哈密顿原理的推导共34页文档
哈密顿原理推导悬臂梁的横向自由振动微分方程
一、概述悬臂梁是工程中常见的结构，其横向自由振动微分方程的推导是理解结构动力学的重要环节。
哈密顿原理是一个物理学上的基本原理，能够提供系统的最小作用量原理。
本文将利用哈密顿原理来推导悬臂梁的横向自由振动微分方程，旨在深入探讨结构动力学中的基本原理，为工程研究提供理论支持。
二、背景知识1. 悬臂梁悬臂梁是一种常见的结构形式，其特点是其中一端固定，另一端悬挂。
悬臂梁在工程中广泛应用，如桥梁、建筑、机械等领域。
2. 哈密顿原理哈密顿原理是经典力学中的一个基本原理，它描述了系统的最小作用量原理。
哈密顿原理是拉格朗日原理的推广，它通过最小化系统的作用量来描述系统的运动方程。
三、悬臂梁的横向自由振动悬臂梁的横向自由振动是指在无外界力的情况下，悬臂梁自身由于外界扰动而产生的振动。
我们可以利用哈密顿原理来推导悬臂梁的横向自由振动微分方程。
四、哈密顿原理推导1. 系统的广义坐标我们需要确定系统的广义坐标。
悬臂梁的横向自由振动可以使用横向位移作为广义坐标来描述。
假设悬臂梁的长度为L，质量为m，弹性系数为k，则系统的横向位移可以用函数y(x, t)来表示。
2. 系统的作用量系统的作用量S可以表示为积分形式，即S = ∫L dt其中L为拉氏量，表示系统的动能T和势能V的差值。
在悬臂梁的横向自由振动中，系统的动能可以用动能函数T表示，系统的势能可以用势能函数V表示。
则拉氏量可以表示为L = T - V其中动能函数T可以表示为T = ∫0L 1/2 * m * (∂y/∂t)^2 * dx势能函数V可以表示为V = ∫0L 1/2 * k * y^2 * dx3. 哈密顿原理的应用根据哈密顿原理，系统的作用量S在运动的路径上取极值。
我们可以通过变分法来求解作用量S的极值问题。
假设横向位移y(x, t)在固定边界条件下使得作用量S取得极值，则可以得到横向位移函数y(x, t)满足的运动方程。
五、悬臂梁的横向自由振动微分方程通过哈密顿原理的推导，我们可以得到悬臂梁的横向自由振动微分方程。
哈密顿原理的推导
02 03
广义坐标和广义力
在非完整系统中，广义坐标不再完全独立，需要引入广义力来描述系统 受到的约束反力。哈密顿原理在形式上仍然保持不变，但需要将广义力 纳入考虑。
应用实例
非完整系统广泛存在于实际物理问题中，如滚动摩擦、滑动摩擦等。通 过应用非完整系统的哈密顿原理，可以推导出相应的运动方程，进而分 析系统的动力学行为。
应用实例
相对论性哈密顿原理在宇宙学、黑洞物理等领域具有广泛应用。例如，通过该原理可以推 导出爱因斯坦场方程，描述引力与时空几何的关系。
哈密顿原理在现代物理学中的应用前景
量子力学与量子场论
在量子力学和量子场论中，哈密顿原理提供了从经典到量子的桥梁。通过引入算符和波函数等概念，可以将哈密顿原 理应用于微观粒子的运动规律研究。
主函数$S$是拉格朗日函数$L$对时间$t$的积分，即$S=int_{t_1}^{t_2}Ldt$。
通过变分法求解$delta S=0$，可以得到质点系的真实运动方程，即拉格朗日方程 $frac{d}{dt}frac{partial L}{partial dot{q}}-frac{partial L}{partial q}=0$。
广义相对论与宇宙学
广义相对论是描述引力与时空关系的理论框架，而哈密顿原理为广义相对论提供了变分法的基础。在宇宙学中，利用 哈密顿原理可以研究宇宙的演化、黑洞的性质等问题。
高能物理与粒子物理
在高能物理和粒子物理领域，哈密顿原理可用于描述基本粒子的相互作用和衰变过程。结合实验数据， 可以进一步揭示物质的基本结构和相互作用机制。
在理论物理、应用数学以及工程科学等领域，哈密顿原理都扮演着重要的角色。
哈密顿原理是变分法的一个应用，通过求解最小作用量原理来确定系统的运动方程 。
哈密顿算子运算公式及推导
哈密顿算子运算公式及推导
哈密顿算子（HamiltonianOperator）是物理系统的动能和位能的组合，通常被认为是物理系统本质由来的参数，用来描述物理系统的性质（物理量）。
2. 公式及推导
哈密顿算子可以用如下公式表示：
H=Hp+Hk
其中，Hp 为位能，Hk 为动能。
（1）位能Hp：一般地，位能公式可以写成
Hp=- 2
它表示的是物体的力学位能，具有空间变化的粒子受到的力学位能，表示为几何位能。
（2）动能Hk：动能Hk 可以用牛顿动力学的方法推导出，用来描述物体受到的动能，即速度的平方加上位移的有关量，即：
Hk=1/2m*(2/x 2+2/y 2+2/z 2)
其中，m 为物体的质量，x，y，z 分别为物体的X，Y，Z 轴坐标。
所以，将上面两个公式相加，得到的哈密顿算子公式可以表示为： H=- 2+1/2m*(2/x 2+2/y 2+2/z 2)
以上就是哈密顿算子运算公式及推导的介绍，哈密顿算子是物理系统本质由来的参数，可以用来描述物理系统的性质，是物理实验中经常用到的重要参数。
哈密顿原理推导运动方程
哈密顿原理推导运动方程引言：物理学中，哈密顿原理是描述系统运动的一种方法。
它通过将系统的运动路径与作用在系统上的力学量相联系，从而推导出系统的运动方程。
本文将以哈密顿原理为基础，推导出运动方程，并对其进行详细的阐述和解释。
一、哈密顿原理的基本概念哈密顿原理是基于变分原理的一种方法，它是由数学家威廉·哈密顿提出的。
它描述了一个力学系统的运动路径应当使作用在系统上的作用量取极值。
作用量是一个函数，描述了系统在其运动过程中所受到的作用力。
根据哈密顿原理，系统的运动路径可以通过使作用量取极值来确定。
二、哈密顿原理的数学表达在哈密顿原理中，作用量可以表示为一个积分形式：S = ∫L(q, q', t) dt其中，S表示作用量，L表示拉格朗日量，q表示广义坐标，q'表示广义速度，t表示时间。
三、推导过程为了推导运动方程，我们需要使用变分法。
变分法是一种数学方法，可以求解函数的极值问题。
我们假设系统的运动路径为q(t)，然后对作用量进行变分，使其取得极值。
我们将作用量进行变分：δS = ∫(∂L/∂q δq + ∂L/∂q' δq') dt根据变分法的定义，我们可以将上式中的δq和δq'看作是独立的变量，因此可以分别对其进行求导：∂S/∂q = ∂L/∂q - d/dt(∂L/∂q')∂S/∂q' = ∂L/∂q'根据哈密顿原理，作用量的变分应当为零，即δS = 0。
因此，我们可以得到以下两个方程：∂S/∂q = 0∂S/∂q' = 0根据以上两个方程，我们可以得到两个重要的运动方程：∂L/∂q - d/dt(∂L/∂q') = 0∂L/∂q' = 0第一个方程又被称为欧拉-拉格朗日方程，它描述了系统的运动轨迹。
第二个方程则是哈密顿原理的直接结果，它描述了广义动量的守恒。
四、运动方程的物理解释欧拉-拉格朗日方程描述了系统在运动过程中的力学行为。
哈密顿方程的推导
哈密顿方程的推导1. 引言哈密顿方程是经典力学中一种非常重要的数学工具，它描述了系统的动力学行为。
它由爱尔兰物理学家威廉·哈密顿（William Hamilton）于19世纪提出，并被广泛应用于多个领域，如天体力学、量子力学和统计力学等。
本文将详细介绍哈密顿方程的推导过程。
2. 哈密顿原理哈密顿原理是推导哈密顿方程的基础。
它是经典力学中的一个重要原理，表述如下：对于一个力学系统，其运动路径是使作用量（action）取极值的路径。
作用量定义为：t2(q,q̇,t)dtS=∫Lt1其中，L是拉格朗日函数，q是广义坐标，q̇是广义速度，t是时间。
哈密顿原理的关键在于要找到作用量取极值的路径。
3. 哈密顿函数的定义为了推导哈密顿方程，首先需要定义哈密顿函数。
哈密顿函数H定义为：nH=∑p iq i−Li=1其中，p i是广义动量。
哈密顿函数是系统能量的一种表达形式，它由广义坐标、广义动量和拉格朗日函数确定。
4. 哈密顿方程的推导为了推导哈密顿方程，我们需要通过求变分的方法来优化作用量。
首先，我们对作用量进行变分：t2δS=∫δL(q,q̇,t)dtt1将拉格朗日函数表示为广义坐标、广义动量和时间的函数，即L(q,q̇,t)=L(q,p,t)，其中p是广义动量。
代入上式，得到：δS=∫(∂L∂qδq+∂L∂pδp)t2t1dt根据变分法的基本原理，我们知道δq和δp是相互独立的，因此上式中的积分项等于零。
于是，我们得到以下两个方程：∂L ∂q −ddt(∂L∂q̇)=0∂L ∂p −ddt(∂L∂ṗ)=0根据拉格朗日函数的定义，我们有∂L∂q̇=p和∂L∂ṗ=q̇。
代入上述方程，得到：∂L ∂q −ddtp=0∂L ∂p −ddtq̇=0进一步整理上述方程，可以得到哈密顿方程的形式：q̇=∂H ∂pṗ=−∂H ∂q这就是哈密顿方程的推导过程。
5. 哈密顿方程的物理意义哈密顿方程的推导过程中，我们引入了哈密顿函数H，它是系统的能量表达式。
《哈密顿原理》PPT课件
则 d , H 0
dt t
反之，若 , H 0 则 C
t
是正则方程的一个运动积分，因为有
dt
dq1 H
dq2 H
p1 p2
dqs H
dp1 H
dp2 H
ps
q1
q2
dps H
2q3 s
q
(1)c, 0, c为常数 (2), , 0
n
n
(3)如 j ,则, , j
振动解要求 l 为纯虚数，要做到这一点势能V>0. 令 l il
s
q Aleilt Aleilt , 1, 2, , s
l 1
s
q al coslt bl sinlt , 1, 2, , s
l 1
上式中 l 叫简正频率，共有s个。
6
3.简正坐标
T
1 2
s
a q q
1
V
V0
s 1
V q
q 0
1 s 2V 2 1 q q
1
q q
0
高级项
取 V0 0 对保守系 V 0
q
略去高级项
1 s 2V
1s
V
2
1 1
q
q
q q 0
2 1 c q q
1
2
在稳定约束下，动能只是速度的二次函数
T
1 2
s
a q q
1
1
也展开为泰勒级数
j 1
j 1
(4), ,
(5)
t
,
t
,
,
t
(6) ,, ,, , , 0
1,如
(7) q , p 0,如
哈密顿原理
Ldt
t1
——主函数或作用函数或作用量。
L T V
——拉格朗日函数。
表明：对一个受理想、完整约束的力学体系，在保守 力的作用下从一个位形移动到另一个位形，对于在相 同时间内发生的一切可能运动中，只有沿 t1 到 t 2 的 轨道运动的作用函数 S 具有极值。即对真实运动来说， 作用函数的变分为零。
为等时变分。如： (
dx dt
)
d dt
。 ( x )
2
二、哈密顿原理： 1、几个概念： 设由 n 个质点组成的力学体系，受 k 个 约束，有 s 个自由度， s 个广义坐标 q 1 、 、… q ，它的运动规律为： q2 s
q1 q1 ( t ) ,
q 2 q 2 (t ) ,......, q s q s (t )
q
B (t 2 )
A(t1 )
q
真实轨道：力学体系真正运动的位形 轨道（实线AB）。
比较轨道：约束许可的位形轨道（虚 线AB）。
4
2、哈密顿原理： 对真实的的位形轨道，作用函数S有极值，即：
S
S 式中：
t2
Ldt 0 ........( 6 . 83 )
t2
t1
——哈密顿原理
q
B
A
q
.......( 1)
s
（1）、位形空间：以广义坐标 q 为坐标轴的 位形点：位形空间内的一个点。 位形轨道：位形点在位形空间内随时间 变化所描绘的一条曲线。
维空间。
相空间：以广义坐标 q 、广义动量 空间。
p
为坐标轴的 2 s维
3
（2）真实运动，可能运动：
真实运动：力学体系在所受约束及主 动力作用下真实实现的运动。 可能运动：约束许可的运动（不遵从 运动规律）。
第18章_哈密顿原理
第18章_哈密顿原理第⼋章哈密顿原理（Hamilton’s Principle ）⼀、泛函和变分的概念1．最速落径问题如图1，A 、B 是同⼀铅垂⾯上的两点，A ⾼于B ，不考虑阻⼒，试确定连接A 、B 的⼀条曲线，使初速为零的质点m 从A ⾄B ⾃由下滑所需时间最短。
设路径曲线为 y = y (x )，并设22)()(dy dx ds +=为曲线微段的弧长，则 dx dty dt dy dx dtds v 222)(1)()('+=+==另⼀⽅⾯，由动能定理可得gy v 2=，所以dx gyy dx v y dt 2)(1)(122'+='+=上式积分，得时间T 为'+=adx gyy x y T 022)(1)]([ （1）选取不同的y (x )必有不同的T 值，T 随函数y (x )的变化⽽变化。
这些可变化的函数称为⾃变函数，⽽随⾃变函数⽽变的量称为该⾃变函数的泛函。
最速落径问题可归结为如下数学命题：在0 [ x [ a 的区间内找⼀个函数y (x )，它满⾜边界条件====b y a x y x 时，当时，当00 并使（1）式所给泛函T [y (x )]取极⼩值。
变分法就是研究在各种不同的边界和约束下，各种泛函取极值的必要充分条件。
2．⾃变函数的变分如图2，将⾃变函数曲线 y = y (x ) 作微⼩变更，得到另⼀曲线y * = y * (x )，⽽ y * = y * (x ) = y (x ) + δ y (x )其中δ y 称为⾃变函数的变分。
下⾯推导d 、δ交换法则。
由图2，有dyy y dy y y yy y yy '+=+=+==321δ若从点3向上算，有)()(334dy y dy y dy y dy y y y y δδδδ+++=+++=+= 若从点2向上算，有)()(224y d dy y y y y d y y dy y y δδδδ+++=+++=+= ⽐较以上两式，得)()(dy y d δδ= （2）因此，⾃变函数变分、微分的运算顺序可交换。
Chapter5-分析力学07-哈密顿原理
西南大学-物理科学与技术学院 理论力学-5.7哈密顿原理 主讲教师：邱晓燕
t2
t2
t2
P244【例】试由哈密顿原理导出正则方程. 解: H p q H ( p, q, t ) L L p q
1
s
s
1
s p q H ( p, q, t ) dt 0 t2 1
d L d L L ( )q ( q ) q α dt q dt q q
等时变分的对易性
理论力学-5.7哈密顿原理 主讲教师：邱晓燕
而：
西南大学-物理科学与技术学院
代入：
s L L L q q q dt 0 q q 1 q 1 t t 1 s
的变化.
y( x )
dx x , t
dx dy y
西南大学-物理科学与技术学院
dx 0
0
主讲教师：邱晓燕
理论力学-5.7哈密顿原理
(3) 变分：自变量不变化 时函数自身的变化
~ y y ( x) y ( x)
泛函的变分：
y
J y( x ) J [ ~ y ( x )] J [ y( x )]
西南大学-物理科学与技术学院
理论力学-5.7哈密顿原理
主讲教师：邱晓燕
返
证：1. 从拉氏方程推导哈密顿原理（保守系）：
保守系拉氏方程 乘以q ，对
t2 s
求和，再积分.
d L L ( ) q dt 0 dt q q 1 t1
t1
t2
q p ( pq
哈密顿原理
pk
L qk
函 L L(q,q,t)
数
形 式
k
H pk
pk H
qk
H pk
q, p,t
H H (q, p,t)
k
L qk
qk
L
例1、用哈密顿正则方程研究一维谐振子的运动。
解：设振子的质量为m，劲度系数为k，沿x轴运动，并且伸长 量为x。则其动能和势能分别为：
T 1 mx2 V1kx21m2x2 ( k )
哈密顿原理
2.多自由度力学体系的小振动
考虑一个完整、稳定、保守的力学体系在平衡位置 附近的微小振动，设平衡位置的广义坐标为零，可以将 势能展为泰勒级数
VV 0s 1 q V 0q 1 2 s 1 1 q 2 V q 0q q 高 级 项
取 V0 0 对保守系 V 0
(2)、哈氏正则方程同受理想约束的完整具势组的拉氏 方程是等价的，应用条件都是对惯性系中。
4．正则方程中的初积分
(1)、广义能量积分
证明：dH H
HH(q,p,t)
dt t
H k
q H kq kk
p H k p k H t
q
k
HH
k qkpk k
H H H ( )
pk qk t
2
22
m
LTV1m x 21m 2x2
22
பைடு நூலகம்
广义动量：
p
L x
mx
体系的哈密顿函数：H
pxL
p2 m
( p2 1m2x2)
2m 2
p2 1m2x2
2m 2
H p2 1m2x2
2m 2 根据哈密顿正则方程可得：
x H p p m
1.7哈密顿原理
ri ) t n ri ri ri 2 1 m i ( ) . q q t t i 1 2
T2 T1 T0
其中
ri ri 1 q T2 m i . q q q , 1 i 1 2
例：设函数E以s和V为独立变量，全微分为dE=TdS-PdV 求新函数,新函数的自变量分别为： （ 1 ） S、 P (2) T、P （3）T、V
(1)由S、V S、P ,V不要， E H E V ( ) S E PV V dH dE pdV VdP TdS VdP H H T ( )P , V ( )s S P
哈密顿原理与最小作用量原理
• 最小作用量原理与哈密顿原理的相同点是： – ①两者都是作用量的积分的变分原理，对时间不长的运动，两者都 是极小值； – ②两者都是在多维空间中真实路线积分与旁路线积分的比较； – ③这两个原理在所设条件下与保守系统的动力方程等效，三者可互 相推导。 • 最小作用量原理与哈密顿原理的不同点是：
• 在df=udx+vdy中，将独立变量 x、y换成u、y时，剩下两量为 x、v，而x、v并不能直接表示 成f对u、y的偏微商，而必须 用一新函数g（u，y），这时， 才能把剩下的两个变量xv同时
df ( xdu udx) ( ydv vdy) xdu ydv G G 而dG du dv, 对比知 u v G G x, y u v
参考：非保守系的正则方程
L H L q q L q p H ( q . p . t )
保 守 系
正 则 方 程
q
H p
( 1,2,3....S )
哈密顿原理的推导
i 1
k d j1 dt
T q j
T q j
q j
(9)
n
n
n
k
Fi ri miai ri 0 (2)
Fi ri Q jq j (3)
i 1
i 1
i 1
j 1
将此成果代入(2)式中得：
k d
j1 dt
T q j
T q j
Q j q j
0
(10a)
当主动力有势力时： 式中得：
0
(11a)
V 广义力：Q j q j 代入(11a)式中，而拉格朗日
函数L=T-V(质点系旳动能与势能之差又称为动势)
(11a)式又能够写为：
k
j 1
d dt
L q j
q j
L q j
q
j
0
V q j
0 (11b)
将(11b)式乘以dt，并从t1到t2作定积分，有：
t2 t1
mi ri 2 2
n
miai ri
i 1
n
miai
i1
k j 1
ri q j
q
j
k j 1
n i 1
miai
ri q j
q j
ma ri q j
d dt
q j
mi ri 2 2
q
j
mi ri 22(来自)将此成果代回式(4)，并引入质点系动能
得:
T n mi ri2
i1 2
n
q j
ri
q
2ri q t
k 2ri j1 q q j
q j
另一方面，直接由矢径 ri 对某一广义坐
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21、没有人陪你走一辈子，所以你要 适应孤 独，没 有人会 帮你一 辈子， 所以你 要奋斗 一生。 22、当眼泪流尽的时候，留下的应该 是坚强 。 23、要改变命运，首先改变自己。
24、勇气很有理由被当作人类德性之 首，因 为这种 德性保 证了所 有其余 的德性 。--温 斯顿． 丘吉尔 。 25、梯子的梯阶从来不是用来搁脚的 ，它只 是让人 们的脚 放上一 段时间 ，以便 让别一的劳动。——乌申斯基
谢谢！
21、要知道对好事的称颂过于夸大，也会招来人们的反感轻蔑和嫉妒。——培根 22、业精于勤，荒于嬉；行成于思，毁于随。——韩愈
23、一切节省，归根到底都归结为时间的节省。——马克思 24、意志命运往往背道而驰，决心到最后会全部推倒。——莎士比亚