含有参数的线性规划问题及其解法
八种 经典线性规划例题(超实用)
线性规划常见题型及解法由已知条件写出约束条件，并作出可行域，进而通过平移直线在可行域内求线性目标函数的最优解是最常见的题型，除此之外，还有以下六类常见题型。
一、求线性目标函数的取值范围例1、若x、y满足约束条件222xyx y≤⎧⎪≤⎨⎪+≥⎩，则z=x+2y的取值范围是（）A、[2,6]B、[2,5]C、[3,6]D、（3,5]解：如图，作出可行域，作直线l：x+2y＝0，将【l向右上方平移，过点A（2,0）时，有最小值2，过点B（2,2）时，有最大值6，故选A二、求可行域的面积例2、不等式组260302x yx yy+-≥⎧⎪+-≤⎨⎪≤⎩表示的平面区域的面积为（）A、4B、1C、5D、无穷大解：如图，作出可行域，△ABC的面积即为所求，由梯形OMBC 的面积减去梯形OMAC的面积即可，选B'三、求可行域中整点个数例3、满足|x|＋|y|≤2的点（x，y）中整点（横纵坐标都是整数）有（）A、9个B、10个C、13个D、14个解：|x|＋|y|≤2等价于2(0,0)2(0,0)2(0,0)2(0,0) x y x yx y x yx y x yx y x y+≤≥≥⎧⎪-≤≥⎪⎨-+≤≥⎪⎪--≤⎩作出可行域如右图，是正方形内部（包括边界），容易得到整点个数为13个，选D四、求线性目标函数中参数的取值范围例4、已知x、y满足以下约束条件5503x yx yx+≥⎧⎪-+≤⎨⎪≤⎩，使z=x+ay(a>0)取得最小值的最优解有无数个，则a的值为（）A、－3B、3C、－1D、1解：如图，作出可行域，作直线l：x+ay＝0，要使目标函数z=x+ay(a>0)取得最小值的最优解有无数个，则将l向右上方平移后与直线x+y＝5重合，故a=1，选D~五、求非线性目标函数的最值例5、已知x、y满足以下约束条件220240330x yx yx y+-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩，则z=x2+y2的最大值和最小值分别是（）A、13，1B、13，2 .C、13，45D、5解：如图，作出可行域,x2+y2是点（x，y）到原点的距离的平方，故最大值为点A（2,3）到原点的距离的平方，即|AO|2=13，最小值为原点到直线2x＋y－2=0的距离的平方，即为45，选C六、求约束条件中参数的取值范围例6、已知|2x－y＋m|＜3表示的平面区域包含点（0,0）和（－1,1），则m的取值范围是（）"A、（-3,6）B、（0,6）C、（0,3）D、（-3,3）解：|2x－y＋m|＜3等价于230 230x y mx y m-++>⎧⎨-+-<⎩由右图可知3330m m +>⎧⎨-<⎩,故0＜m ＜3，选C七·比值问题当目标函数形如y az x b-=-时,可把z 看作是动点(,)P x y 与定点(,)Q b a 连线的斜率，这样目标函数的最值就转化为PQ 连线斜率的最值。
线性规划问题求解例题和知识点总结
线性规划问题求解例题和知识点总结线性规划是运筹学中研究较早、发展较快、应用广泛、方法较成熟的一个重要分支，它是辅助人们进行科学管理的一种数学方法。
在经济管理、交通运输、工农业生产等领域都有着广泛的应用。
下面我们通过一些具体的例题来深入理解线性规划问题，并对相关知识点进行总结。
一、线性规划的基本概念线性规划问题是在一组线性约束条件下，求一个线性目标函数的最大值或最小值的问题。
其数学模型一般可以表示为：目标函数：＄Z ＝ c_1x_1 ＋ c_2x_2 ＋＼cdots ＋ c_nx_n$约束条件：＄＼begin{cases}a_{11}x_1 ＋ a_{12}x_2 ＋＼cdots ＋a_{1n}x_n ＼leq b_1 ＼＼ a_{21}x_1 ＋ a_{22}x_2 ＋＼cdots ＋a_{2n}x_n ＼leq b_2 ＼＼＼cdots ＼＼ a_{m1}x_1 ＋ a_{m2}x_2 ＋＼cdots ＋ a_{mn}x_n ＼leq b_m ＼＼ x_1, x_2, ＼cdots, x_n ＼geq0\end{cases}＄其中，＄x_1, x_2, ＼cdots, x_n$是决策变量，＄c_1, c_2, ＼cdots, c_n$是目标函数的系数，＄a_{ij}＄是约束条件的系数，＄b_1, b_2, ＼cdots, b_m$是约束条件的右端项。
二、线性规划问题的求解方法常见的求解线性规划问题的方法有图解法和单纯形法。
1、图解法适用于只有两个决策变量的线性规划问题。
步骤如下：画出直角坐标系。
画出约束条件所对应的直线。
确定可行域（满足所有约束条件的区域）。
画出目标函数的等值线。
移动等值线，找出最优解。
例如，求解线性规划问题：目标函数：＄Z ＝ 2x ＋ 3y$约束条件：＄＼begin{cases}x ＋ 2y ＼leq 8 ＼＼ 2x ＋ y ＼leq 10 ＼＼ x ＼geq 0, y ＼geq 0\end{cases}＄首先，画出约束条件对应的直线：＄x ＋ 2y ＝ 8$，＄2x ＋ y ＝10$，以及$x ＝ 0$，＄y ＝ 0$。
含参数的线性规划问题
线性规划
由目标函数几何意义求参数
3x y 6 0
【例3】(2009·山东)设x，y满足约束条件
x
y
2
0
，
x 0, y 0
若目标函数z=ax+by(a>0,b>0)的最大值为12，则 2 3 的最
ab
小值为( )
(A) 25 (B) 8 (C)11 (D)4
含参数的线性规划问题 专题讲座
深圳市民办学校高中数学教师 欧阳文丰制作
平面区域与目标函数
复习回顾 目标函数的几何意义
1. z ax by 直线型，z表示纵截距的b倍 2. z ax by 点到直线距离型
3. z OA OB 转化为坐标形式或投影 4. z y b 斜率型
6
3
3
线性规划
x y 2
【 练 习2】 已 知x, y满 足 不等 式 组 y x 0,
x
0
目 标 函数z ax y只 在(1,1)处 取 最小 值 ，
则 有( )
A. a 1 B.a 1 C. a 1 D. a 1
线性规划
【练习3】(2010·安徽)设x,y满足约束条件
A. 5, 10 B.5，10 C. 0，5 D. 0，10
线性规划
【 练 习4】 已 知 函 数f ( x) 1 x3 1 ax2 bx 32
在 区 间 1,3上 单 调 递 减 ， 则a2 b2的 最 小 值 是__1__3____.
线性规划
【例5】已知函数y f ( x)在R上单调递增，函数 y f ( x 1)的图像关于点(1,0)对称，若对于任意 的x, y R,不 等 式f ( x2 6x 21) f ( y2 8 y) 0 恒 成 立 ， 则 x2 y2的 取 值 范 围 是________.
含参的线性规划问题
线性规划
【练习3】(2010·安徽)设x,y满足约束条件
2 x y 2 0 8 x y 4 0 ,若目标函数z=abx+y(a>0,b>0)的 x 0 ,y 0
最大值为8，则a+b的最小值为_______. 4
线性规划
与函数结合
【例4】若函数 ( x ) x 2 ax 2b在区间 0,1), f ( (1,2)内各有一个零点，则2 (b 2) 2的取值 a 范围是( A. )
线性规划（二）
高三数学组
确定你的方向是正确的，下一步要做的 就是坚持……
线性规划 课时要求 1.了解二元一次不等式的几何意义，能用平 面区域表示二元次此不等式组； 2.理解目标函数的几何意义，会用图解法解 线性规划问题； 本节重点是含参问题。 3.通过图解法逐步加强作图能力，渗透数形 结合思想。
平面区域与目标函数
复习回顾
目标函数的几何意义
b 1. z ax by 直线型，z表示纵截距的 倍 2. z ax by 点到直线距离型 3. z OA OB 转化为坐标形式或投影 yb 斜率型 4. z xa 2 2 5. z x y Dx Ey F 两点间距离型 2 2 6. z x y Dx Ey F 圆型(距离平方)
线性规划
【例5】已知函数 f ( x )在R上单调递增，函数 y y f ( x 1)的图像关于点1,0)对称，若对于任意 ( 的x , y R, 不等式f ( x 2 6 x 21) f ( y 2 8 y ) 0 恒成立，则 x y 的取值范围是 ________.
线性规划
线性规划常见题型及解法例析
品有直接限 制 因 素 的 是 资 金 和 劳 动 力,通 过 调 查,得
到这两种产品的有关数据如表 ２．
资金
成本
劳动力(工资)
单位利润
单位产品所需资金/百元
月资金供应
电子琴(架) 洗衣机(台)
量/百元
３０
２０
６
８
５
１０
３００
１１０
试问:怎 样 确 定 这 两 种 产 品 的 月 供 应 量,才 能 使
故选:
B．
思路与方法:本 题 运 用 数 形 结 合 思 想,采 用 了 图
组作 出 可 行 域,如 图 ３ 所 示 ．
由
图 ３ 可 知,△ABC 的 面 积 即 为
所求 ．
易得
S梯 形OMBC ＝
１
×(
２＋３)×２＝５,
２
图３
１
S梯 形OMAC ＝ × (
１＋３)×２＝４．
２
所以 S△ABC ＝S梯 形OMBC －S梯 形OMAC ＝５－４＝１．
思路与方法:本 题 中 的 可 行 域 是 三 角 形,而 这 个
不规则的三角形面积很 难 直 接 求 解,于 是 将 它 看 作 梯
解法求最值,先 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 画 出 可 行 域,然
形 OMBC 的一部 分,利 用 梯 形 OMBC 与 梯 形 OMAC
后平行移动直线 z＝３x＋４y 即可求出最大值 ．
ï
,
且当
b≥０
b为
íy≥０, 时,恒有ax＋by≤１,求以a,
ï
îx＋y≤１
坐标的点 P (
a,
b)所构成的平面区域的面积 ．
解析:设 z＝ax ＋by,根 据 题 意 可 知,想 要 ax ＋
一类含参数线性规划问题的解法
一类含参数线性规划问题的解法作者：张卫兵
来源：《高中生·高考》2019年第06期
目标函数中含参数的线性规划问题近年来在高考中时常出现，如何解决此类问题呢？下面举例加以说明，
小结在目标函数z=ax+by中含参数（a，b中仅有一个是参数，另一个是定值）的线性规划问题中，知道目标函数的最值就是知道目标函数对应的直线在y轴上的截距z/b（b≠0）的最值.为此，可将目标函数z=ax+by中的z用给定的最值代换，通过直线过定点的特征在可行域中找到符合条件的点，便可求出参数的值.
小结在目标函数z=ax+by中含参数（a，b中儀有一个是参数，另一个是定值）的线性规划问题中，知道目标函数过某一点M（x，y）时取最值，求参数的变化范围时，只需将直线z=ax+by的斜率k=-手（b≠0）与过点M（x，y）的交线的斜率进行比较，通过满足题意的斜率的范围来求出参数的范围，
小结在目标函数z=ax+by中含参数（a，b中仪有一个是参数，另一个是定值）的线性规划问题中，知道其中一个参数的变化范围，求目标函数的最值的变化范围时，只需将目标函数中的参数与直线ax+by=z的斜率k=a/b（b≠o）联系起来，由参数的变化范围得到斜率k=a/b （b≠0）的变化范围，以确定直线ax+by=0的位置，再平行移动直线ax+by=0，通过确定直线ax+by=z在y轴上的截距取最值时所经过的点的方法，求出z=ax+by的最值的变化范围.
（责任编校/冯琪）。
线性规划中的参数问题-2019届高三数学提分精品讲义
专题六不等式问题二：线性规划中地参数问题一，考情思路线性规划是高考必考问题,常有以下几种类型：（1）平面区域地确定问题。
（2）区域面积问题。
（3）最值问题。
（4）逆向求参数问题．而逆向求参数问题,是线性规划中地难点,其主假如依据目标函数地最值或可行域地情况决定参数取值．二，经验分享(1)求平面区域地面积：①首先画出不等式组表示地平面区域,若不能直接画出,应利用题目地已知款件转化为不等式组问题,从而再作出平面区域。
②对平面区域进行思路,若为三角形应确定底与高,若为规则地四边形(如平行四边形或梯形),可利用面积公式直接求解,若为不规则四边形,可分割成几个三角形分别求解再求和即可．(2)利用几何意义求解地平面区域问题,也应作出平面图形,利用数形结合地方式去求解．(3)先准确作出可行域,再借助目标函数地几何意义求目标函数地最值．当目标函数是非线性地函数时,常利用目标函数地几何意义来解题.(4)当目标函数中含有参数时,要依据临界位置确定参数所满足地款件,含参数地平面区域问题,要结合直线地各种情况进行思路,不能凭直觉解答,目标函数含参地线性规划问题,要依据z地几何意义确定最优解,切忌搞错符号．三，知识拓展常见代数式地几何意义：①x2＋y2表示点(x,y)与原点(0,0)地距离,x－a2＋y－b2表示点(x,y)与点(a,b)地距离。
②yx表示点(x,y)与原点(0,0)连线地斜率,y－bx－a表示点(x,y)与点(a,b)连线地斜率．四，题型思路(一) 目标函数中含参数若目标函数中含有参数,则一般会知道最值,此时要结合可行域,确定目标函数得到最值时所经过地可行域内地点（即最优解）,将点地坐标代入目标函数求得参数地值．1．目标函数中x地系数为参数【点评】线性规划问题地最优解一般在平面区域地边界顶点处或边界线上一,当最优解不唯一时,说明目标函数所表示地直线与区域地某一边平行【思路】约束款件所满足地区域如图所示,目标函数过B【点评】这类问题应依据图形特征确定最优解,进而用代入法求参数地值．．目标函数中,x y地系数均含参数4【点评】本题地关键是给出目标函数地实际意义()()22x a y b -+-,可看成可行()()222x a y b =-+-。
含参的线性规划问题
x 0 （3）点M（a, b)在 y 0 区域内， x+y 2 求N(a+b,a-b)所形成区域的面积
x y0 （4）不等式组 2 x y 2 y 0 x ya
表示的平面区域是一个三角形，则 取值范围是 D
4 D.0 a 1或a 3
命题点3 区域图形与面积
x+y-1 0 例3、（1）若不等式组 x-1 0 ax-y+1 0 所表示的平面区域的面积等于2，求a
1 1
D
x 0 例3（2）已知a>0，b 0，且 y 0 , x y 1 恒有ax+by 1,求点（a,b)所成区域的面积
含参数的线性规划（一）
平面区域与目标函数
复习回顾
目标函数的几何意义
直线型， z表示纵截距的 b倍 1. z ax by 2. z ax by+c 点到直线距离型 转化为坐标形式或投影 3. z OA OP yb 斜率型 4. z xa 2 2 5. z x y Dx Ey F 两点间距离型 2 2 6. z x y Dx Ey F 圆型 (距离平方 )
线性规划
由区域求参数
【 例1】 ( 2013 新 课 标 II )已 知a 0, x , y满 足 约 束 条 件 x 1 1， 则a ( ) x y 3 , 若z 2 x y的 最 小 值 为 y a ( x 3) 1 A. 4 1 B. 2 C.1 D. 2
4 A.a 3 B.0 a 件中含有参数时，注意直线是定点直线系、 • 还是平行直线系，使直线初步稳定。 • 2、目标函数中含有参数时，注意分析目标函数的 • 几何意义。 • 3、在线性规划问题可行域下的恒成立问题，一定要结合 • “可行域”将“恒成立”加以控制；或者转化为目标函 • 数的最值问题。
线性规划问题的四种求解方法
2x +3y ≥160 ∴ 3x -y ≥130
x ≥0 y ≥0 成本 c =400 +7x +5y
令 7x +5y =λ(2 x +3y )+μ(3x -y)(λ、
μ是待定系数)
作出以上不等式组所表示的平面区域 , 即 可行域 .可行域为一五边形 , 五个顶点对应的 z 值如下表
(x , y) (0, 0)(4, 0)(4, 2)(2, 3)(0 , 3) z = 200x +300y 0 800 1400 1300 900
乙地
5
9
6
10x +20y ≤130
则 4000 x +1000y ≤24000
x ≥0 y ≥0 x +2y ≤13
即 4x +y ≤24 x ≥0 ,y ≥0 总年利润 z =12x +18y
作出以上不等式组所表示的平面区域 , 即
可行域 .由 z =12x +18y 得y =-23 x +1z8 , 则
美元 .但政府核准的外汇是 130 万美元 , 并要求 该种产品分别为 200 吨 、450 吨和 400 吨 .每吨
总维护费不得超过人民币 24000 元 .问每种机 运费如下表(单位 :元):
器应购买多少台时 , 才能使工厂获得的年利润 最大 ?
解 :设购买第一种机 器
A
B
C
甲地
6
3
5
x 台 , 购买第二种机器 y上点 C 成本如下表 :
时 , 等值线的值最小 .z 有最小值 5650 元 , 此时 x =0 、y =300 , 故甲地产品运往 B 地 ;乙地产 品运往 A 、B 、C 三地分别为 200 吨 、150 吨 、400
21-22版：微专题5 含参数的线性规划问题（步步高）
微专题5 含参数的线性规划问题线性规划问题通常是指在线性约束条件下求线性目标函数的最值问题，其求解方法就是图解法．根据二元不等式组的解与坐标平面内点的对应关系，将约束条件转化为平面区域，然后利用目标函数的几何意义求最优解和最值．线性规划问题将函数、方程、不等式和最值融为一体，将代数与解析几何有机联系，主要体现了转化与化归和数形结合思想．含参数的线性规划问题主要根据参数是在约束条件中还是在目标函数中分成以下四类．一、约束条件含有参数例1 已知x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥2，x ＋y ≤4，2x －y －m ≤0，若目标函数z ＝3x ＋y 的最大值为10，则m 的值为________．答案 5解析 把z ＝10代入z ＝3x ＋y 得y ＝－3x ＋10.在同一坐标系下画出三条直线x ＝2，x ＋y ＝4，y ＝－3x ＋10，如图所示．求得直线y ＝－3x ＋10与直线x ＋y ＝4的交点为A (3,1)．因为可行域在直线x ＋y ≤4的下方，所以直线2x －y －m ＝0必过点A .当直线过点A 时求得m ＝5，故m 的值为5.反思感悟 线性规划问题的最值如果存在，若最优解唯一，则最优解必是可行域的某个顶点即为两边界直线的交点，并且取得该最值时的目标函数所表示的直线也经过这个交点，此时形成三线共点的态势．若最优解不唯一，则取得该最值时的目标函数所表示的直线必与某一边界直线重合．以上两点经验直取核心，在解决线性规划的最值等有关问题时具有很好的指导作用．二、目标函数含有参数例2 设x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y －6≤0，2x －y －1≤0，3x －y －2≥0，若z ＝ax ＋y 的最大值为2a ＋4，最小值为a ＋1，则实数a 的取值范围是( )A ．[－2,1]B ．[－1,2]C ．[－3，－2]D ．[－3,1]答案 A解析 不等式组所确定的平面区域是如图所示的阴影部分(含边界)．因为z ＝ax ＋y ，当z ＝a ＋1时，直线z ＝ax ＋y 过点A (1,1)；当z ＝2a ＋4时，直线z ＝ax ＋y 过点B (2,4)．注意到点A ，B 分别在直线3x －y －2＝0和x ＋y －6＝0上．由图知，要直线y ＝－ax ＋z 分别在点A ，B 时截距z 取得最小值和最大值，若a ＝0，则y ＝z ，此时满足条件；若a <0，k ＝－a >0，则其斜率－a 满足－a ≤k AC ＝2，即－2≤a <0；若a >0，k ＝－a <0，则－a ≥k BC ＝－1，即0<a ≤1.综上所述，－2≤a ≤1.反思感悟 直线斜率与截距的几何意义在上述解题过程中发挥得淋漓尽致，其中斜率几何意义理解不透彻是解题受阻或失败的重要原因．斜率的几何意义要注意如下两点，一是符号 ，二是绝对值．斜率大于零，函数递增，直线上升，斜率小于零，函数递减，直线下降．斜率的绝对值越大，直线越陡峭，斜率的绝对值越小，直线越平缓．斜率几何意义全面透彻的理解与应用是解决求最值问题的关键．三、目标函数含有双参数例3 若a ≥0，b ≥0，且当⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥0，y ≥0，x ＋y ≤1时，恒有ax ＋by ≤1，则以a ，b 为坐标的点P (a ，b )所形成的平面区域的面积是( ) A.12 B.π4 C ．1 D.π2答案 C解析 作出线性约束条件⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥0，y ≥0，x ＋y ≤1.对应的可行域，在此条件下，要使ax ＋by ≤1恒成立，只要ax ＋by 的最大值不超过1即可．令z ＝ax ＋by ，则y ＝－a b x ＋z b. ∵a ≥0，b ≥0，∴若－1<－a b ≤0时(如图1)，直线y ＝－a b x ＋z b经过点A (0,1)时的截距最大，对应的z 也最大，将(0,1)代入z ＝ax ＋by 得b ≤1，若－a b ≤－1时(如图2)，直线y ＝－a b x ＋z b经过点B (1,0)时的截距最大，对应的z 也最大，将(1,0)代入z ＝ax ＋by 得a ≤1.即⎩⎪⎨⎪⎧0≤a ≤1，0≤b ≤1，此时对应的可行域如图，∴以a ，b 为坐标的点P (a ，b )所形成平面区域的面积为1.反思感悟 在线性规划问题可行域下的恒成立问题，一定要结合“可行域”将“恒成立”加以控制，使之转化为平面区域间关系的恒成立，再进行解答就轻松多了．四、约束条件和目标函数均含有参数例4 设m >1，在约束条件⎩⎪⎨⎪⎧ y ≥x ，y ≤mx ，x ＋y ≤1下，目标函数z ＝x ＋my 的最大值小于2，则m 的取值范围为( )A ．(1,1＋2)B ．(1＋2，＋∞)C ．(1,3)D ．(3，＋∞) 答案 A解析 不等式组所确定的平面区域是如图所示的阴影部分(含边界)．由z ＝x ＋my 得y ＝－1mx ＋z m ，由m >1得－1m >－1＝k AB ，由图知当直线z ＝x ＋my 经过点B ⎝⎛⎭⎫1m ＋1，m m ＋1时，截距z m 最大，从而z ＝1m ＋1＋m 2m ＋1最大，依题意得1m ＋1＋m 2m ＋1<2，即m 2－2m －1<0，(m －1)2<2，又m >1，解得1<m <1＋ 2.。
两参数线性规划问题的解法
两参数线性规划问题是一类常见的数学规划问题，通常表示为:有两个变量x和y，求解以下线性规划问题:max z = ax + bys.t.c1x + d1y ≤b1c2x + d2y ≤b2...cnx + dny ≤bnx, y ≥0其中，a、b、c1、d1、...、cn、dn和b1、b2、...、bn均为常数。
两参数线性规划问题的解法通常采用解析法和数值法两种方法。
解析法:解析法是指用数学方法直接求解最优解的方法。
常用的解析法有单纯形法、图解法等。
单纯形法是一种常用的解析法，它通过构造单纯形来求解线性规划问题。
图解法是一种简单易懂的解析法，它通过绘制线性规划模型的图象来求解问题。
数值法:数值法是指通过计算机程序或其他数学工具来近似求解线性规划问题的方法。
常用的数值法有随机化算法、贪心算法、遗传算法等。
随机化算法是指利用随机数来求解线性规划问题的方法。
常用的随机化算法有随机化单纯形法、随机化贪心算法等。
贪心算法是一种解决线性规划问题的有效算法，它的基本思想是每一步都选择最优的解决方案。
遗传算法是一种基于自然进化规律的算法，它通过模拟自然界中物种进化的过程来求解线性规划问题。
总的来说，两参数线性规划问题可以采用解析法和数值法两种方法来求解。
在选择求解方法时，应根据实际情况和需求的精度来决定使用哪种方法。
如果需要精确求解最优解，可以使用解析法，如果只需要大致估算最优解，则可以使用数值法。
此外，在求解两参数线性规划问题时，还需要注意以下几点:确定目标函数: 目标函数是线性规划问题的核心，通常表示为max z = ax + by或min z = ax + by，其中z是目标函数值，a和b是系数。
确定约束条件: 约束条件是线性规划问题的基本要求，表示为c1x + d1y ≤b1、c2x + d2y ≤b2、...、cnx + dny ≤bn，其中c1、d1、...、cn、dn和b1、b2、...、bn均为常数。
含参数的线性规划问题求解
B
D . 2
2. 已知变量 x , y 满足约束条件 ，
x 2y 3 0 x 3y 3 0 y 1 0 y a x 若目标函数 z 仅在点( 3, 0 ) 处取到最 大值，则实数 a 的取值范围为 B
A .(3, 5)
1 B .( , ) 2
x y 3 0, x 2 y 3 0 xm
则实数m的最大值为 A.-1 B.1
B
3 C. 2
D.2
x y 0 5.若不等式组 2x y 2 y 0 x y a
表示的平面区域是一个三角形，则a 的 取值范围是 C
C.(1,2)
1 D .( ,1 ) 3
3. 若x,y满足
x y 1 x y 1 2x y 2
且 z a x2y 仅在点(1,0)处取得最小值 ， 则a 的取值范围是
A.(－1，2) C.(－4，0]
D
B.(－2，4) D.(－4，2)
4.若直线y=2x上存在点（x,y）满足约束条件
4 D .0a1 或 a 3
4 A . a 3 4 B . 0 a 1C . 1 a 3
6.若实数
x , y 满足不等式组 ,
目标函数 t x 2y 的最大值为2，则 实数a 的值是( ) A.-2 B.0 C.1 D.2
x 2 0 , y - 1 0, x 2 y a 0,
含参数的线性规划问题求解excel线性规划求解lingo求解线性规划lingo求解非线性规划matlab求解线性规划matlab求解非线性规划非线性规划求解线性规划问题求解含参的线性规划matlab线性方程组求解
含参数的简单线性规划问题的解法
含参数的简单线性规划问题的解法教学目标：1、知识与技能：掌握目标函数或约束条件中含参数问题的一般解法2、过程与方法：（1）通过例1及其变式的讨论，让学生掌握含参数问题可以抓住直线恒过定点的角度考虑；（2）通过例2的四个小变式的讨论，让学生体会含参数问题可以考虑参数的几何意义，数形结合讨论动直线的几何特征，画出目标函数，列式求解3、情感态度与价值观：以学生为主体，以问题解决为目的，激发学生观察思考，猜想探究的兴趣；培养学生分析问题、解决问题的能力教学重点：解决含参数的简单线性规划问题中的四个解法步骤：动中找静，确定参数几何意义，研究动直线的几何特征，列式求解教学难点：根据参数出现的不同位置，数形结合研究动直线的几何特征，从而能有效解题教学方法：尝试、归纳法教学过程：一、实例探索例1、若不等式组3434xx yx y≥⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩所表示的平面区域被直线43y kx=+分为面积相等的两部分，则k的值为（）A. 73B.37C.43D.34变式：若不等式组34040xx ykx y≥⎧⎪+-≥⎨⎪-+≥⎩所表示的平面区域为三角形，则k的取值范围为_________________.设计意图：此类问题中参数的变化导致直线位置不确定，因此先要找到直线恒过的定点，再确定参数的几何意义，根据其它条件进行列式求解例2当实数,x y 满足240101x y x y x +-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩时（1） 若目标函数z ax y =-+取到最大值时的最优解有无穷多个，则实数a 的值是_________________.（2） 若目标函数z ax y =-+取到最大值时的唯一最优解是()2,1，则实数a 的取值范围是_________________设计意图：在平面区域定的前提下，确定参数a Z 、的几何意义，数形结合讨论动直线的变化过程，加强学生分类讨论的思想（3） 若目标函数z ax y =-+取到最大值为12，则实数a 的值是_________. 设计意图：通过上面的讨论分析，学生从形上就能快速找到取到最大值的点（4） 若4ax y -+≤恒成立，则实数a 的取值范围是________________.设计意图：从最值的角度思考，结合上面的分析，最大值所取的点二、随堂练习若0,0a b ≥≥ ，且当0010x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+-≤⎩时，恒有1ax by +≤，则以,a b 为坐标点(),p a b 所形成的平面区域的面积等于________________.三、课时小结解决含参数的简单线性规划问题的基本解法：（1）动中找静（2）确定参数的几何意义（3）数形结合研究动直线的几何特征（4）列式求解四、课后作业1、若不等式组()0211y y x y a x ⎧≥⎪≤⎨⎪≤-+⎩表示的平面区域是一个三角形，则a 的取值范围为________________.2、（2011湖南）设1m >，在约束条件1y x y mx x y ≥⎧⎪≤⎨⎪+≤+⎩下，目标函数z x my =+的最大值小于2，则m 的取值范围为（ ）。
巧解一类含参数的线性规划问题
-4表示的区域（ 直线上方） ，再作由约束条件表示的可行
域， 如图3所示. 注意到直线
y
kx-y+2=0恒过点（ 0，2） ，则 要 满 足 题 意 只 能 是 直 线 kx-y+ 2=0过点A（ 4，0） ，代入可求得 k=- 1 .
2
kx-y+2=0 y-x+4=0
x+y-2=0 O
Ax
图3
评注：以上两例中，我们利用平面区域间的包含关
三、举例应用
例1 （2015年 高 考 山 东 卷 ）已 知x，y满 足 约 束 条 件
00x-y≥0，
0
000x+y≤2，若z=ax+y的 最 大 值 为4，则a=_______.
0 0
000y≥0，
分析：按常规解法，先画出可行域，再寻求平行直线
系y=-ax+z的 纵 截 距 何 时 最 大.这 就 需 要 对 斜 率 -a 进 行 分
一、试题解析
简析： 注意到四个命题均为研 究x+2y的取值范围， 故转化为研究 x+y=1 y 目 标 函 数z=x+2y的 最 值 问 题 . 通 过 画
x-2y=4
出可行域（ 如图1） ，结合y=- 1 x+ z 22
中z的几何意义容易求得zmin=0，即z≥0.
O
x
x+2y=0
图1
因此，命题①、②为真命题.
且z=y-x的最小值为-4，则k的值为_______.
分析：与例1一样，若按部就班地作出可行域与目标
函数对应的直线系后再求解， 则不可避免地要针对k的
范围进行分类讨论.而运用平面区域间的包含关系则可
线性规划的常见题型及其解法
■屋兰也整分ii斤■■■■■线性规划问题是高考的重点，而线性规划问题具有代数和几何的双重形式，多与函数、平面向量、数列、三角、概率、解析几何等问题交叉渗透，白然地融合在一起，使数学问题的解答变得更加新颖别致.归纳起来常见的命题探究角度有：1. 求线性目标函数的最值.2. 求非线性目标函数的最值.3. 求线性规划中的参数.4. 线性规划的实际应用.本节主要讲解线性规划的常见基础类题型.♦目题展现♦♦♦♦♦【母题一】已知变量x, y满足约束条件则目标函数z = 2x+ 3y的取值范围为（）A. [7 , 23]B. [8 , 23]C. [7, 8]D. [7, 25]求这类目标函数的最值常将函数z= ax+ by转化为直线的斜截式：y= — x + ,通过求直线的截距的最值，间接求出z的最值.【解析】画出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，由目标函数z= 2x + 3y得y = — x+,平移直线y = — x知在点B处目标函数取到最小值，解方程组得所以B(2,1) , zmin = 2X2 + 3X 1 = 7,在点A处目标函数取到最大值，解方程组得所以A(4,5) , zmax2X4+ 3X5= 23.【答案】A【母题二】变量x, y满足(1) 设z=,求z的最小值；(2) 设z = x2 + y2,求z的取值范围；(3) 设z = x2 + y2 + 6x — 4y + 13,求z 的取值范围.点(x , y)在不等式组表示的平面区域内，=•表示点(x , y)和连线的斜率；x2 + y2 表示点(x , y)和原点距离的平方;x2 + y2 + 6x- 4y + 13= (x + 3)2 + (y -2)2表示点(x , y)和点(一3,2)的距离的平方.【解析】(1)由约束条件作出(x , y)的可行域如图所示.由解得A.由解得C(1,1).由解得B(5,2).z= = x.••Z的值即是可行域中的点与连线的斜率，观察图形可知zmin=x=.(2) z = x2 + y2的几何意义是可行域上的点到原点O的距离的平方.结合图形可知，可行域上的点到原点的距离中，dmin = |OC| = , dmax |OB| =.... 2< z< 29.(3) z = x2 + y2 + 6x- 4y+ 13= (x + 3)2 + (y - 2)2 的几何意义是：可行域上的点到点(一3,2)的距离的平方.结合图形可知，可行域上的点到(一3,2)的距离中，dmin= 1 — ( — 3) = 4,dmax = 8... 16< z < 64.=方活•技15========================1. 求目标函数的最值的一般步骤为：一画二移三求.其关键是准确作出可行域，理解目标函数的意义.2. 常见的目标函数有：(1) 截距型：形如z = ax+ by.求这类目标函数的最值常将函数z= ax+ by转化为直线的斜截式：y= — x + ,通过求直线的截距的最值，间接求出z的最值.(2) 距离型：形一：如z=, z=，此类目标函数常转化为点(x,y)与定点的距离；形二：z = (x — a)2 + (y — b)2 , z = x2 + y2 + Dx+ Ey+ F,此类目标函数常转化为点(x,y)与定点的距离的平方.(3) 斜率型：形如z=, z=, z=, z=，此类目标函数常转化为点(x,y)与定点所在直线的斜率.【提醒】注意转化的等价性及几何意义.■鼬型闩ii斤■■■■■角度一：求线性目标函数的最值1. (2014 •新课标全国II卷)设x, y满足约束条件则z = 2x — y的最大值为( )A. 10B. 8C. 3D. 2【解析】作出可行域如图中阴影部分所示,由z= 2x-y得y = 2x — z,作出直线y = 2x,平移使之经过可行域，观察可知，当直线经过点A(5,2)时，对应的z值最大.故zmax2X 5-2= 8.【答案】B2. （2015 •高考xx卷）设变量x, y满足约束条件则目标函数z = x + 6y的最大值为（）A. 3B. 4C. 18D. 40【解析】作出约束条件对应的平面区域如图所示，当目标函数经过点（0,3）时，z取得最大值18.【答案】C3. （2013 •高考xx卷）若点（x , y）位于曲线y = |x|与y = 2所围成的封闭区域，则2x- y的最小值为（）A. — 6B. -2C. 0D. 2【解析】如图，曲线y=|x|与y = 2所围成的封闭区域如图中阴影部分,令z= 2x-y,则y = 2x — z,作直线y = 2x,在封闭区域内平行移动直线y =2x，当经过点（—2,2）时，z取得最小值，此时z = 2X （—2）— 2= — 6.【答案】A角度二：求非线性目标的最值4. （2013 •高考xx卷）在平面直角坐标系xOyxx, M为不等式组所表示的区域上一动点，则直线OM斗率的最小值为（）A. 2B. 1C. -D.-【解析】已知的不等式组表示的平面区域如图中阴影所示，尸| 5i上厂8=0厂2=0厂1=0 ]显然当点M与点A重合时直线OM勺斜率最小，由直线方程x + 2y-1 = 0和3x + y-8 = 0,解得A（3, - 1），故OM4率的最小值为一.【解析】C5. 已知实数x, y满足则z =的取值范围.【解】由不等式组画出可行域如图中阴影部分所示，目标函数z= = 2 +的取值范围可转化为点（x , y）与（1 , -1）所在直线的斜率加上2的取值范围，由图形知，A点坐标为（，1），则点（1 , —1）与（，1）所在直线的斜率为2 + 2,点（0,0）与（1 , -1）所在直线的斜率为—1,所以z的取值范围为（一"，1] U[2 + 4, + ^）.【答案】（一8, 1] U[2 + 4, +8）6. （2015 - xx质检）设实数x,y满足不等式组则x2 + y2的取值范围是（）A. [1 , 2]B. [1 , 4]C. [ , 2]D. [2 , 4]【解析】如图所示，不等式组表示的平面区域是△ ABC的内部（含边界），x2 + y2表不■的是此区域内的点（x , y）到原点距离的平方.从图中可知最短距离为原点到直线BC的距离，其值为1;最远的距离为AQ其值为2,故x2 + y2的取值范围是[1,4].【答案】B7. （2013 •高考xx卷）设D为不等式组所表示的平面区域，区域D上的点与点（1,0）之间的距离的最小值为 .【解析】作出可行域，如图中阴影部分所示,则根据图形可知，点B(1,0)到直线2x — y = 0的距离最小，d= = ,故最小距离为.【答案】8. 设不等式组所表示的平面区域是Q 1,平面区域Q 2与Q 1关于直线3x -4y-9= 0对称.对于Q 1中的任意点A与Q 2中的任意点B, |AB|的最小值等于()A. B. 4C. D. 2【解析】不等式组，所表示的平面区域如图所示，解方程组，得.点A(1,1)到直线3x-4y- 9 = 0的距离d= = 2,则|AB|的最小值为4.【答案】B角度三：求线性规划中的参数9 .若不等式组所表示的平面区域被直线y = kx +分为面积相等的两部分，则k的值是()A. B.C. D.【解析】不等式组表示的平面区域如图所示.由于直线y= kx+过定点.因此只有直线过AB中点时，直线y = kx +能平分平面区域.因为A(1,1) , B(0,4)，所以AB中点D.当y = kx +过点时，=+ , 所以k=.【解析】A10. (2014 •高考xx卷)若x, y满足且z = y — x的最小值为一4,贝U k的值为()A. 2B. -2C. D.一【解析】D作出线性约束条件的可行域.当k>0时，如图①所示，此时可行域为y轴上方、直线x+ y — 2 = 0的右上方、直线kx — y+ 2 = 0的右下方的区域，显然此时z = y-x无最小值.当kv— 1时，z= y — x取得最小值2;当k= — 1时，z = y — x取得最小值—2,均不符合题意.图②当一1v kv 0时，如图②所示，此时可行域为点A(2,0) , B, C(0,2)所围成的三角形区域，当直线z = y-x经过点B时，有最小值，即一=一4? k=-.【答案】D11. (2014 •高考xx卷)x , y满足约束条件若z = y-ax取得最大值的最优解不唯一，则实数a的值为( )A.或—1B. 2 或C. 2 或1D. 2 或一1【解析】法一：由题中条件画出可行域如图中阴影部分所示，可知A(0,2),B(2,0) , C( — 2, -2)，则zA= 2, zB= — 2a, zC= 2a-2,要使目标函数取得最大值的最优解不唯一，只要zA= zB>zC或zA= zC>zB或zB= zC>zA,解得a =—1 或a= 2.x+y-2=C-2CC-2,-2)法二：目标函数z = y — ax可化为y = ax + z,令10 : y= ax,平移10 ,则当10 II AB 或10 II AC时符合题意，故a=— 1或a= 2.【答案】D12. 在约束条件下，当3<sV5时，目标函数z= 3x+ 2y的最大值的取值范围是()A. [6 , 15]B. [7, 15]C. [6 , 8]D. [7, 8]【解析】由得，贝U交点为B(4 — s,2s — 4), y + 2x = 4与x轴的交点为A(2,0),与y轴的交点为C' (0,4) , x + y = s与y轴的交点为C(0, s).作出当s= 3和s = 5时约束条件表示的平面区域，即可行域，如图(1)(2)中阴影部分所示.(1)(2)当3< sv 4时，可行域是四边形OAB殷其内部，此时，7Vzmak 8;当4<s<5时，可行域是△ OAC及其内部，此时，zmax8.综上所述，可得目标函数z = 3x + 2y的最大值的取值范围是[7 , 8].【答案】D13. (2015 -通化一模)设x, y满足约束条件若z =的最小值为，则a的值为.【解析】•.•= 1 + ,而表示过点(x , y)与(—1, - 1)连线的斜率，xxa >0,ED可作出可行域，由题意知的最小值是，即min= = =? a= 1.【答案】1角度四：线性规划的实际应用14. A, B两种规格的产品需要在甲、乙两台机器上各白加工一道工序才能成为成品.已知A产品需要在甲机器上加工3小时，在乙机器上加工1小时；B 产品需要在甲机器上加工1小时，在乙机器上加工3小时.在一个工作日内，甲机器至多只能使用11小时，乙机器至多只能使用9小时.A产品每件利润300 元，B产品每件利润400元，则这两台机器在一个工作日内创造的最大利润是_______________ .【解析】设生产A产品x件，B产品y件，则x, y满足约束条件生产利润为z = 300x+ 400y.画出可行域，如图中阴影部分（包含边界）内的整点，显然z= 300x+ 400y 在点A处取得最大值，由方程组解得则zmax300X 3+400X 2= 1 700.故最大利润是1 700兀.【答案】1 70015. 某玩具生产公司每天计划生产卫兵、骑兵、伞兵这三种玩具共100个, 生产一个卫兵需5分钟，生产一个骑兵需7分钟，生产一个伞兵需4分钟，已知总生产时间不超过10小时.若生产一个卫兵可获利润5元，生产一个骑兵可获利润6元，生产一个伞兵可获利润3元.（1）试用每天生产的卫兵个数x与骑兵个数y表示每天的利润w（元）;(2)怎样分配生产任务才能使每天的利润最大，最大利润是多少？【解析】(1)依题意每天生产的伞兵个数为100-x-y,所以利润w= 5x+ 6y + 3(100 - x - y) = 2x + 3y + 300.(2)约束条件为整理得目标函数为峪2x+ 3y+ 300.作出可行域.如图所示：S+jr-lQO初始直线10 : 2x + 3y = 0,平移初始直线经过点A时，w有最大值.由得最优解为A(50,50),所以wma* 550元.所以每天生产卫兵50个，骑兵50个，伞兵0个时利润最大，最大利润为550元.=勤加练加=========================一、选择题1.已知点(一3, -1)和点(4, —6)在直线3x - 2y - a= 0的两侧，贝U a的取值范围为()A. ( —24,7)B . ( —7,24)C. (—8, - 7) U (24, + 8)D. (—8, - 24) U (7, +")【解析】根据题意知(-9+ 2-a) - (12 + 12-a) v 0.即(a + 7)(a - 24) v 0, 解得—7v avjt+2j^3=0l+2y=024.【答案】B2. (2015 - xx 检测)若x, y 满足约束条件则z = x-y 的最小值是( )A. — 3B. 0C.D. 3【解析】作出不等式组表示的可行域(如图所示的△ ABC 的边界及内部).平移直线z = x — y, xx 当直线z = x — y 经过点C(0,3)时，目标函数z = x- y 取得最小值，即zmin = — 3.【答案】A3. (2015 - xx 质检)已知。
线性规划含参问题
12.如图, 目旳函数u ＝ax －y 旳可行域为四边形OACB(含边界). 若点C( , )是该目旳函数旳最优解, 则a 旳取值范围是________.
解析：由u ＝ax －y 得y ＝ax －u, 于是要使点C( , )是目旳函数旳最优解, 需有kAC ≤a ≤kBC, 而kAC ＝－ , kBC ＝－ .
答案：⎣⎡⎦⎤－125
，－310 19. (本小题满分16分)已知x 、y 满足 设z ＝ax ＋y(a>0), 若当z 取最大值时对应旳点有无数多种, 求a 旳值.
解: 画出可行域, 如图所示, 即直线z ＝ax ＋y(a>0)平行于直线AC, 则直线通过线段AC 上任意一点时, z 均获得最大值, 此时将满足条件, 有无数多种点使函数获得最大值.
分析知当直线y ＝－ax ＋z 刚好移动到直线AC 时, 将会有无数多种点使函数获得最大值.
又由于kAC ＝ ＝－ ,
即－a ＝－ , ∴a ＝ .
9．已知实数x, y 满足 假如目旳函数z ＝x －y 旳最小值为－1, 则实数m 等于________．
解析: x, y 满足旳区域为图中阴影部分, 由题意知, 当(x, y)在点A 处时, z ＝x －y 获得最小值.
由 得A( , ).
∴ － ＝－1,
∴m ＝5.
答案：5。
参数线性规划
0 2
当 1 / 5 时，由原最终单纯形表
cj 2 1 2 CB X B b x1 x2 0 x3 15 / 2 0 0 2 x1 7 / 2 1 0 1 2 x2 3 / 2 0 1 cj zj
0 0
0 0 0 x3 x4 x5 1 5 / 4 15 / 2 0 1/ 4 1/ 2 0 1/ 4 3/ 2 1 1 5 0 4 4 2 2
举例分析——目标函数的系数
含有参数的线性规划问题 分析 值变化时，下述参数线性规划 问题最优解的变化。
max z ( ) (2 ) x1 (1 2 ) x2 5 x2 15 6 x1 2 x2 24 x x 5 2 1 x1 , x2 0
cj
1 0 0 0 x2 x3 x4 x5 5 1 0 0 1 0 0 1 4 0 1 6 1 0 0 2 z 10
先令 0 求得最优 解，然后 将 b 反映在最终单纯形表中，见下表：
cj
CB X B
b
2 1 0 x1 x2 x3 0 0 1
0 x4
0 x5
15 5 0 x3 2 4 7 1 2 x1 若 6， 4 2 则x 4 0 3 1 1 x2 2 4
先令 0求得最优 解，然后 将C 反映在最终单纯形表中，见下表：
cj 2 1 2 0 0 0 CB X B b x1 x2 x3 x4 x5 0 x3 15 / 2 0 最优解保持不变的条件 / 2 0 1 5 / 4 15 2 x1 7 / 2 1 0 0 1 / 417 132 1/ 1 z 1 2 x2 3 / 2 5 0 1 0 1 / 42 3 /22 1 1 5 0 0 0 cj zj 4 4 2 2
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边界直线的交点, 并且取得该最值时的目标函数所表示的直
线也经过这个交点, 此时形成三线共点的态势. 若最优解不
唯一, 则取得该最值时的目标函数所表示的直线必与某一边 界直线重合. 以上两点经验直取核心在解决线性规划的最值
等有关问题时具有很好的指导作用.
2. 目标函数含有参数
x + 2y − 3 0,
12
中学数学研究
2019 年第 3 期 (上)
含有参数的线性规划问题及其解法
浙江省绍兴市柯桥区钱清中学 (312025) 王红娟 湖北省阳新县高级中学 (435200) 邹生书
线性规划问题通常是指在线性约束条件下求线性目标 函数的最值问题, 其求解方法就是图解法. 根据二元不等式 组的解与坐标平面内点的对应关系, 将约束条件转化为平面 区域, 然后利用目标函数的几何意义求最优解和最值. 线性 规划问题将函数、方程、不等式和最值融为一体, 将代数与解 析几何有机联合, 将函数方程、数形结合和化归转化等数学 思想深透到问题的解决过程之中, 因此线性规划问题成为考 查考生能力和综合素养的良好载体. 其中含有参数的线性规 划问题, 对考生能力方面的要求更高, 从而使得问题难度大 增. 笔者通过统计发现含有参数的线性规划问题在高中较为 少见, 但在高考模拟考和联考中却风起云涌屡见不鲜, 下面 主要以模拟考试的题目为例, 分类解析这类问题的解法.
方法二 若二元一次不等式可化为 y > kx + b, 则其表
示的平面区域为直线 y = kx + b 的上半平面, 反之为该直线
的下半平面. 若二元一次不等式可化为 x > my + n, 则其确 定的平面区域为直线 y = kx + b 的右侧半平面, 反之为该直
线的左侧半平面. 确定区域的口诀是: 纵大则上, 横大则右.
例4
已知变量 x, y 满足约束条件
这个方法简单实用.
有了上述二元一次不等式确定平面区域的方法, 二元一
次不等式组所确定的平面区域可象作战地图一样用箭头包
围法来确定.
例 3 (2017 年福州市高中毕业年级第二次质量预测理 x 2,
科第 15 题) 已知 x, y 满足
x + y 4, 2x − y − m
若目标函数 0,
2012. [4] 韩云桥. 中学数学教学与学生思维发展 [M]. 中山大学出版社, 2013. [5] 卢敏玲. 变易理论和优化课堂教学 [M]. 安徽教育出版社, 2011.
2019 年第 3 期 (上)
中学数学研究
13
点评 二元一次不等式所对应的平面区域是半个平面,
其确定方法主要有如下两种方法.
方法一 第一步, 画出二元一次不等式所对应的二元一
次方程所表示的直线, 有等号画成实线, 没有等号画成虚线;
第二步, 在直线外取一特殊点, 若这个点的坐标满足不等式,
那么这个点和这条直线所确定的半平面就是这个二元一次
不等式所确定的平面区域, 否则就是另一个半平面. 确定区
域的口诀是: 直线定边界, 一点定区域, 合则在, 不合则不在.
3
=
(m + 1)2 3
=
4 (m + 1)2 3
= 4,
所以 (m + 1)2 = 4, 又 m + 1 > 0, 所以 m = 1, 故选 B.
解决, 提高学生的建模能力, 帮助学生把所学的知识进行内 部联系分类, 把它们连成线, 结成网, 使所学知识系统化, 网 络化, 模型化.
参考文献
图 11
图3
线的交点分别为 A(2, 4), B(3, 1). 则
直线 2x − y − m = 0 必过点 A 或点 B. 当直线过点 A 时求 得 m = 0, 当直线过点 B 时求得 m = 5, 故 m 的最小值为 0.
点评 解题经验告诉我们: 线性规划问题的最值如果存
在, 若最优解唯一, 则最优解必是可行域的某个顶点即为两
得 xC = 2, xD = −2m, yA =
2(m + 1)
m + 1, yB =
, 所以 3
图2
S△ABC = S△ADC − S△BDC =
1
1
1
1
2 DC ·yA − 2 DC ·yB = 2 DC(yA −yB) = 2 (xC −xD)(yA −
yB) =
1
m+1
(2 + 2m) ·
2
例 2 (2015 年 高 考 重 庆 卷) 若 不 等 式 组 x + y − 2 0
x + 2y − 2 x − y + 2m
0 0
表示的平面区域为三角形, 且其面积等
4 于 3 , 则 m 的值为 ( )
A. −3
B. 1
C. 4 3
D. 3
解 不等式组所确定的平面
区域是图 2 所示的 △ABC. 易求
z = 3x + y 的最大值为 10, 则 m 的最小值为 .
解 把 z = 10 代入 z = 3x + y
得 y = −3x + 10. 在同一坐标系下 画 出 三 条 直 线 x = 2, x + y = 4,
y = −3x + 10, 如图 3 所示. 求得直线
y = −3x + 10 与 x = 2, x + y = 4 直
三、小结
本文利用类比教学得到空间球的标准方程和平面截球 的两个重要几何性质及一个重要的数学公式, 并根据性质的 使用情况将空间几何体的外接球问题归纳为四种类型进行
[1] 梁玉麟, 劳傅燕华, 江巧妍. 数学课堂学习研究实践与数学基本概念 的教学 [M]. 安徽教育出版社, 2011.
[2] 何小亚. 数学学与教的心理学 [M]. 华南理工大学出版社, 2011. [3] 谭国华. 高中数学教学设计的理论与实践 [M]. 人民教育出版社,
1. 约束条件含有参数
例 1 在 直 角 坐 标 系 xOy 中,
若 不等式组 y 0
y y
2x k(x − 1) − 1
表示一个三
角 形 区 域, 则 实 数 k 的 取 值范 围
图1
为.
解 如图 1, y = k(x−1)−1 是斜率为 k 过定点 A(1, −1) 的一条直线, 要不等式组表示一个三角形区域, 由图知当且 仅当直线 y = k(x − 1) − 1 与直线 y = 2x 在第一象限有交 点, 故实数 k 的取值范围为 (−∞, −1) ∪ (2, +∞).