新版人教版八年级下册二次根式课件
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人教版八年级下册 16.1 二次根式 课件(共16张PPT)
叫做二次根式。
注意：为了方便起见，我们—个数的算术平方根也叫
做二次根式。如 3 ,
1 2
a 1
是不是二次根式？
不是，它是二次根 式的代数式.
形如 a a 0 的式子叫做二次根
式
1.表示a的算术平方根 2.a可以是数，也可以是式 3.形式上含有二次板号
4. a 0, a 0 （双重非负性）
本节课我们学习了很多新知识,你能谈谈自 己的收获吗？说一说，让大家一起来分享。
1、 二次根式的定义：像 b 3 a2 2500
表示的算术平方根，且根号内含有字母的代数式叫 做二次根式。 2、 二次根式根号内字母的取值范围必须满足被开方 数大于或等于零。 3、 求二次根式的值：用数值代替二次根式里的字母。
谢谢观赏
书山有路勤为径，学海无涯苦作舟
16.1 二次根式
什么是平方根？ 一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做
a的平方根
什么叫算术平方根？ 正数的正平方根和零的平方根，统称算术平方根。
用 a 0a 0 表示
塔座所形成的这个直角三角形的
斜边长为 ___a_2___2_5_0_0__ 米。
为
圆形的下球体在平面图上的面积为s,则半径为
s
____________
b+3
1.如图所示的值表示正方形的面积，则
正方形的边长是___b____3__
b3 s
a2 2500
1、都表示算术平方根 2、根各代数式的共同特 点是什么？
定义：像
b3 、
a2 2500 、
s
这样表示的算术平方根，且根号内含有字母的代数式
下列各式中哪些是二次根式?
新人教版八年级下册初二数学16.1二次根式.优秀PPT课件
人教版数学教材八年级下
第16章 二次根式
16.1 二次根式
回忆
⑴什么叫做一个数的平方根？如何表示？ 一般地，若一个数的平方等于a，则 这个数就叫做a的平方根。
a的平方根是 a
⑵什么是一个数的算术平方根？如何表示？ 正数的正的平方根叫做它的算术平方根。 0的算术平方根平方根是0 用
a
(a≥0)表示。
复习 1、如果 x 4，那么 x ±2 ；
2
2、如果 x 3，那么 x 3 ；
2
3、如果 x a(a 0) ，
2
那么 x a 。
x
导入
1.如图所示的值表示正方形的 面积，则正方形的边长是 b 3
b-3
2.要修建一个面积为6.28m2的圆形喷水池， 取3.14）； 它的半径为 2 m（
二次根式的性质及它们的应用:
（1）
a a,(a 0)
2
（2）
a a
2
a ( a >0 ) 0 ( a =0 ) -a ( a <0 )
(1)( 2 ) 2 2 (2)( 2 ) 2
2
(3) ( 2 ) -2
2
(4) (2) |-2|=2
2
(5) 2 |2|=2
a9
a 2a 2
2
2
⑷ ⑹
⑸ m 3
a 1 (a 3)
例题吧
例1 x为何值时，下列各式在实数范围内有意义。
1 x 5 x 5
(1)
(2) 1 x
2
(3) 1 x 3 x
解： (1) 由x-5 ≥ 0,得x ≥ 5 ∴当 x ≥ 5时， x 5有意义.
第16章 二次根式
16.1 二次根式
回忆
⑴什么叫做一个数的平方根？如何表示？ 一般地，若一个数的平方等于a，则 这个数就叫做a的平方根。
a的平方根是 a
⑵什么是一个数的算术平方根？如何表示？ 正数的正的平方根叫做它的算术平方根。 0的算术平方根平方根是0 用
a
(a≥0)表示。
复习 1、如果 x 4，那么 x ±2 ；
2
2、如果 x 3，那么 x 3 ；
2
3、如果 x a(a 0) ，
2
那么 x a 。
x
导入
1.如图所示的值表示正方形的 面积，则正方形的边长是 b 3
b-3
2.要修建一个面积为6.28m2的圆形喷水池， 取3.14）； 它的半径为 2 m（
二次根式的性质及它们的应用:
（1）
a a,(a 0)
2
（2）
a a
2
a ( a >0 ) 0 ( a =0 ) -a ( a <0 )
(1)( 2 ) 2 2 (2)( 2 ) 2
2
(3) ( 2 ) -2
2
(4) (2) |-2|=2
2
(5) 2 |2|=2
a9
a 2a 2
2
2
⑷ ⑹
⑸ m 3
a 1 (a 3)
例题吧
例1 x为何值时，下列各式在实数范围内有意义。
1 x 5 x 5
(1)
(2) 1 x
2
(3) 1 x 3 x
解： (1) 由x-5 ≥ 0,得x ≥ 5 ∴当 x ≥ 5时， x 5有意义.
第十六章 二次根式 单元解读 课件(共14张PPT)2024-2025学年人教版八年级数学下册
了解二次根式、最简二次根式的概念，了解二次根式（根号下仅限于数） 的加、减、乘、除运算法则，会用它们进行有关的简单四则运算.
教材分析
本章主要讨论如何对数和字母开平方而得到的特殊式子——二次根式的加、 减、乘、除运算.通过本章学习，学生将建立起比较完善的代数式及其运算的知 识结构，并为勾股定理、一元二次方程、二次函数等内容的学习作好准备.
本章教学建议
02 加强归纳法，使学生经历从特殊到一般的认识过程
前已指出，教材对本章内容的处理，一以贯之地用“从具体数字的算术平方根的运算 中观察规律，归纳得出二次根式的性质、运算法则”的方式展开.因此，教学时一定要根据 教材的这一编写意图，让学生通过观察、思考、讨论等，经历从特殊到一般的过程，归纳 得出有关结论.例如，对于二次根式的乘法法则和除法法则，都应该先让学生利用二次根式 的概念和性质进行一些具体数字的计算，并观察所得结果，发现二次根式相乘(除)与积(商) 的算术平方根之间的关系；然后让学生自己举例，利用发现的规律进行验证性计算；最后 归纳出二次根式的乘法、除法法则.
单元解读
第十六章 二次根式
R·八年级下册
课标分析
“数与式”是代数的基本语言，初中阶段关注用字母表述代数式，以及代数 式的运算，字母可以像数一样进行运算和推理，通过字母运算和推理得到的结论 具有一般性.
数与代数领域的学习，有助于学生形成抽象能力、推理能力和模型观念，发 展几何直观和运算能力.
课标要求
加强符号意识、运算能 力的培养
教材分析
设计思路 概念
性质
运算
介绍二次根式的性质，包括一 通过观察、操作、归纳、
个非负数的平方的算术平方根 类比等方法，给出二次
根式的概念
的性质、积的算术平方根和商
教材分析
本章主要讨论如何对数和字母开平方而得到的特殊式子——二次根式的加、 减、乘、除运算.通过本章学习，学生将建立起比较完善的代数式及其运算的知 识结构，并为勾股定理、一元二次方程、二次函数等内容的学习作好准备.
本章教学建议
02 加强归纳法，使学生经历从特殊到一般的认识过程
前已指出，教材对本章内容的处理，一以贯之地用“从具体数字的算术平方根的运算 中观察规律，归纳得出二次根式的性质、运算法则”的方式展开.因此，教学时一定要根据 教材的这一编写意图，让学生通过观察、思考、讨论等，经历从特殊到一般的过程，归纳 得出有关结论.例如，对于二次根式的乘法法则和除法法则，都应该先让学生利用二次根式 的概念和性质进行一些具体数字的计算，并观察所得结果，发现二次根式相乘(除)与积(商) 的算术平方根之间的关系；然后让学生自己举例，利用发现的规律进行验证性计算；最后 归纳出二次根式的乘法、除法法则.
单元解读
第十六章 二次根式
R·八年级下册
课标分析
“数与式”是代数的基本语言，初中阶段关注用字母表述代数式，以及代数 式的运算，字母可以像数一样进行运算和推理，通过字母运算和推理得到的结论 具有一般性.
数与代数领域的学习，有助于学生形成抽象能力、推理能力和模型观念，发 展几何直观和运算能力.
课标要求
加强符号意识、运算能 力的培养
教材分析
设计思路 概念
性质
运算
介绍二次根式的性质，包括一 通过观察、操作、归纳、
个非负数的平方的算术平方根 类比等方法，给出二次
根式的概念
的性质、积的算术平方根和商
人教版八年级数学下册 161 二次根式 课件共21张
?
7、“一定要成功”这种内在的推动力是我们生命中最神奇最有趣的东西。一个人要做成大事，绝不能缺少这种力量，因为这种力量能够驱动人不停地提高自己的能力。一个人只有先在心里肯定自己，相信自己，才能成就自己！
?
8、人生的旅途中，最清晰的脚印，往往印在最泥泞的路上，所以，别畏惧暂时的困顿，即使无人鼓掌，也要全情投入，优雅坚持。真正改变命运的，并不是等来的机遇，而是我们的态度。
(A) x≤1 (B) x≥1 (C) 0≤x≤1 (D)一切有理数 2.实数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简
ab c
(a ? b)2 ? (b ? c)2 ? c ? a
3.已知a，b，c为△ABC的三边长，化简：
(b?c?a)2 + (c?a?b)2 - (b?c? a)2
解：原式? b ? c ? a ? c ? a ? b ? b ? c ? a
7 2 ? __7___;????
2
1?
1
2 ??? ? __2___.
一般地,二次根式有下面的性质:
a
? ?a 2? a (a ? 0)
? ? 快
速 判
?1?
3 2 ? ___3___,?2?????
2 7
2
? ???
?
2
?
__7____,?3????
1 2
3
2
? ???
?
21 _____3___,
?
9、这世上没有所谓的天才，也没有不劳而获的回报，你所看到的每个光鲜人物，其背后都付出了令人震惊的努力。请相信，你的潜力还远远没有爆发出来，不要给自己的人生设限，你自以为的极限，只是别人的起点。写给渴望突破瓶颈、实现快速跨越的你。
人教版八年级下册课件：16.1 二次根式 (共19张PPT)
2
2 p
1 p 2 p
p 1 2 p 1
课堂小结
请谈谈本节课的收获： 你是如何理解二次根式定义的？ 你是如何得到二次根式性质的？ 通过二次根式概念和性质的学习，积累了哪些 学习方法和经验？
课后作业
作业：教科书第5页第1，3，5，6，7，8题．
谢 谢！
合作探究 形成新知
上面问题中，得到的结果分别是： 3 ， S ， 65 ， h ． 5
(1)带“ ”. 这些式子有什么共同特征？
(2)被开方数≥0；
我们同学互相讨论一下，这些式子形 式上和以前所学代数式都不同，根据 特征如何命名这些式子呢？
16.1 二次根式
二次根式：
一般地，我们把形如 a（ a≥0 ）的式子叫做二
次根式，“ ”称为二次根号．
判断一个式子是否是二次根式所要满足的条件： (1)带“ ”. (2)被开方数≥0；
﹜
1、判断下列代数式中哪些是二次根式？
⑴ 0.2
⑶ 35
⑸a
⑵ 16
⑷ x (x 0)
a9
⑹ a2 1
初步应用 巩固知识
例 1 当 x 是怎样的实数时, x 2 在实数范围内有意义？
探究性质
a 的值的有什么特点？
双非负性： a ≥0 （a≥0）
例 2：已知 a 1 b 2 0 ，求 a,b 的值？
解：∵ a 1 ≥0 ， b 2 ≥0，
且 a 1 b 2 0， ∴ a 1 0 ， b 2 0，
∴ a=1, b= -2. 答：a 的值为 1，b 的值为-2.
1 3
2
=
1
2
3 ；0=
0.
人教版八年级下册数学《二次根式的概念》二次根式PPT教学课件
巩固练习
3. (1) 已知 ＝0，求x，y 的值．
因为 ≥0， ≥0，且其和为0，所以x＋1＝0，x＋y－2＝0，解得x＝－1，y＝3.所以x，y 的值分别为－1，3.
总结：a 2， ≥0(a≥0)．可利用“若几个非负数之和为零，则这几个非负数同时为零”解决问题．
+
+5，求
的值
+
=0，求a2019+b2104的值.
1.已知y=
2.若
2
2.若 ，则x的取值范围是（ ） A.x＞1 B.x≥1 C.x＜1 D.x≤1
3.在函数y= 中，自变量x的取值范围是（ ） A.x≥﹣2且x≠0 B.x≤2且x≠0 C.x≠0 D.x≤﹣2
（x≥0，y≥0）．
不是二次根式的有： .
、
、
、
（x>0）、
、
、
（x≥0，y≥0）．
、-
2. a可以是数,也可以是式.
3. 形式上含有二次根号
4. a≥0, ≥0
5.既可表示开方运算,也可表示运算的结果.
3、被开方数 a >0，且 。（双重非负性）
探究点一、二次根式的概念问题1.下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：
、
、
、
（x>0）、
、
、-
、
、
解：二次根式有：
提出问题，根据问题给出概念，应用概念解决实际问题.
1
2
首页
2.什么是一个数的算术平方根？如何表示？
正数正的平方根叫做它的算术平方根.
1.我们之前学过哪个知识点与今天的知识有关？
一般地，若一个数的平方等于a，则这个数就叫做a的平方根.
人教版八年级数学下册16.1《二次根式》课件(共23张PPT)
C. a＞-2或a≠ 0
【解析】选D.要使式子
D. a≥-2且a≠ 0
a2 a
有意义，须同时
满足a+2≥0，a≠0两个条件，解两个不等式
可得a≥-2且a≠0 。
巩固提高：
1.分别求下列二次根式中的字母的取值范围 （1） (
3 2x )
2
（2） (1 x) 2
3 (1). 3 2 x 0 x (2).x为全体实数 2 (3).x 3 0且x 2 x 3且x 2
2
(5) xy (x,y 异号)， (7)
3
5
在实数范围内,负数没有平方根
1、判断下列代数式中哪些是二次根式？
⑴
⑶
1 2
2
⑵
16
x ( x 0)
a9
a 2a 2 ⑷
2
⑸ m 3
⑹
a 1 (a 3)
2．下列式子一定是二次根式的是（ A．
）
2
x 2
4. a≥0, a ≥0
( 双重非负性)
小结：
1.怎样的式子叫二次根式？
形如 a (a 0)的式子叫做二次根式 .
2.怎样判断一个式子是不是二次根式？
（1）. 形式上含有二次根号
（2）.被开方数a为非负数， 3.如何确定二次根式中字母的取值范围？
从左看到右;从上看到下
看到分数线,分母不为0 看到偶次根式,被开方数大于等于0
2
2、如果 x 3，那么 x 3 ；
2
3、如果 x a(a 0) ，
2
那么 x a 。
用带有根号的式子填空，看看结果有什么特点：
1.面积为3的正方形的边长为—— 3。 2.如图所示的值表示正方形的 面积，则正方形的边长是 b 3
人教版初二数学8年级下册 第16章(二次根式)二次根式 课件(共35张PPT)
而 2a b2 0
?
2a0 ， b20
a 2， b 2
原式 a2 b 12 2 2 212 21 3
已知 1 有意义,那A(a, a
在 二 象限.
∵由题意知a＜0 ∴点A(－,＋)
a )
?
已知y 2 x x 2 5,
则
y x
5
___2_
2-X≥0
X-2≥0
x ≤2 x≥2
练习:用心算一算:
1 25 5 2 72 7
33
2
2
18
4
1
2
2
5 x2 2xy y2 (x﹤y)
已知a.b为实数，且满足 a 2b 1 1 2b 1 求a 的值.
若a.b为实数,且 2 a b 2 0
求 a2 b2 2b 1的值
解:
2 a 0， b 2 0
的正方形的边长为___S__。
2.一长方形围栏，长是宽的2倍，
面积为130，则它的宽为 ___6_5__
h 3.h=5t2,则t=_____5__
3S
h 65 5
你认为所得的各式有哪些共同点？
表示一些正数的算术平方根
我们知道，一个正数有两个平方根；0的平 方根是0；在实数范围内，负数没有平方根。因 此，在实数范围内开平方时，被开放数只能是 正数或0.
22 __2_,
| 2 | _2__;
52 _5__,
02 __0_,
| 5 | _5__; | 0 | __0_ .
a2 a
请比较左右两边的式子,议一议: a2与 | a | 有什么关系?
a 当 a 0 时, a2 ____ ; 当 a 0 时, a2 __a__.
一般地,二次根式有下面的性质:
?
2a0 ， b20
a 2， b 2
原式 a2 b 12 2 2 212 21 3
已知 1 有意义,那A(a, a
在 二 象限.
∵由题意知a＜0 ∴点A(－,＋)
a )
?
已知y 2 x x 2 5,
则
y x
5
___2_
2-X≥0
X-2≥0
x ≤2 x≥2
练习:用心算一算:
1 25 5 2 72 7
33
2
2
18
4
1
2
2
5 x2 2xy y2 (x﹤y)
已知a.b为实数，且满足 a 2b 1 1 2b 1 求a 的值.
若a.b为实数,且 2 a b 2 0
求 a2 b2 2b 1的值
解:
2 a 0， b 2 0
的正方形的边长为___S__。
2.一长方形围栏，长是宽的2倍，
面积为130，则它的宽为 ___6_5__
h 3.h=5t2,则t=_____5__
3S
h 65 5
你认为所得的各式有哪些共同点？
表示一些正数的算术平方根
我们知道，一个正数有两个平方根；0的平 方根是0；在实数范围内，负数没有平方根。因 此，在实数范围内开平方时，被开放数只能是 正数或0.
22 __2_,
| 2 | _2__;
52 _5__,
02 __0_,
| 5 | _5__; | 0 | __0_ .
a2 a
请比较左右两边的式子,议一议: a2与 | a | 有什么关系?
a 当 a 0 时, a2 ____ ; 当 a 0 时, a2 __a__.
一般地,二次根式有下面的性质:
16.2二次根式的乘除 (教学课件)- 初中数学人教版八年级下册
解： ( 思考】乘法法则是如何得出的?二次根式的除法该怎样算呢2 除法有没有类似的法则?
学习 目标 3. 理解最简二次根式的概念，能熟练地将二 次根式化为最简二次根式。
2. 会运用除法法则及商的算术平方根进行简 单运算.
1. 掌 握二次根式的除法法则，会用法则进行计算.
探究新知 知识点1
二次根式的除法
探究新知
归纳总结 二次根式的乘法法则的推广： ①多个二次根式相乘时此法则也适用，即
√a·√b .....√n=√ab...n(a≥0,b≥0....n≥0)
②当二次根号外有因数(式)时，可以类比单项式乘单 项式的法则计算，即根号外的因数(式)的积作为根号 外的因数(式),被开方数的积作为被开方数，即
化简：
(1)√ 16×81;(2)√4a²b³(a≥0,b≥0).
解：(1)√ 16×81
(2)√4a²b³
(2 ) 中4 ²ab³ 含有 像 4 a²,b²,, 这
= √16×√81
=√4O√a²O√b³
样开的尽方的因 数或因式，把它
=4×9
=36;
=2OaO√b²Ob
们开方后移到根 号外.
巩固练习
计算：
(1)
(2)
●
解： (1) (2)
提示：像(2)中除式是分数或分(1)
(2)
(3)
●
解：(1)
探究新知
考点② 利用二次根式的除法法则计算根号外因数不是1的 二次根式
计算： (1) 解：(1)
假分数，再运用二次根式除法法则进行运算.
巩固练习 计算，看谁算的既对又快.
重
探究新知
方法点拨
化简二次根式的步骤：
1.把被开方数分解因式(或因数);
人教版初二数学8年级下册 第16章(二次根式)二次根式的概念 课件(17张PPT)
3. 下列式子中，不属于二次根式的是（ C ）
a C D
2
4.式子 3x 6 有意义的条件是
A.x＞2 B.x≥2 C.x＜2
（A） D.x≤2
5.当x=__-1__时，二次根式 x 1 取最小值，其最小值 为___0___．
6.二次根式 1 中，字母a的取值范围是( )
a
A.a＜0
两个非负数的和为0时，这两个非负数都为0．
总结
(1)单个二次根式如 A 有意义的条件：A≥0；
(2)多个二次根式相加如 A B ... N 有意义的
A≥0；
条件： B≥0；
...
N≥0；
检测练习
1.若 y＝ x－3＋ 3－x＋2
，则xy＝________.
2.已知实数x，y满足|x－4|＋ y 8 ＝0，则以 x，y 的值为两边长的等腰三角形的周长是：（ ）
课堂小结
1．形如 a（a≥0）的式子叫做二次根式，“ ” ，必须满足被 开方数是非负数．
方形的边长为_____S_____. (2)一个长方形的围栏，长是宽的2倍，面积为130 m2,则
它的宽为_____1_3_0_m. 2
这个要熟记
形如 a (a≥0)的式子叫做二次根式； 其中“ ”称为二次根号，a称为被 开方数(式)．
例1判断下列各式是否为二次根式，并说明理
由．
(1) 3 64； (2) x2 1 ；(3) -5a ；(4) a ＋1(a≥0);
(5)
1 ；(6)
（x 3）2
（ - a-4）2；(7)
x2 2x 2 ；(8) x .
判断一个式子是不是二次根式，实质是看它是否 具备二次根式定义的条件，紧扣定义进行识别．
新人教版八年级下册数学16.1.1二次根式的定义优质课件
是x 2二次1根式．
(3)当－5a≥0，即a≤0时，
是二-5次a 根式；
当a＞0时，－5a＜0，则
不-是5a二次根式．
∴ 不一定是二次根式．
-5a
(4) ＋1(a≥0)只能称为含有二次根式的式子，不能称为
二次a根式．
知1－讲
第八页，共三十页。
(5)当x＝－3时，
（x
1
3无）2意义，∴
也1 无意义；
A
A.
a
C.
B.
D.
b2 1
0
（a b）2
第十二页，共三十页。
知1－练
4．下列式子：
7，2x , 1 m , a2 b2 , 100 , 5 , a 1
中，一定是二次根式的有( )CFra bibliotekA．2个
B．3个
C．4个
D．5个
知1－练
第十三页，共三十页。
知识点 2 二次根式有意义的条件
式子 a只有在条件a≥0时才叫二次根式． 即a≥0是 为a 二次根式的前提条件.
C．7
D．－7
第二十四页，共三十页。
知3－讲
导引：根据非负数的性质列式求出x、y的值，然后代入
+ (y+
代数式进行计算即可得解．因为x y 1
x3)2y=0都1 是0非负数，它们的和为0，所以(y+3)2=
0，
，所以y+3=0，x+y-
1=0，
解得y=-3，x=4，所以x-y=7.故选C．
第二十五页，共三十页。
____h__.
5
上面问题的结果分别是
3， S , 65 ,，它h
5
们表示一些正数的算术 平方根.
《最简二次根式》二次根式PPT课件
2．被开方数是分数的二次根式化简
例 2 化简 1125． 分析：因为，125=5×5×5=52×5，所以，只需 分子、分母同乘以 5 就可以了．
解法一： 1125＝ 513××55＝255．
3．被开方数是小数的二次根式化简
例 3 化简 1.5．
分析：被开方数是小数时，常把小数化成相 应的分数，然后进行求解．
1 8x3
x
0
0.8 4 45 2 5 5 55 5
4 1 9 92 3 2 2 2 22 2
20a2b 4a2 5b c 2 a 5bc 2a 5bc
c
cc
c
c
x2
1 8x3
x2
1 2x x2 8x3 2x 4x2
2x
2x 4
1.最简二次根式的概念.
满足下列条件的二次根式，叫做最简二次根式。
(2) 1 6x 9x2 (x 1) 3
(2)3x 1
(3) x 32 1 x2 1 x 3 (3)2
2、如果 a3 a2 a a 1， 那么a的取值范围是 ( D )
A． a 0 C． a 1
B． a 1
D． 1 a 0
3.化简 1 x3 x
错解：原式 1 x x2 x
18
32
被开方数不 含开得尽方 的因数
a 3
b2
(b 0)
9a
3a 3
ba
(b 0)
3a
被开方数 不含分母
（１）被开方数各因式的指数都为1． （２）被开方数不含分母．
被开方数满足上述两个条件的二次根式，叫 做最简二次根式．
如：1 x2 y √
4
6m(a2 b2 ) √
1 4
x2 y x 4
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2
(a≥0)
观测上述等式 的两4边2 ,你4 能得 0.012 0.01 到什么启示?
1 2
1
3 3
02 0
a2 a (a≥0)
( a)2与 a2有区别吗?
1:从运算顺序来看,
2 a
先开方,后平方
a2 先平方,后开方
2.从取值范围来看,
2 a
a≥0
a2 a取任何实数
3.从运算结果来看:
简
(1 p)2
2
2 p
1 p (2 p)
p 1 2 p
1
在实数范围内分解因式:4 x2 - 3
解: ∵ 3
2
3
∴ 4x2 3 (2x)2
2
3
(2x 3)(2x 3)
?
一路下来，我们结识了很多新知识， 你能谈谈自己的收获吗？说一说，让大 家一起来分享。
二次根式的定义:
a 2， b 2
原式 a2 b 12 2 2 212 21 3
已知 1 有意义,那A(a, a
在 二 象限.
∵由题意知a＜0 ∴点A(－,＋)
a )
?
已知y 2 x x 2 5,
则
y x
5
___2_
2-X≥0
X-2≥0
x ≤2 x≥2
∴x=2, y=5
?
实数p在数轴上的位置如图所示，化
a 2 =a
a (a≥ 0)
a2 =∣a∣=
-a (a＜0) 思考：若 (m 4)2 4 m,则m的取值范围是 _m____4____
例2:
(1)计算 2
2
3
(2)已知a,b, c为△ABC的三边长, 化简 (a b c)2 (b a c)2
练习:用心算一算:
1 25 5 2 72 7
正方形
二、教材内容分析
反映数据向其中心值聚 集的程度
统计与概率
平 均 数
中
众
极
位
数
差
数
方 差
数据的代表
数据的波动
数据的分析
三、新课标对本年级、本学科的基本要求
第十六章：分式
• 1、以描述实际问题中的数量关系为背景，抽象出分式的 概念，体会分式是刻画现实世界中数量关系的一类代数式 。
16.1二次根式
回忆
⑴什么叫做一个数的平方根？如何表示？ 一般地，若一个数的平方等于a，则 这个数就叫做a的平方根。
a的平方根是 aa
⑵什么是一个数的算术平方根？如何表示？
若一个正数的平方等于a，则这个数就 叫做a的算术平方根。
用 aa (a≥0)表示。
自学效果检测
1.面积为3的正方形的边长为____3__ ，面积为S
的正方形的边长为___S__。
2.一长方形围栏，长是宽的2倍，
面积为130，则它的宽为 ___6_5__
h 3.h=5t2,则t=_____5__
自学效果检测
3S
h 65 5
你认为所得的各式有哪些共同点？
表示一些正数的算术平方根
我们知道，一个正数有两个平方根；0的平 方根是0；在实数范围内，负数没有平方根。因 此，在实数范围内开平方时，被开放数只能是 正数或0.
33
2
2
18
4
1
2
2
2 1
5 x2 2xy y2 y x (x﹤y)
已知a.b为实数，且满足 a 2b 1 1 2b 1 求a 的值.
若a.b为实数,且 2 a b 2 0
求 a2 b2 2b 1的值
解:
Q 2 a 0， b 2 0
而 2a b2 0
?
2a0 ， b20
平行四边形
有一组邻边相等有一个角是直角
有一组
菱 有一个角
邻边相等 形 是直角
边
四边 形
形
一组对边平 行、另一组
对边不平行
梯形
两条腰相等
等腰梯形
有一个角是直角
直角 梯形
重心
中点 四边形
规则的几何图形重心 几何中心
不规则的几何图形重 悬线法 心
对角线相等的四边形的中点四边形是 菱对形角线互相垂直的四边形的中点四边形是矩 形
形如 a (a 0) 的式子叫做二次根式 .
二次根式的性质:
a 0, a 0（. 双重非负性）
2 a a(a 0) a (a≥ 0) a2 =∣a∣= -a (a＜0)
下列式子 2x 6 1 中字母x的 2x
取值范围是__3_____x____0
∵
2x+6≥0 -2x＞0
∴
x≥-3 x＜0
?
12 n为一个整数, 求自然数n的值.
---------八年级数学下册教材分析
Hale Waihona Puke 一、人教版八年级数学下册内容的安排
四边形
勾股定理
反比例函 数
分式
数与代 数
统计与概率
实践活动
八
年
实践与运用
综合应用
级
数
课题学习
学
二、教材内容分析
性质 通分
约分
乘除 乘方
整数指数幂
加减
定义 解方程 方程的解 应用
自学归纳 形如 a(a 0) 的式子叫做二次根式. a叫被开方数 定义包含三个内容:
1.必需含有二次根号 “ ”. 2.被开方数a≥0. 3.a可以是数,也可以是含有字母的式子.
凭着你已有的知识, 说说对二次根式 a 的认识,好吗?
?
形如 a (a 0)的式子叫做二次根式.
1.表示a的算术平方根 2. a可以是数,也可以是式.
第 分十 式六
章
意义 应用
定义
二、教材内容分析
双曲线 K>0
自变量 表达式 反比例函数的 K<0
定义
反比例 函数的意义
图象和性质
解体方法与 一般步骤
反比例
实际问题与
函数
反比例函数
反第 比十 例七 函章 数
二、教材内容分析
内容
勾股定理
验
证
勾
股
原 命
应用
定 理
命 题 互逆
互逆
题 逆 命题 定理
命
题
内容
3. 形式上含有二次根号
4. a≥0,
a≥0 ( 双重非负性)
试一试
下列式子中，哪些一定是二次根式？
① 5
② 3x (x<0)③
14
④ a 1
⑤
a 32⑥
xy(x, y同号)
⑦二x次2 根1式根⑧号内字母4的取⑨值范围必须x2满1足:
被开方数大于或等于零.
隋堂练习 1
练习1：求下列二次根式中字母的取值范围：
勾股定理 的逆定理
验证
应 用
毕达哥拉斯 赵爽 茄菲尔德
已知直角三角形的两边求第三 边在数轴上表示无理数 实际问 题
构造全等的直角三角 形 已知三边判断形 状 实际问题
二、教材内容分析
一般 在平面内,四条线段 四边形 首
尾顺次相接组成的图 形
四边形
有一个角 是直角
矩形 有一组
邻边相等
四 特殊
两组对边 分别平行
(1) a 1 (2) 1
1 2a
(3) (a 3)2
4 2 5x 5 2x 12 6 2x 1 1 x
7 x 5 3 2x （8）
你有什么收获？
①被开方数大于等于零；
②分母中有字母时，要保证分母不为零。
1
( 4)2 4
(
0.01)2 0.01 (
3 1 )2
3
? a a ( 0)2 0