一元线性回归模型典型例题分析

第二章 一元线性回归模型典型例题分析

例1、令kids 表示一名妇女生育孩子的数目，educ 表示该妇女接受过教育的年数。生育率对教育年数的简单回归模型为

μββ++=educ kids 10

（1）随机扰动项μ包含什么样的因素？它们可能与教育水平相关吗？

（2）上述简单回归分析能够揭示教育对生育率在其他条件不变下的影响吗？请解释。

例2．已知回归模型μβα++=N E ，式中E 为某类公司一名新员工的起始薪金（元），N 为所受教育水平（年）。随机扰动项μ的分布未知，其他所有假设都满足。如果被解释变量新员工起始薪金的计量单位由元改为100元，估计的截距项与斜率项有无变化？如果解释变量所受教育水平的度量单位由年改为月，估计的截距项与斜率项有无变化？

例3．对于人均存款与人均收入之间的关系式t t t Y S μβα++=使用美国36年的年度数据得如下估计模型，括号内为标准差：

)

011.0()

105.151(067.0105.384ˆt

t Y S +=

2R ＝0.538 023.199ˆ=σ

（1）β的经济解释是什么？

（2）α和β的符号是什么？为什么？实际的符号与你的直觉一致吗？如果有冲突的话，你可以给出可能的原因吗？

（3）对于拟合优度你有什么看法吗？ （4）检验统计值？

例4．下列方程哪些是正确的？哪些是错误的？为什么？

⑴ y x t n t t =+=αβ12,,, ⑵ y x t n t t t =++=αβμ12,,,

⑶ y x t n t t t

=++= ,,,αβμ12

⑷ ,,,y x t n t t t =++=αβμ12 ⑸ y x t n t t =+= ,,,αβ12 ⑹ ,,,y x t n t t =+=αβ12

⑺ y x t n t t t =++= ,,,αβμ12 ⑻ ,,,y x t n t t

t =++=αβμ12

其中带“＾”者表示“估计值”。

例5．对于过原点回归模型i i i u X Y +=1β ，试证明

∑=

∧

22

1)(i

u X

Var σβ

例6、对没有截距项的一元回归模型

i i i X Y μβ+=1

称之为过原点回归（regression through the origin ）。试证明

（1）如果通过相应的样本回归模型可得到通常的正规方程组

∑∑==0

0i

i

i X e e

则可以得到1β的两个不同的估计值： X Y =1~β， ()()∑∑=2

1

ˆi

i

i X Y X β。

（2）在基本假设0)(i =μE 下，1~

β与1

ˆβ均为无偏估计量。 （3）拟合线X Y 1ˆˆβ=通常不会经过均值点),(Y X ，但拟合线X Y 1~~β=则相反。 （4）只有1ˆβ是1

β的OLS 估计量。

解：

（1）由第一个正规方程

0=∑t

e

得

0)~(1=-∑t t X Y β 或

∑∑=t t X Y 1~β

求解得 X Y /~

1=β 由第2个下规方程

0)ˆ(1=-∑t

t

t

X Y

X β得

∑∑=21ˆt t

t

X Y

X β

求解得 )/()(ˆ2

1

∑∑=t

t

t X

Y X β

（2）对于X Y /~

1=β，求期望

1

1111)](){[1

)]

(1[1)()~

(ββμβμββ==+=+==X

X

E n X E X X n

E X X Y E E t t t t 这里用到了t X 的非随机性。

对于)/()(ˆ2

1

∑∑=t

t

t X

Y X β，求期望

)/()ˆ(21

∑∑=t t t X Y X E E β

122

12122)()1()()1()]([)1

()()1(

βμβμβ=+=+==∑∑∑∑∑∑∑∑t t t

t t t t t t

t t t E X X X X X X E X Y X E X

（3）要想拟合值X Y 1ˆˆβ=通过点),(Y X ，X 1ˆβ必须等于Y 。但X X

Y

X X t

t

t ∑∑=21ˆβ，

通常不等于Y 。这就意味着点),(Y X 不太可能位于直线X Y 1

ˆˆβ=上。 相反地，由于Y X =1~β，所以直线X Y 1

~

ˆβ=经过点),(Y X 。 （4）OLS 方法要求残差平方和最小

Min ∑∑-==

212)ˆ(t

t t

X Y e

RSS β 关于1

ˆβ求偏导得

0))(ˆ(2ˆ11

=--=∂∂∑t

t t X X Y RSS ββ

即

0)ˆ(1=-∑t

t

t

X Y

X β

()()∑∑=2

1

ˆi

i i X Y X β

可见1

ˆβ是OLS 估计量。