在图像处理中广泛应用二维正交变换

3．2 图像的线性运算 3．2．1 二维连续线性系统
设输入 f (x, y)，输出 g(x, y) ，二维线性系统映射
为 ，则
g(x, y) f (x, y)
1． 线性叠加原理
af1(x, y) bf2 (x, y) a f1(x, y) b f2 (x, y) ag1(x, y) bg2 (x, y)
3．在图像处理中广泛应用二维正交变换：
利用某些正交变换可以从图像中提取一些特征：
如付氏变换后平均值（即直流项）正比于图像灰 度值的平均值，高频分量则表明图像中目标边缘 的强度及方向；
在变换的基础上，便于完成图像的变换编码。变 换后的能量不变，但其分布会有变化，往往集中 到少数一些项上，有利于存储和传输。
R(u)
能量谱（功率谱）
E(u) F(u) 2 R2 (u) I 2(u)
3．典型例子------门函数（矩形）
A 0 x X
f (x) 0
xX
F(u) A sin(uX )e juX u
F(u) AX sin(uX ) AXSa(uX ) uX
3．2．2 二维连续Fourier变换
一、一维Fourier ：
1．实变量函数f(x)是连续可积的，
即:
，且
f (x) dx
是可积的F (，u)

Fourier变换对一定存在：
F

F
f (x) F -1 F(u)

(u) f (x) exp(

3．二维冲激响应函数h(x,y) －点扩展函数（PSF）
h(x, y,, ) (x , y )
由于h(x,y)是当系统的输入为 函数或点光 源时系统的输出，是对点光源的响应，因此 称为点扩展函数。质量差的图像传输系统 h(x,y)的作用将把图像中的一点弥散开来。
f (x) F(u) exp(
j2ux)dx j2ux)du
其中 u ----频率
2．一维Fourier变换的复数形式
F(u) F(u) e j(u) R(u) jI(u)
则 一维Fourier谱（幅值）
F(u) R2(u) I 2 (u) 1 2
相角
(u) tan1 I (u)

3）筛选性

g(x, y) (x , y )dxdy g(, )

4）分解性
(x, y) (x) (y)
二维冲激函数可分解为二个沿正交坐标定义的 一维冲激函数的乘积

5)
exp j2 (ux vy)dudv (x, y)
R(u, v)
能量谱（功率谱） E(u,v) F(u,v) 2 R2 (u,v) I 2 (u,v)
例子------二维矩形体函数
A 0 x X ,0 y Y
f (x, y) 0
x X,y Y
F (u，v)

AXYsin(uX )e
juX

sin(vY)e

juY


uX

vY

F (u, v) AXY sin(uX ) sin(vY ) AXYSa(u, v) uX VY

f (, ) f (x , y )dd
2）二个函数 f (x, y和) 的g(x,互y) 相关函数 定义： Rfg (x, y) f (x, y) g(x, y) f (x, y) g(x,y)

f (, )g(x , y )dd
(x, y) exp F(u,v) exp
j2 j2
(ux (ux

vy)dxdy vy)dudv
变换的复数形式 F(u,v) F(u,v) e j(u,v) R(u,v) jI (u,v)
二维谱（幅值）
F(u, v)

R2 (u, v)

I
2
(u,
1
v)
2
相角
(u, v) tan1 I (u, v)
二、二维连续Fourier变换

条件： f (是x, y连) 续可积的，即
，且 f (x, y)dxdy 是
可积F(的u,v，) Fourier变换对一定存在：
F F
f (x, y) -1F (u, v)
F
(u, v) f (x, y)
f

f (x, y) h(x, y)
由卷积积分的对称性，也可写成：
f (，x, y)

g(x, y)
f (x , y )h(, )dd

6．相关
1） 函数 f (的x, y)自相关函数
定义：
Rff (x, y) f (x, y) f (x, y) f (x, y) f (x,y)
其中a,b为常数
2．二维狄拉克（Dirac）冲激函数
具有性质：

x,
y

0
x 0, y 0 其它
1）

x
,
y






0来自百度文库
x , y
其它
2） ， 为任意小的正数

(x, y)dxdy (x, y)dxdy 1

5．卷积 对于二维线性位移不变系统，如果输入
输出 g(x, ,y) 则
g(
x,
y)


f
(x,
y)





f
(,

)
(x

,
y


)dd

f (, ) (x , y )


f (, )h(x , y )dd
4．空间不变性
当输入的单位脉冲函数延迟了 单,位 后，
即对应于x,y平面中 ( ,处 )的点源 其响应满足
( x , , y )
h( x , y ) ( x , y ) h( x, y, , )
则该系统称为空间不变系统。 物理意义：输出仅在x,y方向移动了 ,单 位， 函数形状不变。