(完整word版)证明根号2为无理数的方法

试证明2是无理数.

证明：易知2是方程022=-x 的一个根，设它有有理根,a

b 即)0(2≠=a a b 先证明一个引理：若整系数方程：

0...02211=+++++--a ax x a x a x a n n n n )0(0≠⋅a a n 有有理根p

q 0(≠pq 且q p ,互质)，则有： p a n ，q a 0.

证明：把p

q x =代入原方程，得： 0...02211=++⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--a p q a p q a p q a p q a n n n n ，两边同乘n p ，得: .00...0122211==

+++++----n n n n n n n n p p a aqp p q a p q a q a 那么，由于0≠p ，所以一定有0p ，那么一定有：

....0122211n n n n n n n p a aqp p q a p q a q a p +++++----

由于n

p p p ,...,,2都满足被p 整除，那么有：n n q a p ，又因1),(=q p ，所以有： .n a p

同理，由于0≠q ，所以一定有0q ，那么一定有：

....0122211n n n n n n n p a aqp p q a p q a q a q +++++----

由于n

q q q ,...,,2都满足被q 整除，那么有：n p a q 0，又因1),(=q p ，所以有： q a 0.

回到原命题，由于0)2(1≠-⨯，1)2,1(=-，所以方程022=-x 的有理根

a b 满足： 1a ，2-b .22,1±=⇔±=±=⇔a

b b a 经检验，2±都不是方程022=-x 的根，那么022=-x 无有理根，即2为无理数.

...D E Q