时间序列中常用预测方法

∞
∑ S (1) t
=α
(1− α ) j yt− j
j=0
由此可见
S (1) t
实际上是
yt ,
yt−1," yt− j ," 的 加 权 平 均 。 加 权 系 数 分 别 为
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α, α (1−α ), α (1−α )2,", 是按几何级数衰减的，愈近的数据，权数愈大，愈远的
=
2M
(1) t
−
M
( t
2)
,
bt
=
N
2 −
1
(M
(1) t
−
M
( t
2)
)
在实际应用移动平均法时，移动平均项数 N 的选择十分关键，它取决于预
测目标和实际数据的变化规律。
1.3 应用举例
已知某商场 1978～1998 年的年销售额如下表所示，试预测 1999 年该商场的 年销售额。
年份
销售额 年份
图2 从图 8－2 可以看出，该商场的年销售额具有明显的线性增长趋势。因此要进 行预测，还必须先作二次移动平均，再建立直线趋势的预测模型。而利用 Excel 2000 提供的移动平均工具只能作一次移动平均，所以在一次移动平均的基础上 再进行移动平均即可。 二次移动平均的方法同上，求出的二次移动平均值及实际值与二次移动平均
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S (3) t
=
α St(2)
+
(1 − α )St(−31)
三次指数平滑法的预测模型为：
其中：
yˆt+T = at + btT + ctT 2 T = 1, 2, "
at
= 3St(1)
− 3St(2)
+
S (3) t
,
bt
=
α2 2(1−α )2
[(6 − 5α )St(1)
选择工具菜单中的数据分析命令，此时弹出数据分析对话框。
在分析工具列表框中，选择移动平均工具。
这时将弹出移动平均对话框，如图 8－1 所示。 在输入框中指定输入参数。在输入区域框中指定统计数据所在区域 B1:B22； 因指定的输入区域包含标志行，所以选中标志位于第一行复选框；在间隔框内键
入移动平均的项数 5（根据数据的变化规律，本例选取移动平均项数 N=5）。 在输出选项框内指定输出选项。可以选择输出到当前工作表的某个单元格区
式中 t 为当前时期数；T 为由当前时期数 t 到预测期的时期数； 为第 t + T 期
的预测值； at 为截距， bt 为斜率，其计算公式为：
at = 2St(1) − St(2) ,
bt
=
α 1− α
(
S (1) t
− St(2) )
2.3 三次指数平滑法
若时间序列的变动呈现出二次曲线趋势，则需要用三次指数平滑法。三次指 数平滑是在二次指数平滑的基础上再进行一次平滑，其计算公式为：
−
2(5
−
4α
)
S (2) t
+ (4 − 3α )St(3) ]
ct
=
α2 2(1−α )2
[St(1)
− 2St(2)
+
S (3) t
]
2.4 加权系数的选择
在指数平滑法中，预测成功的关键是α 的选择。α 的大小规定了在新预测值 中新数据和原预测值所占的比例。α 值愈大，新数据所占的比重就愈大，原预测 值所占比重就愈小，反之亦然。
根据平滑次数不同，指数平滑法分为：一次指数平滑法、二次指数平滑法和 三次指数平滑法等。但它们的基本思想都是：预测值是以前观测值的加权和，且 对不同的数据给予不同的权，新数据给较大的权，旧数据给较小的权。
2.1 一次指数平滑法 设时间序列为 y1, y2 " yt "，则一次指数平滑公式为：
S (1) t
已知某厂 1978～1998 年的钢产量如下表所示，试预测 1999 年该厂的钢产量。
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年份
钢产量
年份
钢产量
1978
676
1989
2031
1979
825
1990
2234
1980
774
1991
2566
1981
716
1992
2820
1982
940
1993
3006
1983
1159
=α
yt
+ (1− α )St(−11)
式中
S (1) t
为第
t 周期的一次指数平滑值；α 为加权系数，0 < α < 1。 为了弄清指
t −1
∑ 数平滑的实质，将上述公式依次展开，可得：
S (1) t
=α
(1−α ) j
yt− j
+ (1−α )t
S (1) 0
j=0
由于 0 < α < 1，当 t → ∞ 时， (1−α )t → 0 ，于是上述公式变为
图5 从图 8－5 可以看出，钢产量具有明显的线性增长趋势。因此需使用二次指 平滑法，即在一次指数平滑的基础上再进行指数平滑。所得结果如图 8－6 所示。
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图6
利用前面的截距 和斜率 计算公式可得：
a21
=
2S2(11)
−
S (2) 21
=
2× 3665.47
−
3336.01
=
3994.9
b21
=
0.3 1 − 0.3
(S2(11)
−
S (2) 21
)
=
0.3 0.7
(3665.47
−
3336.01)
yˆt+T = at + btT 式中 t 为当前时期数；T 为由当前时期数 t 到预测期的时期数，即 t 以后模型外推
的时间； yˆt+T 为第 t + T 期的预测值； at 为截距； bt 为斜率。 at ， bt 又称为平滑 系数。
根据移动平均值可得截距 at 和斜率 bt 的计算公式为：
at
为第 t
周期的观测值；N
为移动平
均的项数，即求每一移动平均数使用的观察值的个数。
这个公式表明当 t 向前移动一个时期，就增加一个新近数据，去掉一个远期数
据，得到一个新的平均数。由于它不断地“吐故纳新”，逐期向前移动，所以称为
移动平均法。
由于移动平均可以平滑数据，消除周期变动和不规则变动的影响，使得长期
图4 在输入框中指定输入参数。在输入区域指定数据所在的单元格区域 B1:B22； 因指定的输入区域包含标志行，所以选中标志复选框；在阻尼系数指定加权系数 0.3。 在输出选项框中指定输出选项。本例选择输出区域，并指定输出到当前工作
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表以 C2 为左上角的单元格区域；选中图表输出复选框。单击确定按钮。 这时，Excel 给出一次指数平滑值，如图 8－5 所示。
在实际应用中， α 值是根据时间序列的变化特性来选取的。若时间序列的波 动不大，比较平稳，则α 应取小一些，如 0.1− 0.3 ；若时间序列具有迅速且明显 的变动倾向，则α 应取大一些，如 0.6 − 0.9 。实质上，α 是一个经验数据，通过 多个α 值进行试算比较而定，哪个α 值引起的预测误差小，就采用哪个。 2..5 应用举例
值的拟合曲线，如图 8－3 所示。 再利用前面所讲的截距 和斜率 计算公式
可得：
a21
=
2M
(1) 21
−
M (2) 21
= 1× 96.4
− 88.96
= 103.84
b21
=
5
2 −
1
(
M
(1) 21
−
M
(2) 21
)
=
2 5
(96.4
− 88.96)
=
3.72
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图3 于是可得 t = 21 时的直线趋势预测模型为：
域、新工作表或是新工作簿。本例选定输出区域，并键入输出区域左上角单元格
地址 C2；选中图表输出复选框。若需要输出实际值与一次移动平均值之差，还 可以选中标准误差复选框。 单击确定按钮。
这时，Excel 给出一次移动平均的计算结果及实际值与一次移动平均值的曲线 图，如图 8－2 所示。
图1
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2.2 二次指数平滑法
当时间序列没有明显的趋势变动时，使用第 t 周期一次指数平滑就能直接预 测第 t+1 期之值。但当时间序列的变动出现直线趋势时，用一次指数平滑法来预 测仍存在着明显的滞后偏差。因此，也需要进行修正。修正的方法也是在一次指 数平滑的基础上再作二次指数平滑，利用滞后偏差的规律找出曲线的发展方向和 发展趋势，然后建立直线趋势预测模型。故称为二次指数平滑法。
1.1. 简单移动平均法
设有一时间序列 y1, y2 " yt " 则按数据点的顺序逐点推移求出 N 个数的平均
数，即可得到一次移动平均数：
M (1) t
=
yt
+
yt−1 + " + N
yt−N +1
=
M (1) t −1
+
yt
− yt−N N
,
t≥N
式中
M (1) t
为第 t
周期的一次移动平均数； yt
(1) t
，则二次移动平均数
M
( t
2)
的计算公式为：
M (2) t