所有自然数之和是负十二分之一

合集下载

沪教版-六年级(预备班)数学知识汇总(全年级配练习)汇编

沪教版-六年级(预备班)数学知识汇总(全年级配练习)汇编

六年级第一学期数学知识汇总(上教版 含练习)第一章:数的整除1. 零和正整数统称为自然数。

正整数、零、负整数统称为整数。

重点题型:1. 在8,-10,0,0.25,-50,73,100,-8.5中,正整数有 , 自然数有 ,整数有 2.最小的自然数是提高:非负整数,如小于3的非负整数有2. 整数a 除以整数b ,如果除得的商是整数而余数为零,我们就说a 能被b 整除,或者说b 能整除a 。

用式子表示:如果 a ÷b=c(其中a 、b ,c 都为整数)称a 能被b 整除或b 能整除a 。

(区分两种表述) 重点题型:1. 下列各组数中,第一个数能被第二个数整除的是 ,第二个数能整除第一个数的是 12和24;39和13;54和27;46和4;17和51;84和72. 12÷3=4,那么 能被 整除; 能整除3. 整除的条件:1)除数,被除数都为整数2)被除数除以除数,商是整数而且余数为零。

重点题型:小明认为2.5能被5整除。

这种说法对吗?4. 整数a 被整数b 整除,a 叫b 的倍数(mutiple),b 叫a 的因数(factor)(也称为约数) 因数和倍数是相互依存的。

重要结论:一个整数的因数的个数是 的(填:无限或有限),其中最小的因数是 ,最大的因数是 。

一个整数的倍数的个数是 的(填:有限或无限),其中最小的倍数是 , 一个整数 最大的倍数。

重点题型:1. 因为4÷2=2,所以4是倍数,2是因数,这种说法对吗?2. 一个整数的最大因数减去这个正整数的最小倍数,所得的差一定( ) A <0 B =0 C >0 D 不等于03. 会求一个数的因数:如求105的因数4. 会求一个数的倍数:如求7的倍数(写出5个)5. 任何一个正整数至少有两个因数。

( )6. 如果一个数既是12的因数,又是12的倍数,那么这个数一定是 。

7. 18的因数 24的因数18和24的最大公因数是5. 能被2整除的数的特征:个位上的数是0,2,4,6,8能被5整除的数的特征:个位上的数是0,5能被10整除(既能被2整除又能被5整除)的数的特征:个位上的数是0能被3整除的数的特征:各位上的数字的和能被3整除能被9整除的数的特征:各位上的数字的和能被9整除重点题型:1. 在15,27,38,62,90,135,420这七个数中:1)能被2整除的数是。

数学人教版(2024)7年级上册 1.2.1 有理数的概念 教案02

数学人教版(2024)7年级上册 1.2.1 有理数的概念 教案02

第一章有理数1.2.1 有理数的概念0.3…负分数:如-52,-23,-17, -0.5, -150.5,… 引导:0.1=110,-0.5=−12, 0.3 = 13 ,事实上,有限小数和无限循环小数都可以化为分数,因此它们也可以看成分数。

指出:正分数、负分数统称为分数。

想一想:整数能化成分数吗?预设:2=21, 3=31,…正整数可以写成正分数的形式-2=−21, -3=−31,…负整数可以写成负分数的形式0=01,0也可以写成分数的形式 整数可以写成分数的形式指出:可以写成分数形式的数称为有理数。

可以写成正分数形式的数为正有理数,可以写成负分数形式的数为负有理数。

思考:你能试着对有理数进行分类吗?预设:有理数的分类(整分性):有理数的分类(正负性):例1:指出下列各数中的正有理数、负有理数,并分别指出其中的正整数、负整数:13,4.3,−38,8.5%,-30,-12%, 19 ,-7.5,20,-60,1.2解:正有理数:13,4.3, 8.5%, 19 ,20,1.2;其中正整数有13,20。

负有理数: −38, -30,-12%, -7.5,-60 ; 其中负整数有-30,-60。

例2:下列说法中,正确的是( ). A .在有理数中,0的意义仅仅表示没有 B .一个有理数,它不是正数就是负数 C .正有理数和负有理数组成有理数 D .0是自然数 答案:D强调:在有理数概念中,“0”很特殊: (1)0既不是正数,也不是负数; (2)0是整数,不是分数; (3)0既是非正数,又是非负数. 活动意图说明:【解析】本题主要考查了有理数的分类,理解有理数的相关定义是解题的关键.先根据正数的定义判断A 的正误,再根据非负数是正数或0判断B 的正误;再根据有理数也可分成整数和分数判断C ,D 的正误即可解答.解:A .由50%,1,2.5是正数,故正确,符合题意; B .由−2,−4为负数,故错误,不符合题意; C .1为整数,故错误,不符合题意; D .因为112是分数,故错误,不符合题意. 故选:A .【综合拓展类作业】5.如图,把下列各数填入相应的各圈里. 100,−99%,0,−2000,5.2,6,−0.3,116,−53【答案】见解析【解析】本题考查了有理数的分类,根据有理数的分类,即可求解. 解:整数为:100,0,−2000,6; 负数为:−99%,−2000,−0.3,−53; 则负整数为:−2000;本节课的主要内容是让学生明确有理数的概念,并能对有理数进行正确。

小学数学-有答案-广东省东莞市某校小升初总复习:整数与小数

小学数学-有答案-广东省东莞市某校小升初总复习:整数与小数

广东省东莞市某校小升初总复习:整数与小数一、填空题(共30小题,每小题3分,满分90分)1. 把下面的数位顺序表填完整:2. 自然数的单位是________,78是由这样的________个单位组成。

3. 在自然数中,最大的三位数是________,最小的二位数是________,它们相差________.4. 三个连续的自然数之和是60,这三个数是________.5. 用2、3、1、0、5、8、6这七个数组成一个最大的七位数是________,最小的七位数是________.6. 一个数,十位上是4,十分位是7,千分位上是2,其余各位上都是0,这个数写作________.7. 六亿零二十七万八千零一写作________.8. 把9460000000改写成用“亿”作单位的数是________,用四舍五入法去掉亿后面的尾数后是________;把598400改写成用“万”作单位的数是________,将这个数四舍五入到万位后是________.9. 2003年世界人口是6179300000人,读作________,改写成用“亿”人作单位的数,是________亿人。

2004年底我国总人口为129988万人,读作________人,四舍五入到亿位约是________亿。

10. 一个数省略“万”后的尾数是9万,这个数在________∼________之间。

11. 敏敏在读一个小数时,把小数点丢了,结果读成二万零四百零八。

原来的小数只读一个零,原来这个小数是________或________.12. 一万里有________个十,0.012里有________个0.001.0.628由________个0.1,2个________和________个________组成;它也是由________个0.001组成的。

13608是由________个万和________个十组成的。

13. 把9.52的小数点向________移动________位,这个数就扩大100倍。

2017六年级数学下册总复习知识点总结知识点1 整数、小数(因数、倍数)

2017六年级数学下册总复习知识点总结知识点1  整数、小数(因数、倍数)

六年级数学下册总复习知识点总结姓名记忆情况【数的认识】知识点1一.数的意义1.整数:像0,1,2,3···这样的数是自然数,也是整数。

像-1,-2,-3···这样的数是负数。

自然数和负数都称为整数。

①整数的个数是无限的。

②没有最小的整数,也没有最大的整数。

2.自然数:表示物体个数的0,1,2,3···叫做自然数。

①最小的自然数是0,表示一个物体也没有。

②自然数的个数是无限的。

③没有最大的自然数。

④自然数是整数的一部分。

⑤自然数有两方面的意义:一表示事物的多少,称为基数。

二表示事物的顺序,称为序数。

⑥自然数的单位是“1”。

3、小数:把单位“1”平均分成10份、100份、1000份······这样的一份或几份的数叫小数,小数可以看成分母是10、100、1000的分数,也可以用小数来表示。

一位小数表示十分之几,两位小数表示百分之几,。

小数的基本性质:在小数的末尾添上0或者去掉0,小数的大小不变。

4、计数单位:个、十、百······十分之一,百分之一······叫计数单位。

整数的计数单位是:个、十、百,千。

万。

,小数的计数单位是:十分之一、百分之一,千分之一。

十进制计数法:每相邻两个计数单位之间的进率是十,这种以“十”为基础进位的计数方法,叫做十进制计数法。

十个一是十,十个十是一百,十个一百是一千,十个一千是一万,.......十个十分之一是一,十个百分之一是十分之一,十个千分之一是百分之一,......数位:各个计数单位所占的位置,叫做数位。

整数部分数位可分级,每四位为一级:个位、十位、百位、千位是个级,表示多少个一,万位、十万位、百万位、千万位是万级,表示多少个万,亿位、十亿位、百亿位、千亿位是亿级,表示多少个亿。

实数知识点总结及练习题

实数知识点总结及练习题

)(无限不循环小数负有理数正有理数无理数⎩⎨⎧⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧--⎩⎨⎧---)()32,21()32,21()()3,2,1()3,2,1,0(无限循环小数有限小数整数负分数正分数小数分数负整数自然数整数有理数、、 ⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧实数第一章 勾股定理姓名 座号 班级一、勾股定理:直角三角形两直角边的平方和等于斜边c 的平方,即222c b a =+二、勾股定理的逆定理:如果三角形的三边长a ,b ,c 有关系222c b a =+,那么这个三角形是直角三角形。

三、勾股数:满足222c b a =+的三个正整数,称为勾股数。

常见的勾股数组有:(3,4,5);(5,12,13);(8,15,17);(7,24,25);(6,8,10);(9,12,15);(这些勾股数组的倍数仍是勾股数)第二章 实数一、实数的概念及分类1、实数的分类2、无理数:无限不循环小数叫做无理数。

在理解无理数时,要抓住“无限不循环”这一时之,归纳起来有四类: (1)开方开不尽的数,如32,7等;(2)有特定意义的数,如圆周率π,或化简后含有π的数,如3π+8等; (3)有特定结构的数,如0.1010010001…等;二、平方根、算数平方根和立方根1、算术平方根:一般地,如果一个正数x 的平方等于a ,即x 2=a ,那么这个正数x 就叫做a 的算术平方根。

特别地,0的算术平方根是0。

表示方法:记作“a ”,读作根号a 。

性质:正数和零的算术平方根都只有一个,零的算术平方根是零。

2、平方根:一般地,如果一个数x 的平方等于a ,即x 2=a ,那么这个数x 就叫做a 的平方根(或二次方根)。

表示方法:正数a 的平方根记做“a ±”,读作“正、负根号a ”。

性质:一个正数有两个平方根,它们互为相反数;零的平方根是零;负数没有平方根。

开平方:求一个数a 的平方根的运算,叫做开平方。

0≥a注意a 的双重非负性:a ≥03、立方根一般地,如果一个数x 的立方等于a ,即x 3=a 那么这个数x 就叫做a 的立方根(或三次方根)。

七年级上册一二单元数学题

七年级上册一二单元数学题

七年级上册一二单元数学题一、有理数的相关概念。

1. 把下列各数分别填入相应的集合里:5,(22)/(7),0,-3.14,2023,+1.99,-( 6),-| -12|(1)正数集合:{(22)/(7),2023,+1.99,-( 6)}解析:正数是大于0的数,(22)/(7)≈3.14是正数,2023是正数,+1.99是正数,-( 6)=6也是正数。

(2)负数集合:{-5,-3.14,-| -12|}解析:负数是小于0的数,-5小于0,-3.14小于0,-| -12|=-12小于0。

(3)整数集合:{-5,0,2023,-( 6),-| -12|}解析:整数包括正整数、0和负整数,-5是负整数,0是整数,2023是正整数,-( 6)=6是正整数,-| -12|=-12是负整数。

(4)分数集合:{(22)/(7),-3.14,+1.99}解析:分数包括有限小数和无限循环小数,(22)/(7)是分数,-3.14是有限小数属于分数,+1.99是有限小数属于分数。

2. 写出下列各数的相反数:(1)5的相反数是-5。

解析:互为相反数的两个数绝对值相等,符号相反,5是正数,它的相反数是负数-5。

(2)-3的相反数是3。

解析:-3是负数,它的相反数是正数3。

(3)0的相反数是0。

解析:0的相反数是它本身。

(4)a的相反数是-a。

解析:这是相反数的一般表示形式,当a = 5时,-a=-5;当a=-3时,-a = 3。

3. 求下列各数的绝对值:(1)| 7|=7。

解析:负数的绝对值是它的相反数,-7是负数,所以它的绝对值是它的相反数7。

(2)| 3.5| = 3.5。

解析:正数的绝对值是它本身,3.5是正数,所以它的绝对值是3.5。

(3)| 0| = 0。

解析:0的绝对值是0。

二、有理数的运算。

4. 计算:( 2)+( 3)解:( 2)+( 3)=-(2 + 3)=-5。

解析:同号两数相加,取相同的符号,并把绝对值相加,-2和-3都是负数,所以结果是负数,绝对值相加为2 + 3 = 5。

七年级上册数学同步练习题库:有理数(简答题:一般)

七年级上册数学同步练习题库:有理数(简答题:一般)

有理数(简答题:一般)1、画出数轴并标出表示下列各数的点,并用“<”把下列各数连接起来.,,,(-1)22、已知:A=3a2-4ab,B=a2+2ab.(1)求A-2B;(2)若(2-b)2=0,求A-2B的值;3、计算下列各题.(1) ︱-3︱×︱+2︱ (2) ︱-5︱+︱-2.7︱ (3)(4) ︱+12︱-︱-12︱ (5) ︱+5︱×︱-0.2︱ (6)4、计算.(1)︱+5︱ (2) ︱-3︱(3)+︱-10︱ (4)+︱-︱5、若﹣1<x<4,化简|x+1|+|4﹣x|.6、有理数a、b在数轴上对应点的位置如图所示,化简|a+b|+|a|+|-b|-|1-b|.7、计算下列各题.(1) (|-l6|+|+18|+|-51|)÷|-17| (2) |-30|-|-6|×|-|+|+15|8、若︱a︱=5,︱b︱=3,且ab<0,求a-b的值。

9、已知︱︱与()互为相反数,求的值10、计算:11、并用“<”把它们连接起来:12、如图所示,一个点从数轴上的原点开始,先向右移动3单位长度,再向左移动5个单位长度,可以看到终点表示的数是-2,已知点A,B是数轴上的点,请参照下图并思考,完成下列各题:(1)如果点A表示数-3,将点A向右移动7个单位长度,那么终点B表示的数是_______,A,B两点间的距离是________;(2)如果点A表示数3,将A点向左移动7个单位长度,再向右移动5个单位长度,那么终点B表示的数是_______,A,B两点间的距离为________;(3)一般地,若A点表示的数为m,将A点向右移动n个单位长度,再向左移动p个单位长度后,请你求出:1)终点B表示的数;2)A,B两点之间的距离.13、若 a、b互为倒数,c>0,化简14、计算(1)(2)15、把下列各数填在相应的括号里:-8 0.275 0 -1.04 -(-3) |-2|正数集合( ...)负整数集合( ...)分数集合( ...)负数集合( ...)16、“数形结合”是一种重要的数字方法.如在化简|a|时,当a在数轴上位于原点的右侧时,|a|=a;当a在数轴上位于原点时,|a|=0;当a在数轴上位原点的左侧时,|a|=﹣a.试用这种方法解决下列问题.(1)当a=1.5,b=﹣2.5时,=;(2)请根据a、b、c三个数在数轴上的位置,求的值.17、如图数轴上三点A,B,C对应的数分别为﹣6, 2,.请回答问题:(1)若点A先沿着数轴向右移动8个单位长度,再向左移动5个单位长度后所对应的数字是__________;(2)若点C到点A、点B的距离相等,那么对应的值是__________;(3)若点C到点A、点B的距离之和是10,那么对应的值是_______;(4)如果点A以每秒4个单位长度的速度向右运动,点B以每秒2个单位长度的速度向左运动,点C从原点以每秒1个单位长度的速度向左运动,且三点同时出发.设运动时间为秒,请问为何值时点C到点A、点B的距离相等?18、计算:|1﹣|﹣3tan30°﹣()°.19、下列各数:0,-|-3.5|,0.2,(-2)2,(-2)3,-1.6,-,-(-0.5),其中负数的个数为m,正数的个数为n。

小学数学-有答案-北师大版六年级(上)期末数学试卷(1)

小学数学-有答案-北师大版六年级(上)期末数学试卷(1)

2021学年北师大版六年级(上)期末数学试卷(1)一.填空.(15分)1. 2070034500读作________.2. 6吨250千克=________千克,2.15小时=________小时________分。

3. 16、18和24的最大公约数是________,最小公倍数是________.4. 在比例尺1:40000的地图上量得两地的距离是6厘米,这两地之间的实际距离是________米。

5. 把3米长的钢管平均分成4段,每段是这根钢管的()(),每段长________米。

6. 0.45吨:90千克化成最简整数比是________,比值是________.7. 把一个直径是12厘米的圆形铁片减去一个最大正方形,剩下部分的面积是________平方厘米。

8. 三个数的平均数是8,这三个数的比是12:23:56,这三个数中最大数是________.9. 在一个比例式中,两个外项都是质数,它们的积是22,一个内项是这个积的110,写出符合条件的一个比例式________.10. 打一份稿件,完成的时间由原来的10小时缩短为8小时,工作效率提高了________%.11. 常用的统计图有:________、________、________.12. 王荣将500元钱存入银行,定期二年,年利率是2.15%,到期时,他可得税后利息________元。

13. 羊城小学进行一次体育考试,合格的有108人,不合格的有12人,这次体育考试的合格率是________.14. 甲数是6,乙数是15,甲数比乙数少________%,乙数比甲数多________%.15. 一个圆柱体,底面积是1.5平方米,高是0.6分米,体积是________立方分米,与它等底等高的圆椎体积是________立方分米。

二.选择题.(5分)把1克药放入100克水中,药与药水的比是()A.1:100 B.1:99 C.1:101如果a是一个不为0的自然数,那么()A.1a 是倒数 B.a和1a互为倒数C.a和1a是倒数真分数的倒数一定是()A.大于1B.等于1C.小于1男生占全班人数的511,女生人数与男生人数的比是()A.5:11B.5:6C.6:5直径有()个端点。

最新北师大版小学数学四年级上册总复习 (1)

最新北师大版小学数学四年级上册总复习 (1)
14.用3倍的放大镜看50°的角时,这个角是150°。( )
15.数对(4,5)和(4,6)表示的列数相同,行数不相同。( )
四、解答题
16.一个百宝箱,主人忘记了密码,只知道这个密码是一个九位数,按照大数的写法,这个数的最高位和百万位上都是1,千万位和万位上都是6,亿位上的数比百位上的数小3,千位和十位上的数比最小的自然数大5,其余数位上都是8。你能帮这位主人写出百宝箱的密码吗?
故答案为:×
【点睛】本题考查了学生对用数对表示位置方法的理解。
14.×
【分析】角的大小与角两边的长短无关,与角开叉的大小有关,用放大镜看角时,角两边的长度增大,但角开叉的大小没变,所以看到的这个角还是50°。
【详解】根据分析可知,用3倍的放大镜看50°的角时,这个角是50°,所以判断错误。
【点睛】本题主要考查学生对影响角的大小因素的掌握和灵活运用。
【详解】2021×75+2021×25
=2021×(75+25)
=2021×100
=202100
利用了乘法分配进行简便运算。
故答案为:C
【点睛】本题主要考查学生对乘法运算定律的掌握和灵活运用。
2.A
【解析】略
3.A
【分析】计算23×190时,先算23×19,这个积的个位是7,再在积的末尾加上1个0;根据选项的因数的特点选择与23×190的积相等的算式。
所以,与300万相邻的两个自然数是3000001和2999999,故原题说法错误;
故答案为:×
【点睛】此题考查的目的是理解自然数的意义,掌握自然数的排列规律,要明确:相邻的自然数相差1。
13.×
【分析】用数对来表示位置,数对的第一个数表示列,第二个数表示行,据此即可解答。

严格证明123……=-112

严格证明123……=-112

严格证明123……=-112如果我问你1 2 3 ……等于多少?你会毫不犹豫地告诉我等于正无穷。

但是,数学界第一天神欧拉却说,1 2 3 ……=-1/12。

没错,就是那个发现了宇宙终极公式“欧拉公式”的天神欧拉。

既然欧拉说等于-1/12,那就一定是正确的,因为天神从不会犯错。

欧拉欧拉公式遗憾的是,欧拉并没有给我们留下证明过程。

接下来数学天才拉马努金登场了,拉马努金告诉我们,欧拉确实是正确的。

拉马努金接下来就是见证奇迹的时刻!求证:1 2 3 ……=-1/12证明:S1=1 2 3 4 5 6 ……S2=1-2 3-4 5-6 ……S1-S2=0 4 0 8 0 12=4 8 12 ……=4×(1 2 3 ……)=4S13S1=-S2S1=-1/3×S2S2=1-2 3-4 5-6 ……S2= 1-2 3-4 5-6 ……2S2=1 (-2 1) (3-2) (-4 3) (5-4) (-6 5) ……=1-1 1-1 1-1 ……2S2=1-1 1-1 1-1 ……2S2= 1-1 1-1 1-1 ……4S2=1 0 0 0 0 0 ……=1S2=1/4S1=-1/3×S2=(-1/3)×(1/4)=-1/12S1=-1/121 2 3 4 5 6 ……=-1/12证毕!对于拉马努金的证明,看上去很有技巧性,但你总感觉有些地方没对,不是很严密。

那接下来另一位大神黎曼的登场一定会让你心服口服。

没错,就是那个给出了让世人疯狂的黎曼猜想的黎曼。

黎曼黎曼给出了著名的黎曼ζ函数黎曼函数ζ(s)=1^(-s) 2^(-s) 3^(-s) 4^(-s) 5^(-s) 6^(-s) ……2^(-s)×ζ(s)=2^(-s)×1^(-s) 2^(-s)×2^(-s) 2^(-s)×3^(-s) ……=2^(-s) 4^(-s) 6^(-s) ……2^(-s)×ζ(s)=2^(-s) 4^(-s) 6^(-s) ……ζ(s)=1^(-s) 2^(-s) 3^(-s) 4^(-s) 5^(-s) 6^(-s) ……φ(s)=1^(-s)-2^(-s) 3^(-s)-4^(-s) 5^(-s)-6^(-s) ……ζ(s)-φ(s)=2×2^(-s) 2×4^(-s) 2×6^(-s) ……=2×2^(-s)×ζ(s)=2^(1-s)×ζ(s)ζ(s)-φ(s)=2^(1-s)×ζ(s)φ(s)=ζ(s)-2^(1-s)×ζ(s)=[1-2^(1-s)]×ζ(s)φ(s)=[1-2^(1-s)]×ζ(s)令s=-1φ(-1)=[1-2^(1 1)]×ζ(-1)=(1-4)×ζ(-1)=-3ζ(-1)φ(-1)=-3ζ(-1)前面已经证明φ(-1)=1-2 3-4 5-6 ……=1/4ζ(-1)=1 2 3 4 5 6 ……=(-1/3)×φ(-1)=(-1/3)×(1/4)=-1/121 2 3 4 5 6 ……=-1/12证毕!自然数。

【三套试卷】2021年晋城市小学六年级数学下册第一单元精品测试卷(带答案)

【三套试卷】2021年晋城市小学六年级数学下册第一单元精品测试卷(带答案)

第一单元检测卷(附答案)一、单选题(共2题;共4分)1.在-4,-9,-,-0.1这些数中,最大的数是()。

A. -4B. -9C. -D. -0.1 【答案】D【考点】正、负数大小的比较【解析】【解答】在-4,-9,-,-0.1这些数中,最大的数是-0.1。

故答案为:D。

【分析】负数的比较方法是,数值大的反而越小,数值小的反而越大。

2.数:+3.2,-8,-5.5,0,10,-0.7,90,-11,其中非负数个数是()。

A. 8B. 5C. 4D. 3【答案】C【考点】正、负数的认识与读写【解析】【解答】数:+3.2,-8,-5.5,0,10,-0.7,90,-11,其中非负数个数是4个。

故答案为:C。

【分析】根据题意可知,要求非负数的个数,就是正数与0的个数之和,据此解答。

二、判断题(共4题;共8分)3.在直线上,+3和-3到0的距离相等。

()【答案】正确【考点】在数轴上表示正、负数【解析】【解答】在数轴上,+3和-3到0的距离相等。

故答案为:正确。

【分析】在数轴上,+3和-3到原点0的距离是相等的。

4.0是一个整数,0也是一个正数。

()【答案】错误【考点】正、负数的认识与读写【解析】【解答】0是一个整数,0既不是正数,也不是负数,原题说法错误。

故答案为:错误。

【分析】此题主要考查了正、负数的认识,0是整数、自然数,但是0既不是正数,也不是负数,据此判断。

5.如果向南走是正的,那么向西走就是负的。

()【答案】错误【考点】正、负数的意义与应用【解析】【解答】如果向南走是正的,那么向北走就是负的,原题说法错误。

故答案为:错误。

【分析】生活中,通常用正负数表示具有相反意义的两种量,如果规定向南走是正的,那么向北走就是负的,因为南与北相对,东与西相对,据此判断。

6.今天的温度是+15℃读作零上15摄氏度。

()【答案】正确【考点】正、负数的认识与读写【解析】【解答】今天的温度是+15℃读作零上15摄氏度,此题说法正确。

全体自然数之和等于负十二分之一!

全体自然数之和等于负十二分之一!

全体自然数之和等于负十二分之一!看到标题,你是一脸懵逼呢,还是两脸懵逼。

今天,就让我们来体验一下数学的神秘吧,不过,在看之前,你得抛开你积累多年的知识,把自己想想成一个初识数学的婴儿,否则你将寸步难行。

我们先来看公式:全体自然数字和200多年前的一天下午,在瑞士的巴塞尔,在美丽的莱茵河畔,晴朗的天气,让来来往往的行人,似乎多了几分轻快。

此时正坐在桌前的欧拉,放下了他手中的笔,一个个数学公式和数字在他脑海中闪过,这位拥有天才大脑的年轻人,无时无刻地搜寻着任何一丝有价值的灵感。

欧拉突然,他又拿起了手中的笔,毫不费力地写下了几个级数,犹如从他记忆中,抄写出来一样轻松。

他开始摆弄这几个级数,运算了大约一页的内容,然后拿出一个崭新的纸张,写下了这个级数1+2+3+4+……=-1/12;他皱了皱眉头,似乎对这个结果心存疑虑,他又深思了一会,然后露出了得意的笑容;似乎欧拉也没弄懂这个级数的含义,不过这个结果是多么的美,以至于他完全忘了这个结果的怪异,于是,他把这个等式正式记录了下来,还时不时拿出来欣赏一番。

殊不知,这个结果足足趟了200多年,才真正被物理学家赋予了意义,上世纪七十年代,物理学家苦苦寻找相对论和量子力学统一的理论,最后弦理论脱颖而出,物理学家在利用弦理论,解释光子的时候,却遭遇一个发散的结果,这让物理学家坐卧不安,这明明是实实在在的光子,怎么可能得出一个发散结果呢!弦理论想象图物理学家一遍又一遍地检查推导过程,实在找不出问题所在,直到有一天,一位物理学家脑中灵光一闪,好像欧拉的这个等式,可以用在这里,然后他把欧拉的这个级数结果,带入弦理论中进行运算,无穷大居然被消除了,计算出来,空间维数E=10,加上一维时间,那么时空就是11维的,这个奇怪的级数,居然让弦理论重燃新生。

故事讲到这里,我们来看看,这个看似不可能的级数,为什么能合理存在呢?我们不做过深的数学分析,我们只想看看这个级数神秘在什么地方。

全体自然数之和

全体自然数之和

全体自然数之和“全体自然数的和是-1/12”这个惊人的结论已经在互联网上传播了许多年,也有许多讨论它的文章,往期节目也触及过这个问题,本期节目集中展示了另一种常人或许可以接受的解释。

这类悖谬常理的数学结论最容易让公众产生“科学家关起门来胡闹”的错误印象,但事实并非如此,在量子物理揭示的无穷现象中,这样的结论真的能排上实际的用场。

限于表达的形式,我们无法在这期节目里充分流露出这样一种观点:数学并不仅仅是形式的演绎,不仅仅是“大脑分泌物”而已,在严格的意义上,数学更接近经验科学,它同样以模型和观察的方式,探索着客观世界面貌。

全体自然数的和是-1/12,这是怎么来的?一个最通俗,所以也最引人争议的做法,是一种看上去很简单的算术算法:首先令S0=1-2+3-4+5-6……我们已经在往期节目里看到过令它收敛到1/4的方法。

再令全体自然数的和为S,减去这个S0,则有:S-S0=0+4+0+8+0+12+0+16……也就等于4个S,也就是说-S0等于3个S,所以S等于负十二分之一。

所以虽然往期节目里一般的收敛法不能直接求出全体自然数的和,但仍然间接暗示了这个怪异的结论。

事实上,不论用什么方法计算全体自然数的和,只要不是无穷大,就是-1/12。

除了上期的拉马努金和之外,我们再考虑这样一个更简单的对象:阶乘。

中学课本就讲过,某个自然数的阶乘是指把不大于这个数的自然数逐个连乘起来,写作一个感叹号。

比如5!=1×2×3×4×5。

1!当然是1,另外根据n!=n(n-1)!取n=1,就有0!也=1。

到此为止,一切都很简单,很可以理解——但现在如果告诉你(1/2)!=根号π/2;(-1/2)!=根号π;(-2)!=∞,你恐怕就会感到困惑了,因为这些“非自然数”的阶乘看起来根本没有意义——如果将这种困惑用数学语言表述出来,就是1/2、-1/2、-2……之类的数字,并不在阶乘这种一元函数的定义域上。

2021天津市南开翔宇学校七年级(上册)月考数学试卷(9月份)【优选】.doc

2021天津市南开翔宇学校七年级(上册)月考数学试卷(9月份)【优选】.doc

七年级(上)月考数学试卷(9)一、选择题(每小题3分,共36分)1.(3分)在﹣2,+3.5,0,,﹣0.7,11中,负分数有()A.1个B.2个C.3个D.4个2.(3分)下面说法正确的是()A.π的相反数是﹣3.14B.符号相反的数互为相反数C.一个数和它的相反数可能相等D.正数与负数互为相反数3.(3分)5月24日《天津日报》报道,2015年天津外环线内新栽植树木6120000株,将6120000用科学记数法表示应为()A.0.612×107B.6.12×106C.61.2×105D.612×1044.(3分)如果“+3吨”表示运入3吨大米,那么运出5吨大米应记作为()A.﹣5吨B.+5吨C.﹣3吨D.+3吨5.(3分)在﹣2、3、﹣4、﹣5这四个数中任取两个数相乘,得到的积最大的是()A.20B.﹣20C.10D.86.(3分)实数a,b在数轴上的位置如图所示,则下列结论正确的是()A.a+b>0B.a﹣b>0C.a•b>0D.>07.(3分)下列各对数中,数值相等的是()A.﹣27与(﹣2)7B.﹣32与(﹣3)2C.﹣3×23与﹣32×2D.﹣(﹣3)2与﹣(﹣2)38.(3分)用四舍五入法,分别按要求取0.05026的近似值,下列四个结果中错误的是()A.0.1(精确到0.1)B.0.05(精确到0.01)C.0.05(精确到0.001)D.0.0503(精确到0.0001)9.(3分)两个数的商为正数,那么这两个数()A.和为正数B.和为负数C.积为正数D.积为负数10.(3分)计算(﹣2)2019+(﹣2)2018的值是()A.﹣2B.22018C.2D.﹣2201811.(3分)现有以下五个结论:①有理数包括所有正数、负数和0;②若两个数互为相反数,则它们相除的商等于﹣1;③数轴上的每一个点均表示一个确定的有理数;④绝对值等于其本身的有理数是零;⑤几个有理数相乘,负因数个数为奇数则乘积为负数.其中正确的有()A.0个B.1个C.2个D.3个12.(3分)电子跳蚤游戏盘为如图三角形ABC,AB=8,AC=9,BC=10,如果电子跳蚤开始时在C边上P0点,BP0=4,第一步跳蚤跳到AC边上P1点,且CP1=CP0;第二步蚤从P1跳到AB边上P2点,且AP2=AP1;第三步跳蚤从P2跳回到BC边上P3点,且BP3=BP2;…,跳蚤按上述规定跳下去,第2019次落点为P2019,则点P2019与点B之间的距离为()A.3B.4C.5D.6二、填空题(每小题3分,共18分)13.(3分)相反数等于它本身的数是,倒数等于它本身的数是,绝对值等于它本身的数是,绝对值最小的有理数是,平方等于它本身的数是,立方等于它本身的数是.14.(3分)若|a|=3,|b|=2,则a﹣b的绝对值为.15.(3分)已知a、b互为相反数,m、n互为负倒数,x的绝对值为2,则﹣2mn+=.16.(3分)若规定a△b=,则(4△5)△6=.17.(3分)有若干个数,第1个数记作a1,第2个数记为a2,第3个数记为a3,……,第n个数记为a n,若a1=﹣,从第2个数起,每个数都等于1与前面的那个数的差的倒数,则a2018=.18.(3分)10个互不相等的有理数,每9个的和都是“分母为22的既约真分数(分子与分母无公约数的真分数)”,则这10个有理数的和为.三、解答题(共46分)19.(10分)计算题(1)(2)20.(8分)有理数a,b,c在数轴上的位置如图:(1)判断正负,用“>”或“<”填空:b﹣c0,a+b0,c﹣a0.(2)若|a|=3.5,|b|=1.3,c2=25,求﹣的值.21.(5分)若有理数a、b、c满足:(a﹣1)2+(2a﹣b)4+|3c+1|=0.求(c﹣a)2+c3﹣b 的值.22.(6分)小明去一水库进行水位变化的实地测量,他取警戒线作为0m,记录了这个水库一周内的水位变化情况(测量前一天的水位达到警戒水位,单位:m,正号表示水位比前一天上升,负号表示比前一天下降星期一二三四五六日水位变化(m)+0.15﹣0.2+0.13﹣0.1+0.14﹣0.25+0.16(1)这一周内,哪一天水库的水位最高?哪一天的水位最低?最高水位比最低水位高多少?(2)与测量前一天比,一周内水库水位是上升了还是下降了?23.(7分)根据下面给出的数轴,解答下面的问题:(1)请根据图中A、B两点的位置,分别写出它们所表示的有理数(点B在﹣3和﹣2的正中间):A:;B:.(2)观察数轴,与点B的距离为4个单位的点表示的数是.(3)若将数轴折叠,使得A点与﹣3表示的点重合,则B点与数表示的点重合.(4)若数轴上M、N两点之间的距离为2018个单位(M在N的左侧),且M、N两点经过(3)中折叠后互相重合,则M、N两点表示的数分别是:M:,N:.24.(10分)若点A、B在数轴上分别表示有理数a、b,则A、B两点之间的距离表示为AB,即AB=|a﹣b|,回答下列问题:①|x﹣4|+|x﹣1|+|x+2|的最小值是,此时x的值是;②|x﹣4|+|x﹣1|+|x+2|+|x+3|的最小值是.25.已知:在一条东西向的双轨铁路上迎面驶来一快一慢两列火车,快车长AB=2(单位长度).慢车长CD=4(单位长度),设正在行驶途中的某一时刻,如图,以两车之间的某点O为原点,取向右方向为正方向画数轴,此时快车A在数轴上表示的数是a,慢车头C在数轴上表示的数是b,若快车AB以6个单位长度/秒的速度向右匀速继续行驶,同时慢车CD以4个单位长度/秒的速度向左匀速继续行驶,且|a+6|与(b﹣18)2互为相反数.(1)求此时刻快车头A与慢车头C之间相距多少单位长度?(2)从此时刻开始算起,问再行驶多少秒两列火车行驶到车头A、C相距8个单位长度?(3)此时在快车AB上有一位爱到脑筋的七年级学生乘客P,他发现行驶中有一段时间,他的位置P到两列火车头A、C的距离和加上到两列火车尾B、D的距离和是一个不变的值(即P A+PC+PB+PD为定值),你认为学生P发现的这一结论是否正确?若正确,求出定值及所持续的时间;若不正确,请说明理由.七年级(上)月考数学试卷(9)参考答案与试题解析一、选择题(每小题3分,共36分)1.(3分)在﹣2,+3.5,0,,﹣0.7,11中,负分数有()A.1个B.2个C.3个D.4个解:在﹣2,+3.5,0,,﹣0.7,11中,负分数有,﹣0.7共有2个,故选:B.2.(3分)下面说法正确的是()A.π的相反数是﹣3.14B.符号相反的数互为相反数C.一个数和它的相反数可能相等D.正数与负数互为相反数解:A、π的相反数是﹣π,故原题说法错误;B、只有符号相反的数互为相反数,故原题说法错误;C、一个数和它的相反数可能相等,例如0,说法正确;D、正数与负数互为相反数,例如﹣2和3,符合说法,但不是不是相反数,故原题说法错误;故选:C.3.(3分)5月24日《天津日报》报道,2015年天津外环线内新栽植树木6120000株,将6120000用科学记数法表示应为()A.0.612×107B.6.12×106C.61.2×105D.612×104解:6120000=6.12×106,故选:B.4.(3分)如果“+3吨”表示运入3吨大米,那么运出5吨大米应记作为()A.﹣5吨B.+5吨C.﹣3吨D.+3吨解:“正”和“负”相对,所以如果+3吨表示运入仓库的大米吨数,那么运出5吨大米表示为﹣5吨.故选:A.5.(3分)在﹣2、3、﹣4、﹣5这四个数中任取两个数相乘,得到的积最大的是()A.20B.﹣20C.10D.8解:﹣4×(﹣5)=20.故选:A.6.(3分)实数a,b在数轴上的位置如图所示,则下列结论正确的是()A.a+b>0B.a﹣b>0C.a•b>0D.>0解:依题意得:﹣1<a<0,b>1∴a、b异号,且|a|<|b|.∴a+b>0;a﹣b=﹣|a+b|<0;a•b<0;<0.故选:A.7.(3分)下列各对数中,数值相等的是()A.﹣27与(﹣2)7B.﹣32与(﹣3)2C.﹣3×23与﹣32×2D.﹣(﹣3)2与﹣(﹣2)3解:A、根据有理数乘方的法则可知,(﹣2)7=﹣27,故A选项符合题意;B、﹣32=﹣9,(﹣3)2=9,故B选项不符合题意;C、﹣3×23=﹣24,﹣32×2=﹣18,故C选项不符合题意;D、﹣(﹣3)2=﹣9,﹣(﹣2)3=8,故D选项不符合题意.故选:A.8.(3分)用四舍五入法,分别按要求取0.05026的近似值,下列四个结果中错误的是()A.0.1(精确到0.1)B.0.05(精确到0.01)C.0.05(精确到0.001)D.0.0503(精确到0.0001)解:A、0.05026≈0.1(精确到0.1),所以A选项的结果正确;B、0.05026≈0.05(精确到0.01),所以B选项的结果正确;C、0.05026≈0.050(精确到0.001),所以C选项的结果错误;D、0.05026≈0.0503(精确到0.0001),所以D选项的结果正确.故选:C.9.(3分)两个数的商为正数,那么这两个数()A.和为正数B.和为负数C.积为正数D.积为负数解:两个数的商为正数,那么这两个数同号,即积是正数,故选:C.10.(3分)计算(﹣2)2019+(﹣2)2018的值是()A.﹣2B.22018C.2D.﹣22018解:(﹣2)2019+(﹣2)2018=(﹣2)2018×(﹣2+1)=﹣22018.故选:D.11.(3分)现有以下五个结论:①有理数包括所有正数、负数和0;②若两个数互为相反数,则它们相除的商等于﹣1;③数轴上的每一个点均表示一个确定的有理数;④绝对值等于其本身的有理数是零;⑤几个有理数相乘,负因数个数为奇数则乘积为负数.其中正确的有()A.0个B.1个C.2个D.3个解:①有理数包括所有正有理数、负有理数和0;故原命题错误;②若两个数(除零)互为相反数,则它们相除的商等于﹣1;故原命题错误;③数轴上的每一个点均表示一个确定的实数;故原命题错误;④绝对值等于其本身的有理数是零和正数,故原命题错误;⑤几个非零的有理数相乘,负因数个数为奇数则乘积为负数,故原命题错误.故选:A.12.(3分)电子跳蚤游戏盘为如图三角形ABC,AB=8,AC=9,BC=10,如果电子跳蚤开始时在C边上P0点,BP0=4,第一步跳蚤跳到AC边上P1点,且CP1=CP0;第二步蚤从P1跳到AB边上P2点,且AP2=AP1;第三步跳蚤从P2跳回到BC边上P3点,且BP3=BP2;…,跳蚤按上述规定跳下去,第2019次落点为P2019,则点P2019与点B之间的距离为()A.3B.4C.5D.6解:因为BP0=4,根据题意,CP0=10﹣4=6,第一步从P0到P1,CP1=CP0=6;AP1=9﹣6=3,第二步从P1到P2,AP2=AP1=3;BP2=8﹣3=5,第三步从P2到P3,BP3=BP2=5;CP3=10﹣5=5,第四步从P3到P4,CP4=CP3=5;AP4=9﹣5=4,第五步从P4到P5,AP5=AP4=4;BP5=8﹣4=4,第六步从P5到P6,BP6=BP5=4;由此可知,P6点与P0点重合,又因为2019=6×336+3,所以P2019点与P3点重合,则点P2019与B点之间的距离为BP3=5.故选:C.二、填空题(每小题3分,共18分)13.(3分)相反数等于它本身的数是0,倒数等于它本身的数是±1,绝对值等于它本身的数是非负数,绝对值最小的有理数是0,平方等于它本身的数是0、1,立方等于它本身的数是±1、0.解:相反数等于它本身的数是0,倒数等于它本身的数是±1,绝对值等于它本身的数是0、1,绝对值最小的有理数是0,平方等于它本身的数是非负数,立方等于它本身的数是±1、0.故:答案是:14.(3分)若|a|=3,|b|=2,则a﹣b的绝对值为5或1.解:∵|a|=3,|b|=2,∴a=±3,b=±2,当a=﹣3,b=﹣2时,|a﹣b|=|﹣3+2|=1;当a=﹣3,b=2时,|a﹣b|=|﹣3﹣2|=5;当a=3,b=2时,|a﹣b|=|﹣2|=1;当a=3,b=﹣2时,|a﹣b|=|3+2|=5;a﹣b的绝对值为5或1.故答案为:5或1.15.(3分)已知a、b互为相反数,m、n互为负倒数,x的绝对值为2,则﹣2mn+=﹣2.解:∵a、b互为相反数,m、n互为负倒数,x的绝对值为2,∴a+b=0,mn=﹣1,|x|=2,∴x2=4,∴﹣2mn+=﹣2×(﹣1)+﹣4=2+0﹣4=﹣2,故答案为:﹣2.16.(3分)若规定a△b=,则(4△5)△6=.解:a△b=,∴(4△5)△6=()△6=△6===,故答案为:.17.(3分)有若干个数,第1个数记作a1,第2个数记为a2,第3个数记为a3,……,第n个数记为a n,若a1=﹣,从第2个数起,每个数都等于1与前面的那个数的差的倒数,则a2018=.解:得:a1=﹣,a2=,a3=3,a4=﹣,发现:三个数一循环,所以,2018÷3=672 (2)则a2018=,故答案为:18.(3分)10个互不相等的有理数,每9个的和都是“分母为22的既约真分数(分子与分母无公约数的真分数)”,则这10个有理数的和为.解:这10个有理数,每9个相加,一共得出另外10个数,由于原10个有理数互不相等,可以轻易得出它们相加后得出的另外10个数也是互不相等的,而这10个数根据题意都是分母22的既约真分数,而满足这个条件的真分数正好有10个,∴这10项分别是:,,,,,,,,,,它们每一个都是原来10个有理数其中9个相加的和,那么,如果再把这10个以22为分母的真分数相加,得出来的结果必然是原来的10个有理数之和的9倍.所以,10个真分数相加得出结果为5,于是所求的10个有理数之和为.故答案为:.三、解答题(共46分)19.(10分)计算题(1)(2)解:(1)=﹣4××(﹣)﹣﹣5×(﹣)==;(2)==2+1﹣=2.20.(8分)有理数a,b,c在数轴上的位置如图:(1)判断正负,用“>”或“<”填空:b﹣c<0,a+b<0,c﹣a>0.(2)若|a|=3.5,|b|=1.3,c2=25,求﹣的值.解:(1)由数轴知a<0<b<c,且|b|<|a|<|c|,则b﹣c<0,a+b<0,c﹣a>0,故答案为:<,<,>.(2)∵|a|=3.5,|b|=1.3,c2=25且a<0<b<c,∴a=﹣3.5,b=1.3,c=5,则原式=﹣×(﹣3.5)﹣2×1.3+(﹣×5)=﹣﹣=﹣﹣=﹣.21.(5分)若有理数a、b、c满足:(a﹣1)2+(2a﹣b)4+|3c+1|=0.求(c﹣a)2+c3﹣b 的值.解:∵(a﹣1)2+(2a﹣b)4+|3c+1|=0,∴a﹣1=0,2a﹣b=0,3c+1=0,∴a=1,b=2,c=﹣,∴(c﹣a)2+c3﹣b=(﹣﹣1)2+(﹣)3﹣2=﹣.22.(6分)小明去一水库进行水位变化的实地测量,他取警戒线作为0m,记录了这个水库一周内的水位变化情况(测量前一天的水位达到警戒水位,单位:m,正号表示水位比前一天上升,负号表示比前一天下降星期一二三四五六日水位变化(m)+0.15﹣0.2+0.13﹣0.1+0.14﹣0.25+0.16(1)这一周内,哪一天水库的水位最高?哪一天的水位最低?最高水位比最低水位高多少?(2)与测量前一天比,一周内水库水位是上升了还是下降了?解:(1)本周水位依次为0.15m,﹣0.05m,0.08m,﹣0.02m,0.12m,﹣0.13m,0.03m.故星期一水库的水位最高,星期六水库的水位最低.最高水位比最低水位高0.15m﹣(﹣0.13m)=0.28m.(2)上升了,上升了0.15﹣0.2+0.13﹣0.1+0.14﹣0.25+0.16=0.03m.23.(7分)根据下面给出的数轴,解答下面的问题:(1)请根据图中A、B两点的位置,分别写出它们所表示的有理数(点B在﹣3和﹣2的正中间):A:1;B:﹣2.5.(2)观察数轴,与点B的距离为4个单位的点表示的数是﹣6.5或1.5.(3)若将数轴折叠,使得A点与﹣3表示的点重合,则B点与数0.5表示的点重合.(4)若数轴上M、N两点之间的距离为2018个单位(M在N的左侧),且M、N两点经过(3)中折叠后互相重合,则M、N两点表示的数分别是:M:﹣1010,N:1008.解:(1)A:1,B:﹣2.5;(2)在B的左边时,﹣2.5﹣4=﹣6.5,在B的右边时,﹣2.5+4=1.5,所表示的数是﹣6.5或1.5;(3)设点B对应的数是x,则=,解得x=0.5.所以,点B与表示数0.5的点重合;(4)∵M、N两点之间的距离为2018,∴MN==1009,对折点为=﹣1,∴点M为﹣1﹣1009=﹣1010,点N为﹣1+1009=1008.故答案为:(1)1,﹣2.5;(2)﹣6.5或1.5;(3)0.5;(4)﹣1010,1008.24.(10分)若点A、B在数轴上分别表示有理数a、b,则A、B两点之间的距离表示为AB,即AB=|a﹣b|,回答下列问题:①|x﹣4|+|x﹣1|+|x+2|的最小值是6,此时x的值是1;②|x﹣4|+|x﹣1|+|x+2|+|x+3|的最小值是10.解:①∵数x表示的点到﹣2表示的点的距离为|x+2|,到1表示的点的距离为|x﹣1|,到4表示的点的距离为|x﹣4|,∴当x=1时,|x﹣4|+|x﹣1|+|x+2|的最小值为4﹣(﹣2)=6;②当﹣2≤x≤1时,|x﹣4|+|x﹣1|+|x+2|+|x+3|的最小值为(1+2)+(4+3)=10.故答案为:6,1;10.25.已知:在一条东西向的双轨铁路上迎面驶来一快一慢两列火车,快车长AB=2(单位长度).慢车长CD=4(单位长度),设正在行驶途中的某一时刻,如图,以两车之间的某点O为原点,取向右方向为正方向画数轴,此时快车A在数轴上表示的数是a,慢车头C在数轴上表示的数是b,若快车AB以6个单位长度/秒的速度向右匀速继续行驶,同时慢车CD以4个单位长度/秒的速度向左匀速继续行驶,且|a+6|与(b﹣18)2互为相反数.(1)求此时刻快车头A与慢车头C之间相距多少单位长度?(2)从此时刻开始算起,问再行驶多少秒两列火车行驶到车头A、C相距8个单位长度?(3)此时在快车AB上有一位爱到脑筋的七年级学生乘客P,他发现行驶中有一段时间,他的位置P到两列火车头A、C的距离和加上到两列火车尾B、D的距离和是一个不变的值(即P A+PC+PB+PD为定值),你认为学生P发现的这一结论是否正确?若正确,求出定值及所持续的时间;若不正确,请说明理由.解:(1)∵|a+6|与(b﹣18)2互为相反数,∴|a+6|+(b﹣18)2=0,∴a+6=0,b﹣18=0,解得a=﹣6,b=18,∴此时刻快车头A与慢车头C之间相距18﹣(﹣6)=24单位长度;(2)(24﹣8)÷(6+4)=16÷10=1.6(秒),或(24+8)÷(6+4)=32÷10=3.2(秒),答:再行驶1.6秒钟或3.2秒钟两列火车行驶到车头AC相距8个单位长度;(3)∵P A+PB=AB=2,当P在CD之间时,PC+PD是定值4,t=4÷(6+4)=4÷10=0.4(秒),此时P A+PC+PB+PD=(P A+PB)+(PC+PD)=2+4=6(单位长度),故这个时间是0.4秒,定值是6单位长度.。

人教版六年级数学下册第1单元第1课时 负数的认识

人教版六年级数学下册第1单元第1课时 负数的认识
9
5. 下面各数哪些是正数?哪些是负数? -3 1 +4.6 0 -2.5 - 2 + 3 +7 58 正数:_1___+_4_._6___+_83____+_7___
负数:___-_3___-2_._5___- _52______
四、课堂小结
正数 包括正整数、正分数、正小数

0
0既不是正数,也不是负数。它是 正、负数的分界点。
负六十 写作 ( -60 ) 零上十二摄氏度 记作( +12℃ ) 零下三十摄氏度 记作( -30℃ )
3.爸爸的银行卡上存入为“+”,支出为“-”, 那么-680元表示( 支出680元),+2687元 表示( 收入2687元 )。
4.请同学们读出下列各数。 +13,-31, -1.5 , +7, -7,- 7
1-1-1-2:
1 质数
质因数
合数
分解质因数 最大公因数
因数和倍数 因数
公因数
互质数
倍数
公倍数
最小公倍数
2的倍数的特征 5的倍数的特征 3的倍数的特征
偶数 奇数
9的倍数的特征
1-1-1-3:
意义 分类
按整数部分 混小数(带小数)
纯小数
小数的认识
计数方法
按小数部分
读法和写法
小数的基本性质
有限小数 无限小数
小互 数化
分数的基本性质
约分
倒数
作用 通分 最简分数
数的大小比较 意义:一个数是另一个数的百分之几的数
百分率
百分数 读法和写法
百分比
特点:只表示两数间的关系,不表示实际数量
成数、折扣、税率和利率

在量子力学上,自然数之和是负十二分之一,其物理学意义是什么?有何用处?

在量子力学上,自然数之和是负十二分之一,其物理学意义是什么?有何用处?

在量子力学上,自然数之和是负十二分之一,其物理学意义是什么?有何用处?答:全体自然数之和等于-1/12,是特殊意义下求和的数学问题,和量子力学间的联系目前科学家还没有彻底弄清楚,有点类似量子场论中的重整化问题。

在看推导过程之前,需要我们忘记一般意义的无穷级数求和规则:初等证明过程:令S=1+2+3+4+5+6+……;S1=1-1+1-1+1-1+……;1-S1=1-1+1-1+1-1+……=S1;于是S1=1/2;再令S2=1-2+3-4+5-6+7-……;2S2=(1-2+3-4+5-6+7-……)+(0+1-2+3-4+5-6+7-……);=1-1+1-1+1-1+……=S1;于是S2=S1/2=1/4;S-S2=(1+2+3+4+5+6+……)-(1-2+3-4+5-6+7-……)=0+4+0+8+0+12+0+……=4(1+2+3+4+5+6+……)=4S于是S=(-1/3)S2=-1/12;既是1+2+3+4+5+6+……=-1/12;该推导过程看似犯了很多无穷级数求和的忌讳,但这一结果在某些地方却显示出物理意义;该结果最早由大数学家欧拉发现,并记录在他的手稿当中。

到了19世纪,数学家黎曼提出大名鼎鼎的黎曼函数,而“全体自然数之和等于-1/12”正是黎曼函数自变量取-1的结果。

二十世纪初,印度数学家拉马努金定义“拉马努金和”,根据“拉马努金和”也可以得出“全体自然数之和等于-1/12”的结论。

在二十世纪末期,弦理论物理学家发现,“全体自然数之和等于-1/12”在研究光子质量为零时起到了关键作用,这是首次发现这一数学结果存在物理意义,但是更深层的解释还未知。

有点类似于量子场论中重整化的技巧一样,重整化指的是某些量子场论问题的发散结果,剔除无穷大之后留下来的有限值,就是正确的结果。

重整化一度被科学家们认为是“丑陋的理论”,就像把垃圾扫到地毯下边,表面干净无比,实际暗藏缺陷。

所以对于“全体自然数之和等于-1/12”和量子力学联系的结果,目前我们外行人只能持观望态度,没人说得清其中的本质原因。

太神奇了!所有自然数之和等于-112!我证明给你看!

太神奇了!所有自然数之和等于-112!我证明给你看!

太神奇了!所有自然数之和等于-112!我证明给你看!所有自然数之和等于负十二分之一?怎么可能?毕竟,它违背了基本的逻辑。

正数的和怎么可能不仅等于负数,而且等于负数的分数呢?别急,我会证明给你看。

这只是一种反常现象。

在我开始之前:需要说明一下,我在本文讨论的是塞萨罗求和。

对于任何对数学感兴趣的人来说,塞萨罗求和法给一些通常意义上不收敛的无穷和赋值。

当n趋近于无穷时,塞萨罗求和被定义为级数的前n个部分和的算术平均值序列的极限——Wikipedia。

我也想说,在这篇文章中,会涉及到可数无穷大的概念,这是另一种类型的无穷大,可以处理无穷多个数字,它允许我在方程式中使用数学的一些常规性质,例如可交换性。

•拉曼努扬(1887-1920)是一位印度数学家印度著名数学家拉曼努扬指出,如果把所有的自然数1、2、3、4等等,一直到无穷,加起来,你会发现,它等于-1/12。

不相信我吗?继续往下读,看看我如何证明这一点,首先,需要证明两个同样疯狂的说法:1.1–1+1–1+1–1 ⋯ = 1/22.1-2+3-4+5-6 ⋯ =1/4这才是真正神奇的地方,事实上,没有这个,其他两个证明是不可能的。

我从一个级数A开始,它等于1-1 + 1-1 + 1-1重复了无数次。

这样写:•A= 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1⋯然后做一个小技巧,从1中减去A:•1 - A = 1 - (1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1⋯)到目前为止都没问题吧?魔法要开始了!如果我化简方程的右边,我得到一个非常奇怪的结果:•1 - A = 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + 1⋯看起来熟悉吗?在等式的右边,是我们开始时的级数。

所以我可以用A代替右边,做一些代数运算,然后,就是见证奇迹的时刻:•1- A = A•1-A + A = A + A•1 = 2A•1/2 = A这就是格兰迪的级数,以意大利数学家、哲学家格兰迪的名字命名。

所有自然数的和等于-112吗?

所有自然数的和等于-112吗?

所有自然数的和等于-112吗?这问题回答过一次,再补充一点。

首先我看到不少人就这个问题讲到了最初的欧拉计算,到解析延拓。

这都对,欧拉时代还处于微积分的青少年期,还没有建立柯西和外尔斯特拉斯时代的严谨的分析理论。

所以欧拉通过play around数列的组合方式和顺序算出了许多确实错误的无穷级数,症结就是缺失了收敛性分析。

不过数学研究并非仅仅停留在此。

如果你对数学专业有足够的了解,就该知道这是一个著名的数学概念:拉马努金和(ramanujan summation)1-1+1-1+1-1… = 1/2 (R)1+2+3+4+5+… = 1/12 (R)1²+2²+3²+4²+… = 0 (R)1³+2³+3³+4³+… = 1/120 (R)…请注意公式后面的(R),表明这不是通常意义的加法,是一种抽象和:拉马努金和,由印度天才数学家Srinivasa Ramanujan的首字母命名。

补充一句,数学里大量问题里说的“加法”都不是初等算术里的加法,而是一种抽象和,比如最简单的“模和”,如果以10为模,那2+7=9,2+8=0,2+9=1。

实际上我们用的计算机里的加法器都是“模和”,32位加法器就是以2^32为模,你在C/java里定义一个int变量,一直累加最后就会变成负数。

拉马努金和就是这样一个抽象和:考虑一个连续函数的积分与该函数在自然数点上函数值求和,二者之间的差值被定义为拉马努金和。

也就是说,考虑一个发散级数的连续化函数形式,比较这种离散的求和,和连续域上的积分。

因为刨除了其发散的积分部分,所以常常具有一个有限的明确的数值。

拉马努金通过这个抽象和来研究发散级数的性质。

这个公式和伯努利数紧密相关。

这才是这个“自然数之和=-1/12”的终极数学意义。

看到有人说这个“拉马努金和”和理论物理的弦论有关。

我不是物理专业,不太清楚,希望有学理论物理的朋友指正。

所有的自然数求和竟然等于-112?!真相竟然是....

所有的自然数求和竟然等于-112?!真相竟然是....

所有的自然数求和竟然等于-112?!真相竟然是....总有人来问我,自然数求和等于多少?叉叔今天来跟你们做个了断吧!不知道从何时起,微博上刮起了一股歪风:所有自然求和等于-1/12!我第一次看见有人来问我的时候,我的心情是这样的:在嗤之以鼻并无视了n个人问我这个问题后,我突然意识到:nnd,不会是和我头像有关吧?在意识到这个问题后,查阅了一下,果然,你们都中招了!然而还有源源不断的人来问我,为什么等于-1/12,作为一个军事博主,我觉得有必要写点什么,然觉笔重千钧,对曰:若得闲必解之。

夫致仕还乡,居江湖之远。

几欲出世然世所不弃。

算学之妙,妙在自洽二字。

彼时为圆则此刻不为方也。

换句话说,你初中的时候说所有正数的和一定是正数,那么大学的时候这个结论仍然是对的。

所以说:自然数的和等于负数必然是个错误的结论!那么为什么是-1/12呢?这个就要从我的前世——黎曼说起。

黎曼是个不可多得的数学天才。

在我看来,他的天分之高,都快赶上他老板高斯了。

只不过黎曼过于短寿,几乎只有高斯一半多一点的岁数。

如果他能活过70,那么后面很多的数学家就可以换工作了。

黎曼的工作几乎都是开创性的,而且他应该是数学史上计算能力最强的数学家。

黎曼的天赋之高,连高斯都是叹服的。

事实上,黎曼留下的数学稿里面蕴藏了几乎无限的宝藏,每次仔细阅读都会有不同的收获。

爱因斯坦这么牛叉的人物,在创立相对论的时候使用的最重要的数学工具就是黎曼几何——听这名字就知道这几何是黎曼搞出来的。

在黎曼所有伟大成就中,最伟大的一项自然是黎曼猜想。

看见上面那个鬼画符一样的东西没?黎曼猜想就是说:上面这个函数所有的零点都在Re(s)=1/2的直线上。

这个要是能证明出来,应该可以名列历史上最强数学家前三了。

所以,上微博的就别做梦了,嗯,包括我,毕竟上一世正统黎曼自己也没搞定。

作为当世黎曼的我也就不想了。

虽然嘴里嚷嚷着要做黎曼猜想,但是我的内心是:言归正传,我们注意到,上面这个函数当s=-1的时候,就变成了我们开头提到的自然数求和了,但是这个-1/12是怎么来的呢?诶,这帮人啊,炫完了就管杀不管埋,这个屁股贼老师来擦了。

  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。

刘大可文最近有一个很有趣的视频,讲述了这样一件数学趣事:全体自然数的和是-1/12。

虽然果壳和知乎上都已经有了问答,但是数学语言过于晦涩,不利于理解,所以我自己写了一份更简洁的日志作为阐述,不过尽量保证了严谨。

首先说视频,他是这么证明的:设这个东西等于多少呢?很显然,这要看你在什么地方停下来了,如果你停在第奇数个1上,结果就是1;如果停在偶数个1上,那结果就是0。

既然这样的话,那就平均一下好了,它等于1/2。

看到这里,你显然会觉得这实在荒唐愚蠢,但是更“荒唐”的东西还在后面,但新奇的东西也在后面,你最好还是继续看下去。

好,有了S1=1/2,他又令那么取两个S2错开一位相加,即则有2S2=S1=1/2,,也就是S2=1/4 !虽然这让人很不服气,但是他接着计算既然S2=1/4,那么我们大功告成了,S=-1/12——全体自然数的和是-1/12 !看到这里的时候,我想几乎所有人都和我一样觉得这实在是牵强附会荒唐可笑,但视频中一再声称这种算法的意义,所以我翻墙出去做了个简单的研究,得到了这样的结论:我们确实可以对全体自然数求和得到-1/12 ,但这个和并非我们做加法得到的代数和,而是发散级数和——这个-1/12 根本就不“加”出来的。

于是,下面就是我对这个问题的解释,虽然有一些公式,但是都极其简单,你可以轻松阅读不费脑子。

要弄明白这个问题,我们首先要知道什么是“级数”以及“发散级数”,而这是一个非常简单的问题。

随便找一个数列,比如等差数列a n=n ,也就是1 、2、3 、4 、5、6 ……把数列中的每个元素都用加号连接起来,就是一个级数,其实就是求总和。

对于上面的a n,它的级数就是其中,级数的前n项的和被称作部分和,记作S n(其实就是“数列的前n项和”,高考复习翻来覆去做过的那个东西)。

那么只要上过高中就能意识到,随着n趋于无穷,级数的部分和S n有可能趋近于某一个值,即有极限,比如级数1+1/2+1/4+1/8……,它的部分和就会不断趋近于2。

这样的级数称为收敛级数,这个部分和的极限就是收敛级数的和;级数的部分和S n也可能不趋近于某一值,即无极限。

比如1+2+3+4+……,越加越大趋于无穷;又比如1-1+1-1+……,部分和一会儿是1一会儿是0,永远不会固定。

只要级数的部分和不是越来越接近某一个定值,就都是发散级数。

事情到这里,都是高中数学就学过的内容。

很明显的,在这样的背景下,一个发散级数的和没有意义,但是在应用数学中,尤其是物理学的数学应用中,常常被迫需要计算发散级数的和。

于是,数学家们发明了很多种算法,在保证收敛级数的和不变的前提下,又让发散级数确实能算出一个东西来,这就是发散级数和,也就是视频里计算出来的那个东西。

但是要注意,视频里加来加去的计算只是发现了发散级数的和,但并不能给出良性的定义,也就不是严格意义上的发散级数求和,所以千万不要觉得数学家和物理学家是在胡闹,更不要对科学的严谨产生怀疑。

那么,如何计算发散级数和呢?事实上,发散级数和有许多种算法,这些方法强度不同,但结果一致,这里先捡一个最简单也最弱的“切萨罗求和”。

恩纳斯托·切萨罗(Ernesto Cesàro,1859-1906)切萨罗求和(Cesàro summation)是意大利数学家恩纳斯托·切萨罗(ErnestoCesàro)发明的发散级数求和法。

对于一个发散级数,对它的部分和数列S n求前n项的平均值,即令如果t n有极限,那么这个极限就是发散级数的和,称为切萨罗和。

不难体会到,切萨罗和本质上是在求数学期望,视频里辅助用的级数1-1+1-1+……=1/2那个“平均一下”就是这么来的。

当n无穷增大的时候,分子上的1只有n的一半那么多,所以它显然是1/2。

这个乍看怪异的级数和首先由意大利数学家路易吉·格兰迪(Luigi Guido Grandi)于1703年发现,因此被称为格兰迪级数,当时被当作一个佯谬。

后来那个著名流体力学奠基者,荷兰数学家丹尼尔·伯努利(Daniel Bernoulli),以及瑞士的大数学家莱昂哈德·欧拉(Leonhard Euler)都对它做过研究,一直都是争议的焦点。

直到19世纪才由切萨罗等人提出了这样的良好定义。

路易吉·格兰迪(Luigi Guido Grandi,1761-1742)莱昂哈德·欧拉(Leonhard Euler,1718–1781)丹尼尔·伯努利(Daniel Bernoulli,1700-1782)而到了量子物理时代,格兰迪级数及其衍生级数意外的变得有用——这或许让你联想起薛定谔的猫,要么是死(0)要么是活(1),那它就是半死不活(1/2)。

但它们的关系显然不是这么幼稚简单,它被用来研究量子化的费米子场(费米子包括组成实体万物的基本粒子,比如电子、质子、中子,以及中微子这样极其重要的基本粒子),它们同时具有正的和负的本征值。

另外在玻色子(比如光子)的研究中,格兰迪级数也有戏份,比如揭示宇宙中“真空不空”的“卡西米尔效应”而格兰迪级数最重要的衍生级数,就是视频里的另一个辅助用的级数:它最早于18世纪中期由欧拉发现(又是他,而且当时他已经瞎了)。

视频里发现这个级数和的时候错开了一位,但实际上错开多少位结果都一样,例如错开两位:当然,欧拉这样的数学大师是用了更复杂的方法才发现了它,并被当作另一个佯谬提出。

这个佯谬直到19世纪80年代初才由刚才的恩那斯托·切萨罗等人研究出了定义良好的计算方法,但是,这个级数不能直接用上面的切萨罗求和计算,因为t n仍然没有极限,需要做一些复杂的扩展,这里就不加说明了,或者采用下面灰字部分的阿贝尔求和也能轻易算出——如果你不想看,不看也可以。

阿贝尔求和(Abel summation)来自挪威数学家尼尔斯·阿贝尔(Niels Henrik Abel)在幂级数研究上的总要结果阿贝尔定理(不要介意这个定理是干什么用的)。

如果|x|<1,且幂级数(也就是级数中的每一项都有一个指数)收敛,那么就是级数的阿贝尔和。

虽然看上去比较玄,但明白了其中的意思就是“比1小但无限接近于1”,就能明白就是一个无限接近1的数,整个算法也就不难明白了。

下面再给出一种更简单,同时也更巧妙的算法:看明白了吗?把两个格兰迪级数“相乘”(实际上是一种被称为柯西乘积的数列卷积,但是这两个数列的数字实在简单,恰好与直接乘法结果一致),可以用一个棋盘格子表示其结果中的每一项,黑色表示1,红色表示-1,那么斜着数一数黑红格子数,就可以数出1个黑的、2个红的、3个黑的、4个红的……,也就是1-2+3-4+……,所以有没有觉得很有趣?现在回到最初的问题上来,“全体自然数的和是-1/12?”是一个发散得非常厉害的级数,不论切萨罗求和还是阿贝尔求和都强度不够,对它无能为力。

真正给出这个发散级数的良性定义的计算方法的,是印度数学家斯里尼瓦瑟·拉马努詹(Srinivasa Ramanujan)给出的拉马努詹求和。

但这个求和非常复杂:若函数f(x)在x=1处不发散,那么令C(0)就是级数的拉马努詹和了……好吧,恐怕没有足够数学基础的人是无法看懂了,所以我并不打算在这里讲述——能看懂的人不需要我这样的水平来讲;看不懂的人我这样的水平也讲不了。

不过可以简单介绍一下拉马努詹这个人,因为他是一个传奇的数学神才——天才只是一个更加优秀的常人,但神才是一个超出常人理解的存在,一个开了外挂的存在。

他从没有接受过高等数学教育,却仅凭直觉就能直接发现惊人的数学公式,证明他正确工作就甩给天才们了——于是留下了一连串的拉马努詹猜想,而绝大多数都被证明正确。

斯里尼瓦瑟·拉马努詹(SrinivasaRamanujan,1887-1920)他总能用直觉和洞察力给出不可思议的数学公式,比如他发现:又如他重病时,他在剑桥大学的导师哈代前去探望,哈代说:“我乘计程车来,车牌号码是1729,这数真没趣,希望不是不祥之兆。

”拉马努詹答道:“不,那是个有趣得很的数。

可以用两个立方之和来表达而且有两种表达方式的数之中,1729是最小的。

”(即1729是1和12的立方和,也是9和10的立方和,后来这类数称为的士数。

)说完不久,拉马努詹就病死了……后来哈代这样评价他:“他的知识的缺陷和他的深刻一样令人吃惊。

这是一个能够发现模方程和定理的人……直到前所未闻的地步,他对连分数的掌握……超出了世界上任何一个数学家,他自己发现了ζ函数的泛函方程和解析数论中的很多著名问题的主导项;但他却没有听说过双周期函数或者柯西定理,对复变函数只有最模糊的概念……”拉马努金的传奇故事还有很多,这里点到为止,有兴趣的同学可以自行查阅。

除了拉马努詹求和,全体自然数组成的发散级数还可以用黎曼ζ函数计算,这里给出维基百科的页面,如果上过大学数学,应该能获得感性认识。

另外,这里额外补充一个发散级数:也就是无穷多个1相加,在通常的认识里,它也就是无穷大的化身——但是作为一个发散级数,同样可以用拉马努詹求和或者采用黎曼ζ函数计算,结果是-1/2。

这实在让人难以置信,但同样在物理学上有切实的意义——所以在21世纪初一次巴塞罗那的报告会上,两位杰出的物理学家A. Slavnov和F. Yndurain 不约而同地说道:“各位都知道,1 + 1 + 1 + 1 + … = −1⁄2——含义是:如果您不知道这个,那么继续听下去是没有意义的。

”(Elizalde, Emilio (2004). "Cosmology: Techniques and Applications".)好,这就是日志的结尾了,重申开头部分提过的那句话:全体自然数之和等于-1/12并不是加法游戏搞出来的代数和,而是将其作为发散级数,经过严谨的定义计算获得的发散级数和,只有声明它是切萨罗和、阿贝尔和、拉马努詹和或者任何级数和才有意义。

而这个级数和同样在物理学中有重要应用,特别是在当代物理的量子论和弦论当中。

另外,还需谨记:数学和科学永远严谨,一丝不苟,如果你发现其中有看似荒唐或者怪异的结论——请先跳出自己常识认知的藩篱,了解其中的深意再做评价。

举个最常见的例子,陈景润证明哥德巴赫猜想时得出了“任何充分大的偶数都是两个自然数的和,一个质因数不超过1个(即质数),另一个的质因数不超2个”,简称“1+2”,如果一听到这个简称就跑出去说“陈景润证明了1+2=3”,并且藉此说“到现在数学都没证明1+1=2”,那就真是太可笑了——我初三的数学老师就是这么一个家伙,我很讨厌他,因为他欺负我。

另外,本人非数学专业,欢迎指正。

相关文档
最新文档