《运筹学》试卷及答案001

《运筹学》试卷一、单项选择题(1⨯5分）1.下面几种情形中，不可能是线性规划(以下简称LP)的约束条件形式的是( )。

A．“=”型 B.“＜”型 C.“≥”型 D.“≤”型2.LP的灵敏度分析是在( )的基础上，分析系数或模型结构的变化对最优解的影响。

A.初始单纯形表B. 对偶问题初始单纯形表C.最优单纯形表D.对偶最优单纯形表3.关于图论中图的概念，以下说法中( )的叙述正确。

A．图中的点表示研究对象，边表示点与点之间的关系 B．图中任意两点之间必有边C．图中的边表示研究对象，结点表示衔接关系 D．图中的边数等于点数减14.用割平面法求解整数规划时，构造的割平面只能切去（）。

A．整数可行解 B．整数最优解 C．非整数最优解 D．非整数解5.用两阶段法求解LP问题时，第一阶段模型的目标函数是（）的线性函数。

A.决策变量B.松弛变量C.人工变量D.全部变量二、判断正误（对者打“√”，错者打“×”。

1⨯5分）1.在互为对偶的LP原问题与对偶问题中，原问题任一可行解的目标函数值一定不超过其对偶问题任一可行解的目标函数值。

（）2.Dijkstra算法也适用于求解含有负权的最短路问题。

（）3.用单纯形法求解标准型的LP问题时，σj>0的变量原则上都可以作为换入变量。

( )4.贝尔曼最优化原理仅是动态规划问题的允许策略成为最优策略的必要条件。

（）5.目标规划模型中不包含绝对约束时，不一定存在满意解。

（）三、(30分) 某企业生产3种产品，这些产品均需在A、B两种不同的设备上加工，每种产品在不同设备上加工所需的工时、销售后所能获得利润以及这两种加工设备在计划期内所能利用的有效加工机时如下表。

该企业应如何安排3种产品生产，可使企业所获利润最大？要求：1.建立该问题的线性规划模型；（5分）2.用单纯形法求该问题的最优解及最优值；（15分）3.产品Ⅱ的单位利润在什么范围内变动时，最优解不变？（5分）4.直接写出该LP的对偶问题及其最优解。

（5分）四、(10分) 某家电厂商生产A、B、C三种规格的某种家电产品，装配工作在同一生产线上完成，三种产品装配时的工时消耗分别为1.2小时、1.5小时和1.7小时，生产线每月正常工作时间为240小时；三种产品销售后，每台获利分别为150、180和200元；每月销售量预计分别为100、80和70台。

该厂经营目标如下：P1：充分利用生产线的正常加工能力；P2：利润指标为每月不低于2.5万元；P3：根据三种产品的需求变动趋势，产品A的产量不超过预计销量、产品B的产量不低于预计销量、产品C的产量等于预计销量为宜；P4：产品旺销时可以适当加班，但每月加班时间不宜超过60小时。

试根据上述资料建立该家电厂商产品生产计划的目标规划模型。

（不求解） 五、（15分）指派5位员工去完成5项不同的工作，每人做各项工作所需时间（单位：天）如下表所示。

试用匈牙利法求最优指派方案及最少总时间。

六、（10分）某公司有资金b 万元。

若投资于项目k 的投资额为x k 时，其收益为g k (x k )， k ＝1，2，3。

问应如何分配资金才能使总投资收益最大？试建立该问题的动态规划模型(不求解)。

（提示 建立动态规划模型包括：确定解法(顺序或逆序)；划分阶段；定义状态变量、状态集合、决策变量、允许决策集合、状态转移方程、阶段指标、最优指标函数；写出动态规划基本方程） 七、（10分）用Ford-Fulkerson 算法求图1中容量网络的最大流和最小割。

图中弧旁的数字表示(c ij ，f ij )。

八、 (15分)已知产销平衡运输问题如下表所示。

试检验表中的基可行解是否是最优解。

如不是，用闭回路法对表中的解进行调整，求出最优解及最小总运费。

v v t图1《运筹学》试卷一、单项选择题(1⨯5分）1.B2.C3.A4.D5.C 二、判断正误（对者打“√”，错者打“×”。

1⨯5分） 1. × 2. × 3.√ 4.√ 5.× 三、(30分）解:1. (5分）设产品Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ在计划期内产量分别为x 1、x 2 、x 3，由题意，该问题的LP 模型为：⎪⎩⎪⎨⎧=≥≤++≤++++=3,2,1,0120386210754..504540max 321321321j x x x x x x x t s x x x z j2.(15:∴ 换入换出:∴ 换入换出:∵∀σj ≤0，∴得最优解:X *=(7,0,26,0,0)T，最优值z *=15803.∵x 2是非基变量，故当σ2’≤0，即∆c 2 ≤-σ2=19/3，亦即c 2’ ≤154/3时，原最优解仍是最优解。

4.对偶问题为：min w = 210y 1 + 120y 24y 1+6y 3 ≥40 5y 1 +8y 2 ≥ 45 7y 1 +3y 2 ≥ 50 y 1, y 2 ≥ 0对偶问题最优解：Y*=( 6,8/3)T ，最优值w *=1580 评分标准:1.正确设定决策变量:2分；正确列出LP 模型:3分。

2.化标准形式、答案各1分，第1张单纯形表3分, 第2,3张单纯形表各5分；3.5分。

4.正确列出对偶问题模型:3分；最优解2分。

个别数据错误酌情扣分。

四、(10分)解: 设计划期内A 、B 、C 三种产品的产量分别为x 1,x 2,x 3，由题意，该问题的GP 模型为:⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧=≥=≥=-+=-+=-+=-+=-+++=-+++++++-+-++-+-+-+-+-++--+--6,,1,0,,3,2,1,06070801002500020018015024035.22..}),(,,min{661553442331223211132164554332211 i d d j x d d d d d x d d x d d x d d x x x d d x x x t s d P d d d d P d P d P i i j 评分标准: 正确设定决策变量:2分；正确列出目标规划模型:8分。

个别条件列错酌情扣分。

五、(15分）解: 变换系数矩阵:'2 0 3 6 64 9 0 8 05 0 5 10 70 0 0 3 22 5 2 0 06 4 7 10 1010 15 6 14 612 7 12 17 146 6 6 9 8 9 12 9 7 7C C =⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡→⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡= 圈出C ’中的独立0元素:C ’中只有4个独立0元素，需要继续变换:用最少直线数覆盖所有0元素，未被直线覆盖的元素中的最小元素是2，则未被直线覆盖的行中每个元素-2, 被直线覆盖的列中每个元素+2，得到C’’。

圈出C ’’已得到5: I 做B 工作；II 做C 工作；III 做D 工作；IV 做A 工作；V 做E 工作。

总耗时为7+6+7+6+6=32（天）。

评分标准: 变换系数矩阵得到C ’：4分；进一步变换系数矩阵得到C ’’：6分；圈出5个独立0元素、给出最优指派方案：5分。

个别数据错误酌情扣分。

六、(10分)解:建立该问题的动态规划模型如下: (1)采用逆序解法(顺序解法亦可);’’(2)阶段：每个项目为一个阶段，k ＝1,2,3(3)状态变量s k 为第k 个阶段初可用于分配的资金。

(4)状态集合: S 1=b ，S 4=0，0≤S k ≤b,k=2,3(5)决策变量x k 为分配第k 个项目的资金，k ＝1,2,3 (6)允许决策集合: 0≤x k ≤S k , k=1,2,3 (7)状态转移方程：s k+1= s k - x k ，k ＝1,2,3 (8)阶段指标:v k (s k ,x k )= g k (x k ) ，k ＝1,2,3(9)最优指标函数f(s k )表示第k 阶段初可用于分配的资金为s k 时,采取最优策略,从第k 至第3阶段的最大投资收益。

(10)DP 基本方程为：评分标准: (1)～(10) 项每项1分.七、(10分）解:(1)标号过程：先给v s 标以(0，+∞)。

检查v s 的相邻未标号点，发现v 1、 v 2符合标号条件，故给v 1以标号(v s ,min ｛+∞,c s1-f s1｝)=(v s ,2)；给v 2以标号( v s ,min ｛+∞,c s2-f s2})= (v s ,1)。

继续标号过程，给v 4以标号(v 1,min ｛2,c 14-f 14｝)=(v 1,2)；给v 3以标号( -v 4,min ｛2, f 34})= (-v 4,2)；给v t以标号(v 3,min ｛2, c 3t –f 3t })= (v 3,2)。

至此v t 已得到标号，说明存在一条可增广链。

转调整过程。

(2)调整过程 可增广链：v s →v 1→v 4←v 3→v t ，如图1。

沿可增广链调整流量，调整量δ=δv t =2，即令可增广链上所有前向弧的流量增加2，后向弧的流量减少2。

调整后得到的可行流如图2：v t图1(0, (v s ,1)(-v 4,2),2){}⎪⎩⎪⎨⎧==+=++≤≤0)(1,2,3)()()(44110max s f k s f x g s f k k k k S x k k k k vv t((3) 重新标号：去掉所有标号，对新的可行流重新标号。

给v s标（0,+∞）, 给v2以标号( v s,min｛+∞,c s2-f s2})= (v s,1)。

至此标号进行不下去，而v t未得到标号，说明图中的流已是最大流。

最大流量w(f * ) =f4t+f3 t=15。

最小割集()S S,={(v s,v1),(v2,v3) ,(v2,v4)},如图2中的虚线所示。

最小割集的容量为：c(S,Ŝ)=c s1+ c23+c24=6+5+4=15, 与最大流的流量相等。

评分标准: (1)、(2)、（3）、图1、图2各2分。

若算法步骤和图不完整,可适当扣分。

八、(15分）解: 闭回路法求得表中基可行解的非基变量的检验数，填入表1中空格的左下角。

∵σ34<0，∴表中基可行解不是最优解。

用闭回路法对表中的解进行调整，闭回路为：（x34）—x14—x24—x33—（x34），调整量为min{x14，x33}=35，调整后得到一个新的基可行解,如表2。

再用闭回路法求得表2中基可行解的非基变量的检验数，填入表2中空格的左下角。

∵∀σij>0，∴表2中的解即为问题的最优解。

最小总运费z=2⨯45+4⨯15+3⨯20+2⨯30+4⨯5+2⨯35=360。

评分标准: 两个表中的基可行解的检验和解的调整各5分。

个别数据错误酌情扣分。