大学 物理学 第五版 马文蔚 答案上下册第五章

第五章静电场

1、两个点电荷所带电荷之和为Q ，问他们各带电量为多少时，相互间的作用力最大？

解：2

)(41r q

q Q F ⋅-⋅

=

πε 极限条件0

=dq dF 得：2Q q = 且0

21

2

022<-=r dq F d πε，故各带2Q 时，相互作用最大 2、一半径为R 的半圆细环上均匀地分布电荷Q ，求环心处的电场强度。 解：取dl 电荷元，其所带电量为：

θπ

θππd Q

Rd R Q dl R Q dq =⋅==

θπεπεd R

Q

R dq dE 2020

0441=⋅

=

x 轴上x E 的对称为零，

∴⎰⋅-==α

θsin dE E E

y

2

020

20224sin R Q

d R Q επθεπθθπ

-

=⋅-=

⎰

3、一均匀带电线段，带电线密度为λ，长度为L ，求其延长线上与端点相距d 处的场强和电势。

解：)1

1(4)(400

2

0L

d d x d L dx

E

L

+-=

-+=⎰

πελπελ d

d

L L d d x d L dx

V L

+=+-=

-+=⎰

ln

4)1ln 1(ln 4)

(4000

0πελπελπελ 4、设均匀电场的电场强度E 与半径R 的半球面对称轴平行，试计算通过此半球面的电场强度通量。 解：2R E dS E S

π⋅=⋅=Φ

⎰

5、一个内外半径分别1R 为2R 和的均匀带电球壳，总电荷为1Q ，球壳外同心罩一个半径为3R 的均匀带电球面，球面带电荷为2Q ，求各区电场分布。

解：利用高斯定理

⎰∑=⋅0

εq d S E ，有∑=⋅02

4πq r

E

1R r <，∑=0q ，01=E （1分）

21R r R <<，2313

2031312)(4)

(r R R R r Q E --=πε

32R r R <<，2

0134r

Q E πε=

，3R r

>，2

02

144r Q Q E πε+=

电场强度的方向均沿径矢方向

6、设在半径为R 的球体内，其电荷为对称分布，电荷体密度为

0==ρρkr R

r R

r >≤≤0

k 为一常量。试用高斯定理求电场强度E 与r 的函数关系。（你能用电场强度叠加原理求解这个问题吗？）

解：如图所示

作半径为r 的同心球形高斯面，据高斯定理有：

εq

d =

⋅⎰s E R r

≤时，40

2244kr dr r kr dr r q r

r o

πππρ=⋅=⋅=⎰⎰

∴402

4kr r

E εππ=

⋅，∴2

4r k E ε= 方向沿球半径方向 R r ≥时，4

2

4kR dr r q R

o

ππρ⎰

=⋅=，∴4

02

4kR r E εππ=⋅，2

044r kR E ε=

附：用场叠加原理来求解。将球体分割成球壳，每个球壳相当于一个带电球面，当R r ≤时，场强由r 半

径内的各个球壳产生（因为球壳在其内部产生的场强为零，故大于半径r 的球壳不在r 处产生场强），每个

球壳在r 处产生的场强为：（球壳半径为r '）

2

041

r dq

dE ⋅=πε 而

r d r dq '

'⋅=2

4πρ∴

022

20

00

4441

εππεkr r d r r r k dE E r

r =''⋅'⋅==⎰

⎰，

R r ≥

时，204

2

20

04441

r kR r d r r r k E

R

εππε=''⋅'⋅=⎰

（以上E 的方向均沿球半径方向）

7、两个带有等量异号电荷的无限长同轴圆柱面，半径分别为1R 和2R )(12R R >，单位长度上的电荷为

λ。求离轴线为r 处的电场强度：（1）1R r <；（2）21R r R <<；（3）2R r >。

解：如图

用高斯定理，作同轴柱形高斯面（柱面长度为L ）有： （1）1R r

<时， 020

==

⋅επq

rL E ∴01=E （2）21R r R <<时， 00

2ελεπL q

rL E =

=

⋅∴r

E 022πελ

= （3）2R r

>时， 020

=-=

=

⋅ελλεπL

L q

rL E ∴03=E

在带电柱面附近，E 不连续

8、两个同心球面的半径分别为1R 和2R ，各自带有电荷1Q 和2Q 。求（1）各区域电势的分布；（2）两球面上的电势差为多少。 解：由高斯定理可求得电场分布

01=E 1R r <

r e r Q E 2

0124πε=

21R r R <<