正多面体外接球面上点的性质

正多面体外接球面上点的性质
福建福清三中 王钦敏
本文已发表于《中学数学》
文［1］、［2］分别介绍了正四面体和正六面体这两个正多面体外接球面上的点到各顶点距离的平方和成定值的有趣性质．本文就这类问题再行讨论．
为引申问题方便起见，我们用如下证法替代文［1］、［2］对下面的性质1、2的证明方法．
性质1 正六面体外接球面上任一点到各顶点距离的平方和为定值．
证明 如图1，设正六面体ABCD －D C B A ''''的棱长为a ，外接球心为O ，P 为外接球面上任意一点．
显然，正六面体的对角线D B '通过球心Ｏ，故︒='∠90PD B ．因此，在△PD B '中有
22223a D B DP P B ='=+' ①
同理可得
2223a AP P C =+'； ②
2223a BP P D =+'； ③
2223a CP P A =+'；
④ 将①、②、③、④相加得
22222222212a CP BP AP DP P A P D P C P B =++++'+'+'+'
性质２ 正四面体外接球面上任一点，到各顶点距离的平方和为定值．
证明 由于在图１中，三棱锥AC D B '-'与三棱锥D C A B ''-都是正四面体，故欲证性质２，仅须证
222226a CP AP P D P B =++'+' ⑤
其中a 保持性质１中的原义．连结C B '，设其中点为O ，连结BP 、CP 、P C '、P B '和P O '．
在△PC B '中，利用三角形中线长公式得
)(22222C O P O CP P B '+'=+'；
同理，在△C BP '中有
)(22222C O P O P C BP ''+'='+．
因C O C O ''=',
故2222P C BP CP P B '+=+'；
同理可得 2222P A DP AP P D '+=+'.
将上面两式相加，利用性质１的结论可得结论⑤．
这里给出的新证法比原证法来得简洁且连贯．其中性质１的证法具有普遍性，由于正八、十二、二十面体的对角线均通过其外接球心，故用与性质１的证法相同的方法可证得
性质３ 正八、十二、二十面体外接球面上任一点，到各顶点距离的平方和均为定值．
下面我们来证明极为有趣的
性质４ 正八面体外接球面上任一点到各顶点距离的平方和四次方和以及六次方和均为定值．
证明 如图２，为正八面体F ABCD E --外接球面上任一点，正八面体的边长设为a ，其中心为O ．
连结EO 、CO 、DO 、EP 、CP 、DP 和OP ．设
1θ=∠EOP ,2θ=∠COP ,3θ=∠DOP ．则
1θπ-=∠FOP ,2θπ-=∠AOP ,3θπ-=∠BOP ．又因EO 、CO 与DO 三线两两
垂直，
故1cos cos cos 322212=++θθθ．
易求得EO ＝CO ＝DO ＝OP ＝
a 22． 在△EOP 中使用余弦定理可得
)cos 1(cos 2121222θθ-=⋅-+=a EO OP EO OP EP ．
同样地，可以得到
)cos 1(222θ-=a CP ;
)cos 1(322θ-=a DP
)cos 1(122θ+=a FP
)cos 1(222θ+=a AP
)cos 1(322θ+=a BP
由以上各式通过计算可得
;62222222a FP EP DP CP BP AP =+++++
;84444444a FP EP DP CP BP AP =+++++
.126666666a FP EP DP CP BP AP =+++++
证毕．
采用与文［2］相类似的方式，可证得
性质５ 正八面体外接球面上任一点，
到各棱中点的距离的平方和为定值，到各面
中心的距离的平方和为定值．
性质４启发我们得到
性质６ 正六面体外接球面上任一点，
到各顶点距离的四次方和与六次方和均为定值．
证明 如图３，分别以正六面体
D C B A ABCD ''''-的中心为原点，以过
中心O 且平行于棱AB 的直线为x 轴，以平行于棱的直线为y 轴，建立空间直角坐标系，设棱长为2a ，通过计算，即可知正六面
体外接球面上任一点到各顶点距离的四次方和为定值3844a ;到各顶点距离的六次方和为定值34566a ．
由于在性质6的证明中，图形上三棱锥D B C A ''-是正四面体，故可知
性质7 正四面体外接球面上任一点到各顶点距离的四次方和为定值．
从性质7可以得
推论 O 为正四面体BCD A -的中心，P 为正四面体外接标面上任一点，设OP 与OA 、OB 、OC 、OD 所夹的角分别为1θ、2θ、3θ、4θ，则
0cos cos cos cos 4321=+++θθθθ；
3
4cos cos cos cos 42322212=+++θθθθ． 其证法参照性质4的证明．参考文献
1 胡耀宗．正四面体外接球面上点的有趣性质．中学数学，1994，8
2 高峰．正方体钼接球面上点的有趣性质．福建中学数学，1995，5。