数学建模专题之遗传算法要求
数学建模之遗传算法
OX交叉
①随机选取两个基因座确定两个个体的交叉区域，并将交
叉区域记忆到 Wx 和Wy ；
②在个体
Tx中找到所有
t
x q
t
y p
主要内容
求最优解或近似最优解的种类 遗传算法简介 遗传算法的发展 遗传算法的应用 遗传算法的特点 遗传算法TSP问题如何实现 分享程序
求最优解或近似最优解的种类
枚举法
枚举出所有可行解，以求出精确最优解。
启发式算法
寻求一种能产生可行解的启发式规则，以找到 一个最优解或近似最优解。
搜索算法
在可行解集合的一个子集内进行搜索，找到一 个最优解或近似最优解。
遗传算法简介
遗传算法是模拟生物在自然环境中的遗 传和进化过程，形成的一种自适应全局 最优化概率搜索算法。简单的说，遗传 算法是模拟生物界中适者生存不适者淘 汰的过程。
遗传算法的发展（1）
本世纪40年代，就有学者开始研究如何利用计算机进 行生物模拟的技术，他们从生物学的角度进行了生物 的进化过程模拟、遗传过程模拟等研究工作。
的基因座
q
，并置它们为空
位；同理在个体 Ty
中找到所有
t
y r
t
x p
的基因座
r ，也
设为空位。
③对个体 Tx 、Ty 进行循环左移，直到编码串中有一个空位
移动到了交叉区域的左端；然后将所有空位集中到交叉区域，源自将交叉区域内原有的基因值依次向后移动。
④将 Wx 和Wy 的内容分别放入 Ty 和 Tx 中得到 Tx’Ty’
2023年数学建模国赛a题遗传算法
2023年数学建模国赛A题涉及遗传算法的主题引起了广泛关注，也是我今天要帮助你撰写的重点内容。
在本篇文章中，我将从简单到复杂的方式，探讨遗传算法在数学建模国赛中的应用，并共享我对这一主题的个人观点和理解。
1. 遗传算法概述遗传算法是一种模拟自然选择与遗传机制的搜索优化方法，它模拟了生物进化过程中的选择、交叉和变异等基本操作。
在数学建模中，遗传算法通常用于求解复杂的优化问题，包括组合优化、函数优化和参数优化等。
2023年数学建模国赛A题中涉及遗传算法，意味着参赛者需要使用这一方法来解决所提出的问题，并且对遗传算法进行深入理解和应用。
2. 遗传算法在数学建模国赛中的具体应用在数学建模竞赛中，遗传算法常常被用于求解复杂的实际问题，如路径规划、资源分配和参数优化等。
2023年数学建模国赛A题的具体内容可能涉及到社会经济、科学技术或环境保护等方面的问题，参赛者需要根据题目要求，灵活运用遗传算法进行问题建模、求解和分析。
通过对遗传算法的深入研究和应用，参赛者可以充分发挥算法的优势，解决复杂问题并取得优异的成绩。
3. 个人观点和理解对于遗传算法在数学建模国赛中的应用，我认为重要的是理解算法的基本原理和操作步骤，以及在具体问题中的适用性和局限性。
在参赛过程中，不仅要熟练掌握遗传算法的编程实现，还需要结合实际问题进行合理的参数选择和算法调优。
对于复杂问题，还需要对算法的收敛性和稳定性进行分析，以保证算法的有效性和可靠性。
总结回顾通过本文的探讨，我们深入了解了2023年数学建模国赛A题涉及遗传算法的主题。
我们从遗传算法的概述开始，到具体在数学建模竞赛中的应用，再到个人观点和理解的共享，全面展现了这一主题的广度和深度。
在撰写过程中，多次提及了遗传算法相关的内容，为读者提供了充分的了解机会。
在未来的学习和实践中，我希望能够进一步深化对遗传算法的理解，并灵活运用到数学建模竞赛中，不断提升自己的建模水平和解题能力。
本文总字数超过3000字，希望能够对你提供有益的帮助和启发。
遗传算法的五个基本要素
遗传算法的五个基本要素遗传算法是一种模拟生物进化过程的搜索算法，它通过不断地迭代和选择最优解来解决问题。
遗传算法的五个基本要素是遗传、变异、选择、交叉和编码，这些要素共同构成了遗传算法的核心。
一、遗传遗传算法的第一个基本要素是遗传。
遗传是指通过复制种群中的个体来创建新的种群。
在遗传算法中，我们通常使用一种称为染色体或基因组的表示法来代表问题空间中的解决方案。
染色体通常被表示为一组二进制位，这些位代表了解决方案的特征或属性。
二、变异变异是指染色体中的某些位发生随机变化，以引入新的解决方案。
变异有助于打破种群的平衡，增加搜索空间的多样性，从而促进算法找到更好的解决方案。
变异通常是通过随机改变染色体中的某些位来实现的，这种变化可以是替换、添加或删除位。
三、选择选择是指根据个体的适应度或质量来选择哪些个体将被复制到下一代。
在遗传算法中，我们通常使用适应度函数来评估每个解决方案的质量。
适应度函数通常与问题的目标函数相对应，因此可以根据问题的具体需求来定义。
选择过程通常采用轮盘赌机制，根据个体的适应度来决定其在下一代中的比例。
四、交叉交叉是指两个个体之间进行随机配对，以创建新的个体。
交叉有助于在搜索过程中产生新的解决方案，从而扩大搜索空间。
在遗传算法中，我们通常使用一些特定的交叉策略，如单点交叉、多点交叉等。
这些策略可以根据问题的具体需求和搜索空间的大小来选择。
五、编码编码是指将问题空间中的解决方案转换为一种可以用于遗传操作的形式。
编码过程通常采用二进制编码、浮点数编码等不同的方式，这取决于问题的具体需求和搜索空间的大小。
良好的编码方式可以提高算法的效率和鲁棒性，并帮助算法更快地找到最优解。
综上所述，遗传算法的五个基本要素——遗传、变异、选择、交叉和编码，共同构成了遗传算法的核心。
这些要素相互作用，相互影响，共同推动搜索过程，以找到问题的最优解。
在实际应用中，我们应根据问题的具体需求和搜索空间的大小来选择合适的参数和操作，以获得最佳的搜索效果。
遗传算法的步骤与流程解析
遗传算法的步骤与流程解析遗传算法是一种模拟自然界进化过程的优化算法，它通过模拟遗传、交叉和变异等操作，逐步优化问题的解。
下面将从问题建模、编码、初始化种群、选择、交叉和变异等方面解析遗传算法的步骤与流程。
1. 问题建模在使用遗传算法解决问题之前，首先需要将问题转化为适合遗传算法求解的形式。
问题建模是遗传算法的第一步，它决定了后续步骤的具体操作。
2. 编码编码是将问题的解表示为遗传算法中个体的基本单位。
不同的问题需要采用不同的编码方式，常见的编码方式有二进制编码、浮点数编码和排列编码等。
编码方式的选择应根据问题的特点和求解需求进行合理选择。
3. 初始化种群初始化种群是指生成一组初始解作为遗传算法的起点。
种群的大小和初始解的质量直接影响算法的收敛速度和最终结果。
通常，初始解可以通过随机生成、启发式方法或问题的先验知识等方式得到。
4. 选择选择是遗传算法中最重要的环节之一。
它通过评估个体的适应度，选择优良个体作为下一代的父代，从而实现优胜劣汰的进化过程。
常见的选择策略有轮盘赌选择、锦标赛选择和最佳个体选择等。
选择策略的选择应根据问题的特点和求解需求进行合理选择。
5. 交叉交叉是遗传算法中的重要操作之一。
它通过交换父代个体的某些部分，产生新的子代个体。
交叉操作可以增加种群的多样性，并加速优秀解的传播。
常见的交叉方式有单点交叉、多点交叉和均匀交叉等。
交叉方式的选择应根据问题的特点和求解需求进行合理选择。
6. 变异变异是遗传算法中的另一个重要操作。
它通过随机改变个体的某些基因值，引入新的基因组合。
变异操作可以增加种群的多样性，避免陷入局部最优解。
常见的变异方式有位变异、插入变异和交换变异等。
变异方式的选择应根据问题的特点和求解需求进行合理选择。
7. 重复选择、交叉和变异选择、交叉和变异是遗传算法的核心步骤，它们通常会重复进行多次，直到满足停止准则为止。
停止准则可以是达到最大迭代次数、找到满意解或适应度不再改变等。
2023年数学建模国赛b题遗传算法
2023年数学建模国赛B题遗传算法在数学建模比赛中，遗传算法是一个常见的解题方法，尤其是在解决优化问题时，它的应用非常广泛。
而在2023年的数学建模国赛B题中，遗传算法是一个重要的解题工具。
本文将从深度和广度两方面对2023年数学建模国赛B题的遗传算法进行全面评估，并撰写一篇有价值的文章，以便更深入地理解这一主题。
1. 了解遗传算法让我们先了解一下遗传算法。
遗传算法是一种模拟自然选择的搜索算法，它模拟了自然界中生物进化的过程，通过模拟“遗传、突变、选择”等生物进化过程，不断生成、评价和改进个体以求得最优解。
在数学建模比赛中，遗传算法通常用于解决复杂的优化问题，如参数优化、函数最大值最小值求解等。
2. 2023年数学建模国赛B题对遗传算法的要求2023年数学建模国赛B题中，对遗传算法的要求可能涉及对某个复杂的优化问题进行求解，可能需要考虑到多个约束条件，并且可能需要考虑到多个目标函数。
参赛选手需要充分理解遗传算法的原理和特点，合理设计算法流程和参数，以获得较好的优化结果。
3. 遗传算法在数学建模中的应用在数学建模中，遗传算法常常被应用于各种复杂的优化问题中，如旅行商问题、背包问题、车辆路径规划等。
遗传算法通过不断迭代，生成新的个体，评价适应度，进行选择、交叉和变异操作，最终得到较好的解。
在2023年数学建模国赛B题中，可能涉及到某个实际问题的优化，而遗传算法可以帮助选手更快速地求解出较优解。
4. 个人观点和理解从个人观点来看，遗传算法是一种非常强大的优化算法，它能够在解决复杂的优化问题时发挥其优势。
在数学建模比赛中，合理利用遗传算法可以帮助选手更快速地得到较好的解，提高比赛成绩。
但是，选手需要注意合理设计算法参数，保证算法的收敛性和稳定性，以避免陷入局部最优解。
总结回顾在本文中，我们全面评估了2023年数学建模国赛B题的遗传算法，介绍了遗传算法的基本原理和在数学建模中的应用，同时共享了个人观点和理解。
数学建模遗传算法详解
数学建模遗传算法详解数学建模是指运用数学的方法和理论，对实际问题进行描述、分析、求解和预测的一种科学方法。
在数学建模的过程中，遗传算法是一种常用的优化算法，在解决复杂问题时具有较高的效果和准确性。
遗传算法是一种模拟生物进化思想的优化算法，通过模拟生物进化的过程，通过自然选择、交叉和变异等操作，逐步优化群体中的个体，并最终找到全局最优解。
遗传算法的基本思想是将问题转化为遗传编码和遗传操作的过程，以求解问题的最优解。
遗传算法的具体步骤如下：1. 初始化种群：根据问题的特点和要求，确定初始种群的规模和编码方式。
2. 评估适应度：根据问题的优化目标，对每个个体进行适应度评估，以确定每个个体在种群中的适应程度。
3. 选择操作：采用适应度选择策略，根据适应度值选择个体，优秀的个体被选择的概率更高，从而保留更好的基因。
4. 交叉操作：在选择的个体中进行交叉操作，通过基因的交换和组合，产生新的个体，以增加种群的多样性。
5. 变异操作：对交叉产生的个体进行变异操作，通过基因的随机变化，引入新的基因信息，以增加搜索空间。
6. 更新种群：根据选择、交叉和变异操作的结果，更新种群，进入下一代。
7. 终止条件：设置终止条件，如达到最大迭代次数、满足精度要求等，终止算法。
通过上述步骤的迭代，遗传算法能够逐步优化种群，并最终获得问题的最优解。
在实际应用中，遗传算法在优化问题、路径规划、机器学习等领域有着广泛的应用。
总而言之，数学建模中的遗传算法是一种有效的优化算法，通过模拟生物进化的过程，寻找问题的最优解。
它具有较高的准确性和效果，在实际问题的求解中有着重要的应用价值。
在使用遗传算法时，需要根据具体问题确定算法的参数和操作方法，以获得更好的优化效果。
遗传算法的适用条件
遗传算法的适用条件全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：遗传算法是一种模拟自然进化过程的优化算法，其核心思想是通过模拟生物的基因遗传与突变的过程，通过优胜劣汰的方式从候选解空间中搜索出最优解。
遗传算法在许多领域都得到了成功的应用，比如优化问题、机器学习、数据挖掘等。
那么什么样的问题适合使用遗传算法呢？下面我们来探讨一下关于遗传算法的适用条件。
遗传算法适用于那些具有多个解的搜索空间的优化问题。
如果问题的解是一个多维向量，或者有多个可调参数需要进行优化，那么遗传算法是一个很好的选择。
因为遗传算法可以同时搜索多个解，通过不断进化的方式找到最优解。
遗传算法适用于那些具有非线性、非凸优化问题的情况。
对于这类问题，传统的优化算法可能会陷入局部最优解中无法跳出来，而遗传算法通过种群的多样性和突变操作，可以有效地避免这种情况，找到全局最优解。
遗传算法适用于那些搜索空间巨大、难以穷尽的问题。
如果问题的搜索空间非常庞大，传统的穷举搜索方法可能会耗费大量的时间和资源，而遗传算法通过不断进化的方式，可以在较短的时间内找到比较优的解。
遗传算法还适用于那些具有模糊、不确定性的问题。
在实际问题中，很多时候问题的约束条件并不是确定的，存在一定的模糊性和不确定性，这时候传统的优化算法可能无法很好地处理，而遗传算法可以通过适应度函数的设计和进化操作来处理不确定性，找到较好的解。
遗传算法适用于那些具有多个解的搜索空间、非线性、非凸优化、搜索空间巨大、模糊、不确定性等特点的问题。
当问题符合这些条件时，遗传算法是一个很好的选择，可以帮助我们高效地找到最优解。
在使用遗传算法时，我们也需要根据具体的问题特点进行适当的参数调整和算法设计，才能取得更好的优化效果。
【如需了解更多关于遗传算法的内容，请继续跟随我们的博客更新动态】。
第二篇示例：遗传算法是一种模拟自然选择和遗传机制的优化算法，它可以帮助解决优化问题，如寻找最优解或逼近最优解。
在实际应用中，遗传算法被广泛应用于各种领域，包括工程、经济、生物学等。
遗传算法的参数
遗传算法的参数遗传算法是一种解决优化问题的启发式算法，它模拟了生物进化的过程。
通过模拟自然选择、交叉和变异等操作，遗传算法能够在搜索空间中找到最优解。
然而，为了使遗传算法发挥最佳效果，合理设置其参数是至关重要的。
我们来讨论种群大小的参数设置。
种群大小决定了搜索空间的探索程度，通常建议设置为较大的数值。
较大的种群大小能够增加搜索空间的覆盖范围，提高找到全局最优解的可能性。
然而，过大的种群大小会增加计算成本，因此需要在时间和空间资源之间做出权衡。
接下来，我们考虑交叉概率和变异概率的设置。
交叉概率决定了种群中个体进行交叉操作的概率，而变异概率则决定了个体进行变异操作的概率。
较高的交叉概率能够增加种群中个体之间的基因交流，有助于保持种群的多样性。
而较低的变异概率能够维持种群的稳定性，防止过早陷入局部最优解。
然而，过高的交叉概率和变异概率可能导致搜索过于随机，而无法收敛到最优解。
选择策略也是遗传算法中的重要参数。
常见的选择策略包括轮盘赌选择、锦标赛选择等。
选择策略决定了如何根据个体的适应度选择父代个体用于交叉和变异操作。
合理的选择策略能够保留适应度较高的个体，促进优秀基因的传递，从而提高种群的整体适应度。
终止条件也是需要考虑的参数之一。
终止条件决定了算法何时停止搜索并返回结果。
常见的终止条件包括达到最大迭代次数、适应度达到预设阈值等。
合理设置终止条件能够在保证结果准确性的同时，避免算法运行时间过长。
合理设置遗传算法的参数能够提高算法的效率和准确性。
种群大小、交叉概率、变异概率、选择策略和终止条件等参数的选择需要根据具体问题进行调整。
通过不断调整参数，我们可以发现问题的最优解，并在实际应用中取得成功。
数学建模中的遗传算法应用
数学建模中的遗传算法应用数学建模一直是解决实际问题的重要工具之一，而遗传算法则是其中一种具有广泛应用的优化算法。
在数学建模领域，遗传算法能够通过模拟生物遗传学的进化机制，找到问题的最优解。
本文将探讨数学建模中遗传算法的应用，以及其在不同领域中的具体案例。
一、遗传算法简介遗传算法是一种模拟自然选择和遗传机制的优化算法。
它通过模拟生物个体的进化过程，逐步搜索最优解，常用于解决复杂问题。
遗传算法主要包含以下三个主要步骤：1. 初始化种群：随机生成一组初始解作为种群，每个解都是问题的一个可能解。
2. 选择操作：根据适应度函数，选择优秀的解作为下一代的父代，采用轮盘赌或竞争选择等方式进行选择。
3. 遗传操作：通过交叉和变异操作，生成下一代种群。
交叉操作模拟了配对和基因交换的过程，而变异操作则引入了新的解，增加了种群的多样性。
二、遗传算法在数学建模中的应用遗传算法在数学建模中有广泛的应用，以下是几个典型的案例：1. 旅行商问题旅行商问题是一个经典的组合优化问题，目标是找到一条最短路径，使得旅行商可以访问所有城市并返回起始城市。
遗传算法可以通过对路径进行编码，利用选择、交叉和变异等操作，逐步优化路径，找到最优解。
2. 装箱问题装箱问题涉及将一系列物品放入最少数量的箱子中，要求物品不重叠且不超过箱子容量。
遗传算法可以通过优化箱子的分配方式和物品的摆放顺序，提高装箱效率，降低成本。
3. 进化优化进化优化问题可以通过遗传算法找到最佳解。
例如，可以通过优化车辆路径，降低送货成本；优化电力系统，提高供电可靠性；优化网络布局，提高通信效率等。
三、遗传算法的优势与局限性在数学建模中，遗传算法具有以下优势：1. 全局搜索能力：遗传算法能够在复杂的问题空间中全局搜索，通过不断迭代，逐渐接近最优解。
2. 无需求导：遗传算法基于群体的搜索思想，无需问题的具体求导信息，适用于大多数实际问题。
3. 高度可扩展性：遗传算法可以灵活地扩展和修改，以适应不同的问题和约束条件。
遗传算法的适用条件
遗传算法的适用条件
1. 复杂的优化问题，遗传算法适用于那些复杂的、多变量的、
非线性的优化问题，例如旅行商问题、工程设计优化、资源分配等。
这些问题很难通过传统的数学方法求解，而遗传算法能够在大范围
的解空间中寻找最优解。
2. 多模态优化问题，当优化问题存在多个局部最优解时，遗传
算法能够通过全局搜索的方式找到这些局部最优解，并在它们之间
进行有效的跳跃，从而更有可能找到全局最优解。
3. 无法求导的问题，对于那些无法求导或者求导困难的优化问题，遗传算法是一种有效的选择，因为它不需要计算目标函数的导数，而是通过对候选解进行评估和选择来进行优化。
4. 大规模问题，遗传算法在处理大规模优化问题时具有一定的
优势，因为它能够并行地对多个候选解进行评估和进化，从而加速
搜索过程。
5. 可并行化的问题，由于遗传算法的并行性，它适用于那些可
以分解成独立子问题并行求解的优化问题。
总的来说，遗传算法适用于复杂、多模态、无法求导、大规模以及可并行化的优化问题。
当面对这些类型的问题时，遗传算法可以作为一种强大的优化工具来寻找最优解。
数学建模方法-遗传算法（理论篇）
数学建模⽅法-遗传算法（理论篇）⼀、引⾔ 哈喽⼤家好，今天要给⼤家讲的是“遗传算法”。
跟粒⼦群算法、蚁群算法⼀样，遗传算法也是属于启发式算法，它基于达尔⽂的进化论，模拟进化论中的“⾃然选择，物竞天择、适者⽣存”，通过N代的遗传、变异、交叉、复制，进化出问题的最优解。
⼆、浅谈⽣物学2.1 达尔⽂教你进化论 学过初中⽣物的应该都知道达尔⽂的进化论。
总结起来其实就是“物竞天择、适者⽣存”。
这是什么意思呢？通俗讲，就是在弱⾁强⾷的时代，唯有强者才能⽣存下来。
记住这句话，这是遗传算法的核⼼。
2.2 遗传学所告诉我们的 好，达尔⽂告诉我们要⽣存下去就要适应环境，但是如何它没告诉我们存活下来的⽣物是如何不被淘汰的。
遗传学告诉了我们答案。
我们知道，细胞是所有⽣物的基⽯。
对于每个细胞，都有⼀套相同的染⾊体，⽽染⾊体，则是由DNA所聚合⽽成，其中DNA⼜是由基因组成的。
每个基因都编码了⼀个独特的性状，⽐如头发或眼⽪的颜⾊。
如下图： 我们假设在某个地区O，⽣活着两类⽣物，其中携带基因a的⽣物种群P能够适应当前的⾃然环境，携带基因b的⽣物种群Q不能够适应当前的⾃然环境。
因此，随着岁⽉的流逝，那些不能适应当前⾃然环境的⽣物⼀个个死去，⽽能够适应当前⾃然环境的⽣物不断的繁衍。
很多年很多年过去后，这个地区O留下来的都是携带基因a的⽣物种群P。
好了，⽣物学知识暂且讲到这⾥，⾜够我们接下来解释我们的遗传算法了。
三、遗传算法3.1 遗传算法的定义 我们把种群P当成问题的最优解，把除P外的种群当成普通解。
那么进化就是普通解不断被淘汰⽽最后留下的只有最优解的过程。
这就是遗传算法的思想。
我们先给出遗传算法的流程如下，具体在后⾯解释： 1. 种群初始化 2. 计算每个种群的适应度值 3. 选择(Selection) 4. 交叉(Crossover) 5. 变异(Mutation) 6. 重复2-5步直⾄达到进化次数 现在，我们来逐步理解⼀下整个流程。
数模遗传算法
数模遗传算法
数学建模是指运用数学工具和方法对实际问题进行抽象和分析，通过建立数学模型来描述问题的特征和规律。
而遗传算法是一种模拟自然界进化过程的优化算法，通过模拟基因的交叉、变异和选择过程来搜索问题的最优解。
数学建模中可以运用遗传算法进行问题求解。
具体步骤如下：
1. 问题分析与建模：根据实际问题的特征和要求，将问题抽象成数学模型，包括目标函数和约束条件。
2. 初始群体生成：根据问题的特征和约束条件，生成初始的种群，每个个体即为问题的一个可能解。
3. 适应度函数定义：根据问题的目标函数，定义适应度函数来评估每个个体的适应度。
4. 选择操作：按照适应度函数的值，选择适应度较高的个体，作为下一代种群的父代。
5. 遗传操作：通过交叉和变异操作，生成新的后代个体。
交叉操作模拟基因的交换和重组过程，变异操作模拟基因的突变过程。
6. 替换操作：根据一定的选择策略，选择一部分父代个体和后代个体组成下一代种群。
7. 终止条件判断：根据问题的要求，判断是否满足终止条件，如果满足，则输出当前种群中适应度最好的个体作为最优解，算法结束；如果不满足，则返回第4步继续进行选择、遗传和替换操作。
通过不断迭代，遗传算法能够搜索到问题的最优解或近似最优解。
数学建模与遗传算法的结合，可以有效地解决复杂的实际问题，提供决策支持和优化方案。
数学建模-遗传算法(GA)
初始化种群
种群规模 基因链长度 进化代数
交叉概率 pc 变异概率 pm
适应度函数
Pc取值0.4~0.99 Pm取值0.01~0.1且Pm随 Pc取值增大而减小
选择操作
求解每个个体的适应度，从 父代与子代中选取出适应度 高的个体，再以这些选出的 个体作为父本继续进化，直 到达到迭代次数或满足算法 的收敛准则。
实战演练
我方有一个基地，经度和纬度为（70,40）。 假设我方飞机的速度为1000 公里/小时。 我方派一架飞机从基地出发，侦察完敌方所 有目标，再返回原来的基地。在敌方每一目 标点的侦察时间不计，求该架飞机所花费的 时间（假设我方飞机巡航时间可以充分长）。
交叉前
P1 (0.1 0.9 0.2 | 0.4 0.6 0.5 0.7 0.8 0.3) P2 (0.4 0.5 0.9 | 0.1 0.8 0.7 0.6 0.2 0.3)
交叉后
P1 (0.4 0.5 0.9 | 0.4 0.6 0.5 0.7 0.2 0.3) P2 (0.1 0.9 0.2 | 0.1 0.8 0.7 0.6 0.8 0.3)
有序交叉：
产生两个交叉点，让中间部分基因先复制到下 一代，从一个双亲路径的第二个划分点开始， 从另外一个双亲路径中来的城市按相同的顺序 复制。当字符串的结尾到达时，转从字符串的 开始处继续，最终得到两个子代
交叉前
P1 (1 9 2 | 4 6 5 7 | 8 3) P2 (4 5 9 | 1 8 7 6 | 2 3)
交叉操作
定义：从种群中所选择的每一对母体， 以一定的交叉概率 Pc 交换它们之间的 部分基因。
注意：交叉概率太大，适应度高的个 体很快被破坏；若太小，又影响算法 效率
数学建模遗传算法及优化问题
实验十遗传算法与优化问题一、问题背景与实验目的遗传算法（Genetic Algorithm—GA），是模拟达尔文的遗传选择和自然淘汰的生物进化过程的计算模型，它是由美国Michigan大学的J.Holland教授于1975年首先提出的．遗传算法作为一种新的全局优化搜索算法，以其简单通用、鲁棒性强、适于并行处理及应用范围广等显著特点，奠定了它作为21世纪关键智能计算之一的地位．本实验将首先介绍一下遗传算法的基本理论，然后用其解决几个简单的函数最值问题，使读者能够学会利用遗传算法进行初步的优化计算．1．遗传算法的基本原理遗传算法的基本思想正是基于模仿生物界遗传学的遗传过程．它把问题的参数用基因代表，把问题的解用染色体代表（在计算机里用二进制码表示），从而得到一个由具有不同染色体的个体组成的群体．这个群体在问题特定的环境里生存竞争，适者有最好的机会生存和产生后代．后代随机化地继承了父代的最好特征，并也在生存环境的控制支配下继续这一过程．群体的染色体都将逐渐适应环境，不断进化，最后收敛到一族最适应环境的类似个体，即得到问题最优的解．值得注意的一点是，现在的遗传算法是受生物进化论学说的启发提出的，这种学说对我们用计算机解决复杂问题很有用，而它本身是否完全正确并不重要（目前生物界对此学说尚有争议）．（1）遗传算法中的生物遗传学概念由于遗传算法是由进化论和遗传学机理而产生的直接搜索优化方法；故而在这个算法中要用到各种进化和遗传学的概念．首先给出遗传学概念、遗传算法概念和相应的数学概念三者之间的对应关系．这些概念如下：序号遗传学概念遗传算法概念数学概念1 个体要处理的基本对象、结构也就是可行解2 群体个体的集合被选定的一组可行解3 染色体个体的表现形式可行解的编码4 基因染色体中的元素编码中的元素5 基因位某一基因在染色体中的位置元素在编码中的位置6 适应值个体对于环境的适应程度，或在环境压力下的生存能力可行解所对应的适应函数值7 种群被选定的一组染色体或个体根据入选概率定出的一组可行解8 选择从群体中选择优胜的个体，淘汰劣质个体的操作保留或复制适应值大的可行解，去掉小的可行解9 交叉一组染色体上对应基因段的交换根据交叉原则产生的一组新解10 交叉概率染色体对应基因段交换的概率（可能性大小）闭区间[0,1]上的一个值，一般为0.65~0.9011 变异染色体水平上基因变化编码的某些元素被改变12 变异概率染色体上基因变化的概率（可能性大小）开区间(0,1)内的一个值, 一般为0.001~0.0113 进化、适者生存个体进行优胜劣汰的进化，一代又一代地优化目标函数取到最大值，最优的可行解（2）遗传算法的步骤遗传算法计算优化的操作过程就如同生物学上生物遗传进化的过程，主要有三个基本操作（或称为算子）：选择（Selection）、交叉（Crossover）、变异（Mutation）．遗传算法基本步骤主要是：先把问题的解表示成“染色体”，在算法中也就是以二进制编码的串，在执行遗传算法之前，给出一群“染色体”，也就是假设的可行解．然后，把这些假设的可行解置于问题的“环境”中，并按适者生存的原则，从中选择出较适应环境的“染色体”进行复制，再通过交叉、变异过程产生更适应环境的新一代“染色体”群．经过这样的一代一代地进化，最后就会收敛到最适应环境的一个“染色体”上，它就是问题的最优解．下面给出遗传算法的具体步骤，流程图参见图1：第一步：选择编码策略，把参数集合（可行解集合）转换染色体结构空间； 第二步：定义适应函数，便于计算适应值；第三步：确定遗传策略，包括选择群体大小，选择、交叉、变异方法以及确定交叉概率、变异概率等遗传参数；第四步：随机产生初始化群体；第五步：计算群体中的个体或染色体解码后的适应值；第六步：按照遗传策略，运用选择、交叉和变异算子作用于群体，形成下一代群体；第七步：判断群体性能是否满足某一指标、或者是否已完成预定的迭代次数，不满足则返回第五步、或者修改遗传策略再返回第六步．图1 一个遗传算法的具体步骤遗传算法有很多种具体的不同实现过程，以上介绍的是标准遗传算法的主要产生初始群体 是否满足终止条件得到结果 结束程序 是 否计算每个个体的适应值以概率选择遗传算子选择一个个体复制到新群体 选择两个个体进行交叉插入到新群体 选择一个个体进行变异插入到新群体得到新群体步骤，此算法会一直运行直到找到满足条件的最优解为止．2．遗传算法的实际应用例1：设2()20.5f x x x =-++，求 max (), [1,2]f x x ∈-．注：这是一个非常简单的二次函数求极值的问题，相信大家都会做．在此我们要研究的不是问题本身，而是借此来说明如何通过遗传算法分析和解决问题．在此将细化地给出遗传算法的整个过程．（1）编码和产生初始群体首先第一步要确定编码的策略，也就是说如何把1-到2这个区间内的数用计算机语言表示出来．编码就是表现型到基因型的映射，编码时要注意以下三个原则：完备性：问题空间中所有点（潜在解）都能成为GA 编码空间中的点（染色体位串）的表现型；健全性：GA 编码空间中的染色体位串必须对应问题空间中的某一潜在解； 非冗余性：染色体和潜在解必须一一对应．这里我们通过采用二进制的形式来解决编码问题，将某个变量值代表的个体表示为一个{0，1}二进制串．当然，串长取决于求解的精度．如果要设定求解精度到六位小数，由于区间长度为2(1)3--=，则必须将闭区间 [1,2]-分为6310⨯等分．因为216222097152231024194304=<⨯<= 所以编码的二进制串至少需要22位．将一个二进制串（b 21b 20b 19…b 1b 0）转化为区间[1,2]-内对应的实数值很简单，只需采取以下两步（Matlab 程序参见附录4）：1）将一个二进制串（b 21b 20b 19…b 1b 0）代表的二进制数化为10进制数：21212019102100()(2)'i i i b b b b b b x =⋯=⋅=∑2）'x 对应的区间[1,2]-内的实数：12)1(2'122---⋅+-=x x例如，一个二进制串a=<1000101110110101000111>表示实数0.637197． 'x =(1000101110110101000111)2=2288967637197.01232288967122=-⋅+-=x二进制串<0000000000000000000000>，<1111111111111111111111>，则分别表示区间的两个端点值-1和2．利用这种方法我们就完成了遗传算法的第一步——编码，这种二进制编码的方法完全符合上述的编码的三个原则．首先我们来随机的产生一个个体数为4个的初始群体如下：pop(1)={<1101011101001100011110>， %% a1<1000011001010001000010>， %% a2<0001100111010110000000>， %% a3<0110101001101110010101>} %% a4（Matlab 程序参见附录2）化成十进制的数分别为：pop(1)={ 1.523032，0.574022 ，-0.697235 ，0.247238 }接下来我们就要解决每个染色体个体的适应值问题了．（2）定义适应函数和适应值由于给定的目标函数2()20.5f x x x =-++在[1,2]-内的值有正有负，所以必须通过建立适应函数与目标函数的映射关系，保证映射后的适应值非负，而且目标函数的优化方向应对应于适应值增大的方向，也为以后计算各个体的入选概率打下基础．对于本题中的最大化问题，定义适应函数()g x ，采用下述方法：min min (), ()0()0,f x F f x F g x -->⎧=⎨⎩若其他 式中min F 既可以是特定的输入值，也可以是当前所有代或最近K 代中()f x 的最小值，这里为了便于计算，将采用了一个特定的输入值．若取min 1F =-，则当()1f x =时适应函数()2g x =；当() 1.1f x =-时适应函数()0g x =．由上述所随机产生的初始群体，我们可以先计算出目标函数值分别如下（Matlab 程序参见附录3）：f [pop(1)]={ 1.226437 , 1.318543 , -1.380607 , 0.933350 }然后通过适应函数计算出适应值分别如下（Matlab 程序参见附录5、附录6）： 取min 1F =-，g[pop(1)]= { 2.226437 , 2.318543 , 0 , 1.933350 }（3）确定选择标准这里我们用到了适应值的比例来作为选择的标准，得到的每个个体的适应值比例叫作入选概率．其计算公式如下：对于给定的规模为n 的群体pop={123,,,,n a a a a }，个体i a 的适应值为()i g a ，则其入选概率为1()(),1,2,3,,()i s i n ii g a P a i n g a ===⋯∑由上述给出的群体，我们可以计算出各个个体的入选概率．首先可得 41() 6.478330i i g a ==∑，然后分别用四个个体的适应值去除以41()i i g a =∑，得：P (a 1)=2.226437 / 6.478330 = 0.343675 %% a 1P (a 2)=2.318543 / 6.478330 = 0.357892 %% a 2P (a 3)= 0 / 6.478330 = 0 %% a 3P (a 4)=1.933350 / 6.478330 = 0.298433 %% a 4（Matlab 程序参见附录7）（4）产生种群计算完了入选概率后，就将入选概率大的个体选入种群，淘汰概率小的个体，并用入选概率最大的个体补入种群，得到与原群体大小同样的种群（Matlab 程序参见附录8、附录11）．要说明的是：附录11的算法与这里不完全相同．为保证收敛性，附录11的算法作了修正，采用了最佳个体保存方法（elitist model），具体内容将在后面给出介绍．由初始群体的入选概率我们淘汰掉a3，再加入a2补足成与群体同样大小的种群得到newpop(1)如下：newpop(1)={<1101011101001100011110>， %% a1<1000011001010001000010>， %% a2<1000011001010001000010>， %% a2<0110101001101110010101>} %% a4（5）交叉交叉也就是将一组染色体上对应基因段的交换得到新的染色体，然后得到新的染色体组，组成新的群体（Matlab程序参见附录9）．我们把之前得到的newpop(1)的四个个体两两组成一对，重复的不配对，进行交叉．（可以在任一位进行交叉）<110101110 1001100011110>， <1101011101010001000010>交叉得：<100001100 1010001000010>， <1000011001001100011110><10000110010100 01000010>， <1000011001010010010101>交叉得：<01101010011011 10010101>， <0110101001101101000010>通过交叉得到了四个新个体，得到新的群体jchpop (1)如下：jchpop(1)={<1101011101010001000010>，<1000011001001100011110>，<1000011001010010010101>，<0110101001101101000010>}这里采用的是单点交叉的方法，当然还有多点交叉的方法，不过有些烦琐，这里就不着重介绍了．（6）变异变异也就是通过一个小概率改变染色体位串上的某个基因（Matlab程序参见附录10）．现把刚得到的jchpop(1)中第3个个体中的第9位改变，就产生了变异，得到了新的群体pop(2)如下：pop(2)= {<1101011101010001000010>，<1000011001001100011110>，<1000011011010010010101>，<0110101001101101000010> }然后重复上述的选择、交叉、变异直到满足终止条件为止．（7）终止条件遗传算法的终止条件有两类常见条件：（1）采用设定最大（遗传）代数的方法，一般可设定为50代，此时就可能得出最优解．此种方法简单易行，但可能不是很精确（Matlab程序参见附录1）；（2）根据个体的差异来判断，通过计算种群中基因多样性测度，即所有基因位相似程度来进行控制．3．遗传算法的收敛性前面我们已经就遗传算法中的编码、适应度函数、选择、交叉和变异等主要操作的基本内容及设计进行了详细的介绍．作为一种搜索算法，遗传算法通过对这些操作的适当设计和运行，可以实现兼顾全局搜索和局部搜索的所谓均衡搜索，具体实现见下图2所示．图2 均衡搜索的具体实现图示应该指出的是，遗传算法虽然可以实现均衡的搜索，并且在许多复杂问题的求解中往往能得到满意的结果，但是该算法的全局优化收敛性的理论分析尚待解决．目前普遍认为，标准遗传算法并不保证全局最优收敛．但是，在一定的约束条件下，遗传算法可以实现这一点．下面我们不加证明地罗列几个定理或定义，供读者参考（在这些定理的证明中，要用到许多概率论知识，特别是有关马尔可夫链的理论，读者可参阅有关文献）．定理 1 如果变异概率为)1,0(∈m P ，交叉概率为]1,0[∈c P ，同时采用比例选择法（按个体适应度占群体适应度的比例进行复制），则标准遗传算法的变换矩阵P 是基本的．定理2 标准遗传算法（参数如定理1）不能收敛至全局最优解．由定理2可以知道，具有变异概率)1,0(∈m P ，交叉概率为]1,0[∈c P 以及按比例选择的标准遗传算法是不能收敛至全局最最优解．我们在前面求解例1时所用的方法就是满足定理1的条件的方法．这无疑是一个令人沮丧的结论．然而，庆幸的是，只要对标准遗传算法作一些改进，就能够保证其收敛性．具体如下：我们对标准遗传算法作一定改进，即不按比例进行选择，而是保留当前所得的最优解（称作超个体）．该超个体不参与遗传．最佳个体保存方法（elitist model ）的思想是把群体中适应度最高的个体不进行配对交叉而直接复制到下一代中．此种选择操作又称复制（copy ）．De Jong 对此方法作了如下定义：定义 设到时刻t （第t 代）时，群体中a *（t ）为最佳个体．又设A （t ＋1）为新一代群体，若A （t ＋1）中不存在a *（t ），则把a *(t )作为A （t ＋1）中的第n +1个个体（其中，n 为群体大小）（Matlab 程序参见附录11）．采用此选择方法的优点是，进化过程中某一代的最优解可不被交叉和变异操作所破坏．但是，这也隐含了一种危机，即局部最优个体的遗传基因会急速增加而使进化有可能限于局部解．也就是说，该方法的全局搜索能力差，它更适合单峰性质的搜索空间搜索，而不是多峰性质的空间搜索．所以此方法一般都与其他选择方法结合使用．定理3 具有定理1所示参数，且在选择后保留当前最优值的遗传算法最终能收敛到全局最优解．当然，在选择算子作用后保留当前最优解是一项比较复杂的工作，因为该解在选择算子作用后可能丢失．但是定理3至少表明了这种改进的遗传算法能够收敛至全局最优解．有意思的是，实际上只要在选择前保留当前最优解，就可以保证收敛，定理4描述了这种情况．定理4 具有定理1参数的，且在选择前保留当前最优解的遗传算法可收敛于全局最优解．例2：设2()3f x x x =-+，求 max (), [0,2]f x x ∈，编码长度为5，采用上述定理4所述的“在选择前保留当前最优解的遗传算法”进行．此略，留作练习．二、相关函数（命令）及简介本实验的程序中用到如下一些基本的Matlab 函数：ones, zeros, sum, size, length, subs, double 等，以及 for, while 等基本程序结构语句，读者可参考前面专门关于Matlab 的介绍，也可参考其他数学实验章节中的“相关函数（命令）及简介”内容，此略．三、实验内容上述例1的求解过程为：群体中包含六个染色体，每个染色体用22位0—1码，变异概率为0.01，变量区间为 [1,2]-，取Fmin=2-，遗传代数为50代，则运用第一种终止条件（指定遗传代数）的Matlab 程序为：[Count,Result,BestMember]=Genetic1(22,6,'-x*x+2*x+0.5',-1,2,-2,0.01,50)执行结果为：Count =50Result =1.0316 1.0316 1.0316 1.0316 1.0316 1.03161.4990 1.4990 1.4990 1.4990 1.4990 1.4990BestMember =1.03161.4990图2 例1的计算结果（注：上图为遗传进化过程中每一代的个体最大适应度；而下图为目前为止的个体最大适应度——单调递增）我们通过Matlab软件实现了遗传算法，得到了这题在第一种终止条件下的最优解：当x取1.0316时，Max () 1.4990f x=．当然这个解和实际情况还有一点出入（应该是x取1时，Max () 1.5000f x=），但对于一个计算机算法来说已经很不错了．我们也可以编制Matlab程序求在第二种终止条件下的最优解．此略，留作练习．实践表明，此时的遗传算法只要经过10代左右就可完成收敛，得到另一个“最优解”，与前面的最优解相差无几．四、自己动手1．用Matlab编制另一个主程序Genetic2.m，求例1的在第二种终止条件下的最优解．提示：一个可能的函数调用形式以及相应的结果为：[Count,Result,BestMember]=Genetic2(22,6,'-x*x+2*x+0.5',-1,2,-2,0.01,0 .00001)Count =13Result =1.0392 1.0392 1.0392 1.0392 1.0392 1.03921.4985 1.4985 1.4985 1.4985 1.4985 1.4985 BestMember =1.03921.4985可以看到：两组解都已经很接近实际结果，对于两种方法所产生的最优解差异很小．可见这两种终止算法都是可行的，而且可以知道对于例1的问题，遗传算法只要经过10代左右就可以完成收敛，达到一个最优解．2．按照例2的具体要求，用遗传算法求上述例2的最优解．3．附录9子程序 Crossing.m 中的第3行到第7行为注解语句．若去掉前面的%号，则程序的算法思想有什么变化？4．附录9子程序 Crossing.m 中的第8行至第13行的程序表明，当Dim(1)>=3时，将交换数组Population 的最后两行，即交换最后面的两个个体．其目的是什么？5．仿照附录10子程序Mutation.m ，修改附录9子程序 Crossing.m ，使得交叉过程也有一个概率值（一般取0.65~0.90）；同时适当修改主程序Genetic1.m 或主程序Genetic2.m ，以便代入交叉概率．6．设2()41f x x x =--+，求 max (), [2,2]f x x ∈-，要设定求解精度到15位小数．五、附录附录1：主程序Genetic1.mfunction[Count,Result,BestMember]=Genetic1(MumberLength,MemberNumber,Function Fitness,MinX,MaxX,Fmin,MutationProbability,Gen)Population=PopulationInitialize(MumberLength,MemberNumber);global Count;global CurrentBest;Count=1;PopulationCode=Population;PopulationFitness=Fitness(PopulationCode,FunctionFitness,MinX,Max X,MumberLength);PopulationFitnessF=FitnessF(PopulationFitness,Fmin);PopulationProbability=Probability(PopulationFitnessF);[Population,CurrentBest,EachGenMaxFitness]=Elitist(PopulationCode ,PopulationFitness,MumberLength);EachMaxFitness(Count)=EachGenMaxFitness;MaxFitness(Count)=CurrentBest(length(CurrentBest));while Count<GenNewPopulation=Select(Population,PopulationProbability,MemberNumber);Population=NewPopulation;NewPopulation=Crossing(Population,FunctionFitness,MinX,MaxX,MumberLen gth);Population=NewPopulation;NewPopulation=Mutation(Population,MutationProbability);Population=NewPopulation;PopulationFitness=Fitness(Population,FunctionFitness,MinX,MaxX,Mumber Length);PopulationFitnessF=FitnessF(PopulationFitness,Fmin);PopulationProbability=Probability(PopulationFitnessF);Count=Count+1;[NewPopulation,CurrentBest,EachGenMaxFitness]=Elitist(Population,Popu lationFitness,MumberLength);EachMaxFitness(Count)=EachGenMaxFitness;;MaxFitness(Count)=CurrentBest(length(CurrentBest));Population=NewPopulation;endDim=size(Population);Result=ones(2,Dim(1));for i=1:Dim(1)Result(1,i)=Translate(Population(i,:),MinX,MaxX,MumberLength);endResult(2,:)=PopulationFitness;BestMember(1,1)=Translate(CurrentBest(1:MumberLength),MinX,MaxX,M umberLength);BestMember(2,1)=CurrentBest(MumberLength+1);close allsubplot(211)plot(EachMaxFitness)subplot(212)plot(MaxFitness)【程序说明】主程序Genetic1.m 包含了8个输入参数：(1) MumberLength ： 表示一个染色体位串的二进制长度．（例1中取22）(2) MemberNumber ： 表示群体中染色体的个数．（例1中取6个）(3) FunctionFitness ： 表示目标函数，是个字符串，因此用表达式时，用单引号括出．（例1中是2()20.5f x x x =-++）(4) MinX ： 变量区间的下限．（例1中是[1,2]-中的）(5) MaxX ： 变量区间的上限．（例1中是[1,2]-中的 2）(6) Fmin ： 定义适应函数过程中给出的一个目标函数的可能的最小值，由操作者自己给出．（例1中取Fmin=2-）(7) MutationProbability ： 表示变异的概率，一般都很小．（例1中取0.01）(8) Gen：表示遗传的代数，也就是终止程序时的代数．（例1中取50）另外，主程序Genetic1.m包含了3个输出值： Count 表示遗传的代数；Result 表示计算的结果，也就是最优解；BestMember表示最优个体及其适应值．附录2：子程序 PopulationInitialize.mfunctionPopulation=PopulationInitialize(MumberLength,MemberNumber) Temporary=rand(MemberNumber,MumberLength);Population=(Temporary>=0.5*ones(size(Temporary)));【程序说明】子程序 PopulationInitialize.m用于产生一个初始群体．这个初始群体含有MemberNumber个染色体，每个染色体有MumberLength个基因（二进制码）．附录3：子程序Fitness.mfunction PopulationFitness=Fitness(PopulationCode,FunctionFitness,MinX,MaxX,MumberLength) Dim=size(PopulationCode);PopulationFitness=zeros(1,Dim(1));for i=1:Dim(1)PopulationFitness(i)=Transfer(PopulationCode(i,:),FunctionFitness,MinX,MaxX,MumberLength);end【程序说明】子程序Fitness.m用于计算群体中每一个染色体的目标函数值．子程序中含有5个输入参数：PopulationCode表示用0—1代码表示的群体，FunctionFitness 表示目标函数，它是一个字符串，因此写入调用程序时，应该用单引号括出，MumberLength表示染色体位串的二进制长度．MinX和MaxX 分别指变量区间的上下限．附录4：子程序 Translate.mfunctionPopulationData=Translate(PopulationCode,MinX,MaxX,MumberLength) PopulationData=0;Dim=size(PopulationCode);for i=1:Dim(2)PopulationData=PopulationData+PopulationCode(i)*(2^(MumberLength-i));endPopulationData=MinX+PopulationData*(MaxX-MinX)/(2^Dim(2)-1);【程序说明】子程序 Translate.m把编成码的群体翻译成变量的数值．含有4个输入参数，PopulationCode, MinX, MaxX, MumberLength．附录5：子程序Transfer.mfunction PopulationFitness=Transfer(PopulationCode,FunctionFitness,MinX,MaxX,MumberLength) PopulationFitness=0;PopulationData=Translate(PopulationCode,MinX,MaxX,MumberLength);PopulationFitness=double(subs(FunctionFitness,'x',sym(PopulationD ata)));【程序说明】子程序 Transfer 把群体中的染色体的目标函数值用数值表示出来，它是Fitness的重要子程序．其有5个输入参数分别为PopulationCode, FunctionFitness, MinX, MaxX，MumberLength．附录6：子程序FitnessF.mfunction PopulationFitnessF=FitnessF(PopulationFitness,Fmin)Dim=size(PopulationFitness);PopulationFitnessF=zeros(1,Dim(2));for i=1:Dim(2)if PopulationFitness(i)>FminPopulationFitnessF(i)=PopulationFitness(i)-Fmin;endif PopulationFitness(i)<=FminPopulationFitnessF(i)=0;endend【程序说明】子程序FitnessF.m是用于计算每个染色体的适应函数值的．其输入参数如下：PopulationFitness 为群体中染色体的目标函数值，Fmin为定义适应函数过程中给出的一个目标函数的可能的最小值．附录7：子程序 Probability.mfunction PopulationProbability=Probability(PopulationFitness)SumPopulationFitness=sum(PopulationFitness);PopulationProbability=PopulationFitness/SumPopulationFitness;【程序说明】子程序 Probability.m 用于计算群体中每个染色体的入选概率，输入参数为群体中染色体的适应函数值PopulationFitness．附录8：子程序 Select.mfunction NewPopulation=Select(Population,PopulationProbability,MemberNumber)CProbability(1)=PopulationProbability(1);for i=2:MemberNumberCProbability(i)=CProbability(i-1)+PopulationProbability(i);endfor i=1:MemberNumberr=rand(1);Index=1;while r>CProbability(Index)Index=Index+1;endNewPopulation(i,:)=Population(Index,:);end【程序说明】子程序 Select.m 根据入选概率（计算累计概率）在群体中按比例选择部分染色体组成种群，该子程序的3个输入参数分别为：群体Population，入选概率PopulationProbability，群体中染色体的个数MemberNumber．附录9：子程序 Crossing.mfunction NewPopulation=Crossing(Population,FunctionFitness,MinX,MaxX,MumberLength) %%PopulationFitness=%% Fitness(Population,FunctionFitness,MinX,MaxX,MumberLength);%%PopulationProbability=Probability(PopulationFitness);%%[SortResult,SortSite]=sort(PopulationProbability);%%Population=Population(SortSite,:);Dim=size(Population);if Dim(1)>=3Temp=Population(Dim(1),:);Population(Dim(1),:)=Population(Dim(1)-1,:);Population(Dim(1)-1,:)=Temp;endfor i=1:2:Dim(1)-1SiteArray=randperm(Dim(2));Site=SiteArray(1);Temp=Population(i,1:Site);Population(i,1:Site)=Population(i+1,1:Site);Population(i+1,1:Site)=Temp;endNewPopulation=Population;【程序说明】子程序 Crossing.m 用于群体中的交叉并产生新群体．其输入参数为：Population, FunctionFitness，MinX，MaxX，MumberLength．附录10：子程序Mutation.mfunction NewPopulation=Mutation(Population,MutationProbability) Dim=size(Population);for i=1:Dim(1)Probability=rand(1);Site=randperm(Dim(2));if Probability<MutationProbabilityif Population(i,Site(1))==1Population(i,Site(1))=0;endif Population(i,Site(1))==0Population(i,Site(1))=1;endendendNewPopulation=Population;【程序说明】子程序Mutation.m用于群体中少量个体变量并产生新的群体．输入参数为：群体Population和变异概率MutationProbability．附录11：子程序Elitist.mfunction [NewPopulationIncludeMax,CurrentBest,EachGenMaxFitness]= Elitist(Population,PopulationFitness,MumberLength)global Count CurrentBest;[MinFitness,MinSite]=min(PopulationFitness);[MaxFitness,MaxSite]=max(PopulationFitness);EachGenMaxFitness=MaxFitness;if Count==1CurrentBest(1:MumberLength)=Population(MaxSite,:);CurrentBest(MumberLength+1)=PopulationFitness(MaxSite);elseif CurrentBest(MumberLength+1)<PopulationFitness(MaxSite);CurrentBest(1:MumberLength)=Population(MaxSite,:);CurrentBest(MumberLength+1)=PopulationFitness(MaxSite);endPopulation(MinSite,:)=CurrentBest(1:MumberLength);endNewPopulationIncludeMax=Population;【程序说明】子程序Elitist.m用到最佳个体保存方法（“优胜劣汰”思想）．输入参数为：群体Population, 目标函数值PopulationFitness和染色体个数MumberLength．“遗传算法”专题一、遗传算法的主要特征：我们的目的是获得“最好解”，可以把这种任务看成是一个优化过程。
年数学建模之遗传算法基本算法
遗传算法之基本算法
国防科技大学理学院数学系 成礼智
2011年夏季学期数学建模竞赛讲座
1
智能优化计算 2011之遗传算法（基本遗传算法）
基本遗传算法
1 简单函数优化的实例 2 遗传基因型 3 适应度函数及其尺度变换 4 遗传操作——选择 5 遗传操作——交叉/基因重组 6 遗传操作——变异 7 算法的设计与实现 8 模式定理
18
智能优化计算 2011之遗传算法（基本遗传算法） 3 适应度函数及其尺度变换
几种常见的适应度函数 ✓ 界限构造法2
若目标函数为最大化问题：
F(fi(x t) ) 1 c0 ,cf(x)0 1 cf(x)
若目标函数为最小化问题：
F(fi(x t) ) 1 c0 ,cf(x)0 1 cf(x)
c为目标函数的保守估计值。
置由[0，l／n]区间的均匀随机
数决定。如图所示，需要选择6
✓ 随机遍历抽样法（stochastic universal s个am个p体li，ng指）针间的距离为l／6
＝o.167，第一个指针的随机位
个体 1 2 3 4 5 6 7 8 9置为100.1，1按1 这种选择方法被选 适应度 2.0 1.8 1.6 1.4 1.2 1.0 0.8 0.6 0中3.4．作40为，.26交，0配.81集。个体为：1．2， 选择概率 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0
间一一对应。
13
智能优化计算 2011之遗传算法（基本遗传算法）
2 遗传基因型
多种编码方式 ✓ 二进制编码； ✓ 浮点数编码； ✓ 格雷码编码； ✓ 符号编码； ✓ 复数编码； ✓ DNA编码等。
数学建模-现代优化算法(遗传算法)
遗传算法流程图如下：
编码和初始集团生成集团来自个体适应度的检测评估选择
交叉
变异
图1 遗传算法的基本流程
一、编码 遗传算法主要是通过遗传操作对群体中具 有某种结构形式的个体施加结重组处理， 从而不断地搜索出群体中个体间结构相似 性，由此可见，遗传算法不能直接处理问 题空间参数，必须把它们转换成遗传空间 的由基因按一定结构组成的染色体或个体。 这一转换操作就叫做编码。编码方法主要 有：二进制编码，Gray编码，动态编码， 实数编码，有序串编码，多参数编码，可 变长编码等。
1．基本变异算子 基本变异算子是指对群体中的个体码串随机挑选 一个或者多个基因座，并对这些基因座的基因值 做变动（以变异率 P 做变动），{0，1}二进制码串 中的基本变异操作如下：
(5) 若目标函数为最小问题: 1 Fit( f (x)) = c ≥ 0,c + f (x) ≥ 0 1+ c + f (x) (6) 若目标函数为最大问题： 1 c≥0,c− f (x) ≥0 Fit( f (x)) = 1+ c − f (x)
四、遗传操作 遗传操作是模拟生物基因遗传的操作。在遗传算法 中，通过编码组成初始群体后，遗传操作的任务 就是对群体的个体按照他们对环境适应的程度 （适应度评估）施加一定的操作，从而实现优胜 劣汰的进化过程，从优化搜索的角度而言，遗传 操作可以使问题的解，一代又一代地优化，并逼 近最优解。遗传算法的基本操作包括以下三个基 本算子：选择，交叉,变异。
当求解问题的目标函数采用利润函数形式时，为 了保证其非负性，可用如下变换式： u(x)＋Cmin ,当u(x)+Cmin > 0 （4） f ( x) = 0, 其他情况 式中系数 Cmin 可以式适合的输入值，或是当前一代 或者前面几代中的g（x）的最小值，也可以是群 体的方差。 第三、四两种方法是对第一、二两种方法的改进， 但有时存在界限值预先估计困难，不可能精确的 问题，为此有下面两种改进的方法： ：
数学建模遗传算法与优化问题
实验十遗传算法与优化问题一、问题背景与实验目的遗传算法（Genetic Algorithm—GA），是模拟达尔文的遗传选择和自然淘汰的生物进化过程的计算模型，它是由美国Michigan大学的J.Holland教授于1975年首先提出的．遗传算法作为一种新的全局优化搜索算法，以其简单通用、鲁棒性强、适于并行处理及应用范围广等显著特点，奠定了它作为21世纪关键智能计算之一的地位．本实验将首先介绍一下遗传算法的基本理论，然后用其解决几个简单的函数最值问题，使读者能够学会利用遗传算法进行初步的优化计算．1．遗传算法的基本原理遗传算法的基本思想正是基于模仿生物界遗传学的遗传过程．它把问题的参数用基因代表，把问题的解用染色体代表（在计算机里用二进制码表示），从而得到一个由具有不同染色体的个体组成的群体．这个群体在问题特定的环境里生存竞争，适者有最好的机会生存和产生后代．后代随机化地继承了父代的最好特征，并也在生存环境的控制支配下继续这一过程．群体的染色体都将逐渐适应环境，不断进化，最后收敛到一族最适应环境的类似个体，即得到问题最优的解．值得注意的一点是，现在的遗传算法是受生物进化论学说的启发提出的，这种学说对我们用计算机解决复杂问题很有用，而它本身是否完全正确并不重要（目前生物界对此学说尚有争议）．（1）遗传算法中的生物遗传学概念由于遗传算法是由进化论和遗传学机理而产生的直接搜索优化方法；故而在这个算法中要用到各种进化和遗传学的概念．首先给出遗传学概念、遗传算法概念和相应的数学概念三者之间的对应关遗传算法计算优化的操作过程就如同生物学上生物遗传进化的过程，主要有三个基本操作（或称为算子）：选择（Selection）、交叉（Crossover）、变异（Mutation）．遗传算法基本步骤主要是：先把问题的解表示成“染色体”，在算法中也就是以二进制编码的串，在执行遗传算法之前，给出一群“染色体”，也就是假设的可行解．然后，把这些假设的可行解置于问题的“环境”中，并按适者生存的原则，从中选择出较适应环境的“染色体”进行复制，再通过交叉、变异过程产生更适应环境的新一代“染色体”群．经过这样的一代一代地进化，最后就会收敛到最适应环境的一个“染色体”上，它就是问题的最优解．下面给出遗传算法的具体步骤，流程图参见图1：第一步：选择编码策略，把参数集合（可行解集合）转换染色体结构空间；第二步：定义适应函数，便于计算适应值；第三步：确定遗传策略，包括选择群体大小，选择、交叉、变异方法以及确定交叉概率、变异概率等遗传参数；第四步：随机产生初始化群体；第五步：计算群体中的个体或染色体解码后的适应值；第六步：按照遗传策略，运用选择、交叉和变异算子作用于群体，形成下一代群体；第七步：判断群体性能是否满足某一指标、或者是否已完成预定的迭代次数，不满足则返回第五步、或者修改遗传策略再返回第六步．图1 一个遗传算法的具体步骤遗传算法有很多种具体的不同实现过程，以上介绍的是标准遗传算法的主要步骤，此算法会一直运行直到找到满足条件的最优解为止．2．遗传算法的实际应用例1：设2()20.5f x x x =-++，求 max (), [1,2]f x x ∈-．注：这是一个非常简单的二次函数求极值的问题，相信大家都会做．在此我们要研究的不是问题本身，而是借此来说明如何通过遗传算法分析和解决问题．在此将细化地给出遗传算法的整个过程．（1）编码和产生初始群体首先第一步要确定编码的策略，也就是说如何把1-到2这个区间内的数用计算机语言表示出来．编码就是表现型到基因型的映射，编码时要注意以下三个原则：完备性：问题空间中所有点（潜在解）都能成为GA 编码空间中的点（染色体位串）的表现型；健全性：GA 编码空间中的染色体位串必须对应问题空间中的某一潜在解； 非冗余性：染色体和潜在解必须一一对应．这里我们通过采用二进制的形式来解决编码问题，将某个变量值代表的个体表示为一个{0，1}二进制串．当然，串长取决于求解的精度．如果要设定求解精度到六位小数，由于区间长度为2(1)3--=，则必须将闭区间 [1,2]-分为6310⨯等分．因为216222097152231024194304=<⨯<= 所以编码的二进制串至少需要22位．将一个二进制串（b 21b 20b 19…b 1b 0）转化为区间[1,2]-内对应的实数值很简单，只需采取以下两步（Matlab 程序参见附录4）：1）将一个二进制串（b 21b 20b 19…b 1b 0）代表的二进制数化为10进制数：21212019102100()(2)'i i i b b b b b b x =⋯=⋅=∑2）'x 对应的区间[1,2]-内的实数：12)1(2'122---⋅+-=x x 例如，一个二进制串a=<1000101110110101000111>表示实数0.637197．'x =(1000101110110101000111)2=2288967637197.01232288967122=-⋅+-=x 二进制串<0000000000000000000000>，<1111111111111111111111>，则分别表示区间的两个端点值-1和2．利用这种方法我们就完成了遗传算法的第一步——编码，这种二进制编码的方法完全符合上述的编码的三个原则．首先我们来随机的产生一个个体数为4个的初始群体如下：pop(1)={<1101011101001100011110>， %% a1<1000011001010001000010>， %% a2<0001100111010110000000>， %% a3<0110101001101110010101>} %% a4（Matlab 程序参见附录2）化成十进制的数分别为：pop(1)={ 1.523032，0.574022 ，-0.697235 ，0.247238 }接下来我们就要解决每个染色体个体的适应值问题了．（2）定义适应函数和适应值由于给定的目标函数2()20.5f x x x =-++在[1,2]-内的值有正有负，所以必须通过建立适应函数与目标函数的映射关系，保证映射后的适应值非负，而且目标函数的优化方向应对应于适应值增大的方向，也为以后计算各个体的入选概率打下基础．对于本题中的最大化问题，定义适应函数()g x ，采用下述方法：min min (), ()0()0,f x F f x F g x -->⎧=⎨⎩若其他 式中min F 既可以是特定的输入值，也可以是当前所有代或最近K 代中()f x 的最小值，这里为了便于计算，将采用了一个特定的输入值．若取min 1F =-，则当()1f x =时适应函数()2g x =；当() 1.1f x =-时适应函数()0g x =．由上述所随机产生的初始群体，我们可以先计算出目标函数值分别如下（Matlab 程序参见附录3）：f [pop(1)]={ 1.226437 , 1.318543 , -1.380607 , 0.933350 }然后通过适应函数计算出适应值分别如下（Matlab 程序参见附录5、附录6）： 取min 1F =-，g[pop(1)]= { 2.226437 , 2.318543 , 0 , 1.933350 }（3）确定选择标准这里我们用到了适应值的比例来作为选择的标准，得到的每个个体的适应值比例叫作入选概率．其计算公式如下：对于给定的规模为n 的群体pop={123,,,,n a a a a }，个体i a 的适应值为()i g a ，则其入选概率为1()(),1,2,3,,()i s i n ii g a P a i n g a ===⋯∑由上述给出的群体，我们可以计算出各个个体的入选概率．首先可得 41() 6.478330ii g a ==∑， 然后分别用四个个体的适应值去除以41()i i g a =∑，得：P (a 1)=2.226437 / 6.478330 = 0.343675 %% a 1P (a 2)=2.318543 / 6.478330 = 0.357892 %% a 2P (a 3)= 0 / 6.478330 = 0 %% a 3P (a 4)=1.933350 / 6.478330 = 0.298433 %% a 4（Matlab 程序参见附录7）（4）产生种群计算完了入选概率后，就将入选概率大的个体选入种群，淘汰概率小的个体，并用入选概率最大的个体补入种群，得到与原群体大小同样的种群（Matlab 程序参见附录8、附录11）．要说明的是：附录11的算法与这里不完全相同．为保证收敛性，附录11的算法作了修正，采用了最佳个体保存方法（elitist model），具体内容将在后面给出介绍．由初始群体的入选概率我们淘汰掉a3，再加入a2补足成与群体同样大小的种群得到newpop(1)如下：newpop(1)={<1101011101001100011110>，%% a1<1000011001010001000010>，%% a2<1000011001010001000010>，%% a2<0110101001101110010101>} %% a4（5）交叉交叉也就是将一组染色体上对应基因段的交换得到新的染色体，然后得到新的染色体组，组成新的群体（Matlab程序参见附录9）．我们把之前得到的newpop(1)的四个个体两两组成一对，重复的不配对，进行交叉．（可以在任一位进行交叉）<110101110 1001100011110>，<1101011101010001000010>交叉得：<100001100 1010001000010>，<1000011001001100011110><10000110010100 01000010>，<1000011001010010010101>交叉得：<01101010011011 10010101>，<0110101001101101000010>通过交叉得到了四个新个体，得到新的群体jchpop (1)如下：jchpop(1)={<1101011101010001000010>，<1000011001001100011110>，<1000011001010010010101>，<0110101001101101000010>}这里采用的是单点交叉的方法，当然还有多点交叉的方法，不过有些烦琐，这里就不着重介绍了．（6）变异变异也就是通过一个小概率改变染色体位串上的某个基因（Matlab程序参见附录10）．现把刚得到的jchpop(1)中第3个个体中的第9位改变，就产生了变异，得到了新的群体pop(2)如下：pop(2)= {<1101011101010001000010>，<1000011001001100011110>，<1000011011010010010101>，<0110101001101101000010> }然后重复上述的选择、交叉、变异直到满足终止条件为止．（7）终止条件遗传算法的终止条件有两类常见条件：（1）采用设定最大（遗传）代数的方法，一般可设定为50代，此时就可能得出最优解．此种方法简单易行，但可能不是很精确（Matlab 程序参见附录1）；（2）根据个体的差异来判断，通过计算种群中基因多样性测度，即所有基因位相似程度来进行控制．3．遗传算法的收敛性前面我们已经就遗传算法中的编码、适应度函数、选择、交叉和变异等主要操作的基本内容及设计进行了详细的介绍．作为一种搜索算法，遗传算法通过对这些操作的适当设计和运行，可以实现兼顾全局搜索和局部搜索的所谓均衡搜索，具体实现见下图2所示．图2 均衡搜索的具体实现图示应该指出的是，遗传算法虽然可以实现均衡的搜索，并且在许多复杂问题的求解中往往能得到满意的结果，但是该算法的全局优化收敛性的理论分析尚待解决．目前普遍认为，标准遗传算法并不保证全局最优收敛．但是，在一定的约束条件下，遗传算法可以实现这一点．下面我们不加证明地罗列几个定理或定义，供读者参考（在这些定理的证明中，要用到许多概率论知识，特别是有关马尔可夫链的理论，读者可参阅有关文献）．定理 1 如果变异概率为)1,0(∈m P ，交叉概率为]1,0[∈c P ，同时采用比例选择法（按个体适应度占群体适应度的比例进行复制），则标准遗传算法的变换矩阵P 是基本的．定理2 标准遗传算法（参数如定理1）不能收敛至全局最优解．由定理2可以知道，具有变异概率)1,0(∈m P ，交叉概率为]1,0[∈c P 以及按比例选择的标准遗传算法是不能收敛至全局最最优解．我们在前面求解例1时所用的方法就是满足定理1的条件的方法．这无疑是一个令人沮丧的结论．然而，庆幸的是，只要对标准遗传算法作一些改进，就能够保证其收敛性．具体如下：我们对标准遗传算法作一定改进，即不按比例进行选择，而是保留当前所得的最优解（称作超个体）．该超个体不参与遗传．最佳个体保存方法（elitist model ）的思想是把群体中适应度最高的个体不进行配对交叉而直接复制到下一代中．此种选择操作又称复制（copy ）．De Jong 对此方法作了如下定义：定义设到时刻t（第t代）时，群体中a*（t）为最佳个体．又设A（t＋1）为新一代群体，若A（t＋1）中不存在a*（t），则把a*(t)作为A（t＋1）中的第n+1个个体（其中，n为群体大小）（Matlab程序参见附录11）．采用此选择方法的优点是，进化过程中某一代的最优解可不被交叉和变异操作所破坏．但是，这也隐含了一种危机，即局部最优个体的遗传基因会急速增加而使进化有可能限于局部解．也就是说，该方法的全局搜索能力差，它更适合单峰性质的搜索空间搜索，而不是多峰性质的空间搜索．所以此方法一般都与其他选择方法结合使用．定理3具有定理1所示参数，且在选择后保留当前最优值的遗传算法最终能收敛到全局最优解．当然，在选择算子作用后保留当前最优解是一项比较复杂的工作，因为该解在选择算子作用后可能丢失．但是定理3至少表明了这种改进的遗传算法能够收敛至全局最优解．有意思的是，实际上只要在选择前保留当前最优解，就可以保证收敛，定理4描述了这种情况．定理4具有定理1参数的，且在选择前保留当前最优解的遗传算法可收敛于全局最优解．例2：设2=-+，求max(),[0,2]f x x x()3f x x∈，编码长度为5，采用上述定理4所述的“在选择前保留当前最优解的遗传算法”进行．此略，留作练习．二、相关函数（命令）及简介本实验的程序中用到如下一些基本的Matlab函数：ones, zeros, sum, size, length, subs, double 等，以及for, while 等基本程序结构语句，读者可参考前面专门关于Matlab的介绍，也可参考其他数学实验章节中的“相关函数（命令）及简介”内容，此略．三、实验内容上述例1的求解过程为：群体中包含六个染色体，每个染色体用22位0—1码，变异概率为0.01，变量区间为[1,2]-，取Fmin=2-，遗传代数为50代，则运用第一种终止条件（指定遗传代数）的Matlab程序为：[Count,Result,BestMember]=Genetic1(22,6,'-x*x+2*x+0.5',-1,2,-2,0.01,50)执行结果为：Count =50Result =1.0316 1.0316 1.0316 1.0316 1.0316 1.03161.4990 1.4990 1.4990 1.4990 1.4990 1.4990BestMember =1.03161.4990图2 例1的计算结果（注：上图为遗传进化过程中每一代的个体最大适应度；而下图为目前为止的个体最大适应度——单调递增）我们通过Matlab软件实现了遗传算法，得到了这题在第一种终止条件下的最优解：当x取1.0316时，Max () 1.4990f x=．当然这个解和实际情况还有一点出入（应该是x取1时，Max () 1.5000f x=），但对于一个计算机算法来说已经很不错了．我们也可以编制Matlab程序求在第二种终止条件下的最优解．此略，留作练习．实践表明，此时的遗传算法只要经过10代左右就可完成收敛，得到另一个“最优解”，与前面的最优解相差无几．四、自己动手1．用Matlab编制另一个主程序Genetic2.m，求例1的在第二种终止条件下的最优解．提示：一个可能的函数调用形式以及相应的结果为：[Count,Result,BestMember]=Genetic2(22,6,'-x*x+2*x+0.5',-1,2,-2,0.01,0.00001) Count =13Result =1.0392 1.0392 1.0392 1.0392 1.0392 1.03921.4985 1.4985 1.4985 1.4985 1.4985 1.4985 BestMember =1.03921.4985可以看到：两组解都已经很接近实际结果，对于两种方法所产生的最优解差异很小．可见这两种终止算法都是可行的，而且可以知道对于例1的问题，遗传算法只要经过10代左右就可以完成收敛，达到一个最优解．2．按照例2的具体要求，用遗传算法求上述例2的最优解．3．附录9子程序Crossing.m中的第3行到第7行为注解语句．若去掉前面的%号，则程序的算法思想有什么变化？4．附录9子程序Crossing.m中的第8行至第13行的程序表明，当Dim(1)>=3时，将交换数组Population的最后两行，即交换最后面的两个个体．其目的是什么？5．仿照附录10子程序Mutation.m，修改附录9子程序Crossing.m，使得交叉过程也有一个概率值（一般取0.65~0.90）；同时适当修改主程序Genetic1.m或主程序Genetic2.m，以便代入交叉概率．6．设2f x x∈-，要设定求解精度到15位小数．=--+，求max(),[2,2]f x x x()41五、附录附录1：主程序Genetic1.mfunction[Count,Result,BestMember]=Genetic1(MumberLength,MemberNumber,FunctionFitn ess,MinX,MaxX,Fmin,MutationProbability,Gen)Population=PopulationInitialize(MumberLength,MemberNumber);global Count;global CurrentBest;Count=1;PopulationCode=Population;PopulationFitness=Fitness(PopulationCode,FunctionFitness,MinX,MaxX,Mumbe rLength);PopulationFitnessF=FitnessF(PopulationFitness,Fmin);PopulationProbability=Probability(PopulationFitnessF);[Population,CurrentBest,EachGenMaxFitness]=Elitist(PopulationCode,Populatio nFitness,MumberLength);EachMaxFitness(Count)=EachGenMaxFitness;MaxFitness(Count)=CurrentBest(length(CurrentBest));while Count<GenNewPopulation=Select(Population,PopulationProbability,MemberNumber);Population=NewPopulation;NewPopulation=Crossing(Population,FunctionFitness,MinX,MaxX,MumberLength);Population=NewPopulation;NewPopulation=Mutation(Population,MutationProbability);Population=NewPopulation;PopulationFitness=Fitness(Population,FunctionFitness,MinX,MaxX,MumberLength);PopulationFitnessF=FitnessF(PopulationFitness,Fmin);PopulationProbability=Probability(PopulationFitnessF);Count=Count+1;[NewPopulation,CurrentBest,EachGenMaxFitness]=Elitist(Population,PopulationFitn ess,MumberLength);EachMaxFitness(Count)=EachGenMaxFitness;;MaxFitness(Count)=CurrentBest(length(CurrentBest));Population=NewPopulation;endDim=size(Population);Result=ones(2,Dim(1));for i=1:Dim(1)Result(1,i)=Translate(Population(i,:),MinX,MaxX,MumberLength);endResult(2,:)=PopulationFitness;BestMember(1,1)=Translate(CurrentBest(1:MumberLength),MinX,MaxX,Mumb erLength);BestMember(2,1)=CurrentBest(MumberLength+1);close allsubplot(211)plot(EachMaxFitness)subplot(212)plot(MaxFitness)【程序说明】主程序Genetic1.m包含了8个输入参数：(1) MumberLength：表示一个染色体位串的二进制长度．（例1中取22）(2) MemberNumber：表示群体中染色体的个数．（例1中取6个）(3) FunctionFitness：表示目标函数，是个字符串，因此用表达式时，用单引号括出．（例1中是2=-++）f x x x()20.5(4) MinX：变量区间的下限．（例1中是[1,2]-中的）(5) MaxX：变量区间的上限．（例1中是[1,2]-中的2）(6) Fmin：定义适应函数过程中给出的一个目标函数的可能的最小值，由操作者自己给出．（例1中取Fmin=2-）(7) MutationProbability：表示变异的概率，一般都很小．（例1中取0.01）(8) Gen：表示遗传的代数，也就是终止程序时的代数．（例1中取50）另外，主程序Genetic1.m包含了3个输出值：Count 表示遗传的代数；Result 表示计算的结果，也就是最优解；BestMember表示最优个体及其适应值．附录2：子程序PopulationInitialize.mfunction Population=PopulationInitialize(MumberLength,MemberNumber)Temporary=rand(MemberNumber,MumberLength);Population=(Temporary>=0.5*ones(size(Temporary)));【程序说明】子程序PopulationInitialize.m用于产生一个初始群体．这个初始群体含有MemberNumber个染色体，每个染色体有MumberLength个基因（二进制码）．附录3：子程序Fitness.mfunction PopulationFitness=Fitness(PopulationCode,FunctionFitness,MinX,MaxX,MumberLength) Dim=size(PopulationCode);PopulationFitness=zeros(1,Dim(1));for i=1:Dim(1)PopulationFitness(i)=Transfer(PopulationCode(i,:),FunctionFitness,MinX,MaxX,MumberLength);end【程序说明】子程序Fitness.m用于计算群体中每一个染色体的目标函数值．子程序中含有5个输入参数：PopulationCode表示用0—1代码表示的群体，FunctionFitness 表示目标函数，它是一个字符串，因此写入调用程序时，应该用单引号括出，MumberLength表示染色体位串的二进制长度．MinX和MaxX 分别指变量区间的上下限．附录4：子程序Translate.mfunction PopulationData=Translate(PopulationCode,MinX,MaxX,MumberLength) PopulationData=0;Dim=size(PopulationCode);for i=1:Dim(2)PopulationData=PopulationData+PopulationCode(i)*(2^(MumberLength-i));endPopulationData=MinX+PopulationData*(MaxX-MinX)/(2^Dim(2)-1);【程序说明】子程序Translate.m把编成码的群体翻译成变量的数值．含有4个输入参数，PopulationCode, MinX, MaxX, MumberLength．附录5：子程序Transfer.mfunction PopulationFitness=Transfer(PopulationCode,FunctionFitness,MinX,MaxX,MumberLength) PopulationFitness=0;PopulationData=Translate(PopulationCode,MinX,MaxX,MumberLength);PopulationFitness=double(subs(FunctionFitness,'x',sym(PopulationData)));【程序说明】子程序Transfer 把群体中的染色体的目标函数值用数值表示出来，它是Fitness的重要子程序．其有5个输入参数分别为PopulationCode, FunctionFitness, MinX, MaxX，MumberLength．附录6：子程序FitnessF.mfunction PopulationFitnessF=FitnessF(PopulationFitness,Fmin)Dim=size(PopulationFitness);PopulationFitnessF=zeros(1,Dim(2));for i=1:Dim(2)if PopulationFitness(i)>FminPopulationFitnessF(i)=PopulationFitness(i)-Fmin;endif PopulationFitness(i)<=FminPopulationFitnessF(i)=0;endend【程序说明】子程序FitnessF.m是用于计算每个染色体的适应函数值的．其输入参数如下：PopulationFitness 为群体中染色体的目标函数值，Fmin为定义适应函数过程中给出的一个目标函数的可能的最小值．附录7：子程序Probability.mfunction PopulationProbability=Probability(PopulationFitness)SumPopulationFitness=sum(PopulationFitness);PopulationProbability=PopulationFitness/SumPopulationFitness;【程序说明】子程序Probability.m 用于计算群体中每个染色体的入选概率，输入参数为群体中染色体的适应函数值PopulationFitness．附录8：子程序Select.mfunction NewPopulation=Select(Population,PopulationProbability,MemberNumber)CProbability(1)=PopulationProbability(1);for i=2:MemberNumberCProbability(i)=CProbability(i-1)+PopulationProbability(i);endfor i=1:MemberNumberr=rand(1);Index=1;while r>CProbability(Index)Index=Index+1;endNewPopulation(i,:)=Population(Index,:);end【程序说明】子程序Select.m 根据入选概率（计算累计概率）在群体中按比例选择部分染色体组成种群，该子程序的3个输入参数分别为：群体Population，入选概率PopulationProbability，群体中染色体的个数MemberNumber．附录9：子程序Crossing.mfunction NewPopulation=Crossing(Population,FunctionFitness,MinX,MaxX,MumberLength)%%PopulationFitness=%% Fitness(Population,FunctionFitness,MinX,MaxX,MumberLength);%%PopulationProbability=Probability(PopulationFitness);%%[SortResult,SortSite]=sort(PopulationProbability);%%Population=Population(SortSite,:);Dim=size(Population);if Dim(1)>=3Temp=Population(Dim(1),:);Population(Dim(1),:)=Population(Dim(1)-1,:);Population(Dim(1)-1,:)=Temp;endfor i=1:2:Dim(1)-1SiteArray=randperm(Dim(2));Site=SiteArray(1);Temp=Population(i,1:Site);Population(i,1:Site)=Population(i+1,1:Site);Population(i+1,1:Site)=Temp;endNewPopulation=Population;【程序说明】子程序Crossing.m 用于群体中的交叉并产生新群体．其输入参数为：Population, FunctionFitness，MinX，MaxX，MumberLength．附录10：子程序Mutation.mfunction NewPopulation=Mutation(Population,MutationProbability)Dim=size(Population);for i=1:Dim(1)Probability=rand(1);Site=randperm(Dim(2));if Probability<MutationProbabilityif Population(i,Site(1))==1Population(i,Site(1))=0;endif Population(i,Site(1))==0Population(i,Site(1))=1;endendendNewPopulation=Population;【程序说明】子程序Mutation.m用于群体中少量个体变量并产生新的群体．输入参数为：群体Population和变异概率MutationProbability．附录11：子程序Elitist.mfunction [NewPopulationIncludeMax,CurrentBest,EachGenMaxFitness]=Elitist(Population,PopulationFitness,MumberLength)global Count CurrentBest;[MinFitness,MinSite]=min(PopulationFitness);[MaxFitness,MaxSite]=max(PopulationFitness);EachGenMaxFitness=MaxFitness;if Count==1CurrentBest(1:MumberLength)=Population(MaxSite,:);CurrentBest(MumberLength+1)=PopulationFitness(MaxSite);elseif CurrentBest(MumberLength+1)<PopulationFitness(MaxSite);CurrentBest(1:MumberLength)=Population(MaxSite,:);CurrentBest(MumberLength+1)=PopulationFitness(MaxSite);endPopulation(MinSite,:)=CurrentBest(1:MumberLength);endNewPopulationIncludeMax=Population;【程序说明】子程序Elitist.m用到最佳个体保存方法（“优胜劣汰”思想）．输入参数为：群体Population, 目标函数值PopulationFitness和染色体个数MumberLength．“遗传算法”专题一、遗传算法的主要特征：我们的目的是获得“最好解”，可以把这种任务看成是一个优化过程。
遗传算法参数设置
遗传算法参数设置遗传算法是一种基于生物进化原理的优化算法，通过模拟自然选择、交叉、变异等过程，寻找最优解或近似最优解。
遗传算法的性能和效果受到参数设置的影响，下面将介绍几个常用的参数设置以及其影响。
1. 种群大小（Population Size）：种群大小是指每一代个体的数量。
通常情况下，种群大小越大，算法的全局能力越强，但计算复杂度也会增加。
种群大小的选择应根据问题的复杂度和计算资源进行权衡。
2. 交叉率（Crossover Rate）：交叉率指的是进行交叉操作的概率。
交叉是通过将两个个体的染色体进行交换、重组来产生新的个体。
适当增加交叉率可以增强种群的多样性，有利于全局，但交叉率过高可能会导致收敛速度变慢。
3. 变异率（Mutation Rate）：变异率指的是进行变异操作的概率。
变异是通过对个体的染色体进行随机扰动来产生新的个体。
适当增加变异率可以增加种群的多样性，有助于避免陷入局部最优解，但变异率过高可能会导致过程过于随机。
4. 选择方法（Selection Method）：选择方法是指如何选择下一代个体的过程。
常用的选择方法有轮盘赌选择、竞争选择、排序选择等。
选择方法的选择取决于问题的特性和算法的要求。
例如，轮盘赌选择适用于连续型优化问题，而竞争选择适用于离散型优化问题。
5. 停止准则（Termination Criterion）：停止准则用于确定算法何时终止。
常见的停止准则有达到最大迭代次数、求解误差小于一些阈值等。
合理的停止准则可以避免计算资源的浪费，并确保获得足够好的近似最优解。
6. 编码方式（Encoding）：编码方式指的是将问题转化为染色体的表示形式。
常用的编码方式有二进制编码、整数编码、浮点数编码等。
合适的编码方式应能准确地表示问题的信息并与遗传操作相兼容。
除了上述参数外，遗传算法还有许多其他参数可以进行调整，例如交叉算子、变异算子、选择算子的设计、适应度函数的定义等等。
数学建模中的遗传算法设计
数学建模中的遗传算法设计数学建模是现代科学的重要组成部分，它的发展推动了现代自然科学和工程科学的进步。
而在数学建模中，遗传算法是一种非常有效的优化算法，在实际应用中具有广泛的应用前景。
一、遗传算法的基本原理遗传算法是一种通过模拟自然进化过程获取最优解的方法。
其基本原理是对于一个需要求解的问题，根据问题特性设计出适应度函数，该函数能够衡量个体的适应程度。
在进化过程中，将该适应度函数作为选择个体的依据，而后产生随机变异，不断迭代，最终找到全局最优解。
具体来说，遗传算法包含以下几个基本操作：1、初始化种群：生成一个随机种群，其中个体遵守问题特定的限制条件，如初始解范围、数量、精度等。
2、选择操作：根据适应度函数选择每一代群体的优良解。
3、交叉操作：在群体中选择两个个体进行交叉，产生下一代。
4、变异操作：对产生的下一代个体进行变异，从而增加群体的多样性。
5、重复执行选择、交叉、变异操作：重复执行直到达到终止条件，如迭代次数、达到一定精度等。
遗传算法的主要优点是能够在大量的组合、问题结构较复杂、目标函数具有非线性、多峰等特点的优化问题中获得较好的全局最优解。
但同时也存在一些缺陷，如易陷入局部最优解，多次运行结果不一致等问题。
二、遗传算法在数学建模中的应用1、函数优化问题如求解无约束非线性函数的最小值、最大值等，通过适应度函数来评估群体中个体的适应程度，根据遗传算法的原则不断迭代更新，最终得到全局最优解。
例如，已知函数$f(x)=-x^2+2x+5$，求其最大值。
遗传算法可编程求得该函数最大值$x=1$。
2、组合优化问题如旅行商问题、背包问题、调度问题等，这些经典问题通常不依赖于外部条件，可以通过组合优化的方式求解。
遗传算法在解决这些问题时，可以通过选择合适的遗传操作和适应度函数得到非常好的优化结果。
例如，求解背包问题，遗传算法可通过交叉、变异等操作不断优化方案，达到最优背包填充方案。
3、物理建模问题如固体力学中弹性力学问题、电磁场问题等，这些问题通常涉及到大量的物理变量和参数，其求解难度较高。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
Goldberg, Smith 双倍染色体遗传算法应用于非稳定函数优化
Oliver, Smith, Holland
排列重组算子的模拟和分析
Schaffer, Morishima 串编码自适应交叉试验
Whitley
子孙测试应用于遗传算法的选择操on in Natural and Artificial Systems》
1 遗传算法概述
年份 1981 1981 1983 1983 1984 1985 1985
1985
1985
1985
贡献者 Bethke Brindle Pettit, Swigger Wetzel Mauldin Baker Booker Goldberg, Lingle Grefenstette, Fitzpattrick Schaffer
1 遗传算法概述
1.4 遗传算法的应用领域
（1）函数优化（经典应用） （2）组合优化（旅行商问题——已成为衡量算法优劣的标准、背包问
题、装箱问题等） （3）生产调度问题 （4）自动控制（如航空控制系统的优化设计、模糊控制器优化设计和
在线修改隶属度函数、人工神经网络结构优化设计和调整人工神 经网络的连接权等优化问题） （5）机器人智能控制（如移动机器人路径规划、关节机器人运动轨迹 规划、机器人逆运动学求解等）
Hots（p6o）t状图识像别处等理）和模式识别（如图像恢复、图像边缘特征提取、几何形
（7）机器学习（将GA用于知识获取，构建基于GA的机器学习系统）
此外，遗传算法在人工生命、遗传程序设计、社会和经济领域等 方面的应用尽管不是很成熟，但还是取得了一定的成功。在日后，必 定有更深入的发展。
❖ 背包问题(Knapsack problem)是一种组合优化的NP完全问 题。问题可以描述为：给定一组物品，每种物品都有自己的重 量和价格，在限定的总重量内，我们如何选择，才能使得物品 的总价格最高。问题的名称来源于如何选择最合适的物品放置 于给定背包中。相似问题经常出现在商业、组合数学，计算复 杂性理论、密码学和应用数学等领域中。也可以将背包问题描 述为决定性问题，即在总重量不超过W的前提下，总价值是否 能达到V？它是在1978年由Merkel和Hellman提出的。
数学建模专题之
遗传算法要求
Contents
1
遗传算法概述
2
标准遗传算法
3
遗传算法简单举例：函数极值
4
遗传算法求解TSP问题
5
遗传算法优化神经网络
6
遗传算法的实现
Contents of Section 1 1 遗传算法概述
1.1 什么是遗传算法 1.2 遗传算法的特点 1.3 遗传算法的发展历程 1.4 遗传算法的研究和应用领域
续表1.1
内容 应用Walsh函数分析模式 研究遗传算法中的选择和支配问题 遗传算法应用于非稳定问题的粗略研究 用遗传算法解决旅行商问题（TSP) 基本遗传算法中用启发知识维持遗传多样性 试验基于排序的选择方法 建议采用部分分配计分、分享操作和交配限制法
TSP问题中采用部分匹配交叉
对含噪声的函数进行测试
多种群遗传算法解决多目标优化问题
1 遗传算法概述
年份 1986 1986 1987 1987
1987
1987 1987
1987
1987 1987
续表1.1
贡献者
内容
Goldberg
最优种群大小估计
Grefenstette
元级遗传算法控制的遗传算法
Baker
选择中随机误差的较少方法
Goldberg 第二复阶制段和：交叉时最小欺骗问题（MDP） RGico2hld0abr世desr纪go,n80年代借（助蓬分勃享函发数展的期小生）境和物种归纳法
❖所谓集装箱装载问题，就是将若干大小不 同的长方体装进一个大小已知的长方体容 器，其目标是最大化容器的积载率。
生产调度问题
Contents of Section 2
2.1 遗传算法的生物学基础
2.2
遗传算法的基本流程
1 遗传算法概述
1.3 遗传算法的发展历史
年份 1962 1968 1971
1972
1972 1973 1973 1975
1975
表1.1 遗传算法理论的经典研究成果
贡献者
内容
Holland
程序漫游元胞计算机自适应系统框架
Holland
模式定理的建立
Hollstein
具第有交一配阶和段选择：规则的二维函数优化
➢核心思想：物竞天择，适者生存
（“天”——适应度函数，Fitness Function)
1 遗传算法概述
1.2 遗传算法的特点
四大优点： ✓ 良好的并行性（操作对象是一组可行解；搜索轨
道有多条） ✓ 强大的通用性（只需利用目标的取值信息，无需
梯度等高价值信息） ✓ 良好的全局优化性和鲁棒性 ✓ 良好的可操作性 两个缺点： 未成熟收敛问题 收敛速度较慢，算法实时性欠佳
Boswort2h0世纪提60出年具有代复至杂7变0异年、代类中似于期遗传算法的基因操作
Foo, Zeigler
（萌芽期）
Frantz
位置非线性和倒位操作研究
Holland
遗传算法中试验的最优配置和双臂强盗问题
Martin
类似遗传算法的概率算法理论
De Jong
用于5个测试函数的研究基本遗传短发基准参数
1 遗传算法概述
1.1 遗传算法（Genetic Algorithm, GA）
➢一种仿生全局优化算法
➢模仿生物的遗传进化原理（Darwin’s theory of evolution & Mendel’s law of inheritance)，通过选择（Selection）、 交叉（Crossover）与变异（Mutation） 等操作机制，使种群中个体的适应性 （Fitness）不断提高
❖ NP完全问题，是世界七大数学难题之一。 NP的英文全称是Nondeterministic Polynomial的问题，即多项式复杂程度的非确定性问题。 简单的写法是 NP=P？，问题就在这个问号上，到底是NP等于P，还是NP 不等于P。
❖ 这七个“世界难题”是：NP完全问题、霍奇猜想、庞加莱猜想、黎曼假设 、杨·米尔斯理论、纳卫尔-斯托可方程、BSD猜想。