4.1孤立奇点例题
孤立奇点
无法判断阶数！ 不存在且不为
11
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4.函数的零点与极点的关系
不恒等零的解析函数 f (z)若能表成
其中
在 z0 解析且
则 z0 称为 f (z) 的 m 级零点。
, m为正整数,
例
z=0 与 z=1 是它的一级与三级零点。
判断 零点
若 f (z) 在 z0 解析，则z0 是 f (z) 的 m 级零点
[解] 函数 1/sin z 的奇点显然是使 sin z=0 的点。 显然它们是孤立奇点。
由于
所以
都是 sin z 的一级零点, 也就是 的
一级极点。
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例2 函数
具有孤立奇点 z=0.
z=0 为其极点.
故 z=0 为的1级极点。
15
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例 下列函数有些什么奇点？如果是极点，指出 它的级。
外，在
内解析。
由于
在
处均不为零，因
此这些点都是
的一级零点，从而是
零点。所以这些点中除去1, -1, 2外都是 f (z)的三级极点。
因
以1与-1为一级零点，所以1与
－1是 f (z)的2级极点。
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的三级
至于z=2，因为
所以z=2是 f (z)的可去奇点。
关于
，因为
可知
使分母为零，当n=1时，
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，即z=1；
当n=2时， 论过。所以当n>2时，
，即z=2。这两点上面已经讨
为
的极点。显见当
时，
。所以
不是ห้องสมุดไป่ตู้
也就是
不是 f (z)的孤立奇点。
第五章1 孤立奇点
2
的二级极点。
3) z
e
2
z
1
解： 孤立奇点 z 1 1, z 2 1
lim
e
2
z
z zi
( z 1)
z i ( i 1, 2 )为极点。
极点z1 1
ez e 1 2 1 z 1 z 1 ( z 1)
z
ez ez 在z 1处解析， 0 z 1 z 1 z 1
类似地， z 1也是 e
2 z
z 1
的一级极点
3. 函数的零点与极点的关系 定义
若不恒等于零的解析函 数 f ( z ) 在 z 0 的邻域内能表示成
m
f ( z ) ( z z0 ) g ( z )
(m 1)
其中 g ( z ) 在 z 0 解析且 g ( z 0 ) 0 , 则称 z 0 为 f ( z ) 的 m 级零点 .
n -
c n ( z z 0 ) 存在。
n
n
c
n
( z z0 )
n
解析部分
c n ( z z0 )
n 1 (1) n
cn ( z z 0 )
( 2)
n
n0
主要部分 根据主要部分中( z z0 )负幂项的多少， 对孤立奇点分类：
有无限多负幂项，所以 z 1为本性奇点
(4)
1 z sin z
z 0 , z k ( k 1, 2 ,...) 为孤立奇点
lim
1 z sin z
z 0
§4.4-孤立奇点
(III) f(z)在点的充分小邻域内有界。
例2、将 f ( z )
解：首先令：
1 在2|z|+内展开为Laurant级数。 z 1 ( z 2)
1 1 1 f ( z) z 1 ( z 2) z 2 z 1 1 1 1 z 1 ( z 2) z 1 2 z z 1 1 z
定理4.1：为函数f(z)的可去奇点的充要条件：
(I) 函数f(z)在点没有主要部分；
(II) 函数 lim f ( z )存在并且有限； z (III) f(z)在点的充分小邻域内有界。 证明：首先由(I)得，在的邻域内有： ( z ) c0 c1 ( z ) f
f ( z)
n
c z c z
n n n 0 n
1
n
我们将后面的正幂次项部分称为正则部分，而将前面的负幂 次项部分称为主要部分。
根据Laurant展式中主要部分的性质，可以将孤立奇点分为三 种类型：
(I) 若Laurant展式中无主要部分，则为可去奇点。
n 0 n
函数f(z)是在0|z- |R圆内的解析函数， f(z)在点无定义、 不可微。如果将f(z)在点的值重新定义为： f(z)=c0，则f(z)在 点的奇异性就去掉了，则函数f(z)可以用上面的Laurant展开 式在|z- |R实心圆内完全表示，因此称这样的奇点为可去奇 点。
定理4.5：若为函数f(z)的m阶极点的充要条件为：
(I) 函数f(z)在点主要部分为： cn z n ；
f (II) f(z)在点的无心邻域内能表示成： ( z ) ( z ) z m
n 1
m
大学物理-解析延拓与孤立奇点 例题
z1是sinz–sina 的二阶零点，
从而是函数
sin
z
1
sin
a
的二阶极点。
同理可证，当
a
k
2
时，z2 是
sin
1 z sin
a 的一阶极点；
当
a
k
2
时，
z2
是
1 的二阶极点。
sin z sin a
如sin果z–sainak的 一 2阶(k零点0,，1因, 2而, 是，) 函此数导数不1为零的，一故阶z1为极函点数。
sin z sin a
当 a k 时，需要求sinz–sina的二阶导数：
2
(sin
z
sin
a)z1
sin
z1
sin(
k
2
2n )
0
这表明，当 a k 时，
2
第三章 解析延拓与孤立奇点 例题
3.1 单值函数的孤立奇点
例1：判断z = nπ(n=0, ±1, ± 2…)是 f (z)=1/sinz 的几阶极点？ 解法一：因sin nπ = 0，可知 z = nπ 是 f (z)的极点。 由于
故 z = nπ是 f (z)的一阶极点。 解法二：因z = nπ 是 g(z)=sinz 的一阶零点，即
z1, z2 是函数sinz–sina 的零点，也就是
1 的极点。
sin z sin a
为了判断零点的阶数，可以将sinz幂项的幂次为多少，也可求
sinz–sina在z1, z2 点的导数值，看其不为零的导数的次数 为多少。
(sin z sin a)z1 cos(2n a)
所以 z = nπ 是 f (z) = 1/g(z) = 1/sinz 的一阶极点。
5-孤立奇点,留数习题课
c1(zz0)m 1 ,c m 0
或写成
f(z)(z1z0)mg(z),
那末孤立奇点 z 0 称为函数 f (z) 的 m级极点.
6
极点的判定方法 (a) 由定义判别
f (z)的洛朗展开式中含有 z z0的负幂项为有
限项. (b) 由定义的等价形式判别 在点 z 0 的某去心邻域内 f(z)(zg(zz0))m 其中 g(z) 在 z 0 的邻域内解析, 且 g(z0)0.
1 z
1
1
5 z2
1
1
1 z4
1 z 1z 5 22 z4 5 3 1z 1 4z 1 8 2
35
1z11z2 51z24
1 z
,
19
特别地
0c1 om xs2d xxπ 2em, s1inm x2 xdx0, 0 sx x id n x π 2 , 1 e a e x x d x sπ a i π ( 0 n a 1 ).
20
4.对数留数
定义 具有下列形式的积分:
1
2π
i
C
f (z)dz f (z)
C为圆环域内绕原点的任何一条正向简单闭曲线
那末积分
1
2π i C
f (z)dz
的值与C无关
,
则称此定
值为 f (z)在 的留数.
记作
Ref(sz)[ ,]2π 1iC f(z)dz2π1i
C
f
(z)dz
也可定义为 Rf(z e ) ] ,s C [ 1 .
14
定理 如果函数 f (z) 在扩充复平面内只有有限个
故Refs(z[),zk](scionzzs)hhzzk sinh z 1. sinh z zzk
孤立奇点
z 0 是函数 e z , z 1 是函数
1
sin z z
的孤立奇点.
z1
的孤立奇点.
注意: 孤立奇点一定是奇点, 但奇点不一定是孤 立奇点.
例2 指出函数 f ( z ) 解 函数的奇点为
z 0, z 因为 1 k 1 k
z sin
2
在点 z 0 的奇点特性. 1
2
m
,
f ( z ) cm ( z z0 )
c2 ( z z0 )
c 1 ( z z0 )
1
c 0 c1 ( z z 0 )
( m 1, c m 0 )
或写成
f (z)
1 ( z z0 )
m
(z) ,
那么孤立奇点 z 0 称为函数 f ( z ) 的 m 阶(级)极点.
当 n 0时，令 r 0，得 c n 0．即 ( 1 ) 成立．
由定理可得可去奇点的判定方法：
(1) 由Leabharlann 义判断: 如果 f ( z ) 在 z 0 的洛朗级数无负
幂项，则 z 0 为 f ( z ) 的可去奇点.
(2) 判断极限 lim f ( z ) : 若极限存在且为有限值, z z
(2) 由定义的等价形式判别
z 0 是 f ( z )的 m 阶极点 f ( z ) lim ( z z 0 )
z z0
(z)
( z z0 )
m m
f ( z ) cm 0.
0
其中 ( z ) 在 z 0 的邻域内解析, 且 ( z ) 0 .
(3) 利用极限 lim f ( z ) 判断 . z z
自考第4章5孤立奇点
1 z
1 yi
证明
1 z
本性奇点 奇点. z = 0 是它的 本性奇点. 可去奇点 奇点. z = ∞ 是它的 可去奇点.
z
e →0
1 z
e =e =e 位于单位圆上 1 1 1 = cos i sin 在单位圆上逆 y → 0 时 e1z 在单位圆上逆时针旋转 y y + 在单位圆上顺 y → 0 时 e z 在单位圆上顺时针旋转
1 2 1 3 e = 1 + z + z + z + ... 2! 3!
1
1 z
0
本性奇点 奇点. z = 0 是它的 本性奇点.
3
函数在∞ 函数在∞的性态 则点
∞为 f ( z )的本性奇点 f ( z )在 ∞ 的正幂项部分有 无限多项 本性奇点 正幂项部分 部分有 lim f ( z ) 不存在 且不等于∞ 且不等于∞ z→∞ →∞
z = 0, ±1,±2, ±3, ±4,... 是 (sin π z )3 的三阶零点 所以 z = ±1 是 f ( z ) 的二阶极点 可去奇点 z = 2 是 f ( z ) 的可去奇点 z = 0, 2, ±3, ±4, ±5,... 是 f ( z ) 的三阶极点 z = ∞ 不是 f ( z ) 的孤立奇点. 的孤立奇点.
极点的阶 设 z0 是 f ( z ) 的孤立奇点. 则 孤立奇点 奇点. z0是 f ( z ) 的m阶极点 存在函数 g ( z ) 在 | z z0 | < δ
阶数的运算 设 z 为 f ( z ) 的m阶零点, ( z ) 的n阶零点 g 零点, 0
零点, 则z0 为 f ( z ) g ( z ) 的m+n阶零点, f (z) m > n, z0 为 的(m-n)阶零点, 零点, g( z ) f (z) m = n, z0 为 可去奇点 奇点, 的可去奇点, g( z ) f (z) m < n, z0 为 极点, 的(n -m)阶极点, g( z ) n m g ( z ) = ( z z0 ) 2 ( z ) f ( z ) = ( z z0 ) 1 ( z ) 1 ( z ), 2 ( z ) 在 z0 处解析, 1 ( z0 ) ≠ 0, 2 ( z0 ) ≠ 0 处解析, ( z z0 )m 1 ( z ) ( 1 z 1)( z) 1 ( z ) ( z) m n z 0 f (z) == = n 2 ( z ) ( 2 (0 )n)m 2 ( z ) z z)(z ( z z0 ) g( z ) 2
孤立奇点的分类
孤立奇点的分类
1. 可去奇点呀，就像一个能被轻松解决的小麻烦。
比如说函数
f(x)=1/x 在 x=0 就是可去奇点，它只是表面上有点特别，但其实只要稍微处理一下，就没啥大问题啦！
2. 极点可是很关键的呢！好比一场比赛中的关键时刻。
像函数
f(x)=1/(x-1)² 在 x=1 就是个二阶极点，这可不能小瞧哦！
3. 本性奇点啊，那可真是个神奇的存在！就如同一个捉摸不透的人。
像函数 f(x)=e^(1/x) 在 x=0 就是本性奇点，让人很想深入探究呢。
4. 孤立奇点也有不同性格呀！可去奇点像是个温和的家伙，那极点是不是就像个有点刺头的角色呢。
5. 想想看，孤立奇点的分类多有趣啊！可去奇点不就是像路上的一个小坑，轻易就能跨过去；极点好比小小的山峰，得费点力气才能翻越。
6. 本性奇点呀，真是独特呢！难道不像人群中那个最特别的存在吗？就像函数 f(x)=sin(1/x) 在 x=0 的情况。
7. 三种孤立奇点，各有各的特点呀！可去奇点、极点和本性奇点，不就像三兄弟，各有各的脾气！
8. 孤立奇点的分类大家了解吗？可去奇点是不是很容易理解呢，就跟生活中一些显而易见的事情一样。
9. 孤立奇点的分类可一定要搞清楚呀！在数学的世界里这可是很重要的呢！我觉得它们就像不同的风景，各有各的魅力。
我的观点结论：孤立奇点的分类虽然看似复杂，但只要深入理解，就会发现它们都有着独特的魅力和意义，无论是可去奇点、极点还是本性奇点，都值得我们好好探究。
4.1 留数定理1
f (z) =
=
Re s [ f (z), z+ ] =
由留数定理得 定积分为
1 2 1− ε 2 ∫ f (z)dz = 2πi ⋅ Re s [ f (z), z+ ]
| z|=1
2 2π I = ∫ f (z)dz = i |z|=1 1− ε 2
Re s[ f (z), z0 ] = 0
2. 本性奇点 只能用一般处理法 罗朗展式： 罗朗展式： (z) = ... + a−2 (z − z0 )−2 + a−1(z − z0 )−1 + a0 + a1 (z − z0 ) +L f
Re s[ f (z), z0 ] = a−1
3. m 阶极点
z
′ ′ e 2 Re s[ f (z),1] = lim(z − 1) × =0 2 z →1 z(z − 1)
由留数定理得闭路积分值 由留数定理得闭路积分值
ez ∫ 2 z(z − 1)2 dz = 2πi[1 + 0] = 2πi z=
4 .2 应用留数定理计算实函数的积分
由留数定理得闭路积分值 由留数定理得闭路积分值
z+ 是极点． 是极点． 且是单极点，留数为 且是单极点，留数为．
I = 2π i Re s f (z+ ) = 2π i
1 2 1− ε 2
=
iπ 1− ε 2
1 d m−1 Re s [ f (z), z0 ] = lim [( z − z0 )m f (z)] z→z0 (m −1！ m−1 ) dz
l j =1
b1
b2 •
l[证]：构ຫໍສະໝຸດ 复连通域∫ f (z)dz = ∫ f (z)dz + ∫ f (z)dz +... + ∫ f (z)dz
数学物理实验第六节(孤立奇点分类)
\ z k k 0,1,2,3,为奇点.
从而是 sin z 的三阶零点. \ z 0,± 的三阶极点. 1,± 2,中除去1,1,2外的点都是f z \ z 1,1是f z 的二阶极点.
z 2 1 z 1z 1\ 1,1是它的一阶零点,
上来看这些定义,就一目了然了!
11
如果 f z 在 R z 为孤立奇点定义： 内解析，则称点 为 f z 的孤立奇点
1 令t , f z t , t 在0 t 1 内解析, z R 则t 0为 z 的孤立奇点 .
如 果t 0是 t 的 可 去 奇 点 、 m级 极 点 、 本 性 奇 点 , 则称点 为f z 的 可 去 奇 点 、 m级 极 点 、 本 性 奇 点 .
此洛朗级数的负幂部分叫做解析部分,正幂部分叫做主要部分或 无限部分,如果没有正幂项叫做f(z)在无限远点是解析的,如果只有 有限个正幂,把无限远点叫做f(z)的极点,最高幂指数叫做极点的阶 如果洛朗级数有无限个正幂项,就把无限远点叫做f(z)的本性奇点
1 实际上,只要作变换 t , 可以把无穷变换为零,然后从t平面 z
1 zk 1，k 0， 1， 1 k 2
z k 是一阶极点， z 1
是非孤立奇点
10
四.函数在无穷远处的性态
如果函数f(z)在无限远点的邻域 R z 解析,则可展为
f z
k
k a z k R z
13
z 2为可去奇点，
lim
z 2
2 z 1 z 2
3
1 3 lim 2 1 sin 3 3 0
解析函数的孤立奇点
z0 的某一去心邻域 0 < z z0 < δ 内处处解析, 则 内处处解析,
孤立奇点. 称 z0 为 f (z ) 的孤立奇点. 1 的孤立奇点. 例1 z = 0 是函数 e z , sin z 的孤立奇点 z 1 z = 1 是函数 的孤立奇点. 的孤立奇点 z+1 注意: 孤立奇点一定是奇点, 但奇点不一定是孤 注意: 孤立奇点一定是奇点, 立奇点. 立奇点
3
讨论函数在孤立奇点的情况 孤立奇点, 如果点 z0 为函数 f (z ) 的孤立奇点,则在点 z0 某去心邻域 0 < z z0 < δ 内可设 f (z ) 的Laurent 级数展开式为
f (z) =
n = ∞
cn ( z z0 )n ∑
+∞
其中
1 f ( z )dz cn = ∫ ( z z0 )n+1 (n为整数 ) 2πi c
思考 z = 0 是
sin z z3
的几级极点? 的几级极点
注意: 注意 不能以函数的表面形式作出结论 .
19
定理 是
点 z0 为
f (z ) 的
阶极点的充要条件 充要条件为 m 阶极点的充要条件为 z0
1 的 f (z)
阶零点. m 阶零点.
推论2 阶零点(k=1,2),则 推论 若点 z0 为函数 f k (z ) 的 m k 阶零点 , 阶零点; z0为函数 f1 ( z ) f 2 ( z ) 的 m1 + m2 阶零点;当 m1 < m2 时, z0为函数
10
例
sin z 1 2 1 4 中不含负幂项, = 1 z + z 中不含负幂项 z 3! 5! sin z z=0是 的可去奇点 . z
解析函数的孤立奇点类型判断及应用讲解
解析函数的孤立奇点类型判断及应用摘 要 孤立奇点的应用在解析函数的学习和对其性质分析研究中有着重要作用，而留数计算是复变函数中经常碰到的问题。
解析函数在不同类型的孤立奇点处的计算方法不同，关键我们要先判断其类型。
本文在分析整理了相关资料的基础上，首先给出了孤立奇点的定义、分类及其类型的判别定理和相关推及引理，其中在考虑极点处的留数求法时，又根据单极点、二阶极点，m 阶极点的求法不同，结合例子给出极点阶数的判断方法。
并通过有限孤立奇点的判别对解析函数无穷远点的性态进行研究，分析能否把有限孤立奇点的特征应用到无穷远点，进而探讨了孤立奇点在留数计算中的应用，使得孤立奇点的知识更加系统、全面。
关键词 孤立奇点 可去奇点 极点 本质奇点 判断 留数计算前言在复变函数论中，留数是非常重要的，而解析函数的孤立奇点是学习留数的基础，只有掌握了孤立奇点的相关性质，才能更好的学好留数。
目前，在相关资料中，对孤立奇点的判别及应用已较为完备，如在许多版本的《复变函数论》中对孤立奇点的判别做了详细的说明和解释，使我们对孤立奇点的了解更透彻。
但在现实中有时我们遇到的留数计算具体例子，运用定理判别会比较麻烦，还需要前后知识的衔接，这为留数计算增加了障碍。
本文就是在此基础上作进一步的探讨，将判断这一工作拿出来单独讨论，通过对论文的撰写，将把孤立奇点类型的判别及在留数运算中的应用更全面化、系统化。
此项研究内容可以对以后学习此部分内容的同学提供一定的帮助，使其对孤立奇点的理解更加清晰，应用得更加自如。
在复变函数课程上我们已学过了孤立奇点的分类及其类型的判别和其在留数计算中的应用，为对其作进一步的研究奠定了基础。
在此基础上查阅大量书籍，搜集相关资料，并对所搜集资料进行分析、研究、筛选和处理。
通过指导教师的耐心指导，已具备了研究解析函数类型的判别及其在留数计算中的应用这一课题的初步能力，并能解决现实生活中的相关例题，使理论和实践达到真正的结合和统一。
高等数学孤立奇点
课堂练习
求
z3
1 z2
z
1
的奇点,
如果是极点,
指出它的
阶数.
答案
由于
z3
1 z2
z1
1 (z 1)(z 1)2
,
所以 : z 1是函数的一级极点,
z 1是函数的二级极点.
3. 本性奇点
如果洛朗级数中含有无穷多个z z0 的负幂项,
那末孤立奇点 z0 称为 f (z) 的本性奇点.
其中 c0 (z0 ) 0,
从而f (z)在z0的泰勒展开式为 f (z) c0(z z0 )m c1(z z0 )m1 c2(z z0 )m2 展开式的前m项系数都为零 ,由泰勒级数的系数
例3 sin z 1 1 z2 1 z4 中不含负幂项,
z
3! 5!
z
0
是
sin z z
的可去奇点
.
如果补充定义:
z 0 时, sin z 1, z
那末 sin z 在 z 0 解析. z
例4 说明 z 0 为 ez 1 的可去奇点. z
解 ez 1 1(1 z 1 z2 1 zn 1)
说明: (1) g(z) cm cm1(z z0 ) cm2(z z0 )2 特点: 1. 在 z z0 内是解析函数 2. g(z0 ) 0 (2) 如果 z0 为函数 f (z) 的极点 , 等价于
lim f (z) .
zz0
例5
有理分式函数
f
(z)
z
3z 2 2(z 2)
z
的孤立奇点.
z
z
1是函数
z
1
1
的孤立奇点.
注意: 孤立奇点一定是奇点, 但奇点不一定是孤
11第十一讲孤立奇点
反过来, 当任何一个函数f(z)能表示为(5.1.1)的 形式, 且g(z0)0时, 则z0是f(z)的m级极点. 如果z0为f(z)的极点, 由(5.1.1)式, 就有
lim | f (z) | 或写作 lim f (z) .
zz0
zz0
例如, 对有理分式函数f
(z)
(z2
z2 1)( z 1)3
,
z 1是它的三级极点, z i是它的一级极点.
3. 本性奇点
如果在洛朗级数中含有无穷多个z-z0的负幂项, 则孤立奇点z0称为f1(z)的本性奇点.
例如,函数f (z) e z以z 0为它的本性奇点.
因为在级数
1
ez
1 z 1
1
z 2
1
z n
2!
n!
中含有无穷多个z的负幂项.
在本性奇点的邻域内, 函数f(z)有以下的性质 (证明从略): 如果z0为函数f(z)的本性奇点, 则 对任意给定的复数A, 总可以找到一个趋向于 z0的数列, 当z沿这个数列趋向于z0时, f(z)的值 趋向于A. 例如, 给定复数A=i, 我们把它写成
是
1 f (z)
的 m 级零点.
1
反过来, 如果 z0 是 f (z) 的 m 级零点, 则
f
1 (z)
(z
z0 )mj (z).
这里j(z)在 z0 解析, 并且j(z0)0,
由此, 当zz0时, 得
f
(z)
(z
1 z0 )m
(z)
而(z)=1/j(z)在z0解析, 并且(z0)0, 所以z0
(1)n (z 1)n
1
z1 z2
1 (z 1)2
n0
孤立奇点
第一节孤立奇点一、孤立奇点的概念二、函数的零点与极点的关系三、函数在无穷远点的性态四、小结与思考一、孤立奇点的概念定义如果函数0z )(z f 在不解析, 但)(z f 在0z 的某一去心邻域δ<−<00z z 内处处解析, 则称0z )(z f 为的孤立奇点.例10=z 是函数zz e zsin ,1的孤立奇点.1−=z 是函数11+z 的孤立奇点.注意:孤立奇点一定是奇点, 但奇点不一定是孤立奇点.例2指出函数0=z 在点zz z f 1sin )(2=的奇点特性.解π==k z z 1,0),2,1("±±=k ，因为01lim =π∞→k k 即在0=z 的不论怎样小的去心邻域内, 的奇点存在, 函数的奇点为)(z f 总有0=z 不是孤立奇点.所以孤立奇点的分类依据)(z f 在其孤立奇点0z 的去心邻域δ<−<00z z 内的洛朗级数的情况分为三类:1．可去奇点1．可去奇点; 2．极点; 3．本性奇点.如果洛朗级数中不含的负幂项, 0z z −0z )(z f 那末孤立奇点称为的可去奇点.1) 定义其和函数)(z F 为在0z 解析的函数.⎩⎨⎧=≠=000,,)()(z z c z z z F z f 说明: (1),)(0的孤立奇点若是z f z .)()()(0010""+−++−+=nn z z c z z c c z f )0(0δ<−<z z )(lim )(00z f z f z z →=,)(00c z f =(2) 无论在是否有定义, )(z f 0z 补充定义则函数在0z 解析.)(z f2) 可去奇点的判定(1) 由定义判断:的洛朗级数无负0z )(z f 在如果幂项则0z 为)(z f 的可去奇点.(2)判断极限:)(lim 0z f z z →若极限存在且为有限值,则0z 为)(z f 的可去奇点.如果补充定义:0=z 时,,1sin =zz 那末zz sin 在0=z 解析.例3 "−+−=42!51!311sin z z z z 中不含负幂项,0=z 是zz sin 的可去奇点.例4 说明0=z 为ze z1−的可去奇点.解=−ze z 1,!1!2111""++++=−n z n z +∞<<z 0所以0=z 为的可去奇点.ze z1−无负幂项另解z z zz e z e 00lim 1lim →→=−因为0=z 所以的可去奇点.为ze z 1−)1!1!211(12−+++++""n z n z z z ,1=2. 极点1012020)()()()(−−−−−−−+−++−=z z c z z c z z c z f m m ")0,1(≠≥−m c m "+−++)(010z z c c ,)()(1)(0z g z z z f m −=10)(−−z z ,)(0mz z −−其中关于的最高幂为即级极点.0z )(z f m 那末孤立奇点称为函数的或写成1) 定义0z z −如果洛朗级数中只有有限多个的负幂项,说明:"+−+−+=+−+−−20201)()()(z z c z z c c z g m m m 1.内是解析函数在δ<−0z z 2.0)(0≠z g 特点:(1)(2)的极点, 则0z )(z f 为函数如果.)(lim 0∞=→z f z z 例5 有理分式函数,)2(23)(2++=z z z z f 是二级极点, 0=z 2−=z 是一级极点.2)极点的判定方法)(z f 的负幂项为有0z z −的洛朗展开式中含有限项.在点的某去心邻域内0z mz z z g z f )()()(0−=其中在的邻域内解析, 且)(z g 0z .0)(0≠z g (1) 由定义判别(2) 由定义的等价形式判别(3) 利用极限∞=→)(lim 0z f zz 判断.课堂练习求1123+−−z z z 的奇点, 如果是极点, 指出它的级数.答案=+−−1123z z z 由于,1:是函数的一级极点所以−=z .1是函数的二级极点=z ,)1)(1(12−+z z本性奇点3.如果洛朗级数中含有无穷多个0z z −那末孤立奇点0z 称为)(z f 的本性奇点.的负幂项,例如，,!1!211211""+++++=−−−nzz n z z e )0(∞<<z 含有无穷多个z 的负幂项特点:在本性奇点的邻域内)(lim 0z f z z →不存在且不为.∞为本性奇点，所以0=z 同时zz e 10lim →不存在.综上所述:孤立奇点可去奇点m级极点本性奇点洛朗级数特点)(limzfzz→∞存在且为有限值不存在且不为∞无负幂项含无穷多个负幂项含有限个负幂项1)(−−zzmzz−−)(关于的最高幂为二、函数的零点与极点的关系1.零点的定义不恒等于零的解析函数)(z f 如果能表示成),()()(0z z z z f mϕ−=)(z ϕ0z 其中在,0)(0≠z ϕ解析且m 为某一正整数,那末0z 称为)(z f 的m 级零点.例6的一级零点，是函数3)1()(0−==z z z f z 注意:不恒等于零的解析函数的零点是孤立的..)1()(13的三级零点是函数−==z z z f z2.零点的判定零点的充要条件是证(必要性)由定义:)()()(0z z z z f mϕ−=设0)(z z 在ϕ的泰勒展开式为:,)()()(202010"+−+−+=z z c z z c c z ϕ0z m 0z 如果在解析, 那末为的级)(z f )(z f m 0z 如果为的级零点)(z f ;)1,2,1,0(,0)(0)(−==m n z fn ".0)(0)(≠z fm的泰勒展开式为在从而0)(z z f 10100)()()(+−+−=m mz z c z z c z f "+−++202)(m z z c 其中,0)(00≠=z c ϕ展开式的前m 项系数都为零,由泰勒级数的系数公式知:);1,2,1,0(,0)(0)(−==m n z f n "并且.0!)(00)(≠=c m z fm 充分性证明略.(1)由于123)1(==′z zf 知1=z 是)(z f 的一级零点.课堂练习0=z 是五级零点,i z ±=是二级零点.知是)(z f 的一级零点.0=z 解(2)由于0cos )0(==′z z f 答案例7 求以下函数的零点及级数:,1)(3−=z z f (1)(2).sin )(z z f =,03≠=,01≠=225)1()(+=z z z f 的零点及级数.求3.零点与极点的关系定理如果0z 是)(z f 的m 级极点, 那末0z 就是)(1z f 的m 级零点. 反过来也成立.证如果0z 是)(z f 的m 级极点, 则有)()(1)(0z g z z z f m −=)0)((0≠z g 当时,0z z ≠)(1)()(10z g z z z f m −=)()(0z h z z m−=)(0z h .0)(0≠z h 函数在0z 解析且由于,0)(1lim 0=→z f z z只要令,0)(10=z f 那末0z )(1z f 的m 级零点. 就是反之如果0z )(1z f 的m 级零点, 是那末),()()(10z z z z f m ϕ−=当时,0z z ≠),()(1)(0z z z z f m ψ−=)(1)(z z ϕψ=解析且0)(0≠z ψ所以0z 是)(z f 的m 级极点.说明此定理为判断函数的极点提供了一个较为简便的方法.例8 函数z sin 1有些什么奇点, 如果是极点, 指出它的级.解函数的奇点是使0sin =z 的点,这些奇点是.)2,1,0("±±=π=k k z 是孤立奇点.π=π==′k z k z z z cos )(sin 因为的一级零点，是所以z k z sin π=,0)1(≠−=kzsin 1的一级极点.即),(1!3!211z zz z ϕ=+++="解⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=−∑∞=0221!11n n z n z z z e 解析且0)0(≠ϕ所以0=z 不是二级极点, 而是一级极点.0=z 是3sinh zz 的几级极点?思考例9 问0=z 是21z e z−的二级极点吗?注意: 不能以函数的表面形式作出结论.四、小结与思考理解孤立奇点的概念及其分类; 掌握可去奇点、极点与本性奇点的特征; 熟悉零点与极点的关系..)1(1)(33的孤立奇点的类型确定函数−=z e z z f 思考题思考题答案,6=z是分母的0级零点也即是函数zf的.6)(级极点。
解析函数的孤立奇点及留数
根据 z → z0时 (z) f 的极 限分类:
z 0的点列 {z n }, 使得 lim f ( z n ) = A
n→∞
定义 若 f ( z 0 ) = 0, 则称 z 0为 f ( z )的零点.
若 f ( z )能表示成 f ( z ) = ( z z 0 ) m ( z ), 其中 ( z )
z=0
0 < z z0 < δ 内解析,则称 z 0是 f (z) 的孤立奇点.
孤立奇点 奇点 非孤立奇点
孤立奇点可按以下两种方式分类: 根据Laurent级数的形式分类:
设z 0为 f (z) 的孤立奇点,在 z 0的去心邻域 0< zz0 <δ 内 ,(z) 的Laurent 展式为: f ( z ) = f
{
}
注:. 3)中取 m = 1, 即得(2); 1 (
2.从证明过程不难看出,即使极点的级数小于m,也可 当作级数为m 来计算.这是因为表达式
f (z) = (z z0 )m(Cm +Cm+1(z z0 )+C1(z z0 )m1 +C0 (z z0 ) + )
的系数C m , C m +1 , 中可能有一个或几个为零, 这不影响证明结果.
1 ( 4 ) f ( z ) = z cos z 解 奇点 : z = 0 1 f ( z ) = z cos z 1 1 1 1 ( 1) n 1 = z [1 + + + ] 2 4 2n 2! z 4! z ( 2 n )! z
z = 0为 f ( z )的本性奇点
以上讨论了当
z 0为有限奇点时,孤立奇点的分类.
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z +1 1 1 1 ∞ k 1 ∞ k = + 2 = − ∑z − 2 ∑z 2 z ( z − 1) z ( z − 1) z ( z − 1) z k 0= z k 0 =
∞ ∞ ∞ = k 0
1 0 < <1 在1<|z|<+∞环域内， z k k ∞ ∞ z +1 1 1 1 1 1 1 1 1 = 2 + 3 = 2 ∑ + 3 ∑ 2 1 z k 0= z ( z − 1) z 1 − 1 z = z z k 0 z 1− z z
k 0= k 0
∞
∞
8.求出下列函数的奇点，并确定它们的类别（对于极点 要指出它们的阶），对于无穷远点也要加以讨论。
z −1 【解】（1）明显z=0和z=±2i为 的奇点 2 2 z ( z + 4) z −1 = −∞ 为极点 对于z=0 lim 2 2 z →0 z ( z + 4) 2 2 z −1 1 1 z z 3z Laurent展开 = − + + − − + 2 2 z ( z + 4) 16 z 16 32 32 256
因此无穷远点为可去奇点
1 (7) e cos z
z
1 明显z=0是奇点 lim e cos 不存在 因此z=0为本性奇点 z →0 z 1 对于z=∞，令 t = z
z
lim e cos t 不存在
t →0
1 t
因此z= ∞也是本性奇点
一阶极点
z −1 (1) 2 2 z ( z + 4)
1 (7) e cos z
z
z −1 = ∞ 对于z=±2i lim 2 2 z → 0 z ( z + 4) z −1 z −1 z = z ( z 2 + 4) 2 ( z 2 + 4) 2
为极点
z −1 在z=±2i是解析的且不为0 z
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因此=±2i是二阶极点
1 −1 4 z −1 t (1 − t ) 1 t = 对于z=∞，令 t = 则 = 2 2 2 2 1 1 z ( z + 4) (4 t + 1) 2 z ( 2 + 4) t t 4 t (1 − t ) 考察t=0处 的性质 2 2 (4t + 1) t 4 (1 − t ) lim 2 =0 2 t → 0 (4t + 1)
z +1 (1) 2 , 0<|z|<1; 1<|z|<+∞ z ( z − 1) 1 (3) , 0<|z|<1, 0<|z -1|<1 2 z (1 − z )
6. 将下列各函数在制定的圆环域内展开成Laurent级数。
z +1 (1) 2 , 0<|z|<1; 1<|z|<+∞ z ( z − 1)
− k −2 − k −3 + z z ( ) ∑ k =0 ∞
= k 0= k 0
= − ∑ z k −1 − ∑ z k −2 = − ∑ ( z k −1 + z k −2 )
1 (3) , 0<|z|<1, 0<|z -1|<1 2 z (1 − z ) ' 1 1 【解】在0<|z|<1环域内 = 2 (1 − z ) 1− z 1 1 ∞ k −1 ∞ k −1 ∴ = ∑ kz = ∑ kz 2 z (1 − = z) z k 0= k 1
在0<|z-1|<1环域内
∞ 1 = ∑ zk 1 − z k =0
∞ 1 1 1 1 k = = − z (1 ) 2 2 2 ∑ z (1 − z ) 1 − (1 − z ) (1 − z ) (1 − z ) k =0
=∑ (1 − z ) k −2 =∑ ( −1) k (1 − z ) k −2