2018届高考数学限时训练(函数与方程) 精品

A 级 课时对点练 (时间：40分钟 满分：70分)

一、填空题(每小题5分，共40分)

1．(2010·宁夏银川)f (x )＝(x －1)ln x

x －3

的零点个数为________．

解析：f (x )＝0，即(x －1)ln x

x －3＝0，即x －1＝0或ln x ＝0，得x ＝1.

答案：1

2．(2010·江苏无锡市辅仁高级中学模拟)函数f (x )＝ln x －2

x 零点所在区间大致是

________．

①(1,2) ②(2,3) ③1，1

e 和(3,4) ④(e ，＋∞)

解析：∵f (2)·f (3)<0，∴填②. 答案：②

3．(2010·福建改编)函数f (x )＝⎩

⎪⎨⎪⎧

x 2

＋2x －3，x ≤0，

－2＋ln x ，x >0的零点个数为________．

解析：由⎩⎪⎨⎪⎧

x ≤0，

x 2＋2x －3＝0得x ＝－3.

又⎩⎪⎨⎪

⎧

x >0，－2＋ln x ＝0

得x ＝e 2， ∴f (x )的零点个数为2个． 答案：2

4．(2010·浙江改编)设函数f (x )＝4sin(2x ＋1)－x ，则在下列区间中函数f (x )不存在零点的 是________．

①[－4，－3] ②[－2,0] ③[0,2] ④[2,4] 解析：∵f (0)＝4sin 1>0，f (2)＝4sin 5－2<0， ∴函数f (x )在[0,2]上存在零点； ∵f (－1)＝－4sin 1＋1<0， ∴函数f (x )在[－2,0]上存在零点；

又∵2<5π4－1

2

<4，f ⎝⎛⎭⎫5π4－12＝4－⎝⎛⎭⎫5π4－12>0，

而f (2)<0，∴函数f (x )在[2,4]上存在零点． 答案：①

5．(2010·江苏泰兴中学一模)已知方程x 2＋(a －1)x ＋(a －2)＝0的根一个比1大，另一个 比1小，则a 的取值范围是________．

解析：函数f (x )＝x 2＋(a －1)x ＋(a －2)的大致图象如图所示，于是有f (1)<0，即1＋(a －1)＋(a －2)<0，解得a <1. 答案：a <1

6．下列各小题中，p 是q 的充要条件的是________．

①p ：m <－2或m >6；q ：y ＝x 2＋mx ＋m ＋3有两个不同的零点． ②p ：f (－x )f (x )＝1；q ：y ＝f (x )是偶函数．

③p ：cos α＝cos β；q ：tan α＝tan β. ④p ：A ∩B ＝A ；q ：∁U B ⊆∁U A .

解析：在①中，函数有两个零点，则Δ＝m 2－4m －12>0，解得m >6或m <－2，所以p

q 的充要条件；②中p 是q 的充分不必要条件；③中p 是q 的既不充分也不必要条件．对 于④，由A ∩B ＝A ⇒A ⊆B ，再由∁U B ⊆∁U A ⇒A ⊆B ，故p 是q 的充要条件． 答案：①④

7．若函数f (x )＝a x －x －a (a >0，且a ≠1)有两个零点，则实数a 的取值范围是________． 解析：函数f (x )的零点的个数就是函数y ＝a x 与函数y ＝x ＋a 交点的个数，由函数的图象可知a >1时，两函数图象有两个交点，01.

答案：(1，＋∞)

8．(2010·南京外国语学校月考)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (x ∈R )的部分对应值如下表：

则使ax 2＋bx ＋c >0的自变量x 的取值范围是________．

解析：由表中给出的数据可以得f (－2)＝0，f (3)＝0，因此函数的两个零点是－2和 3，这两个零点将x 轴分成三个区间(－∞，－2)，(－2,3)，(3，＋∞)．在(－∞，－2)中取特殊值－3，由表中数据知f (－3)＝6>0，因此根据连续函数零点的性质知，当x ∈(－∞，－2)时，都有f (x )>0；同理可得，当x ∈(3，＋∞)时，有f (x )>0.故使ax 2＋bx ＋c >0的自变量x 的取值范围是(－∞，－2)∪(3，＋∞)． 答案：(－∞，－2)∪(3，＋∞) 二、解答题(共30分)

9．(本小题满分14分)(2010·南师附中质检)已知函数f (x )＝－x 2＋2e x ＋m －1，g (x )＝x ＋ e 2

x

(x >0)． (1)若g (x )＝m 有零点，求m 的取值范围；

(2)试确定m 的取值范围，使得g (x )－f (x )＝0有两个相异实根．

解：(1)解法一：∵g (x )＝x ＋e 2

x ≥2e 2＝2e ，等号成立的条件是x ＝e ，故g (x )的值域是

[2e ，＋∞)．

因而只需m ≥2e ，则g (x )＝m 就有零点．

解法二：作出g (x )＝x ＋e 2

x (x >0)的图象如图：

可知若使g (x )＝m 有零点，则只需m ≥2e.

解法三：解方程g (x )＝m ，即x 2－mx ＋e 2＝0(x >0)． 此方程有大于零的根，故⎩⎪⎨⎪⎧

m 2>0，

Δ＝m 2－4e 2≥0，

等价于⎩

⎪⎨⎪⎧

m >0，

m ≥2e 或m ≤－2e ，故m ≥2e.

(2)若g (x )－f (x )＝0有两个相异的实根，即g (x )与f (x )的图象有两个不同的交点．作出g (x )＝x ＋e

2x

(x >0)的图象如图．