步步高高中数学 步步高选修2-3 第一章 1.2.2(一)

1.2.2 组合(一)

学习目标 1.理解组合及组合数的概念.2.能利用计数原理推导组合数公式，并会应用公式解决简单的组合问题

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知识点一 组合的定义

思考 ①从3,5,7,11中任取两个数相除； ②从3,5,7,11中任取两个数相乘.

以上两个问题中哪个是排列？①与②有何不同特点？

答案 ①是排列，①中选取的两个数是有序的，②中选取的两个数是无需排列.

从n 个不同元素中取出m (m ≤n )个元素合成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合.

知识点二 组合数与组合数公式 从3,5,7,11中任取两个数相除 思考1 可以得到多少个不同的商？ 答案 A 24＝4×3＝12.

思考2 如何用分步乘法计数原理求商的个数？

答案 第1步，从这四个数中任取两个数，有C 24种方法；第2步，将每个组合中的两个数排

列，有A 22种排法.由分步乘法计数原理，可得商的个数为C 24A 22＝12. 思考3 你能得出C 24的计算公式吗？

答案 因为A 24＝C 24A 2

2，所以

C 2

4＝A 24A 22

＝6.

类型一组合概念的理解

例1判断下列问题是组合问题还是排列问题？

(1)设集合A＝{a，b，c，d}，则集合A的含有3个元素的子集有多少个？

(2)某铁路线上有4个车站，则这条铁路线上需准备多少种车票？

(3)从7本不同的书中取出5本给某同学.

(4)3人去做5种不同的工作，每人做一种，有多少种分工方法？

(5)把3本相同的书分给5个学生，每人最多得一本，有多少种分配方法？

解(1)因为集合A的任一个含3个元素的子集与元素顺序无关，故它是组合问题.

(2)一种火车票与起点、终点顺序有关，

例“甲→乙”与“乙→甲”的车票不同，故它是排列问题.

(3)从7本不同的书中取出5本给某同学，在每种取法中取出的5本书并不考虑书的顺序，故它是组合问题.

(4)因为一种分工方法就是从5种不同工作中取出3种，按一定顺序分给3人去干，故它是排列问题.

(5)因为3本书是相同的，把3本书无论分给哪三个人都不需考虑顺序，故它是组合问题.

故(1)(3)(5)是组合问题，(2)(4)是排列问题.

反思与感悟判断一个问题是否是组合问题的流程

跟踪训练1给出下列问题：

(1)从a，b，c，d四名学生中选2名学生完成一件工作，有多少种不同的选法？

(2)从a，b，c，d四名学生中选2名学生完成两件不同的工作，有多少种不同的选法？

(3)a，b，c，d四支足球队之间进行单循环比赛，共需赛多少场？

(4)a，b，c，d四支足球队争夺冠亚军，有多少种不同的结果？

(5)某人射击8枪，命中4枪，且命中的4枪均为2枪连中，不同的结果有多少种？

(6)某人射击8枪，命中4枪，且命中的4枪中恰有3枪连中，不同的结果有多少种？

在上述问题中，________是组合问题，________是排列问题.

解析(1)2名学生完成的是同一件工作，没有顺序，是组合问题.

(2)2名学生完成两件不同的工作，有顺序，是排列问题.

(3)单循环比赛要求每两支球队之间只打一场比赛，没有顺序，是组合问题. (4)冠亚军是有顺序的，是排列问题.

(5)命中的4枪均为2枪连中，没有顺序，是组合问题.

(6)命中的4枪中恰有3枪连中，即连中3枪和单中1枪，有顺序，是排列问题. 答案 (1)(3)(5) (2)(4)(6) 类型二 组合的列举问题

例2 从5个不同元素a ，b ，c ，d ，e 中取出2个，列出所有组合为________. 答案 ab ，ac ，ad ，ae ，bc ，bd ，be ，cd ，ce ，de .

解析 要想列出所有组合，做到不重不漏，先将元素按照一定顺序排好，然后按顺序用图示的方法将各个组合逐个地标示出来.如图所示.

反思与感悟 用树形图来写所有组合时，当前面的元素写完后，后面再不能出现该元素，要避免重复和遗漏.

跟踪训练2 写出从A ，B ，C ，D ，E 5个元素中，依次取3个元素的所有组合. 解 所有组合为ABC 、ABD 、ABE 、ACD 、ACE 、ADE 、BCD 、BCE 、BDE 、CDE . 类型三 组合数公式及应用 角度1 有关组合数的计算与证明

例3 (1)计算C 410－C 3

7·A 33； (2)证明：m C m n ＝n C m －

1n －1.

解 (1)原式＝C 410－A 37＝10×9×8×74×3×2×1－7×6×5＝210－210＝0. (2)m C m n ＝m ·n ！m ！(n －m )！ ＝

n ·(n －1)！

(m －1)！(n －m )！

＝n ·(n －1)！(m －1)！(n －m )！

＝n C m －1

n －1.

反思与感悟 (1)涉及具体数字的可以直接用公式

C m

n ＝A m n A m m ＝n (n －1)(n －2)…(n －m ＋1)m ！

计算；

(2)涉及字母的可以用阶乘式C m n

＝n ！

m ！(n －m )！计算： (3)计算时应注意利用组合数的两个性质：

①C m n ＝C n －

m n ；②C m n ＋1＝C m n ＋C m －

1

n

. 跟踪训练3 (1)计算C 34＋C 35＋C 36＋…＋C 32 015的值为( ) A.C 42 015 B.C 52 015