可靠性数学基础

正态分布 对数正态 指数分布 威布尔分布 （两参数） 威布尔分布 （三参数）
各种物理、机械、电器、化学性能
寿命现象，事件集中发生在范围尾端的不对称情况，且观 察值得差异很大 系统、零件等的寿命，对于元件，则适用于失效只是由于 偶然因素出现且使用时间无关的情况，当设计完全排除了 在生产误差方面的故障时，常常使用 同于对数正态分布，也使用于产品的寿命的早期、偶然和 耗损失效阶段，失效率随所测特性的增加而可能减小，增 加或保持不变的情况 同于两参数威布尔分布，此外还使用于各种物理、机械、 电气、化学特性，只是没有正态分布那样普遍使用
可靠性计算中常用的概率分布
3σ原则 3倍标准差原则
68.26% 95.44% 99.74%
可靠性计算中常用的概率分布
例题
已知某轴在精加工后，其直径的尺寸变动可用正 态分布描述，且其均值μ=14.90mm，标准差 σ=0.05mm。按图纸规定，轴径尺寸是 14.90±0.1mm的产品均为合格品，求合格品的百 分数。
0 t
2
F (t )
1 2

t
0
e
( t 2)
2
2
dt
R (t )
1 2


t
e
( t 2)
2
dt
f (t ) (t ) R(t )
e
) ( t 2 2
2


t
e
) ( t 2 2
2
dt
可靠性计算中常用的概率分布
i 0 i 0
数学期望，记为E(X)。
E X xi pi 即：
i 1
2．连续型随机变量的数学期望
定义 设连续型随机变量X的概率密度为f(x)．若积分 xf x dx 绝对收敛，则称积分 xf x dx 的值为随机变量X的数学 期望，记为E(X)

1 2
e
x
μ：位置参数，μ的大小决定了曲线的位置，代表分 布的中心倾向； σ：形态参数，σ的大小决定着正态分布的形状，表 征分布的离散程度；
正态分布：N(μ，σ2)
可靠性计算中常用的概率分布
当随机变量t为产品寿命时
f (t )
1 2
) ( t 2 2 2
e
假设男子的平均身高为163cm，标准差为6cm， 女子的平均身高为153cm，标准差为5cm。问在 偶然相遇的一对男女中，女子高于男子的概率是 多少。
可靠性计算中常用的概率分布
0.49
0.01
0.1003
z
1.28σ
x
0cm
10cm
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
可靠性计算中常用的概率分布
对数正态分布
Y ln X ~ N , 2
可靠性计算中常用的概率分布
正态分布：N(μ，σ2) μ =0 σ =1
F (t )
1 2

t
0
e
( t 2)
2
2
dt
) z ( x
标准正态分布：N(0，1)
F ( x) z
1 2

z
0
e dz
z2
2
可靠性计算中常用的概率分布
已知 求
X ~ N , 2
0 x
x 0; 0
可靠性计算中常用的概率分布

1

t 0; 0 t0
1 t e f (t ) 0
t 1 e F (t ) 0
t 0; 0 t0
可靠性计算中常用的概率分布
指数分布的“无记忆性”
P T t0 t T t0 P T t
可靠性数学基础
目 录
• 可靠性计算中常用的概率分布 • 概率分布类型的假设检验
两个统计学基本概念 （1）数学期望
引例:观察一名射手20次射击的成绩如下：
中靶环数（xi） 0
频 频 数（n i） 0 率（fi）
0 20
1
3
2
1
3
2
4
2
2 20
5
4
4 20
6
2
7
2
8
1
9
1
10
2
2 20
3 1 2 20 20 20
2 2 20 20
1 1 20 20
x
x n
i 0 i
10
i
n
0 3 2 xi fi 0 1 10 5.1 20 20 20 i 0
10
当射击次数增加时，频率稳定于概率，于是若设 表示x中靶环数
p x xi pi
10 i 0
i 0,1,,10 xi i
t
e 0
m 1
m 1
(
t m ) a
t ; m, 0 t
m t F (t ) 1 e
( t
e
(
t m ) a
m：形状参数，决定概率密度函数曲线形状。 γ：位置参数，又叫起始参数，它表示产品 在时间γ之前具有100%的存活率(可靠度)， 失效是从γ之后开始的。 α：尺度参数，起缩小或放大t标尺的作用， 但不影响分布的形状。
则x 的值稳定于 xi pi 此为该射手综合水平的真实评价。
xi pi 为随机变量x的是数学期望。 称 i 0
10
1．离散型随机变量的数学期望
定义 设X是离散型随机变量，其分布为P{X=xi}=pi , i=1,2,…n

若 xi pi绝对收敛，则称级数 xi pi 的和为随机变量X的
m 1
(t )
各种分布的应用范围
分布类型 二项分布 应用范围
从一个次品率为p的大批量中抽出样本容量n中的次品，一 组y事件中出现x事件的概率，涉及“过—不过”，“正 品—次品”，“好--坏”型的情况，抽样的结果不显著改 变整批的比例
试验实例
一次装运的钢制零件中次品的检查；一生产批 量中有缺陷轮胎的检查；有缺陷焊缝的确定； 一生产机器完成其功能的概率 铝合金板的抗拉强度、按月温度变化；钢事件 的穿透深度，铆钉头直径；某戈定地区的电力 消耗；电阻抗；磨损、风速、硬度、发射弹药 的堂内压力 不同用户的汽车里程累计，不同用户的用电量， 大量电器系统的故障时间，灯泡的照明强度 真空管失效寿命，在可靠性试验过程中探测不 良设备的预期成本，雷达设备中使用指示管的 预期寿命，照明灯泡，洗碗机，热水器，发电 机，风机用泵，汽车变速器等的失效寿命 电子管，滚动轴承，传动箱齿轮和其他许多机 械和电子元件的寿命，腐蚀寿命，磨损寿命 同于两参数威布尔分布，此外还有电阻、电容， 疲劳强度等
ln n 13.9554 2.326 0.1035 n 904067 9 105
可靠性计算中常用的概率分布
指数分布
e x f ( x) 0
x 0; 0 x0
F ( x) P X x e x dx 1 e x
P X P 2 X 2
P 3 X 3
解
P X (1) (1) 0.8413 0.1587 0.6826 P 2 X 2 (2) (2) 0.9772 0.0228 0.9544 P 3 X 3 (3) (3) 0.9987 0.0013 0.9974
两个统计学基本概念 （2）随机变量的方差
引例：哪种品牌手表更准时? 已知甲,乙两种品牌手表的日走时误差 X1, X2 , 其分布律如下： X1 pk -2 0.03 -1 0.07 0 0.8 1 0.07 2 0.03
X2
pk
-2
0.1
-1
0.2
0
0.4
1
0.2
2
0.1
E(X1)=E(X2)=0, 此时从日走时误差的数学期望分不出优劣。 观察发现:甲品牌手表走时误差与其均值E(X1)的偏差比乙的要小得多,因 此甲品牌手表好。
当X为离散型随机变量, 有：
D X xi E X pi
2 i 1
2
其中 pi X xi , i 1, 2, 是X的分布律。
当X为连续型随机变量,有：
D X

x E X f x dx

)m
(t )
可靠性计算中常用的概率分布
1, 1
可靠性计算中常用的概率分布
1, 1
R(t ) 1 F (t ) e
( t

)m
(t )
0, 1
f (t ) (t ) R(t ) m t a
二项分布
若事件A在每次试验中发生的概率均为p，则A在n次重 复独立试验中恰好发生k次的概率为
k k n k Pn k Cn p q
q 1 p
n较大 P较小
np
Pn k
k
k!
e
泊松分布
可靠性计算中常用的概率分布
正态分布
( x2)
2 2
f ( x)
解
ln t F (t ) P T 10 ln106 13.9554 0.1035
6
F (t ) P T n ln n 13.9554 0.01 0.1035
1.3516 0.0885
P T t0 t T t0
P T t0 t T t0 P T t0
t0 t
e t e t P T t e 0
可靠性计算中常用的概率分布
威布尔分布
m t f (t )
2
3
其中f(X)是X概率密度。
几个概念
极差
离差 方差
A max xi min xi L xi E xi
DE xi E xi

2


标准差
协方差
D
cov xy E xi E xi yi E yi
定义: 设X是一个随机变量,若 E{[X-E(X)]2} 存在,则称 E{[X-E(X)]2} 为X的方差,记为D(X) 或 var(X)。 即: D(X)= var(X)= E{[X-E(X)]2}
X D X
(1)
称为X的标准差或均方差。
注: (1) D(X)是随机变量X的函数g(X)=[X-E(X)]2的数学期望; (2) D(X)≥0 。
2 2
e
2
1

可靠性计算中常用的概率分布
z ln x

ln x F ( x) z
z 0 1 2
e dz
z2
2
可靠性计算中常用的概率分布
例题
有一弹簧，其寿命t服从对数正态分布，即 lnt~N(13.9554，0.10352)。若将该弹簧在使用106 次载荷循环后更换，问其更换前失效的概率？若 要保证它的99%的可靠度，应在多少次载荷循环 之前更换？
z14.80 z15.00 14.80 15.00
解

2 2
P 14.80 X 15.00 (2) (2) 0.9772 0.0228 0.9544
可靠性计算中常用的概率分布
思考
电车的车门高度是使男子碰头的机会少于1%来 设计的。假设穿皮鞋的男子的平均身高为165cm， 标准差为6cm，问车门高应设计成多大尺寸。
f ( x) x
1 2
e
) (ln x 2 2
2
x 0; 0;
x0
1 0 x 2 x
) (ln x 2 2 2
0
e
F ( x) P X x
dx
EX e

2
2
D X e

基尼系数
100%
红绿线之间的面积 基尼系数 蓝绿线之间的面积 0 0 绿线：绝对平均 蓝线：绝对不平均 红线：实际收入分布 低于0.2 0.2~0.3 0.3~0.4 0.4~0.5 0.5以上 收入绝对平均 收入比较平均 收入相对合理 收入差距较大 收入差距悬殊 100%
可靠性计算中常用的概率分布