《质点动力学》

三百年前，牛顿站在巨人的肩膀上，建
立了动力学三大定律和万有引力定律。若没
有后者，就不能充分显示前者的光辉。海王
星的发现，把牛顿力学推上荣耀的顶峰。
魔鬼的乌云并没有把牛顿力学推跨，她 在更加坚实的基础上确立了自己的使用范围。 宇宙时代，给牛顿力学带来了又一个繁花似 锦的春天。
2.1 牛顿运动定律
2.1.1 惯性定律和惯性参考系
牛顿第一定律： 一个质点，如果没有受到其他物体的作用，就将保持其
静止或匀速直线运动状态。 或者说 一个自由粒子永远静止或作匀速直线运动。
牛顿第一定律 指明了任何物体都具有保持其原有运动 状态不变的特性――惯性，因此又称第一定律为惯性定 律。实际上第一定律所描述的是力处于平衡时物体的运 动规律。
它定性地阐明了力的涵义，力是改变物体运动状 态的原因。
即 F G m1m2
G 6 .6 7 2 5 9 1 0 1 1 m 3k g 1s 2
r2
地球内的物体 m 所受地球的引力为
F
G
m m r2
P
r O
m 为地球上以地心为圆心的半径为 r 的球的质量。
重力：地球表面附近的物体因地球吸引而受到的力，
方向竖直向下。 忽略地球自转，则
转动稳定后，桶内水面为一凹面，试确定水面的形
状。
解：如图所示 F m2x tan
mg mg
由水面构成的曲面满足：
tan d y
dx
Y
N
F
mg X
因此有 d y 2 x d x
g
积分得：
y 2 x2 2g
水面为一旋转抛物面
2 2.4 质点的动量定理 . 2.4.1 动量定理 41、动量 （描述质点运动状态，矢量） P mv
d t
d t
F m a v a d t r v d t r t
物体受力的几种情况：
力是常数
F k
如：
力是位置的函数 F F x F kx
弹性力
力是时间的函数 F F t F A cos t 策动力
力是速度的函数 F F v F kv
阻尼力
2、解题步骤：
（1）隔离物体 将所研究的物体从周围的物体中隔离出来，单独画出
I y F y d m t2 s3 v i n m 0 1 s4 i v n F 5 y t
t 0.v 1 0 1 m 1 0s 2 v / 2 s m 0 m /2 s.5
vT v vTe m
Kt
v vT 1 e m
当 t vvT
ｔt ＝K m时ｖ＝ 0.63ｖ 2T
（收尾速度）
ｔK m时可认 v＝ 为 vT
例2-2：升降机内有一固定光滑斜面，倾角为，如
图物A对所体解地A示：沿设的。斜A加当相面速升对滑度降于下为机斜，以面求a匀的 A加a 对加速 地速aa面度00 上的为升加a时速＇Y，度质。量为ma的0N
一般情况下，s k 。在通常计算中，均可视为常
数，并且近似相等。
以自行车前后轮为例，说明摩擦力的方向。
v F
F Ａ
后轮 f
v F
B f 前轮
2.3 牛顿第二定律的应用 2
. 1、动力学的两大类问题
3
（1）已r 知 运r 动t求 力：v t d r a t d v F m a
（2）已知力求运动：
实验表明： fk k N
F
方向与相对滑动的方向相反。
f
静摩擦力：当两个物体相对静止但有相对滑动趋势时，接 触面间产生的摩擦力。
实验表明，最大静摩擦力为
说明：
fmax sN
（1） 静摩擦力在达到最大值之前，其大小始终与外力相等，
而且随外力的变化而变化。 （2）擦系数 取决于接触面的材料和表面的粗糙程度。
T
T
B 图2
在绳中任取一段l ，其质量
为 m ，如图3所示，根据牛顿第
二定律：
T1
l
T2T1ma
T2 图3
可见：重绳加速运动时，绳中各处的张力不等。 忽略绳的质量时，各点的张力才会相等。
（3）弹簧的弹力：又称弹性恢 复力。在弹性限度内，遵守胡 克定律：
F k x
F
k
o
x
x
4、摩擦力
滑动摩擦力：当物体间发生相对滑动时，在接触面上出现 的阻止物体间相对滑动的力。
可 见
力对时间的积累作用导致物体动量的变化。因此，冲量 的方向与动量增量的方向一致。如果力的方向不变，冲量的 方向才与力的方向一致。显然，当质点所受的合外力为零时， 动量守恒，它意味着质点作匀速直线运动。
动量定理的分量式： （对于二维运动）
Ix
t2 t1
Fxdt
p2x
p1x
Iy
t2 t1
Fydt
v2
30o
45o
n
v1
解：取挡板和球为研究对象，由 于作用时间很短，忽略重力影响。
y v2
设挡板对球的冲力为 F
O
则有： IFd tm v2m v1
30o 45o x n
取坐标系，将上式投影，有：
v1
I x F x d m t 2 c3 v o ( 0 m s 1 c4 v o ) 5 F x s t
W GmR2m mg
其中
3、弹性力
gGm R 2 980665ms2
物体受力形变时，有企图恢复原状的趋势，这种抵抗外 力而力图恢复原状的力称为弹性力。
常见三种表现形式：
（1）压力：两个物体由于积压彼此 发生形变，产生对对方的弹力，称为 压力或支持力，其方向与接触面垂直。
N1
N2
如图所示，墙壁对细杆的压力 N 1 和支持力 N 2 。
自然坐标系：
Fmamd dvt, Fnmanmv2
极坐标系：
Fr
mar
d 2r
m
dt
2
r
d
dt
2
F
ma
mr
d 2
dt 2
2 dr d
dt dt
例2-1：计算一小球在水中竖直沉降的速度 ，已知
小的球阻质力量为为Ｒm＝ ，水－对v， 小Ｋ 式球中的K是浮一力常为量B，。水对小球运动
注意：冲量 I 的方向和瞬时力 F 的方向不同!
当力连续变化时
I＝ t2 F d t t1
3、质点的动量定理
根据牛顿第二定律： F d p dt
得，动量定理的微分式 Fdtdpdm v
动量定理的积分式
t1 t2Fdtpp12dpp2p1
即
It1 t2F dtp p 12dpp2p1
上式表明，质点所受的合外力在一段时间内的冲量，等 于这段时间内质点动量的增量。
平均冲力的概念。
F
1
t2
Fdt
t2 t1 t1
解题步骤：
1）确定研究对象（质点） 2）进行受力分析 3）应用动量定理列方程：采用几何法，利用（1）式求 解；或采用解析法，利用（2）式求解。
例2.4.1、质量为2.5g的乒乓 球以10 m/s 的速率飞来，被 板推挡后，又以 20 m/s 的速 率飞出。设两速度在垂直于 板面的同一平面内，且它们 与板面法线的夹角分别为 45o 和30o，求：（1）乒乓 球得到的冲量；（2）若撞 击时间为0.01s，求板施于球 的平均冲力的大小和方向。
它的受力图。
（2）受力分析 按重力、弹力、摩擦力的顺序分析物体的受力情况，画 出受力图。
（3）选取坐标系 根据物体的运动情况，选取适当的坐标系。若不知
轨道，取直角坐标系；若已知运动轨道，可取自然坐标 系；若物体作有心运动，取极坐标系。
（4）列方程，求解（对二维运动）
直角坐标系：
F xm axm d d v tx, F ym aym d d vty
2.
F
是作用在质点上各力的矢量和。
3. 在一般情况下力 F 是一个变力
4、质量是物体惯性的量度，称为惯性质量。
5、牛顿第二定律只适用于质点的运动，适用于宏观低 速的惯性系。
2.1.4 牛顿第三定律
表述：当物体 A 给物体 B 一个作用力 F 1 时，物体 B 也必 定同时给物体 A 一个反作用力 F 2 ；作用力与反作用力大小
惯性系： 满足牛顿第一定律的参照系
非惯性系：牛顿第一定律不成立的参考系
a
甲
A
乙
甲看A:满足第一定律 乙看A:不满足第一定律
甲是惯性系， 乙是非惯性系
一个参考系是不是惯性系,只能由实验确定。
天体运动的研究指出：以太阳中心为原点,以指向某些恒 星的直线为坐标轴,则所观察到的天文现象都与 牛顿定律和 万有引力定律推出的结论相符合,因此,这样的日心参考系是 惯性系。
解 ：受力分析如图所示： 根据牛顿第二定律，有
G－B－R＝ｍa
即a： ＝ ｄ ｄ vt＝ mｇ－ m B－ Kv
令： vＴ＝mｇK－B
Ｂ Ｒ
x
a
Ｇ
分离变量得：
vＴｄ－vv＝Ｋmｄt
初始条件：t=0 时 v=0
积分得：
v d v t K d t
0 vT v 0 m
lnvT v Kt
vT
m
Kt
相等，方向相反，而且作用在同一条直线上。即
讨论：
F1 F2
指出了力的起源：力是物体间的相互作用。
力总是成对出现，同时产生，同时消失，没有主从之分。 （该性质只实用于接触力和“超距力”。）
作用力与反作用力大小相等，方向相反，分别作用 在两个不同的物体上，而且属于同一性质的力。
第三定律不涉及物体的运动，与参照系无关，无论 在惯性系还是非惯性系中均成立。
由于分子或原子都是由电荷组成的，它们之间的作用 力属于电磁力。
强相互作用力：强相互作用力存在于核子、介子、超子 等粒子之间的一种相互作用力，作用范围约在10-15米量 级, 比库仑力大约102 量级。
弱相互作用力：粒子之间的另一种作用力，力程短、力 弱，约为强相互作用的10－13 量级.弱相互作用导致衰 变。
接触是产生弹性力的必要条件，而不是充分条件。
例：如图所示，试
分析静止圆球所受
N
的力。
圆球和斜面虽有接触但球与
斜面之间无相互作用的弹力。
G
（2）拉力：绳或线对物体的拉
力f ，其方向总是沿着绳而指向
P
f
绳要收缩的方向 ，如图1所示。
图1
绳被拉紧时， 绳的内部各段
之间的相互作用力T称为张力。如
A
图2 所示，绳中P点的张力T为A和 B两部分之间的相互作用力 。
研究人造地球卫星和远程导弹的运动，地心参考系是近 似程度相当好的惯性系。
在研究地球表面附近物体的运动时，地面系（或固定在 地面上的物体）就是近似程度相当好的惯性系。
Z 地面系
日心系
oY
X 地心系
2.1.2 力的概念
引力：存在于任何两个物体间的吸引力。是长程力。
电磁力：存在于静止电荷间的电性力及存在于运动电荷 间的电性力和磁性力，总称为电磁力。也是长程力。
2.1.3 牛顿第二定律
一般表述：物体受到外力作用时，所获得的加速度的大 小与合外力的大小成正比，与物体的质量成反比，其方
向与合外力的方向相同。即 Fma
牛顿自述：
运动的变化与所加的动力成正比，并且发生在这力
所沿直线的方向上。
来自百度文库a F
d
(mv) 宏观低速运动情况下，m不变
dt
注意
1. 上式是一个瞬时关系式，即等式两边的各物理量 都是同一时刻的物理量。
质点动力学研究的是质点运动与力的关 系。本章学习的基本规律是牛顿定律以及由 此推出的三个质点运动定理：动量定理、动 能定理和角动量定理。重点学习这些基本规 律的应用。
自然和自然规律隐藏在黑暗之中，上帝 说“让牛顿降生吧”，一切就有了光明； 但是，光明并不久长，魔鬼又出现了，上 帝咆哮说：“让爱因斯坦降生吧”，就恢 复到现在这个样子。
p2 y
p1y
注意：动量为状态量，冲量为过程量。
2.4.2 动量定理的应用
冲力的特点：作用时间极短，作用 力极大而且变化很快，如图所示。 因此，动量定理主要解决打击、碰 撞一类问题 ，这里重点强调其矢量 性。
F
F
Ｏ ｔ１
ｔ２ ｔ
平均冲力： 根据动量定理，质点动量的改变主要是由
碰撞过程中的冲量来决定。为了估计冲力的大小，引入
2 2.2 力学中常见的力
行星
.21、开普勒行星三定律:
太阳
（1）行星的轨道是椭圆，太阳位于椭圆的一个焦点上。
（2）行星的矢径在相等的时间内扫过相等的面积。
（3）行星公转周期的平方与它们轨道半长径的立方成正比。
即
T2 a3
恒量
（恒量值决定于中心天体的质量 ）
2、万有引力和重力
万有引力：存在于任何两个物体之间的吸引力。
ax＝ax＝acos
a'
mg
ay＝ay a０＝a０asin
根据牛顿第二定律，有
Nsin ＝ m aco s Nco － sm ｇ＝ m a０ － asin
a
X
a
a0
得：
a＝ g ＋ a ０ sin α
ax＝g＋a０sincos
ay＝a０co２ s－gsi２ n
郭郭琴琴溪例溪: : 2-3：一桶水绕竖直对称轴转动，角速度 恒定，
大小：mv 方向：速度的方向 单位：kg ·m/s 量纲：MLT－1
2、冲量 （力的作用对时间的积累，矢量） I
方向：速度变化的方向
单位：N·s
量纲：MLT－1
（1） 常力的冲量
I Ft
（2） 变力的冲量
F2 t2
Fi ti
F1 t1
Fn tn
I
I F 1 t 1 F 2 t 2 F n t n F i t i i