一道向量高考题的拓展探究
利用向量对2013年一道高考物理试题求解及拓展
令 Ａ １ 一Ａ ， Ａ ２ —１ 一 ， 则 有Ｏ Ｒ—Ａ Ｏ Ａ＋ ２ Ｏ Ｂ， 且 ＋
２— １ ．
法 是 利 用 相 似 三 角 形 对应 边 成 比 例 求 解 ， 解
法如下 ：
如 图 １所 示 ， 设 Ｂ
… ｌ （ ， ， １ ）
ｏ （ Ｒ ） ｌ ＼
了 百
“￡ ２
．
由于 △Ａ１ Ｂ Ｂ ｌ ０ （ ２ △Ｒ １ ＨＢ １ ， 有
Ａｌ Ｂｌ： Ｒ１ Ｂ１ ＝。 ｚ Ｂ：（ ｚＢ —１ ） ，
Ａｌ Ｂｌ ：Ｒ ｊ Ｂ１ 的物 理 试 题 ， 利 用 数 学 方 法 可 以很
方便地进行求解 ， 体 现了数学 与 物理相 结合 的特 点． 本 文
以 ２ ０ １ ３年 高 考新 课 标 全 国 卷 第 ２ ４题 为 例 ， 阐述数 学 中的 向量 方 法 在 求 解 物 理 试 题 中 的应 用 ． 题 目． 水 平 桌 面 上 有 两 个 玩 具 车 Ａ 和 Ｂ， 两 者 用 一 轻
ＯＲ＝ ｌ Ｏ Ａ＋ ２ ＯＢ， 且 ｌ 十＾ ２ —１ ．
图２
证明 ： 因为 向量 Ｂ Ｒ与 向量Ｂ Ａ共 线 ， 根 据 向量 共 线 定 理
可 知
ＢＲ — ＢＡ ．
又 因为 Ｏ Ｒ＝ＯＢ＋ＢＲ，
Ａ１
＼ （ ０ ， ２ ｆ ＋
）
所 以ＯＲ＝ Ｏ Ｂ＋ Ｂ Ａ Ｏ Ｂ＋ （ ＯＡ— Ｏ Ｂ） ： ＯＡ ＋ （ １ 一
说明 问题 ， 先 给 出 如 下 定 理 及 其
证明．
Ｌ，
如 图 ２所 示 ， Ａ、 Ｒ、 Ｂ 是 平 面 内 ３ 个点， 且 Ａ 与 Ｂ 不重合 ， Ｏ 是
四点共面,链接教材,变式拓展——以一道高考题为例
试题研究２０２４年１月上半月㊀㊀㊀四点共面,链接教材,变式拓展以一道高考题为例◉江苏省张家港市沙洲中学㊀陶㊀贤㊀㊀空间中的四点共面的判断与证明是空间向量与立体几何部分的一个基本知识点,也是一大难点,历年高考数学试题中较少涉及,没有引起大家的高度重视．而在２０２０年高考数学全国卷Ⅲ的文科和理科试题中,都出现了空间四点共面的证明问题,也充分说明了该部分知识的基础性与重要性．借助空间中四点共面的判断与证明,很好地考查考生的数形结合思想㊁空间想象能力与推理论证能力,以及直观想象㊁逻辑推理等数学核心素养．１真题呈现图１高考真题㊀(２０２０年高考数学全国卷Ⅲ理科第１９题)如图１,在长方体A B C D ＧA １B １C １D １中,点E ,F 分别在棱D D １,B B １上,且２D E ＝E D １,B F ＝２F B １．(１)证明:点C １在平面A E F 内．(２)若A B ＝２,A D ＝１,A A １＝３,求二面角A ＧE F ＧA １的正弦值．此题以长方体为问题背景,通过相应线段的长度关系,证明点在平面内(其实就是证明四点共面)以及求解二面角的平面角的正弦值,改变以往传统的证明直线与平面之间的平行或垂直关系,令人耳目一新．图２２问题破解(Ⅰ)第(１)问的证法如下:证法１:几何法．如图２,在棱C C １上取点G ,使得C １G ＝１２C G ,连接D G ,F G ,C １E ,C １F ．在长方体A B C D ＧA １B １C １D １中,A D ʊBC 且AD ＝B C ,B B １ʊC C １且B B １＝C C １．由C １G ＝１２C G ,B F ＝２F B １,可得C G ＝２３C C １＝２３B B １＝B F ,所以四边形B C G F 为平行四边形,则G F ʊB C 且G F ＝B C ．又B C ʊA D 且B C ＝A D ,所以A D ʊG F 且A D ＝G F ,即四边形A F D G 是平行四边形,则A F ʊD G 且A F ＝D G ．同理可证,四边形D E C １G 为平行四边形,则C １E ʊD G 且C １E ＝D G ．所以C １E ʊA F 且C １E ＝A F ,则四边形A E C １F为平行四边形．因此,点C １在平面A E F 内．证法２:基底法１共面向量定理．在长方体A B C D ＧA １B １C １D １中,B B １ʊC C １ʊD D １且B B １＝C C １＝D D １,结合２DE ＝E D １,BF ＝２F B １,可得E D １＝B F ．由A C １ң＝A C ң＋C C １ң＝A B ң＋A D ң＋D E ң＋E D １ң＝A B ң＋A D ң＋D E ң＋B F ң＝(A B ң＋B F ң)＋(A D ң＋D E ң)＝A F ң＋A E ң,知A ,E ,F ,C １四点共面,所以点C １在平面A E F 内．证法３:基底法２共面向量定理的推论．设D １A １ң＝a ,D １C １ң＝b ,D １D ң＝c ,则D １A ң＝a ＋c ,D １E ң＝２３c ,可得c ＝３２D １E ң,于是a ＝D １A ң－３２D １E ң．由D １F ң＝D １A １ң＋A １B １ң＋B １F ң＝D １A １ң＋D １C １ң＋１３B １B ң＝D １A １ң＋D １C １ң＋１３D １D ң＝a ＋b ＋１３c ＝(D １A ң－３２D １E ң)＋D １C １ң＋１３ˑ３２D １E ң＝D １A ң＋D １C １ң－D １E ң(其中１＋１－１＝１),知A ,E ,F ,C １四点共面,所以点C １在平面A E F 内．图３证法４:坐标法．设A B ＝a ,A D ＝b ,A A １＝c ,如图３所示,以C １为坐标原点,C １D １ң的方向为x 轴正方向,建立空间直角坐标系C １Ｇx yz ．连接C １F ,则C １(０,０,０),A (a ,b ,c ),E (a ,０,２３c ),F (０,b ,１３c ),于８６２０２４年１月上半月㊀试题研究㊀㊀㊀㊀是E A ң＝(０,b ,１３c ),C １F ң＝(０,b ,１３c ),可得E A ң＝C １F ң,因此E A ʊC １F ,即A ,E ,F ,C １四点共面,所以点C １在平面A E F 内．点评:证明空间中的四点共面问题,常见的证明方法就是以上三大类 (１)利用空间几何图形的特征,借助几何法的推理与论证,通过空间问题平面化来证明;(２)利用共面向量定理或推论,借助空间向量的基底法,通过向量的线性运算与转化来证明;(３)利用空间直角坐标系的建立,借助坐标法的运算,通过向量的平行判断与转化来证明等．特别地,对于共面向量定理及其推论,是立体几何中的一个重要的定理,可以用来处理一些与之相关的问题,往往可以使问题处理得更加简捷㊁巧妙．(Ⅱ)第(２)问的解法如下:解:以C １为坐标原点,C １D １ң的方向为x 轴正方向,建立空间直角坐标系C １Ｇx yz ,则由已知可得A (２,１,３),E (２,０,２),F (０,１,１),A １(２,１,０),则A E ң＝(０,－１,－１),A F ң＝(－２,０,－２),A １E ң＝(０,－１,２),A １F ң＝(－２,０,１)．设平面A E F 的法向量为m ＝(x １,y １,z １)．由m A E ң＝０,m A F ң＝０,{得－y １－z １＝０,－２x １－２z １＝０,{取z １＝－１,得x １＝y １＝１,则m ＝(１,１,－１)．设平面A １E F 的法向量为n ＝(x ２,y ２,z ２)．由n A １E ң＝０,n A １F ң＝０,{得－y ２＋２z ２＝０,－２x ２＋z ２＝０,{取z ２＝２,得x ２＝１,y ２＝４,则n ＝(１,４,２)．所以c o s ‹m ,n ›＝m n |m ||n |＝１＋４－２３ˑ２１＝７７．设二面角A ＧE F ＧA １的平面角为θ,则|c o s θ|＝７７,可得s i n θ＝１－c o s ２θ＝４２７．因此,二面角A ＧE F ＧA １的正弦值为４２７．点评:坐标法是求解二面角的平面角的三角函数值问题中一个比较常见的方法,借助空间直角坐标系的建立,以及对应的点㊁向量的坐标的表示,结合相应两半平面的法向量的设置与确定,结合向量的数量积公式的转化与应用来确定相应的二面角的平面角问题．坐标法实现了用代数方法处理立体几何问题中的四点共面㊁线面位置关系㊁空间角㊁距离等几何推理与求解问题．３链接教材以上基于向量的四点共面的判断,其对应的共面向量定理及其推论是数学教材中的一个基本知识点,来源于教材,又服务于证明,可以很好地证明或求解与四点共面有关的数学问题．普通高中课程标准实验教科书«数学 选修２－１»(人教A 版)第８７页:结论１:共面向量定理．空间一点P 位于平面A B C 内的充要条件是存在有序实数对(x ,y ),使A P ң＝xA B ң＋y A C ң．普通高中课程标准实验教科书«数学 选修２－１»(人教A 版)第８８页思考 :结论２:共面向量定理的推论．空间任意一点O 和不共线的三点A ,B ,C 满足向量关系式O P ң＝xO A ң＋y O B ң＋zO C ң(x ＋y ＋z ＝１)的点P 与点A ,B ,C 共面．共面向量定理是共线向量定理在空间中的推广与拓展,共线向量定理用来证明三点共线,共面向量定理用来证明四点共面．４变式拓展图４高考真题㊀(２０２０年高考数学全国卷Ⅲ文科第１９题)如图４,在长方体A B C D ＧA １B １C １D １中,点E ,F分别在棱D D １,B B １上,且２D E ＝E D １,BF ＝２F B １．证明:(１)当A B ＝B C 时,E F ʅA C ;(２)点C １在平面A E F 内．证明:(１)连接B D ,B １D １．因为A B ＝B C ,所以四边形A B C D 为正方形,故A C ʅB D ．又因为B B １ʅ平面A B C D ,于是B B １ʅA C ,而B D ,B B １Ì平面B B １D １D ,所以A C ʅ平面B B １D １D ．因为E F ÌB B １D １D ,所以E F ʅA C ．(２)可以参照上述理科真题第(１)问的证明方法．５解后反思新一轮课程改革的核心就是培育学生的核心素养,发展学生的综合能力．承载着 立德树人㊁服务选才和引导教学 功能的数学高考,应借助试题 情境 的变革,夯实基础,以教材为本并超越教材,着眼于基础知识㊁基本技能㊁基本方法的考查,特别重视对数学思想方法㊁关键能力和学科素养的考查．因而在平时的数学教学与复习中,教师应在拓展延伸中紧扣课本,链接教材,注重归类迁移能力培养,聚焦思维品质,培养关键能力,从而有效实现学生数学素养的渐进式提升．Z９６。
如何利用向量解决高考数学中的几何问题
如何利用向量解决高考数学中的几何问题几何问题在高考数学中占据了相当大的比重，许多同学在几何方面的理解和解题能力都尤为薄弱。
针对这一问题，目前解决的方法有很多，其中较为有效的一种方法是借助向量知识来解决几何问题。
一、向量的基本概念向量可以简单地理解为“有方向的线段”，用字母块表示，如$\vec{a}$、$\vec{b}$等。
向量有两个基本属性，即大小和方向。
向量的大小表示为模，用$|\vec{a}|$表示，表示一个向量的长度，方向表示向量的朝向。
二、向量的加减向量的加法是指将两个向量相加得到一个新向量的过程。
加法满足向量的交换律、结合律和分配律。
具体来说，设$\vec{a}$、$\vec{b}$、$\vec{c}$是三个向量，则：（i）$\vec{a}+\vec{b}=\vec{b}+\vec{a}$（向量加法的交换律）（ii）$(\vec{a}+\vec{b})+\vec{c}=\vec{a}+(\vec{b}+\vec{c})$（向量加法的结合律）（iii）$k(\vec{a}+\vec{b})=k\vec{a}+k\vec{b}$（向量加法的分配律）同样，向量的减法是指将两个向量相减得到一个新向量的过程。
三、向量的数量积和向量积向量的数量积是指将两个向量的模长相乘再乘以它们的夹角余弦值，用$\vec{a}\cdot\vec{b}$或$\langle\vec{a},\vec{b}\rangle$表示，其中$|\vec{a}||\vec{b}|\cos\alpha$表示$\vec{a}$和$\vec{b}$的夹角余弦值，$\alpha$是$\vec{a}$和$\vec{b}$的夹角。
向量的数量积有如下性质：（i）${\vec{a}}\cdot{\vec{b}}={\vec{b}}\cdot{\vec{a}}$（交换律）（ii）${\vec{a}}\cdot({\vec{b}}+{\vec{c}})={\vec{a}}\cdot{\vec{b}}+{\v ec{a}}\cdot{\vec{c}}$（分配律）（iii）${k}\cdot({\vec{a}}\cdot{\vec{b}})=({k}\cdot{\vec{a}})\cdot{\vec{b }}={\vec{a}}\cdot({k}\cdot{\vec{b}})$（数乘结合律）向量积又叫叉乘，用$\vec{a}\times\vec{b}$或$[\vec{a},\vec{b}]$表示，表示一个新的向量，其模长等于$\vec{a}$和$\vec{b}$所组成的平行四边形的面积，方向垂直于$\vec{a}$、$\vec{b}$构成的平面，其方向顺序由右手定则决定。
高考数学难点突破_难点03__运用向量法解题
高考数学难点突破_难点03__运用向量法解题运用向量法解题是高考数学中的一个难点，需要掌握向量的性质和运算规则，并能够灵活运用向量的概念和方法解决问题。
下面将结合具体例题，深入探讨如何突破这一难点。
例题一：已知点A(2,1)，B(4,5)，C(6,3)，求点D使得ABCD为平行四边形。
解析：首先，我们可以使用向量的方法来解决这一问题。
设向量AB 为a，向量AD为b，则向量AC为a+b。
根据平行四边形的性质，向量BD 与向量AC平行且等长，即向量BD与向量AC共线且大小相等。
由向量的定义可知，向量BD=向量AC=(6-2,3-1)=(4,2)。
所以点D的坐标为B的坐标加上向量BD的坐标，即D(4,5)+(4,2)=(8,7)。
通常情况下，解这类问题时可以设A、B、C三点的坐标分别为(x1,y1)，(x2,y2)，(x3,y3)，向量AB为a=(x2-x1,y2-y1)，向量AC为a+b。
然后，我们可以用(x1,y1)+b=(x4,y4)代表点D的坐标。
再将向量BD与AC进行运算，找到满足平行四边形的点D坐标。
例题二：已知直线l的方程为x-2y+3=0，点A(1,2)，求点P使得AP 垂直于直线l。
解析：根据题意，点P在直线l上，假设点P的坐标为(x,y)。
则向量AP=(-1,2)+(x-1,y-2)=(x-2,y)。
由垂直向量的性质可知，向量AP与直线l的法向量垂直。
直线l的法向量为(1,-2)。
因此，AP与(1,-2)的点乘为0，即(x-2,y)•(1,-2)=0。
将点乘展开计算，得到x-2y=2、由此可得到点P的坐标为(x,y)=(2,-1)。
综上所述，使用向量法解题可以使解题过程更加简洁明了。
但是在运用向量法解题时，需要掌握向量的性质，并能够运用垂直、平行、共线和点乘等相关概念来解决不同类型的问题。
同时，我们还需要注意合理地选取坐标系和使用向量的运算规则。
合理地选取坐标系可以简化计算，使问题更具可行性。
一道值得探究的向量高考题
记／（） 、 ｆ ＝２ 厂 （） ＝伍
ａ二 ２ ａ＿ｂ 二 ２ ２
ｅ ］ （ ！ ２ｔ ｎ 一ｂ ）＋ｂ ］
（ “ 一ｂ ）
限 下篇幅 ，更多的解法 ，请读者继续探 究．
二 、 结 论拓 广
＝
（ｂ ａ２ ２） －（
・ ≥ （ 耐 ２
） ＝（ ～ ２
ｍ ＋ １ １
ｍ ＋ ｎ
不 失 一 般 性 ，设 Ｐ ｘ，０ （。 ） （。 ） ＞１ ，
Ａ（ ，Ｙ） （ １ Ｙ ） ｌ １ ，Ｂ ｘ ，一 １．
厂
Ｐ
＝
一 —
—
ｍ ＋ ｎ ‘
［ １ 一 ｍ ＋ ｍ ＋ｎ） ＋ ｍ ＋ （ 一ｎ） ２ ｍ （ ２］
关 键 词 ： 圆 的切 线 ；数 量 积 ； 解 法探 究 ；结 论 拓 广
当且仅 当 ２１ ０ ０年高考数学全 国卷 Ｉ （ 文理科）第 １ 题 如下 ： １
已 知 圆 ０ 的半 径 为 １ Ａ、Ｐ ，Ｐ Ｂ为 该 圆 的 两 条 切 线 ，Ａ、日
：２ｏ２，即 。 ： ｃｓ ￣ ｏ
至此 ，命题得证．
顺 便 指 出 ，通 过 几 何 面板 不 难 发 现 ，在 上 述 命 题 中 ，若 Ｃ
切点弦 Ｂ的方程为
ａ
＋． ｙ ． ｎ ＝１
ｏ
为双曲线 和抛物线时 ， ＿・ 无最大值 ，也无最小值． 蕊
参 考 文献 ：
与 曲线 Ｃ的方 程 联 立 ，得 （ 。 一２ｍ ｍ ＋ｎ） ａ ｘ＋ａ（ 一ｎ） ． ２１ ＝０ 故 。 ： ２ ｍ ＋ ａ
Ｎ ．０ ０ １ ０１ ２ １
Ｊ ｕ ｎ ｌｏ ｈｎ ｓ ｔｅ ｔ ｓ Ｅｄ ｃ ｔ ｎ ｏ ｒ ａ ｆ Ｃ ｉｅ ｅ Ｍａｈ ｍａｉ ｕ ａｉ ｃ ｏ
例析高考试题中平面向量的四大运算策略及教学反思
例析高考试题中平面向量的四大运算策略及教学反思高考数学试题中，平面向量是一个重要的考点。
平面向量的四大运算，包括加法、减法、数量乘法和点乘，是解决向量题目的基础。
本文将通过分析高考试题的形式与内容，探讨四大运算策略的应用，并对教学过程进行反思，以提升学生的理解与应用能力。
一、加法运算策略在高考试题中，平面向量的加法运算常常需要进行分解和合成等处理方式。
在解题过程中，可以遵循以下策略：1. 分析向量所在的直角坐标系，确定其坐标分量。
2. 利用三角函数关系，将向量转化为分解形式。
3. 根据分解的形式进行运算，确定最终的结果向量。
例如，某高考试题如下：已知向量a = (-3, 2)、向量b = (4, -1)，求向量a + b。
解答过程如下：1. 分析向量坐标分量：对向量a，横坐标为-3，纵坐标为2；对向量b，横坐标为4，纵坐标为-1。
2. 进行分解运算：向量a + b = (-3 + 4, 2 - 1) = (1, 1)。
3. 得出最终结果向量：向量a + 向量b = (1, 1)。
通过以上步骤，我们成功地完成了向量的加法运算。
二、减法运算策略平面向量的减法运算是解决向量题目中常见且重要的一种运算。
在减法运算中，我们可以采用以下策略：1. 利用加法的逆运算，将减法转化为加法运算。
2. 根据向量的坐标分量进行相减操作，得到最终结果。
例如，某高考试题如下：已知向量a = (2, 3)、向量b = (-1, 4)，求向量a - b。
解答过程如下：1. 利用加法的逆运算：向量a - 向量b = 向量a + (-1) ×向量b。
2. 进行相减操作：向量a + (-1) ×向量b = (2, 3) + (-1) × (-1, 4)。
= (2, 3) + (1, -4)。
= (3, -1)。
3. 得出最终结果向量：向量a - 向量b = (3, -1)。
通过以上步骤，我们成功地完成了向量的减法运算。
一道高考向量题的多种解法探究
一道高考向量题的多种解法探究
尹杰杰
【期刊名称】《中学数学研究》
【年(卷),期】2015(000)012
【摘要】题目（2008年浙江理9）已知a^→,b^→是平面内的两个互相垂直的单位向量,若c^→满足（a^→-c^→）·（b^→-c^→）=0,则｜c^→｜的最大值是（）.
【总页数】3页(P45-47)
【作者】尹杰杰
【作者单位】广东省仁化中学,512300
【正文语种】中文
【相关文献】
1.一道向量题的多种解法探究 [J], 陈武
2.一道高考向量模长题的多种解法 [J], 何春良
3.一道高考题与一道竞赛题的解法探究 [J], 曾宪安;沈家书
4.一道高考向量题多种解法的思维切入点 [J], 张兴锋
5.转换视角巧妙突破——一道高考平面向量题的多种解法 [J], 何小淳
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例说向量在解高考题中的应用
例说向量在解高考题中的应用
曾维杰
（宜宾县教师进修校 四川宜宾 !""!##）
［中国图书分类号］ $!%%&!
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［文章编号］ (##) * +("" （,##%） (( * ##-, * #(
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在新编高中教材中增加 《平面向量》 ， 是中学数学课程改 革的重大举措之一， 也是教育整体改革的一部分。向量有线 性运算、 数乘和数量积等， 既有线段表达式， 又有坐标表达 式， 具有几何形式和代数形式 “双重身份” ， 是中学数学知识 的一个交汇点和联系多项内容的媒介。向量在解析几何中 的应用更为直接， 特别是与直线部分保持着天然的联系， 在 处理度量、 角度、 平行、 垂直等问题时， 更有其独到之处， 为解 决平面解析几何问题开辟了一条新途径。向量在平面几何、 立体几何和其它知识中也有独辟蹊径的应用。下面举例说 明向量在解高考平面几何、 立体几何和平面解析几何题中的 应用。 一、 向量用于平面几何 例 ( （(+.+ 年全国高考试题） 已知如图， 在直角 ! !"# 中， #$ 是斜边 !" 上的高， $% 是直角 ! #!$ 斜边 !# 上的 !% !#% 高， $& 是直角! "$# 斜边 "# 上的高 & 求证： / & "& "#% 证明： 如图， 0 #! 、 %! 共 线， #" 、 故可设 &" 共线，
! （ /+ 3 /-） ・/0 /+! 4 /-! 3 ! /+ 2 +-! 0 + + 1 ! 1 ! （’ ） （’ ） 0 4 3 ! 5 /+ 5 5 /- 5 -., " + + ) ) 1 1 % 解得： 0 -., 4 3 ! 7 ’ 7 ’ 7 -., " 0 %， "0 3 ) ， 6 6 + + % （3 ） 。 2 所求二面角" 0 89--., ) 三、 向量用于平面解析几何 文科 !" 题） 如图， 设抛物线 例 ) （!""% 年高考理科 %:、 （ 1 ; "） 的焦点为 2 ， 经过点 2 的直线交抛物线于 + 、 0! 0 ! 1" 点 3 在抛物线的准线上， 且 -3 , " 轴。 - 两点， 证明： 直线 +3 经过原点。 + + + + + + +
高考数学运用向量法解题.doc
08高考数学运用向量法解题平面向量是新教材改革增加的内容之一，近几年的全国使用新教材的高考试题逐渐加大了对这部分内容的考查力度，本节内容主要是帮助考生运用向量法来分析，解决一些相关问题.●难点磁场(★★★★★)三角形ABC 中，A (5，－1)、B (－1，7)、C (1，2)，求：(1)BC 边上的中线 AM 的长；(2)∠CAB 的平分线AD 的长；(3)cos ABC 的值.●案例探究［例1］如图，已知平行六面体ABCD —A1B 1C 1D 1ABCD 是菱形，且∠C 1CB =∠C 1CD =∠BCD .(1)求证：C 1C ⊥BD .(2)当1CC CD的值为多少时，能使A 1C ⊥平面C 1BD ？请给出证明.命题意图：本题主要考查考生应用向量法解决向量垂直，夹角等问题以及对立体几何图形的解读能力.知识依托：解答本题的闪光点是以向量来论证立体几何中的垂直问题，这就使几何问题代数化，使繁琐的论证变得简单.错解分析：本题难点是考生理不清题目中的线面位置关系和数量关系的相互转化，再就是要清楚已知条件中提供的角与向量夹角的区别与联系.技巧与方法：利用a ⊥b ⇔a ·b =0来证明两直线垂直，只要证明两直线对应的向量的数量积为零即可.(1)证明：设=a , =b ,1CC =c ,依题意，|a |=|b |，、1CC 中两两所成夹角为θ，于是-==a －b ，CC ⋅1=c (a －b )=c ·a －c ·b =|c |·|a |cos θ－|c |·|b |cos θ=0,∴C 1C ⊥BD .(2)解：若使A 1C ⊥平面C 1BD ，只须证A 1C ⊥BD ，A 1C ⊥DC 1，由)()(1111CC CD AA CA D C CA -⋅+=⋅=(a +b +c )·(a －c )=|a |2+a ·b －b ·c －|c |2=|a |2－|c |2+|b |·|a |cos θ－|b |·|c |·cos θ=0,得 当|a |=|c |时，A 1C ⊥DC 1，同理可证当|a |=|c |时，A 1C ⊥BD ， ∴1CC CD=1时，A 1C ⊥平面C 1BD .［例2］如图，直三棱柱ABC —A 1B 1C 1，底面△ABC 中，CA =CB =1，∠BCA =90°，AA 1=2，M 、N 分别是A 1B 1、A 1A 的中点.(1)求的长；(2)求cos<11,CB BA >的值；(3)求证：A 1B ⊥C 1M .命题意图：本题主要考查考生运用向量法中的坐标运算的方法来解决立体几何问题.属 ★★★★级题目.知识依托：解答本题的闪光点是建立恰当的空间直角坐标系O －xyz ,进而找到点的坐标和求出向量的坐标.错解分析：本题的难点是建系后，考生不能正确找到点的坐标.技巧与方法：可以先找到底面坐标面xOy 内的A 、B 、C 点坐标，然后利用向量的模及方向来找出其他的点的坐标.(1)解：如图，以C 为原点建立空间直角坐标系O －xyz . 依题意得：B (0，1，0)，N (1，0，1)∴|BN |=3)01()10()01(222=-+-+-.(2)解：依题意得：A 1(1，0，2)，C (0，0，0)，B 1(0，1，2). ∴1BA =1),2,1,1(CB -=(0，1，2)11CB BA ⋅=1×0+(－1)×1+2×2=3|1BA |=6)02()10()01(222=-+-+-5)02()01()00(||2221=-+-+-=CB .1030563||||,cos 111111=⋅=⋅<∴CB BC CB BA (3)证明：依题意得：C 1(0，0，2)，M (2,21,21))2,1,1(),0,21,21(11--==A C∴,,00)2(21121)1(1111C A C A ⊥∴=⨯-+⨯+⨯-=⋅∴A 1B ⊥C 1M . ●锦囊妙计1.解决关于向量问题时，一要善于运用向量的平移、伸缩、合成、分解等变换，正确地进行向量的各种运算，加深对向量的本质的认识.二是向量的坐标运算体现了数与形互相转化和密切结合的思想.2.向量的数量积常用于有关向量相等，两向量垂直、射影、夹角等问题中.常用向量的直角坐标运算来证明向量的垂直和平行问题；利用向量的夹角公式和距离公式求解空间两条直线的夹角和两点间距离的问题.3.用空间向量解决立体几何问题一般可按以下过程进行思考： (1)要解决的问题可用什么向量知识来解决？需要用到哪些向量？(2)所需要的向量是否已知？若未知，是否可用已知条件转化成的向量直接表示？(3)所需要的向量若不能直接用已知条件转化成的向量表示，则它们分别最易用哪个未知向量表示？这些未知向量与由已知条件转化的向量有何关系？(4)怎样对已经表示出来的所需向量进行运算，才能得到需要的结论？●歼灭难点训练 一、选择题1.(★★★★)设A 、B 、C 、D 四点坐标依次是(－1，0)，(0，2)，(4，3)，(3，1)，则四边形ABCD 为( )A.正方形B.矩形C.菱形D.平行四边形2.(★★★★)已知△ABC=a ，=b ，a ·b <0，S△ABC =415,|a |=3,|b |=5,则a 与b 的夹角是( )A.30°B.－150°C.150°D.30°或150° 二、填空题3.(★★★★★)将二次函数y =x 2的图象按向量a 平移后得到的图象与一次函数y =2x －5的图象只有一个公共点(3，1)，则向量a =_________.4.(★★★★)等腰△ABC 和等腰Rt △ABD 有公共的底边AB ，它们所在的平面成60°角，若AB =16 cm,AC =17 cm,则CD =_________.三、解答题5.(★★★★★)如图，在△ABC 中，设=a ， =b ， =c ,=λa ,(0<λ<1), =μb (0<μ<1),试用向量a ，b 表示c .6.(★★★★)正三棱柱ABC —A 1B 1C 1的底面边长为a ,侧棱长为2a .(1)建立适当的坐标系，并写出A 、B 、A 1、C 1的坐标； (2)求AC 1与侧面ABB 1A 1所成的角.7.(★★★★★)已知两点M (－1，0)，N (1，0)，且点P 使NM PM ⋅⋅⋅,,成公差小于零的等差数列.(1)点P 的轨迹是什么曲线？(2)若点P 坐标为(x 0,y 0),Q 为PM 与的夹角，求tan θ.8.(★★★★★)已知E 、F 、G 、H 分别是空间四边形ABCD 的边AB 、BC 、CD 、DA 的.(1)用向量法证明E 、F 、G 、H 四点共面； (2)用向量法证明：BD ∥平面EFGH ；(3)设M 是EG 和FH 的交点，求证：对空间任一点O ，有)(41+++=.参考答案难点磁场解：(1)点M 的坐标为x M =)29,0(,29227;0211M y M ∴=+==+- .2221)291()05(||22=--+-=∴AM5)21()15(||,10)71()15(||)2(2222=--+-==--++=D 点分的比为2. ∴x D =31121227,3121121=+⨯+==+⨯+-D y.2314)3111()315(||22=--+-=(3)∠ABC 是与的夹角，而=(6，8），=(2，－5）.1452629291052)5(2)8(6)5()8(26||||cos 2222==-+⋅-+-⨯-+⨯=⋅=∴BC BA BC BA ABC 歼灭难点训练一、1.解析： =(1，2）， =(1，2），∴=，∴∥，又线段AB 与线段DC 无公共点，∴AB ∥DC 且|AB |=|DC |，∴ABCD 是平行四边形，又||=5， =(5，3），||=34，∴||≠|},ABCD 不是菱形，更不是正方形；又=(4，1），∴1·4+2·1=6≠0,∴不垂直于，∴ABCD 也不是矩形，故选D. 答案：D2.解析：∵21415=·3·5sin α得sin α=21,则α=30°或α=150°.又∵a ·b ＜0,∴α=150°. 答案：C二、3.(2,0) 4.13 cm三、5.解：∵与共线，∴=m =m (－)=m (μb －a ), ∴=+=a +m (μb －a )=(1－m )a +m μb①又与共线，∴=n =n (－)=n (λa －b ), ∴=+=b +n (λa －b )=n λa +(1－n )b②由①②，得(1－m ）a +μm b =λn a +(1－n )b .∵a 与b 不共线，∴⎩⎨⎧=-+=-+⎩⎨⎧-==-010111m n m n n m a m μλμλ即③解方程组③得：m =λμμλμλ--=--11,11n 代入①式得c =(1－m )a +m μb =πμ-11［λ(1－μ)a +μ(1－λ)b ］.6.解：(1)以点A 为坐标原点O ，以AB 所在直线为Oy 轴，以AA 1所在直线为Oz 轴，以经过原点且与平面ABB 1A 1垂直的直线为Ox 轴，建立空间直角坐标系.由已知，得A (0，0，0），B (0，a ,0）,A 1(0,0,2a ),C 1(－,2,23aa 2a ). (2)取A 1B 1的中点M ，于是有M (0，2,2aa ），连AM ，MC 1，有1MC =(－23a ,0,0）, 且=(0，a ,0）,1AA =(0,02a )由于1MC ·=0，1MC ·1AA =0，所以M C 1⊥面ABB 1A 1，∴AC 1与AM 所成的角就是AC 1与侧面ABB 1A 1所成的角.∵1AC =),2,2,0(),2,2,23(a aAM a a a =-a a a AC 49240221=++=⋅∴a a a a a a a AC 2324||,324143||22221=+==++=而 2323349,cos 21=⨯>=<∴aa aAM AC所以AM AC 与1所成的角，即AC 1与侧面ABB 1A 1所成的角为30°.7.解：(1)设P (x ,y ）,由M (－1，0），N (1，0）得， =－=(－1－x ,－y ）,-= =(1－x ,－y ), =－NM =(2,0),∴·=2(1+x ), PM ·=x 2+y 2－1,⋅ =2(1－x ).于是，NM PM ⋅⋅⋅,,是公差小于零的等差数列，等价于⎩⎨⎧>=+⎪⎩⎪⎨⎧<+---++=-+03 0)1(2)1(2)]1(2)1(2[211222x y x x x x x y x 即 所以，点P 的轨迹是以原点为圆心，3为半径的右半圆. (2)点P 的坐标为(x 0,y 0),30,1cos 21,3041||cos 42)24)(24()1()1(||||,210220002020*******πθθθ<≤≤<∴≤<-=⋅=∴-=-+=+-⋅++=⋅=-+=⋅x x PNPM x x x y x y x PM y x PM||3cos sin tan ,411cos 1sin 02022y x x =-==∴--=-=∴θθθθθ 8.证明：(1）连结BG ，则+=++=++=+=)(21 由共面向量定理的推论知：E 、F 、G 、H 四点共面，(其中21=EH ） (2）因为21)(212121=-=-=-=. 所以EH ∥BD ，又EH ⊂面EFGH ，BD ⊄面EFGH 所以BD ∥平面EFGH .(3）连OM ，OA ，OB ，OC ，OD ，OE ，OG由(2）知21=，同理21=，所以=，EH FG ,所以EG 、FH 交于一点M 且被M 平分，所以).(41)](21[21)](21[212121)(21OD OC OB OA OG OE OG OE OM +++=+++=+=+=.。
一道高考向量题的几种解题思路
’ ． ．
（ 其 ｎ 中 一
所 以 ｌ 一 √ ． ｌ Ｃ ２
）
即『ｉ ｉａ 号 ， ｃ一 ｎ 十 ＋ ） （
２０ ０ ９年 全 国 卷 Ｉ 理 科 第 ６题 为 ：
ａ ・ｂ — ｎ ・Ｃ— Ｃ ・ｂ＋ Ｃ 一 ０，
Ａ． １ Ｂ ２ ． Ｃ ２ ．√
一
）
（ ｛＋ ｉａ ） ａ ）西ｓ（ ＋ ｎ＋
ｓ（ 号 ， ｉ口 ＋ ） ｎ十
思 路 一 代 数 法
厢
分析 题 目给出 的是两 个 向量 的数量 积 等
于 ０ 那 么 最 直 接 的 想 法 是 根 据 数 量 积 的 分 配 律 ， 将左边 展开．
由（ ａ— ｃ ）・（ ｂ— Ｃ ）一 ０得
。＋ ｙ 一 （ ＯＳ Ｃ Ｇ— ｓｎ ｉ Ｇ）＋ （ ｉ ｇ＋ ｃ ｓ ｓｎ ｏ ａ）
一 ｃ。 ｓ
面 内两 个 相 互 垂 直 的单 位 向量 ， 向量 Ｃ满 足 若
（ ｃ （ —ｃ ａ— ）・ ｂ ）一 ０ 则 ｆ 的 最 大 值 是 （ ， Ｉ ｃ
４ ２
中学数 学教 学
２０ 年 第 ５ ０９ 期
一
道 高考 向量题 的几 种 解题 思 路
西 藏 山 南 职 业技 术 学 校 刘 冬 喜 （ 编 ：５ ０ ０ 邮 ８ ６０ ）
向量 是 数 学 中重 要 的 工 具 ， 有 三 种 表 示 其
法 ， 字母表 示 法 ， 何 表 示法 ， 标 表 示法 ． 即 几 坐 这
，
且ｏ ｏ ｃ － Ｓ ｌ－ ｇ，
，
０
知识 的深 入 挖 掘 ， 而 拓 展 了思 维 的深 度 和 广 从 度 ， 也正 是 高 考命 题 的 出发 点． 数学 教 学 的 这 从
对一道高考向量试题的探究
学工 作 的老 师 ， 理说 有很 多课 题 可做 ， 按 有很 多 问
题 可写 ， 事 留心 皆学 问 ， 凡 我们 身 边课 题 多 多 ， 如
学生 在想 什 么？老 师在 想什 么 ？学生 学 习 中有 什 么 问题 ？哪些 问题 学 生 急 待 解 决 ？等 等 ， 是 可 都
— — 一 一 ‘
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ＡＢ ・ ＡＣ — ｂ Ｏ — ｂ ｃＣ Ｓ Ａ ｃ
线定理 得
ＢＤ
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一 ’ 一百 一 面
由 ６ ｃ 丢 ２ Ｍ 略，以 于 ２ ｎ 证 ） ＋ 一 ＋Ｉ ｌ （ 所 Ａ
・
６ Ｏ・
中学数 学月 刊
２１ ０ ２年第 １ ０期
对一道高考向量试题的探 究
童 益 民 （ 江省 宁波效 实中学 ３ ５ １ ） 浙 １ ０ ２
１ 原 题 呈 现
试 题 （ ０ ２浙江理 １ ） △Ａ ２１ ５在 ＢＣ中 ， 是 Ｍ
— — — —
吉
口。
一
） 一 ．
— — — —
探 究 ２ 设 Ｈ 是 △ Ａ Ｃ 的垂 心 ， ＡＨ ・ Ｃ Ｂ 得 Ｂ
一 ０， ＢＨ ・Ｃ 一 ０， Ａ ＣＨ ・ＡＢ 一 ０．
＋
—— ——＋
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Ａ）一Ｍ Ｂ ・ Ｃ — Ｍ Ｂ ・Ｍ ＿ — Ｍ Ａ ・Ｍ Ｃ ＋ Ｍ Ａ Ｍ Ａ
由 换 得， ．Ｘ＝ 旦 卜 轮 可 一 ｃ 二 Ｂ Ｉ ＝ ＝ ＿
例析高考题中的向量题
■
郭
宝
・
彦
＋
＋
解析 ： 。 ． 。 △ＡＢ Ｃ为 正 三 角 形 ，
・
．
一
碲 ＋辞
．
￣Ａ ＢＤ＝６ ０ 。 ， 一蕊 ＋商 ，
＝
＋
与茄 的夹角为 １ ２ ０ 。 ， ．
一 ．
＝
因此 ， 选 Ｄ．
一 ． （ 蕊 ＋商 ） ＋ ． 茴
读者．
一
点评 ： 对于求形如 ｌ ｘ ａ ＋ ｌ 型的最值
题， 可以先 求 Ｉ ＋ Ｉ 一， ｔ ｚ ａ ＋ ６ 。 ＋ ２ Ａ ・ｂ的 最 值 ， 然后利 用 ｌ 旭＋ ｌ 一
￣ ／ Ａ 口 ＋ ｂ ＋２ ・ ｂ 求得 Ｉ ＋ ｌ 的
例 ５ （ 上海 理） 在 正 三 角 形 ＡＢ Ｃ中 ， Ｄ 是 ＢＣ 上 的点 ， ＡＢ一 ３ ， ＢＤ一 １ ， 则
一
．
Ａ Ｂ Ｃ Ｄ Ｅ Ｆ ￣， 赢 ＋ ＋辞 一（ Ａ ． ０ Ｂ ． 磕 Ｃ ． 解析： 赢 ＋ ＋骨
：
） ． Ｄ ．
图 １
点评 ： 本 题 考 查 平 面 几何 图 形 中的 向 量 求 和 的 问题 ， 这 里 通过 灵活应用向量的平移 、 向量的加法法则求得．
一
同
ｚ ＋ｌ Ｉ ・ ｌ ｌ ｃ ｏ ｓ ｌ ２ ０ 。
二、 求 向量 模 的 （ 最） 值 与 范 围 １ ． 求 向量 模 的 大 小 例 ２ （ 重 庆理 ） 已知 单 位 向 量 Ｐ 、 Ｐ ｚ的 夹 角 为 ６ ０ 。 ， 则
最值 ． 若是坐标形式 ， 通 常 可 转 化 为 求 函数 的最值 问题． 有 时 也 可 根 据 其 几 何 意 义
平面向量5类解题技巧(“爪子定理”、系数和等和线、极化恒等式、奔驰定理与三角形四心问题)试题含答案
平面向量5类解题技巧(“爪子定理”、系数和(等和线)、极化恒等式、奔驰定理与三角形四心问题、范围与最值问题)技法01“爪子定理”的应用及解题技巧“爪子定理”是平面向量基本定理的拓展，用“爪子定理”能更快速求解，需同学们重点学习掌握知识迁移形如AD =xAB +yAC 条件的应用(“爪子定理”)“爪”字型图及性质：(1)已知AB ,AC 为不共线的两个向量，则对于向量AD ，必存在x ,y ，使得AD =xAB +yAC 。
则B ,C ,D 三点共线⇔x +y =1当0<x +y <1，则D 与A 位于BC 同侧，且D 位于A 与BC 之间当x +y >1，则D 与A 位于BC 两侧x +y =1时，当x >0,y >0，则D 在线段BC 上；当xy <0，则D 在线段BC 延长线上(2)已知D 在线段BC 上，且BD :CD =m :n ，则AD =n m +n AB +m m +nAC1(全国·高考真题)设D 为△ABC 所在平面内一点，且BC =3CD ，则()A.AD =-13AB +43ACB.AD =13AB -43ACC.AD =43AB +13ACD.AD =43AB -13AC 2(2023江苏模拟)如图，在△ABC 中，AN =13NC ，P 是BN 上的一点，若AP =mAB +211AC ，则实数m 的值为()A.911 B.511 C.311 D.2111(2022·全国·统考高考真题)在△ABC 中，点D 在边AB 上，BD =2DA ．记CA =m ，CD =n ，则CB =()A.3m -2nB.-2m +3nC.3m +2nD.2m +3n2(全国·高考真题)在△ABC 中，AB =c ，AC =b ．若点D 满足BD =2DC ，则AD =()A.23b +13c B.53c -23b C.23b -13c D.13b +23c 3(2020·新高考全国1卷·统考高考真题)已知平行四边形ABCD ，点E ，F 分别是AB ，BC 的中点(如图所示)，设AB =a ，AD =b ，则EF 等于()A.12a +bB.12a -bC.12b -aD.12a +b 4(全国·高考真题)在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB =()A.34AB -14AC B.14AB -34AC C.34AB +14AC D.14AB +34AC 5(江苏·高考真题)设D 、E 分别是ΔABC 的边AB ，BC 上的点，AD =12AB ，BE =23BC . 若DE =λ1AB +λ2AC (λ1,λ2为实数)，则λ1+λ2的值是技法02系数和(等和线)的应用及解题技巧近年，高考、模考中有关“系数和（等和线）定理”背景的试题层出不穷，学生在解决此类问题时，往往要通过建系或利用角度与数量积处理，结果因思路不清、解题繁琐，导致得分率不高，而向量三点共线定理与等和线巧妙地将代数问题转化为图形关系问题，将系数和的代数运算转化为距离的比例运算，数形结合思想得到了有效体现，同时也为相关问题的解决提供了新的思路，大家可以学以致用知识迁移如图，P 为ΔAOB 所在平面上一点，过O 作直线l ⎳AB ，由平面向量基本定理知：存在x ,y ∈R ，使得OP =xOA +yOB下面根据点P 的位置分几种情况来考虑系数和x +y 的值①若P ∈l 时，则射线OP 与l 无交点，由l ⎳AB 知，存在实数λ，使得OP =λAB 而AB =OB -OA ，所以OP =λOB -λOA ，于是x +y =λ-λ=0②若P ∉l 时，(i )如图1，当P 在l 右侧时，过P 作CD ⎳AB ，交射线OA ，OB 于C ,D 两点，则ΔOCD ∼ΔOAB ，不妨设ΔOCD 与ΔOAB 的相似比为k由P ,C ，D 三点共线可知：存在λ∈R 使得：OP =λOC +(1-λ)OD =kλOA +k (1-λ)OB所以x +y =kλ+k (1-λ)=k(ii )当P 在l 左侧时，射线OP 的反向延长线与AB 有交点，如图1作P 关于O 的对称点P ，由(i )的分析知：存在存在λ∈R 使得：OP =λOC +(1-λ)OD =kλOA +(1-λ)OB 所以OP =-kλOA +-(1-λ)OB于是x +y =-kλ+-k (1-λ)=-k 综合上面的讨论可知：图中OP 用OA ,OB 线性表示时，其系数和x +y 只与两三角形的相似比有关。
从一道高考题谈用向量法解决平面几何问题
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拉巧 ． Ｊ ＩＱＯＵＡ Ｆ 秽 法 Ｉ ￣ ＮＡ黪 Ｅ ｊ ＡＹＦ Ｇ Ｔ［
肚一垣 赢考题 用 譬洼鼷 鸯
◎ 吉智 深 （ 苏省 如 皋 高等 师 范 学校 江 近年 来 的 高 考题 『ｌ Ｉ 了 些 刖 向 量 方 法 解 决 平 面 几 ｝ｌ 跏 叶
何 的题 目． ： 如 ２０ ０ ７年 重 庆 卷 理 ｌ 农 医 第 １ ｌ ０题 ：
行
四边 形． 证 明 （ 量 法 ） 向 由 已 知 可 设 ４日＝ＤＣ ＝Ⅱ。 Ｅ ＝Ｆ ＝ｂ， Ｂ Ｄ 则
— —
题 ． ｉ 角 形 的 ｉ 条 高 相 交 于 一 点 等． 此 ， ¨ 就 何 必 曼 如 我 探 讨 用 向量 解 决 平 面 几 何 问题 过 程 ｌ ， 们 是 要 艘 示 向 量 ｝我 】 这 种新 的 Ｔ具 在 解 决 平 面 几何 问 题 时 强 大 的 功 能 ， 是 把 还 向 量法 作 为 传 统 法 解决 平 面 儿 何 问题 的 种 有 益 的 补 充 和 一
根 １ 据 卜向 的 分 析 ， 者 把 这 道 题 改 成 ｒ一 道 平 而 几 笔 何题 ：
如 Ｊ ， 四 边 形 Ａ Ｃ 中 ， Ｂ ＋Ｂ ＋Ｄ ＝４， Ｂ ・Ｂ ）＋ 到 存 ＢＤ Ａ Ｄ Ｃ Ａ １ ＢＤ ・ＤＣ ＝４， Ｂ 上 ＢＤ， Ｄ 上 ＤＣ， （ Ｂ ＋ ＤＣ） ・Ａ ・ Ａ Ｂ 则 Ａ Ｃ ＣＳ Ｃ Ｂ的 值 为 （ Ｏ Ａ
～ 一 一
删 角
线
否 符 合 《 准 》 出 的 “ 历 用 向 量 方 法 解 决 某 些 简 单 的 平 标 提 经 面 几何 问题 的过 程 ” 要 求 ？ 为 不 少 教 材 和 文 章 都 探 讨 的
了 如 何 应 朋 向 量 来 解 决 传 统 方 法 难 以 证 明 的 平 面 几 何 问
高中向量高考经典大题及解析
高中向量高考经典大题及解析高中向量是高中数学中的一个重要内容，在高考中也是一个重要的考查点。
向量不仅是一种重要的数学工具，也是高中数学中的基础概念之一，与代数、几何、三角等都有着密切的联系。
在高考中，向量通常以解答题的形式出现，难度较大，需要考生认真理解和掌握。
一、向量的概念和基本运算在高中向量中，我们需要了解向量的概念、向量的表示方法、向量的加法、减法、数乘、数量积等基本运算。
这些基本运算不仅是学好向量知识的基础，也是解决向量相关问题的关键。
二、高考经典大题的分类和解析在高考中，向量经典大题通常分为两类：几何问题和代数问题。
1. 几何问题主要考查向量的基本运算、向量的坐标表示、向量的模长、平行和垂直等问题。
需要考生熟练掌握向量的基本概念和运算，同时还要注意向量在不同坐标系下的表示方法和运算规则。
对于这类问题，需要考生认真审题，找出题目中所给的条件，如坐标原点、坐标轴等，从而确定向量的坐标表示和方法。
例题：在平面直角坐标系中，已知点A(0,2)和B(3,0)，点P在坐标轴上，当丨PA丨+丨PB丨最小时，求点P的坐标。
解析：本题考查了向量的基本运算和坐标表示，根据题意可知，点P在x轴上，设点P的坐标为(m,0)，则丨PA丨+丨PB丨=丨(m,2)+(3,0)丨=√(m^2+9)，当m=0时，丨PA丨+丨PB丨最小，此时点P的坐标为(0,0)。
2. 代数问题主要考查向量在解三角形和函数中的应用。
需要考生能够将向量知识与其他数学知识相结合，灵活运用。
对于这类问题，需要考生具备一定的数学思维和解题能力。
例题：在三角形ABC中，已知角A、B、C的对边分别为a、b、c，且满足cosa=(3/5),cosB=(4/5),c=5,求向量AC·AB的值。
解析：本题考查了向量在解三角形中的应用，根据题意可将向量AC·AB转化为关于a、b、c的三角函数，利用三角形的边角关系求解。
三、总结高中向量是高考中的重要内容，需要考生认真学习和掌握。
高考数学复习：利用空间向量证明空间中的位置关系
为
.若存在,求出AE的长;若不存在,请说明理由.
6
【解析】(1)四边形ADD1A1为正方形,连接AD1,A1D∩AD1
=F,则F是AD1的中点,又因为点E为AB的中点,连接EF,则
EF为△ABD1的中位线,所以EF∥BD1.
又因为BD1⊄平面A1DE,EF⊂平面A1DE,
所以BD1∥平面A1DE.
MN∥平面BB1C1C.
2.以下四组向量是平面α,β 的法向量,则能判断
α,β平行的是
(
)
①a=(1,2,1),b=(1,-2,3);
②a=(8,4,-6),b=(4,2,-3);
③a=(0,1,-1),b=(0,-3,3);
④a=(-3,2,0),b=(4,-3,3).
A.①②
B.②③
C.②④
D.①③
2 ,
a
3
2 1
2 2
所以M（a， a， a），N（ a， a，a）．
3 3
3 3
a 2
0， a）．
所以 MN＝（－ ，
3 3
又C1(0,0,0),D1(0,a,0),所以 C1D1 =(0,a,0).
所以 MN·C1D1 =0.所以 MN⊥C1D1 .
因为C1D1是平面BB1C1C的法向量,且MN⊄平面BB1C1C,所以
【解析】选B.因为在②中a=2b,所以a∥b,所以α∥β,
③-3a=b,所以α∥β,而①④a不平行于b,所以α不平
行于β,所以只有②③能判断α,β平行.
3.在直三棱柱ABC-A1B1C1中,BA⊥CA, A1A=BA=CA,点M,N
分别是AC,AB的中点,过点C作平面α,使得α∥A1M,
α∥B1N,若α∩B1C1=P,则 C1P 的值为
数学--从一道向量高考题说起
从一道高考题说起2003年高考江西卷有一道关于向量与三角形重心、垂心、外心、内心结合的试题：0是平面上的一定点，点A 、B 、C 是平面上不共线的三点，动点P 满足[)0(),0,AB AC OP A ABACλλ=++∈+∞，则P 点一定通过△ABC 的（ ）A 、外心、B 、内心C 、重心D 、垂心 解：,AB AC ABAC分别表示,AB AC 方向上的单位向量，设AB AC AM ABAC+=，则AM的方向与∠ABC 的平分线同向，而OP OA AP -=,故[),0,AP AM λλ=∈+∞,由共线定理知，P 点轨迹过△ABC 的内心，选B.这道题既要求考生熟悉三角形的“四心”定义与性质，又要求考生熟练运用向量运算法则与共线定理，新颖别致，富有启发性。
与此相似的题在近几年的各类考试中，更是频频出现，归纳起来，大致有以下三类：一、判定点的轨迹过四心。
以上面题为例，改变等式后，得到以下变式，分别判定P 点轨迹过△ABC 四心中哪一个：变式1.1：[)0(),0,OP A AB AC λλ=++∈+∞变式1.2： [)10(),0,2OP A AB BC λλ=++∈+∞变式1.3：[)0(),0,sin sin AB AC OP A AB B AC Cλλ=++∈+∞变式1.4： [)0(),0,cos cos AB AC OP A AB BAC Cλλ=++∈+∞变式1.5：[)(),0,2cos cos OB OC AB ACOP AB B AC Cλλ+=++∈+∞ 二、 判定符合条件的点为四心中的某一个2．设G 为△ABC 所在平面上一点，且0BC AG CA BG AB CG ++=，则G 为△ABC 的（）A 、外心、B 、内心C 、重心D 、垂心解：()()BC AG CA GB AB GC CA GA AB AB GA AC =+=+++∴()AB AC BC CA AB AG CA AB AB AC CA AB AB CA ⎛⎫++=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭故选B将上例的等式改变成以下条件，得到几个变式，试判定G 点为△ABC 四心中的哪一个：变式2.1：0GA GB GC ++= 变式2.2：222GA GB GC ==变式2.3：GA GB GB GC GC GA ⋅=⋅=⋅三、 用向量与“四心”结合求值3、△ABC 的外心为O ，垂心为H ，()OH m OA OB OC =++，则m=___ 解：边BO 并延长交圆O 于D ，连CD 、AD ，则∠DCB=∠DAB=2π，由外心性质知OB OD =-，由垂心性质知：AH ∥CD ，CH ∥AD ，故四边形ADCH 为平行四边形 AH DC ∴=()()()()OH m OA OB OC m OA OD OC m OA DC m OA AH mOH=++=-+=+=+=∴m=1变式3.1：设G 为△ABC 内一点，1133AG AB AC =+，则△ABG 与△ABC 面积比为________变式3.2：△ABC 的外心为O,1O 为△ABC 三边中点D 、E 、F 构成的△DEF 外心，()1OO m OA OB OC =++，则m=_________ 变式答案与提示：变式 1.1 重心 1.2 重心1.3 重心：()sin sin ,AB B AC C h AP AB AC hλ===+1.4 垂心：()0cos cos AB BC AC BC AP BC AB BAC Cλ⋅⋅⋅=+=1.5 外心变式2.1 重心 2.2 外心 2.3 垂心变式3.1 133.2 12m = ：连OF 并延长至M ，使FM=OF ，连BM ，设BM 中点为G ，则()()2m OA OB OC m OM OB mOG ++=+=，又G 、F 分别为BM 、OM 中点，1,2GF OB =同理可得1111,2222DG AM OC EG CM OA ====，而OA=OB=OC ，故G 为△DEF 外心，与1O 重合。
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一道向量高考题的拓展探究【精品】
考题链接
1：已知向量 a b 1,向量 c 满足 c (a b) a b ，则 c 的
最大值是
．
2：已知向量 a b 1, a b 1 ，向量 c 满足 a b c 1，则 2
c 的最大值是
．
3：已知向量 a xb yc(x, y R) ， a b 2 ，
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反思总结
总结提炼变式拓展，启发学生进一步思考，引导学生自主探索、 合作交流，获得广泛的数学经验.
要引导学生探索数学问题的解题方法，做一题，通一类，会一片.
一道向量高考题的拓展探究【精品】
一道向量高考题的拓展探究【精品】 一道向量高考题的拓展探究【精品】
bB
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题 4. 已知平面向量 a,b,c ，满足 a b 1，且 a b 1 时，
2
向量 a c,b c 的夹角为 600 ，则 c 的最大值_______.
双黄蛋型：
<a,b>+< c - a,c - b>=π
C B
A
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解法 3 ： 代数变形—因式分解
2
b 4eb 3 0
b 3eb e 0
解法 4： 代数变形—极化恒等式
2
b 4eb 3 0
2
2
2b 4e 4e
b b 4e 3
3
4
2
b 2e 1
解法点评
四种证法都是具有代表性的基本方法，也都 是应该掌握的重要方法。后三种方法向量数量积 结合平面几何知识，解法一是坐标法，这是向量 问题最通用的方法。可在具体应用过程中，根据 题目的变化的需要适当进行选择。
c 1, (a c) (b c) 0 ，则 a b 的取值范围是
．
4：已知向量 a b 0 ，向量 c 满足 (a c) (b c) 0 ，a b 5 ，
a c 3 ,则 a c 的最大值是
．
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二、以椭圆为背景的向量题
题 7.(2020 华 茂 外 国 语 学 校 ) 已 知 a b a b 2, ， 且 c tb c a ,t R ，， 则 a 1 b c c a 的 取 值 范 围
4 _______.
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题 8.(2020 信息检测卷)已知单位向量 a, b 满足 a b, ，且 c tb c a ,t R ， 则 c 2b a c a 的 最 小 值 是 _______.
源于高考：
题 1：（2010 浙江理数 16）已知平面向量, ( 0, ) 满 足 1，且 与 的夹角为 120°，则 的取值范围是
__________________ .
题 2：（2017 浙江数 15）
已知向量 a, b 满足 a 1, b 2 ，则 a b a b 的最小值
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三、以球为背景的向量题
题 9．（2020 湖衢丽三市）
已 知 空 间 向 量 a,b,c 两 两 的 夹 角 为 60 ， 且
a b 1，c 2 ，若向量 x,y 满足 x x a x b ， y y a y c 则 x y 的最大值_______..
题 5.(2020 山 水 联 盟 ) 已 知 平 面 向 量 a,b,c ， 满 足
a b c 0 ，且 a,b ，且 a 1, b c 2 ，则cos
的取值范围_______.
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题 6.（2020 年 A9 协作体）已知 a 1, b a b a 4 ，则 b 1 a 的最小值_______.
是
，最大值是
．
设问与解析
（2018 浙江数 9）
已知向量 a, b 是平面向量， e 是单位向量，若非零向量 a
与 e 的夹角为
，向量 b
满足
2
b
4e
b
3
0
，则
a
b
的
3
最小值是
．
解法 1 ：坐标法
解法 2 ： 代数变形—配方
2
b 4eb 3 0
2
b 4eb 4 1
2
b 2e 1
4
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考题链接 2 一道向量高考题的拓展探究【精品】
题 2：（2017 浙江数 15）
已 知 向 量 a, b 满 足 a 1, b 2， 则 a b a b 的 最 小 值
是
，最大值是
．
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三、以抛物线为背景的向量题
几何背景下的向量问题
一道向量高考题的拓展探究
题目呈现
（2018 浙江数 9）
已知向量 a, b 是平面向量， e 是单位向量，若非零向量 a
与 e 的夹角为
，向量 b
满足
2
b
4e
b3
0
，则
a
b
的
3
最小值是
．
说题流程
总结反思
考题编写
变式拓展 背景与立意 设问与解析 引申推广
背景与立意
（2018 浙江数 9）
．
涉及的知识点：
①向量的数量积；
②向量基本定理；
③向量的几何意义；
④向量与几何知识的交
汇。
2.出处与背景
本题出自浙江省 2018 年高考的第 9 题，有一 定的难度。
向量与解析几何的结合分为两大类，一类是用 向量作为工具和方法来解决解析几何题，第二类 是以解析几何定义和性质作为背景的平面向量问 题，向量与轨迹、直线、圆锥曲线等综合问题交 叉渗透。这特别以浙江的向量题多。
这是以圆为背景的向量题
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引申推广 一、以圆为背景的向量题
题 3.已知平面向量 a,b, c ，满足 a 1, b 2 ，且 a,b 600 ，
且 a c b c 0，则 c 的取值范围_______.
数量积式圆：
cC
(c a)(c b) 0
a O A
源于课本（必修 4 P120）： 习题：（1）已知| a | 3 ，| b | 2 ，a 与 b 的夹角为 30 ， 求| a b |,| a b | ． （2）若 a 、 b 、 c 两两所成的角相等， | a | 1,| b | 1,| c | 3 ，则| a b c | 等于_____。
已知向量 a, b 是平面向量， e 是单位向量，若非零向量 a
与 e 的夹角为
，向量 b
满足
2
b
4e
b3
0
，则
a
b
的
3
最小值是
．
1.阐明题意
（2018 浙江数 9）
已知向量 a, b 是平面向量， e 是单位向量，若非零向量 a
与 e 的夹角为
，向量 b
满足
2
b
4e
b3
0
，则
a
b
的
3
最小值是