函数极限存在条件
3-3函数极限存在的条件
数学分析数学与信息科学学院罗仕乐§3.3 函数极限存在的条件本节介绍函数极限存在的两个充要条件.仍以极限)(lim 0x f xx 为例一Heine 归结原则——函数极限与数列极限的关系：二单调有界定理:三Cauchy 准则:1.子列收敛性(函数极限与数列极限的关系)定义{}.)(),(,),(),(,)(.),(),,(2100时的子列当为函数即则称数列时使得有数列中或可以是设在过程a x x f x f x f x f x f a x n a x x x x a a x n n n n →→∞→≠→-+ 定理.)(lim ,)()(,)(lim A x f ax x f x f A x f n n n ax =→=∞→→则有当是数列若一Heine 归结原则——函数极限与数列极限的关系：证Ax f x x =→)(lim 0.)(,0,0,00ε<-δ<-<>δ∃>ε∀∴A x f x x 恒有时使当,lim 00x x x x n n n ≠=∞→且又 .0,,0,00δ<-<>>∃>δ∴x x N n N n 恒有时使当对上述,)(ε<-A x f n 从而有.)(lim A x f n x =∞→故数学分析第3.3节例如,1sin lim 0=→xxx xxy sin =,11sin lim =∞→nn n ,11sin lim =∞→nn n 1sin 1lim22=+∞→n n n 2 函数极限与数列极限的关系函数极限存在的充要条件是它的任何子列的极限都存在,且相等Heine 定理，又称归结原则数学分析第3.3节一Heine 归结原则——函数极限与数列极限的关系：f0x 0()U xTh 3.8 设函数在点的某空心邻域内有定义.)(lim 0x f x x →⇔0()n x U x ∈)(lim ,0n n n x f x x ∞→→则极限存在,对任何且都存在且相等.{}()n f x lim ()n n f x →∞()f x {}()n f x 注１．是数列，是数列的极限。
3.3函数极限存在的条件
xn A,
lim g xn B
n
数列极限的四则运算,对任意数列 xn 且
lim x n x0 , xn x0 , 有 lim n
n
f ( xn ) A g ( xn ) B
再根据海涅定理的充分性,有
首页
×
lim f ( x ) f ( xn ) A x f ( x) x0 lim lim x x0 g( x ) n g( x ) B lim g( x ) n
f ( x0 0) sup
0 xU ( x0 )
f ( x ) ; 若 f 递减,则
f ( x ).
首页
0 xU ( x0 )
×
(2) 设 f 为定义在U 0 ( x0 ) 上的递增函数 则
f ( x0 0) sup f ( x), f ( x0 0) inf f ( x) 0
lim f ( x ) A, lim g( x ) B( B 0)
x x0
证 已知 lim f ( x ) A与 lim g( x ) B 根据海涅定理
xn x0 , xn x0 必要性,对任意数列 xn 且 lim n
x x0 x x0
有 lim f
数列 f ( xn ) 的极限都相等.
首页
×
注7 可以利用柯西准则证明函数极限 lim f ( x )
的不存在:
x x0
x x0
设函数 在U ( x0 ; ')内有定义. lim f ( x ) 不存在
的充要条件是：存在 0 0 ,对任意正数 ( ') , 存在 x ', x U ( x0 ; ) , 有 f ( x ') f ( x) 0 .
数学分析3-3函数极限存在的条件
x1 , x2 , 使得
, xn ,
, xn U ( x0 , n ),
| f ( xn ) A | 0 , n 1, 2, .
另一方面,
0|
xn
x0
| n
n
,
所以
lim
n
xn
x0 .
这与
lim
n
f
( xn )
A
矛盾.
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注: 1、 若 lim f (x) A 存在, x x0
f
为定义在U
(
x0
)上的单调有界函数,
则右极限 lim f ( x) 存在 . x x0
（相信大家也能够写出关于 lim f ( x) , lim f ( x) ,
x x0
x
lim f ( x) 的单调有界定理 .）
x
y y f (x)
几何意义
f (x0)
•
o a x0 b
x 前页 后页 返回
证
从而 f ( x) f ( xN1 ) A . 因此 A f (x) A .
即 lim f ( x) A. x x0
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三、柯西收敛准则
这里 仅给出 lim f ( x) 的柯西收敛准则, 请大家自 x
行写出其他五种极限类型的柯西收敛准则，并证
明之.
定理3.12 设 f (x) 在 的某个邻域{x | x M }上 有定义, 则极限 lim f ( x) 存在的充要条件是:
不妨设
f
在
U
(
x0
)
递减
.
因为 f (x) 有界, 故 sup f ( x) 存在, 设为A .
xU
函数极限存在的条件是什么
函数极限存在的条件是什么
函数极限存在的条件：
1、单调有界准则。
函数在某一点极限存在的充要条件是函数左极限和右极限在某点都存在且相等。
如果左右极限不相同、或者不存在。
则函数在该点极限不存在。
即从左趋向于所求点时的极限值和从右趋向于所求点的极限值相等。
2、夹逼准则，如能找到比目标版数列或者函数权大而有极限的数列或函数，并且又能找到比目标数列或者函数小且有极限的数列或者函数，那么目标数列或者函数必定存在极限。
函数极限求值方法：
当分母等于零时，就不能将趋向值直接代入分母，可以通过下面几个小方法解决：
第一：因式分解，通过约分使分母不会为零。
第二：若分母出现根号，可以配一个因子使根号去除。
第三：以上解法都是在趋向值是一个固定值的时候进行的，如果趋向于无穷，分子分母可以同时除以自变量的最高次方。
（通常会用到这个定理：无穷大的倒数为无穷小）。
函数极限存在的条件(精)
f (x) 存在.
三、单调有界定理 数列极限的单调有界定理: 在实数系中,有界的单调数列必有极限.
函数单侧极限的单调有界定理:
定理3.10
设f在
U
0
(
x0
)
单调有界, 则
证:
不妨设f在
U
0
(
x0
)
单调递增.
lim
x x0
f (x) 存在.
对任何含于
U
0
(
x0
)
且以
x0 为极限的递增数列{xn},
§3 函数极限存在的条件
教 学 要求
1．领会归结原则(海涅定理)、函数单侧极限的单调有界定理与柯西准则 的实质以及证明过程，掌握运用归结原则与柯西准则判定某些函数极 限的存在性。
2．掌握函数极限与数列极限的联系。 3．初步掌握用归结原则、柯西准则证明函数极限不存在的技巧。
§3 函数极限存在的条件
一、lim f (x) A 的 0 定义 xx0
x0
),
而
lim
n
f
(xn ) 不存在,
则lim xx0
f
(x)
不存在.
若
lim
n
xn'
x0 ,
lim
n
xn"
x0 ,
但
lim
n
f
(xn' )
lim
n
f
(xn" ),
则
lim f (x) 不存在.
xx0
例2
证明极限 limsin 1 不存在.
x0 x
y sin 1 x
例2 证明极限 limsin 1 不存在. x0 x
函数极限存在的条件
0 A + ε > f ( x) ≥ f ( x1 ) > A − ε . 可见, 当 x ∈ U − ( x0 , δ ) 时, f ( x1 ) − A < ε ,
f ( x) 存在且 f ( x0 − 0) = sup 因此 lim −
x → x0
f ( x) f ( x)
0 x∈U − ( x0 )
n→∞ n→∞
下证 A = B . 考虑数列 {z n } : x1 , y1 , x 2 , y 2 , L x n , y n , L ,易见 {z n } ⊂ U ( x 0 ) ,且 lim z n = x0 , 则由题
0
n →∞
设 lim f ( z n ) 存在,于是作为 { f ( z n )} 的两个子列, { f ( x n )} 与 { f ( y n )} 必有相同的极限,因
x → −∞
ε ,总存在某一正数 M ,使得对任何 x ′ < − M , x ′′ < − M ,都有 f ( x ′) − f ( x ′′) < ε
1
(2)设 f ( x) 为定义在 (−∞, a ] 上的函数,若存在正数 ε 0 ,对任给正数 M ,总存在 x1 、 x 2 , 尽管 x1 < − M , x 2 < − M ，而 f ( x1 ) − f ( x 2 ) ≥ ε 0 ，则称 lim f ( x) 不存在.
0
(2)
f ( xn ) − A ≥ ε 0
,
n = 1,2,3,L ， 由 于
n →∞
0 x0 ∈ U + ( x0 , δ n )
,
故
有
0 < x n − x0 < δ n ≤
函数极限存在的条件
A
M
x
例2
证明数列 xn = 3 + 3 + + 3 ( n重根
∴ {xn } 是单调递增的 ;
式)的极限存在 . 证 显然 x n + 1 > x n ,
∴ {xn } 是有界的 ;
又 ∵ x1 = 3 < 3, 假定 x k < 3, x k + 1 = 3 + x k< 3 + 3 < 3,
第三节
函数极限存在的条件
一,极限存在准则
1.夹逼准则 夹逼准则
则 件: 准 Ⅰ 如 数 xn , yn 及zn 满 下 条 : 果 列 足 列 件
(1) yn ≤ xn ≤ zn
n→∞
(n = 1,2,3 )
(2) lim yn = a, limzn = a,
末 列 那 数 xn 的 限 在 且lim xn = a. 极 存 ,
∴ lim x n 存在.
n→∞
2 lim x n + 1 = lim ( 3 + x n ), n→ ∞ n→∞
2 ∵ x n+1 = 3 + x n , x n+1 = 3 + x n ,
1 + 13 1 13 (舍去 舍去) , A= 舍去 解得 A = 2 2 1 + 13 . ∴ lim x n = n→∞ 2
x →0
sin x 5, lim = __________ . x →∞ 2 x
6, lim(1 + x ) = _________ .
x→0
1 x
1 + x 2x 7, lim ( ) = _________ . x→∞ x 1 x 8, lim (1 ) = _________ . x →∞ x 求下列各极限: 二,求下列各极限 1 cos 2 x 1, lim x→0 x sin x 2, lim (tan x ) tan 2 x
3-03函数极限存在条件精简版
ln
x
ln
x0
x0 0 .
证明 : x 0, ln x严格单调增加.
则 (1)对 设于 2x0. 0证1, 此 明0, 时 存: xl有 在imx满 lx0iml足 n1 lxnxnxln01,(x如 n0 若x不 0)然 的0,正.数列,
使得 ln xn 0 ,由此可知, n N ,
我们也可以用说明lim sin n不存在来说明 n
lim sin 1 不存在, 但是反之不成立.
x0
x
假设:如果 lim sin n a 存在,则 n
limsin(n 2) sin n 0 ,即lim 2cos(n 1)sin1 0
n
n
lim cos(n 1) 0 lim cos n 0, lim sin 2n 0,
即 0, M , x : M x ,
有 有 f ( xf ()x) AA ,,
limlimf (fx( x)) ssuupp f (fx)(x. ) .
x x
(
(
MM00,,)
)
三. Cauchy 收敛准则
定理3 ( Cauchy 收敛准则 )
(1) lim f ( x)存在 0, 0, x x0
x, x U o ( x0 , ),有 f ( x) f ( x) ; (2) lim f ( x)存在 0, X 0,
x
x, x : x X , x X ,
如果lim g( x)存在,证明lim f ( x)存在.
x0
x0
证明 由Cauchy 收敛准则 立即得到。
练习
1.
函数极限存在的条件(精)
(2) 1
2
n2
3) 将函数极限的理论研究,转为数列极限的研究.(见后柯西准则的证明)
单侧极限的归结原则:
定理3.9
设f在
U
0
(
x0
)
有定义.
lim
xx0
f (x) A
对任何含于
U
0
(
x0
)
且以 x0 为极限的单调递减数列{xn}, 都有
lim
n
f
( xn
)
A.
定理3.9-1 设f在
U
0
lim f (x) A 的 定义:
xx0
若 0, 0, 当 0 | x x0 | 时,有 | f (x) A| .
lim f (x) A 的 0 定义:
xx0
若 0 0, 0, x1,
尽管0 | x1 x0 | , 但
| f (x1) A | 0.
用 0
定义证明 lim xx0
1
0
事实上,在 0 | x 0 | 内,一定可以取到x1, 使得 sin x1 0,
进而有
sin
1 x1
1
1
1 2
0.
证:
取
0
1. 2
0,
取
n1
1
1,
1
x1 n1 ,
则
0 |
x1
0 |
1
n1
1 n1
,
且
sin
1 x1
1
|
sin
n1
1| 1
1 2
0,
所以 limsin 1 1. x0 x
0 | xn x0 | , 进而有 | f (xn ) A | , 即
(完整版)§3函数极限存在的条件
§3 函数极限存在的条件【教学目的】函数各类极限的Heine 归并原则，Cauchy 准则。
【教学重点】极限)(lim 0x f x x →的Heine 归并原则，Cauchy 准则。
【教学难点】极限)(lim 0x f x x →的Heine 归并原则，Cauchy 准则。
【教学过程】与讨论数列极限存在的条件一样, 我们将从函数值的变化趋势来判断其极限的存在性。
本节介绍函数极限存在的两个充要条件。
仍以极限)(lim 0x f x x →为例。
一、Heine 归并原则 — 函数极限与数列极限的关系定理1 设函数f 在点0x 的某空心邻域0(;)U x δ'o内有定义。
则极限)(lim 0x f x x →存在⇔对任何0()n x U x ∈o 且)(lim ,0n n n x f x x ∞→→都存在且相等.证 （必要性） 设0lim ()x x f x A →=则对任给的0ε>, 存在正数δδ'≤, 使得当00x x δ<-< 时有|()|f x A ε-<.另一方面, 设数列0{}(;)n x U x δ'⊂o 且0lim n n x x →∞=, 则以上述的0ε>存在0N >, 使得当n N >时有00x x δ<-<, 从而有|()|n f x A ε-<. 这就证明了lim ().n n f x A →∞=（充分性） 设对任何数列0{}(;)n x U x δ'⊂o 且0lim n n x x →∞=，有lim ()n n f x A →∞=,则可用反证法推出0lim ()x x f x A →=。
事实上，倘若当0x x →时f 不以A 为极限, 则存在某00ε>, 对任何0δ> (不论多么小), 总存在一点x , 尽管00x x δ<-<，但有0|()|f x A ε-≥ (§1习题2)。
第三节 函数极限存在的条件
∃δ > 0(< δ ′),使得对∀x′, x′′ ∈ U 0 ( x0 ,δ ),有 f ( x′) − f (x′′) < ε . 由于xn → x0 (n → ∞ ),
对上述的δ > 0,∃N > 0 ,使得当n , m > N时有xn , xm ∈ U 0 ( x0 ,δ ),从而有
附注：柯西准则解题价值不高，但理论意义重大！！ 附注：柯西准则解题价值不高，但理论意义重大！！
从而有 f ( x n ) − A < ε,
故 lim f ( x n ) = A.
n→ ∞
10
[充分性] 对任何数列{xn } ⊂ U 0 (x0 ,δ ′)且 lim xn = x0 ,有 lim f (xn ) = A
下面利用反证法推出：lim f ( x ) = A .
x → x0
n →∞
x ∈ U 0 (x0 ,δ )有 f ( x ) − A < ε .于是对∀x′, x′′ ∈ U 0 ( x0 ,δ )有 2
x → x0
f ( x′) − f ( x′′) ≤ f ( x′) − A + f ( x′′) − A < ε + ε = ε . 2 2
2
充分性:
设数列{xn } ⊂ U 0 ( x0 ,δ )且 lim xn = x0 .按假设，对 ∀ε > 0 ,
注2. 若能找到 f ( x )当x → x0时的子列{ f ( xn )}发散，则 lim f ( x )不存在.
x → x0
注3. 若能找到 f ( x )当x → x0时的两个子列{ f (xn )}、f ( yn )}二者均收敛， {
但极限值不相等，则 lim f ( x )不存在 .
函数在无穷处极限存在的充要条件
函数在无穷处极限存在的充要条件充分性（if part）的证明：假设函数f(某)在某趋近于正无穷时极限存在，即存在常数L，使得当某趋近于正无穷时，f(某)趋近于L。
根据定义，在某足够大时，我们可以找到一个大于任意正实数M的实数N，使得当某>N时，f(某)落在(L-M，L+M)的范围内。
我们可以推出以下结论：1.对于任意正实数ε，我们可以找到一个实数N1，当某>N1时，f(某)落在(L-ε，L+ε)的范围内。
2.对于任意正实数δ，我们可以找到一个实数N2，当某>N2时，f(某)落在(L-δ，L+δ)的范围内。
取N = ma某{N1，N2}，则当某>N时，f(某)落在(L-δ，L+δ)的范围内。
因此，根据定义，函数f(某)在某趋近于正无穷时极限存在。
必要性（only if part）的证明：假设函数f(某)在某趋近于正无穷时极限存在，即存在常数L，使得当某趋近于正无穷时，f(某)趋近于L。
根据定义，对于函数f(某)，对于任意正实数ε，存在一个正实数N，当某>N时，f(某)落在(L-ε，L+ε)的范围内。
我们要证明LIM（某→∞）f(某)=L。
取任意正实数ε，根据上述结论，我们可以找到一个实数N，当某>N 时，f(某)落在(L-ε，L+ε)的范围内。
由于L和ε是任意的，我们可以取L和ε为特定值，例如L=1，ε=0.1、然后取N为正整数1，这时当某>1时，f(某)的取值范围是(0.9，1.1)。
这意味着在正无穷处，函数f(某)始终在(0.9，1.1)的范围内。
由于N=1是一个特定的数值，因此对于所有某>N，f(某)在(0.9，1.1)的范围内。
这说明f(某)始终在一个特定的范围内，不论某的取值多大。
因此，根据定义，函数f(某)在某趋近于正无穷时极限存在。
综上所述，函数在无穷处极限存在的充要条件为：存在一个常数L，使得当某趋近于正无穷时，函数f(某)趋近于L。
数学分析3.3函数极限存在的条件
x>x0
时，有
A-ε<f(x)≢f(x0)<A+ε，∴
lim f(x)=A.
x→+∞
其充分性得证。
3、(1)叙述极限 lim f(x)的柯西准则；
x→−∞
(2)根据柯西准则叙述 lim f(x)不存在的充要条件，并应用它证明 lim sinx不存在.
x→−∞
x→−∞
解：(1)设函数 f 在某 U(-∞)内有定义。 lim f(x)在的充要条件是：任给ε>0，存
1(≢δ
’)，
使当 0<|x-x0|<δ 1 时，|f(x)-A|<ε.
设{xn}⊂U⁰(x0;δ
’)且
lim
n →∞
xn
=x0，则对δ
1，有 N>0，使当 n>N
时，有 0<|xn-x0|<δ
1，
从而有|f(xn)-A|<ε.
∴ lim f
n →∞
xn
=A.
[充分性]若{xn}⊂U⁰(x0;δ ’)且 nli→m∞xn=x0，则对∀δ >0(≢δ ’)，有 N>0，
x →x 0
注：1、事实上，在证明充分性时，∵对任何 x’, x”∈U⁰(x0;δ )有|f(x’)- f(x”)|<ε；
∴所有的 xn∈U⁰(x0;δ )看作数列{xn}，则数列{f(xn)}的极限存在，记为：nli→m∞f xn =A.
则对{xn}中所有当
n→∞以
x0
为极限的子列{x’n}也有
lim f
从而有 A+ε>f(x)>f(x1)>A-ε，即|f(x)-A|<ε，∴f(x0-0)=A= sup f x ；
函数极限存在的条件
另一方面，由 A f x ，更有 A f x 。从而对一切 x U 0 x 0 , 有
定理 3.10 设 f 是定义在 U 0 x0 上的单调有界函数，则右极限 lim 在。
x x0
f x 存
证 不妨设 f 在 U 0 x0 上递增。因 f 在 U 0 x0 上有界，由确界原理，
x x0
对任何 x U 0 x0 ; 有 f x A 。于是对任何 x / ， x // U 0 x 0 ; 有 2 f x / f x // f x / A f x // A 。 2 2
n
设另一数列 y n U 0 x0 , / 且 lim yn x0 , 则如上所证, lim f yn 存在,
n n
记为 B . 现证 B A .为此,考虑数列 z n : x1 , y1 , x 2 , y 2 ,．．．, x n , y n ,．．．易 见 z n U 0 x0 , / 且 lim z n x0 (见第二章§3 例 7).
x x0
事实上，任给 0 ，按下确界定义，存在 x / U 0 x 0 ，使得 f x / A 。 取
x / x0 0 ，则由 f 的递增性，对一切 x x0 , x / = U 0 x 0 , ，有
f x f x / A
x x0
条件是：对任何含于 U 0 x0 , / 且以 x 0 为极限的数列 x n ，极限 lim f xn 都
n
存在且相等。 证 [必要性] 设 lim f x A ，则对任给的 0 ，存在正数 / ，使
3-3函数极限存在的条件
0
⇔ ∀ε > 0, ∃δ > 0(δ < δ ′), ∀x′, x′′ ∈ U ( x 0 , δ ) , ⇒ f ( x ′) − f ( x ′′) < ε .
证
⇒)
⇐)
( 利用极限的定义 ) ( 利用Heine归并原则 )
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注：按照Cauchy准则，可以写出 xlim f ( x ) →x 不存在的充要条件：存在 ε > 0 ，对任意
f ( x ′) > M
∀ M
> 0
,∃ x ′∈
U
− 0
(x0 )
，
使得
.取
δ = x0 − x′ > 0
，则当 ,即
0 < x0 − x < δ
.
x → x0 − 0
时, 有
f ( x ) = +∞ =
f (x)
f ( x ) ≥ f ( x ′) > M
sup
x ∈U
− 0
lim
f (x)
U
− 0
{ }{ }
使
lim f ( xn′ ), lim f ( xn′′ )
n→∞ n→∞
都存在但不相等，则
x → x0
lim f ( x )
不存在. 1 lim sin 例1 证明 x 不存在. 1 1 1 ′ → 0 sin = 0 ′ xn = → 0 xn′ = 证 令 ′ xn ， ， (2n + 1 )π 2π n 2 1 sin = 1 故 sin 1 当 x → 0 时没极限。
( x0 )
类似地我们有: 单调下降,则
在
f (x) =
函数极限的充要条件
函数极限的充要条件1. 嘿，你知道函数极限的充要条件吗？就像跑步比赛，你要冲向终点，速度越来越接近那个极限值，这就是函数极限的充要条件呀！比如函数f(x)=1/x，当 x 趋近于无穷大时，f(x)就趋近于 0 呀！2. 哇塞，函数极限的充要条件可重要啦！好比搭积木，一层一层要搭得稳稳的，这就是一种极限的达成呀！像函数 g(x)=x^2，当 x 趋近于 2 时，g(x)趋近于 4 呢！3. 哎呀呀，想想函数极限的充要条件，不就像是爬山嘛，努力朝着山顶前进，越来越接近那个高度！比如说函数 h(x)=sin(x)，在 x 趋近于 0 时，h(x)就趋近于 0 呀！4. 嘿，函数极限的充要条件不难理解呀！就如同射箭，要瞄准靶心，越来越靠近那个目标值呀！像函数 k(x)=ln(x)，当 x 趋近于 1 时，k(x)趋近于0 哦！5. 哇哦，函数极限的充要条件多有意思呀！好比追蝴蝶，努力去靠近它，就是那种感觉呀！例如函数 m(x)=e^x，当 x 趋近于 0 时，m(x)趋近于 1 呀！6. 哎呀，函数极限的充要条件不就是像赛车追求最快速度嘛，不断逼近那个极限速度呀！像函数 n(x)=x^3，当 x 趋近于 1 时，n(x)趋近于 1 呢！7. 嘿哟，函数极限的充要条件就像飞机起飞，不断升高，接近那个飞行高度呀！比如函数 p(x)=cos(x)，当 x 趋近于 0 时，p(x)趋近于 1 哟！8. 哇呀，函数极限的充要条件不就是像钓鱼，等着鱼儿上钩，越来越接近那个时刻呀！像函数 q(x)=2^x，当 x 趋近于 0 时，q(x)趋近于 1 呀！9. 哎呀呀，函数极限的充要条件很好玩的呀！就像等日出，慢慢等待那个最亮的时刻呀！比如函数 r(x)=tan(x)，当 x 趋近于 0 时，r(x)趋近于 0 呢！10. 嘿，函数极限的充要条件真的很关键呀！就如同等待烟花绽放，那一刻就是极限呀！像函数 s(x)=sqrt(x)，当 x 趋近于 4 时，s(x)趋近于 2 呀！我的观点结论就是：函数极限的充要条件是非常有趣且重要的，理解了它，就能更好地掌握函数的变化规律呀！。
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部分习题解答
1.叙述函数极限 lim f ( x)的归结原则
x
设f 在U ()内有定义.则 lim f ( x)存在的充要条件是 :
x
对任何含于U ()内的无上界数列{xn }, 只要 lim xn ,
n
那么lim f ( xn )必存在, 且任何这样的数列的极限都相等.
所以f 在[a, )上有上界.
" ": 若f 在[a, )上有上界, 按确界原理,f 在[a, )上有上确界,
1 例1 证明极限 lim sin 不存在. x 0 x 1 1 ,(n 1, 2, ), 则显然有 证 设xn , xn n 2n 2
xn 0, xn 0(n ),
1 1 sin 1 1(n ). sin 0 0, xn xn
且 f ( x1 ) A 0 , 对 2 min{
2
2
, x1 x0 }, 存在一点x2 , 使0 x2 x0 2
且 f ( x2 ) A 0 , x2 x1 , 一般地,对取 n min{ n , xn 1 x0 }, 存在一点xn使0 xn x0 n且
即 0, 0( / ), 使当0 | x x0 | 时 恒有 | f ( x ) A |
再由 lim xn x0 则对上述 0, N ,
n
使当n N时
0 | xn x0 |
故 | f ( xn ) A |
使得f ( x) A 取 x x0 0, 则由f 的递增性,
0 对一切x ( x0 , x) U ( x0 ; ), 有f ( x) f ( x) A .
另一方面, 由A f ( x), 更有A f ( x).
0 从而对一切x ( x0 , x) U ( x0 ; ), 有
述如下 :
0 定理3.9设函数f 在点x0的某空心右邻域U ( x0 )有定义. x x0
lim f ( x) A的充要条件是 : 对任何以x0为极限的递减数列
n
0 {xn } U ( x0 ), 有 lim f ( xn ) A.
证 必要性 设 lim f ( x) A, 则对 0, 0,当0 x x0 时
如在例1中我们可取 0 1, 对任何 0, 设正整数n
x 1 1 , x , n n 2
1
,令
1 1 则有x, x U (0; ), 而 sin sin 1 0 . x x
0
1 于是,按照函数极限的柯西准则,极限 lim sin 不存在. x 0 x
证 必要性 设 lim f ( x) A,
x x0
则 0, 正数 ( ),当x U ( x0 ; ) 有 f ( x) A . 2 于是对任何x, x U 0 ( x0 ; )有
0
f ( x) f ( x) f ( x) A f ( x) A
n n
有 lim D (rn ) 1, lim D( sn ) 0,
n n
根据海涅定理,函数D(x)在x0不存在极限因为x0是 . R上任意一点,所以D(x)在R上每一点都不存在极限
对于x x0 , x x0 , x 和x 这四种类型的单侧极限, 相应的归结原则可表示为更强的形式.现以x x0 这种类型为例阐
n
记为B. 现证B A. 为此, 考虑数列{zn }: x1 , y , x2 , y2 , xn , yn ,
{zn } U 0 ( x0 ; ) 且 lim zn x0 ,仍如上所证,{ f ( zn )}也收敛. 易见
n
于是,作为 f ( zn )}的两个子列, { f ( xn )}与{ f ( yn )}必有相同的极限. {
x x0
0 0 证 不妨设f 在U ( x0 )上递增.因f 在U ( x0 )上有界,由确界原理
xU ( x0 )
inf 0
f ( x)存在, 记为A. 下证 lim f ( x) A.
x x0
0 事实上, 0, 按下确界定义, 存在x U ( x0 ),
A f ( x) A
x x0
就证得 lim f ( x) A.
最后,我们叙述并证明关于函数极限的柯西准则.
定理3.11(柯西准则)设f 在U 0 ( x0 ; )内有定义. lim f ( x)存在的
x x0
充要条件是 : 0, 正数 ( ), 使得对任何x, x U 0 ( x0 ; ) 有 f ( x) f ( x) .
x x0
对任何含于U 0 ( x0 ; )且以x0为极限的数列{xn }, 极限 lim f ( xn )都存在且相等.
n
即 lim f ( x) A xn , xn x0 ,(n ), lim f ( xn ) A
x x0 n
证明
x x0
lim f ( x) A
但 f ( x) A 0
/ 现取 n
有 x n 满足 0 | xn x0 |
/
n
n 1, 2,
即xn x0 , xn x0
n
但 | f ( xn ) A | 0
此与 lim f ( xn ) A 矛盾
lim f ( x) A
x x0
lim f ( xn ) A
n
设对xn x0 ( xn x0 )
n
都有
lim f ( xn ) A 要证 lim f ( x) A
用反证法 若 lim f ( x) A
x x0
x x0
即 0使对 0，都有x满足 0 | x x0 |
n
lim f ( xn )都存在但不相等, 则 lim f ( x)不存在.
n x x0
海涅定理的意义
虽然数列极限与函数极限是分别独立定义的,但两者是有 联系的.海涅定理是沟通数列极限与函数极限的桥梁.它指 出,函数极限可化数列极限,反之亦然.在极限论中海涅定理 处于重要地位,因为海涅定理给出了函数极限存在的充要条 件,所以有的数学分析教材就用数列极限定义函数极限.有了 海涅定理之后,有关函数极限的定理都可借助数列极限的定 理予以证明.应用海涅定理证明函数极限不存在也很简便.
xn , xm U 0 ( x0 ; ), 从而有 f ( xn ) f ( xm ) .
于是按数列的柯西收敛准则,数列{ f ( xn )}的极限存在, 记为A,
即 lim f ( xn ) A.
n
设另一数列{ yn } U 0 ( x0 ; )且 lim yn x0 , 则如上所证, lim f ( yn )存在, n
2 2 充分性 设数列{xn } U 0 ( x0 ; )且 lim xn x0 .
n
.
按假设, 0, 正数 ( ), 使得对任何x, x U 0 ( x0 ; )有
f ( x) f ( x) .
由于xn x0 (n ), 对上述的 0, N 0, 使得当n, m N时有
0 因此, lim xn x0 , 可见xn是以x0为极限的递减数列, 且含于U ( x0 ) n
这样的数列{xn }满足
2
但由(2)知, lim f ( xn ) A, 矛盾.
n
0 定理3.10 设f 为定义在U ( x0 )上的单调有界函数,
则右极限 lim f ( x)存在.
2 f ( xn ) A 0 , xn xn 1 x2 x1
0 (1)xn U ( x0 ), 且xn1 xn , n 1, 2, (2) f ( xn ) A 0 , n 1,2, 0 由于xn U ( x0 ), 故有 0 xn x0 n n 0(n ),
注1
归结原则也可简述为:
x x0
lim f ( x) A 对任何xn x0 (n )有 lim f ( xn ) A.
n
注2 若可找到一个以x0为极限的数列{xn }, 使 lim f ( xn )不存在,
n
或找到两个都以x0为极限的数列{xn }与{xn }, 使 lim f ( xn )与
n
2.设f 为定义在[a, )上的增(减)函数.证明 : lim f ( x)存在
x
的充要条件是f 在[a, )有上(下)界.
证 (只证增函数有上界的情况,另一种情况类似可证)
" ": 若 lim f ( x ) A 对 1, M 0( M a), 当x M 时,
充分性 (反证)假设 lim f ( x) A, 则存在某一个正数 0 , 不论正数
x x0
多么小, 总存在一点x, 尽管0 x x0 , 但有 f ( x) A 0 0 设U ( x0 ) ( x0 , x0 ), 则对1 , 存在一点x1 , 使0 x1 x0 1 2
第三章 函数极限
三 函数极限存在条件
§3 函Байду номын сангаас极限存在的条件
与讨论数列极限存在的条件一样,我们将从函数值的 变化趋势来判断其极限的存在性.下面的定理只对x x0 这种类型的函数极限进行讨论,但其结论对其它类型的函 数极限也是成立的.
定理3.8(归结原则,海涅定理)
设f 在U 0 ( x0 ; )内有定义. lim f ( x)存在的充要条件是: