数学物理方程第四章_二阶线性偏微分方程的分类与总结

Q(l , m) = a11l 2 + 2a12lm + a22 m 2 = 0
的性质而定。由于这个曲线可以是椭圆、双曲线或抛物线， 的性质而定。由于这个曲线可以是椭圆、双曲线或抛物线，因此我们相应 地定义方程在一点的类型如下： 地定义方程在一点的类型如下： 若方程(4.1)的主部系数 a11 , a12 , a22 在区域Ω中某一点 0，y0)满足 的主部系数 中某一点(x 若方程 满足
§1-3 方程的分类
中每一点上均为双曲型， 如果方程在区域Ω中每一点上均为双曲型，那么我们称方程在区域Ω中是 双曲型的。类似的，对椭圆型和抛物型也有同样的定义。 双曲型的。类似的，对椭圆型和抛物型也有同样的定义。如果一个方程在 中的一部分区域表现为双曲型，在另一部分表现为椭圆型， 区域Ω中的一部分区域表现为双曲型，在另一部分表现为椭圆型，而在分 界面上表现为抛物型，那么， 中称为混合型的。 界面上表现为抛物型，那么，这样的方程在在区域Ω中称为混合型的。 ∂ 2 u ∂ 2u 举例： 举例：y + 2 =0 2 ∂x ∂y 容易看出，如果点(x 上方程(4.1)表现为双曲型或椭圆型，那么一定存 表现为双曲型或椭圆型， 容易看出，如果点 0，y0)上方程 上方程 表现为双曲型或椭圆型 在该点的一个领域，使方程在这个领域内是双曲型或椭圆型的。 在该点的一个领域，使方程在这个领域内是双曲型或椭圆型的。但如果这 个点上方程 方程(4.1)表现为抛物型，则不一定存在一个领域，使方程在这个领 表现为抛物型， 个点上方程 表现为抛物型 则不一定存在一个领域， 域内表现为抛物型。 域内表现为抛物型。 按照刚才的分类方法，很容易看出一维弦振动方程是双曲型的， 按照刚才的分类方法，很容易看出一维弦振动方程是双曲型的，一维热传 导方程是抛物型的，二维拉普拉斯方程是椭圆型的。前面我们已经知道， 导方程是抛物型的，二维拉普拉斯方程是椭圆型的。前面我们已经知道 ， 以上三种方程描述的自然现象的本质不同，其解的性质也各异。 以上三种方程描述的自然现象的本质不同，其解的性质也各异。这也从侧 面说明了我们对二阶线性偏微分方程所进行的分类是有其深刻的原因的。 面说明了我们对二阶线性偏微分方程所进行的分类是有其深刻的原因的。 例如，空气动力学中，对于定常Euler方程而言，它在亚音速流动中表现为 方程而言， 亚音速流动中表现为 例如，空气动力学中，对于定常 方程而言 它在亚音速 椭圆型方程 方程， 超音速流动中表现为双曲型， 跨音速流动中表现为 流动中表现为双曲型 流动中表现为混合 椭圆型方程，在超音速流动中表现为双曲型，在跨音速流动中表现为混合 而对于非定常Euler方程而言，它始终表现为双曲型。 方程而言， 双曲型。 型。而对于非定常 方程而言 它始终表现为双曲型
2 ∆ = a12 − a11a22 > 0, 则称方程在点 0，y0)是双曲型的； 则称方程在点(x 是双曲型的 2 ∆ = a12 − a11a22 = 0, 则称方程在点 0，y0)是抛物型的; 则称方程在点(x 是抛物型的 2 ∆ = a12 − a11a22 < 0, 则称方程在点 0，y0)是椭圆型的。 则称方程在点(x 是椭圆型的
a11u xx + 2a12u xy + a22u yy + b1u x + b2u y + cu = f
4.1
数学物理方程
第四章 二阶线性偏微分方程的分类与总结
§1-1 两个自变量的方程
在前面弦振动方程的达朗贝尔解法(行波法 的学习中 在前面弦振动方程的达朗贝尔解法 行波法)的学习中，我们 行波法 的学习中， 已看到变量变换的意义。 已看到变量变换的意义 。 变换是研究微分方程的一个有效手 通过适当的变换往往可以把复杂的方程转化为简单的， 段 ， 通过适当的变换往往可以把复杂的方程转化为简单的 ， 把不易求解的方程转化为容易求解的。 把不易求解的方程转化为容易求解的。 方程(4.1)的二阶导数项 方程 的二阶导数项
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第四章 二阶线性偏微分方程的分类与总结
§1-2 两个自变量的二阶线性偏微分方程的化简
我们知道，方程(4.8)的求解可以转化为下述常微分方程在 我们知道 ， 方程 的求解可以转化为下述常微分方程在 (x,y)平面上的积分曲线问题： 平面上的积分曲线问题： 平面上的积分曲线问题
dy 2 dy a11 ( ) + 2a12 + a22 = 0 dx dx
x = x(ξ ,η ),
y = y (ξ ,η ) 4.5
也就是说，方程(4.1)可以采用新的自变量ξ,η表示为 也就是说，方程 可以采用新的自变量
a11uξξ + 2a12uξη + a22uηη + b1uξ + b2uη + c u = f
运用复合函数的求导法则
4.6
a11 = a11ξ 2 + 2a12ξ x ξ y + a22ξ 2 x y
D(ξ ,η ) ξ x ξ y J= = D ( x, y ) η x η x
4.4
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§1-2 两个自变量的二阶线性偏微分方程的化简
点不为零， 的邻域内， 在(x0,y0)点不为零，那么在点 0,y0)的邻域内，变换 点不为零 那么在点(x 的邻域内 变换(4.3)是可逆 是可逆 的，也就是存在逆变换
a11u xx + 2a12u xy + a22u yy
4.2
称为它的主部。 现在研究在什么样的自变量变换下， 称为它的主部 。 现在研究在什么样的自变量变换下 ， 方程的 主部可以得到简化。 主部可以得到简化。
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第四章 二阶线性偏微分方程的分类与总结
§1-2 两个自变量的二阶线性偏微分方程的化简
§1-3 方程的分类
由前面的讨论可知，方程 通过自变量的可逆变换(4.3)化为那一种 由前面的讨论可知，方程(4.1)通过自变量的可逆变换 通过自变量的可逆变换 化为那一种 标准形式，主要决定于它的主部系数。也就是说由l,m平面上的二次曲线 标准形式，主要决定于它的主部系数。也就是说由 平面上的二次曲线
a φ − 2a12φ xφ y + a φ = 0
2 11 x 2 22 y
4.8
的两个函数无关的解φ1(x,y)和φ2(x,y)，那么，将变换取为ξ=φ1 的两个函数无关的解 和 ，那么， (x,y)和η=φ2 (x,y)，方程 ，方程(4.6)的系数 的系数 。 和 a11 = 0；a22 = 0 这样就达到了简化方程(4.1)的主部的目的。下面考察这种 的主部的目的。 这样就达到了简化方程 的主部的目的 选取的可能性。 选取的可能性。
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第四章 二阶线性偏微分方程的分类与总结
§1 二阶线性偏微分方程的分类
§1.1 两个自变量的方程 §1.2 两个自变量的二阶线性 偏微分方程的化简 §1.3 方程的分类
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第四章 二阶线性偏微分方程的分类与总结
§1 二阶线性偏微分方程的分类
§1-1 两个自变量的方程
遵循由简单到复杂的认知规律， 遵循由简单到复杂的认知规律 ， 我们先研究两个自变量的 二阶线性偏微分方程的分类问题。 二阶线性偏微分方程的分类问题。 前面遇到的一维热传导方程、弦振动方程和二维拉普拉斯 前面遇到的一维热传导方程 、 方程都是两个自变量的二阶线性偏微分方程 两个自变量的二阶线性偏微分方程。 方程都是 两个自变量的二阶线性偏微分方程 。 不过它们的形 式特殊，若用(x,y)记自变量，一般的二阶线性方程总可以写成 记自变量， 式特殊，若用 记自变量 如下的形状
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§1-3 方程的分类
例题： 例题：把方程 x 2u xx + 2 xyu xy + y 2u yy = 0 分类并化为标准形式
2 2 2 故该方程是抛物型的。 解：该方程的 ∆ = ( 2 xy ) − 4 x y = 0 故该方程是抛物型的。
显然，该方程的特征方程为： 显然，该方程的特征方程为：
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第四章 二阶线性偏微分方程的分类与总结
第四章 二阶线性偏微分方程 的分类与总结
§1 二阶线性偏微分方程的分类 §3 三类方程的比较
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在前面的章节中， 我们分别讨论了弦振动方程、 在前面的章节中 ， 我们分别讨论了弦振动方程 、 热传导方程与拉普拉斯方程。 热传导方程与拉普拉斯方程。这三类方程的形状很特 它们是二阶线性偏微分方程的三个典型代表。 殊，它们是二阶线性偏微分方程的三个典型代表。一 般形式的二阶线性偏微分方程之间的共性和差异， 般形式的二阶线性偏微分方程之间的共性和差异，往 往可以从对这三类方程的研究中得到。本章中，我们 往可以从对这三类方程的研究中得到。本章中， 将以这三类方程的知识为基础， 将以这三类方程的知识为基础，研究一般形式的二阶 线性偏微分方程， 线性偏微分方程，并对这三类方程的性质进行比较深 入的分类和总结。 入的分类和总结。
dy 2 = (a12 + a12 − a11a22 ) / a11 dx dy 2 = (a12 − a12 − a11a22 ) / a11 dx
4.10 4.11
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第四章 二阶线性偏微分方程的分类与总结
§1-2 两个自变量的二阶线性偏微分方程的化简
这样根据
2 ∆ = a12 − a11a22
4.9
设φ1(x,y)=c 是方程(4.9)的一族积分曲线，则z=φ1(x,y)是方程 是方程 的一族积分曲线， 是方程(4.8) 的一族积分曲线 是方程 的一个解。称方程(4.9)的积分曲线为方程 的积分曲线为方程(4.8)的特征线， 方程 的一个解 。称方程 的积分曲线为方程 的特征线， (4.9)有时也称为方程 有时也称为方程(4.8)的特征方程。 有时也称为方程 的特征方程。 显然方程(4.9)可以分解为两个方程 可以分解为两个方程 显然方程
进行简化。 设(x0,y0)是区域Ω内一点，在该点的邻域内对方程 进行简化。 是区域 内一点，在该点的邻域内对方程(1)进行简化 为此我们作下面的自变量变换

ξ = ξ ( x, y ), η = η ( x, y ) 4.3
在高等数学中，我们已经知道：如果上述变换是二次连续可微 在高等数学中，我们已经知道： 的，且雅可比行列式
的符号不同， 的符号不同，我们可以选取相应的
变换代入方程(4.6) ，从而得到不同的化简形式 变换代入方程
∆ = a − a11a22 > 0,
2 12
uξξ − uηη = A1uξ + B1uη + C1u + D1
4.12
∆ = a − a11a22 = 0,
2 12
∆ = a − a11a22 < 0,
a12 = a11ξ xη x + a12 (ξ xη y + ξ yη x ) + a22ξ yη y 4.7
a22 = a11η2 + 2a12 η x η y + a22 η2 x y
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§1-2 两个自变量的二阶线性偏微分方程的化简
注意到(4.7)的第一个和第三个等式形式完全相同，因此，如果 的第一个和第三个等式形式完全相同，因此， 注意到 的第一个和第三个等式形式完全相同 我们能选择到方程
2 12
uηη = A1uξ + B1uη + C1u + D1
4.13
uξξ + uηη = Auξ + Buη + Cu + D
4.14
这三个方程分别称为二阶线性偏微分方程的标准形式。 这三个方程分别称为二阶线性偏微分方程的标准形式。 标准形式
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dy y dy 2 dy 2 = ⇒ x ( ) − 2 xy ( ) + y = 0 dx x dx dx dy dx ⇒ = ⇒ ln y = ln x y x 从而得到方程的一族特征线为： 从而得到方程的一族特征线为： x / y = C
相应地， 这三个方程分别称为双曲型 相应地， (4.12)、(4.13)和(4.14)这三个方程分别称为双曲型、 、 和 这三个方程分别称为双曲型、 抛物型和椭圆型(二阶线性 偏微分方程的标准形式。 二阶线性)偏微分方程的标准形式 抛物型和椭圆型 二阶线性 偏微分方程的标准形式。
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