在图像处理中广泛应用二维正交变换
数字图像的频域处理
２ ． ４ 自适应 同态滤波 。 由于大气条件影响 ， 云覆盖是遥感图像的 频域处理是指根据一定的 图像模型 ， 对图像频谱进行不 同程度 最 大干扰 因素 ， 因此去除云噪声对于在图像分析之前 提高图像 质量 是非常重要 的。因为薄云在遥感 图像 中是低频分量 ， 同态滤波可以 修改的技术， 通常作如下假设 ： 用来去除薄 云。传统方法用整个 图像进行处理 ， 不仅耗时而且会破 ｆ １ ） 引起 图像质量 下降的噪声 占频谱的高频段； 坏无云 区域 。文献 ４提出了一种 自适应 同态滤波方法 。首先用 （ ２ ） 图像边缘 占高频段 ； Ｌ Ｉ Ｓ Ａ分析法提取云覆盖区域 ，然后通过计算 Ｄ Ｎ值来确定云厚度 ， （ ３ １ 图像 主体或灰度缓变区域 占低频段 。 基 于这些假设 ， 可 以对 频谱 的各个频段进行有选择性 的修改 。 和不同的截取频率 ，最后用 同态 滤波器用不 同的截 止频率进行 滤 二维正交变换是 图像处理 中常用 的变换， 其 特点是变换结果 的能量 波 。 分布向低频成份方 向集 中，图像的边缘，线条在高频成份上得到反 ２ ． ５ 图像编码 。压缩 的基本思想是正确表示图像时试图减少每 映， 因此正交变换在图像处理 中得到广泛运用。Ｆ Ｏ Ｕ Ｒ Ｉ Ｅ Ｒ作为一种 像 素的位数 ，图像压缩在大型医学 图像 和卫 星图像 中需求非 常大 ， 典型 的正交变换 ， 在数学上有 比较成熟和快速 的处理方法 。一般上 表现在存储代价和传输效率上 。编码 策略分为有损和无损类型。无 认为空 域的平滑处理对应 于频域的低通滤波而 空域 的锐化 处理对 损编码通常压缩率 比较低 ， 比如霍夫曼和算术编码 。基于傅里叶变 应 于高通滤波 。在压缩 编码 上往往舍弃高频分 量 的系数来 实现压 换的压缩方法 ， Ｄ Ｃ Ｔ或 Ｄ Ｆ Ｔ在研究低频 自然 图像时是有效率的。但 缩。 是这些变换 的很 多缺点是基函数很 长。 这在高精度下的低频 系数编 ２ 频域 图像 处理最新研究与应用 码上没有很 大问题 。 但是 ， 高频分量系数是粗糙量化的 ， 导致 图像重 ２ ． １图像融合与高通滤波 。一些 商用地球观测卫星带有 双分辨 建时边界质量会 比较低 。尖锐 的边界是用很多系数来表示 的， 全 部 率传感器 ， 能够提供空 间上全色 的高分辨率 图像 和多谱低分辨率 图 保 留才能有很高的保 真度 。 另外 ， 图像一般是非平稳的 ， 不 同区域有 像 。图像融合技术 用来将高分辨率谱 图像 和高分辨 率空间 图像 集 不 同的统计特性 ， 全部变换会损失非平稳 性 ， 在压缩效果上并不好 。 成， 产生 的融合图像既有谱 的高分辨 率也 有空间高分辨率。一些 图 文献 ５比较 了 Ｄ Ｃ Ｔ和小波在 图像编码 中的性能嗍 ， 实验 表明两种方 像融合方 法包 括 Ｉ Ｈ Ｓ ， Ｐ Ｃ和 Ｂ Ｔ提供 了优秀 的视 觉高分辨率 的多谱 法都 有能量相对凝结特性。 图像但是忽略了对高质量 的谱信息综合的需 求。 高质量 的谱信息综 ３ 结 论 合对大多数的基于谱 信号 的遥感应用是非常重要 的。 另一类 图像融 频域方法提供了认识和处理问题的另一种视角 ， 在一个域 中难 合技术 如高通滤波器在将从 空间高分辨率 多色图 中高频分 量注人 以处理 的问题 ， 也许在变 换域 中相对容易解决 ， 或能提 供解决 问题 多谱 图中， 再进行操作 。 这类方法提供 了很少的谱 失真。 实验 表明这 的思路。 本文中的新 的研究动态都是在传 统频域理论 的基础上进行 类方法保持 了谱特性的同事提高了其他性能 。【 １ Ｊ 扩展完善 和应 用 ， 所 以在 平时学习研究 中 ， 不仅要 紧跟最新 的研 究 ２ ． ２图像分辨率增强 与频谱修改 。现在用户对高分辨率的图像 动 向， 也要扎实打好基础 ， 才能更好 的理解解决 问题 的思路和原理 ， 和产 品需求很高 ， 在很多情况 下我们通过手机设 备传输 图像 ， 在传 才能为创新发展提供思路 。 输过程 中高分辨率 的图像通常被压缩以减少传输数据量。 实际上图 参考文献 像 已经被损坏 了，所 以图像分辨率增强技术的研究是非常必要 的。 ［ １ １ ］ Ｍｅ ｔ ｗ ａ ｌ ｌ ｉ ， Ｍ． Ｒ ．Ｉ ｍ ａ ｇ ｅ ｆ ｕ ｓ ｉ ｏ ｎ ｂ ａ ｓ ｅ ｄ ｏ ｎ ｐ ｉ ｒ ｎ ｃ ｉ ｐ ａ ｌ ｃ ｏ ｍ ｐ ｏ ｎ ｅ ｎ ｔ ｎ ａ ｌ ｙ ｓ ｉ ｓ ａ ｎ ｄ ｈ ｉ ｇ ｈ－ ｐ ａ ｓ ｓ ｆ ｉ ｌ ｔ ｅ ｒ ．Ｃ ｏ ｍｐ ｕ ｔ ｅ ｒ Ｅ ｎ ｇ ｉ ｎ ｅ ｅ ｉｎ ｒ ｇ ＆ Ｓ ｙ ｓ ｔ ｅ ｍｓ ． 图像插值 和高分辨率 图像重建通常是图像放 大的方法 。 文献 ２提出 ａ 了一种通过加 强低 分辨率 图像 的高频 成分来达到增 强 图像分辨 率 ２ ０ １ １ ．Ｉ Ｃ ＣＥ Ｓ ２ ０ ０ ９ ．Ｉ ｎ ｔ ｅ ｒ ｎ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ａ ｌ 的方法 ， 实验 表明这种方法的性能相 比传统 的插值法 能提高 １ ３ — ２ ５ 【 ２ ］ Ｊ ｅ ｏ ｎ ｇ Ｈｏ Ｌ ｅ ｅ ， Ｋ ｉ Ｔ ａ ｅ Ｐ ａ ｒ ｋ ． Ｉ ｍ ａ ｇ ｅ Ｒ ｅ ｓ ｏ ｌ ｕ ｔ ｉ ｏ ｎ Ｅ ｎ ｈ ａ ｎ ｃ ｅ ｍ ｅ ｎ ｔ ｂ ｙ 个百分点 圆 。 Ｍｏ ｄ ｉ ｆ ｙ ｉ ｎ ｇ ｔ ｈ ｅ Ｆ ｒ ｅ ｑ ｕ ｅ ｎ ｃ ｙ Ｓ ｐ ｅ ｃ ｔ ｒ ｕ ｍ． ２ ０ １ １ Ｉ ＥＥ Ｅ Ｉ ｎ ｔ ｅ ｒ ｎ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ａ ｌ ｃ ｏ ｎ ｆ ｅ ｒ —
【数字图像处理】部分答案第一章到第五章
第一章习题基本概念2007-12-29 16:251.什么是图像？模拟图像与数字图像有什么区别？答：1）图像是对客观存在的物体的一种相似性的、生动的写真或描述。
2）模拟图像在数学上主要用连续函数来描述，主要特点表现为图像的光照位置和光照强度均为连续变化的。
数字图像主要用矩阵或数组来描述。
以往的胶片成象就是模拟的图象，它反映了事物在连续空间上的特征，而现在的数码相机成象就是数字图象，它反映了事物在离散空间上的特征，也可以说模拟图象经过抽样和量化就可以转化为数字图象。
而数字图象是随着计算机和数字技术发展起来的新的表现或再现外界事物的方式。
2.模拟图像处理与数字图像处理主要区别表现在哪些方面？答: 1)数学描述方法：模拟图像主要用连续数学方法，数字图像主要用离散数学方法。
2)图像分辨率表示：数字图像分辨率是指反映整个图像画面垂直和水平方向像素数乘积。
模拟图像分辨率是指反映整个画面最多的扫描线数。
3)图像处理：数字图像是通过对模拟图像采样，量化等处理获得的，模拟图像处理的方式很少，往往只能进行简单的放大、缩小等，而数字图像的处理方式可以非常精确、灵活。
数字图像处理再现性好，模拟图像的保存性较差，时间长了会有所变化，而数字图像不会因为保存、传输或复制而产生图像质量上的变化。
但数字图像处理速度较慢，存储容量大。
4)图像传输：模拟图像以实物为载体，传输相对困难，而数字图像以数字信息为载体，传输相对较快3.图像处理学包括哪几个层次？各层次间有何区别和联系？答：图像处理学包含3个层次：图像处理，图像分析和图像理解。
图像处理是比较底层的操作，它主要在图像像素级上进行处理，处理的数据量大。
图像分析，则进入了中层，分割和特征提取把原来以像素描述的图像转变成比较简洁的对目标的描述。
图像理解主要是高层操作，操作对象的基本上是从描述中抽象出来的符号，其处理过程和方法与人类的思维推理有许多类似之处。
各层次之间起着相辅相承联系，高层指导底层操作，底层为高层服务，中层起着桥梁的作用，为底层和高层联系起衔接作用。
2维傅里叶级数-概述说明以及解释
2维傅里叶级数-概述说明以及解释1.引言概述部分的内容可以按照以下方式编写：1.1 概述2维傅里叶级数是一种描述二维平面上信号的数学工具，它可以将一个复杂的二维信号分解为一系列简单的正弦和余弦函数。
这种分解是基于傅里叶分析的原理，通过将信号投影到不同频率的正交基函数上，我们可以获取信号在不同频率成分上的信息。
2维傅里叶级数的重要性在于它提供了一种有效的信号分析和处理方法。
通过对信号进行傅里叶级数变换，我们可以得到信号的频谱信息，从而了解信号的频率成分和强度分布。
这对于理解信号的周期性、振幅、相位等特性非常有帮助。
此外，2维傅里叶级数还广泛应用于图像处理、通信系统、信号压缩、数学建模等领域。
例如，在图像处理中，通过对图像进行傅里叶变换，可以将图像分解为不同频率的正弦和余弦函数，从而实现图像的滤波、边缘检测、纹理分析等操作。
本文将从2维傅里叶级数的定义和原理开始，介绍傅里叶级数的数学模型和相关定理。
然后，我们将探讨2维傅里叶级数在实际应用中的重要性，介绍一些典型的应用案例。
最后，我们将总结2维傅里叶级数的重要性和应用，并展望未来2维傅里叶级数的研究方向。
通过本文的阅读，读者将能够对2维傅里叶级数有一个全面的了解，理解其在信号处理领域的重要性和广泛应用。
同时，读者也可以了解到当前2维傅里叶级数研究的热点问题和未来发展方向。
1.2文章结构文章结构是指文章在内容组织上的整体安排和分布。
一个良好的文章结构可以使读者更好地理解文章的逻辑和思路，有助于文章的连贯性和条理性。
本文将按照以下结构进行叙述：1. 引言1.1 概述在这一部分，将介绍2维傅里叶级数的背景和基本概念。
首先，简要介绍傅里叶级数的定义和原理。
接着，说明2维傅里叶级数在信号处理、图像处理等领域的广泛应用及其重要性。
1.2 文章结构这一部分将详细介绍本文的组织结构。
首先，将介绍2维傅里叶级数的定义和原理，包括如何将二维函数表示为傅里叶级数的形式以及相应的系数计算方法。
离散余弦变换是图像处理中常用的正交变换
离散余弦变换是图像处理中常用的正交变换
，
如今，离散余弦变换在生活娱乐中也越来越受到重视。
离散余弦变换（DCT）
是一种从图像或音频信号中提取特征的强大手段，也是图像处理中经常使用的正交变换。
用来压缩静帧、图像及其它信号，使其二进制变小，不仅可以显著地提高数据传输速率，而且可以有效地提高图像质量。
离散余弦变换可以将多维输入数据转换为更理想的高维特征表示，从而获得更
有效的结果。
它把由八个及以上的样点组成的抽样二维信号拆分为基本元素，其特征表示更加紧凑。
换句话说，离散余弦变换可以以有效的方式提取图像的主要特征，从而有效地提高图像压缩和传输的质量。
另外，离散余弦变换还是探究图像匹配，特征提取，图像分类和图像融合等图
像处理方面重要的工具。
它可以将一幅图像分解成基本特征因子，使得图像内部的内容变得清晰可见，并且可以有效地用来检测图像的细节信息。
因此，离散余弦变换技术能够帮助人们解决视觉工程中的很多棘手问题，同时也拓宽了人们探索生活娱乐方面的视野。
离散余弦变换不仅对图像处理有着重要的意义，还可以用于媒体处理，消费类
电子类等方面。
许多消费电子设备都利用离散余弦变换来实现图像压缩、视频抽帧等，使多媒体设备更加具有可持续性及具有更优质的性能。
总之，离散余弦变换技术在图像处理、媒体处理、消费电子等领域的重要性越
来越受到人们的重视。
它能够抓住图像的主要特征以及其内部信息，这正是当今技术发展最需要突破的关键。
它可以使生活更加便利，进一步提高娱乐质量，这正是离散余弦变换无可比拟的价值所在。
数字图像处理中的常用变换
一、离散傅里叶变换1.离散傅里叶变换的特点离散傅里叶变换（DFT），是连续傅里叶变换在时域和频域上都离散的形式，将时域信号的采样变换为在离散时间傅里叶变换（DTFT）频域的采样。
在形式上，变换两端（时域和频域上）的序列是有限长的，而实际上这两组序列都应当被认为是离散周期信号的主值序列。
即使对无限长的离散信号作DFT，也应当将其看作经过周期延拓成为周期信号再作变换。
在实际应用中通常采用快速傅里叶变换以高效计算DFT。
DFT将空域变换到频域，很容易了解到图像的各空间频域的成分。
DFT的应用十分广泛，如：图像的特征提取、空间频率域滤波、图像恢复和纹理分析等。
2.离散傅里叶变换的性质1）线性性质2）比例性质3）可分离性4）平移性质5）图像中心化6）周期性7）共轭对称性8）旋转不变性9）卷积定理10）平均值二、离散余弦变换1.离散余弦变换简介为了快速有效地对图像进行处理和分析，常通过正交变换将图像变换到频域，利用频域的特有性质进行处理。
传统的正交变换多是复变换，运算量大，不易实时处理。
随着数字图像处理技术的发展，出现了以离散余弦变换（DCT）为代表的一大类正弦型实变换，均具有快速算法。
目前DCT变换在数据压缩，图像分析，信号的稀疏表示等方面有着广泛的应用。
由于其变换矩阵的基向量很近似于托普利兹（Toeplitz ）矩阵的特征向量，而托普利兹矩阵又体现了人类语言及图像信号的相关特性，因此常被认为是对语音和图像信号的最佳变换。
对给定长度为N 的输入序列f(x)，它的DCT 变换定义为:⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯=∑-=102)12(cos )()(2)(N x N x x f u C N u F μπ式中：1,,1,0u -=N ，式中的)(u C 的满足：⎪⎩⎪⎨⎧==其它1021)(u u C在数字图像处理中，通常使用二维DCT 变换，正变换为:⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++⨯=∑∑-=-=10102)12(cos 2)12(cos ),()()(2),(N x N y N v y N u x y x f v C u C N v u F ππ 其逆变换IDCT 为:⎪⎭⎫ ⎝⎛++⨯=∑∑-=-=10102)12(cos 2)12(cos ),()()(2),(N u N v N v y N u x v u F v C u C N y x f ππ 式中：1,,1,0u -=N ，1,,1,0v -=N 。
图像频域处理的概述
摘要图像的频域处理是指根据一定的图像模型，对图像频谱进行不同程度修改的技术。
二维正交变换是图像处理中常用的变换，其特点是变换结果的能量分布向低频成份方向集中，图像的边缘、线条在高频成份上得到反映，因此正交变换在图像处理中得到广泛运用。
傅里叶作为一种典型的正交变换，在数学上有比较成熟和快速的处理方法。
卷积特性是傅里叶变换性质之一，由于它在通信系统和信号处理中的重要地位－－应用最广。
在用频域方法进行卷积过程中尤其要注意傅里叶变换的周期性，注意周期延拓的重要作用，本次课设将对此作详细的介绍。
关键字：频域处理，二维傅里叶变换，卷积，周期延拓1 图像频域处理的概述图像的频率是表征图像中灰度变化剧烈程度的指标，是灰度在平面空间上的梯度。
如大面积的沙漠在图像中是一片灰度变化缓慢的区域，对应的频率值很低；而对于地表属性变化剧烈的边缘区域在图像中是一片灰度变化剧烈的区域，对应的频率值较高。
频域处理是指根据一定的图像模型，对图像频谱进行不同程度修改的技术，通常作如下假设：1)引起图像质量下降的噪声占频谱的高频段；2)图像边缘占高频段；3)图像主体或灰度缓变区域占低频段。
基于这些假设，可以在频谱的各个频段进行有选择性的修改。
为什么要在频率域研究图像增强（1）可以利用频率成分和图像外表之间的对应关系。
一些在空间域表述困难的增强任务，在频率域中变得非常普通。
（2）滤波在频率域更为直观，它可以解释空间域滤波的某些性质。
（3）可以在频率域指定滤波器，做反变换，然后在空间域使用结果滤波器作为空间域滤波器的指导。
（4）一旦通过频率域试验选择了空间滤波，通常实施都在空间域进行。
2 二维傅里叶变换由于图像的频率是表征图像中灰度变化剧烈程度的指标，是灰度在平面空间上的梯度。
傅立叶变换在实际中的物理意义，设f 是一个能量有限的模拟信号，则其傅立叶变换就表示f 的谱。
从纯粹的数学意义上看，傅立叶变换是将一个函数转换为一系列周期函数来处理的。
《数字图像处理》习题参考答案
1《数字图像处理》 习题参考答案第1章概述1.1连续图像和数字图像如何相互转换？答：数字图像将图像看成是许多大小相同、形状一致的像素组成。
这样，数字图像可以用二维矩阵表示。
将自然界的图像通过光学系统成像并由电子器件或系统转化为模拟图像 （连续图像）信号，再由模拟 /数字转化器（ADC ）得到原始的数字图像信号。
图像的数字化包括离散和量化两个主要步骤。
在空间将连续坐标过程称为离散化，而进一步将图像的幅度值（可能是灰度或色彩）整数化的过程称为量化。
1.2采用数字图像处理有何优点？答：数字图像处理与光学等模拟方式相比具有以下鲜明的特点：1 •具有数字信号处理技术共有的特点。
（1）处理精度高。
（2）重现性能好。
（3）灵活性高。
2•数字图像处理后的图像是供人观察和评价的，也可能作为机器视觉的预处理结果。
3•数字图像处理技术适用面宽。
4 •数字图像处理技术综合性强。
1.3数字图像处理主要包括哪些研究内容？答：图像处理的任务是将客观世界的景象进行获取并转化为数字图像、进行增强、变换、编码、恢复、重建、编码和压缩、分割等处理，它将一幅图像转化为另一幅具有新的意义的 图像。
1.4讨论数字图像处理系统的组成。
列举你熟悉的图像处理系统并分析它们的组成和功能。
答：如图1.8,数字图像处理系统是应用计算机或专用数字设备对图像信息进行处理的 信息系统。
图像处理系统包括图像处理硬件和图像处理软件。
图像处理硬件主要由图像输入设备、图像运算处理设备（微计算机） 、图像存储器、图像输出设备等组成。
软件系统包括操作系统、控制软件及应用软件等。
1.5 常见的数字图像处理开发工具有哪些？各有什么特点？答.目前图像处理系统开发的主流工具为 Visual C++ （面向对象可视化集成工具）和 MATLAB 的图像t+W<住《l 塁希碎«IUIMEH 鼻爭■图1.8数字图像处理系统结构图处理工具箱（Image Processing Tool box ）。
论正交变换的理论基础及其在图像处理中的应用
滨江学院《计算机图像处理》课程设计报告题目论正交变换的理论基础及其在图像处理中的应用专业12计算机科学与技术学生姓名学号二Ｏ一五年六月十日目录1课程设计目的 (2)2课程设计要求 (2)3 正交变换的概述 (2)3.1 信号的正交分解 (2)3.2 正交变换的定义 (3)3.3 正交变换的分类 (4)3.4 正交变换的标准基 (4)3.4.1 一维DFT的标准基 (4)3.4.2 二维DFT (6)3.4.3 正交变换的标准基图像 (7)3.5 正交变换在图像处理中的应用 (8)6 总结 (9)7 参考文献 (9)1课程设计目的(1) 理解正交变换的基本概念及分类。
(2) 了解正交变换在图像处理中的应用2课程设计要求（1）掌握课程设计的相关知识、概念清晰。
（2）查阅资料，根据不同处理需求，设计完成对数字图像的处理与分析。
（3）熟练掌握matlab 软件的基本操作与处理命令。
（4）进一步理解数字图像处理与分析的过程与意义。
3 正交变换的概述3.1 信号的正交分解完备的内积空间称为希尔伯特空间。
折X 为一希尔伯特空间,φ1 ,φ2 , ⋯,φn 是X 空间中的一向量,如果它们是线性独立的,则称之为空间X 中的一组“基”。
某一信号x 就可以按这样的一组基向量作分解,即X=∑=Nn n n a 1φ （式3-1）式（3-1）中a 1 , a 2 , ⋯, a n 是分解系数, 它们是一组离散值。
假设φ1 ,φ2 , ⋯,φn 是一组两两互相正交的向量,则式(3-1) 称为x 的正交展开, 或正交分解。
系数a 1 , a 2 , ⋯, a N 是x 在各个基向量上的投影 ,若N=3 ,其含义如图3-1 所示。
图3-1 信号的正交分解3.2 正交变换的定义一维序列 }10),({-≤≤N x x f可以表示成一个N 维向量 [])1(),...,1(),0(-=N f f f T U 其酉变换可以表示为 AU V = 或 )(),()(10x f x u a u g N x ∑-==，10-≤≤N u 其中变换矩阵A 满足A A T *-=1（酉矩阵），若A 为实数阵，则满足A A T =-1，称为正交阵。
第3章 图像处理中的正交变换
3. 周期性 傅立叶变换和反变换均以N为周期，即：
F(u,v)=F(u+N,v)= F(u,v+N)=F(u+N,v+N) (3-24)
周期性表明： 尽管F(u,v）对无穷多个u和v的值重复出现， 但只要根据任意周期内的N个值就可以从F(u,v） 得到f(x,y)。即只需一个周期内的变换就可以将 F(u,v）完全确定。 对于f(x,y)在空间域里也同样成立。
1 M 1N 1 ux vy f ( x, y ) = ∑ F (u, v) exp j 2 M + N ∑ MN u=0 =0 x = 0,1,2,, M 1 y = 0,1,2,, N 1
(3—15)
在图像处理中，一般总是选择方形阵列，所以通常情 况下总是 M N 。因此，二维离散傅里叶变换多采 用下面两式形式。
(3—17) 式中符号 F (u , v) 可称为空间频率。
a) 原始图像
b) 离散傅立叶频谱
图3-5 二维图像及其离散傅立叶频谱的显示
在图3-5b中可以看到图像的低频能量（反映景物的概貌）都集 中在中心部分，而高频能量（反映景物的细节）集中在四周，这样 就便于以后对图像频谱进行各种处理（如滤波、降噪等）。
4. 共轭对称性
如果
F (u , v)
是
f ( x , y ) 的傅里叶变换， * (u,v) F
是 f ( x , y ) 傅里叶变换的共轭函数， 那么
F (u, v) F * (u,v)
（3－25）
5. 旋转性
如果空间域函数旋转的角度为 0 ，那么在 变换域中此函数的傅里叶变换也旋转同样的角度， 即
3.1.3 二维离散傅里叶变换的性质 1.可分离性 式（3－16）和（3－17）可以分离成如下形式：
第5章傅立叶变换与频域图像增强
1 F (u , v) N
x பைடு நூலகம் y 0
N 1
N 1
2(ux vy ) 2(ux vy ) f ( x, y )[cos( ) j sin( )] N N
F(u,v)通常是复数。
7
1 F (u , v) N
x 0 y 0
N 1 N 1
f ( x, y ) cos(
频谱图像|F(u,v)|特点：
低频部分集中了大部分能量；
F (0,0) N f
高频部分对应边缘和噪声等细节内容。
频域增强是通过改变图像中不同频率分量来实现的。 频域滤波器：不同的滤波器滤除的频率和保留的频率 不同，因而可获得不同的增强效果。
30
频域增强方法的三个步骤：
1.将图像从图像空间转换到频域空间（如傅里叶变换）；
x 0 y 0
N 1
N 1
ux vy f ( x, y ) exp[ j2( )] N
2(ux vy ) 2(ux vy ) f ( x, y )[cos( ) j sin( )] N N
x 0 y 0
N 1
N 1
F (u, v) R(u, v) jI (u, v) F (u, v) exp j (u, v)
f (x,y)、h (x,y)均补零扩充为P×Q，
P=2N-1;
Q=2N-1.
G(u, v) H (u, v) F (u, v) g ( x, y) : N N
图像进行傅立叶变换，需将其看作周期函数的一个 周期；
周期函数进行卷积，为避免周期折叠误差，需对函 数进行补零扩展。
图像信号的正交变换
定义
哈达玛变换是一种离散数学中的正交 变换，它将一个有限维的实数向量空 间映射到其自身，并保持向量的欧几 里得范数不变。
应用
哈达玛变换在图像处理、信号处理、数 据压缩等领域有广泛应用，特别是在图 像压缩编码中，可以有效地去除图像中 的冗余信息，提高图像压缩效率。
凯泽变换
定义
凯泽变换是一种离散数学中的正交变换，它将一个有限维的实数向量空间映射到其自身，并保持向量的欧几里得 范数不变。
小波变换在图像处理中的应用
01
02
03
图像压缩
小波变换可以将图像分解 成不同频率和方向的子图 像，从而去除冗余信息， 实现高效的图像压缩。
图像增强
通过调比度、锐 度等。
图像去噪
小波变换能够检测到图像 中的噪声，并通过滤波器 去除噪声，提高图像质量。
图像信号的正交变换
目
CONTENCT
录
• 正交变换简介 • 傅里叶变换 • 离散余弦变换 • 小波变换 • 其他正交变换方法
01
正交变换简介
正交变换的定义
正交变换是一种线性变换，它将输入信号从一种表示形式转换到 另一种表示形式，同时保持信号的能量不变。
正交变换具有正交性，即变换的逆变换与原变换是相互正交的， 这意味着逆变换可以恢复出原始信号。
对于连续信号，傅里叶变换可以表示为积分形式。
傅里叶变换的基本思想是，任何周期函数都可以由 一组正弦和余弦函数构成，而每个正弦和余弦函数 都有一个频率。
傅里叶变换的性质
线性性
如果 $f(t)$ 和 $g(t)$ 是两个信号，且 $a$ 和 $b$ 是常数，那么 $a f(t) + b g(t)$ 的傅里叶变 换等于 $a F(w) + b G(w)$，其中 $F(w)$ 和 $G(w)$ 分别是 $f(t)$ 和 $g(t)$ 的傅里叶变换。
线性代数中正交变换与对角化
线性代数中正交变换与对角化线性代数是数学中的一个重要分支，它研究的是向量空间及其线性变换。
正交变换和对角化是线性代数中的两个重要概念，它们在矩阵理论、物理学、工程学等领域中具有广泛的应用。
本文将深入探讨线性代数中的正交变换和对角化。
1. 正交变换正交变换是指保持向量的长度和两向量之间的夹角不变的线性变换。
具体来说，设T为一个线性变换，如果对于任意向量u和v，有内积⟨Tu, Tv⟩ = ⟨u, v⟩，则称T为正交变换。
在二维空间中，常见的正交变换有旋转和翻转。
旋转变换保持向量的长度不变，翻转变换则改变向量的方向。
在三维空间中，正交变换可以通过矩阵表示。
一个3×3的实数矩阵A如果满足A^T · A = I（式中 I 是单位矩阵），则称A为正交矩阵。
正交矩阵表示了三维空间中的旋转和翻转变换。
2. 对角化对角化是线性代数中另一个重要的概念，它是指通过选择合适的坐标系，使得线性变换的矩阵表示具有对角形式。
具体来说，设T为一个线性变换，如果存在一个可逆矩阵P，使得P^-1 · A · P = D（式中 A 是线性变换T的矩阵表示，D是对角矩阵），则称T是可对角化的。
对角化的一个重要应用是简化线性变换的计算。
对于可对角化的线性变换，我们可以通过对角矩阵D来计算其作用，而不需要直接计算线性变换的矩阵表示。
这在很多实际问题中具有重要意义。
3. 正交变换与对角化的关系在线性代数中，正交矩阵具有非常有用的性质。
如果一个矩阵是正交矩阵，那么它的逆等于它的转置，即A^-1 = A^T。
这意味着一个正交矩阵同时也是一个酉矩阵（复数域上的正交矩阵）。
对于一个实对称矩阵，我们可以通过正交变换将其对角化。
具体来说，设A是一个实对称矩阵，存在正交矩阵P，使得P^-1 · A · P = D，其中D是对角矩阵。
对角矩阵的对角元素恰好是矩阵A的特征值，而P的列向量是对应的特征向量。
中南大学《机器人学导论》课程作业(在线作业)三及参考答案
(一) 单选题1. AUTOPASS语言是一种（）编程语言。
(A)动作级(B)对象级(C)任务级(D)自主级参考答案：(B)2. AL语言是一种（）编程语言。
(A)动作级(B)对象级(C)任务级(D)自主级参考答案：(A)3.神经元建模时，如图所示的激发函数属于（）。
(A)极点型(B)阶跃型(C)线性型(D)S型参考答案：(C)4. RAPT语言是一种（）编程语言。
(A)动作级(B)对象级(C)任务级(D)自主级参考答案：(B)5. BP神经网络最早是由（）提出的。
(A)McCulloch和Pitts(B)Hebb(C)Rumelhart(D)Hopfield参考答案：(C)6. 如图所示为日本本田公司研制的ASIMO机器人，这是一款（）。
(A)工业机器人(B)军用机器人(C)服务机器人(D)仿人机器人参考答案：(D)7. SIGLA语言是由（）开发的。
(A)美国(B) 日本(C) 英国(D) 意大利参考答案：(D)8. 人类从外界获得的信息最多的是来自于（）。
(A)视觉(B) 听觉(C) 触觉(D) 味觉参考答案：(A)9. 目前，（）是技术上最成熟、应用最广泛的机器人。
(A)工业机器人(B)探险机器人(C)服务机器人(D)仿人机器人参考答案：(B)10.神经元建模时，如图所示的激发函数属于（）。
(A)极点型(B)阶跃型(C)线性型(D)S型参考答案：(B)11. IML语言是一种（）编程语言。
(A)动作级(B)对象级(C)任务级(D)自主级参考答案：(A)12. 模糊理论是由（）创立的。
(A)G.Contor(B)B.Russell(C)L.A.Zadeh(D)E.H.Mamdani参考答案：(C)13.如图所示为美国TRC公司于1985年开始研制医院用的机器人，这是一款（）。
(A)工业机器人(B)军用机器人(C)服务机器人(D)仿人机器人参考答案：(C)14. RAPT语言是由（）开发的。
第3章 图像处理中的正交变换
第二章 数字图像处理基础
（2）若f(x)是定义在t0和t0+T区间的实值信号， 平方可积。可以表示为： 意味着f(x)可以由无
f ( x) anun ( x)
n 0
穷级数来表示
对任意小的ε＞0，存在充分大的N， t 0 T 2 f ( x) f ( x) dx
t0
反变换核
显然，这两个变换核应该满足正交性和完 备性。
12
第二章 数字图像处理基础
3.1 傅里叶变换
• 傅里叶变换
利用傅里叶变换的特性，将时间信号正变换 到频率域后进行处理（例如低通、高通或带通）， 然后再反变换成时间信号，即可完成对信号的滤 波。
• 低通滤波：在频率域中抑制高频信号 • 高通滤波：在频率域中抑制低频信号
即如果需要将频域的坐标原点从显示屏起始点（0，0） 移至显示屏的中心点只要将f(x,y)乘以(-1)x+y因子再进行傅 里叶变换即可实现。 例题：利用(-1)x+y对单缝图像f(x,y)进行调制，实现把频谱 坐标原点移至屏幕正中央的目标。
A A AA I
T T
10
第二章 数字图像处理基础
一维正交变换
对于一向量f，用上述正交矩阵进行运算：
g = Af
若要恢复f，则:
f A gA g
T
1
以上过程称为正交变换。 我们把原为A-1可以用AT来代替的A阵称为正 交矩阵。
11
第二章 数字图像处理基础
二维正交变换 • N×N二维函数可以类似于一维
第二章 数字图像处理基础
三、 二维离散傅里叶变换的性质 • 基本性质：
1.线性
f1 x, y F1 u, v c1 f1 x, y c2 f 2 x, y c1F1 u, v c2 F2 u, v f 2 x, y F2 u, v
正交变换的方法
正交变换的方法正交变换是线性代数中的重要概念，它在许多领域中都有广泛的应用。
本文将围绕正交变换展开，介绍它的定义、性质以及在几何、图像处理和信号处理等领域中的应用。
一、正交变换的定义与性质正交变换是指保持向量长度和夹角的线性变换。
具体而言，对于一个n维向量空间V中的向量x和y，如果存在一个n×n的矩阵Q，使得对于任意的x和y有Qx·Qy=x·y，那么矩阵Q就是一个正交矩阵，而变换Qx就是一个正交变换。
正交变换的一些基本性质如下：1. 正交变换保持向量的长度不变，即||Qx|| = ||x||；2. 正交变换保持向量之间的夹角不变，即(Qx)·(Qy) = x·y；3. 正交变换的逆变换也是正交变换，即Q的逆矩阵Q^-1也是正交矩阵；4. 正交矩阵的转置等于它的逆矩阵，即Q^T = Q^-1；5. 两个正交矩阵的乘积仍然是正交矩阵。
二、正交变换在几何中的应用在几何中，正交变换被广泛用于描述平移、旋转和镜像等基本变换。
通过矩阵乘法的方式，可以将一个点或一个物体进行平移、旋转或镜像操作，从而改变它在坐标系中的位置和方向。
三、正交变换在图像处理中的应用正交变换在图像处理中有着重要的应用。
其中最著名的正交变换是离散傅里叶变换（DFT），它将一个离散信号从时域转换到频域。
DFT的基础是正交变换的性质，通过将信号拆解成一系列正交基函数的线性组合，可以得到信号在频域上的表示，从而实现信号的频谱分析和滤波处理。
四、正交变换在信号处理中的应用正交变换在信号处理中也有着广泛的应用。
例如，在通信系统中，正交变换被用于多载波调制（OFDM）技术中，通过将信号分成多个正交子载波进行传输，提高了信号的抗干扰性能和频谱利用率。
另外，正交变换还被用于信号压缩和降噪等领域，通过正交变换将信号转换到一个更稳定的域中，可以提取信号的重要特征并减小数据的冗余。
五、总结正交变换作为一种保持向量长度和夹角的线性变换，在几何、图像处理和信号处理等领域中有着广泛的应用。
二维离散余弦变换（2D-DCT）
⼆维离散余弦变换（2D-DCT）图像处理中常⽤的正交变换除了傅⾥叶变换以外，还有⼀些其它常⽤的正交变换，其中离散余弦变换DCT就是⼀种，这是JPEG图像压缩算法⾥的核⼼算法，这⾥我们也主要讲解JPEG压缩算法⾥所使⽤8*8矩阵的⼆维离散余弦正变换。
⼀维离散余弦变换⼀般表达式要弄懂⼆维离散余弦变换，⾸先我们需要先了解它在⼀维下的情况，具体表达式如下：式中F(u)是第u个余弦变换值，u是⼴义频率变量，u=1,2,….,N-1;f(x)是时域N点序列。
x= 1,2,….,N-1;矩阵表⽰法更为简洁的定义离散余弦变换是采⽤矩阵式定义。
根据以上公式定义可知，我们可以来推导⼀下，DCT变换可以⽤矩阵的形式表⽰出来，例当N=8时⼀维离散余弦变换的表达式展开可以得到如下表达式： u=1,2, (7)当u=0,1，...，7时，我们可以根据上述公式计算出离散余弦变换时每⼀个f(x)前⾯的变换系数如下：上式可以⽤矩阵的形式表达出来F(u)为变换域矩阵，是时域f(x)与A矩阵计算的结果；A为变换系数矩阵,当N取定值时，A就是⼀个常量矩阵；f(x)为时域数据矩阵，即需要转换到变换域的原始数据，则⼀维离散余弦变换的矩阵定义式可写成下⽅表达式：⼆维离散余弦变换⼆维离散余弦变换可由下列表达式表⽰6是⼆维离散余弦变换的正变换公式，其中f(x,y)是空间域⼀个N*N的⼆维向量元素，即⼀个N*N的矩阵，x,y = 0,1,2，…，N-1;F(U,V)是经计算后得到的变换域矩阵，u,v = 0,1,2，….，N-1.求和可分性是⼆维离散余弦变换的⼀个重要特征，因此我们可以⽤下式表⽰6：由⼀维和⼆维的离散余弦变换公式性质可以推导得到⼆维离散余弦变换也可以写成矩阵相乘形式A为⼀维离散余弦变换的变换系数矩阵，A T是A的转置矩阵对图像进⾏⼆维离散余弦变换（2D-DCT）的步骤1.获得图像的⼆维数据矩阵f(x,y)；2.求离散余弦变换的系数矩阵A；3.求系数矩阵对应的转置矩阵A T；4.根据公式F=A[f(x,y)]A T计算离散余弦变换；。
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3．二维冲激响应函数h(x,y) －点扩展函数（PSF）
h(x, y,, ) (x , y )
由于h(x,y)是当系统的输入为 函数或点光 源时系统的输出，是对点光源的响应，因此 称为点扩展函数。质量差的图像传输系统 h(x,y)的作用将把图像中的一点弥散开来。
3．2．2 二维连续Fourier变换
一、一维Fourier ：
1．实变量函数f(x)是连续可积的，
即:
，且
f (x) dx
是可积的F (，u)
Fourier变换对一定存在：
F
F
f (x) F -1 F(u)
(u) f (x) exp(
3．2 图像的线性运算 3．2．1 二维连续线性系统
设输入 f (x, y)，输出 g(x, y) ，二维线性系统映射
为 ，则
g(x, y) f (x, y)
1． 线性叠加原理
af1(x, y) bf2 (x, y) a f1(x, y) b f2 (x, y) ag1(x, y) bg2 (x, y)
R(u)
能量谱（功率谱）
E(u) F(u) 2 R2 (u) I 2(u)
3．典型例子------门函数（矩形）
A 0 x X
f (x) 0
xX
F(u) A sin(uX )e juX u
F(u) AX sin(uX ) AXSa(uX ) uX
二、二维连续Fourier变换 Nhomakorabea
条件： f (是x, y连) 续可积的，即
，且 f (x, y)dxdy 是
可积F(的u,v，) Fourier变换对一定存在：
F F
f (x, y) -1F (u, v)
F
(u, v) f (x, y)
f
f (, ) f (x , y )dd
2）二个函数 f (x, y和) 的g(x,互y) 相关函数 定义： Rfg (x, y) f (x, y) g(x, y) f (x, y) g(x,y)
f (, )g(x , y )dd
(x, y) exp F(u,v) exp
j2 j2
(ux (ux
vy)dxdy vy)dudv
变换的复数形式 F(u,v) F(u,v) e j(u,v) R(u,v) jI (u,v)
二维谱（幅值）
F(u, v)
R2 (u, v)
I
2
(u,
1
v)
2
相角
(u, v) tan1 I (u, v)
sin(vY)e
juY
uX
vY
F (u, v) AXY sin(uX ) sin(vY ) AXYSa(u, v) uX VY
5．卷积 对于二维线性位移不变系统，如果输入
输出 g(x, ,y) 则
g(
x,
y)
f
(x,
y)
f
(,
)
(x
,
y
)dd
f (, ) (x , y )
f (, )h(x , y )dd
3）筛选性
g(x, y) (x , y )dxdy g(, )
4）分解性
(x, y) (x) (y)
二维冲激函数可分解为二个沿正交坐标定义的 一维冲激函数的乘积
5)
exp j2 (ux vy)dudv (x, y)
f (x) F(u) exp(
j2ux)dx j2ux)du
其中 u ----频率
2．一维Fourier变换的复数形式
F(u) F(u) e j(u) R(u) jI(u)
则 一维Fourier谱（幅值）
F(u) R2(u) I 2 (u) 1 2
相角
(u) tan1 I (u)
f (x, y) h(x, y)
由卷积积分的对称性，也可写成：
f (，x, y)
g(x, y)
f (x , y )h(, )dd
6．相关
1） 函数 f (的x, y)自相关函数
定义：
Rff (x, y) f (x, y) f (x, y) f (x, y) f (x,y)
3．在图像处理中广泛应用二维正交变换：
利用某些正交变换可以从图像中提取一些特征：
如付氏变换后平均值（即直流项）正比于图像灰 度值的平均值，高频分量则表明图像中目标边缘 的强度及方向；
在变换的基础上，便于完成图像的变换编码。变 换后的能量不变，但其分布会有变化，往往集中 到少数一些项上，有利于存储和传输。
R(u, v)
能量谱（功率谱） E(u,v) F(u,v) 2 R2 (u,v) I 2 (u,v)
例子------二维矩形体函数
A 0 x X ,0 y Y
f (x, y) 0
x X,y Y
F (u，v)
AXYsin(uX )e
juX
其中a,b为常数
2．二维狄拉克（Dirac）冲激函数
具有性质：
x,
y
0
x 0, y 0 其它
1）
x
,
y
0
x , y
其它
2） ， 为任意小的正数
(x, y)dxdy (x, y)dxdy 1
4．空间不变性
当输入的单位脉冲函数延迟了 单,位 后，
即对应于x,y平面中 ( ,处 )的点源 其响应满足
( x , , y )
h( x , y ) ( x , y ) h( x, y, , )
则该系统称为空间不变系统。 物理意义：输出仅在x,y方向移动了 ,单 位， 函数形状不变。