人教版七年级上册巧用线段中点的有关计算
「初中数学」中点相关的几何解法探究
「初中数学」中点相关的几何解法探究中点是几何中的一个重要概念，体现了对称、和谐之美，是中考的核心考察对象之一，在命题中占着重要的一席之地.本文拟从与中点有关的基本定理、基本图形等入手，以学生检测中的一道中考真题为例，对中点问题展开解法探究.一、基本图形先谈谈与中点有关的基本定理与基本图形，如图1所示：1.线段的垂直平分线上的点到线段两端的距离相等；2.等腰三角形底边上的中线、底边上的高线以及顶角的平分线重合，简称“三线合一”；3.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；4.三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半；5.平行四边形的对角线互相平分；由这些基本定理及其相关逆定理衍生出的基本图形，是我们处理中点问题的常见策略，如倍长中线等方法.结合面积问题，还会有“三角形的中线平分其面积”等结论.二、例题呈现（2015年辽宁省抚顺市中考题）如图2，四边形ABCD为矩形，E为边BC的中点，连接AE，以AD为直径的⊙O交AE于点F，连接CF.(1)求证：CF与⊙O相切；(2)若AD=2，F为AE的中点，求AB的长.三、解法探究首先解决第(1)小问：思路一：如图3，要证CF与⊙O相切，必定要连接半径OF，只要证出OF⊥CF即可.由题易知OD⊥CD，连接OC，若能证明△OCD≌△OCF便可解决问题.要证△OCD≌△OCF，已经有OD=OF，OC=OC，还缺一个条件，如何寻找呢？注意到在矩形ABCD中，点O、E分别为AD、BC的中点，易证四边形AOCE为平行四边形，从而有OC∥AE.故∠COF=∠OFA=∠OAF=∠COD，即∠COF=∠COD.因此△OCD≌△OCF （SAS），问题得解.思路一构造平行四边形，通过导角，寻找到了所需的最后一组有关角的条件.除此之外，还可以考虑证明CD=CF，再利用“SSS”得到全等.下面提供“倍长中线”的思路来证明CD=CF.思路二：如图4，延长AE交DC的延长线于点G，由E为边BC 的中点，易证△ABE≌△GCE（ASA），从而有AB=GC=DC；由直径AD联想到连接DF，则∠AFD=∠DFG=90°；识别到“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”基本型，可得FC=DC；至此，除了全等法之外，还可以简化过程如下：由OF=OD得∠OFD=∠ODF，再由FC=DC得∠CFD=∠CDF，从而有∠OFC=∠ODC=90°，则OF⊥CF，故CF与⊙O相切，问题得解.课堂上笔者介绍了这两种思路，学生直呼过瘾.就这样结束了吗？不！爱动脑筋，总会有意想不到的收获！下课铃声一响，班里一学生兴高采烈的堵住我：“老师，我还有一种解法，……”.思路三：如图5，连接OF、DF、OE、OC、DE，设OC与DE交于点M，再连接FM.易证四边形ODCE为矩形，且∠AFD=∠DFE=90°，则FM=1/2DE=1/2OC=OM=CM.由FM =OM=CM，可推出∠OFC=90°，则OF⊥CF，故CF与⊙O相切，问题得解.此解法看似复杂，但构图充满美感，不自觉间形成了一个极其有趣的“★”结构，让人不禁感叹几何构造之神奇！而解法来源于学生，又不禁让教者惊叹于学生无限的创造力!若用共圆的眼光来看，此解法将更有趣.如图6，易知O、D、C、E、F五点共圆，再借助圆中相关知识，此图中还会有非常多的等角.四、解后反思“学而不思则罔，思而不学则殆”，解题后反思是是一种意识，一种习惯，更是一种能力.几何的学习重在基本图形的识别与构造，学会联想，将残缺的图形补成已学过或已解决的基本图形，这就是所谓常见辅助线的构造.反思解题过程，重在反思基本图形.1.“铁三角结构”思路一中可抽离一个基本图形：如图6，由OA=OF及OC∥AF可推出∠1=∠2，即“等腰三角形＋平行角平分线”.事实上，对于条件①：OA=OF；条件②：OC∥AF；条件③：∠1=∠2，其中任意两个成立，第三个一定成立，两两组合，共三个真命题.笔者称其为“铁三角结构”，它经常会出现在中考题里，应予以广泛的关注.2.“倍长中线法”思路二中，由中点E联想到倍长AE至点G，如图7，构造出一组“平行8字型”全等，此法即为“倍长中线法”，是解决与中点相关问题的重要方法，需引起高度重视.此外，倍长中线之后，思路二还结合了一个重要的定理，即直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，如图8所示.这条中线了不得，它将直角三角形分割成了两个等腰三角形，实现了两种特殊三角形之间的相互转化.值得一提的是，该定理还有一些重要的逆定理，比如“若FC=CD=CG，则∠DFG=90°”，再比如“若∠DFG=90°且FC=CD，则CD=CG”，也经常会在中考题里出现.3.几个有趣的结论(1)如图9，在矩形ABCD中，E为边BC的中点，DF⊥AE，则CF=CD.简析：该结论就是从例题图中抽离出来的，其中圆被隐去了.其证明，从例题来看，至少有两种证法：一是取AD的中点，采取全等法；二是延长AE，采取倍长中线法.此外，还可以建立平面直角坐标系，设出点坐标，利用解析法，经过一番“惨无人道”的计算，验证出CF=CD成立.这既是解析法的优势，也是其劣势之所在.它不需要联想到几何构造的“天马行空”，仅仅只要实施暴力计算的“脚踏实地”.几何法是证明，而解析法就是验算.通过证明不难发现，矩形条件实属多余，只需要四边形ABCD为平行四边形，其余条件不变，如图10所示，依然有CF=CD成立.(2)如图11，在正方形ABCD中，E、M分别为边BC、AB的中点，则CF=CD.简析：易证Rt△ADM≌Rt△BAE（SAS），导角可得DM⊥AE，转化为结论(1)，下略.图11中，两个中点可导出：DM⊥AE，DM=AE，CF=CD.这是一个极其有趣的结构，可称为正方形中“十字架”模型，借助相似，该模型也可以推广到矩形中，是一个经典的几何图形，常出现在考题中.(3)如图12，在正方形ABCD中，F为边AB的中点，CF与以AB 为直径的半圆交于点G，连接AG并延长交BC于点E，则E必为边BC的一个黄金分割点.简析：如图13，由直径AB联想到连接BG，则BG⊥AE；联想到正方形中“十字架”模型，延长BG交边CD于点M，则易得Rt△ABE≌Rt△BCM（AAS）；又由边AB的中点F知，GF=AF=BF，导角易得∠1=∠3=∠4=∠2，∠5=∠8=∠7=∠6；由∠1=∠2知△CGE∽CBG，从而易得CG2=CE×CB；又由∠5=∠6，易得CG=CM=BE，因此有BE2=CE×CB，即点E必为边BC的一个黄金分割点，问题得解.此结论脱胎于2017年安徽省中考压轴题，是一个极其有趣的结果，它提供了一种用尺规作图寻找线段黄金分割点的趣法，值得大家用心揣摩.五、类题巩固（2017年黑龙江省鹤岗市中考题）已知：△AOB和△COD均为等腰直角三角形，∠AOB＝∠COD＝90°．连接AD，BC，点H为BC中点，连接OH．(1)如图14所示，求证：OH＝1/2AD且OH⊥AD；(2)将△COD绕点O旋转到图15，图16所示位置时，线段OH与AD又有怎样的关系，并选择一个图形证明你的结论．简析：(1)如图17，易证Rt△AOD≌Rt△BOC（SAS），则AD=BC，∠1=∠2；又由H为BC的中点，易得OH=1/2BC=BH，从而∠1=∠3；故OH＝1/2AD，再由∠2=∠3导角可得OH⊥AD；对于第(2)小问，下面给出几种方法，供大家参考：方法一：如图18，延长BO至点B′，使OB′=BO，连接B′C.由点H为BC中点，得OH∥B′C且OH=1/2B′C.又易证△AOD≌△B′OC （SAS），则有AD=B′C，于是有OH＝1/2AD.另外，由△AOD≌△B′OC还可得∠OAD=∠OB′C，导角易得B′C⊥AD，从而有OH⊥AD，问题得解.方法一通过倍长BO的手段，将目标线段OH变为中位线，从而转化为B′C，只要证明B′C与AD的关系即可.既然可以倍长BO，同理可以倍长CO，如图19所示，“它们是一伙的”，不再赘述.方法二：如图20，延长AO至点E，使OE=AO，连接DE，再取DE的中点F，连接OF，则OF∥AD且OF=1/2AD.又易证△BOC≌△EOD（SAS），其中△EOD可看成由△BOC绕着点O按逆时针方向旋转90°而来.由点H为BC中点，易知点H与点F是对应点，再结合旋转的性质，可得OF=OH且OF⊥OH，从而有OH=1/2AD且OH⊥AD，问题得解.方法二通过倍长AO的手段，再取一个中点，将目标线段AD转化为中位线OF，只要证明OF与OH的关系即可.既然可以倍长AO，同理可以倍长DO，如图21所示，“它们也是一伙的”，不再赘述.上面两种方法都用到了一个重要的基本图形，如图22及图23所示，可直观地称其为“共直角顶点的双等腰直角三角形模型”.在该模型中，易得△BOD≌△AOC（SAS），这个全等往往是解题的关键之所在，还可以用旋转的眼光来看待，从而易得AC=BD且AC⊥BD.方法三：如图24，延长中线OH至点E，使HE=OH，连接BE，则有△COH≌△BEH（SAS），从而易知BE=CO=DO，且易得BE∥CO，故∠EBO+∠COB=180°.又因为∠AOD+∠COB=（∠AOB+∠DOB）+∠COB=∠AOB +(∠DOB +∠COB）=∠AOB+∠DOC=180°，所以有∠EBO=∠AOD.于是有△EBO≌△DOA（SAS），则OE=AD且∠EOB=∠DAO.再导角可得OE⊥AD，因此有OH=1/2AD且OH⊥AD，问题得解.该解法巧施“倍长中线”策略，通过全等，结合导角等方法解决问题.如图25，倍长中线OH至点E，再连接CE，也可解决问题。
【压轴必考】2023学年七年级数学上册压轴题攻略(人教版)-线段上动点问题的三种考法(解析版)
线段上动点问题的三种考法类型一、求值问题例.数轴上有A B C 三点 A B 表示的数分别为m n ()m n < 点C 在B 的右侧2AC AB -=．(1)如图1 若多项式()371231mn x x x +--+-是关于x 的二次三项式 请直接写出m n 的值：(2)如图2 在（1）的条件下 长度为1的线段EF （E 在F 的左侧）在A B 之间沿数轴水平滑动（不与A B 重合） 点M 是EC 的中点 N 是BF 的中点 在EF 滑动过程中 线段MN 的长度是否发生变化 请判断并说明理由；(3)若点D 是AC 的中点．①直接写出点D 表示的数____________（用含m n 的式子表示）； ②若24AD BD += 试求线段AB 的长．【答案】(1)5m =- 1n =；(2)不变化 理由见解析；(3)①12m n++；②103【解析】(1)解：由题可知 n -1=0 7+m =2 ∴1n = 5m =-故答案为：5m =- 1n =(2)解：MN 的长不发生变化 理由如下： 由题意 得点C 表示的数为3设点E 表示的数为x 则点F 表示的数为1x +∴6AB = 2BC = 5AE x =+ 6AF x =+ 3EC x =- BF x =- ∴点M 是EC 的中点 N 是BF 的中点 ∴32x MC ME -==2x NF -= 即311222x x MN ME EF FN --=--=--=(3)解：①∴A B 表示的数分别为m n ()m n < 又点C 在B 的右侧 ∴AB =n -m ∴2AC AB -= ∴AC = n -m +2∴点D 是AC 的中点 ∴AD =12AC = 12（n -m +2）∴D 表示的数为：m +12（n -m +2）=12m n ++ ②依题意 点C 表示的数分别为2n + ∴AB n m =- 1122m n n mAD m +-=+-=+ ∴1122m n m n BD n +-=+-=+ 22122m nBD m n -=+=-+ ∴24AD BD += 即1242n mm n -++-+= 当20m n -+>时．()1242n mm n -++-+= 2m n -= ∴m n < ∴2m n -=不符合题意 舍去 当20m n -+<时．()1242n m m n -+--+= 103n m -= 综上所述 线段AB 的长为103.【变式训练1】如图1 点C 在线段AB 上 图中共有三条线段AB AC 和BC 若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍 则称点C 是线段AB 的“巧点”． （1）线段的中点__这条线段的“巧点”；（填“是”或“不是”）；（2）如图2 已知AB ＝15cm ．动点P 从点A 出发 以2cm /s 的速度沿AB 向点B 匀速运动；点Q 从点B 出发 以1cm /s 的速度沿BA 向点A 匀速运动 点P Q 同时出发 当其中一点到达终点时 运动停止．设移动的时间为t （s ） 当t ＝__s 时 Q 为A P 的“巧点”．【答案】是 7.5或457【解析】（1）若线段中点为C 点 AB ＝2AC 所以中点是这条线段“巧点”（2）设A 点为数轴原点 作数轴 设运动时间为t 秒；t 最大＝7.5 A ：0 P ：0+2t ＝2t Q ：15﹣t①Q为AP中点20152tt+-=∴t＝7.5；②AQ＝2PQ AQ＝15﹣t﹣0＝15﹣t PQ＝2t﹣（15﹣t）＝3t﹣15∴AQ＝2PQ∴15﹣t＝2（3t﹣15）∴457t=；③PQ＝2AQ得3t﹣15＝2（15﹣t）∴t＝9>7.5（舍去）．综上所述：t＝7.5或457．故答案为：（1）是；（2）7.5或457．【变式训练2】已知：如图1 M是定长线段AB上一定点C、D两点分别从M、B出发以1cm/s、3cm/s的速度沿直线BA向左运动运动方向如箭头所示（C在线段AM上D在线段BM上）(1)若AB＝11cm 当点C、D运动了1s 求AC+MD的值．(2)若点C、D运动时总有MD＝3AC直接填空：AM＝BM．(3)在（2）的条件下N是直线AB上一点且AN﹣BN＝MN求2MN3AB的值．【答案】(1)7cm；(2)13；(3)13或23【解析】(1)解：当点C、D运动了1s时CM＝1cm BD＝3cm ∴AB＝11cm CM＝1cm BD＝3cm∴AC+MD＝AB﹣CM﹣BD＝11﹣1﹣3＝7cm．(2)解：设运动时间为t则CM＝t BD＝3t∴AC＝AM﹣t MD＝BM﹣3t又MD＝3AC∴BM﹣3t＝3AM﹣3t即BM＝3AM∴AM=13 BM故答案为：13．(3)解：由（2）可得：∴BM＝AB﹣AM∴AB﹣AM＝3AM∴AM＝14 AB①当点N 在线段AB 上时 如图∴AN ﹣BN ＝MN又∴AN ﹣AM ＝MN ∴BN ＝AM ＝14AB ∴MN ＝12AB 即2MN 3AB =13． ②当点N 在线段AB 的延长线上时 如图∴AN ﹣BN ＝MN又∴AN ﹣BN ＝AB ∴MN ＝AB ∴MNAB=1,即2MN 3AB =23．综上所述2MN 3AB ＝13或23【变式训练3】如图 数轴上有两点,A B 点C 从原点O 出发 以每秒1cm 的速度在线段OA 上运动 点D 从点B 出发 以每秒4cm 的速度在线段OB 上运动．在运动过程中满足4OD AC = 若点M 为直线OA 上一点 且AM BM OM -= 则ABOM的值为_______．【答案】1或53【解析】设运动的时间为t 秒 点M 表示的数为m则OC=t BD=4t 即点C 在数轴上表示的数为-t 点D 在数轴上表示的数为b -4t ∴AC=-t -a OD=b -4t由OD=4AC 得 b -4t=4（-t -a ） 即：b=-4a ①若点M 在点B 的右侧时 如图1所示：由AM -BM=OM 得 m -a -（m -b ）=m 即：m=b -a ； ∴=1b a B O mA m M m-== ②若点M 在线段BO 上时 如图2所示：由AM -BM=OM 得 m -a -（b -m ）=m 即：m=a+b ； ∴=4543b a b a a a m a AB b a a OM ----===+- ③若点M 在线段OA 上时 如图3所示：由AM -BM=OM 得 m -a -（b -m ）=-m 即：433a b a am a +-===- ∴此时m ＜0 a ＜0 ∴此种情况不符合题意舍去； ④若点M 在点A 的左侧时 如图4所示：由AM -BM=OM 得 a -m -（b -m ）=-m 即：m=b -a=-5a ；而m ＜0 b -a ＞0 因此 不符合题意舍去 综上所述AB OM 的值为1或53． 类型二、证明定值问题例.如图 已知线段AB m = CD n = 线段CD 在直线AB 上运动（点A 在点B 的左侧点C 在点D 的左侧） 若()21260m n -+-=． （1）求线段AB CD 的长；（2）若点M N 分别为线段AC BD 的中点 4BC = 求线段MN 的长；（3）当CD 运动到某一时刻时 点D 与点B 重合 点P 是线段AB 的延长线上任意一点 下列两个结论：①PA PB PC -是定值 ②PA PBPC+是定值 请选择你认为正确的一个并加以说明．【答案】（1）12AB = 6CD =；（2）9；（3）②正确2PA PBPC+= 见解析 【解析】（1）由()21260m n -+-= ()212600m n ≥--≥， 12=06=0m n --， 得12m = 6n = 所以12AB = 6CD =； （2）当点C 在点B 的右侧时 如图因为点M N 分别为线段AC BD 的中点 4BC = 所以()()1124118222AM AC AB BC ==+⨯+== ()()111645222DN BD CD BC ===++= 又因为124622AD AB BC CD =++=++= 所以22859MN AD AM DN =--=--= 当点C 在点B 的左侧时 如图因为点M N 分别为线段AC BD 的中点 所以()()1111244222AM MC AC AB BC ===--== ()()111641222BN ND BD CD BC ===--== 所以126414AD AB CD BC =+-=+-= 所以14419MN AD AM DN =--=--=． 综上 线段MN 的长为9； （3）②正确 且2PA PBPC+=．理由如下： 因为点D 与点B 重合 所以BC DC =所以6AC AB BC AB DC =-=-= 所以AC BC = 所以()()222PC AC PC BC PA PB PC AC BC PCPC PC PC PC++-++-====．【变式训练1】已知线段AB ＝m CD ＝n 线段CD 在直线AB 上运动（A 在B 的左侧 C 在D 的左侧） 且m n 满足|m －12|＋（n －4）2＝0. （1）m ＝ n ＝ ；（2）点D 与点B 重合时 线段CD 以2个单位长度/秒的速度向左运动．①如图1 点C 在线段AB 上 若M 是线段AC 的中点 N 是线段BD 的中点 求线段MN的长；②P是直线AB上A点左侧一点线段CD运动的同时点F从点P出发以3个单位/秒的向右运动点E是线段BC的中点若点F与点C相遇1秒后与点E相遇．试探索整个运动过程中FC－5DE是否为定值若是请求出该定值；若不是请说明理由．【解析】（1）∴|m－12|＋（n－4）2＝0 ∴m－12=0 n－4=0 ∴m=12 n=4；故答案为：12；4．（2）由题意①∴AB=12 CD=4∴M是线段AC的中点N是线段BD的中点∴AM=CM=12AC DN=BN=12BD∴MN=CM+CD+DN=12AC +CD+12BD=12AC +12CD+12BD+12CD=12(AC +CD+BD)+12CD=12(AB +CD)=8；②如图设PA=a 则PC=8+a PE=10+a依题意有：81013231a a解得：a=2 在整个运动的过程中：BD=2t BC=4+2t∴E是线段BC的中点∴CE= BE=12BC=2+t；∴．如图1 F C相遇即t=2时F C重合 D E重合则FC=0 DE=0 ∴FC-5 DE =0；∴．如图2 F C相遇前即t<2时FC =10-5t DE =BE-BD=2+t-2t=2-t ∴FC-5 DE =10-5t -5（2-t）=0；∴．如图3 F C相遇后即t＞2时FC =5t-10 DE = BD - BE=2t –(2+t)= t-2 ∴FC-5 DE =5t-10 -5（t-2）=0；综合上述：在整个运动的过程中FC-5 DE的值为定值且定值为0．【变式训练2】如图数轴上点A B表示的有理数分别为63 点P是射线AB上的一个动点（不与点A B重合）M是线段AP靠近点A的三等分点N是线段BP靠近点B的三等分点．（1）若点P表示的有理数是0 那么MN的长为________；若点P表示的有理数是6 那么MN的长为________；（2）点P在射线AB上运动（不与点A B重合）的过程中MN的长是否发生改变？若不改变请写出求MN的长的过程；若改变请说明理由．【答案】（1）6；6；（2）不发生改变MN为定值6 过程见解析【详解】解：（1）若点P表示的有理数是0（如图1）则AP=6 BP=3．∴M是线段AP靠近点A的三等分点N是线段BP靠近点B的三等分点．∴MP=23AP=4 NP=23BP=2 ∴MN=MP+NP=6；若点P表示的有理数是6（如图2）则AP=12 BP=3．∴M是线段AP靠近点A的三等分点N是线段BP靠近点B的三等分点．∴MP=23AP=8 NP=23BP=2 ∴MN=MP-NP=6．故答案为：6；6．（2）MN的长不会发生改变理由如下：设点P表示的有理数是a（a＞-6且a≠3）．当-6＜a＜3时（如图1）AP=a+6 BP=3-a．∴M是线段AP靠近点A的三等分点N是线段BP靠近点B的三等分点．∴MP=23AP=23（a+6）NP=23BP=23（3-a）∴MN=MP+NP=6；当a＞3时（如图2）AP=a+6 BP=a-3．∴M是线段AP靠近点A的三等分点N是线段BP靠近点B的三等分点．∴MP=23AP=23（a+6） NP=23BP=23（a -3） ∴MN=MP -NP=6．综上所述：点P 在射线AB 上运动（不与点A B 重合）的过程中 MN 的长为定值6．【变式训练3】(1)如图1 在直线AB 上 点P 在A 、B 两点之间 点M 为线段PB 的中点点N 为线段AP 的中点 若AB n = 且使关于x 的方程()46n x n -=-无解. ①求线段AB 的长；②线段MN 的长与点P 在线段AB 上的位置有关吗？请说明理由； (2)如图2 点C 为线段AB 的中点 点P 在线段CB 的延长线上 试说明PA PBPC+的值不变.【答案】（1）①AB=4；②线段MN 的长与点P 在线段AB 上的位置无关 理由见解析；（2）见解析.【详解】解：（1）①∴关于x 的方程()46n x n -=-无解．∴4n -=0 解得：n=4．故AB=4． ②线段MN 的长与点P 在线段AB 上的位置无关 理由如下： ∴M 为线段PB 的中点 ∴PM= 12PB ．同理：PN=12AP ．．∴MN=PN+PM= 12（PB+AP ）=12AB=12×4=2．∴线段MN 的长与点P 在线段AB 上的位置无关． （2）设AB=a BP=b 则PA+PB=a+b+b=a+2b ． ∴C 是AB 的中点 1122BC AB a ∴== 12PC PB BC a b ∴=+=+2212PA PB a bPC a b ++∴==+ 所以PA PBPC+的值不变.类型三、数量关系 例.数轴上A B 、两点对应的数分别是4,12- 线段CE 在数轴上运动 点C 在点E 的左边且8,CE =点F 是AE 的中点．（1）如图1 当线段CE 运动到点,C E 均在,A B 之间时 若1CF = 则AB =_________ 点C 对应的数为________BE =________；（2）如图2 当线段CE 运动到点A 在C E 、之间时 画出草图并求BE 与CF 的数量关系．【答案】（1）16；2；2；（2）2BE CF = 画图见解析． 【解析】（1）数轴上A B 、两点对应的数分别是4,12- 12(4)16AB ∴=--=8,1CE CF ==7EF CE CF ∴=-=点F 是AE 的中点 7AF EF ∴== 6AC AF CF ∴=-=6AC AO CO =+= 2CO ∴= C ∴对应的数是2 2BE AB AF EF ∴=--=故答案为：16；2；2； （2）,BE AB AE CF CE EF =-=-点F 是AE 的中点 2AE EF ∴=162,8BE AB AE EF CF CE EF EF ∴=-=-=-=- 2BE CF ∴=故答案为：（1）16；2；2；（2）2BE CF = 画图见解析．【变式训练1】如图 已知线段AB 延长线段BA 至C 使CB ＝43AB ．（1）请根据题意将图形补充完整．直接写出ACAB＝ _______； （2）设AB ＝ 9cm 点D 从点B 出发 点E 从点A 出发 分别以3cm/s 1cm/s 的速度沿直线AB 向左运动．①当点D在线段AB 上运动 求ADCE的值； ②在点D E 沿直线AB 向左运动的过程中 M N 分别是线段DE 、AB 的中点．当点C 恰好为线段BD 的三等分点时 求MN 的长． 【答案】（1）13（2）3 （3）12cm 或24cm ．【详解】解：（1）图形补充完整如图∵CB ＝43AB ∴CA ＝13BC AB AB -=13AC AB = 故答案为：13； （2）①AB ＝ 9cm 由（1）得 133CA AB ==（cm ） 设运动的时间为t 秒 (93)DA t =-cm (3)CE t =-cm93=33AD tCE t-=-②当3BD CD =时 ∴AB ＝ 9cm 3CA =cm ∴212CB CD ==cm ∴6CD =cm 318BD CD ==cm运动时间为：18÷3=6（秒） 则6AE =cm15BE BA AE =+=cm 3ED BD BE =-=cm∴M N 分别是线段DE 、AB 的中点．∴ 1.5DM =cm 4.5BN =cm12MN BD DM BN =--=cm当3BD CB =时 ∴AB ＝ 9cm 3CA =cm ∴12CB =cm ∴336BD CB ==cm运动时间为：36÷3=12（秒） 则12AE =cm 21BE BA AE =+=cm 15ED BD BE =-=cm ∴M N 分别是线段DE 、AB 的中点．∴7.5DM =cm 4.5BN =cm24MN BD DM BN =--=cm综上 MN 的长是12cm 或24cm ．【变式训练2】已知点C 在线段AB 上 AC ＝2BC 点D 、E 在直线AB 上 点D 在点E 的左侧（1）若AB ＝18 DE ＝8 线段DE 在线段AB 上移动 ①如图1 当E 为BC 中点时 求AD 的长； ②当点C 是线段DE 的三等分点时 求AD 的长；（2）若AB＝2DE线段DE在直线上移动且满足关系式32AD ECBE+=则CDAB＝．【答案】（1）①AD＝7；②AD＝203或283；（2）1742或116【详解】解：（1）∴AC＝2BC AB＝18 ∴BC＝6 AC＝12 ①∴E为BC中点∴CE＝3∴DE＝8 ∴CD＝5 ∴AD＝AC﹣CD＝12﹣5＝7；②∴点C是线段DE的三等分点DE＝8∴CE＝13DE＝83或CE＝23DE＝163∴CD＝163或CD＝83∴AD＝AC﹣CD＝12﹣163＝203或12-83=283；（2）当点E在线段BC之间时如图设BC＝x则AC＝2BC＝2x∴AB＝3x ∴AB＝2DE∴DE＝1.5x设CE＝y∴AE＝2x+y BE＝x﹣y∴AD＝AE﹣DE＝2x+y﹣1.5x＝0.5x+y∴32AD ECBE+=∴0.532x y yx y++=-∴y＝27x∴CD＝1.5x﹣27x＝1714x∴171714342==xCDAB x；当点E在点A的左侧如图设BC＝x则DE＝1.5x设CE＝y∴DC＝EC+DE＝y+1.5x∴AD＝DC﹣AC＝y+1.5x﹣2x＝y﹣0.5x∴32AD ECBE+=BE＝EC+BC＝x+y∴0.532y x yx y-+=+∴y＝4x∴CD＝y+1.5x＝4x+1.5x＝5.5x BD＝DC+BC＝y+1.5x+x＝6.5x ∴AB＝BD﹣AD＝6.5x﹣y+0.5x＝6.5x﹣4x+0.5x＝3x∴5.51136==CD x AB x 当点E 在线段AC 上及点E 在点B 右侧时 无解 综上所述CD AB 的值为1742或116．故答案为：1742或116． 课后作业1.已知有理数a b c 在数轴上对应的点从左到右顺次为A B C 其中b 是最小的正整数 a 在最大的负整数左侧1个单位长度 BC=2AB ． （1）填空：a= b= c=（2）点D 从点A 开始 点E 从点B 开始 点F 从点C 开始 分别以每秒1个单位长度、1个单位长度、4个单位长度的速度在数轴上同时向左运动 点F 追上点D 时停止动 设运动时间为t 秒．试问：①当三点开始运动以后 t 为何值时 这三个点中恰好有一点为另外两点的中点？ ②F 在追上E 点前 是否存在常数k 使得DF k EF +⋅的值与它们的运动时间无关 为定值．若存在 请求出k 和这个定值；若不存在 请说明理由． 【答案】（1）-2 1 7；（2）①t=1或t=52；②k=-1 【解析】（1）∴最小正数为1．最大的负整数为小-1 a 在最大的负整数左侧1个单位长度 ∴点A 表示的数a 为-1-1=-2 点B 表示的数b 为1 ∴AB=1-（-2）=3∴223=6BC AB ==⨯ ∴点C 表示的数为c=1+6=7 故答案为：-2 1 7；（2）①依题意 点F 的运动距离为4t 点D 、E 运动的距离为t,∴点D 、E 、F 分别表示的数为-2-t 1-t 7-4t,当点F 追上点D 时 必将超过点B ∴存在两种情况 即DE=EF 和DF=EF 如图 当DE=EF 即E 为DF 的中点时()21=274t t t ----+ 解得 t=1如图 当EF=DF 即F 为DE 中点时()74=21t t t ---+-2 解得t=52综上所述 当ｔ=１秒和ｔ＝52时 满足题意． ②存在 理由：点D 、E 、F 分别表示的数为-2-t 1-t 7-4t,如图 F 在追上E 点前 ()74-2=93DF t t t =---- ()74-1=63EF t t t =---()()93639633DF k EF t k t k k t +⋅=-+-=+-+ 当DF k EF +⋅与t 无关时 需满足3+3k=0 即k=-1时 满足条件．故答案为：（1）-2 1 7；（2）①t=1或t=52；②k=-1 2．已知点C 在线段AB 上 2AC BC = 点D 、E 在直线AB 上 点D 在点E 的左侧．若18AB = 8DE = 线段DE 在线段AB 上移动．(1)如图1 当E 为BC 中点时 求AD 的长；(2)点F （异于A B C 点）在线段AB 上 3AF AD = 3CE EF += 求AD 的长． 【答案】(1)7；(2)3或5【解析】(1)2AC BC = 18AB = 6BC ∴= 12AC = 如图1E 为BC 中点 3CE BE ∴==8DE = ∴8311BD DE BE =+=+= ∴18117AD AB DB =-=-=(2)Ⅰ、当点E 在点F 的左侧 如图2或∵3CE EF += 6BC = ∴点F 是BC 的中点 ∴3CF BF == ∴18315AF AB BF =-=-= ∴153AD AF ==∵3CE EF += 故图2（b ）这种情况求不出； Ⅱ、如图3 当点E 在点F 的右侧或12AC 3CE EF CF +== ∴9AF AC CF =-=∴39AF AD ==3AD ∴=．∵3CE EF += 故图3（b ）这种情况求不出； 综上所述：AD 的长为3或5．3.已知线段AB 点C 在直线AB 上 D 为线段BC 的中点．(1)若8AB = 2AC = 求线段CD 的长．(2)若点E 是线段AC 的中点 请写出线段DE 和AB 的数量关系并说明理由． 【答案】(1)3或5(2)2AB DE = 理由见解析【解析】(1)解：如图1 当C 在点A 右侧时∴8AB = 2AC = ∴6C AB C B A =-= ∴D 是线段BC 的中点 ：∴132CD BC ==； 如图2 当C 在点A 左侧时∴8AB = 2AC = ∴10BC AB AC =+= ∴D 是线段BC 的中点 ∴152CD BC ==；综上所述 3CD =或5； (2)解：2AB DE =．理由是：如图3 当C 在点A 和点B 之间时∴E 是AC 的中点 D 是BC 的中点 ∴2AC EC = 2BC CD = ∴222AB AC BC EC CD DE =+=+=； 如图4 当C 在点A 左侧时同理可得：()2222AB BC AC CD CE CD CE DE =-=-=-=； 如图5 当C 在点B 右侧时同理可得：()2222AB AC BC EC CD EC CD DE =-=-=-=．4.已知：如图1 M 是定长线段AB 上一定点 C 、D 两点分别从M 、B 出发以1cm/s 、3cm/s 的速度沿直线BA 向左运动 运动方向如箭头所示（C 在线段AM 上 D 在线段BM 上）(1)若AB ＝11cm 当点C 、D 运动了1s 求AC +MD 的值． (2)若点C 、D 运动时 总有MD ＝3AC 直接填空：AM ＝ BM ． (3)在（2）的条件下 N 是直线AB 上一点 且AN ﹣BN ＝MN 求2MN3AB的值． 【答案】(1)7cm ；(2)13；(3)13或23【解析】(1)解：当点C 、D 运动了1s 时 CM ＝1cm BD ＝3cm ∴AB ＝11cm CM ＝1cm BD ＝3cm∴AC +MD ＝AB ﹣CM ﹣BD ＝11﹣1﹣3＝7cm ．(2)解：设运动时间为t 则CM ＝t BD ＝3t ∴AC ＝AM ﹣t MD ＝BM ﹣3t 又MD ＝3AC ∴BM ﹣3t ＝3AM ﹣3t 即BM ＝3AM ∴AM =13BM 故答案为：13．(3)解：由（2）可得：∴BM ＝AB ﹣AM ∴AB ﹣AM ＝3AM ∴AM ＝14AB①当点N 在线段AB 上时 如图∴AN ﹣BN ＝MN又∴AN ﹣AM ＝MN ∴BN ＝AM ＝14AB ∴MN ＝12AB 即2MN 3AB =13． ②当点N 在线段AB 的延长线上时 如图∴AN ﹣BN ＝MN又∴AN ﹣BN ＝AB ∴MN ＝AB ∴MNAB=1,即2MN 3AB =23．综上所述2MN 3AB ＝13或235．如图 在数轴上A 点表示的数为a B 点表示的数为b C 点表示的数为c b 是最大的负整数 且a c 满足()2390a c ++-=．点P 从点B 出发以每秒3个单位长度的速度向左运动 到达点A 后立刻返回到点C 到达点C 后再返回到点A 并停止．（1）=a ________ b =________ c =________．（2）点P 从点B 离开后 在点P 第二次到达点B 的过程中 经过x 秒钟 13PA PB PC ++= 求x 的值．（3）点P 从点B 出发的同时 数轴上的动点M N 分别从点A 和点C 同时出发 相向而行 速度分别为每秒4个单位长度和每秒5个单位长度 假设t 秒钟时 P 、M 、N 三点中恰好有一个点是另外两个点的中点 请直接写出所有满足条件的t 的值．【答案】（1）3- 1- 9；（2）13x =或1x =或53x =或233x =；（3）167t = 12617 8 12 【详解】解：（1）∴b 是最大的负整数 且a c 满足()2390a c ++-=∴b=-1 a+3=0 c -9=0 ∴a=-3 c=9．故答案为：-3；-1；9．（2）由题意知 此过程中 当点P 在AB 上时． ∴PA+PB=AB=b -a=-1-(-3)=2． ∴()13-=13-2=11PC PA PB =+． 又∴BC=c -b=9-(-1)=10．∴PB=PC-BC=11-10=1．当P从B到A时如图所示：∴PB=1 可以列方程为：3x=1解得：x=1；当P从A到C时分两种情况讨论：①当P在线段AB之间时如图所示：可以列方程为：3x=3,解得：x=1②当P在线段BC之间时如图所示：∴PA+PB+PC=13 AB=2 BC=10∴PB+PC=10∴PA=13-10=3∴PB=PA-AB=3-2=1可列方程为：3x=5解得：53x=．当P从C到B时如图所示：可列方程为：3x=23 解得：233x=．综上所述13x=或1x=或53x=或233x=．（3）当点从为PN中点时当0<t<23时点P向A运动．此时P=-1-3t M=-3+4t N=9-5t．（-1-3t）+（9-5t）=2（-3+4t）解得t=78（舍去）．当23≤t≤43时点P从A返回向B运动．此时P=-3+3（t-23）=3t-5．3t-5+9-5t=2（-3+4t）解得t=1．当P为MN中点时t>43．（9-5t）+（-3+4t）=2（3t-5）解得t=167．当点N为PM中点时t>43．（-3+4t）+（3t-5）=2（9-5t）,解得t=2617．综上所述t的值为1167或2617．6．七（1）班的学习小组学习“线段中点”内容时得到一个很有意思的结论请跟随他们一起思考.（1）发现：如图1 线段12AB=点,,C E F在线段AB上当点,E F是线段AC和线段BC的中点时线段EF的长为_________；若点C在线段AB的延长线上其他条件不变（请在图2中按题目要求将图补充完整）得到的线段EF与线段AB之间的数量关系为_________.（2）应用：如图3 现有长为40米的拔河比赛专用绳AB其左右两端各有一段（AC和BD）磨损了磨损后的麻绳不再符合比赛要求. 已知磨损的麻绳总长度不足20米. 小明认为只利用麻绳AB和一把剪刀（剪刀只用于剪断麻绳）就可以得到一条长20米的拔河比赛专用绳EF. 小明所在学习小组认为此法可行于是他们应用“线段中点”的结论很快做出了符合要求的专用绳EF请你尝试着“复原”他们的做法：①在图中标出点E、点F的位置并简述画图方法；②请说明①题中所标示,E F点的理由.【答案】（1）6；补图见解析12EF AB=（2）①见解析（答案不唯一）②见解析.【详解】解：（1）点,,C E F在线段AB上时因为点E是线段AC的中点所以CE=12AC因为点F是线段BC的中点所以CF=12BC所以EF=CE+CF=12AC+12BC=12AB又AB=12 所以EF=6．当点C 在线段AB 的延长线上时 如图2此时 EF=EC -FC∴12AC -12BC=12AB. 答案为：6；EF=12AB. （2）①图3如图 在CD 上取一点M 使CM CA = F 为BM 的中点 点E 与点C 重合. （答案不唯一） ②因为F 为BM 的中点 所以MF BF =. 因为,AB AC CM MF BF CM CA =+++= 所以222()2AB CM MF CM MF EF =+=+=. 因为40AB =米 所以20EF =米.因为20AC BD +<米 40AB AC BD CD =++=米 所以20CD >米.因为点E 与点C 重合 20EF =米 所以20CF =米 所以点F 落在线段CD 上. 所以EF 满足条件. 7．问题背景整体思想就是从问题的整体性质出发 突出对问题的整体结构的分析 把握它们之间的关联 进行有目的、有意识的整体处理 整体思想在代数和几何中都有很广泛的应用．(1)如图1 A、B、O三点在同一直线上射线OD和射线OE分别平分∴AOC和∴BOC则∴DOE的度数为（直接写出答案）．(2)当x＝1时代数式a3x+bx+2021的值为2020 当x＝﹣1时求代数式a3x+bx+2021的值．(3)①如图2 点C是线段AB上一定点点D从点A、点E从点B同时出发分别沿直线AB 向左、向右匀速运动若点E的运动速度是点D运动速度的3倍且整个运动过程中始终满足CE＝3CD求ACAB的值；②如图3 在①的条件下若点E沿直线AB向左运动其它条件均不变．在点D、E运动过程中点P、Q分别是AE、CE的中点若运动到某一时刻恰好CE＝4PQ求此时AD AB的值．【答案】(1)90°；(2)2022；(3)①14；②112或512【解析】(1)解：如图1 ∴射线OD和射线OE分别平分∴AOC和∴BOC∴∴DOC =12∴AOC∴COE=12∴BOC∴∴DOE=∴DOC+∴COE∴∴DOE=12∴AOC+12∴BOC=12(∴AOC+∴BOC)∴∴AOC+∴BOC=180° ∴∴DOE=12×180°=90°故答案为：90°．(2)∴当x＝1时代数式a3x+bx+2021的值为2020∴a +b+2021=2020 ∴a+b=-1 ∴-a-b=1当x＝﹣1时a3x+bx+2021= -a-b+2021=1+2021=2022．(3)①如图2设点D运动的路程为x则点E运动的路程为3x∴CE＝BC+BE=BC+3x CD=CA+AD=CA+x∴CE＝3CD∴BC+3x= 3CA+3x∴CB=3AC∴AB=CB+AC=4AC∴ACAB=14．②根据① 设AC=m则CB=3m AB=4m设点D运动的路程为AD=x则点E运动的路程为EB=3x当点E在C点的右侧时如图3∴CE ＝BC -BE =3m -3x CD =CA +AD =m +x ∴点P 、Q 分别是AE 、CE 的中点 ∴PE =12AE QE =12CE ∴PQ =PE -QE =12AE -12CE =11()222mAE CE AC -== ∴CE ＝4PQ ∴3m -3x =4×2m 解得x =3m故AD =3m∴AD AB=13412mm =． 当点E 在C 点的左侧 且在点A 的右侧时 如图4∴CE ＝BE -BC =3x -3m CD =CA +AD =m +x ∴点P 、Q 分别是AE 、CE 的中点 ∴PE =12AE QE =12CE ∴PQ =PE +QE =12AE +12CE =11()222mAE CE AC +== ∴CE ＝4PQ ∴3x -3m =4×2m解得x =53m 故AD =53m ∴AD AB =53412mm =． 当点E 在A 点的左侧时 如图5∴CE ＝BE -BC =3x -3m CD =CA +AD =m +x ∴点P 、Q 分别是AE 、CE 的中点 ∴PE =12AE QE =12CE ∴PQ =PE +QE =12AE +12CE =11()222mAE CE AC +== ∴CE ＝4PQ ∴3x -3m =4×2m解得x =53m 故AD =53m ∴ADAB =553412mm =． 综上所述ADAB 的值为112或512． 8．已知：如图1 点M 是线段AB 上一定点 AB ＝12cm C 、D 两点分别从M 、B出发以1cm /s 、2cm /s 的速度沿直线BA 向左运动 运动方向如箭头所示（C 在线段AM 上 D 在线段BM 上）（1）若AM ＝4cm 当点C 、D 运动了2s 此时AC ＝ DM ＝ ；（直接填空） （2）当点C 、D 运动了2s 求AC +MD 的值．（3）若点C 、D 运动时 总有MD ＝2AC 则AM ＝ （填空） （4）在（3）的条件下 N 是直线AB 上一点 且AN ﹣BN ＝MN 求MNAB的值． 【答案】（1）2 4；（2）6 cm ；（3）4；（4）13MN AB =或1． 【详解】（1）根据题意知 CM ＝2cm BD ＝4cm ∴AB ＝12cm AM ＝4cm ∴BM ＝8cm∴AC ＝AM ﹣CM ＝2cm DM ＝BM ﹣BD ＝4cm 故答案为：2cm 4cm ； （2）当点C 、D 运动了2 s 时 CM ＝2 cm BD ＝4 cm ∴AB ＝12 cm CM ＝2 cm BD ＝4 cm∴AC +MD ＝AM ﹣CM +BM ﹣BD ＝AB ﹣CM ﹣BD ＝12﹣2﹣4＝6 cm ； （3）根据C 、D 的运动速度知：BD ＝2MC∴MD ＝2AC ∴BD +MD ＝2（MC +AC ） 即MB ＝2AM∴AM +BM ＝AB ∴AM +2AM ＝AB ∴AM ＝13AB ＝4 故答案为：4；（4）①当点N 在线段AB 上时 如图1∴AN ﹣BN ＝MN又∴AN ﹣AM ＝MN ∴BN ＝AM ＝4 ∴MN ＝AB ﹣AM ﹣BN ＝12﹣4﹣4＝4 ∴13MN AB =； ②当点N 在线段AB 的延长线上时 如图2∴AN ﹣BN ＝MN又∴AN ﹣BN ＝AB ∴MN ＝AB ＝12 ∴1MNAB=； 综上所述13MN AB =或1故答案为13MN AB =或1． 9．如图 数轴正半轴上的A B 两点分别表示有理数a b O 为原点 若3a = 线段5OB OA =.（1）=a ______ b =______；（2）若点P 从点A 出发 以每秒2个单位长度向x 轴正半轴运动 求运动时间为多少时；点P 到点A 的距离是点P 到点B 距离的3倍；（3）数轴上还有一点C 表示的数为32 若点P 和点Q 同时从点A 和点B 出发 分别以每秒2个单位长度和每秒1个单位长度的速度向C 点运动 P 点到达C 点后 再立刻以同样的速度返回 运动到终点A 求点P 和点Q 运动多少秒时 P 、Q 两点之间的距离为4. 【答案】（1）3a = 15b =；（2）9或92；（3）8或503【详解】解：（1）∴数轴正半轴上的A B 两点分别表示有理数a b |a|=3 线段OB=5OA ∴a=3 b=15 故答案为：3 15；（2）设运动时间为t 秒时 点P 到点A 的距离是点P 到点B 距离的3倍． 由题意得：AB=15-3=12 当点P 在A 、B 之间时 有 2t=3（12-2t ） 解得：t=92；当点P 在B 的右边时 有 2t=3（2t -12） 解得t=9；即运动时间为92或9秒时 点P 到点A 的距离是点P 到点B 的距离的3倍；（3）根据题意 由点C 为32 则 AC=32-3=29 BC=32-15=17 ∴点P 运动到点C 所需要的时间为：2914.52t ==秒 点Q 运动到点C 所需要的时间为：17171t ==秒 则可分为两种情况进行分析： ①当点P 还没有追上点Q 时 有：1224t t +-=解得：8t =；②当点P 运动到点C 返回时 与点Q 相遇后 与点Q 相距4 则有：2124292t t ++-=⨯解得：503t =. 10．已知数轴上三点M O N 对应的数分别为－3 0 1 点P 为数轴上任意一点 其对应的数为x ．(1)如果点P 到点M 点N 的距离相等 那么x 的值是______；(2)数轴上是否存在点P 使点P 到点M 点N 的距离之和是5？若存在 请直接写出x 的值；若不存在 请说明理由．(3)如果点P 以每分钟3个单位长度的速度从点O 向左运动时 点M 和点N 分别以每分钟1个单位长度和每分钟4个单位长度的速度也向左运动 且三点同时出发 那么几分钟时点P 到点M 点N 的距离相等.（直接写出答案） 【答案】（1）1-；（2）x= 3.5-或1.5；（3）4t 3=分钟或t=2分钟时点P 到点M 点N 的距离相等．【详解】解：（1）∴M O N 对应的数分别为-3 0 1 点P 到点M 点N 的距离相等 ∴x 的值是1-．故答案为1-； （2）存在符合题意的点P ；∴点M 为-3 点N 为1 则点P 分为两种情况 ①点P 在N 点右侧 则(1)(3)5x x -++= 解得： 1.5x =； ②点P 在M 点左侧 则(3)(1)5x x --+-= 解得： 3.5x =-； ∴ 3.5 1.5x =-或=.（3）设运动t 分钟时 点P 对应的数是-3t 点M 对应的数是-3-t 点N 对应的数是1-4t ． ①当点M 和点N 在点P 同侧时 因为PM=PN 所以点M 和点N 重合 所以：-3-t=1-4t解得t ＝43符合题意．②当点M 和点N 在点P 两侧时 有两种情况．情况1：如果点M 在点N 左侧 PM=-3t -（-3-t ）=3-2t ．PN=（1-4t ）-（-3t ）=1-t ． 因为PM=PN 所以3-2t=1-t 解得t=2．此时点M 对应的数是-5 点N 对应的数是-7 点M 在点N 右侧 不符合题意 舍去．情况2：如果点M在点N右侧PM=3t-t-3=2t-3．PN=-3t-（1-4t）=t-1．因为PM=PN 所以2t-3=t-1解得t=2．此时点M对应的数是-5 点N对应的数是-7 点M在点N右侧符合题意．综上所述三点同时出发43分钟或2分钟时点P到点M 点N的距离相等．11．如图P是定长线段AB上一点C、D两点分别从P、B出发以1cm/s、2cm/s的速度沿直线AB向左运动（C在线段AP上D在线段BP上）（1）若C、D运动到任一时刻时总有PD＝2AC请说明P点在线段AB上的位置：（2）在（1）的条件下Q是直线AB上一点且AQ﹣BQ＝PQ求PQAB的值．（3）在（1）的条件下若C、D运动5秒后恰好有1CD AB2=此时C点停止运动D点继续运动（D点在线段PB上）M、N分别是CD、PD的中点下列结论：①PM﹣PN的值不变；②MNAB的值不变可以说明只有一个结论是正确的请你找出正确的结论并求值．【答案】（1）点P在线段AB上的13处；（2）13；（3）②MNAB的值不变.【详解】解：（1）由题意：BD=2PC∴PD=2AC ∴BD+PD=2（PC+AC）即PB=2AP ∴点P在线段AB上的13处；（2）如图：∴AQ-BQ=PQ ∴AQ=PQ+BQ∴AQ=AP+PQ ∴AP=BQ ∴PQ=13AB ∴13PQAB=（3）②MNAB的值不变.理由：如图当点C停止运动时有CD=12 AB∴CM=14AB ∴PM=CM-CP=14AB-5∴PD=23AB-10 ∴PN=1223（AB-10）=13AB-5∴MN=PN-PM=112AB当点C停止运动D点继续运动时MN的值不变所以111212ABMNAB AB==.。
数学人教版七年级上册线段的中点
∵点M、N是线段AB的三等分点，
∴AM=MN=NB= AB
（或AB =3AM=3MN=3NB）
类似地，还有四等分点，五等分点等等.
学生进行尺规作图.
教师在黑板上作图，并标出点M.
通过学案的设计引导学生总结归纳出线段中点的定义.
教师完善线段中点的概念.
结合图形，教师引导学生得到线段中点的几何符号语言的表示方法.
∴CM= AC= ×8=4
∵N是线段BC的中点，CB=6
∴CN = BC= ×6=3
∴MN=CM+CN =4+3=7 cm
（2）若AB＝14 cm，则线段MN=7cm.
解：（2）如图，
∵M是线段AC的中点∴CM= AC
∵N是线段BC的中点∴CN = BC
∴MN=CM+CN = AC+ BC= （AC+BC）= AB= ×14=7 cm
教师引导学生类比线段的中点总结线段的三等分点、四等分点的结论，并得到一般的结论.
学生完成学案相应内容.
复习旧知，培养学生动手作图能力，同时培养学生的观察能力和归纳总结能力.
通过对线段中点的图形语言及符号语言的探讨，培养学生的数形结合思想.
通过几何语言表达培养学生严谨的思维过程，学会说理，渗透几何的推理过程.
②如图，当C点在线段AB上时,
则MN=BM－BN =4-3=1
综上所述，MN=7 cm或1 cm
4.综合延伸
如图，CD=2，D是线段AC的中点，点B在线段AC上，AB:BC =3:1，
（1）求线段BC的长.
解：（1）如图，∵D是线段AC的中点，DC=2
∴AC=2DC=2×2=4
∵BC:AB=1:3∴可设BC=x，AB=3x
巧用线段中点(或分点)的有关计算
(2)几秒后，恰好有OA:OB＝1:2? 设运动时间为t s. ①B与A相遇前：12－4t＝2(t＋3)，即t＝1； ②B与A相遇后：4t－12＝2(t＋3)，即t＝9. 答：1 s或9 s后，恰好有OA:OB＝1:2.
度吗？请画出图形，写出你的结论，并说明理由．
如图所示．
MN＝
1 2
b
cm.理由如下：
因为点M，N分别是AC，BC的中点，
所以MC＝
1 2
AC，NC＝
1 2
BC，
所以MN＝MC－NC＝ 1 AC－ 1 BC
2
2
＝
1 2
(AC－BC)＝
1 2
b
cm.
返回
题型3 与线段中点有关的操作题
3． (1)如图，已知点C在线段AB上，线段AB＝12，点M，
因为M为AB的中点，
所以MB＝
1 2
AB＝
1 2
×20＝10(cm)．
因为N为BC的中点，
所以BN＝
1 2
BC＝
12×8＝4(cm)．
所以MN＝MB－BN＝10－4＝6(cm)．
②当点C在线段AB的延长线上时，如图②所示．
因为M为AB的中点，
所以MB＝
1 2
AB＝
1 2
×20＝10(cm)．
因为N为BC的中点，
返回
题型1 与线段分点有关的计算(设参法)
4．如图，B，C两点把线段AD分成2:4:3三部分，M是 AD的中点，CD＝6 cm，求线段MC的长．
解：设AB＝2k cm，
则BC＝4k cm，CD＝3k cm，AD＝2k＋4k＋3k＝9k(cm)．
(完整)七年级计算线段长度的方法技巧
计算线段长度的方法技巧线段是基本的几何图形，是三角形、四边形的构成元素。
初一同学对于线段的计算感到有点摸不着头绪。
这是介绍几个计算方法，供同学们参考。
1. 利用几何的直观性，寻找所求量与已知量的关系例1. 如图1所示，点C分线段AB为5：7，点D分线段AB为5：11，若CD＝10cm，求AB。
图1分析：观察图形可知，DC＝AC－AD，根据已知的比例关系，AC、AD均可用所求量AB表示，这样通过已知量DC，即可求出AB。
解：因为点C分线段AB为5：7，点D分线段AB为5：11所以又又因为CD＝10cm，所以AB＝96cm2. 利用线段中点性质，进行线段长度变换例2. 如图2，已知线段AB＝80cm，M为AB的中点，P在MB上，N为PB的中点，且NB＝14cm，求PA 的长。
图2分析：从图形可以看出，线段AP等于线段AM与MP的和，也等于线段AB与PB的差，所以，欲求线段PA的长，只要能求出线段AM与MP的长或者求出线段PB的长即可。
解：因为N是PB的中点，NB＝14所以PB＝2NB＝2×14＝28又因为AP＝AB－PB，AB＝80所以AP＝80－28＝52（cm）说明：在几何计算中，要结合图形中已知线段和所求线段的位置关系求解，要做到步步有根据。
3. 根据图形及已知条件，利用解方程的方法求解例3. 如图3，一条直线上顺次有A、B、C、D四点，且C为AD的中点，，求BC是AB的多少倍？图3分析：题中已给出线段BC、AB、AD的一个方程，又C为AD的中点，即，观察图形可知，，可得到BC、AB、AD又一个方程，从而可用AD分别表示AB、BC。
解：因为C为AD的中点，所以因为，即又由<1>、<2>可得：即BC＝3AB例4. 如图4，C、D、E将线段AB分成2：3：4：5四部分，M、P、Q、N分别是AC、CD 、DE、EB 的中点，且MN ＝21，求PQ的长。
图4分析：根据比例关系及中点性质，若设AC＝2x，则AB上每一条短线段都可以用x的代数式表示。
2024年人教版七年级数学上册《与线段的中点有关的计算》课堂重难点精练
解：（1）因为N是BC的中点，M是AC的中点，AM＝1，BC＝4，
所以CN＝2，AM＝CM＝1，
所以MN＝MC＋CN＝3.
（2）若AB＝6，求MN的长度.
解：（2）因为M是AC的中点，N是BC的中点，AB＝6，
所以NM＝MC＋CN＝ AB＝3.
同学们，下课吧！
人教版初中七年级数学上册课堂重难点精练
与线段的中点有关的计算
1.已知C为线段AB的中点，D在线段CB上，且DA＝6，DB＝4，求CD
的长度.
解：因为DA＝6，DB＝4，所以AB＝6＋4＝10.
因为C为线段AB的中点，所以AC＝5，
所以CD＝DA－AC＝1.
2.如图，点B，C把线段AD分成2∶5∶3的三部分，若点E为AD的中
点，CE＝6，求BE的长.
解：设AB＝2x，BC＝5x，则AD＝10x.
因为E为AD的中点，所以AE＝ AD＝5x.
又因为CE＝AC－AE＝2x＋5x－5x＝2x＝6.
所以x＝3.所以BC＝5x＝15，
所以BE＝BC－CE＝9.故BE的长为9.
3.如图，C是线段AB上一点，M是AC
七上数学中点问题解题技巧和方法
七上数学中点问题解题技巧和方法一、认识中点1、什么是中点在平面几何中，中点指的是线段的中心点，也就是将一条直线段平均分成两段的点。
在坐标系中，中点的坐标可以通过相应线段的两个端点的坐标来求得。
2、中点的特点中点具有以下特点：- 与两端点距离相等- 与两端点连线构成的线段长度是全线段长度的一半- 坐标为两端点坐标的算术平均值二、中点问题解题技巧和方法1、求直线段中点的坐标求直线段中点的坐标，可以通过端点坐标的平均值来求得。
假设直线段的两个端点分别为A（x1，y1）和B（x2，y2），则中点的坐标为：\[M(\frac{x1+x2}{2},\frac{y1+y2}{2} )\]2、中点问题解题步骤求解中点问题一般需要经过以下步骤：- 确定问题：明确问题中需要求解的中点的具体内容，确定问题中所给条件以及未知数。
- 分析问题：通过问题分析，理清思路，确定解题的方法和步骤。
- 求解过程：根据问题需求，使用公式或者坐标的求解方法求得中点坐标。
- 检验答案：求得中点坐标后，通过计算或者图示方法对答案进行检验，确保结果的准确性。
三、实例分析下面通过实例对中点问题的解题技巧和方法进行具体分析。
例题：已知直线段AB的端点坐标分别为A（2，3）和B（6，8），求直线段AB的中点坐标M。
分析解题步骤：1. 确定问题：根据题目要求，需要求解直线段AB的中点坐标M。
2. 分析问题：根据中点的定义和公式，可以通过端点坐标的平均值求得中点坐标。
3. 求解过程：根据公式\[M(\frac{x1+x2}{2},\frac{y1+y2}{2} )\]，带入端点坐标得到：\[M(\frac{2+6}{2},\frac{3+8}{2} )\]，计算得中点坐标M为：\[M(4,5)\]。
4. 检验答案：通过计算得到的中点坐标进行检验，发现满足与端点距离相等的特点，因此得出结论，中点坐标M为(4,5)。
四、总结与思考中点问题是数学中的基础问题，其求解过程涉及到坐标系的运用、平均值的计算等数学知识。
计算线段中点的公式
计算线段中点的公式设线段的两个端点分别为A（x1，y1）和B（x2，y2），则线段的中点坐标为M（x，y）。
根据中点的定义，我们可以得到中点的坐标的计算公式如下：x = (x1 + x2) / 2y = (y1 + y2) / 2其中，x和y分别为中点M的横纵坐标，x1、y1为线段的起点A的横纵坐标，x2、y2为线段的终点B的横纵坐标。
这个公式的意义在于，中点的横坐标等于起点和终点的横坐标之和的一半，中点的纵坐标等于起点和终点的纵坐标之和的一半。
实际中，如果我们知道线段的两个端点的坐标，就可以直接利用上述公式来计算中点的坐标。
例如，如果有一个线段的端点A的坐标为（2，3），端点B的坐标为（6，7），我们就可以直接带入上述公式计算中点的坐标：x = (2 + 6) / 2 = 4y = (3 + 7) / 2 = 5所以，这个线段的中点的坐标为（4，5）。
在二维坐标系中，我们可以很直观地看到中点的位置就是两个端点连线的中点，这也符合数学上的定义和计算公式。
另外，如果线段是垂直于x轴或y轴的，计算中点的过程会更加简单。
例如，如果线段是垂直于x轴的，即线段的两个端点的y坐标相等，则中点的横坐标就是两个端点的横坐标之和的一半，纵坐标就是端点的y坐标即可；同理，如果线段是垂直于y轴的，即线段的两个端点的x坐标相等，则中点的纵坐标就是两个端点的纵坐标之和的一半，横坐标就是端点的x坐标即可。
总之，计算线段中点的公式非常简单而直观，只需要知道线段的两个端点的坐标，就可以轻松计算得到中点的坐标。
这个公式在几何学、物理学等领域具有广泛的应用，帮助我们更方便地计算和应用线段的中点。
部编数学七年级上册专题有关线段中点的计算问题大题专项提升训练(重难点培优)同步培优含答案
【讲练课堂】2022-2023学年七年级数学上册尖子生同步培优题典【人教版】专题4.5有关线段中点的计算问题大题专项提升训练（重难点培优）一、解答题1．（2022·山东潍坊·七年级期中）已知点C在直线AB上，点M，N分别为AC，BC的中点．(1)如图所示，若C在线段AB上，AC=6厘米，MB=10厘米，求线段BC，MN的长；(2)若点C在线段AB的延长线上，且满足AC―BC=a厘米，请根据题意画图，并求MN的长度（结果用含a的式子表示）．∵M是AC的中点，∵M是AC的中点，cm，CB=8cm，D、E分别是AC、AB的中点．求：(1)求AD的长度；(2)求DE的长度；(3)若M在直线AB上，且MB=6cm，求AM的长度．∴AM的长度为26cm或14cm．【点睛】本题考查了关于线段的中点的计算，线段的和与差的计算，读懂题意熟练运用线段的和差倍分是解本题的关键．3．（2022·全国·七年级专题练习）如图，已知，C为线段AB上一点，D为AC的中点，E为BC 的中点，F为DE的中点(1)如图1，若AC=4，BC=6，求CF的长；(2)若AB=16CF，求AC的值；CB(3)若AC＞BC，AC―BC=a，取DC的中点G，CE的中点H，GH的中点P，求CP的长(用含a 的式子表示)．设AC=x，BC=y，即x―y=a，则DC 的中点，如果CD=4cm，(1)求AC的长度；(2)若点E是线段AC的中点，求ED的长度．分别是线段AB、BP的中点．(1)如图1，点B在线段AP上一点，AP=15，求MN的长；(2)如图2，点B在线段AP的延长线上，AM-PN=3.5，点C为直线AB上一点，CA+CP=13，求CP长．CP+CA=CP+(CP+AP)=13，即CP+(CP+7)=13，解得CP=3；当点C在点A的左侧时，CA+CP=CA+(CA+AP)=13，即CA+(CA+7)=13，解得CA=3，∴CP=CA+AP=3+7=10．综上所述，CP的长为3或10．【点睛】本题考查中点的定义和线段的和差关系，解题的关键是熟练运用分类讨论思想，避免漏解．6．（2021·湖北·十堰市郧阳区教学研究室七年级期末）如图，已知线段AB=24，动点P从A 出发，以每秒2个单位的速度沿射线AB方向运动，运动时间为t秒（t>0），点M为AP的中点．(1)若点P在线段AB上运动，当t为多少时，PB=AM？(2)若点P在射线AB上运动，N为线段PB上的一点．①当N为PB的中点时，求线段MN的长度；②当PN=2NB时，是否存在这样的t，使M，N，P三点中的一个点是以其余两点为端点的线段的中点？如果存在，请求出t的值；如不存在，请说明理由．7．（2022·河南郑州·七年级期末）如图，点A，C，E，B，D在同一条直线上，且AB=CD，点E是线段AD的中点．(1)点E是线段BC的中点吗？说明理由；(2)若AB=11，CE=3，求线段AD的长．【答案】(1)点E是线段BC的中点．理由见解析(2)16【分析】（1）先根据线段和差可得AC=BD，再根据线段中点的定义可得AE=DE，然后根据线段和差即可得出结论；（2）先根据（1）的结论可得BC=CE+BE=6，从而可得AC=5，再根据CD=AB可得CD=11，然后根据AD=AC+CD即可得．（1）解：点E是线段BC的中点．理由如下：因为AB=CD，所以AB―BC=CD―BC，即AC=BD，又因为E是线段AD的中点，所以AE=DE，所以AE―AC=DE―BD，即CE=BE，所以点E是线段BC的中点．（2）解：因为CE=3,CE=BE，所以BC=CE+BE=3+3=6，又因为AB=11，所以AC=AB―BC=11―6=5，又因为CD=AB=11，所以AD=AC+CD=5+11=16．【点睛】本题考查了与线段中点有关的计算，熟练掌握线段之间的运算是解题关键．8．（2021·江西鹰潭·七年级期中）已知，点A，B，C在同一条直线上，点M为线段AC的中点、点N为线段BC的中点，(1)如图，当点C在线段AB上时；①若线段AB=10，BC=4，求MN的长度；②若AB=a，则MN=_______．(2)若AC=10，BC=n，直接写出MN的长度．（用含n的代数式表示）点P是线段OA上一动点，沿O→A→O以每秒2个单位的速度往返运动1次，B是线段OA的中点，设点P运动时间为t秒（0≤t≤10）(1)线段BA的长度为____，当t =3时，点P所表示的数是____；(2)求动点P所表示的数（用含t的代数式表示）；(3)在运动过程中，当PB=2时，求运动时间t．∴|20―2t―5|=2，∴20―2t―5=2，或20―2t―5=―2，解得t=6.5，或t=8.5．综上所述，所求t的值为1.5或3.5或6.5或8.5．【点睛】此题主要考查了一元一次方程的应用以及数轴上点的位置关系，根据P点位置的不同正确进行分类讨论，进而列出方程是解题的关键．10．（2022·黑龙江·绥棱县绥中乡学校七年级期末）已知：如图，点C、D 在线段AB上，AB，AB＝12．点D是AB中点，AC=13(1)求线段CD的长；(2)E是线段BD上一点，且DE＝CD，请在图中画出点E，并证明C是AE的中点．CD的长为1．(1)求AB的长度；(2)若点E为BC中点，试求DE的长度．【答案】(1)10(2)3【分析】（1）根据AC和CD得到AD，再根据中点的定义求出AB；（2）先求出BC，根据中点的定义得到CE，再加上CD即可得到DE．（1）解：∵AC=6，CD=1，∴AD=AC-CD=5，∵点D为AB中点，∴AB=2AD=10；（2）∵AB=10，AC=6，∴BC=AB-AC=4，∵E为BC中点，∴BE=CE=2，∴DE=CD+CE=1+2=3．【点睛】本题考查了中点的定义，线段的和差，解题的关键是掌握中点平分一条线段．12．（2022·山东东营·期末）如图，点C为线段AB的中点，点E为线段AB上的点，点D 为线段AE的中点．(1)若线段AB＝a，CE＝b且(a―16)2+|2b―8|=0，求a，b的值；(2)在（1）的条件下，求线段CD的长，【答案】(1)a=16，b=4；(2)CD=2．【分析】（1）根据非负数的性质即可推出a、b的值；（2）根据（1）所推出的结论，即可推出AB和CE的长度，根据图形即可推出AC=8，然后由AE=AC+CE，即可推出AE的长度，由D为AE的中点，即可推出DE的长度，再根据线段的和差关系可求出CD的长度．（1）BC的中点．(1)若AM＝2，BC＝8，求MN的长度；(2)若AB＝14，求MN的长度．【点睛】此题考查了两点间距离，解题的关键是熟练掌握线段的中点性质．14．（2021·贵州毕节·七年级阶段练习）（1）如图，已知平面内A、B两点用没有刻度的直尺和圆规按下列要求尺规作图，并保留作图痕迹①连接AB；②反向延长线段AB到C，使AC ＝AB；③延长线段AB到D，使AD＝3AB．（2）若点E是线段AC的中点，点F是线段AD中点，AB＝4cm，求线段EF、CD的长度，并说明线段EF、CD的数量关系．【答案】（1）①见解析；②见解析；③见解析；（2）EF＝8cm，CD＝16cm，CD＝2EF【分析】（1）根据要求作图即可．（2）根据线段中点的定义可得出答案．【详解】解：（1）①如图，线段AB即为所求．②如图，线段AC即为所求．③如图，线段AD即为所求．（2）∵AB=AC=4cm，AD=3AB=12cm，点E是线段AC的中点，点F是线段AD中点，∴AE=2cm，AF=6cm，∴EF=AE+AF=8cm，CD=AC+AD=16cm，∴CD=2EF．【点睛】本题考查作图-复杂作图、直线、射线、线段等知识，解题的关键是掌握直线、射线、线段的定义．15．（2022·全国·七年级专题练习）已知A，B，C，D四点在同一条直线上，点C是线段AB 的中点．BC，求线段CD的长度；(1)点D在线段AB上，且AB=6，BD=13(2)若点E是线段AB上一点，且AE=2BE，当AD:BD=2:3时，线段CD与CE具有怎样的数量关系，请说明理由．【答案】(1)线段CD的长度为2；(2)5CD=3CE或CD=15CE．理由见解析【分析】（1）根据线段中点的性质求出BC，根据题意计算即可；（2）分两种情况讨论，当点D在线段AB上和点D在BA延长线上时，利用设元的方法，分别表示出AB以及CD、CE的长，即可得到CD与CE的数量关系．【详解】（1）解：如图1，∵点C是线段AB的中点，AB=6 AB=3，∴BC=12设AD=2x，则BD=3x，∴AB=AD+BD=5x，设AD=2a，则BD=3a，∴AB=BD-AD=a，M是AB的中点，N是AC的中点．求：(1)线段CM的长；(2)求线段MN的长．【答案】(1)1cm(2)3cm【分析】（1）根据M是AB的中点，求出AM，再利用CM＝AM−AC求得线段CM的长；（2）根据N是AC的中点求出NC的长度，再利用MN＝CM＋NC即可求出MN的长度．（1）解：∵AB＝10，M是AB的中点，∴AM＝5，又∵AC＝4，∴CM＝AM﹣AC＝5﹣4＝1（cm）．∴线段CM的长为1cm；（2）解：∵N是AC的中点，∴NC＝2，∴MN＝NC＋CM，2＋1＝3（cm），∴线段MN的长为3cm．【点睛】本题主要考查两点间的距离，线段中点的运用，知道线段的中点把线段分成两条相等的线段是解题的关键．17．（2021·山东·高青县教学研究室期中）如图，点C，E是线段AB上两点，点D为线段AB的中点，AB＝6，CD＝1．(1)求BC的长；(2)若AE：EC＝1：3，求EC的长．【答案】(1)BC＝2在线段AD上．(1)图中共有条线段；(2)若AB＝CD．①比较线段的大小：AC BD（填：“＞”、“＝”或“＜”）；②如图2，若AD＝20，BC＝12，M是AB的中点，N是CD的中点，求MN的长度．【答案】(1)6(2)①＝；②16【分析】（1）依据B、C在线段AD上，即可得到图中共有线段AB，AC，AD，BC，BD，CD；题）如图：A、B、C、D四点在同一直线上．(1)若AB＝CD．①比较线段的大小：AC BD（填“＞”、“＝”或“＜”）；AC，且AC＝12cm，则AD的长为cm；②若BC＝34(2)若线段AD被点B、C分成了3∶4∶5三部分，且AB的中点M和CD的中点N之间的距离是16cm，求AD的长．【答案】(1)①=；②15(2)24cm【分析】（1）①由已知同加BC即得答案；②求出BC和AB，根据AB=CD得到CD，即可得到AD；（2）根据题意画出图形，设AB=3x，BC=4x，CD=5x，根据线段的和差关系求得MN，根据题意列出方程进而即可求解．（1）①∵AB=CD，∴BM=AM=32x,CN点C在线段AB上，线段AC＝15，BC=5，点M、N分别是AC、BC的中点，求MN的长度；（2）已知：如图2，点C在线段AB上，点M、N分别是AC、BC的中点，AC+CB＝a，求MN的长度；（3）已知：如图3，点C在直线AB上，线段AC＝15，BC=5，点M、N分别是AC、BC的中点，求MN的长度．∵点M、N分别是AC，BC中点，11（苏科版））如图，O为数轴原点，点A原点左侧，点B在原点右侧，且OB＝2OA，AB＝18．(1)求A、B两点所表示的数各是多少；(2)P、Q为线段AB上两点，且QB＝2PA，设PA＝m，请用含m的式子表示线段PQ；(3)在②的条件下，M为线段PQ的中点，若OM＝1，请直接写出m的值．【答案】(1)A表示的数为﹣6，B表示的数为12(2)18﹣3m或3m﹣18(3)m＝4或m＝8【分析】（1）由题意可求得OB＝12，OA＝6，从而可表示出点A，B所表示的数；（2）分两种情况进行讨论：①点P在点Q的左侧；②点P在点Q的右侧，再利用相应的线段的关系可以求解；PQ＝AB﹣PA﹣BQ＝18﹣3m；②当点P在点Q的右侧时，如图，PQ＝QB﹣（AB﹣PA）＝3m﹣18，∴线段PQ的长是18﹣3m或3m﹣18．直线l上，且AB＝18cm，点C是AB的中点．(1)若点P 是直线l 上的动点，且PB ＝5cm ，则CP ＝ cm ；(2)若点Q 是AB 的延长线上一点，点M 、N 分别是AQ 、BQ 的中点，求线段MN 的长．【点睛】本题考查两点间的距离，线段的和差关系，熟练掌握线段中点的定义与线段的和差直线l 上的两点，点C 、D 在直线l 上且点C 在点D 的左侧，点D 在点B 的右侧，且AC ＝13BC ，BD ＝12AB ．(1)若AB ＝8，求线段CD 的长；(2)若CD ＝m ，则线段AB 的长为（用含m 含的代数式表示）．∵AC=1BC，AB=8，∵AC=1BC，AB=8，∵AC=1BC，∵AC=1BC，四点在同一直线上．(1)若AB=CD．①比较线段的大小：AC________BD（填“＞”、“＝”或“＜”）；AC，且AC=16cm，则AD的长为________cm；②若BC=34(2)若线段AD被点B、C分成了2：3：4三部分，且AB的中点M和CD的中点N之间的距离是18cm，求AD的长．(2)解：如图所示，设每份为x，则AB=2x，BC=3x，CD=4x，AD=9x，∵M是AB的中点，点N是CD的中点N，∴AM=BM=x，CN=DN=2x又∵MN=18，∴x+3x+2x=18，解得，x=3，∴AD=9x=27(cm)．【点睛】本题考查线段及其中点的有关计算，解题的关键是理解线段中点的意义．25．（江苏省苏州市振华中学校2021-2022学年七年级上学期期末数学试题）已知线段AB= a，小明在线段AB上任意取了点C然后又分别取出AC、BC的中点M、N的线段MN（如图1）；小红在线段AB的延长线上任意取了点D，然后又分别取出AD、BD的中点E、F的线段EF（如图2）(1)试判断线段MN与线段EF的大小，并说明理由．(2)若EF=x，AD=4x+1，BD=x+3，求x的值．a；∴MN=12如图2，得EF=ED-FD=1AD―1BD=1(AD―BD)，AB，D为线段BC的中点．（如图），C是AB反向延长线上的点，且AC=13(1)将CD的长用含a的代数式表示为________；(2)若AD=3cm，求a的值．cm，C是线段AB上一点，AC=6cm，D、E分别是AB、BC的中点．(1)求线段CD的长；(2)求线段DE的长．28．（江苏省盐城市射阳县第六中学2021-2022学年七年级上学期期末数学试题（b卷））如图，已知点D是线段AB上一点，点C是线段AB的中点，若AB＝10cm，BD＝4cm．(1)求线段CD的长；BD，求线段AE的长．(2)若点E是线段AB上一点，且BE=12BD=2cm∵BE=12∴AE=AB线段AB上一点，AB＝m，BC＝n，M、N分别为AB、BC的中点．(1)若m＝10，n＝3，求MN的长；(2)若m＝3n，求CN的值．MN已知数轴上A，B两点表示的数分别为-9和7．（1）AB= ；（2）点P、点Q分别从点A、点B出发同时向右运动，点P的速度为每秒4个单位，点Q 的速度为每秒2个单位，经过多少秒，点P与点Q相遇？（3）如图2，线段AC的长度为3个单位，线段BD的长度为6个单位，线段AC以每秒4个单位的速度向右运动，同时线段BD以每秒2个单位的速度向左运动，设运动时间为t 秒．①t为何值时，点B恰好在线段AC的中点M处．②t为何值时，AC的中点M与BD的中点N距离2个单位．。
人教版七年级数学上册课件：第四章几何图形初步 巧用线段中点(或分点)的有关计算 (共20张PPT)
(2)几秒后，恰好有OA:OB＝1:2? 设运动时间为t s. ①B与A相遇前：12－4t＝2(t＋3)，即t＝1； ②B与A相遇后：4t－12＝2(t＋3)，即t＝9. 答：1 s或9 s后，恰好有OA:OB＝1:2.
解：(1)因为点M，N分别是AC，BC的中点，
所以MC＝ 1 AC＝ 1 ×8＝4(cm)，
NC＝ 1 BC＝2 1 ×62＝3(cm)． 所以M2 N＝MC2 ＋NC＝4＋3＝7(cm)．
(2)若C为线段AB上任意一点，满足AC＋CB＝a cm，其
他条件不变，你能猜想出MN的长度吗？说明理由．
所以BN＝ BC＝ ×8＝4(cm)．
所以MN＝M1 B＋BN1 ＝10＋4＝14(cm)． 综上所述，2 线段MN2 的长为6 cm或14 cm.
(2)根据(1)中的计算过程和结果，设AB＝a，BC＝b， 且a＞b，其他条件都不变，求MN的长度(直接写 出结果)．
MN＝ 1 (a＋b)或MN＝ 1 (a－b)．
13、He who seize the right moment, is the right man.谁把握机遇，谁就心想事成。2021/9/72021/9/72021/9/72021/9/79/7/2021 •14、谁要是自己还没有发展培养和教育好，他就不能发展培养和教育别人。2021年9月7日星期二2021/9/72021/9/72021/9/7 •15、一年之计，莫如树谷；十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人。2021年9月2021/9/72021/9/72021/9/79/7/2021 •16、教学的目的是培养学生自己学习，自己研究，用自己的头脑来想，用自己的眼睛看，用自己的手来做这种精神。2021/9/72021/9/7September 7, 2021 •17、儿童是中心，教育的措施便围绕他们而组织起来。2021/9/72021/9/72021/9/72021/9/7
08 专题八：线段计算(3)——分类讨论思想(方法专题);人教版七年级上学期培优专题讲练(含答案)
专题八：线段计算（3）——分类讨论思想方法点睛几何问题中没给出图形，或给出图形但已知点的位置没给出来，或动点经过“关键点”前后，往往需要考虑分类讨论。
典例精讲1．点A、B、C在同一条直线上，AB＝6cm，BC＝2cm，点M是线段AC的中点，求AM的长．举一反三2．如图，已知线段AB＝4，延长AB到点C，使得AB＝2BC，反向延长AB到点D，使AC ＝2AD．（1）求线段CD的长；（2）若Q为AB的中点，P为线段CD上一点，且BP=12BC，求线段PQ的长．3．已知点C在线段AB上，AC＝2BC，点D、E在直线AB上，点D在点E的左侧．若AB ＝18，DE＝8，线段DE在线段AB上移动．①如图1，当E为BC中点时，求AD的长；②点F（异于A，B，C点）在线段AB上，AF＝3AD，CE+EF＝3，求AD的长．专题过关4．已知线段AB＝10cm，直线AB上有一点C，且BC＝4cm，M是线段AC的中点，则AM 的长（）A．7cm B．3cm C．3cm或7cm D．7cm或9cm5．已知线段AB＝12，在AB上有C、D、M、N四点，且AC：CD：DB＝1：2：3．AM=12AC，DN =14BD ，求线段MN 的长．6．如图，C 为线段AB 上一点，D 为AC 的中点，E 为BC 的中点，F 为DE 的中点．（1）若AC ＝4，BC ＝6，求CF 的长；（2）若AB ＝16CF ，求AC CB 的值．7．已知线段AB ．（1）M 是线段AB 上一点，且此时所有线段之和为20，求线段AB 的长；（2）直线AB 上有一点C ，且BC ＝4，N 是AC 的中点，求AN 的长．8．点A ，B ，C 在同一直线上，（1）若AB ＝8，AC ：BC ＝3：1，求线段AC 的长度；（2）若AB ＝m ，AC ：BC ＝n ：1（n 为大于1的整数），求线段AC 的长度．9．动点A 从原点出发向数轴负方向运动，同时，动点B 也从原点出发向数轴正方向运动，3秒后，两点相距18个单位长度．已知动点A 、B 的速度比是1：2（速度单位：单位长度/秒）．（1）求出两个动点运动的速度，并在数轴上标出A 、B 两点从原点出发运动3秒时的位置；（2）若A 、B 两点从（1）中的位置同时向数轴负方向运动时，另一动点C 和点B 同时从B 点位置出发向A 运动，当遇到A 后，立即返回向B 点运动，遇到B 点后又立即返回向A 点运动，如此往返，直到B 追上A 时，C 立即停止运动．若点C 一直以20单位长度/秒的速度匀速运动，那么点C 从开始运动到停止运动，行驶的路程是多少个单位长度？（3）若A 、B 两点是（1）中的位置，点P 是AB 两点间的一动点，沿A →B →A 以4单位长度/秒的速度往返运动1次，运动时间为t 秒．①用含t 的代数式表示AP 的长度；②在运动过程中，若BP 中点为Q ，且AQ ＝3AP ，求t 的值．【参考答案】1．解：如图1，当点C在线段AB的延长线上时，∵AB＝6cm，BC＝2cm，∴AC＝8cm，∵点M是线段AC的中点，∴AM=12AC＝4cm，如图2，当点C在线段AB上时，∵AB＝6cm，BC＝2cm，∴AC＝4cm，∵点M是线段AC的中点，∴AM=12AC＝2cm，答：AM的长为2cm或4cm．2．解：（1）∵AB＝4，AB＝2BC，∴BC＝2，∴AC＝AB+BC＝6，∵AC＝2AD，∴AD＝3，∴CD＝AC+AD＝6+3＝9；（2）∵Q为AB中点，∴BQ=12AB＝2，∵BP=12BC，∴BP＝1，当点P在B、C之间时，PQ＝BP+BQ＝2+1＝3；当点P在A、B之间时，PQ＝BQ﹣BP＝2﹣1＝1．即PQ的长为1或3．3．解：①AC＝2BC，AB＝18，∴BC＝6，AC＝12，如图1，∵E为BC中点，∴CE＝BE＝3，∵DE＝8，∴BD＝DE+BE＝8+3＝11，∴AD＝AB﹣DB＝18﹣11＝7；②Ⅰ、当点E在点F的左侧，如图2，或∵CE+EF＝3，BC＝6，∴点F是BC的中点，∴CF＝BF＝3，∴AF＝AB﹣BF＝18﹣3＝15，∴AD=13AF＝5；∵CE+EF＝3，故图2（b）这种情况求不出；Ⅱ、如图3，当点E在点F的右侧，或∵AC＝12，CE+EF＝CF＝3，∴AF＝AC﹣CF＝9，∴AF＝3AD＝9，∴AD＝3．∵CE+EF＝3，故图3（b）这种情况求不出；综上所述：AD的长为3或5．4．C．5．解：当C 点在线段AB 上：∵AB ＝12，AC ：CD ：DB ＝1：2：3，∴AC =16×12＝2，CD =26×12＝4，DB =36×12＝6，∴AM =12AC ＝1，DN =14BD =32，①当点N 在点D 右侧时，如图1，MN ＝MC +CD +DN ＝2﹣1+4+32=132；②当点N 在点D 左侧时，如图2，MN ＝MC +CD ﹣DN ＝2﹣1+4−32=72．综上所述，线段MN 的长为72或132．6．解：（1）∵D 为AC 的中点，∴AD ＝CD =12AC ＝2∵E 为BC 中点，∴CE ＝BE =12BC ＝3∴DE ＝DC +CE ＝5∵F 为DE 中点∴DF =12DE =52∴CF ＝DF ﹣DC =52−2=12（2）如图：设AD ＝CD ＝x ，CE ＝BE ＝y ，则DF =12DE =12（x +y ）∴CF ＝DF ﹣DC =12（y ﹣x ）∴由AB ＝16CF 得：2（x +y ）＝8（y ﹣x ），∴5x ＝3y∴AC BC =2x 2y =x y=35 答：AC BC 的值为35．7．解：（1）如图1所示：根据题意可知：AM +MB +AB ＝20．∵AM +MB ＝AB ，∴2AB ＝20．∴AB ＝10．（2）如图2所示：点C 在AB 的延长线上．∵AB ＝10，BC ＝4，∴AC ＝AB +BC ＝10+4＝14．∵N 是AC 的中点，∴AN =12AC =12×14=7． 如图3所示；点C 在AB 上．∵AB ＝10，BC ＝4，∴AC ＝10﹣4＝6．∵N 是AC 的中点，∴AN =12AC =12×6=3．∴AN 的长为3或7．8．解：（1）当点C 在线段AB 上时，∵AB ＝8，AC ：BC ＝3：1，∴AC ＝6，当点B 在线段AC 上时，∵AB ＝8，AC ：BC ＝3：1，∴BC ＝4，∴AC＝AB+BC＝12；（2）当点C在线段AB上时，∵AB＝m，AC：BC＝n：1，∴AC=nmn+1，当点B在线段AC上时，∵AB＝m，AC：BC＝n：1，∴BC=mn−1，∴AC＝AB+BC＝m+mn−1=mnn−1．9．解：（1）设点A的速度为x单位长度/秒，则点B的速度为2x单位长度/秒，由题意，得3x+6x＝18，解得：x＝2，∴点B的速度为4个单位长度/秒，∴点A的位置是﹣6，点B的位置是12．如图：（2）设B追上A的时间是m秒，由题意，得4m＝2m+18，解得：m＝9，∴点C行驶的路程是：20×9＝180个单位长度；（3）①当0＜t≤4.5时，AP＝4t，当4.5＜t≤9时，AP＝36﹣4t；②当0＜t≤4.5时，4t+18−4t2=3×4t，t=9 10；当4.5＜t≤9时，18−(36−4t)2+36﹣4t＝3（36﹣4t）t=81 10．答：BP中点为Q，且AQ＝3AP时，t的值是910或81 10．。
线段中点知识点总结
线段中点知识点总结一、线段中点的定义线段中点是指线段的两个端点之间的中间位置的点，具体来说，一个线段上的点M被称为线段AB的中点，即AM = MB。
二、线段中点的性质1. 线段中点的坐标假设线段AB的两个端点分别为A(x1, y1)和B(x2, y2)，则线段AB的中点M的坐标为M((x1 + x2)/2, (y1 + y2)/2)。
2. 线段中点的判定如果一个点M(x, y)满足AM = MB，则M是线段AB的中点。
3. 线段中点的作图若要画出线段AB的中点M，只需连接AB的两个端点，并画出中垂线，中垂线与AB的交点即为M。
4. 线段中点定理线段中点定理是指：如果一个三角形的一个边平行于另一个边的一半，则这个边上的中点与三角形的第三个顶点连线平行于另一个边。
具体来说，设AB//CD，M为AB的中点，N为CD的中点，则MN//AD，并且MN = 1/2 * AD。
5. 线段中点与平行线如果有线段的两个端点与所在直线的两个点分别构成的两个三角形的底边上的等角相同（或对顶角相等），那么这个线段的中点同时也是这个线段中线的中点。
6. 线段中点与距离假设二维空间中有一个点O及其两个不同的点A和B。
则对于点C，若AC = BC，则C在AB中点上或者与AB垂直。
稍广义地说当AC = BC时只有一个点C，在AB的中垂线上，且AC = BC。
三、线段中点的应用1. 几何证明在几何证明中，线段中点定理、线段中点与平行线的性质常常被用于推导各种结论。
2. 动态几何在动态几何学软件中，线段中点的坐标性质被广泛应用，可以通过拖动线段的两个端点来改变线段中点的位置验证性质。
3. 数学建模在线段中点的坐标计算中，线段的中点坐标性质可以应用于数学建模中，比如在平面直角坐标系中，通过线段中点的坐标计算可以简化一些数学模型的复杂度。
4. 计算机图形学计算机图形学中，线段的中点与平行线性质及计算中点坐标等知识对图形的坐标变换、画直线、画圆等操作有一定的指导作用。
2024年新人教版七年级数学上册 6.2.2 线段的比较与运算(课件)
3．线段的长短比较： (1)线段长短比较的实质是线段的长度的比较． (2)线段长短的比较方法：
①度量法(数)：用刻度尺量出线段的长度，根据长度大小来比较， 长度大的线段较长，长度相等时两线段相等． ②叠合法(形)：比较两条线段AB与CD的长短，可以把线段AB移 到线段CD上，使点A与点C重合，点B与点D在重合点的同一侧．
3．(1)两点的所有连线中，__线__段_最__短______．简单说成： __两__点__之_间__，__线__段__最_短____________．
(2)连接两点的线段的长度，叫作这两点间的___距__离____．
例1.如图，已知线段a、b，尺规作图：
(1)画一条线段AC＝a＋b；(根据下列作法画出图形)
知识点4：线段的中点及等分点(难点)
1．线段的中点：如图，点M在线段AB上，AM＝BM，点M叫作线 段AB的中点.
应用：因为点M是线段AB的中点，所以AM＝BM＝
1 2
AB，
AB＝2AM＝2BM.
2．线段的等分点：
如图①所示，B，C是线段AD上的两点，
且AB＝BC＝CD＝
1 3
AD或AD＝3AB＝3BC＝3CD，
活动导入
同学们，请你在草稿纸上画一条线段AB. 你能在草稿纸上作出一条同样大小的线段吗？ 你是怎么做的？
情境导入 同学们，请你们观察这三组图形，你能比较出每组图形中线段a和b 的长短吗？
a b
事实上，这三组图形中，线段a和b的长度是相等的. 很多时候，眼见未必为实，准确比较线段的长短还 需要更加严谨的办法.
小组展示
越展越优秀
提疑惑：你有什么疑惑？
知识点1：线段的画法及长短比较(重点)
1．尺规作图：在数学中，我们常限定用无刻度的直尺和圆规作图， 这就是尺规作图．
人教版七年级数学上册满分冲刺突破：数轴类动点问题综合(三)
人教版七年级上册满分冲刺突破：数轴类动点问题综合（三）1．如图，直线l上有AB两点，AB＝18cm，点O是线段AB上的一点，OA＝2OB （1）OA＝cm，OB＝cm；（2）若点C是直线AB上一点，且满足AC＝CO+CB，求CO的长；（3）若动点P，Q分别从A，B同时出发，向右运动，点P的速度为3cm/s，点Q的速度为1cm/s．设运动时间为ts，当点P与点Q重合时，P，Q两点停止运动．①当t为何值时，2OP﹣OQ＝4；②当点P经过点O时，动点M从点O出发，以4cm/s的速度也向右运动．当点M追上点Q后立即返回，以4cm/s的速度向点P运动，遇到点P后再立即返回，以4cm/s的速度向点Q运动，如此往返．当点P与点Q重合时，P，Q两点停止运动．此时点M也停止运动．在此过程中，点M行驶的总路程是多少？2．如图1，已知点A、C、F、E、B为直线l上的点，且AB＝12，CE＝6．F为AE的中点．（1）如图1，若CF＝2，则BE＝．若CF＝m，BE与CF的数量关系是；（2）当点E沿直线l向左运动至图2的位置时，（1）中BE与CF的数量关系是否仍然成立？请说明理由；（3）如图3，在（2）的条件下，在线段BE上，是否存在点D，使得BD＝7，且DF＝3DE？若存在，利用一元一次方程求出DF的长；若不存在，请说明理由．3．如图，M是线段AB上一点，且AB＝16cm，C、D两点分别从M、B同时出发，C点以1cm/s的速度向点A运动，D点以3cm/s的速度向点M运动，当一点到达终点时，另一点也停止运动．（1）当AM＝6cm，点C、D运动了2s时，求这时AC与MD的数量关系；（2）若AM＝6cm，请你求出点C、D运动了多少s时，点C、D的距离等于4cm；（3）若点C、D运动时，总有MD＝3AC，求AM的长．4．如图，AB＝12cm，点C在线段AB上，AB＝3BC，动点P从点A出发，以4cm/s的速度向右运动，到达点B之后立即返回，以4cm/s的速度向左运动；动点Q从点C出发，以1cm/s的速度向右运动，到达点B之后立即返回，以1cm/s的速度向左运动．设它们同时出发，运动时间为t秒，当第二次重合时，P、Q两点停止运动．（1）AC＝cm，BC＝cm；（2）当t＝秒时，点P与点Q第一次重合；当t＝秒时，点P与点Q第二次重合；（3）当t为何值时，AP＝PQ？5．如图所示，线段AB＝6cm，点C从点P出发以1cm/s的速度沿AB向左运动，点D从点B出发以2cm/s的速度沿AB向左运动（点C在线段AP上，D在线段BP上）（1）若C，D运动到任意时刻都有PD＝2AC，试说明PB＝2AP；（2）在（1）的条件下，Q是直线AB上一点，若AQ﹣BQ＝PQ，求PQ的值；（3）在（1）的条件下，若C，D运动了一段时间后恰有AB＝2CD，这时点C停止运动，点D继续在线段PB上运动，M，N分别是CD，PD的中点，求MN的值．6．如图，C为线段AB上一点，且AC＝2BC，AC的比BC小5．（1）求AC，BC的长；（2）点P从点A出发，以1个单位/秒的速度在线段AB上向点B运动，设运动时间为t 秒（t＜10），D为PB的中点，E为PC的中点，已知CD＝DE，试求点P运动时间t 的值．7．如图1，点C在线段AB上，图中有三条线段，分别为线段AB，AC和BC，若其中一条线段的长度是另外一条线段的2倍，则称点C是线段AB的“巧点”．（1）线段的中点这条线段的“巧点”（填“是”或”不是”）；（2）若线段AB＝12cm，点C是线段AB的“巧点”，则AC＝cm．【解决问题】（3）如图2，已知AB＝12cm，动点P从点A出发，以2cm/s的速度沿AB向点B运动，点Q从点B出发，以1cm/s的速度沿BA向点A运动，点P，Q同时出发，当其中一点到达终点时，运动停止．设运动的时间为ts，当t为何值时，点P为线段AQ的“巧点”，并说明理由．8．如图，P是线段AB上一点，AB＝12cm，C、D两点分别从P、B出发以1cm/s、2cm/s 的速度同时沿直线AB向左运动（C在线段AP上，D在线段BP上），运动时间为ts （I）若C、D运动1s时，且PD＝2AC，求AP的长；（II）若C、D运动到任一时刻时，总有PD＝2AC，AP的长度是否变化？若不变，请求出AP的长；若变化，请说明理由；（III）在（II）的条件下，Q是直线AB上一点，且AQ﹣BQ＝PQ，求PQ的长．9．如图，射线OM上有三点A，B，C，满足OA＝40cm，AB＝30cm，BC＝20cm．点P从点O出发，沿OM方向以2cm/秒的速度匀速运动，点Q从点C出发在线段CO上向点O 匀速运动，两点同时出发，当点Q运动到点O时，点P，Q停止运动．（1）若点Q运动速度为3cm/秒，经过多长时间P，Q两点相遇？（2）当PB＝2PA时，点Q运动到的位置恰好是线段OB的中点，求点Q的运动速度；（3）自点P运动到线段AB上时，分别取OP和AB的中点E，F，求的值．10．如图，直线a上有M、N两点，MN＝12cm，点O是线段MN上的一点，OM＝3ON．（1）填空：OM＝cm，ON＝cm；（2）若点C是线段OM上一点，且满足MC＝CO+CN，求CO的长；（3）若动点P、Q分别从M、N两点同时出发，向右运动，点P的速度为3cm/s，点Q 的速度为2cm/s．设运动时间为ts，当点P与点Q重合时，P、Q两点停止运动．①当t为何值时，2OP﹣OQ＝4cm？②当点P经过点O时，动点D从点O出发，以4cm/s的速度也向右运动，当点D追上点Q后立即返回，以4cm/s的速度向点P运动，遇到点P后再立即返回，以4cm/s的速度向点Q运动，如此往返，直到点P、Q停止运动时，点D也停止运动．求出在此过程中点D运动的总路程是多少？参考答案1．解：（1）∵AB＝18cm，OA＝2OB，∴OA+OB＝3OB＝AB＝18cm，解得：OB＝6cm，OA＝2OB＝12cm．故答案为：12；6．（2）设CO的长是xcm，依题意有：①当点C在线段AO上时，12﹣x＝x+6+x，解得x＝2；②当点C在线段OB上时，12+x＝x+6﹣x，解得：x＝﹣6（舍去）；③当点C在线段AB的延长线上时，12+x＝x+x﹣6，解得x＝18．故CO的长为2cm或18cm；（3）当运动时间为ts时，点P表示的数为3t﹣12，点Q表示的数为t+6．当3t﹣12＝t+6时，t＝9，∴0≤t≤9．①∵2OP﹣OQ＝4，∴2|3t﹣12|﹣|t+6|＝4．当0≤t＜4时，有2（12﹣3t）﹣（6+t）＝4，解得t＝2；当4≤t≤9时，有2（3t﹣12）﹣（6+t）＝4，解得t＝6.8．故当t为2s或6.8s时，2OP﹣OQ＝4．②当3t﹣12＝0时，t＝4，4×（9﹣4）＝20（cm）．答：在此过程中，点M行驶的总路程是20cm．2．解：（1）∵CE＝6，CF＝2，∴EF＝CE﹣CF＝6﹣2＝4，∵F为AE的中点，∴AE＝2EF＝2×4＝8，∴BE＝AB﹣AE＝12﹣8＝4，若CF＝m，则BE＝2m，BE＝2CF；（2）（1）中BE＝2CF仍然成立．理由如下：∵F为AE的中点，∴AE＝2EF，∴BE＝AB﹣AE，＝12﹣2EF，＝12﹣2（CE﹣CF），＝12﹣2（6﹣CF），＝2CF；（3）存在，DF＝3DE．理由如下：设DE＝x，则DF＝3x，∴EF＝2x，CF＝6﹣2x，BE＝x+7，由（2）知：BE＝2CF，∴x+7＝2（6﹣2x），解得x＝1，∴DF＝3．故答案是：4；2m；BE＝2CF．3．解：（1）∵AB＝16cm，AM＝6cm，∴BM＝16﹣6＝10cm，∵点C、D运动了2s，∴CM＝1×2＝2cm，BD＝3×2＝6cm，∴AC＝AM﹣CM＝4cm，MD＝BM﹣BD＝10﹣6＝4cm，∴AC＝MD；（2）∵AB＝16cm，AM＝6cm，∴BM＝16﹣6＝10cm，设点C、D运动了ts，∴CM＝tcm，BD＝3tcm，∴MD＝BM﹣BD＝（10﹣3t）cm，∴点C、D的距离等于4cm，∴CD＝CM+MD＝t+（10﹣3t）＝4，∴t＝3秒，即：点C、D运动了3s时，点C、D的距离等于4cm（3）∵C点以1cm/s的速度向点A运动，D点以3cm/s的速度向点M运动∴BD＝3CM，∵MD＝3AC，∴BM＝MD+BD＝3AC+3CM＝3（AC+CM）＝3AM，∵AB＝AM+BM＝16cm，∴AM+3AM＝16，∴AM＝4cm．4．解：（1）∵AB＝12cm，AB＝3BC∴BC＝4，AC＝8故答案为：8；4．（2）设运动时间为t，则AP＝4t，CQ＝t，由题意，4t﹣t＝8，解得t＝；当点P与点Q第二次重合时有：4t﹣12+8+t＝12，解得t＝．故当t＝秒时，点P与点Q第一次重合；当t＝秒时，点P与点Q第二次重合．故答案为：；．（3）在点P和点Q运动过程中，当AP＝PQ时，可得：2×4t＝8+t，解得t＝；故当t为秒时，AP＝PQ．5．解：（1）根据C、D的运动速度知：BD＝2PC．∵PD＝2AC，∴BD+PD＝2（PC+AC），即PB＝2AP；（2）当点Q在AB上时，如图1∵AQ﹣BQ＝PQ，∴AQ＝PQ+BQ；又∵AQ＝AP+PQ，∴AP＝BQ，又∵PB＝2AP，∴PQ＝AB＝2cm，当点Q'在AB的延长线上时，AQ′﹣AP＝PQ′所以AQ′﹣BQ′＝PQ＝AB＝6cm．综上所述，PQ＝2cm或6cm．（3）如图2，当C点停止运动时，有CD＝AB＝3cm，∴AC+BD＝AB＝3cm，∴AP﹣PC+BD＝AB＝3cm，∵AP＝AB＝2cm，∴PC＝1cm，∵M是CD中点，N是PD中点，∴MN＝MD﹣ND＝CD﹣PD＝PC＝cm．6．解：（1）设BC＝a，则AC＝2a，，解得，a＝10，∴2a＝20，即AC＝20，BC＝10；（2）由题意可得，AP＝t，则BP＝10+20﹣t＝30﹣t，CP＝20﹣t，∴CE＝，BD＝，∴CD＝BD﹣BC＝（30﹣t）﹣10＝5﹣0.5t，DE＝CE﹣CD＝（20﹣t）﹣（5﹣0.5t）＝5，∵CD＝DE，∴5﹣0.5t＝×5，解得，t＝6，即点P运动时间t的值是6．7．解：（1）∵线段的长度是线段中线长度的2倍，∴线段的中点是这条线段的“巧点”，故答案为：是；（2）∵若线段AB＝12cm，点C是线段AB的“巧点”，∴AC＝AB＝×12＝4或AC＝AB＝×12＝6或AC＝AB＝×12＝8，故答案为：4或6或8；（3）运动ts时，AP＝2t，AQ＝12﹣2t（0≤t≤6），由题意得：A不可能为P、Q的“巧点”，当P为A、Q的“巧点”时，AP＝AQ或AP＝AQ或AP＝AQ，即：2t＝（12﹣2t）或2t＝（12﹣2t）或2t＝（12﹣2t），解得：t＝或t＝或t＝3；综上所述，t为s或s或3s时，点P为线段AQ的“巧点”．8．解：（Ⅰ）根据C、D的运动速度可知：BD＝2cm，PC＝1cm，∵AC+CP+PD+BD＝AB，且PD＝2AC，∴AC+1+2AC+2＝12，∴AC＝3cm，∴PA＝4cm；（Ⅱ）长度不发生变化，理由如下：根据C、D的运动速度可知：BD＝2PC，∵AC+CP+PD+BD＝AB，且PD＝2AC，∴3AC+3PC＝12，∴AP＝4cm，（Ⅲ）如图：∵AQ﹣BQ＝PQ，∴AQ＝PQ+BQ；又∵AQ＝AP+PQ，∴AP＝BQ，∴PQ＝AB＝4cm；当点Q'在AB的延长线上时，AQ′﹣AP＝PQ′，所以AQ′﹣BQ′＝PQ＝AB＝12cm．综上所述，PQ＝4cm或12cm．9．解：（1）设经过ts，P、Q两点相遇，∴2t+3t＝40+30+20，解得：t＝18，答：经过18s后P、Q两点相遇．（2）设Q的速度为v，经过ts后，点Q运动到的位置恰好是线段OB的中点点O对应数轴上的0，点A对应数轴上的40，点B对应数轴上的70，点C对应数轴上的90，∴点P对应数轴上的2t，点Q对应数轴上的90﹣vt，∵点Q运动到的位置恰好是线段OB的中点，∴＝90﹣vt，∴vt＝55，∵PB＝2PA，∴|2t﹣70|＝2|2t﹣40|，∴解得：t＝5或t＝25，当t＝5s时，此时v＝11，而点Q到达O点所需要时间为s＞5s，当t＝25时，此时v＝，而点Q到达O点所需要的时间为＝＞25s，综上所述，当v＝11或v＝．（3）设经过ts时，点P在AB之间，点O对应数轴上的0，点A对应数轴上的40，点B对应数轴上的70，点C对应数轴上的90，∴点P对应数轴上的2t，∵OP和AB的中点E，F，∴点E对应数轴上的t，点F对应数轴上的55，∴EF＝55﹣t，AP＝2t﹣40，OB＝70，∴原式＝＝210．解：（1）∵MN＝12cm，OM＝3ON．∴3ON+ON＝12cm，∴ON＝3cm，∴OM＝9cm，故答案为：9，3；（2）∵MC＝CO+CN，∴9﹣OC＝OC+3+OC∴OC＝2（3）①若点P在OM上，∵2OP﹣OQ＝4cm，∴2（9﹣3t）﹣（3+2t）＝4∴t＝若点P在ON上，∵2OP﹣OQ＝4cm，∴2（3t﹣9）﹣（3+2t）＝4∴t＝∴综上所述：当或时，2OP﹣OQ＝4cm；②设点P从O点到追上点Q所用时间为ys，由题意可得：3y﹣2y＝3+2×3∴y＝9∴点D运动的总路程是＝4×9＝36cm．。
线段的中点与计算
线段的中点与计算一、线段中点的计算方法1.直线段的情况：假设线段的两个端点分别为A和B，坐标分别为(x1,y1)和(x2,y2)。
则线段的中点的坐标为((x1+x2)/2,(y1+y2)/2)。
2.三维空间中的线段：对于三维空间中的线段，其计算方法与二维空间中类似。
假设线段的两个端点分别为A和B，坐标分别为(x1,y1,z1)和(x2,y2,z2)。
则线段的中点的坐标为((x1+x2)/2,(y1+y2)/2,(z1+z2)/2)。
二、线段中点的示例1.二维空间中的线段：假设线段的两个端点分别为A(1,2)和B(4,6)。
根据计算方法，线段的中点的坐标为((1+4)/2,(2+6)/2)，即(2.5,4)。
2.三维空间中的线段：假设线段的两个端点分别为A(1,2,3)和B(4,6,9)。
根据计算方法，线段的中点的坐标为((1+4)/2,(2+6)/2,(3+9)/2)，即(2.5,4,6).三、线段中点的性质1.中点分割比例：线段的中点将线段分割成两部分，而这两部分的长度有一定的关系。
根据类似三角形的性质，线段的中点将线段分割的两部分的长度比等于中点到两个端点的距离的比。
即线段的中点将线段分割成两部分的长度比为1:1、这个性质在解决线段问题中往往能够减小计算的复杂度。
2.判断线段是否经过特定点：对于给定的点P，如果以P为线段的中点，那么线段一定经过P。
可以通过计算判断给定的线段的中点是否与给定点的坐标相等来判断线段是否经过该点。
四、线段中点的应用1.线段分割：如果需要将线段分割成多段，可以通过连续求取线段的中点，并将中点作为新的线段的端点，从而实现线段的分割。
2.矩形绘制：矩形是由四个线段组成的，并且矩形的对角线的中点为矩形的中点。
因此，在计算机图形学中，可以通过连续求取矩形对角线的中点，并将中点作为矩形的中点，从而绘制一个矩形。
3.曲线绘制：在计算机图形学中，曲线可以通过连续求取曲线上两个相邻点的中点，并将中点作为曲线上的新点，从而实现曲线的绘制。
新人教版七年级数学上册专题训练：线段的计算(含答案)
专题训练 线段的计算——教材P128练习T3的变式与应用教材母题：(教材P 128练习T 3)如图，点D 是线段AB 的中点，C 是线段AD 的中点，若AB ＝4 cm ，求线段CD 的长度．【解答】 因为点D 是线段AB 的中点，AB ＝4 cm ，所以AD ＝12AB ＝12×4＝2(cm )． 因为C 是线段AD 的中点，所以CD ＝12AD ＝12×2＝1(cm )． 【方法归纳】 结合图形，将待求线段长转化为已知线段的和、差形式．若题目中出现线段的中点，常利用线段中点的性质，结合线段的和、差、倍、分关系求解．同时应注意题目中若没有图形，或点的位置关系不确定时，常需要分类讨论，确保答案的完整性．1．如图，线段AB ＝22 cm ，C 是线段AB 上一点，且AC ＝14 cm ，O 是AB 的中点，求线段OC 的长度．解：因为点O 是线段AB 的中点，AB ＝22 cm ，所以AO ＝12AB ＝11 cm . 所以OC ＝AC －AO ＝14－11＝3(cm )．2．如图，已知C 是AB 的中点，D 是AC 的中点，E 是BC 的中点．(1)若DE ＝9 cm ，求AB 的长； (2)若CE ＝5 cm ，求DB 的长．解：(1)因为D 是AC 的中点，E 是BC 的中点，所以AC ＝2CD ，BC ＝2CE.所以AB ＝AC ＋BC ＝2DE ＝18 cm .(2)因为E 是BC 的中点，所以BC ＝2CE ＝10 cm .因为C 是AB 的中点，D 是AC 的中点，所以DC ＝12AC ＝12BC ＝5 cm . 所以DB ＝DC ＋BC ＝5＋10＝15(cm )．3．如图，B ，C 两点把线段AD 分成2∶5∶3三部分，M 为AD 的中点，BM ＝6 cm ，求CM 和AD 的长．解：设AB ＝2x cm ，BC ＝5x cm ，CD ＝3x cm ，所以AD ＝AB ＋BC ＋CD ＝10x cm .因为M 是AD 的中点，所以AM ＝MD ＝12AD ＝5x cm . 所以BM ＝AM －AB ＝5x －2x ＝3x(cm )．因为BM ＝6 cm ，所以3x ＝6，x ＝2.故CM ＝MD －CD ＝5x －3x ＝2x ＝2×2＝4(cm )，AD ＝10x ＝10×2＝20(cm )．4．如图，线段AB ＝1 cm ，延长AB 到C ，使得BC ＝32AB ，反向延长AB 到D ，使得BD ＝2BC ，在线段CD 上有一点P ，且AP ＝2 cm .(1)请按题目要求画出线段CD ，并在图中标出点P 的位置； (2)求出线段CP 的长度．解：(1)线段CD 和点P 的位置如图1、2所示．(2)因为AB ＝1 cm ，所以BC ＝32AB ＝32cm . 所以BD ＝2BC ＝3 cm .当点P 在点A 的右边时，CP ＝AB ＋BC －AP ＝12cm ； 当点P 在点A 的左边时，点P 与点D 重合，CP ＝BD ＋BC ＝92cm .专题训练 有理数的运算题组1 有理数的加、减、乘、除、乘方运算1．计算：(1)(－3)＋(－9)；解：原式＝－12.(2)－4.9＋3.7；解：原式＝－1.2.(3)(－13)＋34； 解：原式＝512.(4)0－9；解：原式＝－9.(5)(－3)－(－5)；解：原式＝2.(6)－712－914； 解：原式＝－1634.(7)(－12.5)－(－7.5)．解：原式＝－5.2．计算：(1)(－3)×5；解：原式＝－15.(2)(－34)×(－89)； 解：原式＝23.(3)(－37)×(－45)×(－712)； 解：原式＝－15.(4)(－4)×(－10)×0.5×0×2 017；解：原式＝0.(5)(－36)÷9；解：原式＝－4.(6)(－1225)÷(－35)； 解：原式＝45.(7)(－12557)÷(－5)． 解：原式＝2517.3．计算：(1)(0.3)2；解：原式＝0.09.(2)(－10)3；解：原式＝－1 000.(3)－(－2)4；解：原式＝－16.(4)(112)3. 解：原式＝278.题组2 有理数的混合运算(1)16＋(－25)＋24－35；解：原式＝16＋24＋[(－25)＋(－35)]＝40＋(－60)＝－20.(2)314＋(－235)＋534－825； 解：原式＝314＋534＋[(－235)＋(－825)] ＝9＋(－11)＝－2.(3)(12－58－14)×(－24)； 解：原式＝12×(－24)－58×(－24)－14×(－24) ＝－12＋15＋6＝9.(4)719×(112－118＋314)×(－214)； 解：原式＝649×(－94)×(32－98＋134) ＝－16×(32－98＋134) ＝－16×32＋16×98－16×134＝－24＋18－52＝－58.(5)(－9)×(－11)÷3÷(－3)；解：原式＝－99÷3÷3＝－11.(6)(－48)÷8－(－5)×(－6)；解：原式＝－6－30＝－36.(7)2－(－4)＋8÷(－2)＋(－3)．解：原式＝2＋4＋(－4)＋(－3)＝2＋(－3)＝－1.(1)－12－(－12)3÷4； 解：原式＝－1－(－18)÷4 ＝－1＋18×14＝－1＋132＝－3132.(2)(－2)3＋(－3)×[(－4)2＋2]－(－3)2÷(－2)； 解：原式＝(－8)＋(－3)×(16＋2)－9÷(－2) ＝(－8)＋(－3)×18＋4.5＝(－8)＋(－54)＋4.5＝－62＋4.5 ＝－57.5.(3)－32×(－13)2－(－2)3÷(－12)2； 解：原式＝－9×19－(－8)÷14＝－1＋32＝31.(4)(－2)4÷(－8)－(－12)3×(－22)； 解：原式＝16÷(－8)－(－18)×(－4) ＝(－2)－12＝－212.(5)(－58)×(－4)2－0.25×(－5)×(－4)3； 解：原式＝(－58)×16－0.25×(－5)×(－64) ＝－10－80＝－90.(6)－14＋(1－0.5)×13×[2－(－3)2]． 解：原式＝－1＋0.5×13×(2－9) ＝－1＋0.5×13×(－7) ＝－1－713 6.＝－。
中点坐标公式及其应用
中点坐标公式及其应用一、中点坐标公式设直线上两点的坐标分别为(x1,y1)和(x2,y2)，则这条直线的中点的坐标可以通过以下公式求得：中点的横坐标：xm = (x1 + x2) / 2中点的纵坐标：ym = (y1 + y2) / 2二、中点坐标公式的推导我们可以通过两点的坐标进行推导来得到中点坐标公式。
设直线上两点的坐标分别为 (x1, y1) 和 (x2, y2)，则中点的坐标为 (xm, ym)。
由于中点与两点的横坐标和纵坐标的平均值相等，即xm = (x1 + x2) / 2ym = (y1 + y2) / 2因此，中点坐标公式可以得出。
三、中点坐标公式的应用1.几何形状：中点坐标公式可以求得线段的中点坐标，进而可以应用在各种几何形状的计算中。
比如，可以求取三角形的重心、四边形的对角线中点等。
2.图形的平移：通过中点坐标公式，可以将图形进行平移。
例如，将一个图形沿着一些方向平移一定距离，只需分别计算出各个顶点的中点坐标，并用中点坐标替代原来的顶点坐标即可。
3.矩阵变换：在计算机图形学中，经常需要对图形进行矩阵变换，如旋转、缩放、错切等。
通过中点坐标公式，可以方便地求得变换后图形的中点坐标，从而实现图形的变换。
4.物体运动：当物体在直角坐标系中做直线运动时，可以通过中点坐标公式追踪物体的运动轨迹。
通过计算每一时刻物体的中点坐标，可以得到物体的运动路径。
5.计算距离：可以利用中点坐标公式计算两点之间的距离。
通过求得两点的中点坐标，可以将两点的距离转化为两点连线的长度，从而方便进行计算。
四、中点坐标公式的实例1.例题一：已知直线上两点的坐标分别为(3,4)和(-1,2)，求该直线的中点的坐标。
根据中点坐标公式，横坐标为(3+(-1))/2=1，纵坐标为(4+2)/2=3、因此，直线的中点的坐标为(1,3)。
2.例题二：已知一个矩形的两个对角线的坐标分别为(1,2)和(5,6)，求矩形的中点坐标。
人教版七年级数学上册4.2线段的计算解答题(1)-仅供参考
线段的计算解答题目标：锻炼学生因为、所以的表达思路让学生学会用方程的思路解决线段的求解一、练习表达思路1、已知AB=16cm，点C是AB上一点，AC=10cm，点M是AC的中点，点N是BC的中点，求线段MN的长．2、如图所示,点C是线段AB上一点,点M是线段AC的中点,点N是线段BC的中点.(1)如果AB=20 cm,AM=6 cm,求NC的长;(2)如果MN=6 cm,求AB的长.3、已知线段AB=12 cm,直线AB上有一点C,且BC=6 cm,M是线段AC的中点,求线段AM的长.4、如图所示,已知线段AB=60 cm,点M为AB的中点,点N为MB的中点,则线段MN的长是多少？5、如图,点C在线段AB上,点M,N分别是AC,BC的中点.（1）若AC=10 cm,CB=8 cm,求线段MN的长;（2）若C为线段AB上任一点,满足AC+BC=a cm,猜想MN的长度,并说明理由.二、用方程的思路解题1、已知两条线段的差是10cm，这两条线段的比是2：3，则这两条线段的长度和是多少厘米？2、如图，已知7:5:4:: CD BC AB ，且点E 是AB 的中点，点F 是CD 的中点，线段EF 长为105，求线段BC 的长．3、如图，点B 、C 把线段MN 分成三部分，其比是MB ：BC ：CN=2：3 ：4，其中MN 长27cm ，p 是MN 的中点，求PC 的长度。
4、如图，已知点D 是线段AB 上的一点，延长线段AB 至点C ，使得AB=BC ，且DC=5AD ，若BD=4，则线段AC 的长是多少？5、如图，点C在线段AB上，AC：BC=3:2，点M是AB的中点，点N是BC的中点，若MN=3，则线段AB的长是多少？6、如图，已知AB =14，C、D是线段AB上的两个点，且满足AC：CD：DB=1：2：4，则线段AC的长度是多少？三、线段的动点问题1、(1)如图①，D是线段AB上任意一点，M，N分别是AD，DB的中点，若AB＝16，求MN的长．(2)如图②，AB＝16，点D是线段AB上一动点，M，N分别是AD，DB的中点，能否求出线段MN的长？若能，求出其长；若不能，试说明理由．(3)如图③，AB＝16，点D运动到线段AB的延长线上，其他条件不变，能否求出线段MN的长？若能，求出其长；若不能，试说明理由．(4)你能用一句简洁的话，描述你发现的结论吗？2、如图，线段AB＝24，动点P从A出发，以每秒2个单位长度的速度沿射线AB运动，M为AP的中点，设P的运动时间为x秒．(1)当PB＝2AM时，求x的值．(2)当P在线段AB上运动时，试说明2BM－BP为定值．(3)当P在AB延长线上运动时，N为BP的中点，下列两个结论：①MN长度不变；②MA＋PN的值不变．选择一个正确的结论，并求出其值．3、如图，已知数轴上点A表示的数为8，B是数轴上一点，且AB=14．动点P 从点A出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t （t＞0）秒．（1）写出数轴上点B表示的数（），点P表示的数（）（用含t的代数式表示）；（2）动点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、Q同时出发，问点P运动多少秒时追上点Q？（3）若M为AP的中点，N为PB的中点．点P在运动的过程中，线段MN的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请你画出图形，并求出线段MN的长；4.已知数轴上有A、B、C三点表示-24、-10、10，两只电子蚂蚁甲、已分别从A、C两点同时相向而行，甲的速度为4单位/秒。
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专训1 巧用线段中点的有关计算
名师点金：利用线段的中点可以得到线段相等或有倍数关系的等式来辅助计算，由相等的线段去判断中点时，点必须在线段上才能成立．
线段中点问题
类型1与线段中点有关的计算
1．如图，点C在线段AB上，AC＝8 cm，CB＝6 cm，点M，N分别是AC，BC的中点．
(1)求线段MN的长．
(2)若C为线段AB上任一点，满足AC＋CB＝a cm，其他条件不变，你能猜想MN的长度吗？并说明理由．
(第1题)
类型2与线段中点有关的说明题
2．画线段MN＝2 cm，在线段MN上取一点Q，使MQ＝NQ；延长线段MN到点A，使AN＝1
MN；延长线段NM到点B，使BN＝3BM.
2
(1)求线段BM的长；
(2)求线段AN的长；
(3)试说明点Q是哪些线段的中点．
线段分点问题
类型1与线段分点有关的计算(设参法)
3．如图，B，C两点把线段AD分成2∶4∶3三部分，M是AD的中点，CD＝6 cm，求线段MC的长．
(第3题)
类型2 线段分点与方程的结合
4．A ，B 两点在数轴上的位置如图所示，O 为原点，现A ，B 两点分别以1个单位长度/秒、4个单位长度/秒的速度同时向左运动．【导学号：11972070】
(1)几秒后，原点恰好在A ，B 两点正中间？
(2)几秒后，恰好有OA ∶OB ＝1∶2?
(
第4题)
答案
1．解：(1)因为点M ，N 分别是AC ，BC 的中点，
所以CM ＝12AC ＝12×8＝4(cm )，CN ＝12BC ＝12×6＝3(cm )，
所以MN ＝CM ＋CN ＝4＋3＝7(cm )；
(2)MN ＝12a cm .理由如下：
同(1)可得CM ＝12AC ，CN ＝12
BC ， 所以MN ＝CM ＋CN ＝12AC ＋12BC ＝12(AC ＋BC)＝12
a cm . 点拨：(1)根据“点M ，N 分别是AC ，BC 的中点”，先求出MC 、CN 的长度，再利用MN ＝CM ＋CN 即可求出MN 的长度；(2)与(1)同理，先用AC 、BC 表示出MC 、CN ，MN 的长度就等于AC 与BC 长度和的一半．
2．解：如图：
(第2题)
(1)因为BN ＝3BM ，所以BM ＝12
MN. 因为MN ＝2 cm ，所以BM ＝12
×2＝1(cm )． (2)因为AN ＝12
MN ，MN ＝2 cm ，所以AN ＝1 cm . (3)因为MN ＝2 cm ，MQ ＝NQ ，所以MQ ＝NQ ＝1 cm .
所以BQ ＝BM ＋MQ ＝1＋1＝2(cm )，
AQ ＝AN ＋NQ ＝2 cm .所以BQ ＝QA.
所以Q 是MN 的中点，也是AB 的中点．
3．解：设AB ＝2k cm ，则BC ＝4k cm ，CD ＝3k cm ，AD ＝2k ＋4k ＋3k ＝9k(cm )．因为CD
＝6 cm ，即3k ＝6，所以k ＝2，则AD ＝18 cm .又因为M 是AD 的中点，所以MD ＝12AD ＝12
×18＝9(cm )．所以MC ＝MD －CD ＝9－6＝3(cm )．
4．解：(1)设x 秒后，原点恰好在A ，B 两点正中间．依题意得x ＋3＝12－4x ，解得x ＝1.8.
答：1.8秒后，原点恰好在A ，B 两点正中间．
(2)设t秒后，恰好有OA∶OB＝1∶2.
①B与A相遇前：12－4t＝2(t＋3)，即t＝1；
②B与A相遇后：4t－12＝2(t＋3)，即t＝9.
答：1秒或9秒后，恰好有OA∶OB＝1∶2.
初中数学试卷。