一道向量高考题的拓展探究

是
，最大值是
．
设问与解析
（2018 浙江数 9）
已知向量 a, b 是平面向量， e 是单位向量，若非零向量 a
与 e 的夹角为
，向量 b
满足
2
b
4e
b
3
0
，则
a
b
的
3
最小值是
．
解法 1 ：坐标法
解法 2 ： 代数变形—配方
2
b 4eb 3 0
2
b 4eb 4 1
2
b 2e 1
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考题链接
1：已知向量 a b 1,向量 c 满足 c (a b) a b ，则 c 的
最大值是
．
2：已知向量 a b 1, a b 1 ，向量 c 满足 a b c 1，则 2
c 的最大值是
．
3：已知向量 a xb yc(x, y R) ， a b 2 ，
几何背景下的向量问题
一道向量高考题的拓展探究
题目呈现
（2018 浙江数 9）
已知向量 a, b 是平面向量， e 是单位向量，若非零向量 a
与 e 的夹角为
，向量 b
满足
2
b
4e
b3
0
，则
a
b
的
3
最小值是
．
说题流程
总结反思
考题编写
变式拓展 背景与立意 设问与解析 引申推广
背景与立意
（2018 浙江数 9）
题 5.(2020 山 水 联 盟 ) 已 知 平 面 向 量 a,b,c ， 满 足
a b c 0 ，且 a,b ，且 a 1, b c 2 ，则cos
的取值范围_______.
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题 6.（2020 年 A9 协作体）已知 a 1, b a b a 4 ，则 b 1 a 的最小值_______.
源于课本（必修 4 P120）： 习题：（1）已知| a | 3 ，| b | 2 ，a 与 b 的夹角为 30 ， 求| a b |,| a b | ． （2）若 a 、 b 、 c 两两所成的角相等， | a | 1,| b | 1,| c | 3 ，则| a b c | 等于_____。
bB
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题 4. 已知平面向量 a,b,c ，满足 a b 1，且 a b 1 时，
2
向量 a c,b c 的夹角为 600 ，则 c 的最大值_______.
双黄蛋型：
<a,b>+< c - a,c - b>=π
C B
A
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已知向量 a, b 是平面向量， e 是单位向量，若非零向量 a
与 e 的夹角为
，向量 b
满足
2
b
4e
b3
0
，则
a
b
的
3
最小值是
．
1.阐明题意
（2018 浙江数 9）
已知向量 a, b 是平面向量， e 是单位向量，若非零向量 a
与 e 的夹角为
，向量 b
满足
2
b
4e
b3
0
，则
a
b
的
3
最小值是
．
涉及的知识点：
①向量的数量积；
②向量基本定理；
③向量的几何意义；
④向量与几何知识的交
汇。
2.出处与背景
本题出自浙江省 2018 年高考的第 9 题，有一 定的难度。
向量与解析几何的结合分为两大类，一类是用 向量作为工具和方法来解决解析几何题，第二类 是以解析几何定义和性质作为背景的平面向量问 题，向量与轨迹、直线、圆锥曲线等综合问题交 叉渗透。这特别以浙江的向量题多。
题 7.(2020 华 茂 外 国 语 学 校 ) 已 知 a b a b 2, ， 且 c tb c a ,t R ，， 则 a 1 b c c a 的 取 值 范 围
4 _______.
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题 8.(2020 信息检测卷)已知单位向量 a, b 满足 a b, ，且 c tb c a ,t R ， 则 c 2b a c a 的 最 小 值 是 _______.
4
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考题链接 2 一道向量高考题的拓展探究【精品】
题 2：（2017 浙江数 15）
已 知 向 量 a, b 满 足 a 1, b 2， 则 a b a b 的 最 小 值
是
，最大值是
．
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三、以抛物线为背景的向量题
这是以圆为背景的向量题
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引申推ห้องสมุดไป่ตู้ 一、以圆为背景的向量题
题 3.已知平面向量 a,b, c ，满足 a 1, b 2 ，且 a,b 600 ，
且 a c b c 0，则 c 的取值范围_______.
数量积式圆：
cC
(c a)(c b) 0
a O A
c 1, (a c) (b c) 0 ，则 a b 的取值范围是
．
4：已知向量 a b 0 ，向量 c 满足 (a c) (b c) 0 ，a b 5 ，
a c 3 ,则 a c 的最大值是
．
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二、以椭圆为背景的向量题
解法 3 ： 代数变形—因式分解
2
b 4eb 3 0
b 3eb e 0
解法 4： 代数变形—极化恒等式
2
b 4eb 3 0
2
2
2b 4e 4e
b b 4e 3
3
4
2
b 2e 1
解法点评
四种证法都是具有代表性的基本方法，也都 是应该掌握的重要方法。后三种方法向量数量积 结合平面几何知识，解法一是坐标法，这是向量 问题最通用的方法。可在具体应用过程中，根据 题目的变化的需要适当进行选择。
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反思总结
总结提炼变式拓展，启发学生进一步思考，引导学生自主探索、 合作交流，获得广泛的数学经验.
要引导学生探索数学问题的解题方法，做一题，通一类，会一片.
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三、以球为背景的向量题
题 9．（2020 湖衢丽三市）
已 知 空 间 向 量 a,b,c 两 两 的 夹 角 为 60 ， 且
a b 1，c 2 ，若向量 x,y 满足 x x a x b ， y y a y c 则 x y 的最大值_______..
源于高考：
题 1：（2010 浙江理数 16）已知平面向量, ( 0, ) 满 足 1，且 与 的夹角为 120°，则 的取值范围是
__________________ .
题 2：（2017 浙江数 15）
已知向量 a, b 满足 a 1, b 2 ，则 a b a b 的最小值