离散数学第四讲-推理规则与证明方法

x是偶数。
Q P
P Q
P Q
√
×
x
2
四个例子的推理是否正确？
例3. 例4. 如果x是偶数, 则x2是偶数。 所用依据是什么？ 则x2是偶数。 如果x是偶数, x不是偶数。 x2不是偶数。 x2不是偶数。
P Q P Q
x不是偶数。
P Q
×
x
2
Q P
√
3
1、推理和推理规则
刚才的例子表明了研究推理规则的重要性。 推理规则：正确推理的依据。
证： 步骤 断言(真) 根 据
（1） （2） （3） （4） （5）
R R→ ¬ Q ¬Q P→Q ¬P
P P T,(1),(2),I3 P T,(3),(4),I4
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3. 证明方法
1). 无义证明法 证明 P Q为真，只需证明P为假。 2). 平凡证明法 证明 P Q为真，只需证明Q为真。 无义证明法和平凡证明法应用的次数较少, 但 对有限的或特殊的情况, 它们常常是重要的。
永真 永真 永真 永真 永真
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3. 证明方法
8. 反证法（又称归谬法、矛盾法）
定义：设公式H1, H2, … , Hm中的原子命题变元是P1, P2, … , Pn, 如果 给P1, P2, … , Pn以某一 指派, 能使H1∧H2 … ∧Hm的真值为真, 则称命 题公式集合{H1, H2, … , Hm}是一致的, 否则称为非一致的。
iff ¬ Q → ¬P永真
iff ¬ Q ¬P
5). (H1∧H2∧ …∧Hn) Q形式命题的证明
H1∧H2∧ …∧Hn Q iff H1∧H2∧ …∧Hn →Q 是重言式 iff ¬ (H1∧H2∧ …∧Hn )Q 是重言式 iff ¬ H1 ¬ H2 … ¬ Hn Q 是重言式 iff (Q ¬ H1) (Q ¬ H2) … (Q ¬ Hn) 是重言式 iff (¬ Q → ¬ H1) (¬ Q → ¬ H2) … (¬ Q → ¬ Hn) 是重言式
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3. 证明方法
3).直接证明法 H1∧H2∧ …∧Hn C，由前提利用推理规则直接推出C。 CD, C→R, D→S RS
P T,(1),E1 T,(2),E14 P T,(3),(4),I6 P T,(6),E24 (8) ¬ R→ S (9) ¬( ¬ R)S (10) R S T,(5),(7),I6 T,(8),E14 T, (9), E1
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作业： P32 1.5习题 5(5)、 8(3)(4)、 9(1)、 11(1)、 12(4)、 15(3)
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3. 证明方法
例5：(P Q) (P → R) (Q → S) S R 证: (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11) (12) ¬( S R) ¬S ¬R ¬S (P Q) (P → R) (Q → S) Q→S ¬Q PQ P P→R R ¬R R ¬R P,假设前提 T,(1),E10 T,(2),I2 P T,(4),I2 T,(3),(5),I4 T,(4),I2 T,(6),(7),I5 T,(4),I2 T,(8),(9),I3 T,(2),I2 T,(10),(11),合取式
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来自百度文库
3. 证明方法
7.分情况证明 证明 P1 P2 … Pn Q ，
只需证明对每一i，Pi → Q成立。
因为 P1 P2 … Pn Q iff P1 P2 … Pn → Q iff ¬(P1 P2 … Pn) Q iff (¬P1 ¬P2 … ¬Pn) Q iff ( ¬P1 Q) ( ¬P2 Q) … ( ¬Pn Q) iff (P1 → Q ) (P2 → Q ) (Pn → Q )
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1、推理和推理规则
常用的推理规则
1) 恒等式(E1~E24)
2) 永真蕴含式(I1~I8,表1.5-1)
3) 替换规则，代入规则 4) P规则和T规则

P规则：(前提引入)
在推导的任何步骤上，都可以引入前提。

T规则：(结论引用)
在推导任何步骤上所得结论都可以作为后继证明的前提。
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表 1.5-1
常 用 推 理 规 则
7
永真蕴含式
8
运用推理规则形式化证明
例1：考虑下述论证: 1. 如果这里有球赛, 则通行是困难的。 2. 如果他们按时到达, 则通行是不困难的。 3. 他们按时到达了。 4. 所以这里没有球赛。 前 3 个断言是前提, 最后1个断言是结论, 要求我们从前提推出结论。
设P: 这里有球赛, Q: 通行是困难的, R: 他们按时到达。 即证 P→Q，R→ ¬ Q，R ¬ P
结论:从前提出发，应用推理规则推出的命题公式。
推理规则
推理
前提
结论
本节内容：从逻辑推理的角度来理解命题演算
2
推理的例子：设x属于实数, P: x是偶数, Q: x2是偶数。
例1. 如果x是偶数, 则x2是偶数。 前提 x是偶数。 例2. 如果x是偶数, 则x2是偶数。 x2是偶数。 P Q
x2是偶数。 ------------- 结论
若至少有一个i，使得
使 ¬ Q ¬Hi, 则原恒等式成立。
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6. 证明方法
6. CP规则（演绎定理） P1∧P2∧ …∧Pn →( P→Q)形式命题的证明
证： P1∧P2∧ …∧Pn P→Q
即证 P1∧P2∧ …∧Pn ∧ P Q 因为 P1∧P2∧ …∧Pn P→Q iff P1∧P2∧ …∧Pn →( P→Q) iff ¬ (P1∧P2∧ …∧Pn )(¬P Q) iff ¬P1 ¬P2 … ¬Pn ¬ P Q iff (¬P1 ¬P2 … ¬Pn ¬ P ) Q iff ¬ (P1∧P2∧ …∧Pn ∧ P) Q iff P1∧P2∧ …∧Pn ∧ P → Q iff P1∧P2∧ …∧Pn →( P→Q)
特别若A B, 则称B是A的有效结论，或从A推出B。
注意：
1. 不考虑前提的真假，推理正确≠结论为真。
2. 结论的真假 取决于 前提H1∧H2∧ …∧Hn的真假。

前提为真，则结论为真；
前提为假，则结论可真可假。
3. 因此，定义中只说C 是H1, H2, …, Hn 的有效结论而不说是正确结 论。“有效”是指结论的推出合乎推理规则。
任何一条永真蕴含式都可以作为一条推理规则。
例：析取三段论： P (P Q ) Q 如果，P：他在钓鱼，Q：他在下棋
前提：他在钓鱼或下棋； 他不在钓鱼 结论：所以他在下棋
P Q P 所以 Q
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1、推理和推理规则
定义1：若H1∧H2∧ …∧Hn C, 则称C是H1, H2, 有效结论。 …, Hn的
永真 永真 永真 永真 永真 永真
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3. 证明方法
利用CP规则证明以下例题 例3：证A →(B → C)， ¬ D A，B D → C
证： (1) D P（附加前提） (2) ¬ D A P (3) A T,(1),(2),I5 (4) A →(B → C) P (5) B → C T,(3),(4),I3 (6) B P (7) C T,(5),(6),I3 (8) D → C CP规则
例2：证明
证： (1) CD (2) ¬( ¬ C) D
(3) ¬ C → D (4) D → S (5) ¬ C→ S (6) C →R (7) ¬ R→¬C
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3. 证明方法
4). 间接证明法-（对原命题的逆否命题进行证明）
证P Q只需证¬ Q ¬P
因为P Q iff
P→Q永真
这个定义也可这样叙述:
若H1∧H2∧…∧Hm R∧¬R, 则{H1, H2, … , Hm}是非一致的, 否则是一致的。
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3. 证明方法
8. 反证法（又称归谬法、矛盾法） 定理：设{H1, H2, … , Hn}是一致的, C是一命题公式, 如果{H1, H2, …, Hn, ¬ C}非一致, 则能从H1 , H2, … , Hn推出C，即H1∧H2∧ …∧Hn C 。 证明：H1∧H2∧…∧Hn ∧ ¬ C R∧¬R iff H1∧H2∧…∧Hn ∧ ¬ C 永假 (1) 而{H1, H2, … , Hn}是一致的， 所以存在一种指派使得H1∧H2∧…∧Hn 为真 (2) 由(1),(2)知存在一种指派使得¬C 为假，即C为真。 由肯定前件法可得H1∧H2∧ …∧Hn C 。
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第四讲
推理规则和证明方法
讲授内容： 1.推理和推理规则
推理 推理规则 两规则 替换规则
2. 证明方法
直接证明方法 CP规则 反证法
讲授重点：推理规则，直接证明方法与CP规则 讲授难点：直接证明方法，CP规则与反证法
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1.推理和推理规则
什么是推理？
推理:从前提推出结论的思维过程。 前提:指已知的命题公式。
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3. 证明方法
例4: P Q → R, ¬ R S, ¬ S ¬ P ¬Q 证： (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) ¬ (¬ P ¬Q) ¬¬P ¬¬Q PQ PQ→R R ¬ R S S ¬S S ¬S P,假设前提 T,(1),E10 T,(1), E1 P T,(3),(4),I3 P T ,(5),(6),I5 P T,(7),(8),合取式