x x x x -+-+-+--又由于()(),0,1,n i i L x f x i n ==所以式（2-11）中()n L x 在各节点处的各阶差商值等于()f x 在这些节点处相应的各阶差商值，故[]()()[]()()01010101,,,=(,,,x n n n n n n L x x x x x x x f x f x x x x x x N --+--+--=即确实满足插值条件式（2-9）。
Newton 插值公式的优点是：但增加一个节点时，即增加一次插值多项式的次数时，只要在增加一项就行了，且有递推关系式()()()()1010,,,,k k k k N x N x f x x x x x x x x +⎡⎤=+--⎣⎦()()()()()()()()2102!k k k f f x N x x x x x x x k ξ++-=---+其中，ξ介于01,,,n x x x x 之间。
对于节点01,,n x x x 的n 次插值多项式，分别用Lagrange 插值方法和Newton 插值方法，则()f x 可分别表示为()()()n n f x L x R x =+和()()()~n n f x N x R x =+结合式（2-12），两个插值多项式的余项也应相等，即有[]()()()()101,,,,,,1!n n f f x x x x a b n ξξ+=∈+因此可以得到差商的另一个重要性质：性质4],k f x =01,k x 的最小值和最大值之间。
2.3 Newton 插值的算法[],,x x x 、…、],n x )()01x x x -,n ，得到将得到的利用所得到的插值多项式，估算的值2.4 实际算例已知()f x =x =2,2.1,2.2的值，试作二次Newton 插值多项式。
若增加一个点x =2.3，再求三次Newton 插值多项式。
i x ()i f x[]1,i i f x x +[]12,,i i i f x x x ++[]123,,,i i i i f x x x x +++2.0 2.1 2.2 2.31.4142141.4491381.4832401.5165750.349240.341020.33335－0.04110－0.03835 0.009167故二次Newton 插值多项式是：()()2 1.4142140.34924 2.00.04110( 2.0)( 2.1)N x x x x =+----三次Newton 插值多项式是：()()()()()()()()()221.4142140.34924 2.00.04110( 2.0)( 2.1)+0.009167 2.0 2.1 2.2=0.009167 2.0 2.1 2.2N x x x x x x x N x x x x =+-------+---由此可见，当增加一个节点时，即增加一次插值多项式次数时，Newton 插值多项式只要增加一项即可。
当插值节点个数相对较多时，我们可以用Matlab 编程求解。
如下： 已知()f x = 2.0~2.5段上各点的值如下表，试求Newton 插值多项式。
1）在编辑窗口建立一个M 文件Newton.m 输入：2)在工作窗口写主程序：3）运算结果为u =0.0069 -0.0946 0.5338 -1.5898 2.5831 -1.7505 1.3421v =Columns 1 through 111.4142 1.4318 1.4491 1.4663 1.4832 1.50001.5166 1.5330 1.5492 1.5652 1.5811Columns 12 through 131.5969 1.6125故其Newton插值多项式为()65432=-+-+-+0.00690.09460.5338 1.5898 2.5831 1.7505 1.3421f x x x x x x x4）用Matlab作出其图像。