空间直角坐标系及点的坐标表示70343
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人教版高中数学--空间直角坐标系-(共21张PPT)教育课件
(x,y,0)
(0,y,z)
(x,0,z)
四、特殊位置的点的坐标：
xoy平面上的点竖坐标为0
yoz平面上的点横坐标为0
xoz平面上的点纵坐标为0
x轴上的点纵坐标和竖坐标都为0
z轴上的点横坐标和纵坐标都为0
y轴上的点横坐标和竖坐标都为0
(1)坐标平面内的点:
(2)坐标轴上的点:
规律总结：
规律：不见的那个就为“0”
(5)与点M关于平面xOy的对称点:
(x,y,-z)
(-x,y,z)
(x,-y,z)
(6)与点M关于平面yOz的对称点:
(7)与点M关于平面zOx的对称点:
五、空间点的对称问题
规律：见到谁谁不变，见不到变为相反数
1、空间直角坐标系的建立(三步)
2、空间直角坐标系的划分(八个卦限)
3、空间中点的坐标(一一对应)
(1)与点M关于x轴对称的点:
(2)与点M关于y轴对称的点:
(3)与点M关于z轴对称的点:
(4)与点M关于原点对称的点:
(x,-y,-z)
(-x,y,-z)
(-x,-y,z)
(-x,-y,-z)
规律：见到谁谁不变，见不到变为相反数
五、空间点的对称问题
类比探究2：
点M(x,y,z)是空间直角坐标系O-xyz中的一点
空间直角坐标系共有八个卦限
二、空间直角坐标系的划分
空间直角坐标系中任意一点的位置如何表示？
x称为点P的横坐标
Px
Pz
x
z
y
P
Py
y称为点P的纵坐标
z称为点P的竖坐标
反之： （x,y,z)对应唯一的点P
空间中点的表示（方法二）
(0,y,z)
(x,0,z)
四、特殊位置的点的坐标：
xoy平面上的点竖坐标为0
yoz平面上的点横坐标为0
xoz平面上的点纵坐标为0
x轴上的点纵坐标和竖坐标都为0
z轴上的点横坐标和纵坐标都为0
y轴上的点横坐标和竖坐标都为0
(1)坐标平面内的点:
(2)坐标轴上的点:
规律总结：
规律：不见的那个就为“0”
(5)与点M关于平面xOy的对称点:
(x,y,-z)
(-x,y,z)
(x,-y,z)
(6)与点M关于平面yOz的对称点:
(7)与点M关于平面zOx的对称点:
五、空间点的对称问题
规律：见到谁谁不变，见不到变为相反数
1、空间直角坐标系的建立(三步)
2、空间直角坐标系的划分(八个卦限)
3、空间中点的坐标(一一对应)
(1)与点M关于x轴对称的点:
(2)与点M关于y轴对称的点:
(3)与点M关于z轴对称的点:
(4)与点M关于原点对称的点:
(x,-y,-z)
(-x,y,-z)
(-x,-y,z)
(-x,-y,-z)
规律：见到谁谁不变，见不到变为相反数
五、空间点的对称问题
类比探究2：
点M(x,y,z)是空间直角坐标系O-xyz中的一点
空间直角坐标系共有八个卦限
二、空间直角坐标系的划分
空间直角坐标系中任意一点的位置如何表示？
x称为点P的横坐标
Px
Pz
x
z
y
P
Py
y称为点P的纵坐标
z称为点P的竖坐标
反之： （x,y,z)对应唯一的点P
空间中点的表示（方法二）
2019-人教版数学必修二4.3.1空间直角坐标系(共31张PPT)-文档资料
规律：关于谁对称谁不变，其余的相反。
两点间距离公式
平面：| P1P2 | (x1 x2 )2 ( y1 y2 )2
类比
猜想
空间：| P1P2 | (x1 x2 )2 ( y1 y2 )2 (z1 z2 )2
(1) 在空间直角坐标系中，任意两点 P1(x1,y1,z1)和P2(x2,y2,z2)间的距离：
§4.3.1 空间直角坐标系
请同学们阅读课本134-137
一、空间直角坐标系： z
以单位正方体 OABC DABC的 D'
C'
顶点O为原点,分别以射线OA，A'
B'
OC，OD 的方向为正方向,以 O
C
y
线段OA,OC, OD的长为单位 A
B
长度,建立三条数轴:x轴,y轴, x
z轴,这时我们建立了一个空间直角坐标系 Oxyz。
z
D`
C`
A`
B`
Q
O Q`
Cy
A
B
x
想一想：
在空间直角坐标下，如何 找到给定坐标的空间位置？
D（1，3，4）
在空间直角坐标系中标出D点： D(1,3,4)
z
O
y
x
z P E
D
C
FO
y
A
B
x
五、空间点的对称问题：
点M(x,y,z)是空间直角坐标系O-xyz中的一点 (1)与点M关于x轴对称的点: (2)与点M关于y轴对称的点: (3)与点M关于z轴对称的点: (4)与点M关于原点对称的点:
| P1P2 | (x1 x2 )2 ( y1 y2 )2 (z1 z2 )2
两点间距离公式
平面：| P1P2 | (x1 x2 )2 ( y1 y2 )2
类比
猜想
空间：| P1P2 | (x1 x2 )2 ( y1 y2 )2 (z1 z2 )2
(1) 在空间直角坐标系中，任意两点 P1(x1,y1,z1)和P2(x2,y2,z2)间的距离：
§4.3.1 空间直角坐标系
请同学们阅读课本134-137
一、空间直角坐标系： z
以单位正方体 OABC DABC的 D'
C'
顶点O为原点,分别以射线OA，A'
B'
OC，OD 的方向为正方向,以 O
C
y
线段OA,OC, OD的长为单位 A
B
长度,建立三条数轴:x轴,y轴, x
z轴,这时我们建立了一个空间直角坐标系 Oxyz。
z
D`
C`
A`
B`
Q
O Q`
Cy
A
B
x
想一想：
在空间直角坐标下，如何 找到给定坐标的空间位置？
D（1，3，4）
在空间直角坐标系中标出D点： D(1,3,4)
z
O
y
x
z P E
D
C
FO
y
A
B
x
五、空间点的对称问题：
点M(x,y,z)是空间直角坐标系O-xyz中的一点 (1)与点M关于x轴对称的点: (2)与点M关于y轴对称的点: (3)与点M关于z轴对称的点: (4)与点M关于原点对称的点:
| P1P2 | (x1 x2 )2 ( y1 y2 )2 (z1 z2 )2
课件43空间直角坐标系
平移变换：在三维 空间中，图形可以 沿着x、y、z轴进 行平移
旋转变换：在三维 空间中，图形可以 绕着x、y、z轴进 行旋转
缩放变换：在三维 空间中，图形可以 沿着x、y、z轴进 行缩放
透视变换：在三维 空间中，图形可以 沿着x、y、z轴进 行透视变换
三维图形的投影与视图
投影：将三维图形投影到二维平面 上，形成二维图形
微积分问题
微积分是研究 函数、极限、 导数、积分等 概念的数学分
支
微积分在空间 直角坐标系中 的应用广泛， 如计算曲面面
积、体积等
微积分在解决 物理、工程等 领域的问题时， 需要建立空间 直角坐标系进
行计算
微积分在空间 直角坐标系中 的应用，可以 帮助我们更好 地理解和解决
实际问题
物理问题
描述物体的位置和运动状态 解决力学、电磁学、光学等物理问题 计算物体的速度和加速度 描述物体的旋转和转动状态
旋转不变性在物 理和工程中的应 用：例如，在机 器人控制、计算 机视觉等领域， 旋转不变性被广 泛应用。
空间直角坐标系的平移不变性
空间直角坐标系的坐标轴是相互垂 直的，且长度单位相同。
空间直角坐标系的坐标轴可以任意 平移，但平移后的坐标轴仍然保持 相互垂直且长度单位相同。
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旋转对称：空间 直角坐标系可以 通过旋转变换保 持不变，具有旋 转对称性
反射对称：空间 直角坐标系可以 通过反射变换保 持不变，具有反 射对称性
空间直角坐标系的旋转不变性
旋转不变性：空 间直角坐标系在 旋转变换下保持 不变
旋转矩阵：描述 旋转变换的矩阵
旋转变换：将空 间直角坐标系中 的点按照一定的 角度和方向一种特殊形式，视图是投影的扩展
高等数学,空间直角坐标系与向量的坐标表示
此式称为向量 r 的坐标分解式 , 沿三个坐标轴方向的分向量,
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在空间直角坐标系下, 任意向量 r 可用向径 OM 表示.
四、利用坐标作向量的线性运算
设 a ( ax , a y , az ), b (bx , by , bz ) , 为实数， 则
a b (a x bx , a y by , a z bz )
向量. 解: 因
a 4 m 3n p
故在 x 轴上的投影为 a x 13 在 y 轴上的分向量为 a y j 7 j
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2. 设 m i j , n 2 j k , 求以向量 m , n 为边的平 行四边形的对角线的长度 .
解： 对角线的长为
其中 a （ 2， 1， 2 ） ,b （ 1， 1， 2 ） .
解: 2×① －3×② , 得
②
x 2 a 3b (7 , 1,10)
代入②得 1 y (3 x b) (11, 2 ,16) 2
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结束
例3. 已知两点 在AB所在直线上求一点 M , 使
解: 如图所示, 记 ∠MOA = ,
M
OA 1 cos 3 OM
Prj OM
a OA OA cos 3
O a A
作业
P12
3 , 5, 13, 14, 15, 18, 19
第二节 目录 上页 下页 返回 结束
备用题
1. 设 m 3 i 5 j 8 k , n 2 i 4 j 7 k , p 5 i j 4 k 求向量 a 4 m 3 n p 在 x 轴上的投影及在 y 轴上的分
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在空间直角坐标系下, 任意向量 r 可用向径 OM 表示.
四、利用坐标作向量的线性运算
设 a ( ax , a y , az ), b (bx , by , bz ) , 为实数， 则
a b (a x bx , a y by , a z bz )
向量. 解: 因
a 4 m 3n p
故在 x 轴上的投影为 a x 13 在 y 轴上的分向量为 a y j 7 j
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2. 设 m i j , n 2 j k , 求以向量 m , n 为边的平 行四边形的对角线的长度 .
解： 对角线的长为
其中 a （ 2， 1， 2 ） ,b （ 1， 1， 2 ） .
解: 2×① －3×② , 得
②
x 2 a 3b (7 , 1,10)
代入②得 1 y (3 x b) (11, 2 ,16) 2
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例3. 已知两点 在AB所在直线上求一点 M , 使
解: 如图所示, 记 ∠MOA = ,
M
OA 1 cos 3 OM
Prj OM
a OA OA cos 3
O a A
作业
P12
3 , 5, 13, 14, 15, 18, 19
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备用题
1. 设 m 3 i 5 j 8 k , n 2 i 4 j 7 k , p 5 i j 4 k 求向量 a 4 m 3 n p 在 x 轴上的投影及在 y 轴上的分
空间直角坐标系ppt课件
坐标系 Oxyz 中 x 轴、y 轴、z 轴的正方向
上的单位向量，且O→B＝－i＋j－k，则点 B 的坐标是
√A.(－1，1，－1)
B.(－i，j，－k)
C.(1，－1，－1)
D.不确定
由空间直角坐标系中点的坐标的定义可知点B的坐标为(－1，1，－1).
D.5，23，2
由题图知，点 P 在 x 轴、y 轴、z 轴上的射影分别为 P1，P2，P3， 它们在坐标轴上的坐标分别是32，5，4，故点 P 的坐标是32，5，4.
3.已知点 B 的坐标是(－1，2，1)，则|O→B|＝
√A. 6
B.6
C. 5
D.5
由 B 点坐标是(－1，2，1)，得O→B＝－i＋2j＋k，故|O→B|2＝1＋4＋1＝6， 故|O→B|＝ 6.
特别提醒
空间点对称问题的解题策略 (1)空间点的对称问题可类比平面直角坐标系中点的对称问题，要掌握对 称点的变化规律，才能准确求解. (2)对称点的问题常常采用“关于谁对称，谁保持不变，其余坐标相反” 这个结论.
训练3.已知点P(2，3，－1)关于坐标平面Oxy的对称点为P1，点P1关于坐标平面 Oyz 的 对 称 点 为 P2 ， 点 P2 关 于 z 轴 的 对 称 点 为 P3 ， 则 (点2，P－3 的3，坐1)标 为 ______________.
则p＝a＋2b＋3c＝x(a＋b)＋y(a－b)＋zc＝(x＋y)a＋(x－y)b＋zc，
x＋y＝1，
x＝23，
所以xz＝－3y，＝2，解得yz＝＝3－，12，
故 p 在基底{a＋b，a－b，c}下的坐标为32，－21，3.
二、空间点及向量的坐标表示
探究 2 在平面直角坐标系中，{i，j}为一个单位正交基底，O→A＝xi＋yj，那么向 量O→A的坐标为(x，y)，点 A 的坐标为(x，y)；如果设{i，j，k}为空间的单位正交 基底，O→A＝xi＋yj＋zk，猜想空间向量O→A的坐标是什么？点 A 的坐标是什么？ 提示 (x，y，z)；(x，y，z).
上的单位向量，且O→B＝－i＋j－k，则点 B 的坐标是
√A.(－1，1，－1)
B.(－i，j，－k)
C.(1，－1，－1)
D.不确定
由空间直角坐标系中点的坐标的定义可知点B的坐标为(－1，1，－1).
D.5，23，2
由题图知，点 P 在 x 轴、y 轴、z 轴上的射影分别为 P1，P2，P3， 它们在坐标轴上的坐标分别是32，5，4，故点 P 的坐标是32，5，4.
3.已知点 B 的坐标是(－1，2，1)，则|O→B|＝
√A. 6
B.6
C. 5
D.5
由 B 点坐标是(－1，2，1)，得O→B＝－i＋2j＋k，故|O→B|2＝1＋4＋1＝6， 故|O→B|＝ 6.
特别提醒
空间点对称问题的解题策略 (1)空间点的对称问题可类比平面直角坐标系中点的对称问题，要掌握对 称点的变化规律，才能准确求解. (2)对称点的问题常常采用“关于谁对称，谁保持不变，其余坐标相反” 这个结论.
训练3.已知点P(2，3，－1)关于坐标平面Oxy的对称点为P1，点P1关于坐标平面 Oyz 的 对 称 点 为 P2 ， 点 P2 关 于 z 轴 的 对 称 点 为 P3 ， 则 (点2，P－3 的3，坐1)标 为 ______________.
则p＝a＋2b＋3c＝x(a＋b)＋y(a－b)＋zc＝(x＋y)a＋(x－y)b＋zc，
x＋y＝1，
x＝23，
所以xz＝－3y，＝2，解得yz＝＝3－，12，
故 p 在基底{a＋b，a－b，c}下的坐标为32，－21，3.
二、空间点及向量的坐标表示
探究 2 在平面直角坐标系中，{i，j}为一个单位正交基底，O→A＝xi＋yj，那么向 量O→A的坐标为(x，y)，点 A 的坐标为(x，y)；如果设{i，j，k}为空间的单位正交 基底，O→A＝xi＋yj＋zk，猜想空间向量O→A的坐标是什么？点 A 的坐标是什么？ 提示 (x，y，z)；(x，y，z).
空间直角坐标系课件
空间直角坐标系课件
contents
目录
• 空间直角坐标系的基本概念 • 空间直角坐标系的表示方法 • 空间直角坐标系的应用 • 空间直角坐标系与三维图形的关系 • 空间直角坐标系中的曲线方程 • 空间直角坐标系中的曲面方程
01
空间直角坐标系的基 本概念
定义与性质
定义
空间直角坐标系是由三个互相垂 直的坐标轴组成的，通常称为x轴 、y轴、z轴。
曲面方程的基本概念
曲面方程的定义
曲面方程是描述曲面形状和大小的一种数学表达式，通常由两个 或三个变量的方程组成。
曲面方程的分类
根据曲面形状的不同，曲面方程可以分为平面方程、球面方程、 旋转曲面方程等。
曲面方程的几何意义
曲面方程的解对应着三维空间中的点集，这些点集构成了一个特 定的曲面。
曲面方程的求解方法
性质
空间直角坐标系具有方向性，每 个轴的正方向都有确定的指向， 且三个轴互相垂直，满足勾股定 理。
坐标系的建立
01
02
03
确定原点
选择一个点作为原点，该 点是坐标系的起点和中心 点。
确定坐标轴
根据需要选择三个互相垂 直的平面，分别确定x轴 、y轴、z轴的方向。
单位长度
根据需要确定坐标轴上的 单位长度，可以是厘米、 米、千米等。
地球表面模型
地球表面的形状可以用球面方程来表示，通过球面方程可以计算地 球上任意一点的经纬度和海拔高度。
建筑设计
在建筑设计中，可以利用曲面方程来描述建筑物的外观和结构，如 穹顶、弧形墙面等。
工程制图
在工程制图中，曲面方程可以用来绘制各种机械零件、电子元件等的 三维图形。
THANK YOU
向量的模和向量的数量积
contents
目录
• 空间直角坐标系的基本概念 • 空间直角坐标系的表示方法 • 空间直角坐标系的应用 • 空间直角坐标系与三维图形的关系 • 空间直角坐标系中的曲线方程 • 空间直角坐标系中的曲面方程
01
空间直角坐标系的基 本概念
定义与性质
定义
空间直角坐标系是由三个互相垂 直的坐标轴组成的，通常称为x轴 、y轴、z轴。
曲面方程的基本概念
曲面方程的定义
曲面方程是描述曲面形状和大小的一种数学表达式，通常由两个 或三个变量的方程组成。
曲面方程的分类
根据曲面形状的不同，曲面方程可以分为平面方程、球面方程、 旋转曲面方程等。
曲面方程的几何意义
曲面方程的解对应着三维空间中的点集，这些点集构成了一个特 定的曲面。
曲面方程的求解方法
性质
空间直角坐标系具有方向性，每 个轴的正方向都有确定的指向， 且三个轴互相垂直，满足勾股定 理。
坐标系的建立
01
02
03
确定原点
选择一个点作为原点，该 点是坐标系的起点和中心 点。
确定坐标轴
根据需要选择三个互相垂 直的平面，分别确定x轴 、y轴、z轴的方向。
单位长度
根据需要确定坐标轴上的 单位长度，可以是厘米、 米、千米等。
地球表面模型
地球表面的形状可以用球面方程来表示，通过球面方程可以计算地 球上任意一点的经纬度和海拔高度。
建筑设计
在建筑设计中，可以利用曲面方程来描述建筑物的外观和结构，如 穹顶、弧形墙面等。
工程制图
在工程制图中，曲面方程可以用来绘制各种机械零件、电子元件等的 三维图形。
THANK YOU
向量的模和向量的数量积
空间直角坐标系向量的坐标表
流体动力学是研究流体运动规律的学 科，其中涉及到速度、加速度等向量 概念。通过向量的运算，可以计算流 体的运动规律和流体对物体的作用力。
在控制系统中，控制信号通常是一个 向量，可以用向量表示其在各个方向 上的分量。通过向量的运算，可以设 计控制系统的反馈回路，实现系统的 稳定性和动态性能优化。
感谢您的观看
向量的投影
向量的投影是向量在某个方向上的分量，可以用来计算向量的长度、 角度等几何量。
向量在物理学中的应用
力的合成与分解
在物理学中，力是一个向量，可以用向量表示其在各个方向上的分力。通过向量的加法和数乘，可以将多个力合成一 个力，也可以将一个力分解为多个分力。
速度和加速度
速度和加速度是物理学中重要的向量概念，可以用向量表示其在各个方向上的分量。通过向量的加法和数乘，可以计 算物体的速度和加速度。
点P的坐标
在空间直角坐标系中，点P 可以用三维实数来表示， 记作(x, y, z)。
向量表示
向量OP可以用起点O和终 点P的坐标来表示，记作[x, y, z]。
向量的模
向量OP的模是空间中点P 到原点O的距离，记作 |OP|。
02
向量及其坐标表示
向量的定义与性质
定义
向量是既有大小又有方向的量，通常 用有向线段表示。
计算
向量的坐标等于向量在各坐标轴上的投影的坐标的代数和。
03
向量的运算
向量的加法
总结词
向量加法是空间几何中基本的向量运算之一，其结果是一个向量。
详细描述
向量加法是将两个向量的起点设为同一点，然后按照向量箭头的指向，把第一个向量的终点与第二个 向量的起点相连，所得到的向量即为这两个向量的和。向量加法的结果是一个向量，其大小等于两个 被加向量的长度之和，方向与原来的两个向量相同。
4.3.1-空间直角坐标系ppt课件
关于谁，谁不变。（其余相。反）
最新课件
17
5、空间直角坐标系中对称点坐标
优化设计P115 重难聚焦·释疑解惑 剖析2
关于谁，谁不变。（其余相反 ） 关于原点（-a，-b，-c）
优化设计P116 题型三 例3，变3
最新课件
18
小结
最新课件
19
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20
6
3.由点的位置确定点的坐标 方法一：过P点分别做于x,y,z轴的垂面，
平面与三个坐标轴的交点坐标依次为x,y,z， 那么点P的坐标就是(x,y,z) 。
z
z
•
1
x
x
•
•o
1
1
•P
y
•y
最新课件
7
3.由点的位置确定点的坐标
z
z P1
•o
x
xM
•P
yy
N
•P0
最新课件
P点坐标为 (x,y,z)
8
书P135 例1,例2
最新课件
16
平面直角坐标系中的对称点
关于y轴 x相反，y不变。
P2 (-x0 ,y0)
y y0
关于x轴对称点 P1 关于y轴对称点 P2 P (x0,y0) 关于原点对称点P3
-x0
O
x0
x
P3(-x0 , -y0)
-y0
P1(x0 , -y0)
关于原点
关于x轴
x相反，y相反。
x不变，y相反
如一点在y轴上，则设为（0，y, 0）
。
最新课件
12
4、空间坐标系中的中点坐标公式
空间直角坐标系
一、空间向量的基本概念
平面向量
空间向量
定义
具有大小和方向的量
表示法 几何表示：有向线段 AB 字母表示: a
向量的模
向量的大小 AB a
相等向量 相反向量 单位向量 零向量
长度相等且方向相同的向量 长度相等且方向相反的向量 模为1的向量，没有规定方向 模为0的向量，与任何向量共线
空间任意两个向量都可以平移到同一个平面内，
( x y z 1)
判断四点共面，或直线平行 于平面
1.下列命题中正确的有：B
(1) p xa yb p 与 a 、b 共面 ; (2) p 与 a 、b 共面 p xa yb ；
(3) MP x MA y MB P、M、A、B共面；
(4) P、M、A、B共面 MP xMA yMB ；
预备知识
数轴Ox上的点M
实数x
O
直角坐标平面上的点M
y
M
x
x
实数对(x，y)
y A(x,y)
Ox
x
一、空间直角坐标系 —Oxyz
z
竖轴
1
纵轴
o
1
1
y
x
右手直角坐标系
横轴
右手直角坐标系：在空间直角坐标系中，让 右手拇指指向 x 轴的正方向，食指指向 y 轴的 正方向，如果中指指向 z 轴的正方向，则称这 个坐标系为右手直角坐标系．
【温故知新】
平面向量基本定理：
如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量， 那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有
一对实数1，2，使a＝1e1＋2 e2。
（e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。）
五、共面向量
2. 如果两个向量 a,不b 共线，
空间直角坐标系的定义和坐标
空间直角坐标系的定义和坐标一、空间直角坐标系的定义和坐标1.空间直角坐标系在单位正方体$oabc-d′a′b′c′$中，以$o$点为原点，分别以射线$oa$，$oc$，$od′$的方向为正方向，以线段$oa$，$oc$，$od′$的长为单位长，建立三条数轴：$x$轴、$y$轴、$z$轴。
这时我们说建立了一个空间直角坐标系$oxyz$，其中点$o$叫做坐标原点，$x$轴、$y$轴、$z$轴叫做坐标轴。
通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为$xoy$平面、$yoz$平面、$xoz$平面。
2.空间矢量的坐标一个向量在空间直角坐标系中的坐标等于表示向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标。
如$a(x_1,y_1,z_1)$，$b(x_2,y_2,z_2)$，则$\overrightarrow{ab}=$$\overrightarrow{ob}-$$\overrightarrow{oa}=$$(x_2-x_1$，$y_2-y_1$，$z_2-z_1)$。
3.空间向量的坐标运算设$\boldsymbola(x_1,y_1,z_1)$，$\boldsymbolb(x_2,y_2,z_2)$，则（1） $\boldsymbola+\boldsymbolb=（x_1+x_2，y_1+y_2，z_1+z_2）$（2）$\boldsymbola-\boldsymbolb=(x_1-x_2,y_1-y_2,z_1-z_2)$。
（3） $\boldsymbola·\boldsymbolb=x_1x_2+y_1y_2+z_1z_2$（4）$|\boldsymbola|=\sqrt{x^2_1+y^2_1+z^2_1}$。
（5）$λ\boldsymbola=（λx_1，λy_1，λz_1）$4、空间向量平行（共线）与垂直的充要条件让非零向量$\boldsymbol（x_1，y_1，z_1）$，$\boldsymbol B（x_2，y_2，z_2）$，然后$\boldsymbola∥\boldsymbolb\leftrightarrow\frac{x_1}{x_2}=\frac{y_1}{y_2}=\frac{z_1}{z_2}=λ(λ∈\mathbf{r})$。
空间直角坐标系中点坐标公式
空间直角坐标系中点坐标公式在空间直角坐标系中，我们可以用三个数值来表示一个点的位置。
这三个数值分别代表了点在x轴、y轴和z轴的坐标。
我们可以将这三个坐标值写成一个有序三元组 (x, y, z)。
假设我们有一个点P，它在x轴上的坐标为x，y轴上的坐标为y，z 轴上的坐标为z。
那么点P的坐标可以表示为 (x, y, z)。
在三维空间中，点的坐标公式可以通过测量从原点到点P的三条边的长度得到。
根据勾股定理，我们可以得出以下关系：1. 点P在x轴上的坐标可以通过测量点P到y轴和z轴的距离得到。
这个距离可以表示为√(y^2 + z^2)。
所以点P在x轴上的坐标为x = √(y^2 + z^2)。
2. 点P在y轴上的坐标可以通过测量点P到x轴和z轴的距离得到。
这个距离可以表示为√(x^2 + z^2)。
所以点P在y轴上的坐标为y = √(x^2 + z^2)。
3. 点P在z轴上的坐标可以通过测量点P到x轴和y轴的距离得到。
这个距离可以表示为√(x^2 + y^2)。
所以点P在z轴上的坐标为z = √(x^2 + y^2)。
通过这个坐标公式，我们可以计算出点P在三维空间中的坐标。
例如，如果点P在x轴上的坐标为3，在y轴上的坐标为4，在z轴上的坐标为5，那么点P的坐标可以表示为 (3, 4, 5)。
通过这个坐标公式，我们可以方便地计算出点在空间中的位置。
同时，我们也可以通过这个公式来确定点在空间中的距离和方向。
总结起来，空间直角坐标系中点的坐标可以用有序三元组 (x, y, z) 表示，其中x代表点在x轴上的坐标，y代表点在y轴上的坐标，z 代表点在z轴上的坐标。
我们可以通过测量点到每个轴的距离得到点的坐标。
这个坐标公式在三维空间中有着广泛的应用，可以用来计算点的位置、距离和方向等信息。
数学：431《空间直角坐标系》课件新人教A版必修
点的坐标值，放大倍数越大，点的坐标值越大；缩小倍数
越大，点的坐标值越小。
点的坐标计算
向量表示
一个点也可以用向量来表示，向 量的起点为原点，终点为该点。 向量的坐标即为该点的坐标。
向量运算
向量的加法、减法、数乘以及向 量的模长等运算可以用于点的坐 标计算。
PART 03
向量与向量的坐标表示
THANKS
感谢观看
REPORTING
向量的运算
第一季度
第二季度
第三季度
第四季度
向量的加法
同向或反向的向量可以 通过加法合成，表示为 $overrightarrow{a} + overrightarrow{b}$。
向量的数乘
标量与向量的乘法，表 示为
$koverrightarrow{a}$ ，其中$k$为实数。
向量的减法
两个向量可以通过减法 得到一个新的向量，表
PART 04
平面与直线方程
REPORTING
平面的方程
平面方程的基本形式
Ax + By + Cz + D = 0，其中A、B 、C、D是常数，x、y、z是坐标。
平面方程的解法
平面方程的应用
在几何学、物理学和工程学中，平面 方程是描述平面位置关系的重要工具 。
通过已知的三个非共线点，可以求出 平面方程。
02
这三条轴分别称为x轴、y轴和z轴 ，它们按照右手定则确定方向， 其中大拇指方向为x轴方向，其余 四指握拳方向为y轴和z轴方向。
空间直角坐标系的性质
空间直角坐标系具有方向性，即坐标 轴的正方向是确定的，这有助于描述 空间中点的位置和方向。
空间直角坐标系具有度量性，即每个 轴都有确定的单位长度，这有助于描 述空间中点的距离和大小。
越大，点的坐标值越小。
点的坐标计算
向量表示
一个点也可以用向量来表示，向 量的起点为原点，终点为该点。 向量的坐标即为该点的坐标。
向量运算
向量的加法、减法、数乘以及向 量的模长等运算可以用于点的坐 标计算。
PART 03
向量与向量的坐标表示
THANKS
感谢观看
REPORTING
向量的运算
第一季度
第二季度
第三季度
第四季度
向量的加法
同向或反向的向量可以 通过加法合成，表示为 $overrightarrow{a} + overrightarrow{b}$。
向量的数乘
标量与向量的乘法，表 示为
$koverrightarrow{a}$ ，其中$k$为实数。
向量的减法
两个向量可以通过减法 得到一个新的向量，表
PART 04
平面与直线方程
REPORTING
平面的方程
平面方程的基本形式
Ax + By + Cz + D = 0，其中A、B 、C、D是常数，x、y、z是坐标。
平面方程的解法
平面方程的应用
在几何学、物理学和工程学中，平面 方程是描述平面位置关系的重要工具 。
通过已知的三个非共线点，可以求出 平面方程。
02
这三条轴分别称为x轴、y轴和z轴 ，它们按照右手定则确定方向， 其中大拇指方向为x轴方向，其余 四指握拳方向为y轴和z轴方向。
空间直角坐标系的性质
空间直角坐标系具有方向性，即坐标 轴的正方向是确定的，这有助于描述 空间中点的位置和方向。
空间直角坐标系具有度量性，即每个 轴都有确定的单位长度，这有助于描 述空间中点的距离和大小。
高等数学空间直角坐标系与向量的坐标表示
x 2a 3b (7,1,10)
代入②得
y 1 (3 x b) (11, 2,16) 2
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例3. 已知两点 在AB所在直线上求一点 M , 使
及实数 1,
解: 设 M 的坐标为
如图所示
AM MB
AM OM OA MB OB OM
当 a 0 时,
bx by bz ax ay az
bx ax by ay
bz az
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例2. 求解以向量为未知元的线性方程组
5x3y a
①
3x2y b
②
其中 a （2，1，2）, b （1，1， 2）.
解: 2×① －3×② , 得
第二节
空间直角坐标系 与
向量的坐标表示
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一、空间直角坐标系
1. 空间直角坐标系的基本概念
过空间一定点 O ,由三条互相垂直的数轴按右手规则
组成一个空间直角坐标系.
• 坐标原点
Ⅲ
z z 轴(竖轴)
Ⅱ
• 坐标轴
Ⅳ
• 坐标面
• 卦限(八个) Ⅶ
x
x轴(横轴)
Ⅷ
yOz 面
O xOy面
OM O A (OB OM )
A
M B
o
A
得 即
OM
1
1
( OA
OB
B
1
1
(x1 x2 , y1 y2 , z1 z2 )
M
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说明: 由
1
空间直角坐标系及点的坐标表示
（-1，-2，-3） （1，-2，-3） （-1，2，-3）
4.关于z轴对称的为 (-x,-y, z)
（-1，-2，3）
5.关于xoy平面对称的点为（x,y,-z）
（1，2，-3）
6.关于xoz平面对称的点为（x,-y,z）
（1，-2，3）
7.关于yoz平面对称的点为（-x,y,z）
（-1，2，3）
3、AB的中点坐标为(3,1, 4)，其中B点坐标为 （0，0，0），那么A点的坐标为_（__6_,2_,_8_）
五、点的对称性
规律：关于谁对称谁不变 空间直角坐标系中任一点p(x,y,z) 例：（1，2，3）
1.关于原点对称的为 (-x,-y,-z) 2.关于x轴对称的为 (x,-y,-z)
3.关于y轴对称的为 (-x, y,-z)
P、R、Q(即点A在坐标平
R
面的射影)。点P、R、Q在
相应坐标轴上的坐标依次为
x,y,z则有序实数对（x,y,z）
叫做点M的坐标
o
xP
M (x, y, z)
Qy
例1、在如图长方体中，已知 OA 3, OC OD 2,试求其顶点的坐标。
z D'
4,
C'
分析：1.分别找射影
2.找射影在坐标轴对 应的点
例3、已知点A(x, 2, 3)关于xoz平面 的对称点坐标为（1，2y-1,3z） 分别求出x,y,z的值
解：根据对称的法则可得： x 1, 2 y 1 2, 3z 3 解得：x 1, y - 1 , z 1
2
思考：如果是xoy呢？是y轴呢？
练一练
书第90页练习
o
y
标系０－xyz． x
点Ｏ叫做坐标原点，x轴、y轴、z轴叫做
空间直角坐标系及点的坐标表示PPT课件
定义
在空间直角坐标系中，一个点P 可以用三个实数x、y、z来表示，
这三个实数称为点P的坐标。
坐标轴
空间直角坐标系由三条互相垂直 的坐标轴X、Y、Z组成，其中X 轴与Y轴构成平面直角坐标系。
点的坐标表示
点P在直角坐标系中的表示方法 为(x, y, z)。
点在极坐标系中的表示
01
02
03
04
定义
在空间中，一个点P可以用极 径ρ和极角θ来表示，这种表示
通过球面坐标与直角坐标之间的转换公式将点在球面坐标系中的坐标转换为直 角坐标系中的坐标。
坐标系的扩展与推广
参数方程表示
通过引入参数方程来表示点的位置， 使得点的表示更加灵活和多样。
多维空间坐标系
将二维或三维直角坐标系扩展到更高 维度的空间，用于描述更复杂的多维 几何对象。
05
空间直角坐标系的实践 案例
计算几何量
通过空间直角坐标系，可以方便地计算几何量，如两点之间的距离、 点到直线的距离等。
在物理学中的应用
01
பைடு நூலகம்
02
03
描述物体运动轨迹
在物理中，物体的运动轨 迹通常可以用空间直角坐 标系来表示。
描述力场和电场
通过空间直角坐标系，可 以描述各种物理场，如重 力场、电场等。
计算物理量
利用空间直角坐标系，可 以方便地计算物理量，如 速度、加速度等。
镜像坐标系
将坐标系沿某一轴进行对 称，得到镜像坐标系，如 极坐标系。
拉伸坐标系
通过拉伸坐标轴上的单位 长度来改变坐标系的尺度， 但不改变其方向。
坐标系的转换
笛卡尔坐标系到极坐标系的转换
通过极坐标与笛卡尔坐标之间的转换公式将点在笛卡尔坐标系中的坐标转换为 极坐标系中的坐标。
空间直角坐标系
若
P( x1 , y1 , z1 ), Q( x2 , y2 , z2 ).
2 2 2
则 | PQ |= ( x2 x1 ) + ( y2 y1 ) + (z2 z1 ) .
b 如果非零向量 a = ( x1 , y1 , z1 ), = ( x2 , y2 , z2 )夹角为 θ .
则 cosθ =
b = ( x2 , y2 , z2 ). 则
a b = ( x1 i + y1 j + z1 k) ( x2 i + y2 j + z2 k) 2 2 2 = ( x1 x2 )i + ( y1 y2 ) j + (z1z2 )k + ( x1 y2 + x2 y1 )(i j) + ( x1z2 + x2z1 )(i k) + ( y1z2 + y2z1 )( j k)
∵ i = j = k = 1, i j = i k = j k = 0.
2 2 2
∴ a b = x1 x2 + y1 y2 + z1z2 .
2 2 2 2 特别地, 特别地, | a | = a a = x1 + y1 + z1 , | a |= x1 + y1 + z1 .
2 2 2
y
PQ = OQ OP = ( x2 i + y2 j + z2 k) ( x1 i + y1 j + z1 k)
= ( x2 x1 )i + ( y2 y1 ) j + (z2 z1 )k
= ( x2 x1 , y2 y1 , z2 z1 ).
有了向量的坐标表示后, 有了向量的坐标表示后,向量的运算可以转化为其坐标的 运算. 运算.如: = ( x1 , y1 , z1 ), a
人教版高中数学课件：必修2 4.3《空间直角坐标系》 (共28张PPT)
典型例题
下层的原子全部在平面上，它们所 在位置的竖坐标全是0，所以这五个钠 原子所在位置的坐标分别是(0，0，0)， （1，0，0）,（1，1，0）,（0，1，0）, 1 1 （ ， ，0）. x 2 2
z
O
y
中层的原子所在的平面平行于平面，与轴交点的竖坐标为， 所以，这四个钠原子所在位置的坐标分别是
z
O
y
x
卦 限：
z
第二卦限
O
y
x
卦 限：
z
第三卦限
O
y
x
卦 限：
z
第四卦限
O
y
x
卦 限：
z
O
y
x
第五卦限
卦 限：
z
O
y
第六卦限
x
卦 限：
z
第七卦限
O
y
x
卦 限：
z
O
第八卦限
y
x
z
y O x
点的坐标：
设 M 为空间一已知点．过
z
z R M Q
点 M 作三个平面分别垂直于 x 轴、y 轴和 z 轴，三个平面在 x 轴、 y 轴和 z 轴的交点依次为
点构成的点集，其中x、y为任意 实数
同理：yOz平面（通过y轴和z轴的平面）
是坐标形如（0，y，z）的点构成的点集，
其中y、z为任意实数；
xOz平面（通过x 轴和z轴的平面）是坐
标形如（x，0，z）的点构成的点集，其 中x、z为任意实数；
八个卦限中点的坐标符号分别为： I： （ + ，+ ，+ ）； II： （ － ，+ ，+ ）; III： （ － ，－ ，+ ）； IV： （ + ，－ ，+ ）； V： （ + ，+ ，－ ）； VI： （ － ，+ ，－ ）； VII：（ － ，－ ，－ ）； VIII：（ + ，－ ，－ ）；
空间直角坐标系课件
04 空间直线与曲面的交点求法
CHAPTER
直线与平面的交点求法
定义法
通过直线的方向向量和平面的法向量 来求解交点。
参数法
将直线和曲面的方程参数化，然后联 立方程求解。
直线与球体的交点求法
定义法
通过直线的方向向量和球体的半径来 求解交点。
参数法
将直线的方程和球体的方程参数化， 然后联立方程求解。
空间直角坐标系课件
目录
CONTENTS
• 空间直角坐标系的基本概念 • 空间点的坐标表示 • 空间几何形状的表示
• 空间直线与曲面的交点求法 • 空间直角坐标系的应用
• 空间直角坐标系的扩展应用
01 空间直角坐标系的基本概念
CHAPTER
定义与性质
定义
空间直角坐标系是三维空间的笛 卡尔坐标系，用三个互相垂直的 坐标轴X、Y、Z分别表示东、南 、高，单位为米。
换。
在不同应用领域中，还可能涉及 到其他类型的坐标系，如柱坐标
系等。
在地理信息系统中的应用
地理信息系统（GIS）是一种用于处 理和分析地理信息的系统，空间直角 坐标系在GIS中发挥着重要作用。
空间分析：通过空间直角坐标系，可 以对地理数据进行空间分析，如计算 距离、确定位置、绘制地图等。
地图投影：将地球表面的经纬度坐标 转换为空间直角坐标系中的x、y、z 坐标，以便在计算机中进行处理和分方程和平面的方程来求解交线。
参数法
将曲面的方程和平面的方程参数化，然后联立方程求解。
05 空间直角坐标系的应用
CHAPTER
空间距离的计算
两点间距离
利用两点坐标可求得两点间的直线距离 ，即$\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2y_1)^2+(z_2-z_1)^2}$。
§7.2空间直角坐标系及向量运算的坐标表示
1 2 2 2 2 ∴ cos 1cos cos 1( ) ( ) 。 3 3 3
2 2
1 a x a cos 6 2 ， 3 2 a y a cos 6 4 ， 3
2 a z a cos 6( ) 4 ， 3
4 4 , }. 41 41
1 2 cos 例 2.设向 量 a 的 两个方向余弦为 ， cos ， 3 3
又 a 6 ， 求 向 量a 的 坐 标。
1 2 解：∵ cos cos cos 1 ， cos ， cos ， 3 3
2 2
求 分点C 的坐标。
z
M1
C
M2
解：设 分 点C 的坐标为( x, y,z ) ， 则有 M1C CM 2 ，
o
y
x
即 { x x1 , y y1 , z z1 } { x 2 x , y2 y , z 2 z } ，
故有 x x1 ( x2 x ) ， y y1 ( y2 y ) ， z z1 ( z2 z ) ，
§34 空间直角坐标系 及向量运算的坐标表示
7.2.1 空间直角坐标系
一、空间直角坐标系与点的坐标 三个坐标轴的正方向符合 右手系.
z
竖轴
z 轴， 即以右手握住 当右手的四个手指
从正向 x 轴以 角 2 度转向正向 y 轴
时，大拇指的指向 就是z 轴的正向.
定点 o
y 纵轴
横轴 x
空间直角坐标系
非零向量与三条坐标轴的正向的夹角称为方向角.
z
M2 M1
0 ,
0 , 0 .
第一节 空间直角坐标系
第一节 空间直角坐标系一、空间点的直角坐标1.坐标系和坐标（1）坐标系：以O 为公共原点，作三条互相垂直的数轴Ox 轴(横轴)，Oy 轴（纵轴），Oz 轴（竖轴），其中三条数轴符合右手规则。
我们把点O 叫做坐标原点，数轴Ox ，Oy ，Oz 统称为坐标轴。
xOy ，yOz ，zOx 三个坐标面。
三个坐标面将空间分成八个部分，每一部分称为一个卦限（如图1-1）图5-1-1 图5-1-2 （2）点的坐标：设M 为空间中一点，过M 点作三个平面分别垂直于三条坐标轴，它们与x 轴，y 轴，z 轴的交点依次为P ，Q ，R （图1-2），设P ，Q ，R 三点在三个坐标轴的坐标依次为x ,y ,z 。
空间一点M 就唯一地确定了一个有序数组(,,)x y z ，称为M 的直角坐标，x 、y 、z 分别称为点M 的横坐标，纵坐标和竖坐标，记为(,,)M x y z 。
二、两点间的距离设1111(,,)M x y z 、2222(,,)M x y z 为空间两点，我们可用两点的坐标来表达它们间的距离d 。
将1,M 2M 的坐标画出(图5-1-3)，有22221212d M M M N NM ==+222111M P M Q M R =++因为11221M P PP x x ==-11221M Q QQ y y ==- 12211z z R R R M -==所以12d M M ==特别地，(,,)M x y z 与原点(0,0,0)O 的距离为d OM ==第二节 向量代数一、向量的概念在日常生活中，我们经常会遇到两类不同的量，一类像距离、温度、体积、质量等，这一类量的共性是给出大小便可确定，我们称这种量为数量；而另一类如力、位移、速度、加速度等，这类量不仅要给出大小，还要给出它们的方向，才能确定下来，这种具有大小和方向的量称为向量。
1、向量的定义：既有大小又有方向的量叫做向量（或称矢量）.2、向量的表示：我们用有向线段来表示一个向量，其中，线段的方向表示向量的方向；线段的长度表示向量的大小。
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空间直角坐标系
a
1
提 问:
我们知道,在平面直角坐标系中,平面上任 意一点的位置都有唯一的坐标来表示.
那空间中任意一点的位置怎样用坐标来 表示?
a
2
下图是一个房间的示意图,下面来 探讨表示电灯位置的方法.
z
墙
墙 地面
4 3
1
O1
4
x
(4,5,3) 5y
a
3
一、空间直角坐标系建立 z
从空间某一个定点０
a
9
四、空间中点坐标公式
空 间 两 点 A(x1,y1,z1)B(x2,y2,z2)的 中 点 坐 标 为 (x1+x2,y1+y2,z1+z2)
222
例 2 ： A ( 1 ,2 ,4 ) ,B ( 0 ,2 ,5 ) 的 中 点 坐 标 为 （ 1 ， 2 ， 9 ） 22
A (0 ,1 ,4 )和 B 点 的 中 点 坐 标 为 C 为 （ 2 ， 3 ， 5 ） ， 求 B 点 的 坐 标 。
a
11
z
于x轴、y轴、z轴分别交于
P、R、Q(即点A在坐标平
R
面的射影)。点P、R、Q在
相应坐标轴上的坐标依次为
x,y,z则有序实数对（x,y,z）
叫做点M的坐标
o
P
x
M (x, y, z)
Qy
a
7
例 1 、 在 如 图 长 方 体 中 ， 已 知 O A=3,O C=4, O D ¢=2,试 求 其 顶 点 的 坐 标 。
z D'
C'
A'
B'
O
xA
B
Cy
a
8
z D'
A' O
xA
C' B'
Cy B
1.坐标平面内的点
xoy平面上的点表示为（x,y,0)
yoz平面上的点表示为（0,y,z)
xoz平面上的点表示为（x,0,z)
2.坐标轴上的点
x轴上的点表示为（x，0，0）
y轴上的点表示为（0，y，0）
z轴上的点表示为（立的坐标系
都是右手直角坐标系.
o
y
x
a
5
二、空间直角坐标系的画法:
z 1.X轴与y轴、x轴与z轴均成1350, 而z轴垂直于y轴．
2.y轴和z轴的单位长度相同， 1350 o
x轴上的单位长度为y轴（或z
1350
y
轴）的单位长度的一半． x
a
6
三、空间任一点坐标的求法
过点M作三个平面分别垂直
a
10
求下列各点的坐标
1 、 A ( 6 ,2 ,4 ) ,B ( 0 ,2 ,1 ) 的 中 点 坐 标 为 _ （_ _ 3_ ,2_ ,2.5）
2 、 A ( 3 ,1 ,4 ) ,B ( 1 ,2 ,8 ) 的 中 点 坐 标 为 _ （_ 2_ ,_ 1_ .5_ ,6）
3 、 A B 的 中 点 坐 标 为 (3 ,1 ,4 )， 其 中 B 点 坐 标 为 （ 0 ， 0 ， 0 ） ， 那 么 A 点 的 坐 标 为 _ （_ _ 6_ ,2_ ,_ 8_ ）
引三条互相垂直且有相
同单位长度的数轴，这 样就建立了空间直角坐
o
y
标系０－xyz． x
点Ｏ叫做坐标原点，x轴、y轴、z轴叫做
坐标轴，这三条坐标轴中每两条确定一个坐标
平面，分别称为xoy平面、 yoz平面、和 Zox
平面．
a
4
在空间直角坐标系中,让 右手拇指指向x轴的正方向， 食指指向y轴的正方向，若中 指指向z轴的正方向，则称这 个坐标系为右手直角坐标系．
a
1
提 问:
我们知道,在平面直角坐标系中,平面上任 意一点的位置都有唯一的坐标来表示.
那空间中任意一点的位置怎样用坐标来 表示?
a
2
下图是一个房间的示意图,下面来 探讨表示电灯位置的方法.
z
墙
墙 地面
4 3
1
O1
4
x
(4,5,3) 5y
a
3
一、空间直角坐标系建立 z
从空间某一个定点０
a
9
四、空间中点坐标公式
空 间 两 点 A(x1,y1,z1)B(x2,y2,z2)的 中 点 坐 标 为 (x1+x2,y1+y2,z1+z2)
222
例 2 ： A ( 1 ,2 ,4 ) ,B ( 0 ,2 ,5 ) 的 中 点 坐 标 为 （ 1 ， 2 ， 9 ） 22
A (0 ,1 ,4 )和 B 点 的 中 点 坐 标 为 C 为 （ 2 ， 3 ， 5 ） ， 求 B 点 的 坐 标 。
a
11
z
于x轴、y轴、z轴分别交于
P、R、Q(即点A在坐标平
R
面的射影)。点P、R、Q在
相应坐标轴上的坐标依次为
x,y,z则有序实数对（x,y,z）
叫做点M的坐标
o
P
x
M (x, y, z)
Qy
a
7
例 1 、 在 如 图 长 方 体 中 ， 已 知 O A=3,O C=4, O D ¢=2,试 求 其 顶 点 的 坐 标 。
z D'
C'
A'
B'
O
xA
B
Cy
a
8
z D'
A' O
xA
C' B'
Cy B
1.坐标平面内的点
xoy平面上的点表示为（x,y,0)
yoz平面上的点表示为（0,y,z)
xoz平面上的点表示为（x,0,z)
2.坐标轴上的点
x轴上的点表示为（x，0，0）
y轴上的点表示为（0，y，0）
z轴上的点表示为（立的坐标系
都是右手直角坐标系.
o
y
x
a
5
二、空间直角坐标系的画法:
z 1.X轴与y轴、x轴与z轴均成1350, 而z轴垂直于y轴．
2.y轴和z轴的单位长度相同， 1350 o
x轴上的单位长度为y轴（或z
1350
y
轴）的单位长度的一半． x
a
6
三、空间任一点坐标的求法
过点M作三个平面分别垂直
a
10
求下列各点的坐标
1 、 A ( 6 ,2 ,4 ) ,B ( 0 ,2 ,1 ) 的 中 点 坐 标 为 _ （_ _ 3_ ,2_ ,2.5）
2 、 A ( 3 ,1 ,4 ) ,B ( 1 ,2 ,8 ) 的 中 点 坐 标 为 _ （_ 2_ ,_ 1_ .5_ ,6）
3 、 A B 的 中 点 坐 标 为 (3 ,1 ,4 )， 其 中 B 点 坐 标 为 （ 0 ， 0 ， 0 ） ， 那 么 A 点 的 坐 标 为 _ （_ _ 6_ ,2_ ,_ 8_ ）
引三条互相垂直且有相
同单位长度的数轴，这 样就建立了空间直角坐
o
y
标系０－xyz． x
点Ｏ叫做坐标原点，x轴、y轴、z轴叫做
坐标轴，这三条坐标轴中每两条确定一个坐标
平面，分别称为xoy平面、 yoz平面、和 Zox
平面．
a
4
在空间直角坐标系中,让 右手拇指指向x轴的正方向， 食指指向y轴的正方向，若中 指指向z轴的正方向，则称这 个坐标系为右手直角坐标系．