利用极坐标解圆锥曲线题
引入极坐标解决圆锥曲线焦半径问题
引入极坐标解决圆锥曲线焦半径问题作者：胡建国来源：《数学教学通讯·中等教育》2014年第10期摘要：在人教A版选修4-4《坐标系与参数方程》中，只介绍了直线、圆的极坐标方程，没有介绍圆锥曲线的极坐标方程.实际上，对于圆锥曲线的焦半径或者焦点弦问题，引入极坐标，会大大简化计算过程. 本文通过几道例题来介绍这种方法以及分析这种方法的优势.关键词：圆锥曲线；焦半径；极坐标系方程高中数学教材通过几个例题，实际上给出了圆锥曲线的统一定义：与一个定点和一条定直线的距离的比为常数e的点的轨迹，当01时，轨迹是双曲线. 我们可以利用这个统一定义，得到圆锥曲线的极坐标方程.以椭圆为例，介绍极坐标方程的推导过程.如图1，以左焦点F1为极点，沿长轴方向为极轴，建立极坐标系.设点M（ρ，θ）是椭圆上任意一点，则=e，把左焦点到左准线的距离记为p，则=e，整理得：ρ=，此方程为椭圆的极坐标方程.图1例题1 已知椭圆C：+=1，过点F1（-2，0）作两条互相垂直的直线分别交椭圆C于A，B 和D，E，求AB+DE的最小值.解法一：设直线AB的方程为x=ty-2，设点A（x1，y1），B（x2，y1），由x=ty-2，+=1得（t2+2）y2-4ty-4=0，故y1+y2=，y1·y2=，得AB=y1-y2=·=；同理可得DE=，所以AB+DE=+=12≥12·=.当且仅当t2+2=2t2+1，即t=±1时取到“=”号. 另外，当直线AB的方程为y=0时，AB=4，DE=2，此时，AB+DE=6. 综上，由解法二：以F1为极点，沿长轴方向为极轴，建立极坐标系，得到椭圆的极坐标方程为：ρ=.设B（ρ，θ），θ∈[0，2π]，则AB=AF1+BF1=+=，DE=DF1+EF1=+=，所以：AB+DE=+==≥=，即AB+DE的最小值为.对比上述两种解法，我们可以发现，第一种解法不仅要分情况讨论，另外计算量也很大，尤其是求最值的部分需要较好的数学功底；第二种解法过程简洁，不需要分情况讨论，而且求最值的问题转化为三角函数的最值问题.显然，在椭圆的焦点弦问题中，引入极坐标能极大地提高解题效率.例题2 已知C1：y2=4x，C2：+=1，过F（1，0）点作两条互相垂直的直线l1，l2，其中l1与C1相交于A，B，l2与C2相交于C，D，求四边形ACBD面积的取值范围.解：以F为极点，沿椭圆长轴方向为极轴，建立极坐标系. 由椭圆的直角坐标系方程+=1得到椭圆的极坐标方程为ρ=，则CD=CF+DF=+=. 由抛物线的直角坐标系方程y2=4x得到其极坐标方程为ρ=.AB=BF+AF=+=SACBD=AB·CD=··=≥8，所以四边形ACBD面积的取值范围是[8，+∞）.例题3 试证明：过双曲线C：-=1的一个焦点F作两条相互垂直的弦分别交双曲线于AB 和CD，则+=.证明：以右焦点F2为极点，沿实轴方向为极轴，建立极坐标系，得到双曲线的极坐标方程为：ρ=，记t=-a，则AB=+=，CD=+=+=，+=+===，所以，命题得证.。
极坐标圆锥曲线问题
极坐标秒杀圆锥曲线问题一、适用题型二、基本理论：（一）极坐标系、在平面内取一定点O，叫极点，引一条射线Ox，叫做极轴，再选定一个长度单位和角度的正方向（通常取逆时针方向），如图对于平面内任意一点M，用ρ叫做点M 的极径，θ叫做点M 的极角，有序数对(,)ρθ叫做点M 的极坐标，这样建立的坐标系叫做极坐标系。
极坐标为ρ,θ的点M，可表示为M (,)ρθ。
（二）圆锥曲线的统一极坐标方程椭圆、双曲线、抛物线可以统一定义为：与一个定点(焦点F)的距离和一条定直线(准线L)的距离的比等于常数e 的点的轨迹。
建立以焦点F 为极点，x 轴正方向为极轴的极坐标系，其统一的极坐标方程为：θρcos 1e ep-=（成为标准极坐标方程）。
（1）当0＜e＜1时，方程表示椭圆；定点F 是椭圆的左焦点，定直线L 是它的左准线。
（2）e=1时，方程表示开口向右的抛物线.（3）e＞1时，方程只表示双曲线的右支，定点F 是它的右焦点，定直线L 是它的右准线。
（若允许ρ＜0，方程就表示整个双曲线）其中：（i）ρ是动点到极点的距离（ρ＞0），θ表示极径与极轴正方向的夹角。
（ii）e 表示圆锥曲线的离心率，c e a=。
（iii）p 表示焦点到准线的距离。
由焦点与准线的不同位置关系，从而建立不同的极坐标，利用圆锥曲线定义可得其统一极坐标方程为：推广1：1+cos epe ρθ=（1）0＜e＜1当时，方程表示极点在右焦点上的椭圆（2）e=1时时，方程表示开口向左的抛物线（3）e＞1方程表示极点在左焦点上的双曲线推广2：1-sin ep e ρθ=（1）0＜e＜1时，方程表示极点在下焦点的椭圆（2）e=1时，方程表示开口向上的抛物线（3）e＞1时!方程表示极点在上焦点的双曲线推广3：1+sin ep e ρθ=（1）0＜e＜1时，方程表示极点在上焦点的椭圆（2）e=1时，方程表示开口向下的抛物线（3）e＞1时!方程表示极点在下焦点的双曲线（三）常用性质（1）对于圆锥曲线的标准极坐标方程θρcos 1e ep-=，则与之对应的直角坐标方程为：()22221x c y a b++=，当（0<e<1时）；()22221x c y a b++=，当（e>1时,R ρ∈）；22()y p x c =+(当e=1时)（2）记圆锥曲线的统一方程1-sin epe ρθ=，有公式1：2(0)()a ρρπ=+公式2：2(0)()c ρρπ=-公式3：22(0)()b ρρπ= 其中2a 表示椭圆长轴与双曲线实轴长，2b 表示椭圆短轴与双曲线虚轴长，2c 表示焦距。
极点极线背景下的圆锥曲线习题汇总
第14讲极点极线问题一、解答题1．已知椭圆M ：22221x y a b+=（a ＞b ＞0）过A （－2，0），B （0，1）两点．（1）求椭圆M 的离心率；（2）设椭圆M 的右顶点为C ，点P 在椭圆M 上（P 不与椭圆M 的顶点重合），直线AB 与直线CP 交于点Q ，直线BP 交x 轴于点S ，求证：直线SQ 过定点．2．若双曲线229x y -=与椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>共顶点，且它们的离心率之积为43．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若椭圆C 的左、右顶点分别为1A ，2A ，直线l 与椭圆C 交于P 、Q 两点，设直线1A P 与2A Q 的斜率分别为1k ，2k ，且12105k k -=．试问，直线l 是否过定点？若是，求出定点的坐标；若不是，请说明理由．3．如图，椭圆E ：2222+1(0)x y a b a b =>>的离心率是2，过点P （0,1）的动直线l 与椭圆相交于A ，B两点，当直线l 平行与x 轴时，直线l 被椭圆E 截得的线段长为.（1）求椭圆E 的方程；（2）在平面直角坐标系xOy 中，是否存在与点P 不同的定点Q ，使得QA PA QB PB=恒成立？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由.4．在平面直角坐标系xOy 中，如图所示，已知椭圆22195x y +=的左、右顶点分别为,A B ，右焦点为F .设过点(),T t m 的直线TA ，TB 与此椭圆分别交于点()11,M x y ，()22,N x y ，其中0m >，10y >，20y <．（Ⅰ）设动点P 满足：224PF PB -=，求点P 的轨迹；（Ⅱ）设1212,3x x ==，求点T 的坐标；（Ⅲ）设9t =，求证：直线MN 必过x 轴上的一定点（其坐标与m 无关），并求出该定点的坐标．5．已知A 、B 分别为椭圆E ：2221x y a+=（a >1）的左、右顶点，G 为E 的上顶点，8AG GB ⋅= ，P 为直线x =6上的动点，PA 与E 的另一交点为C ，PB 与E 的另一交点为D ．（1）求E 的方程；（2）证明：直线CD 过定点.6．已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的左焦点为1(F ，且过点(24P .（1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知1A ，2A 分别为椭圆C 的左、右顶点，Q 为直线1x =上任意一点，直线1AQ ，2A Q 分别交椭圆C 于不同的两点M ，N .求证：直线MN 恒过定点，并求出定点坐标.7．设椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>过点M ，且左焦点为()1F ．（1）求椭圆C 的方程；（2）当过点(4,1)P 的动直线l 与椭圆C 相交于两不同点A ，B 时，在线段AB 上取点Q ，且满足||||||||⋅=⋅ AP QB AQ PB ，证明：点Q 总在某定直线上．8．设0λ>，点A 的坐标为（1,1），点B 在抛物线2y x =上运动，点Q 满足BQ QA λ=，经过Q 点与M x 轴垂直的直线交抛物线于点M ，点P 满足QM MP λ= ,求点P 的轨迹方程．9．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左､右顶点分别为点A ，B ，且AB 4=，椭圆C 离心率为12.（1）求椭圆C 的方程；（2）过椭圆C 的右焦点，且斜率不为0的直线l 交椭圆C 于M ，N 两点，直线AM ，BN 的交于点Q ，求证：点Q 在直线4x =上.10．如图，B ，A 是椭圆22:14x C y +=的左、右顶点，P ，Q 是椭圆C 上都不与A ，B 重合的两点，记直线BQ ，AQ ，AP 的斜率分别是BQ k ，AQ k ，AP k .（1）求证：14BQ AQ k k ⋅=-；（2）若直线PQ 过定点6,05⎛⎫ ⎪⎝⎭，求证：4AP BQ k k =.11．已知椭圆()222:103x y C a a +=>的焦距为2,,A B 分别为椭圆C 的左、右顶点，,M N 为椭圆C 上的两点(异于,A B )，连结,,AM BN MN ，且BN 斜率是AM 斜率的3倍.（1）求椭圆C 的方程；（2）证明:直线MN 恒过定点.12．椭圆()2222:103x y C b b b+=>的左、右顶点分别为1A ，2A ，上顶点为B ，点()1,0D ，线BD 的倾斜角为135︒.（1）求椭圆C 的方程；（2）过D 且斜率存在的动直线与椭圆C 交于M 、N 两点，直线1A M 与2A N 交于P ，求证：P 在定直线上.13．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的离心率为12，且点31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭在椭圆上．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）如图，椭圆C 的左、右顶点分别为A ，B ，点M ，N 是椭圆上异于A ，B 的不同两点，直线BN 的斜率为()0k k ≠，直线AM 的斜率为3k ，求证：直线MN 过定点．14．设12, A A 分别是椭圆222: 1(1)x y a aΓ+=>的左､右顶点，点B 为椭圆的上顶点.（1）若124A B A B →→⋅=-，求椭圆Γ的方程；（2）设a =，2F 是椭圆的右焦点，点Q 是椭圆第二象限部分上一点，若线段2F Q 的中点M 在y 轴上，求2F BQ △的面积.（3）设3a =，点P 是直线6x =上的动点，点C 和D 是椭圆上异于左右顶点的两点，且C ，D 分别在直线1PA 和2PA 上，求证：直线CD 恒过一定点.15．已知曲线()()()22:528C m x m y m R -+-=∈.（1）若曲线C 表示双曲线，求m 的范围；（2）若曲线C 是焦点在x 轴上的椭圆，求m 的范围；（3）设4m =，曲线C 与y 轴交点为A ，B （A 在B 上方），4y kx =+与曲线C 交于不同两点M ，N ，1y =与BM 交于G ，求证：A ，G ，N 三点共线.16．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>过点3(1,2P -，且椭圆C 的一个顶点D 的坐标为(2,0)-．过椭圆C 的右焦点F 的直线l 与椭圆C 交于不同的两点A ，B （A ，B 不同于点D ），直线DA 与直线m ：4x =交于点M ．连接MF ，过点F 作MF 的垂线与直线m 交于点N ．（1）求椭圆C 的方程，并求点F 的坐标；（2）求证：D ，B ，N 三点共线．17．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左右顶点分别为A 和B ，离心率为12，且点31,2T ⎛⎫ ⎪⎝⎭在椭圆上.（1）求椭圆C 的方程；（2）过点M （1，0）作一条斜率不为0的直线交椭圆于P ，Q 两点，连接AP 、BQ ，直线AP 与BQ 交于点N ，探求点N 是否在一条定直线上，若在，求出该直线方程；若不在，请说明理由.18．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右顶点分别为A ，B ，O 为原点.以OB 为对角线的正方形OPBQ 的顶点P ，Q 在C 上.（1）求C 的离心率；（2）当2a =时，过(1,0)作与x 轴不重合的直线l 与C 交于M ，N 两点，直线AM ，BN 的斜率分别为1k ，2k ，试判断12k k 是否为定值？若是，求出定值，并加以证明；若不是，请说明理由.19．已知F 为抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点，直线:21l y x =+与C 交于A ，B 两点且||||20AF BF +=.（1）求C 的方程.（2）若直线:2(1)m y x t t =+≠与C 交于M ，N 两点，且AM 与BN 相交于点T ，证明：点T 在定直线上.第14讲极点极线问题一、解答题1．已知椭圆M ：22221x y a b+=（a ＞b ＞0）过A （－2，0），B （0，1）两点．（1）求椭圆M 的离心率；（2）设椭圆M 的右顶点为C ，点P 在椭圆M 上（P 不与椭圆M 的顶点重合），直线AB 与直线CP 交于点Q ，直线BP 交x 轴于点S ，求证：直线SQ 过定点．【答案】（1）2；（2）证明见解析．【分析】（1）由已知两点坐标得,a b ，求得c 后可得离心率；（2）直线AB 方程为22x y =-，设00(,)P x y （00y ≠，01y ≠±），(22,)Q Q Q y y -，(,0)S S x ．由,,C P Q三点共线求得Q 点坐标（用P 点坐标表示），由,,B P S 共线求得S 点坐标（用P 点坐标表示），写出直线QS的方程，把220044x y =-代入化简对方程变形可得定点坐标．【详解】解：（1）因为点(2,0)A -，(0,1)B 都在椭圆M 上，所以2a =，1b =．所以c ==所以椭圆M 的离心率32c e a ==．（2）由（1）知椭圆M 的方程为2214x y +=，(2,0)C ．由题意知：直线AB 的方程为22x y =-．设00(,)P x y （00y ≠，01y ≠±），(22,)Q Q Q y y -，(,0)S S x ．因为,,C P Q 三点共线，所以有//CP CQ ，00(2,),(222,)Q Q CP x y CQ y y =-=-- ，所以00(2)(24)Q Q x y y y -=-．所以000422Q y y y x =-+．所以00000004244(,)2222y x y Q y x y x +--+-+．因为,,B S P 三点共线，所以0011s y x x -=-，即001s x x y =-．所以00(,0)1x S y -．所以直线QS 的方程为000000000004242214122y x x y x y x x y y y y x +---+-=+--+，即2200000000044844(1)1x y x y y x x y y y y --+-=+--．又因为点P 在椭圆M 上，所以220044x y =-．所以直线QS 的方程为00022(1)21y x x y y --=-+-．所以直线QS 过定点(2,1)．【点睛】关键点点睛：本题考查求椭圆的离心率，考查椭圆的直线过定点问题，解题方法是设椭圆上的点坐标00(,)P x y ，利用三点共线变为向量平行，求得直线交点,Q S 的坐标，得出直线QS 方程，再由P 在椭圆上，代入化简凑配出定点坐标．2．若双曲线229x y -=与椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>共顶点，且它们的离心率之积为43．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若椭圆C 的左、右顶点分别为1A ，2A ，直线l 与椭圆C 交于P 、Q 两点，设直线1A P 与2A Q 的斜率分别为1k ，2k ，且12105k k -=．试问，直线l 是否过定点？若是，求出定点的坐标；若不是，请说明理由．【答案】（1）2219x y +=；（2）直线l 恒过定点()2,0．.【分析】（1）待定系数法椭圆的标准方程；（2）用“设而不求法”把直线和椭圆联立方程组，，表示出12105k k -=，整理出直线过定点()2,0.【详解】（1，又两曲线离心率之积为43，所以椭圆的离心率为3；由题意知3a =，所以c =1b =．所以椭圆的标准万程为2219x y +=．（2）当直线l 的斜率为零时，由对称性可知：120k k =-≠，不满足12105k k -=，故直线l 的斜率不为零．设直线l 的方程为x ty n =+，由2219x ty n x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得：()2229290t y tny n +++-=，因为直线l 与椭圆C 交于P 、Q 两点，所以()()222244990t n t n ∆=-+->，整理得：2290t n -+>，设()11,P x y 、()22,Q x y ，则12229tn y y t +=-+，212299n y y t -=+，1113y k x =+，2223y k x =-．因为12105k k -=，所以()()()()1121211222121233315333y y x y ty n k x y k y x y ty n x -+-+====+++-，整理得：121245(3)(3)0ty y n y n y +--+=，()1212245(3)(612)ty y n y y n y +-+=-，将12229tn y y t +=-+，212299n y y t -=+代入整理得：()22(2)(3)(2)9t n n n t y --=-+要使上式恒成立，只需2n =，此时满足2290t n -+>，因此，直线l 恒过定点()2,0．【点睛】（1）待定系数法可以求二次曲线的标准方程；（2）"设而不求"是一种在解析几何中常见的解题方法，可以解决直线与二次曲线相交的问题；（3）证明直线过定点，通常有两类：①直线方程整理为斜截式y=kx+b ，过定点(0,b )；②直线方程整理为点斜式y -y o =k (x-x 0)，过定点(x 0,y 0)．3．如图，椭圆E ：2222+1(0)x y a b a b =>>的离心率是22，过点P （0,1）的动直线l 与椭圆相交于A ，B 两点，当直线l 平行与x 轴时，直线l 被椭圆E截得的线段长为.（1）求椭圆E 的方程；（2）在平面直角坐标系xOy 中，是否存在与点P 不同的定点Q ，使得QA PA QB PB=恒成立？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（1）22142x y +=；（2）存在，Q 点的坐标为(0,2)Q .【详解】（1）由已知，点在椭圆E 上.因此，22222211,,2,2a b a b c c a⎧+=⎪⎪⎪-=⎨⎪⎪=⎪⎩解得2,a b ==所以椭圆的方程为22142x y +=.（2）当直线l 与x 轴平行时，设直线l 与椭圆相交于C 、D 两点.如果存在定点Q 满足条件，则||||1||||QC PC QD PD ==，即||||QC QD =.所以Q 点在y 轴上，可设Q 点的坐标为0(0,)y .当直线l 与x 轴垂直时，设直线l 与椭圆相交于M 、N 两点.则(0,M N ，由||||||||QM PM QN PN ==，解得01y =或02y =.所以，若存在不同于点P 的定点Q 满足条件，则Q 点的坐标只可能为(0,2)Q .下面证明：对任意的直线l ，均有||||||||=QA PA QB PB .当直线l 的斜率不存在时，由上可知，结论成立.当直线l 的斜率存在时，可设直线l 的方程为1y kx =+，A 、B 的坐标分别为1122(,),(,)x y x y .联立221,421x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得22(21)420k x kx ++-=.其判别式22168(21)0k k ∆=++>，所以，12122242,2121k x x x x k k +=-=-++.因此121212112x x k x x x x ++==.易知，点B 关于y 轴对称的点的坐标为22(,)B x y '-.又121122122111,QA QB y y k k k k k x x x x x '--==-==-+=--，所以QA QB k k '=，即,,Q A B '三点共线.所以12||||||||||||||||x QA QA PA QB QB x PB ==='.故存在与P 不同的定点(0,2)Q ，使得||||||||=QA PA QB PB 恒成立.【点睛】本题考查椭圆的标准方程与几何性质、直线方程、直线与椭圆的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合、化归与转化、特殊与一般、分类与整合等数学思想.4．在平面直角坐标系xOy 中，如图所示，已知椭圆22195x y +=的左、右顶点分别为,A B ，右焦点为F .设过点(),T t m 的直线TA ，TB 与此椭圆分别交于点()11,M x y ，()22,N x y ，其中0m >，10y >，20y <．（Ⅰ）设动点P 满足：224PF PB -=，求点P 的轨迹；（Ⅱ）设1212,3x x ==，求点T 的坐标；（Ⅲ）设9t =，求证：直线MN 必过x 轴上的一定点（其坐标与m 无关），并求出该定点的坐标．【答案】（I ）92x =；（II ）1073T ⎛⎫ ⎪⎝⎭，；（III ）()1,0D .【解析】试题分析：（I ）设出点(),P x y ，利用坐标化简224PF PB -=，得到点P 的轨迹；（II ）由1212,3x x ==分别得出直线AM 的方程为113y x =+，直线AN 的方程为5562y x =-，联立方程组即可求解点T 的坐标；（III ）直线AT 的方程为：()312m y x =+，直线BT 的方程为：()36m y x =-，分别与椭圆的方程联立，由12x x =，求得m =MN 的方程为1x =，过点()1,0D ，若12x x ≠，由MD k =ND k ，所以直线MN 过点()1,0D .试题解析：（Ⅰ）由题设得，()()()3,0,3,0,2,0A B F -，设动点(),P x y ，由()()2222222,3PF x y PB x y =-+=-+，224PF PB -=代入化简得，92x =.故点P 的轨迹为直线92x =.（Ⅱ）由12x =，2211195x y +=，10y >得15=3y ，则点52,3M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，直线AM 的方程为113y x =+，由213x =，2222195x y +=，20y <得2209y =-，则点120,39N ⎛⎫- ⎪⎝⎭，直线AN 的方程为5562y x =-，由55106271313y x T y x ⎧=-⎪⎪⎛⎫⇒⎨ ⎪⎝⎭⎪=+⎪⎩，（Ⅲ）由题设知，直线AT 的方程为：()312m y x =+，直线BT 的方程为：()36m y x =-，点()11,M x y 满足()112111222211324034063,,8080195m y x m m x x y m m x y ⎧=-⎪-⎪⇒≠-==⎨++⎪+=⎪⎩；点()22,N x y 满足()22222222222233602063,,2020195m y x m m x x y m m x y ⎧=-⎪--⎪⇒≠-==⎨++⎪+=⎪⎩；若12x x =，222403=80m m -+2236020m m-+且0m >，得m =此时直线MN 的方程为1x =，过点()1,0D ；若12x x ≠，则m ≠，直线MD 的斜率2222402403101808040MD m m m k m m m⎛⎫-=÷-= ⎪++-⎝⎭，直线ND 的斜率222220360101202040ND m m m k m m m⎛⎫--=÷-= ⎪++-⎝⎭，所以MD k =ND k ，所以直线MN 过点()1,0D .因此直线MN 必过x 轴上一定点()1,0D .考点：轨迹方程的求解；直线的交点；直线过定点的判断．【方法点晴】本题主要考查了曲线轨迹方程的求解和两直线的交点的计算、直线过定点问题的判定，着重考查了分类讨论的思想方法及函数与方程思想的应用，属于中档试题，本题的第三问题的解答中，由直线AT 的方程()312m y x =+，直线BT 的方程()36m y x =-，分别与椭圆的方程联立，利用韦达定理求得1122,,,x y x y ，再由12x x =和12x x ≠，由MD k =ND k ，两种情况分别判定直线MN 过定点()1,0D .5．已知A 、B 分别为椭圆E ：2221x y a+=（a >1）的左、右顶点，G 为E 的上顶点，8AG GB ⋅= ，P 为直线x =6上的动点，PA 与E 的另一交点为C ，PB 与E 的另一交点为D ．（1）求E 的方程；（2）证明：直线CD 过定点.【答案】（1）2219x y +=；（2）证明详见解析.【分析】（1）由已知可得：(),0A a -，(),0B a ，()0,1G ，即可求得21AG GB a ⋅=- ，结合已知即可求得：29a =，问题得解.（2）设()06,P y ，可得直线AP 的方程为：()039y y x =+，联立直线AP 的方程与椭圆方程即可求得点C 的坐标为20022003276,99y y y y ⎛⎫-+ ⎪++⎝⎭，同理可得点D 的坐标为2002200332,11y y y y ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭，当203y ≠时，可表示出直线CD 的方程，整理直线CD 的方程可得：()02043233y y x y ⎛⎫=- ⎪-⎝⎭即可知直线过定点3,02⎛⎫ ⎪⎝⎭，当203y =时，直线CD ：32x =，直线过点3,02⎛⎫ ⎪⎝⎭，命题得证.【详解】（1）依据题意作出如下图象：由椭圆方程222:1(1)x E y a a+=>可得：(),0A a -，(),0B a ，()0,1G ∴(),1AG a = ，(),1GB a =- ∴218AG GB a ⋅=-=，∴29a =∴椭圆方程为：2219x y +=（2）证明：设()06,P y ，则直线AP 的方程为：()()00363y y x -=+--，即：()039y y x =+联立直线AP 的方程与椭圆方程可得：()2201939x y y y x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，整理得：()2222000969810y x y x y +++-=，解得：3x =-或20203279y x y -+=+将20203279y x y -+=+代入直线()039y y x =+可得：02069y y y =+所以点C 的坐标为20022003276,99y y y y ⎛⎫-+ ⎪++⎝⎭.同理可得：点D 的坐标为2002200332,11y y y y ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭当203y ≠时，∴直线CD 的方程为：0022200002222000022006291233327331191y y y y y y y x y y y y y y ⎛⎫-- ⎪++⎛⎫⎛⎫--⎝⎭-=- ⎪ -+-++⎝⎭⎝⎭-++，整理可得：()()()2220000002224200000832338331116963y y y y y y y x x y y y y y +⎛⎫⎛⎫--+=-=- ⎪ +++--⎝⎭⎝⎭整理得：()()0002220004243323333y y y y x x y y y ⎛⎫=+=- ⎪---⎝⎭所以直线CD 过定点3,02⎛⎫ ⎪⎝⎭．当203y =时，直线CD ：32x =，直线过点3,02⎛⎫ ⎪⎝⎭．故直线CD 过定点3,02⎛⎫⎪⎝⎭．【点睛】本题主要考查了椭圆的简单性质及方程思想，还考查了计算能力及转化思想、推理论证能力，属于难题.6．已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的左焦点为1(F ，且过点(24P .（1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知1A ，2A 分别为椭圆C 的左、右顶点，Q 为直线1x =上任意一点，直线1AQ ，2A Q 分别交椭圆C 于不同的两点M ，N .求证：直线MN 恒过定点，并求出定点坐标.【答案】（1）2214x y +=；（2）见解析.【解析】试题分析：（1）根据椭圆定义确定a ，再根据c 求b （2）设()1,,Q t 根据直线与椭圆方程联立方程组解得M ，N 坐标，再根据两点式求MN 直线方程，化成点斜式，求出定点试题解析：(1)椭圆的一个焦点()1F ，则另一个焦点为)2F ,由椭圆的定义知:122PF PF a +=，代入计算得2a =．又2221b a c =-=,所以椭圆C 的标准方程为2214x y +=．(2)设()()()11221,,,,,Q t M x y N x y ，则直线()1:23t A Q y x =+，与2214x y +=联立，解得22281812,4949t t M t t ⎛⎫-+ ⎪++⎝⎭同理222824,4141t t N t t ⎛⎫- ⎪++⎝⎭所以直线MN 的斜率为2222221244941818824941t t t t t t t t -++-+--++=2243t t -+所以直线2222122818:494349t t t MN y x t t t ⎛⎫-+-=-- ⎪+++⎝⎭()22443t x t =--+所以直线MN 恒过定点，且定点坐标为()4,0点睛：定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的.定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现.7．设椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>过点M，且左焦点为()1F ．（1）求椭圆C 的方程；（2）当过点(4,1)P 的动直线l 与椭圆C 相交于两不同点A ，B 时，在线段AB 上取点Q ，且满足||||||||⋅=⋅ AP QB AQ PB ，证明：点Q 总在某定直线上．【答案】（1）22142x y +=（2）见解析【分析】（1）根据椭圆的左焦点为()1F，得到c =M ，代入椭圆方程求解.（2）设直线AB 的参数方程是4cos 1sin x t y t αα=+⎧⎨=+⎩，（t 为参数），代入椭圆方程22142x y +=，由||||||||⋅=⋅ AP QB AQ PB ，化简得到||(||||)2||||+=⋅ QP AP PB AP PB ，即2==+A B Q A Bt t t t t 288cos 4sin -+αα，再代入直线参数方程求解.【详解】（1）因为椭圆的左焦点为()1F ，所以c =设椭圆方程为222212x y a a +=-，又因为椭圆过点M ，所以222112a a +=-，解得224,2a b ==所以椭圆方程为：22142x y +=；（2）设直线AB 的参数方程是4cos 1sin x t y t αα=+⎧⎨=+⎩，（t 为参数），代入椭圆方程22142x y +=，得：()222cos 2sin (8cos 4sin )140++++=t t αααα．由||||||||⋅=⋅ AP QB AQ PB ，得||(||- AP QP ||)(||||)||=- PB AP QP PB ，即||(||||)2||||+=⋅ QP AP PB AP PB ，则2==+A B Q A B t t t t t 288cos 4sin -+αα，点Q 轨迹的参数方程是28cos 48cos 4sin 28sin 18cos 4sin x y αααααα⎧=-⎪⎪+⎨⎪=-⎪+⎩，则8(4)4(1)28-+-=-x y ，所以点Q 在定直线220x y +-=上【点睛】本题主要考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系以及直线的参数方程的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.8．设0λ>，点A 的坐标为（1,1），点B 在抛物线2y x =上运动，点Q 满足BQ QA λ= ，经过Q 点与M x 轴垂直的直线交抛物线于点M ，点P 满足QM MP λ=,求点P的轨迹方程．【答案】略【解析】略9．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左､右顶点分别为点A ，B ，且AB 4=，椭圆C 离心率为12.（1）求椭圆C 的方程；（2）过椭圆C 的右焦点，且斜率不为0的直线l 交椭圆C 于M ，N 两点，直线AM ，BN 的交于点Q ，求证：点Q 在直线4x =上.【答案】（1）22143x y +=；（2）证明见解析.【分析】（1）由题知2222412a c a a b c=⎧⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩，解方程即可得24a =，23b =，故椭圆C 的方程是22143x y +=.（2）先讨论斜率不存在时的情况易知直线AM ，BN 的交点Q 的坐标是()4,3.当直线斜率存在时，设直线方程为()1y k x =-，()11,M x y ，()22,N x y ，进而联立方程结合韦达定理得2122834k x x k +=+，212241234k x x k -⋅=+，直线AM 的方程是()1122y y x x =++，直线BN 的方程是()2222y y x x =--，进而计算得4x =时的纵坐标，并证明其相等即可.【详解】解：（1）因为AB 4=，椭圆C 离心率为12，所以2222412a c a a b c=⎧⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩，解得24a =，23b =.所以椭圆C 的方程是22143x y +=.（2）①若直线l的斜率不存在时，如图，因为椭圆C 的右焦点为()1,0，所以直线l 的方程是1x =.所以点M 的坐标是31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，点N 的坐标是31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭.所以直线AM 的方程是()122y x =+，直线BN 的方程是()322y x =-.所以直线AM ，BN 的交点Q 的坐标是()4,3.所以点Q 在直线4x =上.②若直线l 的斜率存在时，如图.设斜率为k .所以直线l 的方程为()1y k x =-.联立方程组()221143y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩消去y ，整理得()2223484120k x k x k +-+-=.显然0∆>.不妨设()11,M x y ，()22,N x y ，所以2122834k x x k +=+，212241234k x x k -⋅=+.所以直线AM 的方程是()1122y y x x =++.令4x =，得1162=+y y x .直线BN 的方程是()2222y y x x =--.令4x =，得2222y y x =-.所以()()121212126121622222k x k x y y x x x x ---=-+-+-()()()()()()12121261222122k x x k x x x x ---+-=+-分子()()()()1212612221k x x k x x =---+-()()12211212232222k x x x x x x x x =--+--+-⎡⎤⎣⎦.()12122258k x x x x =-++⎡⎤⎣⎦()2222241258283434k k k k k ⎡⎤-⨯⎢⎥=-+++⎢⎥⎣⎦22228244024322034k k k k k ⎛⎫--++== ⎪+⎝⎭.所以点Q 在直线4x =上.【点睛】本题第二问解题的关键在于分类讨论直线斜率不存在和存在两种情况，当直线斜率存在时，设()11,M x y ，()22,N x y ，写出直线AM 的方程是()1122y y x x =++和直线BN 的方程是()2222y y x x =--，进而计算得4x =时的纵坐标相等即可.考查运算求解能力，是中档题.10．如图，B ，A 是椭圆22:14x C y +=的左、右顶点，P ，Q 是椭圆C 上都不与A ，B 重合的两点，记直线BQ ，AQ ，AP 的斜率分别是BQ k ，AQ k ，AP k .（1）求证：14BQ AQ k k ⋅=-；（2）若直线PQ 过定点6,05⎛⎫ ⎪⎝⎭，求证：4AP BQ k k =.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【分析】（1）设()11,Q x y ，代入斜率公式求14BQ AQ k k ⋅=-；（2）设直线PQ 的方程是65x my =+，与椭圆方程联立，利用根与系数的关系表示1AP AQ k k ⋅=-，再根据（1）的结论证明.【详解】（1）设()11,Q x y 21211122111111422444BQ AQ x y y y k k x x x x -⋅=⋅===-+---；（2）设直线PQ 的方程是65x my =+，设()()1122,,,P x y Q x y 与椭圆方程联立，226514x my x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得：()22126440525m y my ++-=，()1221254m y y m +=-+，()12264254y y m =-+，12121212442255AP AQ y y y y k k x x my my ⋅=⋅=--⎛⎫⎛⎫-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭()()()()2122221212226425441664481652525254254m y y m m m y y m y y m m -+==-++-++++()2226416448164m m m -==--+++，1AP AQ k k ∴⋅=-,由（1）可知14BQ AQ k k ⋅=-，两式消去AQ k ，解得：4AP BQ k k =.【点睛】本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，定值和定点，意在考查转化与化归的思想和计算能力，属于中档题型，第二问中设而不求的基本方法也使得求解过程变得简单，在解决圆锥曲线与动直线问题中，韦达定理，弦长公式都是解题的基本工具.11．已知椭圆()222:103x y C a a +=>的焦距为2,,A B 分别为椭圆C 的左、右顶点，,M N 为椭圆C 上的两点(异于,A B )，连结,,AM BN MN ，且BN 斜率是AM 斜率的3倍.（1）求椭圆C 的方程；（2）证明:直线MN 恒过定点.【答案】（1）22143x y +=；（2）证明见解析.【分析】（1）根据题意列出方程组22223c a c =⎧⎨=+⎩，解出方程组即可得椭圆方程；（2）连结BM 设()()1122,,,M x y N x y ，由椭圆的性质可得出34AM BM k k ⋅=-，故而可得94BN BM k k ⋅=-，当MN 斜率不存在时，设:MN x m =，解出1m =，当直线斜率存在时，设:MN y kx t =+，联立直线与椭圆的方程，结合韦达定理，可得出22230k kt t ++=，得出k 与t 的关系，代入直线方程即可得定点.【详解】（1）因为22223c a c =⎧⎨=+⎩，所以21a c =⎧⎨=⎩，即椭圆C 的方程为22143x y +=（2）连结BM 设()()1122,,,M x y N x y 则21112111224AM BM y y y k k x x x ⋅=⋅=+--因为点()11,M x y 在椭圆上，所以221122113334=444AM BMx y k k x x -⋅==---因为3BN AM k k =，所以94BN BM k k ⋅=-当MN 斜率不存在时，设:MN x m =，不妨设M 在x轴上方，,,M m N m ⎛⎛ ⎝⎝因为94BN BM k k ⋅=-，所以1m =（ii ）当MN 斜率存在时，设:MN y kx t =+，2234120y kx t x y =+⎧⎨+-=⎩即()2223484120k x kx t +++-=，所以21212228412,3434kt t x x x x k k --+==++ 因为()()()1112111212922244BN BM kx t kx t y y k k x x x x x x ++⋅=⋅==----++所以22230k kt t ++=，即t k =-或2t k=-当t k =-时，y kx k =-，恒过定点()1,0，当斜率不存在亦符合:当2t k =-，2y kx k =-，过点()2,0与点B 重合，舍去.所以直线恒过定点()1,0【点睛】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交、一元二次方程的根与系数的关系、斜率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．12．椭圆()2222:103x y C b b b+=>的左、右顶点分别为1A ，2A ，上顶点为B ，点()1,0D ，线BD 的倾斜角为135︒.（1）求椭圆C 的方程；（2）过D 且斜率存在的动直线与椭圆C 交于M 、N 两点，直线1A M 与2A N 交于P ，求证：P 在定直线上.【答案】（1）2213x y +=；（2）证明见解析.【分析】（1）由题意和过两点的直线的斜率公式可求得b ，可得椭圆C 的方程.（2）设(),P x y ，()11,M x y ，()22,N x y ，设过D 的动直线：()1y k x =-，代入椭圆C 的方程得：()2222316330k x k x k +-+-=，由韦达定理得：2122631k x x k +=+，21223331k x x k -⋅=+，再由P ，1A ，M 及P ，2A ，N 三点共线，化简可得证明点P 在定直线上.【详解】（1）()0,B b ，由题意，tan135111BD b k b ==︒=-⇒=-，所以椭圆C 的方程2213x y +=.（2）设(),P x y ，()11,M x y ，()22,N x y ，过D 的动直线：()1y k x =-，代入椭圆C 的方程得：()2222316330k x k x k +-+-=，得：2122631k x x k +=+，21223331k x x k -⋅=+，)22222222222213333x x y y x x x y +=⇒=-=-+⇒=-，分别由P ，1A ，M 及P ，2A ，N==，222x y --==--22222222222336313336313131233633131k k k k k k k k k k k ⎡⎤--+⎢⎥⎡⎤--++=--++，23x =⇒=，即P 在直线3x =上.【点睛】本题考查求椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系之交点问题之动点在定直线上，属于较难题.13．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的离心率为12，且点31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭在椭圆上．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）如图，椭圆C 的左、右顶点分别为A ，B ，点M ，N 是椭圆上异于A ，B 的不同两点，直线BN 的斜率为()0k k ≠，直线AM 的斜率为3k ，求证：直线MN 过定点．【答案】（1）22143x y +=；（2）证明见解析．【分析】（1）由12c a =，得到2234b a =，再由点31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭在该椭圆上，求得22,a b 的值，即可求得椭圆的方程；（2）设BN 的方程为()2y k x =-，联立方程组求得2228612,4343k k N k k ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭，再由AM 的的方程()32y k x =+，联立方程组，求得22224212,121121k k M k k ⎛⎫-+ ⎪++⎝⎭，结合斜率公式，进而得到直线过定点.【详解】（1）由椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的离心率为12，且点31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭在椭圆上，可得12c a =，所以22222131124b c a a ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭，又点31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭在该椭圆上，所以221914a b +=，所以224,3a b ==，所以椭圆C 的标准方程为22143x y +=（2）由于BN 的斜率为k ，设BN 的方程为()2y k x =-，联立方程组()222143y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩，整理得()2222431616120k x k x k +-+-=，所以22161243B N k x x k -=+，所以228643N k x k -=+，从而21243N k y k =-+，即2228612,4343k k N k k ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭，同理可得：由于AM 的斜率为3k ，则():32AM y k x =+，联立方程组()2232143y k x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩，可得()2222363144144120k x k x k +++-=，即()2222121484840k x k x k +++-=，所以22484121A M k x x k -=+，所以22242121M k x k -+=+，从而212121M k y k =+，即22224212,121121k k M k k ⎛⎫-+ ⎪++⎝⎭，当M N x x =时即12k =±；时，:1MN x =-，过点()1,0P -，当12k ≠±时，()22222012412124212341121121PM k k k k k k k k k -+===-+-+-+--+，()22222120124438612341143PN k k k k k k k k k ---+===---+--+，即PM PN k k =，所以直线MN 过点()1,0P -，综上可得，直线MN 过点()1,0P -.【点睛】解答圆锥曲线的定点、定值问题的策略：1、参数法：参数解决定点问题的思路：①引进动点的坐标或动直线中的参数表示变化量，即确定题目中核心变量（通常为变量k ）；②利用条件找到k 过定点的曲线0(),F x y =之间的关系，得到关于k 与,x y 的等式，再研究变化量与参数何时没有关系，得出定点的坐标；2、由特殊到一般发：由特殊到一般法求解定点问题时，常根据动点或动直线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关.14．设12, A A 分别是椭圆222: 1(1)x y a aΓ+=>的左､右顶点，点B 为椭圆的上顶点.（1）若124A B A B →→⋅=-，求椭圆Γ的方程；（2）设2a =，2F 是椭圆的右焦点，点Q 是椭圆第二象限部分上一点，若线段2F Q 的中点M 在y 轴上，求2F BQ △的面积.（3）设3a =，点P 是直线6x =上的动点，点C 和D 是椭圆上异于左右顶点的两点，且C ，D 分别在直线1PA 和2PA 上，求证：直线CD 恒过一定点.【答案】（1）2215x y +=；（2）214-；（3）证明见解析.【分析】（1）计算得1(,1)A B a →=，2(,1)A B a →=-，代入124A B A B →→⋅=-解方程即可得a ，故可得椭圆Γ的方程；（2）设另一焦点为1F ，则1F Q x ⊥轴，计算出点Q 坐标，计算22F BQ BF M BQM S S S =+△△△即可；（3）设点P 的坐标为(6,)m ，直线1PA ：(3)9m y x =+，与椭圆方程2219x y +=联立，由韦达定理计算得出2223276,99m m C m m ⎛⎫-+ ⎪++⎝⎭，同理可得222332,11m m D m m ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭，分C D x x =，C D x x ≠两种情况表示出直线CD 方程，从而确定出定点.【详解】（1）12(,0),(,0)A a A a -，(0,1)B 1(,1)A B a →=，2(,1)A B a →=-，21214A B A B a →→⋅=-+=-，解得25a =即椭圆Γ的方程为2215x y +=.（2）椭圆的方程为2212x y +=，由题意2(1,0)F ，设另一焦点为()11,0F -，设(,)Q Q Q x y ，由线段2F Q 的中点在y 轴上，得1F Q x ⊥轴，所以1Q x =-，代入椭圆方程得22Q y =，即1,2Q ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭221121244F BQ BF M BQM S S S ⎛=+=-⋅=- ⎝⎭△△△；（3）证明：由题意12(3,0),(3,0)A A -，设点P 的坐标为(6,)m ，直线1PA ：(3)9m y x =+，与椭圆方程2219x y +=联立消去y 得：2222(9)69810m x m x m +++-=由韦达定理得223279C m x m -+=+即2223276,99m m C m m ⎛⎫-+ ⎪++⎝⎭；同理222332,11m m D m m ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭；当C D x x =，即22222733391m m m m --=++即23m =时，直线CD 的方程为32x =；当C D x x ≠时，直线CD ：2222243313(3)1m m m y x m m m ⎛⎫---=- ⎪+-+⎝⎭化简得2433(3)2m y x m ⎛⎫=- ⎪-⎝⎭，恒过点3,02⎛⎫ ⎪⎝⎭；综上所述，直线CD 恒过点3,02⎛⎫ ⎪⎝⎭.【点睛】关键点睛：解决第（3）的关键是能够运用韦达定理表示出,C D 点的坐标，从而表示出直线CD ，并能通过运算整理成关于m 的方程，从而确定出定点，考查学生的运算求解能力，有一定的难度.15．已知曲线()()()22:528C m x m y m R -+-=∈.（1）若曲线C 表示双曲线，求m 的范围；（2）若曲线C 是焦点在x 轴上的椭圆，求m 的范围；（3）设4m =，曲线C 与y 轴交点为A ，B （A 在B 上方），4y kx =+与曲线C 交于不同两点M ，N ，1y =与BM 交于G ，求证：A ，G ，N 三点共线.【答案】（1）()(),25,-∞+∞ ；（2）()3.5,5；（3）见解析【分析】（1）若曲线C 表示双曲线，则：()()520m m --<，解得m 的范围；（2）若曲线C 是焦点在x 轴上的椭圆，则250m m ->->，解得m 的取值范围；（3）联立直线与椭圆方程结合()23223k =- ，解得k ，设(),4N N N x kx +，(),4M M M x kx +，()1G G x ，，求出MB 的方程，可得316M M x G kx ⎛⎫ ⎪+⎝⎭，，从而可得3 16M M x AG kx ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭，，() ,2N N AN x kx =+ ，欲证A ，G ，N 三点共线，只需证 AG ，AN 共线，利用韦达定理，可以证明．【详解】（1）若曲线C 表示双曲线，则：()()520m m --<，解得：()()25m ∈-∞⋃+∞，，.（2）若曲线C 是焦点在x 轴上的椭圆，则：250m m ->->，解得：7,52m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭（3）当4m =，曲线C 可化为：2228x y +=，当0x =时，2y =±，故A 点坐标为：()02，，()02B -，，将直线4y kx =+代入椭圆方程2228x y +=得：()222116240k x kx +++=，若4y kx =+与曲线C 交于不同两点M ，N ，则()232230k =-> ，解得232k >，由韦达定理得：21621m n k x x k +=-+①，22421m n x x k ⋅=+②设(),4N N N x kx +，(),4M M M x kx +，()1G G x ，，MB 方程为：62M M kx y x x +=-，则316M M x G kx ⎛⎫ ⎪+⎝⎭，∴3 16M M x AG kx ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭，() ,2N N AN x kx =+ ，欲证A ，G ，N 三点共线，只需证 AG ，AN共线，即()326M N N M x kx x kx +=-+，将①②代入可得等式成立，则A ，G ，N 三点共线得证．【点睛】本题考查椭圆和双曲线的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查三点共线，解题的关键是直线与椭圆方程联立，利用韦达定理进行求解，属于中档题.16．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>过点3(1,2P -，且椭圆C 的一个顶点D 的坐标为(2,0)-．过椭圆C 的右焦点F 的直线l 与椭圆C 交于不同的两点A ，B （A ，B 不同于点D ），直线DA 与直线m ：4x =交于点M ．连接MF ，过点F 作MF 的垂线与直线m 交于点N ．（1）求椭圆C 的方程，并求点F 的坐标；（2）求证：D ，B ，N 三点共线．【答案】（1）22143x y +=，(1,0)；（2）证明见解析.【分析】（1）根据题意列方程组222,1914a a b =⎧⎪⎨+=⎪⎩，即可得到椭圆的方程，进而得到焦点坐标；（2）讨论直线l 的斜率，利用DB DN，是平行的证明D ，B ，N 三点共线．【详解】（1）因为点31,2P ⎛⎫- ⎪⎝⎭在椭圆C 上，且椭圆C 的一个顶点D 的坐标为()2,0-，所以222,19 1.4a a b =⎧⎪⎨+=⎪⎩解得2,a b =⎧⎪⎨=⎪⎩所以椭圆C 的方程为22143x y +=．所以椭圆C 的右焦点F 的坐标为()1,0．（2）①当直线l 的斜率不存在时，直线AB 的方程为1x =．显然，31,2A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，31,2B ⎛⎫- ⎪⎝⎭或31,2A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，31,2B ⎛⎫ ⎪⎝⎭．当31,2A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，31,2B ⎛⎫- ⎪⎝⎭时，直线DA 的方程为()122y x =+，点M 的坐标为()4,3．所以1MF k =．直线FN 的方程为()1y x =--，点N 的坐标为()4,3-．则33,2DB ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，()6,3DN =- ．所以2DN DB = ，所以D ，B ，N 三点共线．同理，当31,2A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，31,2B ⎛⎫ ⎪⎝⎭时，D ，B ，N 三点共线．②当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为()1y k x =-．由()221,3412y k x x y ⎧=-⎨+=⎩得()()22223484120k x k x k +-+-=．且()()()222284344120k k k ∆=--+->．设()11,A x y ，()22,B x y ，则2122834k x x k +=+，212241234k x x k-=+．直线DA 的方程为()1122y y x x =++，点M 的坐标为1164,2y x ⎛⎫ ⎪+⎝⎭．所以11116022412MF y x y k x -+==-+．直线NF 的方程为()11212x y x y +=--，点N 的坐标为()11324,2x y ⎛⎫+- ⎪⎝⎭．则()222,DB x y =+ ，()11326,2x DN y ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭．所以()()122132262x x y y -++⋅-()()1212132242x x y y y ⎡⎤=-+++⎣⎦，()()()()2121213224112x x k x x y ⎡⎤=-+++--⎣⎦，()()()2221212131424442k x x k x x k y ⎡⎤=-++-+++⎣⎦，()()222222213412814244423434k k k k k y k k ⎡⎤-=-++-++⎢⎥++⎣⎦，()()()()()222222211441224844343234k k k k k k y k +-+-+++=-⋅+，242242422134121648163212121616234k k k k k k k k y k -+-+-++++=-⋅+0=．所以DB 与DN共线，所以D ，B ，N 三点共线．综上所述，D ，B ，N 三点共线．【点睛】本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆的位置关系，考查向量知识的运用，考查韦达定理，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．17．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左右顶点分别为A 和B ，离心率为12，且点31,2T ⎛⎫ ⎪⎝⎭在椭圆上.（1）求椭圆C 的方程；（2）过点M （1，0）作一条斜率不为0的直线交椭圆于P ，Q 两点，连接AP 、BQ ，直线AP 与BQ 交于点N ，探求点N 是否在一条定直线上，若在，求出该直线方程；若不在，请说明理由.【答案】（1）22143x y +=；（2）在，x =4.【分析】（1）根据离心率及椭圆上的点可求出椭圆的标准方程；（2）设直线PQ 的方程为1x my =+，联立方程，直线AP 的方程为11(2)2y y x x =++，直线BQ 的方程为22(2)2y y x x =--，求出交点，由根与系数关系化简即可.【详解】（1）由题设，12c a =，221914a b+=，且222a b c =+所以224,3a b ==，∴椭圆方程为22143x y +=；（2）由（1）知，A （-2，0），B （2，0），设直线PQ 的方程为1x my =+，联立方程组221431x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得22(34)690m y my ++-=，因为>0∆，设()()1122,,,P x y Q x y ，所以12122269,3434m y y y y m m --+==++，设直线AP 的方程为11(2)2y y x x =++，直线BQ 的方程为22(2)2y y x x =--，则1212(2)(2)22y y x x x x +=-+-，即21211212(2)(3)22(2)(1)+++==---y x y my x x y x y my ，而12123()2my y y y =+，∴121239222313222++==-+y y x x y y ，∴x =4，即直线AP 与直线BQ 的交点在直线x =4上.【点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程，椭圆的简单几何性质，椭圆中的定值问题，属于中档题.18．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右顶点分别为A ，B ，O 为原点.以OB 为对角线的正方形OPBQ 的顶点P ，Q 在C 上.（1）求C 的离心率；（2）当2a =时，过(1,0)作与x 轴不重合的直线l 与C 交于M ，N 两点，直线AM ，BN 的斜率分别为1k ，2k ，试判断12k k 是否为定值？若是，求出定值，并加以证明；若不是，请说明理由.【答案】（1）63；（2）是，13，证明见解析.【分析】（1）由题意可知,22a a P ⎫⎛ ⎪⎝⎭，将其代入椭圆方程中化简可得223a b=，从而可求出离心率；（2）当2a =时，233b =，所以椭圆的方程为2234x y +=，然后当直线l 的斜率不存在时，求出M ，N 两点的坐标，从而可求出1k ，2k ，进而可得12k k 的值，当直线l 的斜率存在时，设l 的方程为1x my =+，0m ≠，设()11,M x y ，()22,N x y ，然后将直线方程与椭圆的方程联立方程组，消去x ，再利用根与系数的关系得12223m y y m +=-+，12233y y m =-+，然后求11122222y k x y k x +=-，化简可得答案；或利用根与系数的关系后，由于。
圆锥曲线极点极线应用篇5
圆锥曲线极点极线应用篇5一、引言圆锥曲线是高中数学的重要内容，极点极线是解决圆锥曲线问题的一种重要方法。
本篇文档将详细介绍如何应用极点极线解决圆锥曲线问题。
二、极点极线基本概念在解析几何中，一个点对于一个曲线而言，具有特殊的意义。
这个点被称为曲线的极点，而连接这个点和曲线上任何一点的直线被称为这条曲线的极线。
在圆锥曲线中，这个概念同样适用。
三、应用方法1.点与曲线的关系：通过寻找曲线的极点，可以找到曲线上某个点的位置。
通过已知点和曲线的极线，可以求出未知点的坐标。
2.曲线间的关系：不同曲线的极线可能交于一点，或者两曲线具有相同的极线。
这种情况下，可以通过研究这个共有的极线来研究两个曲线之间的关系。
3.最值问题：在解决最值问题时，可以考虑用极点极线的方法。
通过建立极线方程，可以将问题转化为求函数最值的问题。
四、实例解析1.已知抛物线方程为y^2=4x，求点(2,2)在抛物线上的位置。
解：根据抛物线的定义，可得到抛物线的极点为原点。
因为点(2,2)在抛物线上，所以它的极线与抛物线的交点就是所求。
通过解方程y^2-4y=0，可得到点(2,2)在抛物线上的位置为(1,0)。
2.求椭圆x^2/4+y^2/3=1上的点到直线x+y=0的距离最小时的椭圆方程。
解：这个问题的关键在于找到椭圆的极线和所求直线之间的关系。
椭圆的极线是两条射线，它们和坐标轴构成的两个三角形的面积越大，距离最小。
通过计算，可以得到当椭圆的长轴在$x$轴上时，距离最小。
此时，椭圆的方程为x^2/7+y^2/3=1。
五、总结通过极点极线的方法，我们可以更深入地理解圆锥曲线，找到解决问题的方法。
在解决具体问题时，要灵活运用基本概念和方法，通过建立方程、函数等方法，解决实际问题。
六、扩展阅读1.进一步了解极点和极线的性质和应用，可以阅读相关的数学文献和教材。
2.练习解一些更复杂的问题，以提高自己的解题能力。
3.参考一些优秀的数学解题视频和博客，获取更多的解题思路和方法。
高考之圆锥曲线篇】极坐标
大招四 极坐标秒解圆锥曲线3（原点篇） 在椭圆22
2210,0x y a b a b
+=>>（）中，O 是坐标原点，A 、B 是椭圆上两点，OA 、OB 的长度可以用极坐标表示，部分题目可以达到简化计算的目的。
令cos ,sin x y ρθρθ==，则222221
cos sin a b θθρ=+。
例1、设椭圆的离心率，右焦点到直线的距离，为坐标原点. （1）求椭圆的方程； （2）过点作两条互相垂直的射线，与椭圆分别交于，两点，证明：点到直线
的距离为定值，并求弦长度的最小值. 例2已知椭圆
的长轴为4,且过点 (1)求椭圆C 的方程;
(2)设点O 为原点,若点P 在曲线C 上,点Q 在直线
上,且,试判断直线PQ 与圆的位置关系,并证明你的结论.
x 2y 23左、右焦点分别为F 1，F 2，|F 1F 2|＝23，设点M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)是椭圆上不同两点，且这两点分别与坐标原点的连线的斜率之积为－14
. (1)求椭圆C 的方程；
(2)求证：x 21＋x 22为定值，并求该定值．。
圆锥曲线极坐标方程的应用
由题意 | PF2 || F1F2 | 2c ，故
| PF1 | 2a 2c.
设 PF1F2 .
于是， 椭圆的极坐标方程可写为
1
ep e cos
.
1
则|
PF1
|
1
ep e cos
，
|
QF2
|
1
ep e cos(
)
1
ep e cos
.
由 3 | PF1 | 4 | QF2 | ，得
16 84 25 9cos2
.
若无条件限制，当 cos2 1 时， | BM || BN | 取得最小值 16．
但 0 ，从而，这样的 M 、 N 不存在，即 | BM || BN | 的最小值的集合为空集．
例 4 ： 如 图 1 ， 在 平 面 直 角 坐 标 系 xOy 中 ， 椭 圆
3ep 4ep 1 ecos 1 ecos
e cos 1 ．
①
7
因为 | PF2 || F1F2 | ，所以，
| PF1 | 2 | F1F2 | cos
2a 2c 4c cos
a c 2c cos
1 e 2ecos.
②
由式①、②得 e 5 ． 7
故椭圆 的短轴与长轴的比值为
最小值 7 ． 25
（1）建立适当的坐标系，求顶点 C 的轨迹方程；
（2）过点 A 作直线与（1）中的曲线交于 M 、 N 两点，求 | BM || BN | 的最小值的集
合． 解：（1）以 AB 所在直线为 x 轴、线段 AB 的中垂线为 y 轴建立平面直角坐标系． 设 | CA | | CB | 2a(a 3) 为定值．则点 C 的轨迹是以 A 、 B 为焦点的椭圆． 故焦距 2c | AB | 6. 注意到，
极坐标方程在圆锥曲线中的应用
极坐标方程在圆锥曲线中的应用作者：周震来源：《中学生数理化·学习研究》2017年第08期在圆锥曲线问题中，常出现的长度问题主要有两大类：一是与焦点有关，主要体现在过焦点的弦长、直线的倾斜角、焦准距等相关的问题；二是与原点有关的长度和角度问题。
这两类问题利用圆锥曲线常规解法往往运算量较大，学生通常比较害怕。
如果我们转换思路，合理利用曲线的极坐标方程来解，可以将繁琐复杂的计算简单化，提高解题速度和正确率。
下面通过具体例题来阐述圆锥曲线的极坐标解法。
在极坐标系中，以圆锥曲线的焦点F（椭圆为左焦点，双曲线为右焦点）为极点，对称轴为极轴建立极坐标系，离心率为e，焦点到准线的距离为p。
则圆锥曲线的极坐标方程为ρ=ep1-ecosθ。
当以原点为极点，Ox轴为极轴时，椭圆x2a2+y2b2=1（a>b>0）的极坐标方程ρ2=a2b2b2cos2θ+a2sin2θ。
双曲线x2a2-y2b2=1的极坐标方程为ρ2=a2b2b2cos2θ-a2sin2θ。
抛物线y2=2px的极坐标方程为ρsin2θ=2pcosθ。
圆心为（a，0），半径为a的圆的极坐标方程为ρ=2acosθ。
一、与焦点有关的问题例1已知椭圆x2a2+y2b2=1（a>b>0）过椭圆的左焦点F作倾斜角为π3的直线交椭圆于A、B两点，且AF∶BF=2∶1，求椭圆的离心率。
分析：在极坐标系中，由于椭圆的极坐标方程是以左焦点为极点，x轴的正半轴为极轴建立的坐标系，极径的长即为椭圆上的点到焦点的距离，所以可以利用极坐标方程来解决。
解：以椭圆的左焦点F为极点，Fx轴为极轴建立极坐标系，则椭圆的极坐标方程为ρ=ep1-ecosθ。
则AF=ep1-12e，BF=ep1+12e。
因为AF∶BF=2∶1，所以ep1-12e∶ep1+12e=2∶1。
化简得e=23。
故所求椭圆的离心率为e=23。
运用极坐标方程解决与焦点弦长有关的问题可以简化计算量，提高解题速度和效率。
极坐标法在圆锥曲线中的运用
极坐标法在圆锥曲线中的运用Ξ廖 丽(益阳市第十四中学,湖南益阳 413051)摘 要:结合实例,阐述了极坐标法在圆锥曲线中的运用.关键词:极坐标法;圆锥曲线中图分类号:G 633.65 文献标识码:A 文章编号:1001-876X (2001)03-0121-02The Method of Polar Coordinates and its Application in conicL IA O 2L i(Number 14Middle School of Y iyang City ,Y iyang ,Hunan 413051)Abstract :With examples ,this article attempts to explain the method of polar coordinates and its appli 2cation in conic.K ey w ords :polar coordinate ;method ;conic在解析几何中,不少同学只习惯于使用直角坐标系求解,对极坐标系比较陌生,缺乏兴趣.殊不知,只要掌握了极坐标的特点,适当选取极点,将线段的长对应于极径,找出极角的关系,问题就可迎刃而解.这样,既可简化计算,还可培养学生的求异思维和创新意识.现举几个高考题为例,阐述极坐标法的运用.例1:已知直线l 过坐标原点,抛物线C的顶点在原点,焦点在x 轴的正半轴上,若点A (-1,0)和点B (0,8)关于l 的对称点都在C 上,求直线l 和抛物线C 的方程(94年高考题).解:如图1,设抛物线的直角坐标方程为y 2=2px (p >0),以坐标原点为极点;x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.设A 、B 关于l 的对称点为A ′、B ′且l 的倾斜角为α,∠XOB =θ(0<θ<π/2)不难得出 α=π4+θ2因为|OA|=1 |OB|=8;∠xoA ′=π+2α=32π+θ所以B ′、A ′的极坐标依次为(8,θ),(1,32π+θ)又抛物线极坐标方程为:ρsin 2θ=2Pcos θ将B ′、A ′的极坐标代入上述方程可解得:p =255 sin θ=55 cos θ=255所以tg α=tg (π4+θ2)=1-cos (π2+θ)sin (π2+θ)=1+sin θcos θ=1+52第18卷 第3期益 阳 师 专 学 报Vol.18 No.32001年5月JOURNAL OF YIYAN G TEACHERS COLL EGE May.2001Ξ收稿日期:2001-02-15所求的抛物线方程为y 2=455x ,直线l 的方程为y =1+52x 例2:已知椭圆x 224+y 216=1,直线l :x 12+y 8=1.P 是l 上一点,射线OP 交椭圆于点R ,又点Q 在OP 上且满足|OQ||OP|=|OR|2,当点P 在l 上移动时,求点Q 的轨迹方程,并说明轨迹是什么曲线?(95年高考题).解:以原点为极点,x 轴正半轴为极轴,建立极坐标系.则椭圆方程为:ρ2=482cos 2θ+3sin 2θ,直线l 的极坐标方程为:ρ=242cos θ+3sin θ.设∠xoQ =θ,则Q (ρ,θ),P (ρ2,θ),R (ρ1,θ)则|OR|2=ρ21=482cos 2θ+3sin 2θ |OP|=ρ2=242cos θ+3sin θ由|OR|2=|OQ||OP|得ρ242cos θ+3sin θ=482cos 2θ+3sin 2θ化为直角坐标方程得:2x 2+3y 2=2(2x +3y )配方得(x -1)252+(y -1)253=1,其中x 、y 不同时为0,故轨迹是中心在(1,1),长半轴为102,短半轴为153的椭圆(但不包括原点).例3:如图3,已知梯形ABCD 中,|AB|=2|CD|点E 分有向线段AC 所成的比为λ,双曲线过C 、D 、E 三点,且以A 、B 为焦点,当23ΜλΜ34时,求双曲线离心率е的取值范围(2000年高考题)解:如图3,以A 为极点,射线OB 为极轴建立极坐标系.双曲线成左页的方程为:ρ=ep ecos θ-1,设E (ρ1,θ),C (ρ2,θ)又E 分AC 的比为λ即|AE||AC|=λλ+1ep 1+ecos θep ecos θ-1=λλ+1 即 ecos θ-1ecos θ+1=λλ+1 ①过C 作CF ⊥AB 于F ,因为|AB|=2|CD|,设|AB|=2c ,则|AF|=32c 所以cos θ=|AF|AC =32c ep ecosθ-1解得ecos θ=3c 3c -2p ② 将②代入①得:λλ+1=p 3c -p而p =c -a 2c 所以λλ+1=c 2-a 22c 2+a 2=e 2-12e 2+1 λ=1-3e 2+2又23ΜλΜ34 解得7Μe Μ10通过上述几例可见,运用极坐标法解圆锥曲线的问题的计算量比直角坐标法解题的计算量有时要少得多,读者有兴趣的话,不妨使用极坐标法再解一些圆锥曲线中与弦有关的问题,一定受益非浅.221 益 阳 师 专 学 报 2001年第3期。
巧用圆锥曲线的极坐标方程简解高考题
巧用圆锥曲线的极坐标方程简解高考题
胡贤富
【期刊名称】《数学学习与研究：教研版》
【年(卷),期】2016(000)009
【摘要】圆锥曲线的极坐标方程是高中数学新课程中的选修内容,虽然这块内容是独立的,但是它的解题方法不是独立的,可以进行知识迁移,用极坐标可以简解一些有关圆锥曲线问题的高考题.
【总页数】1页(P156-156)
【作者】胡贤富
【作者单位】江西省赣州市信丰县信丰中学,江西赣州341600
【正文语种】中文
【中图分类】G633.65
【相关文献】
1.巧用圆锥曲线统一极坐标方程解决过焦点弦的问题
2.巧设极坐标方程妙解圆锥曲线问题
3.用极坐标方程解一类圆锥曲线高考题
4.巧用圆锥曲线统一的极坐标方程分析问题一例
5.巧用圆锥曲线极坐标方程解高考题
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巧用极坐标揭秘圆锥曲线性质
性质１：过椭圆与＋昔＝１（口＞ｂ＞０）的焦点，作直线
Ｚ（斜率存在且不为０）交椭圆于Ａ，日两点，作直线ｚ的中垂线，交
菇轴于点Ⅳ，则而ＡＢ是疋但了２．
则有ｐ；＝蕊万２丽Ｏ，ｐ：２＝石万２丽０
因为ｄ２＝考％２ ２’所以÷＝了１＋虿Ｐ２
ｐｌ十
ｄ
本题第（２）问就可以用上面的定理来解决，而第（３）问则 把椭圆与双曲线有机地融合在一起，进一步衍变为一个相似问
题．类似变化问题在近几年各地的高考题中也都有出现，如０９ 年北京卷理１９，１０年陕西卷２０，有兴趣的读者可以用这些性质
我们也会得到如下美妙的结论．
（酗铲＝ｐ；＋厦＝２０‘磊磊忐＋石孑了≯１丽）
令ｍ＝４ｃｏｓ２０＋５ｓｉｎ２０，ｎ＝４ｓｉｎ２０＋５ｃｏｓ２０，由于ｍ＋ｒ／，＝
９．
推论２：已知椭圆鲁＋告＝１（口＞ｂ＞ｏ）上三点Ｐ，，Ｐ２，
所以Ａ铲＝２０（１ｍ＋÷）＝２０（１＋÷’可１（ｍ＋ｎ）＝
ｍ
乃 ｎ ｙ
Ｐ３，且ｏＰｌ，ＯＰ２，ｏＰ３互成１２００角，则去＋去＋壶为定值
三，上．上、
２、ｎ２’ｂ２
７‘
等（２＋詈＋詈）≥等
所以ＡＢ的最小值为箪．
规律探秘：如果我们将此例从特殊推广到一般，类比、拓 广、延伸，挖掘潜在条件，我们就会发现如下性质：
推论３：已知椭圆与＋告＝ｌ（口＞ｂ＞ｏ）上ｎ个点Ｐ，，Ｐ２，
…，Ｐｎ，且ｏＰ－，ｏＰ２，…，ＯＰｎ将周角０分成ｎ等分角，则壶＋
性质２：已知椭圆冬＋鲁＝ｌ（ａ＞ｂ＞ｏ），动直线ｚ交椭圆
巧用极坐标揭秘圆锥曲线性质
14. 【圆锥曲线篇】秒杀技巧极坐标1
先给大家总结几个圆锥曲线焦半径、焦点弦重要的性质。
性质 1：以圆锥曲线的焦点 p，(椭圆是左焦点、双曲线是右焦点)为极点，对称轴(椭圆是长轴，双曲线是实轴)
ep
b2
为 极 轴 ， 离 心 率 为 e ， 焦 点 到 相 应 准 线 的 距 离 为 p 。 则 AF
大招二 极坐标秒解圆锥曲线选择题
圆锥曲线是高考压轴题经常涉及和考查的对象，解决此类问题若使用常规解法，计算、化简都相当繁琐，运 用焦半径、焦点弦公式则会大大减少运算，非常巧妙，在解题中起到事半功倍的效果。而焦半径、焦点弦公式可 以用圆锥曲线的统一定义推导，圆锥曲线的统一定义把焦点、准线和离心率巧妙地联系在一起。
AF
在 y 轴左侧），则
．
FB
x2
例 7、已知双曲线 C：
a2
y2 b2
（1 a
0, b 0）的右焦点为 F，过点 F 作直线 l 垂直于一条渐近线于 M，交
另一条渐近线于 N，若 MF 2FN ，则 C 的离心率是
例 8、已知抛物线 y2=4x，焦点为 F，点 A（-3，0）． （1）过点 A 的直线与抛物线只有一个交点的直线有几条，并写出直线方程；
经过椭圆 B 点，求 AB 的长。
法 1：解：
的左焦点 作倾斜角为 60°的直线 ，直线 与椭圆相交于 A， 斜率
设 A（ ）,B（ ）
联立得： 化简得： 解得
, ,
∴
法 2：
AB
1
2ep e2 cos2
= a2
2ab2 c2 cos2
8 7
2
第 60 页例 6
大招4 极坐标秒解圆锥曲线3(原点篇)
大招4 极坐标秒解圆锥曲线3（原点篇）大招总结在椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >0,b >0)中,O 是坐标原点,A 、B 是椭圆上两点,OA 、OB 的长度可以用极坐标表示,部分题目可以达到简化计算的目的.令x =ρcosθ,y =ρsinθ,则1ρ2=cos 2θa 2+sin 2θb 2.典型例题例 1.(2021·河南二模)设椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率e =12,右焦点到直线x a +y b =1的距离d =√217,O 为坐标原点. (I)求椭圆C 的方程;(II)过点O 作两条互相垂直的射线,与椭圆C 分别交于A,B 两点,证明点O 到直线AB 的距离为定值,并求弦AB 长度的最小值.解,方法1:(I)由e =12得c a =12即a =2c,∴b =√3c .由右焦点到直线x a +y b =1的距离为d =√217, 得:√a 2+b 2=√217, 解得a =2,b =√3.所以椭圆C 的方程为x 24+y 23=1.(II)设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),直线AB 的方程为y =kx +m ,与椭圆x 24+y 23=1联立消去得3x 2+4(k 2x 2+2kmx +m 2)−12=0,x 1+x 2=−8km 3+4k 2,x 1x 2=4m 2−123+4k 2.∵OA ⊥OB,∴x 1x 2+y 1y 2=0,∴x 1x 2+(kx 1+m )(kx 2+m )=0.即(k 2+1)x 1x 2+km (x 1+x 2)+m 2=0,∴(k 2+1)4m 2−123+4k 2−8k 2m 23+4k 2+m =0,整理得7m 2=12(k 2+1)所以O到直线AB的距离d=√k2+1=√127=2√217.为定值∵OA⊥OB,∴OA2+OB2=AB2⩾2OA⋅OB,当且仅当OA=OB时取“=”号.由d⋅AB=OA⋅OB得d⋅AB=OA⋅OB⩽AB 22,∴AB⩾2d=4√217,即弦AB的长度的最小值是4√217.方法2:设OA与x轴夹角为θ,OB与x轴夹角为π2+θOA=ρ1,OB=ρ21ρ12=cos2θa2+sin2θb2,1ρ22=cos2(θ+π2)a2+sin2(θ+π2)b2=sin2θa2+cos2θb21OA2+1OB2=1a2+1b2=14+13=712d2=OA2⋅OB2OA2+OB2=11OA2+1OB2=127d=2√217接下来求AB最小值方法一样使用均值不等式利用d,AB,OA⋅OB关系求解例2.(2021秋·虹口区月考)已知椭圆C:x 2a2+y2b2=1(a>b>0)的长轴为4,且过点A(√2,1)(1)求椭圆C的方程;(2)设点O为原点,若点P在曲线C上,点Q在直线y=2上,且OP⊥OQ,试判断直线PQ与圆x2+y2=2的位置关系,并证明你的结论.解(1)由题意可得2a=4,即a=2,又2a2+1b2=1,解得b=√2,即有椭圆C的方程为x 24+y22=1;(2)直线PQ与圆x2+y2=2相切.证明如下：设点P,Q的坐标分别为(x0,y0),(t,2),其中x0≠0.∵OP ⊥OQ ,∴OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OQ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即tx 0+2y 0=0, 解得t =−2y 0x 0.当x 0=t 时,y 0=−t 22,代入椭圆C 的方程, 得t =±√2,故直线PQ 的方程为x =±√2,圆心O 到直线PQ 的距离d =√2.此时直线PQ 与圆x 2+y 2=2相切.当x 0≠t 时,直线PQ 的方程为y −2=y 0−2x 0−t (x −t),即(y 0−2)x −(x 0−t )y +2x 0−ty 0=0.圆心O 到直线PQ 的距离d =00√(y 0−2)2+(x 0−t )2. 又x 02+2y 02=4,t =−2y 0x 0. 故d =|2x 0+2y 02x 0|√x 02+y 02+4y 0x 02+4=|4+x 02x 0|√x 0+8x 0+162x 02=√2.此时直线AB 与圆x 2+y 2=2相切.方法2：设OQ 与x 轴夹角为θ,OB 与x 轴夹角为π2+θOQ =2sinθ(注意Q 点不在椭圆上),OP =ρ21OQ 2=sin 2θ41OP 2=1ρ22=cos 2(θ+π2)a 2+sin 2(θ+π2)b 2=sin 2θa 2+cos 2θb 2=sin 2θ4+cos 2θ21OQ 2+1OP 2=12 ∴d 2=OQ 2⋅OP 2OQ 2+OP 2=11OQ 2+1OQ 2=2 d =√2=r ,和圆相切例 3.(2021·衡阳一模)已知椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为e =√32,,其左右焦点分别为F 1,F 2,|F 1F 2|=2√3.设点M (x 1,y 1),N (x 2,y 2)是椭圆上不同两点,且这两点与坐标原点的连线斜率之积−14.(I)求椭圆C 的方程;(II)求证:x 12+x 22为定值,并求该定值.解,方法1:(I)根据题意,|F 1F 2|=2c =2√3,则c =√3,e =c a =√32,则a =2,b 2=a 2−c 2=1,故椭圆的方程为x 24+y 2=1；(II)根据题意,点M (x 1,y 1),N (x 2,y 2)与坐标原点的连线斜率之积−14,即y 1x 1×y 2x 2=−14,−4y 1y 2=x 1x 2,即(x 1x 2)2=16(y 1y 2)2, 又由x 124+y 12=1,x 224+y 22=1,则1−x 124=y 12,1−x 224=y 22,即可得(1−x 124)(1−x 224)=(y 1y 2)2,变形可得(4−x 12)(4−x 22)=(x 1x 2)2,展开可得x 12+x 22=4,即x 12+x 22为定值4.法2:三角换元x 1=2cosα,y 1=sinαx 2=2cosβ,y 2=sinβ注:角α,β并不是与x 轴夹角sinα⋅sinβ2cosα⋅2cosβ=−14cos(α−β)=0x 12+x 22=4自我检测1.设椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率e =√22,右焦点到直线x a +y b =1的距离d =√6−√33,O 为坐标原点. (1)求椭圆C 的方程; (2)过点O 作两条互相垂直的射线,与椭圆C 分别交于A 、B 两点,过原点O 作直线AB 的垂线,垂足为D ,求点D 的轨迹方程.解:(1)右焦点为F(c,0)到直线x a +y b =1的距离d =√6−√33,∴√a 2+b 2=√6−√33.又e =√22,联立得{ √a 2+b 2=√6−√33e =c a =√22a 2=b 2+c 2,解得{a =√2b =c =1. ∴椭圆C 的方程为x 22+y 2=1.(2)设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),D(x,y).当直线AB 斜率存在时,设直线AB 的方程为y =kx +m ,联立{y =kx +m x 2+2y 2=2消去y 得到(1+2k 2)x 2+4kmx +2m 2−2=0. 由Δ>0,得1+2k 2>m 2.(∗)∴x 1+x 2=−4km 1+2k 2,x 1x 2=2m 2−21+2k 2.(∗∗)∵OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,∴x 1x 2+y 1y 2=0,即x 1x 2+(kx 1+m )(kx 2+m )=0,化为(1+k 2)x 1x 2+km (x 1+x 2)+m 2=0,把(**)代入上式得(1+k 2)(2m 2−2)1+2k 2−4k 2m 21+2k 2+m 2=0,化为3m 2=2(1+k 2).(1)∵OD ⊥AB,∴k ⋅y x =−1,得到k =−x y .(2)∵点D 在直线AB 上,∴y =kx +m,∴m =y −kx .(3)联立(1)(2)(3)消去k,m .得到x 2+y 2=23(y ≠0).当直线AB 的斜率不存在时,可得D (±√63,0),也适合上述方程. 综上可知:点D 的轨迹方程为x 2+y 2=23.2.(2021·河南模拟)椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1(−2,0)、F 2(2,0),,且椭圆过点A(2,√2).(1)求椭圆C 的标准方程; (2)过原点O 作两条相互垂直的直线l 1,l 2,l 1与椭圆交于M,N 两点,l 2与椭圆交于P,Q 两点,求证:四边形MQNP 的内切圆半径r 为定值.解:(1)由椭圆的定义可得|PF 1|+|PF 2|=√(2+2)2+(√2)2+√02+(√2)2=4√2=2a ,所以a =2√2,又c =2,所以b =2,故椭圆的标准方程为x 28+y 24=1;(2)当直线l 1的斜率为±1时,四边形MQNP 为正方形,联立方程{y =xx 28+y 24=1,解得|x M |=|x N |=2√63=r ,当直线l 1的斜率不等于±1时,设Q (x 1,y 1),N (x 2,y 2),直线QN 的方程为:y =kx +t ,代入椭圆方程整理可得:(1+2k 2)x 2+4ktx +2t 2−8=0,Δ=(4kt)2−4(1+2k 2)(2t 2−8)>0,则8k 2−t 2+4>0, 得x 1+x 2=−4kt1+2k 2,x 1x 2=2t 2−81+2k 2,由已知可得∠NOQ =90∘,所以OQ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即x 1x 2+y 1y 2=x 1x 2+(kx 1+1)(kx 2+1)=0, 则(1+k 2)x 1x 2+kt (x 1+x 2)+t 2=0,所以(1+k2)×2t 2−81+2k 2+kt ×−4kt1+2k 2+t 2=0, 化简可得:3t 2=8(1+k 2)(∗),代入△成立,故r =|√1+k 2|=√t 21+k 2=√83=2√63, 综上,r =2√63.。
专题13极坐标秒解圆锥曲线微点1极坐标秒解圆锥曲线
专题13 极坐标秒解圆锥曲线微点1 极坐标秒解圆锥曲线图① 图② 图③ 图④证明：仅证双曲线情形，椭圆和抛物线同理可证．如图⑤，设(),M ρθ是双曲线左支上的一点，连结(1)求椭圆C 的方程；(2)设n 是过原点的直线，l 是与n 垂直相交于1OP = ．是否存在上述直线l 使AP 在，请说明理由．10．如图，中心在原点O 的椭圆的右焦点为(1)求椭圆的方程；(2)在椭圆上任取三个不同点123,,P P P ，使∠14．设椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率633d -=，O 为坐标原点．(1)求椭圆C 的方程；(2)过点O 作两条互相垂直的射线，与椭圆（1）当32CD=时，求直线l的方程；(1)用α表示AF的长；(2)试建立“蝴蝶形图案”的面积案”的面积最小．19．在平面直角坐标系xOy（1）求椭圆的方程∶参考答案：）因为，，故，所以，故.又圆的标准方程为，从而，所以.由题设得，，，由椭圆定义可得点的轨迹方程为：（））当与轴不垂直时，设的方程为，，.由得.则，.所以.过点且与垂直的直线：，到的距离为，所以.故四边形的面积.可得当与轴不垂直时，四边形面积的取值范围为当与轴垂直时，其方程为，，，四边形的面积为综上，四边形面积的取值范围为.）设出直线方程，联立直线与椭圆的方程，整理成关于的一元二次方程，利用求解线的方程，整理得关于的一元二次方程，常用λ使得成立，【详解】试题分析：(1)设椭圆的半焦距为c，由题意知：，2a＋2c＝4(＋1)，所以a＝2，c＝2.又a2＝b2＋c2，因此b＝2.故椭圆的标准方程为＝1.由题意设等轴双曲线的标准方程为＝1(m＞0)，因为等轴双曲线的顶点是椭圆的焦点，所以m＝2，因此双曲线的标准方程为＝1.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x0，y0)，则k1＝，k2＝.因为点P在双曲线x2－y2＝4上，所以x－y＝4.因此k1·k2＝·＝＝1，即k1·k2＝1.(3)由于PF1的方程为y＝k1(x＋2)，将其代入椭圆方程得(2k＋1)x2－8k x＋8k－8＝0，显然2k＋1≠0，显然Δ＞0.由韦达定理得x1＋x2＝，x1x2＝.所以|AB|＝＝.同理可得|CD|＝.则，又k1·k2＝1，所以.＝|AB|·|CD|.＝，使样代入椭圆方程，容易得到，从而解得）记椭圆的右顶点为A ，并设i i AFP α∠=（i =1，假设1203απ≤≤，且2123ααπ=+，3143ααπ=+又设点i P 在l 上的射影为i Q ，因椭圆的离心率e 2cos i i i i i a FP PQ e c FP e c α⎛⎫==-- ⎪⎝⎭ 1(92FP =-因为直线AB 的斜率为3，所以直线AB 的倾斜角为60︒，∴60BAD ∠=︒，12AD AB =，由双曲线的第二定义得：(1AM BN AD AF e -==- 又∵ ，当1l的斜率为1±时，四边形。
巧设极坐标方程妙解圆锥曲线问题
巧设极坐标方程妙解圆锥曲线问题48福建中学数学2015年第9期断：因为0j叶dtanAj在求解三角函数问题时，一定要注意角的范围对解题结果产生的影响．实际上，学生有自己的“思想”，未必会按照教师传授的解题方法求解，当然，“思想”离不开课堂或课外所获取的，但是会受到各种解法的干扰，甚至误导．笔者认为，教师教学时按学生“最近发展区”不断调整、完善教学方案，平时多了解学生的解题思想；学生也多与教师交流、探讨，学习是一个不断优化的过程，只有把教师所教的“渔”化为己有，且不受干扰，才能获得自己的“鱼”，真正提升自己的学习能力，为后续学习和长远发展提供潜质．巧设极坐标方程妙解圆锥曲线问题邱有文福建省龙岩市长汀二中(366300)新课程中极坐标方程的引入，不仅让我们感受数学的艺术性，欣赏了那些奇妙的曲线及其方程，而且还会强化我们解决问题的能力．若极坐标方程恰当地引入到圆锥曲线问题中，解答过程往往能化繁为筒，下面就谈谈极坐标方程在圆锥曲线中的妙用．先介绍圆锥曲线的极坐标方程：圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线)可统一定义为：与一个定点(焦点F)的距离和一条定直线(准线三)的距离之比等于常数e的轨迹．建立以焦点F为极点，x轴正方向为极轴的极坐标系，其统一极坐标方程为P=·-(称为标准极坐标方l—ecoS，T2程)．其中在椭圆、双曲线中P=I一c1．C(1)当0它的左焦点，定直线是它的左准线；(2)当e=1时，方程表示开口向右的抛物线；(3)当e>1时，方程表示双曲线的右支，定点F是它的右焦点．定直线三是它的右准线(若P<0，方程表示整个双曲线)．根据不同的坐标系，有下列推论：推论1P=_，l+eCOS(1)当0(2)当e=1时，方程表示开口向左的抛物线；(3)当e>1时，方程表示极点在左焦点的双曲线．推论2ep，(1)当0椭圆；(2)当e=1时，方程表示开口向上的抛物线；(3)当e>1时，方程表示极点在上焦点的双曲线．推论3P=_，I十es1rl(1)当0椭圆；(2)当e=1时，方程表示开口向下的抛物线；(3)当e>1时，方程表示极点在下焦点的双曲下面就举例分析圆锥曲线中哪几种题型用极坐标方程解答能化繁为简．题型一型如FA=AFB(其中A，B在椭圆上，F为焦点)的圆锥曲线问题例1设，分别为椭圆X／3+Y=1的左、右焦点，点A，B在椭圆上，若=5B，则点的坐标是——．解析设椭圆的极坐标方程为：p=ep／(1-eCOS，因为=5，所以ep／(1一ecos0)=5ep／(1+ecos，解得COS0=46／3，所以tan0=,／2／2．于是所在的直线方程为Y=(√2／2)(一√2)，代入x／3+y=l，解得A(0，±1)．例2已知以F为焦点的抛物线Y=4x上的两点，满足F=3FB，则弦AB的中点到准线的距2015年第9期福建中学数学49离为．解析设抛物线的极坐标方程为：p=p／(1+cos~，因为『=p／(1一cosO)，=p／(1+cosO)，：3历．所以P／(1一cos0)=3p／(1+cos0)．于是有COS0=1／2，所以Jf=2／(1一cosO)=4，Il=2／(1+cosO)=4／3，(IFl+l船I)×(1／2)=8／3，即填8／3．题型二涉及到焦点弦长问题例3如图1，设P是圆+Y=25上的动点，点D是P在轴上的射影，为PD上一点，且『MDI=(4／5)lPDI．(I)当P在圆上运动时，求点的轨迹C的方程；(II)求过点(3，0)且斜率为h(x)>h(1)=0的直线被C所截线段的长度．解(I)／25+Y／16=1；(Ⅱ)设椭圆的极坐标方程为P=ep／(1+ecosO)，P=a。
用极坐标方程解一类圆锥曲线高考题
用极坐标方程解一类圆锥曲线高考题
张国良
【期刊名称】《中学数学研究（江西师大）》
【年(卷),期】2012(000)012
【摘要】椭圆、双曲线、抛物线可以统一定义为：平面上与一定点F（焦点）的距离和一条定直线l的距离比为定值e的点的轨迹．
【总页数】2页(P43-44)
【作者】张国良
【作者单位】江苏省徐州市第三十五中学，221003
【正文语种】中文
【中图分类】G633.6
【相关文献】
1.巧用圆锥曲线的极坐标方程简解高考题 [J], 胡贤富;
2.高考题改编题训练(直线、圆、圆锥曲线、曲线与方程,极坐标与参数方程) [J], 钱志华
3.高考题改编题训练（直线、圆、圆锥曲线、曲线与方程，极坐标与参数方程）[J], 钱志华
4.高考题改编题训练(直线、圆、圆锥曲线、曲线与方程,极坐标与参数方程) [J], 钱志华;
5.巧用圆锥曲线极坐标方程解高考题 [J], 文付友
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利用极坐标解圆锥曲线题
利用极坐标解题知识点精析： 椭圆、双曲线、抛物线可以统一定义为：与一个定点(焦点)的距离和一条定直线(准线)的距离的比等于常数e 的点的轨迹．以椭圆的左焦点(双曲线的右焦点、抛物线的焦点)为极点，过点F 作相应准线的垂线，垂足为K ，以FK 的反向延长线为极轴建立极坐标系． 椭圆、双曲线、抛物线统一的极坐标方程为： θρcos 1e ep-=.其中p 是定点F 到定直线的距离，p ＞0 ． 当0＜e ＜1时，方程表示椭圆；当e ＞1时，方程表示双曲线，若ρ＞0，方程只表示双曲线右支，若允许ρ＜0，方程就表示整个双曲线；当e=1时，方程表示开口向右的抛物线.引论（1）若 1+cos epe ρθ=则0＜e ＜1当时，方程表示极点在右焦点上的椭圆 当e=1时时，方程表示开口向左的抛物线 当e ＞1方程表示极点在左焦点上的双曲线 （2 ）若1-sin epe ρθ=当 0＜e ＜1时，方程表示极点在下焦点的椭圆 当e=1时，方程表示开口向上的抛物线 当 e ＞1时!方程表示极点在上焦点的双曲线 （3）1+sin epe ρθ=当 0＜e ＜1时，方程表示极点在上焦点的椭圆 当e=1时，方程表示开口向下的抛物线 当 e ＞1时!方程表示极点在下焦点的双曲线 例题选编（1）二次曲线基本量之间的互求例1.（复旦自招）确定方程1053cos ρθ=-表示曲线的离心率、焦距、长短轴长。
解法一：310253331cos 1cos 55ρθθ⨯==--31053e P ∴==，2332555851015103383c a c a a b a c c c ⎧⎧⎧===⎪⎪⎪⎪⎪⎪∴⇒⇒⎨⎨⎨⎪⎪⎪-===⎪⎪⎪⎩⎩⎩ 2225155()()882b ∴=-= 31554e ∴=方程表示椭圆的离心率，焦距，2554长轴长，短轴长解法二：转化为直角坐标（2）圆锥曲线弦长问题若圆锥曲线的弦MN 经过焦点F ，1、椭圆中，cb c c a p 22=-=，θθπθ2222cos 2)cos(1cos 1c a ab e ep e ep MN -=--+-=.若椭圆方程为，半焦距为，焦点，设过的直线的倾斜角为交椭圆于A 、B 两点，求弦长。
巧设极坐标解圆锥曲线焦点弦问题
巧设极坐标解圆锥曲线焦点弦问题∗陈㊀蕾(金华第一中学,浙江金华㊀321000)摘㊀要:圆锥曲线的统一极坐标方程是高中数学中一种重要而简便的工具.文章利用这一工具来解决高考考查的热点之一 圆锥曲线的焦点弦问题.在解决的过程中我们看到这一工具的精准有效和大大减少繁琐运算的威力,同时也体现了对同一问题从不同视角采用不同的技术方法时智力上的创造力.关键词:极坐标方程;焦点弦;精准解法中图分类号:O123.1㊀㊀㊀㊀文献标识码:A㊀㊀㊀㊀文章编号:1003-6407(2021)04-0014-03㊀㊀高中数学中的圆锥曲线问题常采用代数运算解决,但大多数圆锥曲线问题计算量不但大而且繁琐,因此笔者一直在寻求解决此类问题的简便方法或者减少运算量的技巧.极坐标方程是高中数学新课程中的选修内容,我们发现一些圆锥曲线问题如果使用圆锥曲线统一极坐标方程ρ=ep1-e cosθ来求,不但精准有效而且大大减少繁琐的运算.下面以圆锥曲线中的焦点弦问题为例来说明,旨在抛砖引玉.1 圆锥曲线的统一极坐标方程椭圆㊁双曲线㊁抛物线可以统一定义为:与一个定点(焦点)的距离和一条定直线(准线)的距离的比为常数e的点的轨迹.如图1所示,以椭圆的左焦点(双曲线的右焦点或抛物线的焦点)F为极点,过点F作相应准线的垂线,垂足为K,以FK的反向延长线为极轴建立极坐标系.图1在极坐标系中,椭圆㊁双曲线㊁抛物线方程得到了完美的统一:ρ=ep1-e cosθ,其中p是定点F到定直线L的距离,当0<e<1时,方程表示椭圆;当e>1时,方程表示双曲线;当e=1时,方程表示开口(上接第13页)径,将不等式(8)简化到不等式(11),再通过不等式(12)简化到不等式(13),最后构造出了函数(14),利用函数的性质,找到了证明思路.在高三数学复习解题教学设计及其课堂实施中,不少数学教师(就像教师甲一样)在没有仔细探究具体数学问题思路的情况下,就直接进入课堂教学环节,如此造成的结果是:只能将解决问题结果的逻辑表达过程不加改变地传达于学生,如此堵塞了学生探究解题思路的心理来源,逼迫学生不得不采用记忆题型的途径应对比较难一些的高考题.本文通过这道高考压轴题,相应地构造合适的函数作为解决问题关键环节的桥梁,将教师甲自己(或者是来源于其他人的答案)探究思路的活动所形成的逻辑表达结果,转化为启发学生构造具体函数的心理过程.以此挑开了探究命题证明思路的逻辑面纱,启发学生在课堂现场上进行数学构造,鼓励他们进行火热的思维与心理活动.对此,一线数学教师要思之再思,慎之又慎.参㊀考㊀文㊀献[1]㊀张昆.整合数学教学中设计问题的取向:透过 观念性问题 与 技术性问题 的视点[J].中小学教师培训,2019(6):53-56. [2]㊀十三院校协编组.中学数学教材教法总论[M].北京:人民教育出版社,1980:27. [3]㊀张昆,罗增儒.数学解题教学设计研究:指向萌生数学观念的视点[J].中学数学杂志,2017(11):15-18.㊃41㊃中学教研(数学)2021年第4期∗收文日期:2020-11-19;修订日期:2020-12-20作者简介:陈㊀蕾(1991 ),女,浙江诸暨人,中学一级教师.研究方向:数学教育.向右的抛物线.2㊀应用实例㊀㊀例1㊀如图2,过椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(其中a >b >0)的左右焦点F 1,F 2分别做斜率为22的直线交椭圆C 的上半部分于点A ,B ,记әAOF 1,әBOF 2的面积分别为S 1,S 2,若S 1ʒS 2=7ʒ5,求椭圆C 的离心率e.图2分析㊀一般的思路是:首先延长BO 交椭圆于点Bᶄ,利用用两三角形面积比例关系得到比例关系y A ʒy B =-7ʒ5,再设直线ABᶄ的方程并与椭圆方程联立,最后用韦达定理解决.这样思路虽然明确,但计算量很大,对学生的运算能力要求较高,学生在处理的时候准确度也不高,颇有点小题大做之嫌.但如果建立极坐标系,采用椭圆的极坐标方程解决此题,则计算量很小,而且不容易出错,是真正意义的小题小做.解法1㊀(韦达定理法)作点B 关于原点的对称点Bᶄ,设A(x A ,y A ),B(x B ,y B ),Bᶄ(x Bᶄ,y Bᶄ),可得S 1S 2=y A-y Bᶄ=75,将直线方程的ABᶄ设为x =24y -c,与椭圆方程x 2a 2+y 2b2=1联立可得(b 2+8a 2)y 2-42b 2cy -8b 4=0.利用韦达定理得到㊀y A +y Bᶄ=42b 2cb 2+8a 2,㊀y A y Bᶄ=-8b 4b 2+8a 2,㊀Δ>0,从而㊀(y A +y Bᶄ)2y A y Bᶄ=42b 2c b 2+8a 2()2-8b 4b 2+8a 2=-4c 2b 2+8a 2=y Bᶄy A +y A y Bᶄ+2=-57+-75+2=-435,整理可得e =c a =12.解法2㊀(极坐标法)以椭圆左焦点F 1为极点㊁x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,得椭圆极坐标方程为ρ=ep 1-e cos θ,其中tan θ=22,cos θ=13.设A(ρ1,θ),Bᶄ(ρ2,π+θ),则ρ1=ep 1-e cos θ=ep1-13e ,ρ2=ep1-e cos (π+θ)=ep1+13e ,又S 1ʒS 2=7ʒ5,得ρ1ρ2=1-13e1+13e =75,从而椭圆离心率e =12.点评㊀解法1为常规解法,先将面积比转化为坐标比,用到了对称思想,然后借助韦达定理来表达坐标关系,进而运算得到a ,b ,c 的关系求出离心率.因为是字母运算,计算量偏大.而建立极坐标系,将长度用角度θ表示,可以统一处理,使得运算简便.通过以上两种解法的对比,我们发现在表达同一个几何关系或数量关系的时候,采用极坐标方程有时候更加简便有效[1].以下再用两个例子来说明.图3例2㊀如图3,已知过椭圆E :x 22+y 2=1的左焦点F的直线L 交椭圆于点A ,B ,求|AF |+2|BF |的最小值.极坐标解法㊀以椭圆左焦点F 为极点㊁x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,得椭圆极坐标方程为ρ=ep1-e cos θ.根据椭圆方程可得e =22,p =1,设A(ρ1,θ),B(ρ2,π+θ),则㊃51㊃2021年第4期中学教研(数学)ρ1=ep1-e cos θ=221-22cos θ,ρ2=ep1-e cos (π+θ)=221+22cos θ.而|AF |即为ρ1,|BF |即为ρ2,则ρ1+2ρ2=2211-22cos θ+21+22cos θ()=22㊃6-2cos θ2-cos 2θ.令t =6-2cos θ,则ρ1+2ρ2=22㊃6-2cos θ2-cos 2θ=22㊃t-t 22+6t -16,当t =42时,上式取到最小值1+324.点评㊀本题常规方法可参照例1的解法1,计算量非常大.我们这里直接采用极坐标方程来解决,发现极坐标方程把两个长度直接表达成三角函数cos θ来运算,得到关于cos θ的表达式,然后再利用换元法将它转化为关于t 的二次函数求最小值,表达上简洁快捷,便于计算.图4例3 如图4,已知抛物线y 2=4x ,作过焦点且互相垂直的两条弦AB ,CD ,求|AB |+|CD |的最小值.解㊀以抛物线焦点F 为极点㊁x 正半轴为极轴建立极坐标系,得抛物线极坐标方程为ρ=21-cos θ.设A (ρ1,θ),B (ρ2,π+θ),C ρ3,π2+θ(),D ρ4,3π2+θ(),则|AB |=ρ1+ρ2=21-cos θ+21-cos (π+θ)=4sin 2θ,|CD |=ρ3+ρ4=21-cosπ2+θ()+21-cos 3π2+θ()=4cos 2θ,从而|AB |+|CD |=4sin 2θ+4cos 2θ=16sin 22θ,故当θ=π4和θ=3π4时,|AB |+|CD |取到最小值16.点评㊀这个问题是一道比较经典的抛物线问题,涉及的量比较多,且表达起来比较困难,学生在处理的时候很难达到统一协调,阻碍比较多,很容易在多个量的运算中迷失方向.我们这里采用圆锥曲线极坐标方程来解,使得所有的量都能用同一个角θ来表示,最后转化为简单的三角函数运算问题,解题方向明确,目标单一容易实现,运算量少.奥地利思想家马赫提出了一个思维的经济原则,又称 费力最小原则 ,参照这一原则,我们在寻求表达事物的本质上需要从不同的角度㊁采用不同的工具来实现我们的目标.通过上面的几个简单的例子,我们发现圆锥曲线极坐标方程在解决圆锥曲线焦点弦问题上的精准有效和简便,当然在解决其他一些圆锥曲线问题上也是非常有效的.其根源在于圆锥曲线在表达数学中的某些几何关系或数量关系时有天然的优势.本文只是浅尝辄止地想表达一个理念,即如何提升我们在高中数学教育教学中的智力上的创造力,这种创造力更多地体现在:我们可以对同一问题采用不同的视角和思想方法来处理,更加跟上我们这个日新月异的科技时代[2].事实上,高考考查类似的问题很多,也期望读者能够触类旁通.参㊀考㊀文㊀献[1]㊀舒镜霖.用圆锥曲线的极坐标方程解高考题与传统方法之比较[J ].考试周刊,2011(40):3-4.[2]㊀龚袭. 极坐标 思想速解圆锥曲线焦点弦问题[J ].数理化解题研究,2017(7):43.㊃61㊃中学教研(数学)2021年第4期。
圆锥曲线统一的极坐标方程
当e 1,
ep 1- e cos
为双曲线
双曲线右支 双曲线左支
（，2 -） （-，）
圆锥曲线统一的极坐标方程
课堂反思
江西省2020年春季延期开学期间线上教育课程
圆锥曲线统一的极坐标方程
课后作业
习题1：判断方程 6 为哪类圆锥曲线？ 2 cos
江西省2020年春季延期开学期间线上教育课程
谢谢
12/9/2020
圆锥曲线统一的极坐标方程
探究应用
例1：方程为 = 6 表示什么曲线？ 1 2 cos
变式：方程为= 5 表示什么曲线？ 3 2cos
分析：已知方程完全符合圆锥曲线极坐标方程 结构形式.因此判断可以寻找e.
分析：方程并非符合圆锥曲线统一极坐标方程 构造称为圆锥曲线的极坐标方程
ep 1 e cos
习题2：判断方程 5 为哪类圆锥曲线？ 3 3cos
江西省2020年春季延期开学期间线上教育课程
圆锥曲线统一的极坐标方程
课后作业
习题1：判断方程 6 为哪类圆锥曲线. 2 cos
解析： e 1，该曲线为椭圆 2
习题2：判断方程 5 为哪类圆锥曲线？ 3 3cos
解析： e 1，该曲线为抛物线
sin2
江西省2020年春季延期开学期间线上教育课程
圆锥曲线统一的极坐标方程
温故知新
圆锥曲线
l
统一的名称：圆锥曲线
统一的方程：
思考一：能否找到统一的特征求出统一 的方程？
与一个定点的距离和一条定直线 （定点不在定直线上）的距离的比
等于常数e 的轨迹. 其中当e 1时，轨迹为抛物线
令e 1，直线l为定直线，F为定点，M 为动点 MF 为动点到定点的距离 MA 为动点到定直线的距离
有关焦半径圆锥曲线问题的极坐标解法初探
有关焦半径圆锥曲线问题的极坐标解法初探
马科
【期刊名称】《数学学习与研究：教研版》
【年(卷),期】2014(000)003
【摘要】在极坐标系下,解决圆锥曲线问题往往以其焦点为极点建立极坐标系,其极坐标方程适用于椭圆、双曲线、抛物线.由此本文将以涉及焦半径的三大圆锥曲线问题为主要载体突出体现极坐标方法相对于传统方法在处理圆锥曲线问题中的优越性、普遍性.
【总页数】2页(P83-83,85)
【作者】马科
【作者单位】西藏民族学院附属中学
【正文语种】中文
【中图分类】G634.6
【相关文献】
1.极坐标在圆锥曲线问题中的应用 [J],
2.巧用极坐标解决圆锥曲线的一类定值问题 [J], 龙宇
3.巧用极坐标解决圆锥曲线的一类定值问题 [J], 龙宇
4.探究圆锥曲线中定点与面积问题的一般解法——以2019年全国Ⅲ卷(理科数学)圆锥曲线问题为例 [J], 何定杰
5.巧设极坐标解圆锥曲线焦点弦问题 [J], 陈蕾
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你知道吗？极坐标还可以这样秒解圆锥曲线问题
你知道吗？极坐标还可以这样秒解圆锥曲线问题
在极坐标中(ρ,θ），ρ表示动点M 到定点O 的距离。
θ表示OM 与极轴间的夹角。
利用极坐标方程可以处理极径与极角相关问题。
1
以焦点为极点，垂直于准线的直线为极轴，建立极坐标系。
2
以坐标原点为极点，X轴非负半轴为极轴，建立极坐标系
通过以圆锥曲线的焦点为极点，焦点所在坐标轴正向为极轴方向，建立极坐标系。
紧紧抓住极径与极角间的关系，可以解决过焦点直线的弦长问题，倾角问题以及焦半径问题。
另外，以原点为极点，以坐标轴正向为极轴方向，建立极坐标系。
可解决过原点的弦长问题及倾角问题。
能够大大减少解析几何问题的运算量。
使得解题过程得以优化。
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利用极坐标解题知识点精析： 椭圆、双曲线、抛物线可以统一定义为：与一个定点(焦点)的距离和一条定直线(准线)的距离的比等于常数e 的点的轨迹．以椭圆的左焦点(双曲线的右焦点、抛物线的焦点)为极点，过点F 作相应准线的垂线，垂足为K ，以FK 的反向延长线为极轴建立极坐标系． 椭圆、双曲线、抛物线统一的极坐标方程为： θρcos 1e ep-=.其中p 是定点F 到定直线的距离，p ＞0 ． 当0＜e ＜1时，方程表示椭圆；当e ＞1时，方程表示双曲线，若ρ＞0，方程只表示双曲线右支，若允许ρ＜0，方程就表示整个双曲线；当e=1时，方程表示开口向右的抛物线.引论（1）若 1+cos epe ρθ=则0＜e ＜1当时，方程表示极点在右焦点上的椭圆 当e=1时时，方程表示开口向左的抛物线 当e ＞1方程表示极点在左焦点上的双曲线 （2 ）若1-sin epe ρθ=当 0＜e ＜1时，方程表示极点在下焦点的椭圆 当e=1时，方程表示开口向上的抛物线 当 e ＞1时!方程表示极点在上焦点的双曲线 （3）1+sin epe ρθ=当 0＜e ＜1时，方程表示极点在上焦点的椭圆 当e=1时，方程表示开口向下的抛物线 当 e ＞1时!方程表示极点在下焦点的双曲线 例题选编（1）二次曲线基本量之间的互求例1.（复旦自招）确定方程1053cos ρθ=-表示曲线的离心率、焦距、长短轴长。
解法一：310253331cos 1cos 55ρθθ⨯==--31053e P ∴==，2332555851015103383c a c a a b a c c c⎧⎧⎧===⎪⎪⎪⎪⎪⎪∴⇒⇒⎨⎨⎨⎪⎪⎪-===⎪⎪⎪⎩⎩⎩ 2225155()()882b ∴=-= 31554e ∴=方程表示椭圆的离心率，焦距，2554长轴长，短轴长解法二：转化为直角坐标（2）圆锥曲线弦长问题若圆锥曲线的弦MN 经过焦点F ，1、椭圆中，cb c c a p 22=-=，θθπθ2222cos 2)cos(1cos 1c a ab e ep e ep MN -=--+-=.若椭圆方程为，半焦距为，焦点，设过的直线的倾斜角为交椭圆于A 、B 两点，求弦长。
解：连结，设，由椭圆定义得，由余弦定理得，整理可得，同理可求得，则弦长。
同理可求得焦点在y 轴上的过焦点弦长为（a 为长半轴，b 为短半轴，c 为半焦距）结论：椭圆过焦点弦长公式：2、双曲线中，（注释：双曲线问题比较特殊，很多参考书上均有误解。
）若M 、N 在双曲线同一支上，θθπθ2222cos 2)cos(1cos 1c a ab e ep e ep MN -=--+-=； 若M 、N 在双曲线不同支上，2222cos 2cos 1cos 1a c ab e ep e ep MN -=--+-=θθθ设双曲线，其中两焦点坐标为，过的直线的倾斜角为，交双曲线于A、B两点，求弦长|AB|。
解：（1）当时，（如图2）直线与双曲线的两个交点A、B 在同一交点上，连，设，由双曲线定义可得，由余弦定理可得整理可得，同理，则可求得弦长。
（2）当或时，如图3，直线l与双曲线交点A、B 在两支上，连，设，则，，由余弦定理可得，整理可得，则因此焦点在x 轴的焦点弦长为同理可得焦点在y 轴上的焦点弦长公式其中a 为实半轴，b 为虚半轴，c 为半焦距，为AB 的倾斜角。
3、抛物线中，θθπθ2sin 2)cos(1cos 1pp p MN =--+-=若抛物线与过焦点的直线相交于A 、B 两点，若的倾斜角为，求弦长|AB|？（图4）解：过A、B两点分别向x 轴作垂线为垂足，设，，则点A 的横坐标为，点B 横坐标为，由抛物线定义可得即则同理的焦点弦长为的焦点弦长为，所以抛物线的焦点弦长为例2．已知抛物线y2=2px（p>0），过其焦点且斜率为k的直线交抛物线于A，B两点，求AB长.练习1：．过双曲线22x y-145=的右焦点，引倾斜角为3π的直线，交双曲线与A、B两点，求AB｜｜解：根据题意，建立以双曲线右焦点为极点的极坐标系即得523cosρθ=-12(,),(,)33A Bππρρπ+12||ABρρ=+5580||ππ=+=附录直角坐标系中的焦半径公式设P （x,y ）是圆锥曲线上的点，1、若1F 、2F 分别是椭圆的左、右焦点，则ex a PF +=1，ex a PF -=2；2、若1F 、2F 分别是双曲线的左、右焦点，当点P 在双曲线右支上时，a ex PF +=1，a ex PF -=2； 当点P 在双曲线左支上时，ex a PF --=1，ex a PF -=2； 3、若F 是抛物线的焦点，2px PF +=. 利用弦长求面积例3．设过椭圆1162522=+y x 的右焦点的弦AB=8，求三角形AOB 的面积。
练习2．（08年海南卷）过椭圆22154x y +=的焦点F 作一条斜率为2的直线与椭圆交于A ，B 两点，O 为坐标原点，求AOB ∆的面积． 简解：首先极坐标方程中的焦点弦长公式222||1cos epAB e θ=-求弦长，然后利用公式B 1|B |||sin 2AO S A OF AFO ∆=∠直接得出答案。
练习3．(2005年全国高考理科)已知点F 为椭圆2212x y +=的左焦点.过点F 的直线1l 与椭圆交于P 、Q 两点，过F 且与1l 垂直的直线2l 交椭圆于M 、N 两点，求四边形PMQN 面积的最小值和最大值.解析：以点F为极点，建立极坐标系，则椭圆的极坐标方程为：ρ= 设直线1l 的倾斜角θ，则直线2l 的倾斜角为090θ+，由极坐标系中焦点弦长公式知：2||11cos 2PQ θ=-，202||111cos (90)1sin 22MN θθ==-+-用他们来表示四边形的面积1||||2S PQ MN =22111sin cos 24θθ=+2111sin 2216θ=+ 即求2111sin 2216θ+的最大值与最小值由三角知识易知：当sin 21θ=±时，面积取得最小值169；当sin 20θ=时，面积取得最大值2利用弦长公式解决常量问题例4．过椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的左焦点F ，作倾斜角为60的直线l 交椭圆于A 、B两点，若FBFA 2=，求椭圆的离心率.简解：建立极坐标系，然后利用等量关系，可很快求出离心率。
设椭圆的极坐标方程为θρcos 1e p e -=则00240cos 1,60cos 1e pe FB e p e FA -=-=， ∴21221ep e e p e +⋅=-，解得32=e ；练习4．求过椭圆23cos ρθ=-的左焦点，且倾斜角为4π的弦长AB 和左焦点到左准线的距离。
解：先将方程ρ=化为标准形式：2311cos 3ρθ=- 则离心率13e =，23ep =，2p ∴= 所以左焦点到左准线的距为2。
设125(,),(,)44A B ππρρ，代入极坐标方程，则弦长1222245173cos 3cos44AB ρρππ=+=+=-- （3）定值问题 例5. 抛物线22(0)y px p =>的一条焦点弦被焦点分为a,b 的两段，证明：11a b+定值。
解：以焦点F 为极点，以FX 轴为极轴建立极坐标系，则抛物线的极坐标方程为1cos pρθ=-，设(,),(,)A a B b θθπ+将A,B 两点代入极坐标方程，得,1cos 1cos()p pa b θθπ==--+则11a b+=1cos 1cos()p p θθπ--++=2p （定值） 点睛：引申到椭圆和双曲线也是成立的。
推论：若圆锥曲线的弦MN 经过焦点F ，则有epNF MF 211=+ 例6．经过椭圆的的焦点作两条相互垂直的弦AB 和弦CD,求证11AB CD+为定值。
证明：以椭圆的左焦点建立极坐标系，此时椭圆的极坐标方程为θρcos 1e ep-=，又设()()112343A ,,B ,+,C ,+,D ,+22ππρθρπθρθρθ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则代入可得222||1cos ep AB e θ=-，222||1sin ep AB e θ=-则 2112-e =AB CD 2ep+ 注释。
此公式对抛物线也成立，但对双曲线不成立。
注意使用的范围。
推广1若经过椭圆的中心做两条相互垂直的弦，倒数和也为定值。
需要以原点为极点建立极坐标方程。
推广2若不取倒数，可以求它们和的最值。
例7．(2007重庆理改编)中心在原点O 的椭圆2213627x y +=，点F 是其左焦点，在椭圆上任取三个不同点123P ,P ,P 使0122331120P FP P FP P FP ===∠∠∠．证明：213111FP FP FP ++为定值，并求此定值． 解析：以点F 为极点建立极坐标系，则椭圆的极坐标方程为：92cos ρθ=-，设点1P 对应的极角为θ，则点2P 与3P 对应的极角分别为0120θ+、0120θ-，1P 、2P 与3P 的极径就分别是1||FP =92cos θ-、2||FP =92cos(120)θ-+与3||FP =092cos(120)θ--，因此213111FP FP FP ++=002cos 2cos(120)2cos(120)999θθθ--+--++，而在三角函数的学习中，我们知道0cos cos(120)cos(120)0θθθ+++-=，因此21311123FP FP FP ++=为定值 点睛：极坐标分别表示1||FP 、2||FP 与3||FP ，这样一个角度对应一个极径．就不会象解析几何那样，一个倾斜角，对应两个点，同时对应两条焦半径（极径），这就是极坐标表示圆锥曲线的优点．推广： 若放在抛物线和双曲线中是否成立呢？例8．（2006全国联赛江苏）椭圆1162522=+y x 的右焦点为F ，P 1，P 2，…，P 24为24个依逆时针顺序排列在椭圆上的点，其中P 1是椭圆的右顶点，并且∠P 1FP 2=∠P 2FP 3=∠P 3FP 4=…=∠P 24FP 1.若这24个点到右焦点的距离的倒数和为S ，求S 的值．利用极坐标解圆锥曲线题11 / 11 推广: 设123P P P P n 是椭圆上的n 个点，且123N FP ,FP ,FP FP 圆周角等分则n 2i=1i 1OP ∑也为定值作业（2003年希望杯竞赛题）经过椭圆22221(0)xy a b a b +=>>的焦点1F 作倾斜角为60°的直线和椭圆相交于A ，B 两点，11||2||AF BF =．（1）求椭圆的离心率e ；（2）若15||4AB =，求椭圆方程。