高一数学第一次月考复习

课堂互动讲练
【思维总结】 判断三角形形状， 主要有如下两条途径： (1)利用正、余弦定理把已知条件 转化为边边关系，通过因式分解、配 方等得出边的相应关系，从而判断三 角形的形状；
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(2)利用正、余弦定理把已知条件 转化为内角的三角函数间关系，通过 三角函数恒等变形，得出内角的关系， 从而判断出三角形的形状，此时要注 意应用A＋B＋C＝π这个结论，在两 种解法的等式变形中，一般两边不要 约去公因式，应移项提取公因式，以 免漏解．
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(2)a＝2 3，b＝6，a<b，A＝30° <90° 又∵bsinA＝6sin30° ＝3，a>bsinA， ∴本题有两解． bsinA 6sin30° 由正弦定理得 sinB＝ ＝ a 2 3 3 ＝ ， 2 B＝60° 120° 或 . asinC 当 B＝60° 时，C＝90° c＝ ， ＝ sinA 2 3sin90° ＝4 3； sin30°
5π 答案： 6
三基能力强化
5．在△ ABC 中，如果 A＝60° ，c＝ 2， a＝ 6，则△ ABC 的形状是________．
答案：直角三角形
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考点一 正弦定理的应用
已知两角和一边，该三角形是确定 的，其解是唯一的；已知两边和一边的 对角，该三角形具有不唯一性，通常根 据正弦定理和大边对大角定理进行判 断．
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互动探究
例 3 中，若条件改为 cos
2A
2
＝
b＋c ，试判断△ ABC 的形状． 2c b＋c 2A 解：法一：∵cos ＝ ， 2 2c 1＋cosA b＋c b ∴ ＝ ，即 cosA＝ . 2 2c c sinB 由正弦定理，得 cosA＝ ， sinC 即 cosAsinC＝sin(A＋C)， 整理得 sinAcosC＝0.
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高考检阅
(本题满分 12 分)(2009 年高考湖北 卷)在锐角△ ABC 中， b、 分别为角 A、 a、 c B、C 所对的边，且 3a＝2csinA. (1)确定角 C 的大小； 3 3 (2)若 c＝ 7， 且△ ABC 的面积为 ， 2 求 a＋b 的值．
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解：(1)由 3a＝2csinA 及正弦定理得， a 2sinA sinA ＝ ＝ . 2分 c sinC 3 3 ∵sinA≠0，∴sinC＝ . 4分 2 π ∵△ABC 是锐角三角形，∴C＝ . 6分 3
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【解】 法一：由已知(a2＋ b2)sin(A－B)＝(a2－b2)· sin(A＋B)， 得a2[sin(A－B)－sin(A＋B)] ＝b2[－sin(A＋B)－sin(A－B)] ∴2a2cosAsinB＝2b2cosBsinA.
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由正弦定理得 2 2 sin AcosAsinB＝sin BcosBsinA， 即 sin2AsinAsinB＝sin2BsinAsinB. ∵0<A<π，0<B<π，∴sin2A＝sin2B ∴2A＝2B 或 2A＝π－2B， A＝B 或 A 即 π ＋B＝ . 2 ∴△ABC 是等腰三角形或直角三角形．
（3）、余弦定理：三角形任何一边的平方等于其
他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积 b2 c2 a2 的两倍。
a b c 2bc cos A 2 2 2 b a c 2ac cos B 2 2 2 c a b 2ab cosC
2 2 2
cos A
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法 二 ： 同 法 一 可 得 2a2cosAsinB ＝ 2b2cosBsinA， 由正、余弦定理得 b2＋c2－a2 a2＋c2－b2 a2b· ＝b2a· 2bc 2ac ∴a2(b2＋c2－a2)＝b2(a2＋c2－b2)， 即(a2－b2)(c2－a2－b2)＝0. ∴a＝b 或 c2＝a2＋b2， ∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形．
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π ∵sinA≠0，∴cosC＝0，∴C＝ . 2 故△ABC 为直角三角形． b 法二：同法一得 cosA＝ . c b2＋c2－a2 b 由余弦定理得 ＝ ， 2bc c 2 2 2 整理得 a ＋b ＝c ， 故△ABC 为直角三角形．
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考点四 求三角形的面积
1．在解决三角形问题中，面积公式 1 1 1 S＝ absinC＝ bcsinA＝ acsinB 最常用， 2 2 2 因为公式中既有边也有角，容易和正弦 定理、余弦定理联系起来．
A．60° C．135° 答案：B
B．120° D．150°
三基能力强化
2．在△ ABC 中，A＝60° ，a＝4 3，b ＝4 2，则 B 等于( )
A．45°或135° C．45° 答案：C
B．135° D．75°
三基能力强化
3．在△ABC中，若A＝120°，AB ＝5，BC＝7，则△ABC的面积是( )
a＝பைடு நூலகம்， 解得 b＝2.
4分
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(2)由题意得 sin(B＋A)＋sin(B －A)＝4sinAcosA， 即 sinBcosA＝2sinAcosA. π π 当 cosA＝0 时，A＝ ，B＝ ， 2 6 4 3 2 3 a＝ ，b＝ . 6分 3 3 所以△ABC 的面积 1 1 2 3 4 3 S ＝ absinC ＝ × × 2 2 3 3 3 2 3 × ＝ ； 8分 2 3
判断三角形的形状，应围绕三角形 的边角关系进行思考，主要看其是否是 正三角形、等腰三角形、直角三角形、 钝角三角形或锐角三角形，要特别注意 “等腰直角三角形”与“等腰三角形或直 角三角形”的区别．
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在△ABC中，a，b，c分别表 示三个内角A、B、C的对边，如果 (a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)sin(A＋ B)，试判断该三角形的形状． 例3
课前回顾
（1）三角形常用公式： B C A

1 1 1 SABC ab sin C bc sin A ac sin B 2 2 2 a b c ＝ 2R 正弦定理： sin A sin B sin C
（2）正弦定理应用范围：
①
已知两角和任意边，求其他两边和一角
②
已知两边和其中一边的对角，求另一边 的对角。(注意解的情况)
规律方法总结
A>90° A＝90° A<90°
a>b
a＝b a<b
一解
无解 无解
一解
无解 无解
一解
一解 a>bsinA 两解 a＝bsinA 一解 a<bsinA 无解
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考点二 余弦定理的应用
已知三边解三角形主要运用余弦定 理的推论．已知两边和它们的夹角解三 角形可使用余弦定理求第三边，然后利 用推论求出另一个角，最后利用A＋B ＋C＝π求出第三个角．
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2 (2)将 b＝ 13，a＋c＝4，B＝ π， 3 代入 b2＝a2＋c2－2accosB， b2＝(a 得 ＋c)2－2ac－2accosB， 1 ∴13＝16－2ac(1－ )，∴ac＝3， 2 1 3 3 ∴S△ABC＝ acsinB＝ 2 4
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考点三
三角形形状的判定
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若例 1 的要求不变， 条件为(1)a＝7， b＝8，A＝105° ； (2)b＝10，c＝5 6，C＝60° .
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解：(1)a＝7，b＝8，a<b，∴B>A＝105° >90° . ∴本题无解． (2)b＝10，c＝5 6，b<c， ∴B<C＝60° <90° .∴本题有一解． bsinC 10· sin60° 2 ∵sinB＝ ＝ ＝ ， 2 c 5 6 ∴B＝45° ，A＝180° －(B＋C)＝75° . 6＋ 2 10× bsinA 10· sin75° 4 ∴a＝ ＝ ＝ ＝5( 3＋1)． sin45° sinB 2 2
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例2 在△ ABC 中，a、b、c 分别是 cosB 角 A、B、C 的对边，且 ＝－ cosC b . 2a＋c (1)求角 B 的大小； (2)若 b＝ 13，a＋c＝4，求 △ ABC 的面积．
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【解】 (1)法一：由余弦定理知 2 2 2 2 2 2 a ＋c －b a ＋b －c cosB＝ ，cosC＝ ， 2ac 2ab cosB b 将上式代入 ＝－ ， cosC 2a＋c a2＋c2－b2 2ab b 得 ·2 ， 2 2＝－ 2ac a ＋b －c 2a＋c 2 2 2 整理得 a ＋c －b ＝－ac. a2＋c2－b2 －ac 1 ∴cosB＝ ＝ ＝－ . 2 2ac 2ac 2 ∵B 为三角形的内角，∴B＝ π. 3
3 3 A. 4 15 3 C. 4 15 3 B. 2 15 3 D. 8
答案：C
三基能力强化
3．在△ABC中，若A＝120°，AB ＝5，BC＝7，则△ABC的面积是( )
3 3 A. 4 15 3 C. 4 15 3 B. 2 15 3 D. 8
答案：C
三基能力强化
4．在△ ABC 中，角 A、B、C 所对 的边分别为 a、b、c，若 a＝1，b＝ 7， c＝ 3，则 B＝______.
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例1 已知下列各三角形中的两边及其 一边的对角解三角形，先判断三角形 是否有解？有解的作出解答．
(1)a＝10，b＝20，A＝80° ； (2)a＝2 3，b＝6，A＝30° .
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【解】 (1)a＝10， b＝20， a<b， A＝80° <90° 讨论如下： ∵bsinA ＝ 20· sin80° >20· sin60° ＝10 3， ∴a<b· sinA， ∴本题无解．
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cosB sinB 法二： ＝－ cosC 2sinA＋sinC ∴2sinAcosB＋cosBsinC＝－sinBcosC ∴2sinAcosB＋sin(B＋C)＝0 ∴2sinAcosB＋sinA＝0. 1 2 ∴cosB＝－ ，∴B＝ π. 2 3
本题(1)中法一是利用余弦定理把角转化为边，把边 转化为角． 法二是利用正弦定理．
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例4 在△ABC中，已知 c=2,C=∏/3 (1)若△ABC的面积等于 3 ，求a， b； (2)若sinC＋sin(B－A)＝2sin2A， 求△ABC的面积．
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【解】 (1)由余弦定理及已知条 件，得 a2＋b2－ab＝4， 又因为△ABC 的面积等于 3， 所以 1 absinC＝ 3， 2 得 ab＝4. 2分 a2＋b2－ab＝4， 联立方程组 ab＝4，
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asinC 当 B＝120° 时， C＝30° c＝ ， ＝ sinA 2 3sin30° ＝2 3. sin30° ∴B＝60° ，C＝90° ，c＝4 3或 B＝ 120° ，C＝30° ，c＝2 3.
在(2)中容易漏掉B＝120°的情形， 对于已知两边和其中一边的对角，解 三角形问题，容易出错，一定要注意 是一解、二解还是无解．
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当 cosA≠0 时，得 sinB＝2sinA，由正 弦定理得 b＝2a， a2＋b2－ab＝4， 联立方程组 b＝2a，
a＝ 2 3， 3 解得 4 3 b＝ 3 .
10 分
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所以△ABC 的面积 1 1 2 3 4 3 3 S＝ absinC＝ × × × 2 2 3 3 2 2 3 ＝ . 12 分 3
2bc a 2 c 2 b2 cos B 2ac a2 b2 c2 cosC 2ab
（4）、余弦定理可以解决以下两类有关三角形问题： （1）已知三边求三个角；
（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角。
三基能力强化
1．(2009 年高考福建卷改编)已知钝 角△ ABC 的面积为 3 3， BC＝4， CA＝3， 则角 C 的大小为( )
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π (2)法一：∵c＝ 7，C＝ .由面积公式 3 得 1 π 3 3 absin ＝ ，即 ab＝6.① 8分 2 3 2 由余弦定理得 π 2 2 a ＋b －2abcos ＝7，即 a2＋b2－ab＝ 3 7.② 10 分 由②变形得(a＋b)2＝3ab＋7.③ 将①代入③得(a＋b)2＝25，故 a＋b＝ 5. 12 分