离散数学第四讲-推理规则与证明方法
离散数学第四章 一阶逻辑基本概念
(1) 非空个体域DI (2) 对每一个个体常项ai, a i DI, 称作ai在I中的解释 (3) 对每一个函数符号fi, 设其为m元的, 元函数, 称作fi在I中的解释
fi 是DI上的m
是一个n元
(4) 对每一个谓词符号Fi, 设其为n元的, Fi 谓词, 称作Fi在I中的解释
25
实例
例4.8 给定解释I 如下: (a) 个体域 D=N (b) a 2 (c) f ( x, y) x y, g ( x, y) xy (d) 谓词 F ( x, y) : x y 说明下列公式在 I 下的含义, 并讨论其真值 (1) xF(g(x,a),x) x(2x=x) 假命题 假命题
合式公式又称谓词公式, 简称公式
21
量词的辖域
定义4.5 在公式xA和xA中, 称x为指导变元, A为相应量 词的辖域. 在x和x的辖域中, x的所有出现称为约束出现， A中不是约束出现的其他变项称为自由出现 例4.6 公式 x(F(x,y)yG(x,y,z)) x的辖域:(F(x,y)yG(x,y,z))， 指导变元为x y的辖域:G(x,y,z)， 指导变元为y x的两次出现均为约束出现 y的第一次出现为自由出现, 第二次出现为约束出现 z为自由出现.
离散数学-命题逻辑-4-左孝凌
主合取范式
⑵ 真值表法：用真值表求主合取范式。 用真值表求主合取范式的步骤如下： ①构造命题公式的真值表。 ②找出公式的成假赋值对应的极大项。 ③这些极大项的析取就是此公式的主合取范式。
主合取范式
例 用真值表法求(p→q)→r的主合取范式。 解：(p→q)→r的真值表是表1-7.7。公式的成假赋值对应 表1-7.7 的大项为： p∨q∨r (成假赋值为000) p∨q∨r (成假赋值为010) p∨q∨r (成假赋值为110) 主合取范式为：
主析取范式
一个命题公式的主析取范式可以由以下两种方法求得： ⑴ 等价演算法：即用基本等价公式推出。 用等价演算法求主析取范式的步骤如下： ① 化归为析取范式。 ② 除去析取范式中所有永假的基本积。 ③ 在基本积中，将重复出现的合取项和相同变元合并。 ④ 在基本积中补入没有出现的命题变元，即添加 ∧(p∨p)，再用分配律展开，最后合并相同的极小 项。
极小项的性质
极小项 p∧q p∧q p∧q p∧q 极小项 p∧q∧r p∧q∧r p∧q∧r p∧q∧r p∧q∧r p∧q∧r p∧q∧r p∧q∧r 表1-7.2 成真赋值 00 01 10 11 表1-7.3 成真赋值 000 001 010 011 100 101 110 111 名称 m0 m1 m2 m3 m4 m5 m6 m7 名称 m0 m1 m2 m3
p
0 0 1 1
q
0 1 0 1
p∧q
0 0 0 1
表1-7.1 p∧q 0 0 1 0
p∧q 0 1 0 0
p∧q 1 0 0 0
极小项的性质
极小项有下列的性质： ⑴ 每个极小项只有一个成真赋值，且各极小项的成真赋值互 不相同。极小项和它的成真赋值构成了一一对应的关系。 可用成真赋值为极小项进行编码，并把编码作为m的下标来 表示该极小项，叫做该极小项的名称。 两个命题变元的极小项、成真赋值和名称如表1-7.2所示。 三个命题变元的极小项，成真赋值和名称如表1-7.3所示。 从表1-7.2和表1-7.3中可以看出，极小项与其成真赋值的 对应关系为：变元对应1，而变元的否定对应0。
离散数学逻辑推理
Proof：
(1) D
P
(2) D ∨ A
P
(3) A
T(1),(2)I
(4) A→ (B→C)
P
(5) B→C
T(3),(4)I
(6) B
P
(7) C
T(5),(6)I
(8) D → C
CP
反证法
反证法的主要思想是：假设结论不成立,可以推出矛盾式。 下面先介绍有关概念和定理。
反证法定义：设有前提集合{H1，H2 ，...，Hn} ，H1，H2 ，...，Hn是相容的，H1 ∧ H2 ∧...∧ Hn C ，当且仅当H1
R ∨ (P ∧ ¬P) R R ∧ (P ∨ ¬P) R R ∨ (P ∨ ¬P) T R ∧ (P ∧ ¬P) F P → Q ¬P ∨ Q ¬(P → Q ) P ∧ ¬Q P → Q ¬Q → ¬P P →(Q → R) (P∧Q ) → R P↔Q (P → Q ) ∧ (Q → P ) P↔Q (P∧Q ) ∨(¬P ∧ ¬Q ) ¬(P↔Q ) P↔¬Q
，H2 ，...，Hn， C是不相容的。
或说H1 ∧ H2 ∧...∧ Hn ∧ C F（永假式）。
【example】 P→Q, (Q∨R)∧R, (P∧S) S
Proof：
(1) S
P(假设前提)
(2) S
T (1)E
(3) (P∧S) P
(4) P∨S
T (3)E
我们可把不相容的概念应用于命题公式的证明。
设有一组前提H1, H2，…, Hm 要推出结论C,即证 H1∧H2∧....∧Hm C，记作SC，即 C → S为永真，或 C ∨ S为永真，故 C ∧ S为永假。
离散数学命题逻辑推理理论
构造性二难
(A®B)Ù(ØA®B) Þ B
构造性二难(特殊形式)
(A®B)Ù(C®D)Ù( ØBÚØD) Þ (ØAÚØC) 破坏性二难
自然推理系统P
自然推理系统P由下述3部分组成:
1、 字母表
命题变项符号: p,q,r,…,
pi,qi,ri,…
联结词:
,
,
,
,
括号与逗号: ( ), , 2、 合式
明天就是5号、 解 设 p: 今天就是1号, q: 明天就是5号 推理得形式结构为 (p®q)Ùp®q 证明 用等值演算法
(p®q)Ùp®q Û Ø((ØpÚq)Ùp)Úq Û ((pÙØq)ÚØp)Úq Û ØpÚØqÚq Û 1
得证推理正确
实例( 续 )
(2) 若今天天冷,小王就穿羽绒服。小王就穿羽绒服。 所以, 今天天冷。
r:我有课,
s:我备课
前提: (pÚq)®r, r®s, Øs
结论: ØpÙØq
实例( 续 )
前提: (pÚq)®r, r®s, Øs
结论: ØpÙØq
证明 ① r®s ② Øs ③ Ør ④ (pÚq)®r
前提引入 前提引入 ①②拒取式 前提引入
Ø(pÚq)
③④拒取式
⑥ ØpÙØq
置换
结论有效, 即明天不就是星期一与星期三
公式
3. 推理规则
前提引入规则
结论引入规则
置换规则
自然推理系统P(续)
(4) 假言推理规则 A®B A
\B (5) 附加规则
A \AÚB (6) 化简规则
AÙB \A
(7) 拒取式规则 A®B ØB
\ØA (8) 假言三段论规则
A®B B®C
离散数学证明方法有哪些
离散数学证明方法有哪些离散数学中的概念和定理偏多，思维较抽象，证明强调技巧性但改变不多。
下面我给大家整理了关于离散数学证明方法，盼望对你有协助!1离散数学证明方法离散数学是现代数学的一个重要分支，是计算机科学中根底理论的核心课程。
离散数学以探究离散量的构造和相互间的关系为主要目标，其探究对象一般地是有限个或可数个元素，因此他充分描述了计算机科学离散性的特点。
2离散数学证明方法干脆证明法干脆证明法是最常见的一种证明的方法，它通常用作证明某一类东西具有一样的性质，或者符合某一些性质必定是某一类东西。
干脆证明法有两种思路，第一种是从确定的条件来推出结论，即看到条件的时候，并不知道它怎么可以推出结论，那么可以先从确定条件遵照定理推出一些中间的条件(这一步可能是没有目的的，要看看从确定的条件中能够推出些什么)，接着，选择可以推出结论的那个条件接着往下推演;另外一种是从结论反推回条件，即看到结论的时候，首先要反推一下，看看从哪些条件可以得出这个结论(这一步也可能是没有目的的，因为并不知道要用到哪个条件)，以此类推始终到确定的条件。
通常这两种思路是同时进展的。
反证法反证法是证明那些“存在某一个例子或性质”，“不具有某一种的性质”，“仅存在”等的题目。
它的方法是首先假设出所求命题的否命题，接着依据这个否命题和确定条件进展推演，直至推出与确定条件或定理相冲突，那么认为假设是不成立的，因此，命题得证。
构造法证明“存在某一个例子或性质”的题目，我们可以用反证法，假设不存在这样的例子和性质，然后推出冲突，也可以干脆构造出这么一个例子就可以了。
这就是构造法，通常这样的题目在图论中多见。
值得留意的是，有一些题目其实也是本类型的题目，只不过比拟隐藏罢了，像证明两个集合等势，事实上就是证明“两个集合中存在一个双射”，我们即可以假设不存在，用反证法，也可以干脆构造出这个双射。
数学归纳法数学归纳法是证明与自然数有关的题目，而且这一类型的题目可以递推。
离散数学---推理理论
名称
西 华
化简式
大
学 附加式
制 作
假言推理
拒取式
析取三段式
假言三段式
等价三段式
二难推论
基本蕴涵式
蕴涵关系式
A∧BA (A→B) A
A∧BB
(A→B) B
AA∨B AA→B
BA∨B BA→B
(A→B) ∧AB
(A→B) ∧ B A
(A∨B) ∧ AB
(A→B) ∧(B→C) A→C
A∧ B
B
(简化式）
推理过程的证明形式
规范化的形式：
西 华
序号
公式
理由
大 学
①
B1
E 或 I 或 P 或 …的合取 或 cp
制 作
②
B2
..
③
B3
..
……
注意：1)并非B1B2B3 2)Bi的获取：前提、中间结论
构造下列的推理的证明：
前提：P∨Q,P→ R,S→M,S→R, M
西 华 大 学
制
作 形式系统
自然推理系统P
自然推理系统
特点：可以从任意给定的前提出发，
应用系统中的推理进行推演，得到 的结论在系统中被认为是有效的。
公理系统
特点：只能从几个给定的公理出发， 应用系统中的推理规则进行推演， 得到的结论是系统中的定理。
自然推理系统P
自然推理系统P定义如下：
1.字母表
归纳证明
归谬法(反证法)
附加前提证法
(CP)
西 华
针对这种情况：
大 学
前提： A1，A2，…，An
制 结论： A→B
作
前提： A1，A2，…，An ，A 结论： B
离散数学推理的三要素
离散数学推理的三要素1.推理的形式结构（1）定义3.1：设A1，A2，A3...AK和B都是命题公式，若对于A1，A2，A3...AK和B中出现的命题变项的任意一组赋值，或者A1，A2，A3...AK为假，或者当A1，A2，A3...AK为真是，B也为真，则称由前提A1，A2，A3...AK推出结论B的推理是有效的或正确的，并称B是有效的结论。
由上面的推论可知，推理正确的并不能保证结论B一定成立，因为前提可能就不成立。
这与我们通常理解的推理是不同的。
通常只能认为在正确的前提下推出正确的结论才是正确的推理，而在这里，如果前提不正确，不论结论正确与否，都说推理正确。
（2）定理3.1：命题公式A1，A2……AK推导B的推理正确当且仅当A1，A2……AK>B为重言式。
要把推理的形式写成：前提：A1，A2……AK结论：B2自然推理系统P本节由前提A1，A2……，AK推B的正确推理的证明给出严格的形式描述。
“证明”是一个描述推理过程的命题公式序列，其中的每个公式或者是已知前提，或者是由前面的公式应用推理规则得到的结论（中间结论或推理中的结论）。
（1）定义3.2：一个形式系统I由下面4个部分组成：非空的字母表A（I）；A（I）中符号构造的合式公式集E（I）E（I）中一些特殊的公式组成的公理集Ax（I）推理规则R（I）将I记为四元组<A（I）,E（I）,Ax（I）,R（I）>.其中<A（I）,E （I）>是I的形式语言系统，而<Ax（I），R（I）>为I的形式演算系统。
形式系统一般分为两类：一类是自然推理系统，它的特点是从任意给定的前提出发，应用系统中的推理规则进行推理演算，最后得到的命题公式是推理的结论（它是有效的结论，尔肯那个是重言式，也可能不是重言式）。
另一类是公理推理系统，他只能从若干条给定的公里出发，应用系统中的推理规则进行推理演算，得到的结论是系统中的重言式，成为系统中的定理。
1.5推理规则和证明方法
离散数学Discrete Mathematics数理逻辑 1.5 推理规则与证明方法张晓 西北工业大学计算机学院 zhangxiao@ 2011-1-10引言什么时候数学论证是正确的？ 用什么方法来构造数学论证？ 数理逻辑的主要任务是用数学的方法来研究推理过 程。
所谓推理是指从前提出发推出结论的思维过程 前提是已知命题公式集合，结论是从前提出发应用 推理规则推出的命题公式。
要研究推理就应该给出推理的形式结构，为此，首 先应该明确什么样的推理是有效的或正确的。
2011-1-10离散数学21.5.1推理规则前几节所讲的命题演算, 本质上和简单的开 关代数一样, 简单的开关代数是命题演算的 一种应用。
现在, 我们从另一角度研究命题演算, 即从 逻辑推理角度来理解命题演算。
2011-1-10离散数学34个推理的例子设x属于实数, P: x是偶数, Q: x2是偶数。
例1 如果x是偶数, 则x2是偶数。
前提 x是偶数。
x2是偶数。
例2 如果x是偶数, 则x2是偶数。
x2是偶数。
2011-1-10P→Q P结论∴Q在每一例子中, 横线上的是前提, 横线下的是结论。
右侧是例子的 逻辑符表示。
P→Q Qx是偶数。
离散数学∴P4例3 如果x是偶数, 则x2是偶数。
x不是偶数。
x2不是偶数。
例4 如果x是偶数, 则x2是偶数。
x2不是偶数。
x不是偶数。
2011-1-10 离散数学P→Q P ∴ QP→Q Q ∴ P5例 1 中, 若不管命题的具体涵义, 那么它所应用的推理规则 就是 左侧规则的另一P →Q P ∴ Q种写法所对应的永真蕴 含式。
P ,P → Q 推得 QP∧(P→Q) ⇒ Q从这个永真蕴含式可看出, 它正是代表“如果 P 并且 P→Q 是真, 则 Q是 真”的意义, 这里P和Q表示任意命题。
它恰好代表左侧的推理规则。
这条推理规则叫假言推理, 从形式上看 结论Q是从P→Q中分离出来的, 所以又叫分离规则。
离散数学知识点整理
离散数学一、逻辑和证明1.1命题逻辑命题：是一个可以判断真假的陈述句。
联接词：A、V、一、f「。
记住“p仅当q”意思是“如果p,则q"，即p-。
记住“q除非p”意思是“」p-q”。
会考察条件语句翻译成汉语。
构造真1.2语句翻译系统规范说明的一致性是指系统没有可能会导致矛盾的需求，即若pq无论取何值都无法让复合语句为真，则该系统规范说明是不一致的。
1.3命题等价式逻辑等价：在所有可能情况下都有相同的真值的两个复合命题，可以用真值表或者构造新的逻辑等价式。
证逻辑等价是通过p推导出q,证永真式是通过p推导出T。
(p—r)A(q-r) = (pVq)-r(p—q)V(p-r) = p—(qVr)(p—r)V(q-r) = (pAq)-r双条件命题等价式pf = (pfq) A (qfp)pf = -pfqpf Q (pAq) V(-pA-q)「(pf) = pfq1.4量词谓词+量词变成一个更详细的命题，量词要说明论域，否则没有意义，如果有约束条件就直接放在量词后面，如V x>0P(x)。
当论域中的元素可以一一列举，那么V xP(x)就等价于P(x1)AP(x2)...A P(xn)。
同理，3 xP(x)就等价于 P(x1)VP(x2)...VP(xn)。
两个语句是逻辑等价的，如果不论他们谓词是什么，也不论他们的论域是什么，他们总有相同的真值，如V x(P(x)AQ(x))和(V xP(x)) A (V xQ(x))。
量词表达式的否定：「V xP(x) Q 3 x-P(x),「3 xP(x) Q V x-P(x)。
1.5量词嵌套我们采用循环的思考方法。
量词顺序的不同会影响结果。
语句到嵌套量词语句的翻译，注意论域。
嵌套量词的否定就是连续使用德摩根定律，将否定词移入所有量词里。
1.6推理规则一个论证是有效的，如果它的所有前提为真且蕴含着结论为真。
但有效论证不代命题和量化命题的组合使用。
二、集合、函数、序列、与矩阵2.1集合£说的是元素与集合的关系，^说的是集合与集合的关系。
离散数学第四讲-推理规则与证明方法
*
运用推理规则形式化证明
1). 无义证明法 证明 P Q为真，只需证明P为假。 2). 平凡证明法 证明 P Q为真，只需证明Q为真。 无义证明法和平凡证明法应用的次数较少, 但 对有限的或特殊的情况, 它们常常是重要的。
结论:从前提出发，应用推理规则推出的命题公式。
什么是推理？ 推理规则 推理
*
推理的例子：设x属于实数, P: x是偶数, Q: x2是偶数。
例3. 如果x是偶数, 则x2是偶数。 x不是偶数。 x2不是偶数。
例2. 如果x是偶数, 则x2是偶数。 x2是偶数。 x是偶数。
例4. 如果x是偶数, 则x2是偶数。 x2不是偶数。 x不是偶数。
*
8. 反证法（又称归谬法、矛盾法） 定理：设{H1, H2, … , Hn}是一致的, C是一命题公式, 如果{H1, H2, …, Hn, ¬ C}非一致, 则能从H1 , H2, … , Hn推出C，即H1∧H2∧ …∧Hn C 。
3.证明方法
3.证明方法
#2022
*
7.分情况证明 证明 P1 P2 … Pn Q ， 只需证明对每一i，Pi → Q成立。
3.证明方法
#2022
*
Байду номын сангаас3.证明方法
反证法（又称归谬法、矛盾法） 定义：设公式H1, H2, … , Hm中的原子命题变元是P1, P2, … , Pn, 如果给P1, P2, … , Pn以某一 指派, 能使H1∧H2 … ∧Hm的真值为真, 则称命题公式集合{H1, H2, … , Hm}是一致的, 否则称为非一致的。 这个定义也可这样叙述: 若H1∧H2∧…∧Hm R∧¬R, 则{H1, H2, … , Hm}是非一致的, 否则是一致的。
推理理论中的推理规则(离散数学)
推理理论中的推理规则（离散数学）推理理论是一个研究推理方法与规则的学问，其中推理规则是重要的一部分。
推理规则是指在一定的条件下，由一个或多个命题出发，推出另一个命题的规则。
在离散数学中，推理规则包括一些基础的规则和一些复杂的规则。
1. 充分必要条件充分必要条件是指一个命题P能成立的充分必要条件是命题Q 成立。
即P⇔Q。
这里的充分必要条件是指两个命题是等价的，即当且仅当P成立时Q成立，Q成立时P也成立。
例如，一个三角形是等腰三角形的充分必要条件是它有两个相等的角。
2. 反证法反证法是一种常用的推理规则，它常用于证明一个命题的反命题成立。
即假设命题P不成立，通过推理得到矛盾，从而证明了P成立。
例如，证明“所有偶数都不是素数”这个命题可以采用反证法，假设有一个偶数是素数，然后推导出矛盾，从而证明“所有偶数都不是素数”。
3. 等价变形等价变形是指在推理过程中将命题变形成等价的命题。
例如，将P∧Q推导为Q∧P是一种等价变形。
等价变形可以通过逻辑符号的转换、语法规则的变换等方式实现。
4. 全称推理全称推理是指从一个全称命题出发，推出另一个全称命题。
例如，从“对于任意一个自然数n，n+1>n”这个全称命题可以推出“对于任意一个自然数m，m+2>m”。
5. 假言推理假言推理是指从一个条件命题和它的前件出发，推出它的后件的命题。
例如，从“如果今天下雨，那么他就不去逛公园。
今天不下雨”这两个命题可以推出“他会去逛公园”。
6. 假命题推理假命题推理是指从一个假命题出发进行推理，最终得到矛盾。
例如，从假设“1=2”出发，我们可以通过推导得到矛盾，并证明1不等于2。
7. 归谬法归谬法是指从前提推导出矛盾的方法，一般用于证明前提错误的情况。
例如，如果要证明“所有汉语拼音都是辅音加韵母”这个命题是错误的，可以通过归谬法证明，即找出一个汉语拼音不符合这个规则。
8. 消解法消解法是推理中常用的一种方法，可用于在两个命题中推导得到新的命题。
离散数学逻辑推理
常见的蕴涵规则表
P∧QP P∧QQ P P ∨ Q
P,Q P ∧ Q ¬P, P ∨ Q Q P, P → Q Q
QP∨Q
¬Q, P → Q ¬P
¬P P → Q QP→Q ¬(P → Q ) P ¬(P → Q ) ¬Q
P → Q, Q → R P → R P ∨ Q, P → R, Q → R R A → B (A∨ C ) →(B ∨ C) A → B (A ∧ C ) →(B ∧ C)
T (1) I1 T (1) I2 P
(5) (Q∧Ｒ (6) Q∨R (7) Q (8) P→Q
T(3)(4) I12 T (5) E8 T (2)(6) I10 P
(9) P
T (7)(8) I12
(10)(R∧S)→P CP
【example】 A→ (B→C), D ∨ A, B D → C。
【example】求证 P→Q，Q→R，P R Proof：
序号 前提或结论 所用规则 从哪几步得到 所用公式
(1)
P
P
(2)
PQ P
(3)
Q
T
(4)
Q→R P
(1)(2) I11
(5)
R
T
(3)(4)
I11
（注公式I11为： P,P→Q Q ）
【example】证明(P ∨ Q) ∧ (P → R) ∧ (Q → S) S ∨ R.
CP规则
间接证法的另一种情况是：
若要证H1∧H2∧....∧Hm (R →C)。设H1∧H2∧....∧Hm为S ，即证S (R →C)或S (R ∨ C)，故S → (R ∨ C)为永真 式。
因为S → (R ∨ C) S ∨ (R ∨ C) (S ∨ R) ∨ C (S∧R) ∨ C (S∧R) → C ,
概率论-第四讲 推理规则和证明方法
18
三、证明方法
8. 反证法（又称归谬法、矛盾法） 定义：设公式H1, H2, … , Hm中的原子命题变元是 P1, P2, … , Pn, 如果给P1, P2, … , Pn以 某一指派, 能使H1∧H2 … ∧Hm具有真值T, 则称命题公式集合{H1, H2, … , Hm}是一致的, 否则称为非一致的。 这个定义也可这样叙述: H1∧H2∧…∧Hm ⇒ R∧¬R, 则{H1,H2, … , Hm} 是非一致的, 否则是一致的。
16
三、证明方法
例8：证A→(B→ C)，¬ D∨ A，B ⇒ D→C 证： (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) D ¬ A A B B C D D ∨ A →(B → C) → C P（附加前提） P T,(1),(2),I5 P T,(3),(4),I3 P T,(5),(6),I3 CP
20
三、证明方法
例9: P ∧ Q → R, ¬ R∨ S, ¬ S ⇒ ¬ P ∨ ¬Q ¬ P P R ¬ S ¬ S (¬ P ∨ ¬Q) ∧ Q ∧ Q → R R∨ S S ∧ ¬ S P,假设前提 T,(1),E10,E P T,(2),(3),I3 P T,(4),(5),I5 P T,(6),(7),合取式
P→Q，R→ ¬ Q，R ⇒ ¬ P （1） R P,前提3 （2） R→ ¬ Q P,前提2 （3） ¬ Q T,(1),(2),I3 （4） P→Q P,前提1 （5） ¬ P T,(3),(4),I4
12
三、证明方法
1. 无义证明法 证明 P ⇒ Q，只需证明P为假。 2. 平凡证明法 证明 P ⇒ Q，只需证明Q为真。 无义证明法和平凡证明法应用的次数较少, 但对有限 的或特殊的情况, 它们常常是重要的。
离散数学---推理理论共19页
大学⑴
p
制作⑵ p ((r∧s)q)
p规则 p规则
⑶ (r∧s)q
⑴⑵I
⑷ s
p规则
⑸ s ∨ r
⑷I
⑹ (r∧s)
⑸E
⑺ q
⑶⑹I
西 华 大 学 制 作
推理证明
推理证明的方法
前提的合取→结论 是永真式
演绎证明 直接证明法 附加前提证法 (CP)
间接证明法
归纳证明
归谬法(反证法)
附加前提证法
(CP)
一、有效论证与推理规则
西 华
• 定义：A1∧A2∧…∧An→A,其为永真式，则称 前提A1,A2,…,An得到有效结论A；从前提公式得
大 到有效结论的过程称为正确推理。
学
制 • 若AB是永真式，则记为AB；
作
•
若A→B是永真式，则记为AB。
• 前提一致和不一致：
• 如果前提A1∧A2∧…∧An为可满足式，则 为前提A1,A2,…,An一致。
西华大学(((453)))...如如午果夜果李时李四屋四证内证词灯词不灭正正了确确。，，则则午作夜案时时屋间内在灯午光夜未前灭；；
设 P:张三盗窃录像机； Q:李四盗窃录像机; R:作案时间发生在午夜前； S:李四证词正确； M:午夜时灯光未灭。
制 作 则前提为: (1) P∨Q,
(2)P→ R, (3)S→M,
结论：Q。
西 华
证： ① M
大
学
② S→M
制 作
③ S
④ S→R
P
P ①② I拒取式 P
⑤R
③ ④ I假言推理
⑥ P→ R
P
⑦ P
⑤ ⑥I拒取式
⑧ P∨Q
离散数学中的逻辑推理方法
离散数学中的逻辑推理方法逻辑推理是离散数学中的重要概念，它是一种通过推理和论证来得出结论的方法。
逻辑推理在数学、计算机科学、哲学等领域都有广泛的应用。
本文将探讨离散数学中的逻辑推理方法，包括命题逻辑、谓词逻辑和推理规则。
命题逻辑是逻辑推理的基础，它研究的是命题之间的关系。
命题是陈述一个明确的陈述句，可以是真或假。
命题逻辑使用逻辑运算符来连接命题，包括合取、析取、蕴含和等价。
合取表示“且”，析取表示“或”，蕴含表示“如果...则”，等价表示“当且仅当”。
通过这些逻辑运算符，我们可以对命题进行逻辑推理。
谓词逻辑是命题逻辑的扩展，它研究的是命题中的变量和量词。
谓词逻辑引入了谓词符号和量词符号。
谓词符号表示一个命题中的属性或关系，而量词符号表示命题的范围。
谓词逻辑使用量词来限定变量的取值范围，包括全称量词和存在量词。
全称量词表示对于所有的变量都成立，存在量词表示存在一个变量成立。
通过谓词逻辑，我们可以推理出更加复杂的命题。
在逻辑推理中，我们可以使用一些推理规则来推导出新的命题。
其中最常用的推理规则有假言推理、析取三段论和拒取三段论。
假言推理是通过蕴含关系来推导新的命题。
如果我们知道一个条件蕴含另一个条件，那么我们可以推导出新的条件。
析取三段论是通过两个条件的析取来推导出一个新的条件。
拒取三段论是通过两个条件的否定来推导出一个新的条件。
这些推理规则可以帮助我们在逻辑推理中得出正确的结论。
除了推理规则，逻辑推理还涉及到一些重要的概念，如充分必要条件和等价条件。
充分必要条件是指一个条件是另一个条件的必要条件，同时另一个条件也是这个条件的充分条件。
等价条件是指两个条件互相蕴含，即一个条件成立时另一个条件也成立。
通过理解这些概念，我们可以更好地进行逻辑推理。
总之，离散数学中的逻辑推理方法是一种通过推理和论证来得出结论的方法。
命题逻辑和谓词逻辑是逻辑推理的基础，通过逻辑运算符和量词来连接和限定命题。
推理规则和重要概念如充分必要条件和等价条件可以帮助我们进行逻辑推理。
离散数学逻辑推理规则
离散数学逻辑推理规则
嘿，朋友们！今天咱们来聊聊离散数学里的逻辑推理规则。
啥是离散数学的逻辑推理规则呢？简单说，就是在离散数学这个领
域里，咱们怎么根据已知的条件和信息，有理有据地推出新的结论。
先来说说允许的行为哈。
比如说，咱们可以根据给定的命题和已经
证明过的定理，一步一步地推导。
就像搭积木一样，一块一块稳稳地
往上加，只要每一步都有理有据，那就是被允许的。
再说说禁止的行为。
可千万别乱猜！不能毫无根据就得出结论，这
就像闭着眼睛走路，容易摔跟头。
也不能随便否定已经被严格证明过
的定理和规则，不然整个推理的大厦可就要摇摇欲坠啦。
举个例子哈，如果已知“所有的猫都会抓老鼠”，又知道“小花是一只猫”，那咱们就能得出“小花会抓老鼠”的结论。
这就是合理的推导。
但
要是说“因为我觉得小花长得可爱，所以它会抓老鼠”，这可就不行啦，这完全没逻辑嘛！
为啥要有这些规则呢？这就好比咱们玩游戏得有游戏规则，不然就
乱套啦。
在离散数学里，有了明确的逻辑推理规则，才能保证咱们得
出的结论是可靠的，是能站得住脚的。
而且哦，掌握好这些规则，能让咱们的思维更加清晰，解决问题更
加有条理。
就像在迷宫里有了地图，能更快找到出口。
总之呢，离散数学的逻辑推理规则很重要，咱们要遵守允许的，避开禁止的，这样才能在离散数学的世界里畅游，得出准确又靠谱的结论！好啦，希望大家都能玩转这些规则，在离散数学里玩得开心！。
15推理规则与证明方法ppt课件
7
NUIST 3 主析取范式法
((P→➢Q)∧P)→ ➢Q ((➢P∨➢Q)∧P)→ ➢Q (P∧Q)∨ ➢P∨ ➢Q (P∧Q)∨(➢P∧(Q∨➢Q) )∨( (P∨➢P)∧➢Q) (P∧Q)∨(➢P∧Q)∨(➢P∧➢Q)∨(P∧➢Q)∨(➢P∧➢Q) (➢P∧➢Q)∨(➢P∧Q)∨(P∧➢Q)∨(P∧Q) ∑(0,1,2,3 )
因此 (*) 是永真式，推理正确。
8
NUIST 4 指派分析法 (永真蕴含式)
即要判别(P→➢Q)∧P ➢Q 证明：假设前件(P→➢Q)∧P 为真，
那么P为真，且(P→➢Q)为真，所以➢Q 为 真。
故(P→➢Q)∧P ➢Q成立， 推理正确。 基于定义进展推理的缺乏： 1 假设命题公式的变元较多，以上四种方法都不方便 。 (n个变元， 2n种指派) 2 与自然生活和传统数学中的推理方式无一样之处。 3 过于机械，对培育推理才干和推理技巧毫无协助。
建立逻辑学的主要目的在于探求出这一套完好的规那么， 按照这些规那么，就可以确定任何特定论证能否有效。
1
一、推理的根本概念
NUIST
设H1,H2,…,Hm(ｍ≥１)和Ｃ都是命题公式。 假设( H1∧H2∧ … ∧Hm ) →Ｃ为永真式，
即 H1∧H2∧ … ∧Hm Ｃ， 称由前提H1,H2,… ,Hm推出结论C的推理正确(有效)。
证明1：反证法
⑴ ➢(A→➢C)
P〔假设前提〕
⑵ A∧C
⑴, T
⑶A
⑵, T
于
14
NUIST
例1-5-4 证明 R∨S是前提C∨D，C→R，D→S的
有效结论，即证明：
(C∨D)∧(C→R)∧(D→S)(R∨S)。
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5
1、推理和推理规则
常用的推理规则
1) 恒等式(E1~E24)
2) 永真蕴含式(I1~I8,表1.5-1)
3) 替换规则，代入规则 4) P规则和T规则
P规则：(前提引入)
在推导的任何步骤上，都可以引入前提。
T规则：(结论引用)
在推导任何步骤上所得结论都可以作为后继证明的前提。
6
表 1.5-1
永真 永真 永真 永真 永真 永真
13
3. 证明方法
利用CP规则证明以下例题 例3：证A →(B → C)， ¬ D A，B D → C
证： (1) D P（附加前提） (2) ¬ D A P (3) A T,(1),(2),I5 (4) A →(B → C) P (5) B → C T,(3),(4),I3 (6) B P (7) C T,(5),(6),I3 (8) D → C CP规则
18
作业： P32 1.5习题 5(5)、 8(3)(4)、 9(1)、 11(1)、 12(4)、 15(3)
19
3. 证明方法
例5：(P Q) (P → R) (Q → S) S R 证: (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11) (12) ¬( S R) ¬S ¬R ¬S (P Q) (P → R) (Q → S) Q→S ¬Q PQ P P→R R ¬R R ¬R P,假设前提 T,(1),E10 T,(2),I2 P T,(4),I2 T,(3),(5),I4 T,(4),I2 T,(6),(7),I5 T,(4),I2 T,(8),(9),I3 T,(2),I2 T,(10),(11),合取式
证： 步骤 断言(真) 根 据
（1） （2） （3） （4） （5）
R R→ ¬ Q ¬Q P→Q ¬P
P P T,(1),(2),I3 P T,(3),(4),I4
9
3. 证明方法
1). 无义证明法 证明 P Q为真，只需证明P为假。 2). 平凡证明法 证明 P Q为真，只需证明Q为真。 无义证明法和平凡证明法应用的次数较少, 但 对有限的或特殊的情况, 它们常常是重要的。
永真 永真 永真 永真 永真
15
3. 证明方法
8. 反证法（又称归谬法、矛盾法）
定义：设公式H1, H2, … , Hm中的原子命题变元是P1, P2, … , Pn, 如果 给P1, P2, … , Pn以某一 指派, 能使H1∧H2 … ∧Hm的真值为真, 则称命 题公式集合{H1, H2, … , Hm}是一致的, 否则称为非一致的。
第四讲
推理规则和证明方法
讲授内容： 1.推理和推理规则
推理 推理规则 两规则 替换规则
2. 证明方法
直接证明方法 CP规则 反证法
讲授重点：推理规则，直接证明方法与CP规则 讲授难点：直接证明方法，CP规则与反证法
1
1.推理和推理规则
什么是推理？
推理:从前提推出结论的思维过程。 前提:指已知的命题公式。
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3. 证明方法
7.分情况证明 证明 P1 P2 … Pn Q ，
只需证明对每一i，Pi → Q成立。
因为 P1 P2 … Pn Q iff P1 P2 … Pn → Q iff ¬(P1 P2 … Pn) Q iff (¬P1 ¬P2 … ¬Pn) Q iff ( ¬P1 Q) ( ¬P2 Q) … ( ¬Pn Q) iff (P1 →Q ) (P2 → Q ) (Pn → Q )
特别若A B, 则称B是A的有效结论，或从A推出B。
注意：
1. 不考虑前提的真假，推理正确≠结论为真。
2. 结论的真假 取决于 前提H1∧H2∧ …∧Hn的真假。
前提为真，则结论为真；
前提为假，则结论可真可假。
3. 因此，定义中只说C 是H1, H2, …, Hn 的有效结论而不说是正确结 论。“有效”是指结论的推出合乎推理规则。
20
结论:从前提出发，应用推理规则推出的命题公式。
推理规则
推理
前提
结论
本节内容：从逻辑推理的角度来理解命题演算
2
推理的例子：设x属于实数, P: x是偶数, Q: x2是偶数。
例1. 如果x是偶数, 则x2是偶数。 前提 x是偶数。 例2. 如果x是偶数, 则x2是偶数。 x2是偶数。 P Q
x2是偶数。 ------------- 结论
x是偶数。
Q P
P Q
P Q
√
×
x
2
四个例子的推理是否正确？
例3. 例4. 如果x是偶数, 则x2是偶数。 所用依据是什么？ 则x2是偶数。 如果x是偶数, x不是偶数。 x2不是偶数。 x2不是偶数。
P Q P Q
x不是偶数。
P Q
×
x
2
Q P
√
3
1、推理和推理规则
刚才的例子表明了研究推理规则的重要性。 推理规则：正确推理的依据。
iff ¬ Q → ¬P永真
iff ¬ Q ¬P
5). (H1∧H2∧ …∧Hn) Q形式命题的证明
H1∧H2∧ …∧Hn Q iff H1∧H2∧ …∧Hn →Q 是重言式 iff ¬ (H1∧H2∧ …∧Hn )Q 是重言式 iff ¬ H1 ¬ H2 … ¬ Hn Q 是重言式 iff (Q ¬ H1) (Q ¬ H2) … (Q ¬ Hn) 是重言式 iff (¬ Q → ¬ H1) (¬ Q → ¬ H2) … (¬ Q → ¬ Hn) 是重言式
任何一条永真蕴含式都可以作为一条推理规则。
例：析取三段论： P (P Q ) Q 如果，P：他在钓鱼，Q：他在下棋
前提：他在钓鱼或下棋； 他不在钓鱼 结论：所以他在下棋
P Q P 所以 Q
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1、推理和推理规则
定义1：若H1∧H2∧ …∧Hn C, 则称C是H1, H2, 有效结论。 …, Hn的
若至少有一个i，使得
使 ¬ Q ¬Hi, 则原恒等式成立。
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6. 证明方法
6. CP规则（演绎定理） P1∧P2∧ …∧Pn →( P→Q)形式命题的证明
证： P1∧P2∧ …∧Pn P→Q
即证 P1∧P2∧ …∧Pn ∧ P Q 因为 P1∧P2∧ …∧Pn P→Q iff P1∧P2∧ …∧Pn →( P→Q) iff ¬ (P1∧P2∧ …∧Pn )(¬P Q) iff ¬P1 ¬P2 … ¬Pn ¬ P Q iff (¬P1 ¬P2 … ¬Pn ¬ P ) Q iff ¬ (P1∧P2∧ …∧Pn ∧ P) Q iff P1∧P2∧ …∧Pn ∧ P → Q iff P1∧P2∧ …∧Pn →( P→Q)
常 用 推 理 规 则
7
永真蕴含式
8
运用推理规则形式化证明
例1：考虑下述论证: 1. 如果这里有球赛, 则通行是困难的。 2. 如果他们按时到达, 则通行是不困难的。 3. 他们按时到达了。 4. 所以这里没有球赛。 前 3 个断言是前提, 最后1个断言是结论, 要求我们从前提推出结论。
设P: 这里有球赛, Q: 通行是困难的, R: 他们按时到达。 即证 P→Q，R→ ¬ Q，R ¬ P
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3. 证明方法
例4: P Q → R, ¬ R S, ¬ S ¬ P ¬Q 证： (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) ¬ (¬ P ¬Q) ¬¬P ¬¬Q PQ PQ→R R ¬ R S S ¬S S ¬S P,假设前提 T,(1),E10 T,(1), E1 P T,(3),(4),I3 P T ,(5),(6),I5 P T,(7),(8),合取式
例2：证明
证： (1) CD (2) ¬( ¬ C) D
(3) ¬ C → D (4) D → S (5) ¬ C→ S (6) C →R (7) ¬ R→¬C
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3. 证明方法
4). 间接证明法-（对原命题的逆否命题进行证明）
证P Q只需证¬ Q ¬P
因为P Q iff
P→Q永真
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3. 证明方法
3).直接证明法 H1∧H2∧ …∧Hn C，由前提利用推理规则直接推出C。 CD, C→R, D→S RS
P T,(1),E1 T,(2),E14 P T,(3),(4),I6 P T,(6),E24 (8) ¬ R→ S (9) ¬( ¬ R)S (10) R S T,(5),(7),I6 T,(8),E14 T, (9), E1
这个定义也可这样叙述:
若H1∧H2∧…∧Hm R∧¬R, 则{H1, H2, … , Hm}是非一致的, 否则是一致的。
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3. 证明方法
8. 反证法（又称归谬法、矛盾法） 定理：设{H1, H2, … , Hn}是一致的, C是一命题公式, 如果{H1, H2, …, Hn, ¬ C}非一致, 则能从H1 , H2, … , Hn推出C，即H1∧H2∧ …∧Hn C 。 证明：H1∧H2∧…∧Hn ∧ ¬ C R∧¬R iff H1∧H2∧…∧Hn ∧ ¬ C 永假 (1) 而{H1, H2, … , Hn}是一致的， 所以存在一种指派使得H1∧H2∧…∧Hn 为真 (2) 由(1),(2)知存在一种指派使得¬C 为假，即C为真。 由肯定前件法可得H1∧H2∧ …∧Hn C 。