函数单调性与导数教案

3.3.1函数的单调性与导数

【教学目标】

知识与技能：1.探索函数的单调性与导数的关系

2.会利用导数判断函数的单调性并求函数的单调区间

过程与方法：1.通过本节的学习，掌握用导数研究单调性的方法

2.在探索过程中培养学生的观察、分析、概括的能力渗透数形结合思

想、转化思想。

情感态度与价值观：通过在教学过程中让学生多动手、多观察、勤思考、善总结，培养学生的探索精神，引导学生养成自主学习的学习习惯。 【教学重点难点】

教学重点：探索并应用函数的单调性与导数的关系求单调区间。 教学难点：探索函数的单调性与导的关系。 【教学过程】

一．回顾与思考

1、判断函数的单调性有哪些方法？比如判断y=x 2的单调性，如何进行？（分别用定义法、图像法完成）

2、如果遇到函数：y=x 3-3x 判断单调性呢？还有其他方法吗？ 二．新知探究 函数的单调性与导数之间的关系

【情景引入】函数是客观描述世界变化规律的重要数学模型，研究函数时，了解函数的增与减、增减的快与慢以及函数的最大值或最小值等性质是非常重要的．通过研究函数的这些性质，我们可以对数量的变化规律有一个基本的了解．函数的单调性与函数的导数一样都是反映函数变化情况的，那么函数的单调性与函数的导数是否有着某种内在的联系呢?

【思考】 如图（1），它表示跳水运动中高度h 随时间t 变化的函数2

() 4.9 6.510h t t t =-++的图像，图（2）表示高台跳水运动员的速度v 随时间t 变化的函数'()()9.8 6.5v t h t t ==-+的图像．运动员从起跳到最

高点，以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别？

【引导】 随着时间的变化，运动员离水面的高度的变化有什么趋势？是逐渐增大

还是逐步减小？

【探究】通过观察图像，我们可以发现： （1）运动员从起点到最高点，离水面的高度h 随时间t 的增加而增加，即()h t 是增函

数．相应地，'()()0v t h t =>．

（2）从最高点到入水，运动员离水面的高h 随时间t 的增加而减少，即()h t 是减函数．相应地，'()()0v t h t =<．

【思考】 导数的几何意义是函数在该点处的切线的斜率，函数图象上每个点处的切线的斜率都是变化的，那么函数的单调性与导数有什么关系呢？

【引导】可先分析函数的单调性与导数的符号之间的关系.

【探究】观察下面函数的图象，探讨函数的单调性与其导数正负的关系．

（1）函数y x =的定义域为 ，并且在定义域上是 函数，其导数 ；

（2）函数2y x =的定义域为 ，在(,0)-∞

上单调 ，在(0,)+∞上单调 ；

而2()2y x x ''==，当0x <时，其导数 ；当0x >时，其导数 ；当0x =时，其导数 。

（3）函数3y x =的定义域为 ，在定义域上为 函数； 而32()3y x x ''==，若0x ≠，则其导数 ，当0x =时，其导数 ； （4）函数1

y x

=

的定义域为(,0)(0,)-∞+∞ ，在(,0)-∞上单调 ，在(0,)+∞上单调 而211

()y x x

''==-，因为0x ≠，显然0y '<.

【总结】以上四个函数的单调性及其导数符号的关系说明，在区间(,)a b 内，如果函数

()y f x =在这个区间内单调递增，那么 ；如果函数()y f x =在这个区间内单调

递减，那么 .

【思考】函数在某个点处的导数值与函数在该点处的单调性是怎样的关系？ 【探究】如图，导数'

0()f x 表示函数()f x 在点00(,)x y 处的切线的斜率．

在0x x =处，'

0()0f x >，切线是“ ”式的，这时，函数()f x 在0x 附近单调 ；

在1x x =处，'0()0f x <，切线是“ ”式的，这时，函数()f x 在1x 附近单调 ． 知识归纳

函数的单调性与导数的关系:在某个区间(,)a b 内，

如果'()0f x >，那么函数()y f x =在这个区间内 ； 如果'()0f x <，那么函数()y f x =在这个区间内

特别的，如果'()0f x =，那么函数()y f x =在这个区间内是 ． 三．知识应用

例1.判断函数33y x x =-的单调性

四．课堂练习

1.判断下列函数的单调性，并求出单调区间

2.求证：函数32()267f x x x =-+在(0,2)内是减函数。 五．小结

求解函数()y f x =单调区间的步骤： （1）确定函数()y f x =的定义域；

（2）求导数''()y f x =；

（3）解不等式'()0f x >，解集在定义域内的部分为增区间； （4）解不等式'()0f x <，解集在定义域内的部分为减区间． 六、作业设计

课本98页，A 组1，2

()()()()()()()()().

124324;,0,sin 3;322;31:,22323+-+=∈-=--=+=x x x x f x x x x f x x x f x x x f π并求出单调区间判断下列函数的单调性

例2(1)()24f x x x =-+(2)()x f x e x =-3

(3)()3f x x x =-32(4)()f x x x x

=--