第一章空间向量与立体几何专题强化练2空间向量与立体几何的综合应用

人教A 版（2019）选择性必修第一册过关斩将第一章空间向量与立体几何专题强化练2空间向量与立体几何的综合应用 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、解答题
1．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是菱形，AB ＝2，60BAD ∠=︒．
（Ⅰ）求证：BD ⊥平面PAC ；
（Ⅱ）若PA AB =，求PB 与AC 所成角的余弦值；
2．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，AC AB ⊥，4AC AB ==，16AA =，点E 、F 分别为1CA 与AB 的中点.
（1）证明：//EF 平面11BCC B ；
（2）求1B F 与平面AEF 所成角的正弦值.
3．如图，正三棱柱111ABC A B C -中，各棱长均为4，N 是1CC 的中点.
（1）求点N 到直线AB 的距离；
（2）求点1C 到平面ABN 的距离.
4．如图所示的几何体中，,,2,BE BC EA AC BC AC ⊥⊥==45,//,2ACB AD BC BC AD ∠==．
(1)求证：AE ⊥平面ABCD ；
(2)若60ABE ∠=，点F 在EC 上，且满足EF =2FC ，求二面角F —AD —C 的余弦值．
5．如图，一个正三角形ABC '和一个平行四边形ABDE 在同一个平面内，其中8AB =，
BD AD ==,AB DE 的中点分别为F ，G .现沿直线AB 将ABC '△翻折成ABC ，使二面角C AB D --为120°，设CE 的中点为H .
（1）求证：平面//CDF 平面AGH ；
（2）求异面直线AB 与CE 所成角的正切值；
（3）求平面CDE 与平面DEF 的夹角的余弦值.
6．如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，侧面PAD 为正三角形，2AD =，3AB =，平面PAD ⊥平面ABCD ，E 为棱PB 上一点（不与P 、B 重合），平面ADE 交棱PC 于点F .
（1）求证：AD EF ；
（2）若二面角––B AC E 的余弦值为20
，求点B 到平面AEC 的距离. 7．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，侧棱PA ⊥底面ABCD ，
AB =1BC =，2PA =，E 为PD 的中点.
（1）求异面直线AC 与PB 间的距离；
（2）在侧面PAB 内找一点N ，使NE ⊥平面PAC ，并求出N 到AB 和AP 的距离. 8．（2017新课标全国Ⅲ理科）如图，四面体ABCD 中，△ABC 是正三角形，△ACD 是直角三角形，∠ABD =∠CBD ，AB =BD ．
（1）证明：平面ACD ⊥平面ABC ；
（2）过AC 的平面交BD 于点E ，若平面AEC 把四面体ABCD 分成体积相等的两部分，求二面角D –AE –C 的余弦值.
参考答案
1．（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）
【解析】
试题分析：（Ⅰ）根据菱形的条件，对角线
，又根据平面，也能推出
，这样就能证明直线垂直于平面内的两条相交直线，则线面垂直，即
平面；
（Ⅱ） 取PD 中点E ，设AC BD O ⋂=，连结OE ，AE ，根据中位线平行，就将异面直线所成角转化成相交直线所成角，即
即为所求角，根据平面几何的几何关系，求三边，然后根据余弦定理求角． 试题解析：（Ⅰ）证明：因为PA ⊥平面ABCD ，所以PA BD ⊥．
在菱形ABCD 中，AC BD ⊥，且PA AC A ⋂=，
所以BD ⊥平面PAC ．
（Ⅱ）解：取PD 中点E ，设AC BD O ⋂=，连结OE ，AE ．
在菱形ABCD 中，O 是AC 中点，所以OE PB ．
则AOE ∠即为PB 与AC 所成角．
由2PA AB ==，60BAD ∠=︒，PA ⊥平面ABCD ，
可知，2AE OE ==，3OA =，
在△AOE 中，222cos 24
OE OA AE AOE OE OA +-∠==⋅．
所以PB 与AC 所成角的余弦值是4
考点：1．异面直线所成角；2．线面平行的判定定理．
2．（1）见解析；（2. 【分析】 （1）连接1AC 、1BC ，可知点E 为1AC 的中点，利用中位线的性质可得出1//EF BC ，然后利用直线与平面平行的判定定理可证明出//EF 平面11BCC B ；
（2）以点1A 为坐标原点，11A C 、11A B 、1A A 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系1A xyz -，计算出平面AEF 的一个法向量，利用空间向量法可计算出1B F 与平面AEF 所成角的正弦值.
【详解】
（1）如图，连接1AC 、1BC ，
因为三棱柱111ABC A B C -为直三棱柱，所以E 为1AC 的中点.
又因为F 为AB 的中点，所以1//EF BC .
又EF ⊄平面11BCC B ，1BC ⊂平面11BCC B ，所以//EF 平面11BCC B ；
（2）以1A 为原点，11A C 、11A B 、1A A 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系1A xyz -，
则()0,0,6A 、()10,4,0B 、()2,0,3E 、()0,2,6F ，
所以()10,2,6B F =-，()2,0,3AE =-，()0,2,0AF =，
设平面AEF 的法向量为(),,n x y z =，则23020n AE x z n AF y ⎧⋅=-=⎨⋅==⎩
，
令3x =，得()3,0,2n =，
记1B F 与平面AEF 所成角为θ，则1113130sin cos ,F B F n
B F n B n θ⋅=<>==
⋅. 【点睛】
本题考查直线与平面平行的证明，同时也考查了利用空间向量法计算线面角的正弦值，考查推理能力与计算能力，属于中等题.
3．（1）4；（2.
【分析】
（1）建立空间直角坐标系，求得空间向量,AN AB 的坐标，然后由
21||||AN d AN AB ⎛=- ⎪⎭
求点N 到直线AB 的距离；
（2）求得平面ABN 的一个法向量为(,,)n x y z =及向量1C N 的坐标，然后利用1
2||
C N n d n ⋅=求点1C 到平面ABN 的距离. 【详解】
建立如图所示的空间直角坐标系，
则1(0,0,0),(0,4,0),(0,4,4)A B C C ，
∵N 是1CC 的中点，
∴(0,4,2)N .
（1
）(0,4,2),(23,2,0)AN AB ==，则||25,||4AN AB ==.
设点N 到直线AB 的距离为1d ，
则21||4||AN d AN AB ⎛=-== ⎪⎭
.
（2）设平面ABN 的一个法向量为(,,)n x y z =，
则由,n AB n AN ⊥⊥， 得2320,420,
n AB x y n AN y z
⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩， 令2z =，则1,y x =-=，即3,1,2n ⎛⎫=- ⎪⎝⎭. 易知1(0,0,
2)C N =-，设点1C 到平面ABN 的距离为2d ， 则124||4
C N n d n ⋅-===. 【点睛】
本题主要考查空间距离的向量求法，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
4．（1）详见解析（2 【分析】
（1）在ABC ∆中，根据已知的边、角条件运用余弦定理可得出AB BC ⊥，再由 ,BE BC AB BE B ⊥⋂=，
得出BC ⊥平面ABE .，由线面垂直的性质得BC AE ⊥，再根据线面垂直的判定定理得证；
（2）在以B 为原点，建立空间直角坐标系B xyz -，得出点,,,F
A D C 的坐标，求出面FAD 的法向量，由（1）得EA ⊥平面ABCD ，所以EA 为平面ABCD 的一个法向量，再根据向量的夹角公式求得二面角的余弦值.
【详解】
（1）在ABC ∆中，2,45,BC AC ACB ==∠=
由余弦定理可得2222cos 454AB BC AC BC AC =+-⨯⨯⨯=，
所以2AB =，所以222
,AC AB BC =+所以ABC ∆是直角三角形，AB BC ⊥. 又,BE BC AB BE B ⊥⋂=，所以BC ⊥平面ABE .
因为AE ⊂平面ABE ，所以BC AE ⊥，因为,EA AC AC BC C ⊥⋂=,
所以AE ⊥平面ABCD .
（2）由（1）知，BC ⊥平面ABE ，所以平面BEC ⊥平面AEB ，在平面ABE 中，过点B 作Bz BE ⊥，则Bz ⊥平面BEC ，如图，以B 为原点，BE ,BC 所在直线分别为,x y 轴建立空间直角坐标系B xyz -，
则()()(
)(0,0,0,0,2,0,4,0,0,,B C E
A (D ,
因为2EF FC =，所以44,,033F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，易知(
)140,1,0,,,33AD AF ⎛== ⎝, 设平面ADF 的法向量为(),,n x y z =，
则0,0,AD n AF n ⎧⋅=⎨⋅=⎩
即0,1430,3
3y x y z =⎧⎪⎨+-=⎪⎩
令z =则0,9y x ==， 所以(9,0,3n =为平面ADF 的一个法向量，
由（1）知EA ⊥平面ABCD
，所以(EA =-为平面ABCD 的一个法向量. 设二面角F AD C --的平面角为α，
由图知α
为锐角，则cos 23EA n
EA n α⋅===⨯⋅ 所以二面角F AD C --的余弦值为277
.
【点睛】
本题考查线面垂直关系的证明和二面角的计算，属于中档题.
5．（1）证明见解析；（2（3【分析】
（1）先利用线面平行判定定理证明//FD 平面AGH ，//CD 平面AGH ，再利用面面平行的判定定理，即可证明平面//CDF 平面AGH ；
（2）建立空间直角坐标系，确定,AB CE 的坐标，利用向量的夹角公式，即可求异面直线AB 与CE 所成角的正切值；
（3）确定平面CDE 、平面DEF 的法向量，利用空间向量数量积和向量的夹角公式，即可求二面角C DE F --的余弦值．
【详解】
（1）证明：因为四边形ABDE 为平行四边形，F 、G 分别为AB 、DE 的中点， 所以四边形FDGA 为平行四边形，
所以//FD AG .
又H 、G 分别为CE 、DE 的中点，
所以//HG CD .
因为FD 、CD ⊄平面AGH ，AG 、HG ⊂平面AGH ，所以//FD 平面AGH ，//CD 平面AGH ，因为FD 、CD ⊂平面CDF ，FD CD D ⋂=，所以平面//CDF 平面AGH .
（2）因为三角形ABC 为正三角形，BD AD =，
F 为AB 的中点，所以,AB CF AB DF ⊥⊥，所以CFD ∠为二面角C AB D --的平面角，又CF
DF F =，所以AB ⊥平面CFD ，因为AB 平面ABDE ，所以平面CFD ⊥平面ABDE .作CO ⊥平面ABDE 于O ，则O 在直线DF 上.又二面角C AB D --的平面角为120CFD ∠=︒，所以O 在线段DF 的延长
线上.易知CF =，则6FO CO ==.
以F 为原点，FD 、FA 所在直线分别为x 轴、y 轴，过点F 平行于OC 的直线为z 轴，建立空间直角坐标系，如图，
则(0,4,0),(0,4,0),(A B D E C --， 所以(0,8,0),(53,8,6)AB CE =-=-. 所以异面直线AB 与CE
所成角的余弦值为
|||cos ,|35||||8AB CE AB CE AB CE
⋅〈〉=
==⋅⨯，
8=
. （3）由（2）知(53,0,6),(0,8,0)CD DE =-
=，设平面CDE 的法向量为1(,,)n x y z =，
则由11,n CD
n DE ⊥⊥
得60,80,
z y ⎧-=⎪
⎨
=⎪⎩令z =，得1n =.
易知平面DEF 的一个法向量2(0,0,1)n =，
所以平面CDE 与平面DEF 的夹角的余弦值为121212
537
cos ,37
n n n n
n n ⋅=
=
. 【点睛】
本题考查线面平行，考查线面角，考查面面角，考查向量知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题． 6．（1）证明见解析；（2.
【分析】
（1）先根据线面平行判定定理得AD
平面PBC ，再根据线面平行性质定理得结果；
（2）取AD 的中点O ，根据面面垂直性质定理得PO ⊥平面ABCD ，再根据条件建立空间直角坐标系，设立各点坐标，利用向量数量积解得平面AEC 的一个方向量，再利用向量夹角公式以及二面角与向量夹角关系列方程，解得E 点坐标，最后根据向量求点面距，即得结果. 【详解】 （1）底面ABCD 为矩形，AD
BC ∴.
又AD ⊄平面PBC ，BC ⊂平面PBC ，AD
∴平面PBC .
又
AD ⊂平面ADE ，平面ADE 平面PBC EF =，AD
EF ∴.
（2）取AD 的中点O ，连接PO ，过点O 作OH AB 交BC 于点H .
侧面PAD 为正三角形，PO AD ∴⊥. 平面PAD ⊥平面ABCD 且交线为AD ，
PO ∴⊥平面ABCD ，ABCD 为矩形，AB AD ∴⊥，OH AD ∴⊥，
∴如图所示，建立以OA ，OH ，OP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴的空间直角坐标系O xyz -
()
0,0,0O ∴，(P ，()1,0,0A ，()1,3,0B ，()1,3,0C -.
设(),,E x y z ，又
(01)PE PB λλ=<<，()
,3E λλ∴.
()
1,3AE λλ∴=-，()2,0,3AC =-.
设平面AEC 的法向量为()111,,n x y z =
1111123000(1)3)0x y n AC n AE x y z λλ⎧-+=⎧⋅=⎪⎪∴⇒⎨⎨⋅=-++=⎪⎪⎩⎩
，
令13x =，12y ∴=
，11)
1
z λλ-=
-，
∴平面AEC 的一个法向量3(31)2,31,n λ
λ⎛⎫
-= ⎪ ⎪-⎝⎭
. 又易知(0,0OP =是平面ABC 的一个法向量，
|cos ,|3OP m OP m OP m
⋅∴〈〉=
=
=
解得：2
3λ=
，223
3,,E ⎛∴ ⎝⎭
，1,,133BE ⎛=-- ⎝⎭. 又
平面AEC
的一个法向量(32,,n =-，
∴点B 到平面AEC 的距离为：||
10||210
BE n d n ⋅=
=
=【点睛】
本题考查线面平行判定与性质定理、面面垂直性质定理以及利用空间向量求二面角与点面距，考查综合分析论证与求解能力，属中档题. 7．（1；（2）1【分析】
（1）分别以AB 、AD 、AP 所在的直线为x 、y 、z 轴，建立建立空间直角坐标系，设出两条直线公垂线的方向向量，利用数量积为0，即可求得法向量n ，再利用异面直线AC 、PB 之间的距离||
||
AP n d n ⋅=
，即可求得异面直线AC 与PB 间的距离. （2）设在侧面PAB 内存在一点(,0,)N a c ，使NE ⊥平面PAC ,利用垂直数量积为0建立方程组，解出,a c 的值，得(,0,)N a c ，即可得到侧面PAB 存在一点N ，使NE ⊥平面PAC ，并可求出N 到AB 和AP 的距离.
【详解】
（1）由题意得,,AB AD PA AD PA AB ⊥⊥⊥.以A 为原点，AB 所在直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴，AP 所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系，如图，
则(0,0,0),(0,0,2),A C P B ， ∴(3,1,0),(3,0,2),(0,0,2)AC PB AP ==-=，
设异面直线AC 、PB 的公垂线的方向向量为(,,)n x y z =，则,n AC n PB ⊥⊥，
∴30,320,
n AC x y n PB
x z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-
=⎪⎩令1
x =，则y =z =，即1,3,2n ⎛=
- ⎝⎭.
设异面直线AC 、PB 之间的距离为d ，则
||
||
1AP n d n ⋅=
==
+（2）设在侧面PAB 内存在一点(,0,)N a c ，使NE ⊥平面PAC ， 由（1）知10,
,12E ⎛⎫ ⎪⎝⎭
， ∴1,,12
NE a c ⎛⎫=-- ⎪⎝
⎭
，
∴2(1)0,130,
2NE AP c NE AC ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-
+=⎪⎩
解得361,
a c ⎧=
⎪⎨⎪=⎩
∴,0,16N ⎛⎫
⎪⎝⎭，
∴N 到AB 的距离为1，N 到AP . 【点睛】
本题主要考查了异面直线之间的距离，以及点到线的距离的计算，涉及了垂直数量积为0，属于中档题.
8．（1）见解析；（2）7
. 【解析】
试题分析：（1）利用题意证得二面角的平面角为90°，则可得到面面垂直； （2）利用题意求得两个半平面的法向量，然后利用二面角的夹角公式可求得
二面角D –AE –C . 试题解析：（1）由题设可得，ABD CBD ≌△△，从而AD DC =. 又ACD △是直角三角形，所以=90ADC ∠︒. 取AC 的中点O ，连接DO ,BO ,则DO ⊥AC ,DO =AO . 又由于ABC 是正三角形，故BO AC ⊥. 所以DOB ∠为二面角D AC B --的平面角. 在Rt AOB 中，222BO AO AB +=.
又AB BD =，所以222222BO DO BO AO AB BD +=+==， 故90DOB ∠=.
所以平面ACD ⊥平面ABC .
（2）由题设及（1）知，,,OA OB OD 两两垂直，以O 为坐标原点，OA 的方向为x 轴正方向，OA 为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -.则
()()
()()
1,0,0,,1,0,0,0,0,1A B C D -.
由题设知，四面体ABCE 的体积为四面体ABCD 的体积的
1
2
，从而E 到平面ABC 的距离为D 到平面ABC 的距离的1
2，即E 为DB
的中点，得12E ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭. 故()(
)11,0,1,2,0,0,1,22AD AC AE ⎛⎫=-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭
. 设(),,n x y z =是平面DAE 的法向量，则00n AD n AE ⎧⋅=⎨⋅=⎩，，
即0,1
0.2x z x y z -+=⎧
⎪
⎨-+=⎪⎩
可取⎛⎫
= ⎪ ⎪⎝⎭
n .
设m 是平面AEC 的法向量，则00m AC m AE ⎧⋅=⎨⋅=⎩，，
同理可取(0,=-m .
则cos ,7
⋅=
=n m n m n m . 所以二面角D -AE -C
的余弦值为
7
. 【名师点睛】（1）求解本题要注意两点：一是两平面的法向量的夹角不一定是所求的二面角，二是利用方程思想进行向量运算时，要认真细心，准确计算.
（2）设m ，n 分别为平面α，β的法向量，则二面角θ与,m n 互补或相等，故有cos cos ,m n
m n m n
θ⋅==
.
求解时一定要注意结合实际图形判断所求角是
锐角还是钝角.。