湖南省怀化市高考数学二模试卷(文科)
湖南省怀化市数学高考理数二模考试试卷
湖南省怀化市数学高考理数二模考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）(2017·芜湖模拟) 已知全集U=Z，A={x∈Z|x2﹣x﹣2≥0}，B={﹣1，0，1，2}，则（∁UA）∩B=（）A . {﹣1，2}B . {﹣1，0}C . {0，1}D . {1，2}2. （2分）已知（a,b∈R），其中i为虚数单位，则a+b=（）A .B . 1C . 2D . 33. （2分）已知向量=(-1,0,2),=(1,1,0)，且+k与2-相互垂直，则k值为（）A .B .C .D . 14. （2分）曲线上到直线l ：的距离等于1的点的个数是（）A . 1B . 2C . 3D . 45. （2分） (2018高二下·衡阳期末) 若正方形的边长为1，则在正方形内任取一点，该点到点A的距离小于1的概率为（）A .B .C .D .6. （2分） (2018高二下·中山月考) 5名乒乓球队员中，有2名老队员和3名新队员，现从中选出3名队员排成1、2、3号参加团体比赛，则入选的3名队员中至少有一名老队员,且1、2号中至少有1名新队员的排法有（）种A . 72B . 63C . 54D . 487. （2分）两个球的表面积之差为48π，它们的大圆周长之和为12π，这两个球的半径之差为（）A . 4B . 3C . 2D . 18. （2分） (2017高一下·鞍山期末) 如图所示，程序框图的输出结果为（）A . 4B . 5C . 6D . 79. （2分） (2016高二下·汕头期中) 已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，则y=f（x）的图象可由y=cos2x图象（）A . 向右平移个长度单位B . 向左平移个长度单位C . 向右平移个长度单位D . 向左平移个长度单位10. （2分）已知为等差数列，其公差为－2，且a7是a3与a9的等比中项，Sn为的前n项和（n N*），则S10的值为（）A . －110B . －90C . 90D . 11011. （2分）(2018·安徽模拟) 已知分别是双曲线的左右焦点，过的直线与双曲线左右两支分别交于两点，若是等边三角形，则该双曲线的离心率为（）A .B .C .D .12. （2分）在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标均为整数的点称为整点，如果函数f（x）的图象恰好通过n（n∈N*）个整点，则称函数f（x）为n阶整点函数．有下列函数中是一阶整点函数的是（）①f（x）=x+（x＞0）②g（x）=x3 ③h（x）=（）x ④φ（x）=lnx．A . ①②③④B . ①③④C . ④D . ①④二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2018高一下·渭南期末) 向面积为20的内任投一点，则使的面积小于5的概率是________．14. （1分） (2016高三上·闽侯期中) 下列说法正确的是________．（写出所有正确说法的序号）①若p是q的充分不必要条件，则¬p是¬q的必要不充分条件；②命题“∃x∈R，x2+1＞3x”的否定是“∀x∈R，x2+1＜3x”；③设x，y∈R．命题“若xy=0，则x2+y2=0”的否命题是真命题；④若15. （1分）（ + ）9的展开式中常数项是________．16. （1分） (2016高一下·台州期末) 已知各项都不为0的等差数列{an}，设bn= （n∈N*），记数列{bn}的前n项和为Sn ，则a1•a2018•S2017=________三、解答题 (共7题；共60分)17. （5分）(2017·江苏) 如图，水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台形玻璃容器Ⅱ的高均为32cm，容器Ⅰ的底面对角线AC的长为10 cm，容器Ⅱ的两底面对角线EG，E1G1的长分别为14cm和62cm．分别在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水，水深均为12cm．现有一根玻璃棒l，其长度为40cm．（容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计）（Ⅰ）将l放在容器Ⅰ中，l的一端置于点A处，另一端置于侧棱CC1上，求l没入水中部分的长度；（Ⅱ）将l放在容器Ⅱ中，l的一端置于点E处，另一端置于侧棱GG1上，求l没入水中部分的长度．18. （10分） (2015高三上·来宾期末) 进入冬季以来，我国北方地区的雾霾天气持续出现，极大的影响了人们的健康和出行，我市环保局对该市2015年进行为期一年的空气质量监测，得到每天的空气质量指数，从中随机抽取50个作为样本进行分析报告，样本数据分组区间为（5，15]，（15，25]，（25，35]，（35，45]，由此得到样本的空气质量指数频率分布直方图，如图．（1）求a的值；（2）如果空气质量指数不超过15，就认定空气质量为“特优等级”，则从今年的监测数据中随机抽取3天的数值，其中达到“特优等级”的天数为X．求X的分布列和数学期望．19. （10分） (2015高三上·大庆期末) 已知四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD为正方形，AA1⊥AC，M、N 分别为棱AA1、CC1的中点．（1）求证：直线MN⊥平面B1BD；（2）已知AA1=AB，AA1⊥AB，取线段C1D1的中点Q，求二面角Q﹣MD﹣N的余弦值．20. （10分） (2018高二下·牡丹江期末) 设椭圆的右顶点为A，上顶点为B．已知椭圆的离心率为，．（1）求椭圆的方程；（2）设直线与椭圆交于，两点，与直线交于点M，且点P，M均在第四象限．若的面积是面积的2倍，求的值．21. （10分） (2016高二下·故城期中) 已知函数f（x）=ex﹣ax（a为常数）的图象与y轴交于点A，曲线y=f（x）在点A处的切线斜率为﹣1．（1）求a的值及函数f（x）的极值；（2）证明：当x＞0时，x2＜ex．22. （10分）已知直线L经过点P（，1），倾斜角，在极坐标系下，圆C的极坐标方程为．（1）写出直线l的参数方程，并把圆C的方程化为直角坐标方程；（2）设l与圆C相交于A，B两点，求点P到A，B两点的距离之积．23. （5分）已知函数f（x）=2+（Ⅰ）求证：f（x）≤5，并说明等号成立的条件；（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）≤|m﹣2|恒成立，求实数m的取值范围．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共7题；共60分)18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、22-2、23-1、。
2020年湖南省怀化市高考数学二模试卷(文科) (含解析)
2020年湖南省怀化市高考数学二模试卷(文科)一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x|x2−x−2<0}，B={x|x2+3x<0}，则A∩B=()A. (0,2)B. (−1,0)C. (−3,2)D. (−1,3)2.若z=1−i，则复数z+z2在复平面上对应的点的坐标为()A. (1,−3)B. (−3,1)C. (1,1)D. (−1,1)3.已知sin(π6+α)=14，则cos(2π3−2α)=()A. 1516B. −1516C. 78D. −784.设a∈R，则“a>1”是“a2>a”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件5.某几何体的三视图如图所示，图中的四边形都是边长为1的正方形，其中正视图、侧视图中的两条虚线互相垂直，则该几何体的体积是()A. 56B. 34C. 12D. 166.已知等比数列{a n}的公比q=2，其前4项和S4=60，则a3等于()A. 16B. 8C. −16D. −87.一组样本数据的频率分布直方图如图所示，试估计样本数据的中位数为()A. 1009B. 11.52C. 12D. 138. 已知f(x)是定义在R 上的偶函数，且f(x)在(0,+∞)内单调递减，则( )A. f(0)<f(log 32)<f(−log 23)B. f(log 32)<f(0)<f(−log 23)C. f(−log 23)<f(log 32)<f(0)D. f(log 32)<f(−log 23)<f(0)9. 在数学兴趣课堂上，老师出了一道数学思考题，某小组的三人先独立思考完成，然后一起讨论.甲说：“我做错了！”乙对甲说：“你做对了！”丙说：“我也做错了！”老师看了他们三人的答案后说：“你们三人中有且只有一人做对了，有且只有一人说对了。
湖南省怀化市2020届高三下学期第二次模拟考试数学(文)试卷及答案解析
湖南省怀化市2020届高三下学期第二次模拟考试数学(文)试卷注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题1.设集合}35|A x x =<<，{}2|340B x x x =--<，则AB =（ ）.A.∅B.{}|25x x <<C.5{|}4x x <<-D.{|34}x x <<2.已知复数z 在复平面上对应的点为(1,1)-，则（ ）. A.22i z = B.iiz +是纯虚数 C.2z = D.()i i z +是实数3.已知cosα=14，则sin(π2−2α)=（ ）A. 18B. −18C. 78D. −784.除夕夜，万家团圆之时，中国人民解放军陆、海、空三军医疗队驰援武汉.“在疫情面前，我们中国人民解放军誓死不退！不获胜利决不收兵！”这里“获取胜利”是“收兵”的（ ）. A.充分条件 B.必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.某几何体的三视图如图所示，图中的四边形都是边长为1的正方形，其中正视图、侧视图中的两条虚线互相垂直，则该几何体的体积是（ ）.A.56B.34C.12D.166.设等比数列{}n a 的公比2q，前6项和为9，则1a =（ ）.A.221B.17C.421D.5217.为了更好地支持“中小型企业”的发展，某市决定对部分企业的税收进行适当的减免，某机构调查了当地的中小型企业年收入情况，并根据所得数据画出了样本的频率分布直方图，下面三个结论：①样本数据落在区间[300500),的频率为0.45； ②如果规定年收入在500万元以内的企业才能享受减免税政策，估计有55%的当地中小型企业能享受到减免税政策； ③样本的中位数为480万元. 其中正确结论的个数为（ ） A.0B.1C.2D.38.已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在[0,)+∞上单调递减，则（ ）. A.()0.5()(ln22)0f f f <-<B.()0.5()(n )02l 2f f f -<<C.()0.5()(2ln20)f f f -<<D.()0.520)()ln2(f f f -<<9.在数学兴趣课堂上，老师出了一道数学思考题，某小组的三人先独立思考完成，然后一起讨论.甲说：“我做错了！”乙对甲说：“你做对了！”丙说：“我也做错了！”老师看了他们三人的答案后说：“你们三人中有且只有一人做对了，有且只有一人说对了.”请问下列说法正确的是（ ） A. 乙做对了B. 甲说对了C. 乙说对了D. 甲做对了10.记不等式组4027030x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪+≥⎩，表示的平面区域为D ，不等式221x y +≤表示的平面区域为E ，在区域D 内任取一点P ，则点P 在区域E 外的概率为（ ） A.48π B.148π-C.96πD.196π-11.函数()cos()02f x x ππϕϕ⎛⎫=+<<⎪⎝⎭的部分图象如图所示，若方程()f x a =在0(0,)x 上有两个不同的实数解1x ，2x ，则1122()()x f x x f x +的取值范围是（ ）.A.{}0B.⎛- ⎝⎭C.3,24⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭ D.4,34⎛- ⎝⎭12.设双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左､右焦点分别为1F ，2F ，过2F 的直线与双曲线C 相交于A ，B 两点，若1:3:4AF AB =，且2F 是AB 的一个四等分点，则双曲线C 的离心率是（ ）D.52第II 卷（非选择题）二、填空题（题型注释）函数e （e 是自然对数的底数）在x e =处的切线方程为________.14.设ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,若2a =，c =，cos 2A =，且b c <，则b =________．15.已知单位向量12,e e 的夹角为3π，若向量122e e +与向量122e ke +的夹角为2π，则实数k =________.16.如图，在三棱锥P -ABC 中，P A ⊥平面ABC ，120ABC ︒∠=，P A =4.若三棱锥P -ABC 的外接球的半径为PC 与平面ABC 所成角的正切值为____________ .三、解答题（题型注释）17.设等差数列n a 的前n 项和是n S ，且411a =，5348S a =+. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若1)s (co n n b a n π=+，记数列{}n b 的前n 项和是n T ，求2020T .18.如图，在四棱锥E ABCD -中，AD CD ⊥，2DA DC DE ===，EA EC ==，M 是EA 的中点.（1）证明：AE ⊥平面MCD ；（2）若//CD AB ，三棱锥M BCE -的体积为13，求底棱AB 的长. 19.已知椭圆C ：22221x y a b +=（0a b >>）的两个焦点是1(1,0)F -，2(1,0)F ，且离心率12e =. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）过点(0,)t 作椭圆C 的一条切线l 交圆O ：224x y +=于M ，N 两点，求OMN面积的最大值.20.疫苗，能够使人体获得对病毒的免疫力，是保护健康人群最有效的手段.新冠肺炎疫情发生以来，军事医学科学院陈薇院士领衔的团队开展应急科研攻关，研制的重组新型冠状病毒疫苗（腺病毒载体），于4月12日开始招募志愿者，进入二期临床试验.根据普遍规律，志愿者接种疫苗后体内会产生抗体，人体中检测到抗体，说明有抵御病毒的能力.科研人员要定期从接种疫苗的志愿者身上采集血液样本，检测人体中抗体含量水平（单位：/miu mL ，即：百万国际单位/毫升）.（1）IgM 作为人体中首先快速产生的抗体，是人体抗感染免疫的“先头部队”.经采样分折，志愿者身体中IgM 的含量水平()/y miu mL 与接种天数x （接种后每满24小时为1天，*x N ∈），近似的满足函数关系：100.1,110,10xx x y e x -≤≤⎧=⎨>⎩.志愿者身体内的IgM 含量水平达到峰值后，估计从第几天开始，IgM 的含量水平y 低于0.2/miu mL ？（ln 20.69≈，ln5 1.61≈）（2）IgG 虽然是接种后产生比较慢的抗体，却是血清和体液中含量最高的抗体，也是亲和力强、人体内分布广泛、具有免疫效应的抗感染“主力军”科研人员每间隔3天检测一次（检测次数依次记为i t ，1,2,3,4,5,6,7i =）某志愿者人体中IgG 的含量水平，记为()/i z miu mL （1,2,3,4,5,6,7i =），得到相关数据如表：画出散点图如图所示，研究人员准备用函数pt z ke =进行拟合，先用相关系数r 判断它们线性相关性的强弱（r 越大表示线性相关越强，通常0.75r >时，认为两个变量有很强的线性相关性），可能要用到的有关数据如下：（其中ln u z =）①请计算线性相关系数r ，并判断是否可以用线性回归模型拟合u 与t 的关系？②研究人员向专家汇报时，专家指出第4组数据()4,4.85属于异常数据，可能是在采样或样本培养过程中出现失误，应该剔除.请根据余下的6组数据，用函数pt z ke =求出回归方程，并估计4t =时，该志愿者人体中IgG 的含量水平.（所有结果都保留两位小数）相关系数公式：()()nii ttu u r --=∑计公式分别为：1221ˆni i i nii t untubtnt ==-=-∑∑，ˆˆa u bt=-. 21.已知函数()sin f x kx x =+，其中k ∈R . （1）若函数()f x 在区间5,36ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，求k 的取值范围； （2）若1k =时，不等式c (s )o ax f x x ≥在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立，求实数a 的取值范围. 22.在平面直角坐标系xOy 中，C 的参数方程为12cos 22sin x y αα=+⎧⎨=+⎩（α为参数）.以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l πcos 24θ⎛⎫-= ⎪⎝⎭. （1）直线l 上的点M 到极点O ，求点M 的极坐标([0,2))πθ∈； （2）设直线l 与C 相交于A ，B 两点，求三角形OAB 的面积.23.若0a >，0b >，且223a b ab ++=. （1）求ab 的最小值；（2）记（1）中ab 的最小值为k ，若0R x ∃∈，使不等式2x m x k +--≤成立，求实数m 的取值范围.参考答案1.D【解析】1.先解不等式2340x x --<得B 集合，再进行交集运算即可. 解： {}{}2||14340B x x x x x =-<-<=-<所以{}{}{}|14||3534x x x x AB x x <=-<<<<<=.故选：D. 2.B【解析】2.1i z =-，分别求出2z ，iiz +，z ，()i i z +，即可选出答案. 由题意，1i z =-，则()2221i 1i 2i 2i z =-=+-=-，即A 错误；i 1i i 1i i i i z +-+===-，即iiz +是纯虚数，B 正确；z ==C 错误；()()i i i 1i i i z +=-+=，即()i i z +不是实数，即D 错误.故选：B. 3.D【解析】3.由题由诱导公式结合二倍角公式即可得解. 由题得sin(π2−2α)=cos2α=2cos 2α−1=2×(14)2−1=−78.故选：D 4.B【解析】4.根据题意可直接得到答案.由题意可得，“获取胜利”是“收兵”的必要条件 故选：B5.A【解析】5.根据几何体的三视图可得，该几何体是一个正方体，去掉一个正四棱锥所得的组合体，然后算出答案即可.根据几何体的三视图可得，该几何体是一个正方体，去掉一个正四棱锥所得的组合体，其直观图为：所以其体积为：11511111326⨯⨯-⨯⨯⨯= 故选：A 6.B【解析】6.根据题意，列出基本量的方程，即可求得结果. 解：由题意知：()()61161112639112n a q a S a q--====--，解得：117a =. 故选：B. 7.D【解析】7.根据直方图求出0.0025a =，求出[300500),的频率，可判断①；求出[200500),的频率，可判断②；根据中位数是从左到右频率为0.5的分界点，先确定在哪个区间，再求出占该区间的比例，求出中位数，判断③.由(0.0010.00150,0020.00052)1001a ++++⨯=，0.0025a =， [300500),的频率为(0.0020.0025)1000.45+⨯=，①正确；[200500),的频率为(0.00150.0020.0025)1000.55++⨯=，②正确； [20000),4的频率为0.3，[200500),的频率为0.55，中位数在[400,500)且占该组的45，故中位数为0.50.34001004800.25-+⨯=，③正确.故选:D. 8.C【解析】8.根据函数的奇偶性可知ln 2l (n ))2(-=f f ，然后比较ln 2，0，0.52大小关系，利用函数的单调性可得结果.由题可知：函数()f x 是定义在R 上的偶函数 所以ln 2l (n ))2(-=f f ，又1ln ln 20=>>e ，0.50221>=，所以0.52ln 20>>又函数()f x 在[0,)+∞上单调递减，所以()0.5()(2ln20)f f f -<<故选：C 9.B【解析】9.分三种情况讨论：甲说法对、乙说法对、丙说法对，通过题意进行推理，可得出正确选项. 分以下三种情况讨论：①甲的说法正确，则甲做错了，乙的说法错误，则甲做错了，丙的说法错误，则丙做对了，那么乙做错了，合乎题意；②乙的说法正确，则甲的说法错误，则甲做对了，丙的说法错误，则丙做对了，矛盾； ③丙的说法正确，则丙做错了，甲的说法错误，则甲做对了，乙的说法错误，则甲做错了，自相矛盾. 故选：B. 10.B【解析】10.先画出满足条件的平面区域，分别求出区域D 的面积和圆外的部分面积，从而求出满足条件的概率P 的值．解：画出区域D 和圆，如图示：；3(7,3)40y B x y =-⎧⇒--⎨-+=⎩；3(5,3)270y C x y =-⎧⇒-⎨+-=⎩； 40(1,5)270x y A x y -+=⎧⇒⎨+-=⎩；区域D 的面积是：1[5(7)][5(3)]482⨯--⨯--=，圆的部分面积是：21ππ⨯=，∴点P 落在圆外的概率是：4814848ππ-=-， 故选：B ．11.C【解析】11.根据图象可知ϕ，并可知a 的范围，然后根据函数的对称性可得1253x x +=，最后计算()()1122x f x x f x +，简单判断可得结果.由题可知：cos 2ϕ=又02πϕ<<，∴4πϕ=，因为024cos ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭x ，所以002π3442，πππ+=-=x x ，由对称性可得：120032+=+=x x x ，又1-<<a ()()12 f x f x a ==,所以()()()11221233,242⎛⎫+=+=∈- ⎪ ⎪⎝⎭x f x x f x a x x a . 故选：C 12.C【解析】12.设13AF x =，由已知及双曲线定义得x a =，并且用a 表示出11,,AF AB BF ，由勾股定理逆定理得直角三角形，再由勾股定理得,a c 的关系，可求得离心率． 设13AF x =，∵1:3:4AFAB =，∴4AB x =，又2F 是AB 的四等分点，∴2AF x =，23BF x =，（∵21AF AF <），又12122AF AF a BF BF -==-，∴x a =，213BF AF a ==，15BF a =， ∴22211AF AB BF +=，即122F AF π∠=，∴2221212AF AF F F +=，即22294a a c +=，∴c e a =． 故选：C ．13.20x y -=；【解析】13.计算()f x '，然后计算(),()'f e f e ，最后根据点斜式求得直线方程. 由题可知：()ln f x x x e =+，则()ln 1'=+f x x 所以()2'=f e ，()2f e e =所以所求切线方程为()22-=-y e x e ，即20x y -= 故答案为：20x y -= 14.2【解析】14.由余弦定理2222cos a b c bc A =+-即可求出. 由余弦定理2222cos a b c bc A =+-可得:224126680b b b b =+-⇒-+=解得：4b =（舍），2b =故2b = 15.85-；【解析】15.先计算12⋅e e ，然后根据()()1212220+⋅+=e e e ke ，简单计算可得结果. 由题可知：12121cos32π⋅=⋅=e e e e 因为向量122e e +与向量122e ke +的夹角为2π 所以()()1212220+⋅+=e e e ke 则()2211222420++⋅+=e k e e k e所以4822025+++=⇒=-k k k 故答案为：85-【解析】16.如图，设O 1为△ABC 的外P 心，O 为三棱锥P -ABC 的外接球的球心.由P A ⊥平面ABC ，OO 1⊥平面ABC ，知P A ∥OO 1.取P A 的中点D ，由OP OA ==，知D 为P A 的中点，且四边形DAO 1O 为矩形. 又P A =4，所以O 1O =AD =2，△ABC 的外接圆的半径r =O 1A =2.在△ABC 中，由2sin =∠ACr ABC，得22sin120AC ︒=⨯⨯=所以tan3PAPCAAC∠===.因此PC与平面ABC.．17.（1）31na n=-；（2）20203030=T.【解析】17.（1）假设公差为d，然后根据通项公式以及前n项和公式计算，可得1,a d，最后可得结果.（2）利用（1）的结论可得3cosπ=nb n n，然后采用并项求和的方法可得结果.（1）设等差数列{}n a的公差为d所以()14531131111544854282a dadS a a a d+=⎧=⎧⎪⇒⎨⎨⨯=++=++⎩⎪⎩解得123ad=⎧⎨=⎩，所以31na n=-，（2）由（1）可知31na n=-，所以3cosπ=nb n n所以当n为奇数，则3=-nb n；当n为偶数，则3nb n=所以2020122020...=+++T b b b所以()()()202031234 (20192020)=-++-+++-+⎡⎤⎣⎦T所以20203030=T18.（1）证明见详解；（2）1【解析】18.（1）利用几何关系得AC=，故AEC为等边三角形，得AE MC⊥，又ADE为等腰三角形得AE DM⊥，再用线面垂直判定定理求解即可；（2）先证明MD⊥平面ABE，再根据//CD AB得C点到平面ABE的距离等于D点到平面ABE的距离，再根据等体积转化求解即可.解：（1）∵AD CD⊥，2DA DC==，∴ AC=又∵EA EC ==，∴ AEC 为等边三角形， 又∵2DA DE ==，M 是EA 的中点 ∴ AE DM ⊥，AE MC ⊥，DM =又∵ DMMC M =，,DM MC ⊂平面MDC∴ AE ⊥平面MCD ；（2）∵ AE ⊥平面MCD ，∴ AE CD ⊥，又∵ AD CD ⊥，AD AE A ⋂=，,AD AE ⊂平面ADE ∴ CD ⊥平面ADE ，又∵ DM ⊂平面ADE ， ∴ CD ⊥DM ，∵ //CD AB ， ∴ AB DM ⊥， 又∵ AE DM ⊥，AB AE A =，,AB AE ⊂平面ABE ，∴ DM ⊥平面ABE ∵ //CD AB∴C 点到平面ABE 的距离等于D 点到平面ABE 的距离 ∴ M BCE C BME D BME V V V ---==， 又∵ 11113332D BME BME BME ABE V S DM S DM S DM -=⨯⨯=⨯⨯=⨯⨯⨯11113223AB =⨯⨯⨯=，解得：1AB =. 19.（1）22143x y +=；（2.【解析】19.（1）本小题根据题意先求a ，b ，c ，再求椭圆的标准方程；（2）本小题先设切线方程，再根据点到直线的距离公式与弦长公式表示出三角形的面积，最后求最值即可. 解：（1）由题可知，12c e a ==，1c =，∴ 2a =， 又∵ 222a b c =+，∴ 23b =.∴ 椭圆C 的标准方程为22143x y +=；（2）由已知可知，切线l 的斜率存在，否则不能形成OMN .设切线l 的方程为y kx t =+，联立22143y kx tx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理得：222(34)84120k x ktx t +++-=，则222(8)4(34)(412)0kt k t ∆=-+-=，化简得：2234t k =+，则2234t k -=.点O 到直线l的距离d =MN ==即MN =故OMN ∆的面积为1122S MN d =⋅==∵2223034t k t -=≥⇒≥，函数221y t t =+在[)3,+∞上单调递增，∴221103t t +≥，则S ≤=OMN20.（1）12；（2）①0.96r ≈，可以用线性回归模型拟合u 与t 的关系；②0.82 2.84-=t z e ，估计当4t =时，该志愿者人体中IgG 的含量水平为1.55/miu mL .【解析】20.（1）计算100.2-<x e ，简单判断可得结果.（2）①计算4t =，()27128=-=∑i i t t ，然后计算()()nii ttu u r --=∑，根据结果与0.75判断即可. ②计算剔除数据之后t ，u ，621=∑ii t，61=∑i ii t u然后根据公式可得ˆb，ˆa，最后简单计算可得结果. （1）当110x ≤≤时， 0.1y x =单调递增， 当10x >时，10-=xy e单调递减，且10x =时，y 达到最大由100.2-<x e ，所以110ln 0.2lnln 5 1.615-<==-≈-x 所以11.61>x ，则估计从第12天开始，IgM 的含量水平y 低于0.2/miu mL （2）①由题可知：4t =，()27128=-=∑i i t t所以()()0.96--==≈∑niit t u u r因为0.75r >，所以可以用线性回归模型拟合u 与t 的关系 ②剔除第四组数据()4,4.85后，4t =，()4170.60ln 0.446=⨯-≈u z 622222221123567124==+++++=∑ii t64139.874ln 33.55==-=∑iii t uz122133.55640.44ˆ0.82124616==--⨯⨯==≈-⨯-∑∑ni i i ni i t u ntubtnt ，ˆˆ 2.84=-=-a u bt所以ln 0.82 2.84==-u z t ，所以0.82 2.84-=t z e 当4t =时，0.44 1.55=≈z e估计当4t =时，该志愿者人体中IgG 的含量水平为1.55/miumL 21.（1）k ≥2）2a ≤.【解析】21. （1）由()f x 在区间5,36ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，可知5,36x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()cos 0f x k x '=+≥恒成立，求出cos x -的最大值，令max (cos )k x ≥-即可； （2）令()sin cosg x x x ax x =+-，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则()0g x ≥恒成立，讨论a 的范围，并通过求导判断()g x 的单调性，进而可求出答案. （1）由题意，()cos f x k x '=+， 因为()f x 在区间5,36ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，所以5,36x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()cos 0f x k x '=+≥恒成立，即cos k x ≥-， 因为函数cos y x =-在5,36ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，所以5cos cos6x π-<-=，所以2k ≥. （2）1k =时，()sin f x x x =+，令()()cos sin cos g x f x ax x x x ax x =-=+-，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则()0g x ≥恒成立， 当0a ≤时，显然sin 0,cos 0x x ax x +≥-≥，即()0g x ≥，符合题意； 当0a >时，()1(1)cos sin g x a x ax x '=+-+， 若01a <≤，则10a -≥，显然()0g x '>，即()g x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，则()(0)0g x g ≥=，符合题意；若1a >，令()()1(1)cos sin h x g x a x ax x '==+-+，则()(21)sin cos h x a x ax x '=-+， 因为210,0a a ->>，所以()0h x '≥，即()'g x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，则2(0)()122a g g x g a ππ'''⎛⎫-=≤≤=+ ⎪⎝⎭，若12a <≤，则()20g x a '≥-≥，即()g x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，()(0)0g x g ≥=，符合题意；若2a >，则20a -<，则存在00,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得()00g x '=，则()00,x x ∈时，()0g x '<，此时()g x 在()00,x 上单调递减，从而()(0)0g x g <=，不能使得()0g x ≥恒成立.综上所述，实数a 的取值范围是2a ≤.22.（1）π4⎫⎪⎭；（2【解析】22.（1）设点M 的极坐标为(),ρθ，则ρ=l 的极坐标方程中，可求出θ，即可求出点M 的极坐标； （2）先求出C 及直线l 的直角坐标方程，进而求出点C 到直线l 的距离d ，及弦长AB ，即可求出三角形OAB 的面积12S AB d =⋅.（1）设点M 的极坐标为(),ρθ，则ρ=代入直线l 的极坐标方程中，可得πcos 14θ⎛⎫-= ⎪⎝⎭， 因为[0,2π)θ∈，所以π4θ=，故点M 的极坐标为π4⎫⎪⎭. （2）C 的直角坐标方程为()()22124x y -+-=，直线l 的直角坐标方程为20x y +-=，C 的半径为2r，圆心为()1,2C ，设圆心C 到直线l 的距离为d ，则2d ==，则22AB ===，即AB =所以三角形OAB 的面积1122S AB d =⋅==.23.（1）2；（2）04m ≤≤【解析】23.（1）由基本不等式，可知322ab a b -=+≥t =，可得23222t t -≥，可求出ab 的取值范围，进而可求出答案；（2）由（1）知2k =，则0R x ∃∈，使不等式22x m x -+-≤成立，求出2x m x -+-的最小值，令()min 22x m x -+-≤，即可求出实数m 的取值范围.（1）因为0a >，0b >，所以322ab a b -=+≥2a b =时等号成立，t =，则0t >且22t ab =，所以23222t t-≥，整理得()()3220t t +-≥，解得2t ≥或23t ≤-，因为0t >，所以2t ≥2≥，解得2ab ≥. 所以ab 的最小值为2.（2）由（1）知2k =，则0R x ∃∈，使不等式22x m x -+-≤成立， 因为()222x m x x m x m -----+≥=-，所以22m -≤，解得04m ≤≤. 所以实数m 的取值范围是04m ≤≤.。
湖南省怀化市高三数学第二次高考模拟考试 文
湖南省怀化市2011年高三第二次模拟考试统一检测试卷数 学（文科）注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号写在答题卡上。
2．考生作答时，选择题、填空题、解答题均须做在答题卡上，在本试卷上答题无效。
考生在答题卡上按答题卡中注意事项的要求答题。
3．考试结束后，将本试题卷和答题卡一并收回。
4．本试题卷共4页，如有缺页，考生须声明，否则后果自负。
本试卷分第一部分（选择题）和第二部分（非选择题），共150分。
时量：120分钟第一部分（选择题）一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共计40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在答题卡上。
） 1．已知复数34 z i =+，则复数z 的共轭复数z 的模为 （ ）（A ） 3 （B ） 4 （C ） 5（D ） 72．设集合{ 12}A x x =+≤，{0}B x x a =->，若A ∪B ＝B ，则a 的取值范围是（ ） （A ） (,3)-∞- （B ） (3,1)- （C ） (,1)-∞ （D ） (1,)+∞ 3．设22log (1)() ,2 3 (1)x x f x x x x >⎧=⎨+-≤⎩ 则函数()y f x =的零点个数为（ ） （A ） 1 （B ） 2（C ） 3（D ） 44．已知直线,,βα平面直线平面⊂⊥m l 则下列四个命题正确的是（ ）① m l ⊥⇒βα//; ② m l //⇒⊥βα; ③ βα⊥⇒m l //; ④βα//⇒⊥m l（A ） ②④ （B ） ①②（C ） ③④ （D ） ①③5．已知点(,)P x y 的可行域是如图阴影部分（含边界）， 若目标函数2z x ay =-取得最小值的最优解有无 数个，则a 的值为（ ）（A ） -2 （B ） 0 （C ） 6 （D ）． 86．已知)4,(,),2(),2,4(b D a C -=是平面上的两个点,O 为坐标原点，若AB OC //，且AB OD ⊥,则CD ＝ ( )（A ） （-1，2） （B ） （2，-1） （C ） （2，4） （D ） （0，5）7．若双曲线2212x y m m -=-的左焦点与抛物线28y x =-的焦点重合，则m 的值为（ ） （A ） 3 （B ） 4 （C ） 5 （D ） 68．下列4个命题中，p 是q 的充要条件．．．．的个数是（ ） （1）:p AB A = :U U qC A C B ⊆结束（2）:(1)p y f x =-为奇函数 :()q y f x =关于点(1,0)对称（3）:,p x R +∃∈满足方程20ax -= :q b R ∀∈，函数3()3f x ax ax b =-+在(1,1)-上递减 （4）24:03x y p xy <+<⎧⎨<<⎩ 01:23x q y <<⎧⎨<<⎩（A ） 1个（B ） 2个 （C ） 3个（D ） 4个第二部分（非选择题）二、填空题：(本大题共7道小题，每小题5分，共35分.)9．高三某学生高考成绩y （分）与高三期间有效复习时间x （天）正相关，且回归方程是350y x ∧=+，若期望他高考达到500分, 那么他的有效 复习时间应不低于 天.10．根据右面的框图，打印的所有数据的和是 . 11．将全体正偶数排成一个数阵：按照如图排列的规律，则第10行从左 到右的第4个数为 ．12．如图所示的三视图，其体积是 .13．已知函数()f x 是R 上的偶函数，且(4)()f x f x -=，当[0,2]x ∈时，2()2f x x x =+，则(2011)f = . 14．已知点P 在直线34 ()13x tt y t=+⎧⎨=+⎩为参数上，点Q 为曲线5cos ()33sin x y θθθ⎧=⎪⎨⎪=⎩为参数上的动点， 则|PQ |的最小值等于 . 15．已知点P 在直线51220x y +-=上，从P 点引圆22(2)1x y ++=的切线，记切线长为a ，则()f a =的值域为 .三、解答题（本大题共6个小题，共75分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
湖南省怀化市2023-2024学年高三下学期第二次模拟考试数学试题(解析版)
怀化市2023-2024学年高三下学期第二次模拟考试数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本上无效．3．考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 设集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D 【解析】【分析】解指数不等式化简集合T ，再利用交集的定义求解即得.【详解】解不等式，得，解得，因此，而，所以.故选：D2. 已知复数满足，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A 【解析】【分析】利用复数除法法则计算出，求出共轭复数.【详解】，变形得到，故，{}311,212x S x x T x -⎧⎫=>-=<⎨⎬⎩⎭S T Ç=∅1{|}2x x <-1{|}3x x <-11{|}23x x -<<3121x -<310x -<13x <1{|}3T x x =<1{|}2S x x =>-11{|}23S T x x ⋂=-<<z ()1i 3z z -=-z =2i -2i+1i+1i-2i z=+()1i 3z z -=-()1i 3i 1z +=+()()()()2213i 1i 3i 11i 3i 3i 42i 2i 1i 1i 1i 1i 2z +-+-+-+=====+++--所以故选：A3. 已知均为单位向量，若与的夹角为（ ）A.B.C.D.【答案】B 【解析】【分析】先根据题意得，再根据向量夹角公式即可得答案.【详解】解：由均为单位向量，得，所以，故与的夹角为.故选：B.【点睛】本题考查向量夹角的计算公式，向量模的计算，考查运算能力，是基础题.4. 祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”.它是中国古代一个涉及几何体体积的问题，意思是两个同高的几何体，如在等高处的截面面积恒相等，则体积相等.设A ，B 为两个同高的几何体，p ：A ，B 的体积相等，q ：A ，B 在等高处的截面面积恒相等，根据祖暅原理可知，p 是q 的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断可得；【详解】解：由，反之不成立．是的必要不充分条件．故选：B .【点睛】本题考查了祖暅原理、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．5. 已知函数，则的图象大致为（ ）2i z =-,a b →→2a b →→-=a →b →6π3π2π23π12a b →→⋅=2a b →→-=,a b →→12a b →→⋅=1cos ,2a ba b a b→→→→→→⋅==a →b →3πq p ⇒p ∴q ()e lg xf x x =-()f xA. B.C. D.【答案】A 【解析】【分析】根据给定的函数，由时的单调性排除两个选项，当时，利用导数探讨函数的单调性、极值判断作答.【详解】函数的定义域为，当时，，因为函数在上递增，函数在上递减，因此函数在上递增，BD 错误；当时，，求导得：在上递增，，，而，即有，则存在，使得，当时，，当时，，即函数在上单调递减，在上单调递增，C 选项不满足，A 选项符合要求.故选：A6. 给定整数，有个实数元素的集合，定义其相伴数集，如果，则称集合为一个元规范数集．（注：表示数集中的最小数）．对于集合，则（ ）A. 是规范数集，不是规范数集B. 是规范数集，是规范数集C. 不是规范数集，是规范数集D. 不是规范数集，不是规范数集【答案】C 【解析】0x <0x >()e lg xf x x =-(,0)(0,)-∞+∞ 0x <()e lg()x f x x =--e x y =(,0)-∞lg()y x =-(,0)-∞()e lg()x f x x =--(,0)-∞0x >()e lg x f x x =-1()e ln10xf x x '=-(0,)+∞1(1)e 0ln10f '=->2e 22e (e )e ln10f --'=-2e 20e ln 813,210,7e -<<<<<<2(e )0f -'>20(e ,1)x -∈0()0f x '=00x x <<()0f x '<0x x >()0f x '>()f x 0(0,)x 0(,)x +∞3n ≥n S {},,T a b a b S a b =-∈≠()min 1T =S n ()min X X {}{}0.1, 1.1,2,2.5 1.5,0.5,0.5,1.5M N =--=--、M N M N M N M N【分析】利用规范数集的定义，逐项判断即可得解.【详解】集合中，，则，即的相伴数集中的最小数不是1，因此不是规范数集；集合，，，即的相伴数集中的最小数是1，因此是规范数集.故选：C 7. 已知，，，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A 【解析】【分析】由，，可判断，再由切线不等式，可判断，得解.【详解】由当时，由三角函数线知识可得，所以，又令，，，令，解得，令，解得，所以函数在上单调递增，在上单调递减，，即，当且仅当时等号成立，故而，所以.故选：A.8. 为等差数列，公差为，且，，，函数{}0.1, 1.1,2,2.5M =--2,2.5M M ∈∈|2 2.5|0.51-=<M M {}1.5,0.5,0.5,1.5N =--| 1.5(0.5)|1,|0.50.5|1,|0.5 1.5|1---=--=-=| 1.50.5||0.5 1.5|2,| 1.5 1.5|3--=--=--=N N 16a =7ln 6b =1tan 6c =b a c <<a b c <<a c b <<c<a<bπ0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭sin tan <<x x x c a >ln(1)x x +£a b >π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭sin tan <<x x x 11tan66c a =>=()()ln 1f x x x =+-1x >-()1111x f x x x '-∴=-=++()0f x '>10x -<<()0f x '<0x >()f x ()1,0-()0,∞+()()00f x f ∴≤=ln(1)x x +£0x =711ln ln 1666b a ⎛⎫==+<= ⎪⎝⎭c a b >>{}n ad 01d <<5()2k a k Z π≠∈223557sin 2sin cos sin a a a a +⋅=在上单调且存在，使得关于对称，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D 【解析】【分析】推导出sin4d ＝1，由此能求出d ，可得函数解析式，利用在上单调且存在，即可得出结论．【详解】∵{a n }为等差数列，公差为d ，且0＜d ＜1，a 5（k ∈Z ），sin 2a 3+2sin a 5•cos a 5＝sin 2a 7，∴2sin a 5cos a 5＝sin 2a 7﹣sin 2a 3＝2sin cos •2cos sin 2sin a 5cos2d •2cos a 5sin2d ，∴sin4d ＝1，∴d ．∴f （x ）cos ωx ，∵在上单调∴，∴ω；又存在，所以f （x ）在（0，）上存在零点，即，得到ω．故答案为 故选D()sin(4)(0)f x d wx d w =+>20,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭020,3x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()f x 0(,0)x w 20,3⎛⎤ ⎥⎝⎦30,2⎛⎤ ⎥⎝⎦24,33⎛⎤⎥⎝⎦33,42⎛⎤ ⎥⎝⎦203x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()()0020203x f x f x x π⎛⎫∈+-= ⎪⎝⎭，，2k π≠372a a +732a a -372a a +732a a -=8π=8π=203x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，23ππω≥32≤()()0020203x f x f x x π⎛⎫∈+-= ⎪⎝⎭，，23π223ππω＜34＞33,42⎛⎤ ⎥⎝⎦【点睛】本题考查等差数列的公差的求法，考查三角函数的图象与性质，准确求解数列的公差是本题关键，考查推理能力，是中档题．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9. 下列说法正确的是（ ）A. 某校高一年级共有男女学生500人，现按性别采用分层抽样的方法抽取容量为50人的样本，若样本中男生有30人，则该校高一年级女生人数是200B. 数据1，3， 4，5，7，9，11，16的第75百分位数为10C. 线性回归方程中，若线性相关系数越大，则两个变量的线性相关性越强D. 根据分类变量与的成对样本数据，计算得到，根据小概率值的独立性检验，可判断与有关联，此推断犯错误的概率不大于0.05【答案】ABD 【解析】【分析】利用分层抽样计算判断A ；求出第75百分位数判断B ；利用线性相关系数的意义判断C ；利用独立性检验的思想判断D.【详解】对于A ，该校高一年级女生人数是，A 正确；对于B ，由，得第75百分位数为，B 正确；对于C ，线性回归方程中，线性相关系数绝对值越大，两个变量的线性相关性越强，C 错误；对于D ，由，可判断与有关联，此推断犯错误的概率不大于0.05，D 正确.故选：ABD10. 已知函数的零点为的零点为，则（ ）A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】【分析】利用函数零点的意义，结合函数与互为反函数，确定的关系，再逐项分析判断得解.r x y 2 3.937χ=0.05α=()0.05 3.841=x x y 503020050500-=875%6⨯=911102+=r 20.053.937 3.841x χ=>=x y e x y x =+1,ln x y x x =+2x 120x x +>120x x <12e ln 0xx +=12121x x x x -+>e x y =ln y x =12,x x【详解】依题意，，，则分别是直线与函数，图象交点的横坐标， 而函数与互为反函数，它们的图象关于直线对称，又直线垂直于直线，则点与点关于直线对称，则，于是，，，AC 正确，B 错误；，即，D 错误.故选：AC11. 在三棱锥中，平面，点是三角形内的动点（含边界），，则下列结论正确的是（ ）A. 与平面所成角的大小为B. 三棱锥的体积最大值是2C. 点的轨迹长度是D. 异面直线与所成角的余弦值范围是【答案】ACD 【解析】【分析】根据给定条件，把几何体补形成正四棱柱，利用几何法求出线面角判断A；确定点的轨迹并求出长度判断C ；求出点到距离的最大值计算判断B ；建立坐标系，利用异面直线夹角的向量求法建立函数关系求解判断D.【详解】如图，把三棱锥补形成正四棱柱并建立空间直角坐标系，1111e 0e x xx x +=⇔=-2222ln 0ln x x x x +=⇔=-12,x x y x =-e x y =ln y x =e x y =ln y x =y x =y x =-y x =11(,e )xx 22(,ln )x x y x =121e 0x x x ==->120x x +=120x x <12e ln 0xx +=1212121(1)(1)0x x x x x x -+-=-+<12121x x x x -+<-P ABC PA ⊥,,2,ABC AB BC AB BC PA ⊥===D PAB AD CD ⊥PB ABC π3C ABD -D 2π3CD AB D D AB -P ABC A xyz -对于A ，由平面，得是与平面所成的角，因此，A 正确；对于C ，由，得点的轨迹是以线段为直径的球面与相交的一段圆弧及点，令的中点分别为，则平面，，显然点所在圆弧所对圆心角大小为，长度是，C 正确；对于B ，由选项C 知，当时，点到平面距离最大，最大距离为1，因此三棱锥的体积，B 错误；对于D ，设，则点，而，于是，又，令异面直线与所成的角大小为，则，令，上单调递增，D 正确故选：ACD【点睛】思路点睛：涉及立体图形中的轨迹问题，若动点在某个平面内，利用给定条件，借助线面、面面平行、垂直等性质，确定动点与所在平面内的定点或定直线关系，结合有关平面轨迹定义判断求解.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12. 已知，则的单调增区间为_______．.PA ⊥ABC PBA ∠PB ABC tan PAPBA AB∠==π3PBA ∠=AD CD ⊥D AC PAB B ,AC AB ,O E OE ⊥PAB 1OE OD ==,1DE =D 2π32π3DE AB ⊥D ABC C ABD -112212323C ABD D ABC V V --=≤⨯⨯⨯⨯=2π(0)3AED θθ∠=<≤(1cos ,0,sin )D θθ-(2,2,0)C (1cos ,2,sin )CD θθ=--- (2,0,0)AB =CD AB ϕ||cos |cos ,|||||CD AB CD AB CD AB ϕ⋅=〈〉===11cos [,2)2t θ=+∈cos ϕ==1[,2)2t ∈t ≤<2()23ln f x x x x =--()f x【答案】##【解析】【分析】求出函数的导数，再解导函数大于0的不等式即可.【详解】函数的定义域为，求导得，由，得，所以的单调增区间为.故答案为：13. 根据国家“乡村振兴战略”提出的“推动城乡义务教育一体化发展，高度重视农村义务教育”，某师范大学4名毕业生主动申请到某贫困山区的乡村小学工作，若将这4名毕业生分配到该山区的3所乡村小学，每所学校至少分配1人，则不同分配方案的种数为_______．【答案】36【解析】【分析】把4人分成3组，再分配到3所学校即可.【详解】依题意，有2人去同一所学校，所以不同分配方案的种数为.故答案为：3614. 已知双曲线，过点的直线交双曲线于两点，交轴于点（点与双曲线的顶点不重合），若，则当时，点坐标为_______．【答案】【解析】【分析】设出直线的方程，与双曲线方程联立，利用韦达定理及向量坐标运算结合已知列式求解即得.【详解】显然直线的斜率存在且不为0，设直线的方程为，则，由消去y 并整理得，，则且，设，于是，，由，得，则，(1,)+∞[1,)+∞()f x 2()23ln f x x x x =--(0,)+∞1(41)(1)()43x x f x x x x+-'=--=()0f x '>1x >()f x (1,)+∞(1,)+∞2343C A 6636=⨯=22:13y C x -=()0,2P C ,M N x Q Q C (),0PQ QM QN μλμλ==≠4μλ+=Q (MN MN MN 2y kx =+2(,0)Q k-22233y kx x y =+⎧⎨-=⎩22(3)470k x kx ---=221628(3)0k k ∆=+->207k <<23k ≠1122(,),(,)M x y N x y 12122247,33k x x x x k k +==---1122222(,2),(,),(,)PQ QM x y QN x y k k k=--=+=+ PQ QM QN μλ== 12222()()x x k k k μλ-=+=+1222,22kx kx μλ=-=-++，而，因此，解得，所以点坐标为.故答案为： 【点睛】思路点睛：直线与双曲线相交问题，时常把两个曲线的方程联立，消去x (或y )建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．四、解答题：本大题5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15. 如图，在三棱锥中，是等边三角形，是边的中点．（1）求证：；（2）若，平面平面，求直线与平面所成角的余弦值．【答案】（1）证明见解析； （2.【解析】【分析】（1）利用等边三角形及全等三角形性质，结合线面垂直的判定、性质推理即得.21222121212224282()822374222()42433kk k x x k k k kx kx k x x k x x k k kμλ⋅+++-+=--=-=-+++++-+⋅+--284k =-4μλ+=2844k =-k =Q ((A BCD -BCD △,ADB ADC M ∠=∠BC BC AD ⊥,3B M C A ==ABC ⊥BCD BD ACD（2）由面面垂直的性质结合（1）可得两两垂直，再建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用线面角的向量求法求解即得.小问1详解】在三棱锥中，是等边三角形，是的中点，则，由，得≌，则，，而平面，因此平面，平面，所以.【小问2详解】由（1）知，，平面平面，平面平面，平面，则平面，则直线两两垂直，以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，则，，设平面的法向量，则，令，得，因此所以直线与平面16. 在中，角，，所对的边分别为，，.（Ⅰ）求角的大小；（Ⅱ）若，求的取值范围.【,,MD MC MA ACD A BCD -BCD △M BC DM BC ⊥,,ADB ADC BD CD AD AD ∠=∠==ADB ADC △AB AC =AM BC ⊥,,AM DM M AM DM ⋂=⊂ADM BC ⊥ADM AD ⊂ADM BC AD ⊥AM BC ⊥ABC ⊥BCD ABC ⋂BCD BC =AM ⊂ABC AM⊥BCD ,,MD MC MA M ,,MD MC MA ,,x y z (0,0,3),(0,(3,0,0)A B C D (3,0,3),3)BD AD AC ==-=-ACD (,,)n x y z = 33030n AD x z n AC z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩1z =n = |||cos ,|||||BD n BD n BD n ⋅〈〉===BD ACD =ABC A B C a b c ()sin A A b =B 2a c +=b【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】【分析】（I，再由，带入整理即可得解；（Ⅱ）利用余弦定理，再结合基本不等式即可得解.【详解】（Ⅰ，，∴，∴（Ⅱ）∵，，∴（当且仅时取等号）又，∴.17. 现有甲、乙两名运动员争夺某项比赛的奖金，规定两名运动员谁先赢局，谁便赢得全部奖金a 元.假设每局甲赢的概率为，乙赢的概率为，且每场比赛相互独立.在甲赢了局，乙赢了局时，比赛意外终止，奖金如何分配才合理？评委给出的方案是：甲、乙按照比赛再继续进行下去各自赢得全部奖金的概率之比分配奖金..3B π=[)1,2b ∈sin sin cos C B A B A =+sin sin()C A B =+222b a c ac =+-()sin A Ab =sin sin cos C B A B A =+()sin sin cos A B B A B A+=cos sin sin sin cos A B A B B A B A +=+cos sin sin A B A B =tan B =()0,B π∈3B π=2a c +=3B π=2222cos b a c ac B=+-22a c ac=+-()223434312a c a c ac ac +⎛⎫=+-=-≥-= ⎪⎝⎭a c =2b ac <+=[)1,2b ∈()1,Nk k k *>∈()01p p <<1p -()m m k <()n n k <:P P 甲乙（1）若，求；（2）记事件A 为“比赛继续进行下去乙赢得全部奖金”，试求当时，比赛继续进行下去甲赢得全部奖金的概率，并判断当时，事件A 是否为小概率事件，并说明理由.规定：若随机事件发生的概率小于0.06，则称该随机事件为小概率事件.【答案】（1）；（2）（），事件A 是小概率事件，理由见解析.【解析】【分析】（1）设比赛再继续进行局甲赢得全部奖金，最后一局必然是甲赢，最多再进行2局，利用独立事件概率求出概率，再求出乙赢得全部奖金的概率作答.（2）设比赛再继续进行局乙赢得全部奖金，最后一局必然是乙赢，利用独立事件概率求出，并求出函数最小值，再判断作答.【小问1详解】设比赛再继续进行局甲赢得全部奖金，则最后一局必然是甲赢，依题意，最多再进行2局，当时，甲以赢，，当时，甲以赢，，因此甲赢的概率为，则乙赢的概率为，所以.【小问2详解】设比赛再继续进行局乙赢得全部奖金，则最后一局必然是乙赢，当时，乙以赢，，当时，乙以赢，，于是得乙赢得全部奖金的概率，甲赢得全部奖金的概率，，，即函数在上单调递增，则有，因此乙赢的概率最大值为，所以事件A 是小概率事件.33,2,1,4k m n p ====:P P 甲乙4,2,2k m n ===()f p 617p ≤<15:12(12)11)()(f p p p =-+-617p ≤<X Y ()f p X 1X =3:13(1)4P X ==2X =3:2133(2)4416P X ==⨯=331541616+=15111616-=:15:1P P =甲乙Y 2Y =4:22(2)(1)P Y p ==-3Y =4:31222(3)C (1)2(1)P Y p p p p ==-=-222()(1)2(1)(12)(1)P A p p p p p =-+-=+-2(12)11)()(f p p p =-+-617p ≤<2(1)(12)2(1)(1)6(1)0()2p p p p p f p --+⋅--=-=->'()f p 6[,1)7min 6324()(7343f p f ==3241910.05540.06343343-=≈<18. 已知椭圆的左焦点为，过原点的直线与椭圆交于，两点，若，且.（1）求椭圆的离心率；（2）椭圆的上顶点为，不过的直线与椭圆交于，两点，线段的中点为，若，试问直线是否经过定点？若经过定点，请求出定点坐标；若不过定点，请说明理由.【答案】（1（2）直线恒过定点，定点坐标为【解析】【分析】（1）设椭圆的右焦点为，连接，，然后在由条件可得，，，然后利用余弦定理求解即可；（2）首先求出椭圆的方程，然后由可推出，然后设直线的方程为，，，联立直线与椭圆的方程消元表示出 、，然后由求出的值可得答案.【小问1详解】设椭圆的右焦点为，连接，根据椭圆的对称性可知，四边形为平行四边形.又，所以()2222:10x y C a b a b+=>>1F O C P Q 113PF QF =11cos 3PF Q ∠=-C C ()0,2D D l C A B AB M 2AMD ABD ∠=∠l l 20,3⎛⎫- ⎪⎝⎭C 2F 2PF 2QF 12PF F △132aPF =22a PF =121cos 3F PF ∠=2AMD ABD ∠=∠90ADB ∠=︒l y kx m =+()11,A x y ()22,B x y 12x x +12x x 0DA DB ⋅=m C 2F 2PF 2QF 12QF PF =12PFQF 113PF QF =213PF PF =而，所以，在四边形中，，所以，在中，根据余弦定理得即化简得.所以椭圆的离心率【小问2详解】因为椭圆的上顶点为，所以，所以，又由（1）知，解得，所以椭圆的标准方程为.在中，，，所以，从而，又为线段中点，即，所以，因此，从而，根据题意可知直线的斜率一定存在，设它的方程为，，，的122PF PF a +=132a PF =22a PF =12PFQF 11cos 3PF Q ∠=-()12111cos cos cos 3F PF PF Q PF Q π∠=-∠=-∠=12PF F △222121212122cos F F PF PF PF PF F PF =+-⋅∠()2223312222223a a a a c ⎛⎫⎛⎫=+-⋅⋅⋅⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭222a c =C c e a ==C ()0,2D 2b =22224a b c c =+=+222c a =28a =C 22184x y +=ABD △2AMD ABD ∠=∠AMD ABD BDM ∠=∠+∠ABD BDM ∠=∠DM BM =M AB 12BM AB =12DM AB =90ADB ∠=︒0DA DB ⋅=l y kx m =+()11,A x y ()22,B x y联立消去得①，，根据韦达定理可得，，所以所以，整理得，解得或.又直线不经过点，所以舍去，于是直线方程为，恒过定点，该点在椭圆内，满足关于的方程①有两个不相等的解，所以直线恒过定点，定点坐标为.19. 已知正项数列的前项和为，且.（1）求和的值，并求出数列的通项公式；（2）证明：；（3）设的值（其中表示不超过的最大整数）.【答案】（1），，； （2）证明见解析； （3）88【解析】【分析】（1）令，求出和的值；利用的关系式证得是等差数列，从而求出数的22184y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩y ()222214280k x kmx m +++-=()()()2224428210km m k ∆=--+>122421km x x k +=-+21222821m x x k -=+()()()()()()2211221212,2,2122DA DB x y x y k x x k m x x m ⋅=-⋅-=++-++- ()()()222222841222121m km k k m m k k -⎛⎫=++--+- ⎪++⎝⎭()()()2222228412202121m km k k m m k k -⎛⎫++--+-= ⎪++⎝⎭()()2320m m -+=2m =23m =-l ()0,22m =l 23y kx =-20,3⎛⎫- ⎪⎝⎭C x l 20,3⎛⎫-⎪⎝⎭{}n a n n S 333212n n a a a S +++= 1a 2a {}n a 12111ln(1)nn a a a +++>+ n T =++ []2024T []x x 11a =22a =n a n =1,2n n ==1a 2a ,n n a S {}n a列的通项公式；（2）构造函数，利用导数证得，分别取，再利用累加法即可证明；（3）利用裂项相消法与累加法证得，从而得解.【小问1详解】由题意知当时，.当时，.因为，则当时，有.两式相减，得：，又因为，所以.故，，两式相减，得.因为，所以.又因为，，所以对，有，故是等差数列，因此.【小问2详解】设，则，所以在上单调递减，则，从而.令，得，即，分别取，则，……，，累加得.【小问3详解】{}n a ()ln(1)(0)f x x x x =+->1ln(1)ln n n n+-<1,2,,n n = 881<+++ 89<1n =321111a a a =⇒=2n =()23222221120a a a a +=+⇒--=⇒22a =333212n n a a a S +++= 2n ≥31a +3332211n n n a a a S +++++= ()()3221111n n n n n n n a S S S S S S ++++=-=+-()()11112n n n n n n S S a S a a ++++=+=+0n a >2112n n n a S a ++=+2112n n n S a a ++=-212(2)n n n S a a n -=-≥()221112nn n n n n n a a a a a a a +++=--+⇒+()11n n n n a a a a ++-=+10n n a a ++>11(2)n n a a n +-=≥11a =22a =*n ∀∈N 11n n a a +-={}n a n a n =()ln(1)(0)f x x x x =+->()f x '=11011xx x--=<++()f x (0,)+∞()(0)0f x f <=ln(1)x x +<()*1x n n =∈N 11ln 1n n ⎛⎫+< ⎪⎝⎭1ln(1)ln n n n +-<1,2,,n n = 111ln 2ln1,ln 3ln 2,ln 4ln 3123-<-<-<1ln(1)ln n n n +-<111ln(1)123n n+<++++由（2）知..故，，所以.，，，所以.故，即.【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下：（1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数；（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.20241T =+>11)>->L >11)2(451)88+>-=-= ><1)<-<L <1+ 11)12(451)89<+<+-=188⎡++=⎢⎣[]202488T =()()f x g x >()()f x g x <()()0f x g x ->()()0f x g x -<()()()h x f x g x =-。
湖南省怀化市高三第二次模拟考试数学(文)试卷
则对于 x [1, e], hmin (x) 0 即可
而
h( x)
1
1 a x2
a x
(x
1)[x x2
(1
a)]
.………………5
分
①当1 a e ，即 a e 1时， h(x) 在[1, e] 上单调递减，
则
hmin
(x)
h(e)
e
1 e
a
a
0
,即
a
e2 1 e 1
，
3
而
e2 1 e 1
2
2
x
如图
2
三、解答题
17 解：(Ⅰ)在 ABC 中， C 60, BC 2 3, AC 3 ,由余弦定理有： AB 2 AC 2 BC 2 2 AC BC cos C, AB 3…………………4 分 AB2 AC2 BC 2 故 ABC 是以角 A 为直角的直角三角形…………………6 分
区位 -x)(Y; -y)
相关系数r= i=l
三心 'n
Icx
(yi-讨
i=l
i=l
20. (本小题满分 12 分）
一已一 知点F(.O,.一一,l．．),直．一线 ·一.. l: y=-1,P为平面上的动点，过点P 作直线l的垂线，垂足为 H,且满足
(PF- PH)-(PH+ PF) =0. C I)求动点P的轨迹 C的方程；
1
(Ⅱ)设 BAD , DAC 90
sin DAC cos
21 7 …………8 分
在 ACD 中， sin ADC sin( 30 ) 3 14
21 ………………10 分
CD
由正弦定理有：
AC
高考数学(文科)二轮复习模拟试卷及答案
高考数学（文科）二轮复习模拟试卷及答案（2套）模拟试题一(时间：120分钟；满分：150分)第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A ＝{x |log 2(x －1)＜0}，B ＝{x |x ≤3}，则∁R A ∩B ＝( ) A ．(－∞，1) B ．(2，3)C ．(2，3]D ．(－∞，1]∪[2，3]2．已知i 为虚数单位，且复数z 满足z －2i ＝11－i，则复数z 在复平面内的点到原点的距离为( )A.132B.262C.102D.52 3．已知x 、y 取值如下表：从所得的散点图分析可知：y 与x 线性相关，且y ＝0.95x ＋1.45，则m ＝( ) A ．1.5B ．1.55C ．3.5D ．1.84已知cos ⎝⎛⎭⎫α＋π2＝35，－π2<α<π2，则sin 2α的值等于( )A.1225 B ．－1225C.2425D ．－24255．已知互不重合的直线a ，b ，互不重合的平面α，β，给出下列四个命题，错误的命题是( )A ．若a ∥α，a ∥β，α∩β＝b ，则a ∥bB ．若α⊥β，a ⊥α，b ⊥β则a ⊥bC ．若α⊥β，α⊥γ，β∩γ＝a ，则a ⊥αD ．若α∥β，a ∥α，则a ∥β6．“a ≤－2”是“函数f (x )＝|x －a |在[－1，＋∞)上单调递增”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．已知O 为△ABC 内一点，且AO →＝12(OB →＋OC →)，AD →＝tAC →，若B ，O ，D 三点共线，则t 的值为( )A.14B.13C.12D.238．执行如图所示的程序框图，若输出的S 值为－2，则①中应填( )A ．n <98?B ．n <99?C ．n <100?D ．n <101?9．已知点F 1、F 2是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，若双曲线左支上存在点P 与点F 2关于直线y ＝bax 对称，则该双曲线的离心率为( )A. 2B.52C ．2 D. 5 10．若实数x 、y 满足xy >0，则x x ＋y ＋2yx ＋2y 的最大值为( )A ．2－ 2B ．2＋ 2C ．4＋2 2D ．4－2 211．曲线y ＝ln x 上的点到直线2x －y ＋3＝0的最短距离是( ) A.4－ln 25 B.4＋ln 25C.4－ln 25D.4＋ln 2512．已知三棱锥P -ABC 的棱AP 、AB 、AC 两两垂直，且长度都为3，以顶点P 为球心，以2为半径作一个球，则球面与三棱锥的表面相交所得到的四段弧长之和等于( )A ．3π B.3π2 C.4π3 D.5π6第Ⅱ卷二、填空题：本题共4小题，每小题5分．13．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，前n 项积为T n ，若S 3＝a 2＋4a 1，T 5＝243，则a 1的值为____________．14．已知点Q 在圆C ：x 2＋y 2＋2x －8y ＋13＝0上，抛物线y 2＝8x 上任意一点P 到直线l ：x ＝－2的距离为d ，则d ＋|PQ |的最小值等于________．15．“克拉茨猜想”又称“3n ＋1猜想”，是德国数学家洛萨·克拉茨在1950年世界数学家大会上公布的一个猜想：任给一个正整数n ，如果n 是偶数，就将它减半；如果n 为奇数就将它乘3加1，不断重复这样的运算，经过有限步后，最终都能够得到1.已知正整数m 经过6次运算后得到1，则m 的值为________．16．已知偶函数f (x )满足f (x －1)＝f (x ＋1)，且当x ∈[0，1]时，f (x )＝x 2，若关于x 的方程f (x )＝|log a |x ||(a >0，a ≠1)在[－2，3]上有5个根，则a 的取值范围是________．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17.(本小题满分12分)已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0，0<φ<π)的部分图象如图所示． (1)求f (x )的解析式，并求函数f (x )在⎣⎡⎦⎤－π12，π4上的值域；(2)在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝2，f (A )＝1，求sin 2B .18．(本小题满分12分)某学校八年级共有学生400人，现对该校八年级学生随机抽取50名进行实践操作能力测试，实践操作能力测试结果分为四个等级水平，一、二等级水平的学生实践操作能力较弱，三、四等级水平的学生实践操作能力较强，测试结果统计如下表：(1)操作能力强弱与性别有关？(2)生的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．下面的临界值表供参考：参考公式：K2＝n（ad－bc）（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d），其中n＝a＋b＋c＋d.19.(本小题满分12分)如图，在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AA 1⊥底面ABC ，AB ⊥AC ，AC ＝AA 1，E ，F 分别是棱BC ，CC 1的中点．(1)求证：AB ⊥平面AA 1C 1C ；(2)若线段AC 上的点D 满足平面DEF ∥平面ABC 1，试确定点D 的位置，并说明理由； (3)证明：EF ⊥A 1C .20．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝ln(x ＋1)＋mx (m ∈R )． (1)当m ≠0时，求函数f (x )的单调区间；(2)有这样的结论：若函数p (x )的图象是在区间[a ，b ]上连续不断的曲线，且在区间(a ，b )内可导，则存在x 0∈(a ，b )，使得p ′(x 0)＝p （b ）－p （a ）b －a .已知函数f (x )在(x 1，x 2)上可导(其中x 2>x 1>－1)，若函数g (x )＝f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2(x －x 1)＋f (x 1)．证明：对任意x ∈(x 1，x 2)，都有f (x )>g (x )．21．(本小题满分12分)已知椭圆C 1：x 26＋y 2b 2＝1(b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，点F 2也为抛物线C 2：y 2＝8x 的焦点，过点F 2的直线l 交抛物线C 2于A ，B 两点．(1)若点P (8，0)满足|P A |＝|PB |，求直线l 的方程；(2)T 为直线x ＝－3上任意一点，过点F 1作TF 1的垂线交椭圆C 1于M ，N 两点，求|TF 1||MN |的最小值．请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分． 22．(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 1：ρ2－4ρcos θ＋3＝0，θ∈[0，2π]，曲线C 2：ρ＝34sin ⎝⎛⎭⎫π6－θ，θ∈[0，2π]． (1)求曲线C 1的一个参数方程；(2)若曲线C 1和曲线C 2相交于A ，B 两点，求|AB |的值． 23．(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲 设函数f (x )＝|2x －a |＋2a .(1)若不等式f (x )≤6的解集为{x |－6≤x ≤4}，求实数a 的值；(2)在(1)的条件下，若不等式f (x )≤(k 2－1)x －5的解集非空，求实数k 的取值范围．答案及解析1．解析：选D.由集合A ＝{x |log 2(x －1)＜0}＝{x |1＜x ＜2}，则∁R A ＝{x |x ≤1或x ≥2}， 又B ＝{x |x ≤3}，所以∁R A ∩B ＝(－∞，1]∪[2，3]．2．解析：选B.由z －2i ＝11－i ，得z ＝2i ＋11－i ＝2i ＋1＋i （1－i ）（1＋i ）＝12＋52i ，所以复数z 在复平面内的点的坐标为⎝⎛⎭⎫12，52，到原点的距离为 14＋254＝262.故选B. 3．解析：选D.由题意知x －＝0＋1＋4＋5＋6＋86＝4，y －＝1.3＋m ＋5.6＋6.1＋7.4＋9.36＝29.7＋m6， 将⎝⎛⎭⎫4，29.7＋m 6代入y ^＝0.95x ＋1.45中，得29.7＋m 6＝0.95×4＋1.45，解得m ＝1.8.4．解析：选D.因为cos ⎝⎛⎭⎫α＋π2＝35，所以sin α＝－35，又－π2<α<π2，所以cos α＝45，所以sin 2α＝2sin αcos α＝2×⎝⎛⎭⎫－35×45＝－2425，故选D.5．解析：选D.A 中，由线面平行的判定和性质得满足条件的直线a ，b 平行，故正确． B 中，满足条件的直线a ，b 垂直，故正确．C 中，由面面垂直的性质可得，交线a 与α垂直，故正确．D 中，直线a 与β可能平行，也可能在β内，故不正确． 综上D 不正确． 答案D.6．解析：选A.结合图象可知函数f (x )＝|x －a |在[a ，＋∞)上单调递增，易知当a ≤－2时，函数f (x )＝|x －a |在[－1，＋∞)上单调递增，但反之不一定成立，故选A.7．解析：选B.设线段BC 的中点为M ，则OB →＋OC →＝2OM →，因为2AO →＝OB →＋OC →，所以AO →＝OM →，则AO →＝12AM →＝14(AB →＋AC →)＝14(AB →＋1t AD →)＝14AB →＋14t AD →，由B ，O ，D 三点共线，得14＋14t ＝1，解得t ＝13. 故选B.8．解析：选B.由题意知，该程序框图的功能是计算S ＝lg 12＋lg 23＋…＋lg n n ＋1＝－lg(n＋1)，当n ＝98时，S ＝－lg 99>－2；当n ＝99时，S ＝－lg 100＝－2，跳出循环，故①中应填n <99?故选B.9．解析：选D.如图所示，点P 与点F 2关于直线y ＝ba x 对称，所以|OP |＝|OF 2|＝|OF 1|＝c ，所以PF 1⊥PF 2，tan ∠PF 1F 2＝ba，又|F 1F 2|＝2c ，所以|PF 2|＝2b ，|PF 1|＝2a ，又因为点P 在双曲线上，所以|PF 2|－|PF 1|＝2a ，即2b －2a ＝2a ，b ＝2a ，故e ＝ca＝ 5.10．解析：选D.x x ＋y ＋2yx ＋2y＝x （x ＋2y ）＋2y （x ＋y ）（x ＋y ）（x ＋2y ）＝x 2＋4xy ＋2y 2x 2＋3xy ＋2y 2 ＝1＋xyx 2＋3xy ＋2y 2＝1＋1x y ＋3＋2y x ≤1＋13＋22＝4－22，当且仅当x y ＝2y x ，即x 2＝2y 2时取等号．11．解析：选D.因为直线2x －y ＋3＝0的斜率为2，所以令y ′＝1x ＝2，解得x ＝12，把x＝12代入曲线方程得y ＝－ln 2，即曲线在点⎝⎛⎭⎫12，－ln 2处的切线斜率为2，⎝⎛⎭⎫12，－ln 2到直线2x －y ＋3＝0的距离d ＝|1＋ln 2＋3|22＋（－1）2＝4＋ln 25，故曲线y ＝ln x 上的点到直线2x －y ＋3＝0的最短距离是4＋ln 25.12．解析：选B.如图所示，Rt △P AC ，Rt △P AB 为等腰直角三角形，且AP ＝AB ＝AC ＝ 3.以顶点P 为球心，以2为半径作一个球与Rt △P AC 的PC ，AC 分别交于点M ，N ，得cos ∠APN ＝32， 所以∠APN ＝π6，所以∠NPM ＝π12，所以MN ︵＝π12×2＝π6，同理GH ︵＝π6，HN ︵＝π2×1＝π2，又GM ︵是以顶点P 为圆心，以2为半径的圆的周长的16，所以GM ︵＝2π×26＝2π3，所以球面与三棱锥的表面相交所得到的四段孤长之和等于π6＋π6＋π2＋2π3＝9π6＝3π2. 故选B.13．解析：由已知，S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝a 2＋4a 1，则a 3＝3a 1，所以q 2＝3. 又T 5＝a 1a 2a 3a 4a 5＝a 53＝243， 所以a 3＝a 1q 2＝3，a 1＝1. 故答案为1. 答案：1 14．解析：抛物线y 2＝8x 的焦点为F (2，0)，故直线l ：x ＝－2为抛物线的准线，由抛物线的定义可知，d ＝|PF |.圆C 的方程可变形为(x ＋1)2＋(y －4)2＝4，圆心为C (－1，4)，半径r ＝2.如图所示，d ＋|PQ |＝|PF |＋|PQ |.显然，|PF |＋|PQ |≥|FQ |(当且仅当F ，P ，Q 三点共线，且点P 在点F ，Q 之间时取等号)．而|FQ |为圆C 上的动点Q 到定点F 的距离，显然当Q 处在Q ′的位置，P 处在P ′的位置时，|FQ |取得最小值，且最小值为|CF |－r ＝（－1－2）2＋（4－0）2－2＝5－2＝3.答案：315．解析：如果正整数m 按照上述规则经过6次运算得到1，则经过5次运算后得到的一定是2；经过4次运算后得到的一定是4；经过3次运算后得到的为8或1(不合题意)； 经过2次运算后得到的是16； 经过1次运算后得到的是5或32； 所以开始时的数为10或64. 所以正整数m 的值为10或64. 故答案为10或64. 答案：10或64.16．解析：由f (x －1)＝f (x ＋1)得函数f (x )的最小正周期T ＝2，根据函数的奇偶性、周期性画出函数f (x )在[－2，3]上的图象，然后再画函数g (x )＝|log a |x ||的图象，如图所示，使它们有5个交点即可，当a >1时，只要保证log a 3≤1即可，解得a ≥3，当0<a <1时，只要保证－log a 3≤1即可，即log a 3≥－1，解得0<a ≤13，综上a ∈⎝⎛⎦⎤0，13∪[)3，＋∞.答案：⎝⎛⎦⎤0，13∪[)3，＋∞ 17．解：(1)由题图知，34T ＝1112π－π6＝34π.所以T ＝π.所以2πω＝π，所以ω＝2，所以f (x )＝2sin(2x ＋φ)， 因为点⎝⎛⎭⎫π6，2在函数图象上，所以sin ⎝⎛⎭⎫π3＋φ＝1，所以π3＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z )，即φ＝2k π＋π6(k ∈Z )，因为0<φ<π，所以φ＝π6，所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6.因为－π12≤x ≤π4，所以0≤2x ＋π6≤23π，所以0≤sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6≤1，所以0≤f (x )≤2，即函数f (x )在⎣⎡⎦⎤－π12，π4上的值域为[0，2]．(2)因为f (A )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2A ＋π6＝1，所以sin ⎝⎛⎭⎫2A ＋π6＝12，因为π6<2A ＋π6<136π，所以2A ＋π6＝56π，所以A ＝π3.在△ABC 中，由余弦定理得BC 2＝9＋4－2×3×12×2＝7，BC ＝7.由正弦定理得，7sin π3＝2sin B ， 故 sin B ＝217. 又AC <AB ，所以B 为锐角， 所以cos B ＝277，所以sin 2B ＝2sin B cos B ＝2217×277＝437.18．解：(1)2×2列联表如下：所以K 2＝50（6×12－14×18）30×20×26×24＝22552≈4.327>3.841. 所以有95%的把握认为学生实践操作能力强弱与性别有关． (2)ξ的取值为0，1，2，3，4.P (ξ＝0)＝C 46C 410＝114，P (ξ＝1)＝C 14C 36C 410＝821，P (ξ＝2)＝C 24C 26C 410＝37，P (ξ＝3)＝C 34C 16C 410＝435，P (ξ＝4)＝C 44C 410＝1210.所以ξ的分布列为所以E (ξ)＝0×114＋1×821＋2×37＋3×435＋4×1210＝85＝1.6.19．解：(1)证明：因为A 1A ⊥底面ABC ，所以A 1A ⊥AB ， 又因为AB ⊥AC ，A 1A ∩AC ＝A ， 所以AB ⊥平面AA 1C 1C . (2)因为平面DEF ∥平面ABC 1， 平面ABC ∩平面DEF ＝DE ， 平面ABC ∩平面ABC 1＝AB ， 所以AB ∥DE ，因为在△ABC 中E 是BC 的中点， 所以D 是线段AC 的中点．(3)证明：在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中A 1A ＝AC ， 所以侧面A 1ACC 1是菱形，所以A 1C ⊥AC 1， 由(1)可得AB ⊥A 1C ， 因为AB ∩AC 1＝A ， 所以A 1C ⊥平面ABC 1， 所以A 1C ⊥BC 1.又因为E ，F 分别为棱BC ，CC 1的中点， 所以EF ∥BC 1， 所以EF ⊥A 1C .20．解：(1)f (x )的定义域为(－1，＋∞)， f ′(x )＝1＋mx ＋m x ＋1＝m ⎝⎛⎭⎫x ＋m ＋1m x ＋1.当m >0时，⎝⎛⎭⎫－m ＋1m －(－1)＝－1m <0，即－m ＋1m<－1，因为x >－1，所以f ′(x )>0，所以f (x )在(－1，＋∞)上单调递增．当m <0时，⎝⎛⎭⎫－m ＋1m －(－1)＝－1m >0，即－m ＋1m >－1，由f ′(x )>0，解得－1<x <－m ＋1m ，由f ′(x )<0，解得x >－m ＋1m，所以f (x )在⎝⎛⎭⎫－1，－m ＋1m 上单调递增，在⎝⎛⎭⎫－m ＋1m ，＋∞上单调递减．(2)证明：令h (x )＝f (x )－g (x )＝f (x )－f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2(x －x 1)－f (x 1)，则h ′(x )＝f ′(x )－f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2.因为函数f (x )在区间(x 1，x 2)上可导，则根据结论可知，存在x 0∈(x 1，x 2)， 使得f ′(x 0)＝f （x 2）－f （x 1）x 2－x 1，又f ′(x )＝1x ＋1＋m ，所以h ′(x )＝f ′(x )－f ′(x 0) ＝1x ＋1－1x 0＋1＝x 0－x （x ＋1）（x 0＋1）. 当x ∈(x 1，x 0]时，h ′(x )≥0， 从而h (x )单调递增， 所以h (x )>h (x 1)＝0；当x ∈(x 0，x 2)时，h ′(x )<0，从而h (x )单调递减， 所以h (x )>h (x 2)＝0.故对任意x ∈(x 1，x 2)，都有h (x )>0， 即f (x )>g (x )．21．解：(1)由抛物线C 2：y 2＝8x 得F 2(2，0)， 当直线l 的斜率不存在，即l ：x ＝2时，满足题意．当直线l 的斜率存在时，设l ：y ＝k (x －2)(k ≠0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝8x ，y ＝k （x －2）得k 2x 2－(4k 2＋8)x ＋4k 2＝0， 所以x 1＋x 2＝4k 2＋8k 2，y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)－4k ＝8k .设AB 的中点为G ，则G ⎝⎛⎭⎫2k 2＋4k 2，4k ，因为|P A |＝|PB |，所以PG ⊥l ，k PG ·k ＝－1， 所以4k－02k 2＋4k 2－8·k ＝－1，解得k ＝±2， 则y ＝±2(x －2)，所以直线l 的方程为y ＝±2(x －2)或x ＝2. (2)因为F 2(2，0)，所以F 1(－2，0)，b 2＝6－4＝2， 所以椭圆C 1：x 26＋y 22＝1.设点T 的坐标为(－3，m )，则直线TF 1的斜率kTF 1＝m －0－3＋2＝－m ，当m ≠0时，直线MN 的斜率k MN ＝1m ，直线MN 的方程是x ＝my －2，当m ＝0时，直线MN 的方程是x ＝－2，也符合x ＝my －2的形式，所以直线MN 的方程是x ＝my －2.设M (x 3，y 3)，N (x 4，y 4)，则联立⎩⎪⎨⎪⎧x 26＋y 22＝1x ＝my －2，得(m 2＋3)y 2－4my －2＝0，所以y 3＋y 4＝4m m 2＋3，y 3y 4＝－2m 2＋3.|TF 1|＝m 2＋1，|MN |＝（x 3－x 4）2＋（y 3－y 4）2 ＝（m 2＋1）[（y 3＋y 4）2－4y 3y 4] ＝24（m 2＋1）m 2＋3.所以|TF 1||MN |＝124×（m 2＋3）2m 2＋1＝124⎝⎛⎭⎫m 2＋1＋4m 2＋1＋4≥33，当且仅当m 2＋1＝4m 2＋1，即m ＝±1时，等号成立， 此时|TF 1||MN |取得最小值33.22．解：(1)由ρ2－4ρcos θ＋3＝0可得，x 2＋y 2－4x ＋3＝0. 所以(x －2)2＋y 2＝1.令x －2＝cos α，y ＝sin α，所以C 1的一个参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋cos αy ＝sin α(α为参数，α∈R )．(2)C 2：4ρ⎝⎛⎭⎫sin π6cos θ－cos π6sin θ＝3，所以4⎝⎛⎭⎫12x －32y ＝3，即2x －23y －3＝0.因为直线2x －23y －3＝0与圆(x －2)2＋y 2＝1相交于A ，B 两点， 所以圆心到直线的距离d ＝14，所以|AB |＝2× 1－⎝⎛⎭⎫142＝2×154＝152. 23．解：(1)因为|2x －a |＋2a ≤6， 所以|2x －a |≤6－2a ， 所以2a －6≤2x －a ≤6－2a ， 所以32a －3≤x ≤3－a2，因为不等式f (x )≤6的解集为{x |－6≤x ≤4}， 所以⎩⎨⎧32a －3＝－6，3－a2＝4，解得a ＝－2.(2)由(1)得f (x )＝|2x ＋2|－4. 所以|2x ＋2|－4≤(k 2－1)x －5， 化简整理得|2x ＋2|＋1≤(k 2－1)x ，令g (x )＝|2x ＋2|＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3，x ≥－1，－2x －1，x <－1，y ＝g (x )的图象如图所示，要使不等式f (x )≤(k 2－1)x －5的解集非空，需k 2－1>2或k 2－1≤－1，所以k的取值范围是{k|k>3或k<－3或k＝0}．模拟试题二(时间：120分钟；满分：150分)第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知复数z满足(3－4i)z＝25，则z＝()A．－3－4i B．－3＋4iC．3－4i D．3＋4i2．已知集合M＝{x|x2－2x－8≤0}，集合N＝{x|lg x≥0}，则M∩N＝()A．{x|－2≤x≤4} B．{x|x≥1}C．{x|1≤x≤4} D．{x|x≥－2}3．中国仓储指数是反映仓储行业经营和国内市场主要商品供求状况与变化趋势的一套指数体系．如图所示的折线图是2017年和2018年的中国仓储指数走势情况．根据该折线图，下列结论中不正确的是()A．2018年1月至4月的仓储指数比2017年同期波动性更大B．这两年的最大仓储指数都出现在4月份C．2018年全年仓储指数平均值明显低于2017年D．2018年各仓储指数的中位数与2017年各仓储指数中位数差异明显4．已知直线3x＋ay＝0(a＞0)被圆(x－2)2＋y2＝4所截得的弦长为2，则a的值为()A. 2B. 3 C．2 2 D．2 35．已知a ，b 是实数，则“a ＞0或b ＞0”是“a ＋b ＞0且ab ＞0”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．已知a ，b 是单位向量，且a·b ＝－12，若平面向量p 满足p ·a ＝p·b ＝12，则|p |＝( )A.12 B ．1 C. 2D ．27．若f (x )＝cos 2x ＋a cos ⎝⎛⎭⎫π2＋x 在区间⎝⎛⎭⎫π6，π2上是增函数，则实数a 的取值范围为( )A ．[－2，＋∞)B ．(－2，＋∞)C ．(－∞，－4)D ．(－∞，－4] 8．一个四棱锥与半圆柱构成的几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A ．16＋8πB ．16＋12πC ．48＋12πD ．48＋8π9．已知函数f (x )＝xesin ⎝⎛⎭⎫x －π2(e 为自然对数的底数)，当x ∈[－π，π]时，y ＝f (x )的图象大致是( )10．已知正项数列{a n }为等比数列，S n 为其前n 项和，且有a 23＋a 25＝32 400－2a 2a 6，S 4＝10S 2，则第2 019 项的个位数为( )A ．1B ．2C ．8D ．911．已知变量a ，b 满足b ＝－12a 2＋3ln a (a ＞0)，若点Q (m ，n )在直线y ＝2x ＋12上，则(a －m )2＋(b －n )2的最小值为( )A.95B.355C ．9D ．3 12．已知双曲线C ：x 24－y 2b 2＝1(b >0)的一条渐近线方程为y ＝62x ，F 1、F 2分别为双曲线C 的左、右焦点，P 为双曲线C 上的一点，|PF 1|∶|PF 2|＝3∶1，则|PF 1→＋PF 2→|的值是( )A ．4B ．2 6C ．210D.6105第Ⅱ卷二、填空题：本题共4小题，每小题5分．13．某路公交车在6：30，7：00，7：30，准时发车，小明同学在6：50至7：30之间到达该车站乘车，且到达该车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率为________．14．已知在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 所对的边，A ＝π6，a ＝2，b ＝23，则△ABC 的面积S ＝________.15．如图所示，有三根针和套在一根针上的n 个金属片，按下列规则，把金属片从一根针上全部移到另一根针上．(1)每次只能移动一个金属片；(2)在每次移动的过程中，每根针上较大的金属片不能放在较小的金属片上面． 将n 个金属片从1号针移到3号针最少需要移动的次数记为f (n )，则f (n )＝________．16．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|lg x |，x >0，－x 2－2x ，x ≤0，若函数y ＝2[f (x )]2＋2bf (x )＋1有8个不同的零点，则实数b 的取值范围是________．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(本小题满分12分)设S n 是数列{a n }的前n 项和，已知a 1＝3，a n ＋1＝2S n ＋3(n ∈N *)． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)令b n ＝(2n －1)a n ，求数列{b n }的前n 项和T n .18．(本小题满分12分)某园林基地培育了一种新观赏植物，经过一年的生长发育，技术人员从中抽取了部分植株的高度(单位：厘米)作为样本(样本容量为n )进行统计，按照[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]的分组作出频率分布直方图，并作出样本高度的茎叶图(图中仅列出了高度在[50，60)，[90，100]的数据)．(1)求样本容量n和频率分布直方图中的x、y的值；(2)在选取的样本中，从高度在80厘米以上(含80厘米)的植株中随机抽取2株，求所抽取的2株中至少有一株高度在[90，100]内的概率．19.(本小题满分12分)在四棱锥P-ABCD中，∠ABC＝∠ACD＝90°，∠BAC＝∠CAD ＝60°，P A⊥平面ABCD，E为PD的中点，P A＝2AB＝2.(1)求证：CE∥平面P AB；(2)若F为PC的中点，求三棱锥F-AEC的体积．20．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝mx －mx ，g (x )＝3ln x .(1)当m ＝4时，求曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程；(2)若x ∈(1, e ](e 是自然对数的底数)时，不等式f (x )－g (x )<3恒成立，求实数m 的取值范围 .21．(本小题满分12分)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)与抛物线y 2＝－4x 有共同的焦点F 1，且两曲线在第二象限内的交点到F 1的距离是它到直线x ＝－4的距离的一半．(1)求椭圆C 的方程；(2)过椭圆右焦点F 2且垂直于x 轴的直线l 与椭圆交于点P (P 在第一象限)，以P 为圆心的圆与x 轴交于A ，B 两点，直线P A ，PB 与椭圆分别交于另一点M ，N ，求证：直线MN 的斜率为定值，并求出这个定值．请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分． 22．(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝102＋t cos αy ＝t sin α(t 为参数)，在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线M 的方程为ρ2(1＋sin 2 θ)＝1.(1)求曲线M 的直角坐标方程；(2)若直线l 与曲线M 只有一个公共点，求倾斜角α的值． 23．(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲 设函数f (x )＝|x －a |.(1)当a ＝2时，解不等式f (x )≥7－|x －1|；(2)若f (x )≤1的解集为[0，2]，1m ＋12n ＝a (m >0，n >0)，求证：m ＋4n ≥22＋3.答案及解析1．解析：选D.法一：令z ＝x ＋y i ，则(3－4i)(x ＋y i)＝(3x ＋4y )＋(3y －4x )i ＝25，得⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋4y ＝25，3y －4x ＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝4，故z ＝3＋4i ，故选D.法二：由已知可得z ＝253－4i ＝25（3＋4i ）9＋16＝3＋4i.2．解析：选C.由题意得，M ＝{x |－2≤x ≤4}，N ＝{x |x ≥1}，则M ∩N ＝{x |1≤x ≤4}． 3．解析：选D.通过图象可看出，2018年1月至4月的仓储指数比2017年同期波动性更大， 这两年的最大仓储指数都出现在4月份， 2018年全年仓储指数平均值明显低于2017年，所以选项A ，B ，C 的结论都正确；2018年各仓储指数的中位数与2017年各仓储指数中位数基本在52%，所以选项D 的结论错误．故选D.4．解析：选B.由已知条件可知，圆的半径为2，又直线被圆所截得的弦长为2，故圆心到直线的距离为3，即69＋a 2＝3，得a ＝ 3. 5．解析：选B.若“a ＞0或b ＞0”，则不一定有“a ＋b ＞0且ab ＞0”成立，如取a ＝1，b ＝－1，则a ＋b ＝0，且a b ＝－1；反之，若“a ＋b ＞0且ab ＞0”，则a ＞0且b ＞0，从而“a＞0或b ＞0”成立．综上，选B.6．解析：选B.由题意，不妨设a ＝(1，0)，b ＝⎝⎛⎭⎫－12，32，p ＝(x ，y )，因为p·a ＝p·b ＝12，所以⎩⎨⎧x ＝12，－12x ＋32y ＝12，解得⎩⎨⎧x ＝12，y ＝32，所以|p |＝x 2＋y 2＝1.7．解析：选D.f (x )＝1－2sin 2 x －a sin x ，令sin x ＝t ，t ∈⎝⎛⎭⎫12，1，则g (t )＝－2t 2－at ＋1，t ∈⎝⎛⎭⎫12，1，因为f (x )在⎝⎛⎭⎫π6，π2上单调递增，所以－a4≥1，即a ≤－4，故选D.8．解析：选B.由图得，SE ＝13，EF ＝6， AB ＝CD ＝4， SG ＝SE 2－EG 2 ＝13－9，可知半圆柱V 1＝4π×62＝12π，四棱锥V 2＝6×4×13－93＝16，该几何体的体积＝V 1＋V 2＝12π＋16. 答案选B.9．解析：选B.由题意可得f (x )＝x e－cos x，即f (x )＝x e cos x 为奇函数，排除A ，C ，f ′(x )＝(1－x sin x )e cos x ，显然存在x 0使得f ′(x 0)＝0，所以f (x )在(0，x 0)上单调递增，在(x 0，π)上单调递减．故选B.10．解析：选C.由a 23＋a 25＝32 400－2a 2a 6，得a 23＋2a 3a 5＋a 25＝32 400，即(a 3＋a 5)2＝32 400，又a n ＞0，所以a 3＋a 5＝180，从而a 1(q 2＋q 4)＝180，由S 4＝10S 2，得a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝10(a 1＋a 2)，即a 3＋a 4＝9(a 1＋a 2)，所以(a 1＋a 2)q 2＝9(a 1＋a 2)，所以q 2＝9，又q ＞0，所以q ＝3，代入a 1(q 2＋q 4)＝180，得a 1＝2，所以a 2 019＝2×32 018＝2×(34)504×32＝18×(81)504，故其个位数为8.11．解析：选A.由题意知，y ＝2x ＋12表示斜率为2的直线，变量a ，b 满足b ＝－12a 2＋3ln a ，设函数f (x )＝－12x 2＋3ln x ，则f ′(x )＝－x ＋3x ，设当切线斜率为2时，函数f (x )图象的切点的横坐标为x 0，则－x 0＋3x 0＝2，所以x 0＝1，此时切点坐标为⎝⎛⎭⎫1，－12，切点到直线y ＝2x ＋12的距离d ＝35，所以(a－m )2＋(b －n )2的最小值为d 2＝95.12．解析：选C.由渐近线方程得b a ＝62，又a ＝2，所以b ＝6，故c ＝10. 设|PF 1|＝3k ，|PF 2|＝k ，则由双曲线定义知3k －k ＝4，k ＝2， 所以|PF 1|＝6，|PF 2|＝2， 可判断∠F 1PF 2＝90°，所以以PF 1→、PF 2→为邻边的四边形为矩形， 所以|PF 1→＋PF 2→|＝210.13．解析：小明同学在6：50至7：30之间到达该车站乘车，总时长为40分钟，公交车在6：30，7：00，7：30准时发车，他等车时间不超过10分钟，则必须在6：50至7：00或7：20至7：30之间到达，时长为20分钟，则他等车时间不超过10分钟的概率P ＝2040＝12. 答案：1214．解析：由正弦定理得sin B ＝b sin A a ＝23×122＝32，所以B ＝π3或2π3.若B ＝π3，则C＝π－A －B ＝π2，此时 S ＝12ab ＝12×2×23＝2 3.若B ＝2π3，则C ＝π－A －B ＝π6，所以A ＝C ，此时c ＝a ＝2，所以S ＝12ac sin B ＝12×2×2×32＝ 3.所以S ＝23或 3.答案：23或 315．解析：n ＝1时，f (1)＝1；n ＝2时，小盘→2号针，大盘→3号针，小盘从2号针→3号针，完成，即f (2)＝3＝22－1；n ＝3时，小盘→3号针，中盘→2号针，小盘从3号针→2号针[用f (2)种方法把中、小两盘移到2号针，大盘→3号针；再用f (2)种方法把中、小两盘从2号针移到3号针，完成]，f (3)＝f (2)×2＋1＝3×2＋1＝7＝23－1， f (4)＝f (3)×2＋1＝7×2＋1＝15＝24－1， …以此类推，f (n )＝f (n －1)×2＋1＝2n －1. 故答案为：2n －1.答案：2n －1 16．解析：作出函数f (x )的图象如图所示，结合图象可知，若函数y ＝2[f (x )]2＋2bf (x )＋1有8个零点，则关于f (x )的一元二次方程2[f (x )]2＋2bf (x )＋1＝0在(0，1)上有2个不相等的实根．设t ＝f (x )，则方程转化为2t 2＋2bt ＋1＝0，设两个根分别为t 1，t 2，则由根与系数的关系知，⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4b 2－8>0，0<t 1，t 2<1， 即⎩⎪⎨⎪⎧b <－2或b >2，0<t 1＋t 2<2，0<（t 1－1）（t 2－1）<1，所以⎩⎪⎨⎪⎧b <－2或b >2，0<－b <2，0<12－（－b ）＋1<1，得－32<b <－ 2.答案：⎝⎛⎭⎫－32，－2 17．解：(1)当n ≥2时，由a n ＋1＝2S n ＋3，得a n ＝2S n －1＋3，两式相减，得a n ＋1－a n ＝2S n－2S n －1＝2a n ，所以a n ＋1＝3a n ，所以a n ＋1a n ＝3.当n ＝1时，a 1＝3，a 2＝2S 1＋3＝2a 1＋3＝9，则a 2a 1＝3.所以数列{a n }是以3为首项，3为公比的等比数列． 所以a n ＝3×3n －1＝3n .(2)由(1)得b n ＝(2n －1)a n ＝(2n －1)×3n .所以T n ＝1×3＋3×32＋5×33＋…＋(2n －1)×3n ，①3T n ＝1×32＋3×33＋5×34＋…＋(2n －1)×3n ＋1，②①－②得－2T n ＝1×3＋2×32＋2×33＋…＋2×3n －(2n －1)×3n ＋1＝3＋2×(32＋33＋ (3))－(2n －1)×3n ＋1＝3＋2×32（1－3n －1）1－3－(2n －1)×3n ＋1＝－6－(2n －2)×3n ＋1.所以T n ＝(n －1)×3n ＋1＋3.18．解：(1)由题意可知，样本容量n ＝80.016×10＝50，y ＝250×10＝0.004，x ＝0.100－0.004－0.010－0.016－0.040＝0.030.(2)由题意可知，高度在[80，90)内的株数为5，记这5株分别为a 1，a 2，a 3，a 4，a 5，高度在[90，100]内的株数为2，记这2株分别为b 1，b 2.抽取2株的所有情况有21种，分别为：(a 1，a 2)，(a 1，a 3)，(a 1，a 4)，(a 1，a 5)，(a 1，b 1)，(a 1，b 2)，(a 2，a 3)，(a 2，a 4)，(a 2，a 5)，(a 2，b 1)，(a 2，b 2)，(a 3，a 4)，(a 3，a 5)，(a 3，b 1)，(a 3，b 2)，(a 4，a 5)，(a 4，b 1)，(a 4，b 2)，(a 5，b 1)，(a 5，b 2)，(b 1，b 2)．其中2株的高度都不在[90，100]内的情况有10种，分别为：(a 1，a 2)，(a 1，a 3)，(a 1，a 4)，(a 1，a 5)，(a 2，a 3)，(a 2，a 4)，(a 2，a 5)，(a 3，a 4)，(a 3，a 5)，(a 4，a 5)．所以所抽取的2株中至少有一株高度在[90，100]内的概率P ＝1－1021＝1121.19．解：(1)证明：在Rt △ABC 中，AB ＝1，∠BAC ＝60°， 所以BC ＝3，AC ＝2.取AD 的中点M ，连接EM ，CM ，则EM ∥P A . 因为EM ⊄平面P AB ，P A ⊂平面P AB ， 所以EM ∥平面P AB .在Rt △ACD 中，∠CAD ＝60°，AC ＝2， 所以AD ＝4，AM ＝2＝AC ，所以∠ACM ＝60°.而∠BAC ＝60°，所以MC ∥AB . 因为MC ⊄平面P AB ，AB ⊂平面P AB ，所以MC ∥平面P AB . 因为EM ∩MC ＝M ，所以平面EMC ∥平面P AB . 因为CE ⊂平面EMC ，所以CE ∥平面P AB .(2)因为P A ＝AC ＝2，F 为PC 的中点，所以AF ⊥PC . 因为P A ⊥平面ABCD ，所以P A ⊥CD .因为AC ⊥CD ，P A ∩AC ＝A ，所以CD ⊥平面P AC .又EF ∥CD ，所以EF ⊥平面P AC ，即EF 为三棱锥E -AFC 的高．因为CD ＝23，所以EF ＝3，从而V E AFC ＝13×12×12AC ×P A ×EF ＝13×12×12×2×2×3＝33. 因为V E AFC ＝V F AEC ，所以V F AEC ＝33. 20．解：(1)当m ＝4时，f (x )＝4x －4x ，f ′(x )＝4＋4x 2，f ′(2)＝5，又f (2)＝6，所以所求切线方程为y ＝5x －4.(2)由题意知，x ∈(1， e ]时，mx －mx －3ln x <3恒成立，即m (x 2－1)<3x ＋3x ln x 恒成立，因为x ∈(1， e ]，所以x 2－1>0， 则m <3x ＋3x ln x x 2－1恒成立．令h (x )＝3x ＋3x ln xx 2－1，x ∈(1，e]，则m <h (x )min ，h ′(x )＝－3（x 2＋1）·ln x －6（x 2－1）2＝－3（x 2＋1）·ln x ＋6（x 2－1）2，因为x ∈(1， e ]，所以h ′(x )<0，即h (x )在(1， e ]上是减函数． 所以当x ∈(1， e ]时，h (x )min ＝h (e)＝9e2（e －1）.所以m 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫－∞，9e 2e －2.21．解：(1)如图，由题意知F 1(－1，0)，因而c ＝1，即a 2＝b 2＋1，又两曲线在第二象限内的交点Q (x Q ，y Q )到F 1的距离是它到直线x ＝－4的距离的一半，即4＋x Q ＝2(－x Q ＋1)，得x Q ＝－23，则y 2Q ＝83，代入到椭圆方程，得49a 2＋83b 2＝1.由⎩⎪⎨⎪⎧49a 2＋83b 2＝1，a 2＝b 2＋1，解得a 2＝4，b 2＝3， 所以所求椭圆的方程为x 24＋y 23＝1.(2)由题意知，直线MN 的斜率存在，设直线MN 的方程为y ＝kx ＋t ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋t ，x 24＋y 23＝1，得(3＋4k 2)x 2＋8ktx ＋4t 2－12＝0， 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－8kt 3＋4k 2，x 1x 2＝4t 2－123＋4k 2，由(1)知，右焦点F 2(1，0)，则P ⎝⎛⎭⎫1，32，由对称性知，直线P A ，PB 的倾斜角互补，即斜率存在且互为相反数，则32－y 11－x 1＋32－y 21－x 2＝0，即3－2kx 1－2t 2（1－x 1）＋3－2kx 2－2t2（1－x 2）＝0，整理得(2t －2k －3)(x 1＋x 2)＋4kx 1x 2＋6－4t ＝0， 即(2t －2k －3)×－8kt 3＋4k 2＋4k ×4t 2－123＋4k 2＋6－4t ＝0，即4k 2＋(4t －8)k ＋3－2t ＝0， (2k －1)(2t ＋2k －3)＝0， 得k ＝12或t ＝32－k .当t ＝32－k 时，直线MN 的方程为y ＝kx ＋32－k 恒过定点P ⎝⎛⎭⎫1，32，不符合题意， 因而k ＝12，即直线MN 的斜率为定值12.22．解：(1)因为ρ2(1＋sin 2 θ)＝ρ2＋(ρsin θ)2＝1，所以x 2＋y 2＋y 2＝1，即x 2＋2y 2＝1，此即为曲线M 的直角坐标方程．(2)将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝102＋t cos α，y ＝t sin α代入x 2＋2y 2＝1 得104＋10t cos α＋t 2cos 2α＋2t 2sin 2α＝1， 所以t 2(1＋sin 2α)＋10t cos α＋32＝0，因为直线l 与曲线M 只有一个公共点，所以Δ＝(10cos α)2－4×32×(1＋sin 2α)＝0，即sin 2 α＝14，sin α＝±12，又α∈[0，π)，所以α＝π6或5π6.23．解：(1)当a ＝2时，不等式为|x －2|＋|x －1|≥7，所以⎩⎪⎨⎪⎧x <1，2－x ＋1－x ≥7或⎩⎪⎨⎪⎧1≤x ≤2，2－x ＋x －1≥7或⎩⎪⎨⎪⎧x >2，x －2＋x －1≥7，解得x ≤－2或∅或x ≥5， 所以不等式的解集为(－∞，－2]∪[5，＋∞)．(2)证明：f (x )≤1即|x －a |≤1，解得a －1≤x ≤a ＋1，而f (x )≤1的解集是[0，2]，所以⎩⎪⎨⎪⎧a －1＝0，a ＋1＝2，解得a ＝1， 所以1m ＋12n＝1(m >0，n >0)，所以m ＋4n ＝(m ＋4n )⎝⎛⎭⎫1m ＋12n ＝3＋4n m ＋m2n ≥22＋3(当且仅当m ＝22n 时取等号)．。
2022年湖南省怀化市普通高校高职单招数学二模测试卷(含答案)
2022年湖南省怀化市普通高校高职单招数学二模测试卷(含答案)学校:________ 班级:________ 姓名:________ 考号:________一、单选题(20题)1.已知向量a=（1，3）与b=（x，9）共线，则实数x=（）A.2B.-2C.-3D.32.5人站成一排，甲、乙两人必须站两端的排法种数是（）A.6B.12C.24D.1203.A.B.C.4.下列函数中，既是偶函数又在区间（-∞，0)上单调递增的是（）A.f(x)=1/x2B.f(x）=x2+1C.f(x)=x3D.f(x)-2-x5.已知向量a（3，-1），b（1，-2），则他们的夹角是（）A.B.C.D.6.A.3个B.2个C.1个D.0个7.A.B.C.8.已知函数f(x)=sin(2x+3π/2)(x∈R)，下面结论错误的是（）A.函数f(x)的最小正周期为πB.函数f(x)是偶函数C.函数f(x)是图象关于直线x=π/4对称D.函数f(x)在区间[0，π/2]上是增函数9.函数y=lg(x+1)的定义域是（）A.(-∞,-1)B.(-∞,1)C.(-1，+∞)D.(1,-∞)10.A.B.C.D.11.在△ABC，A=60°，B=75°，a=10，则c=()A.B.C.D.12.A.B.C.D.13.A.1B.2C.3D.414.已知A是锐角，则2A是A.第一象限角B.第二象限角C.第一或第二象限角D.D小于180°的正角15.公比为2的等比数列{a n}的各项都是正数，且a3a11=16,则a5=()A.1B.2C.4D.816.直线L过（-1，2）且与直线2x-3y+5=0垂直，则L的方程是（）A.3x+2y-1=0B.3x+2y+7=0C.2x-3y+6=0D.2x-3y+8=017.下列函数中，是增函数，又是奇函数的是（〕A.y=B.y=1/xC.y=x2D.y=x1/318.三角函数y=sinx2的最小正周期是( )A.πB.0.5πC.2πD.4π19.若a<b<0，则下列结论正确的是( )A.a2<b2B.a3<b<b3</bC.|a|<|b|D.a/b<120.椭圆9x2+16y2=144短轴长等于（）A.3B.4C.6D.8二、填空题(20题)21.双曲线x2/4-y2/3=1的虚轴长为______.22.等比数列中，a2=3，a6=6，则a4=_____.23.24.25.某校有老师200名，男学生1200名，女学生1000名，现用分层抽样的方法从所有师生中抽取一个容量为240的样本，则从女生中抽取的人数为______.26.若事件A与事件互为对立事件，则_____.27.设A=(-2,3)，b=(-4,2)，则|a-b|= 。
湖南省怀化市高考数学二模试卷(文科)
湖南省怀化市高考数学二模试卷（文科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题： (共8题；共16分)1. （2分）(2017·揭阳模拟) 已知复数z= （其中i为虚数单位）的虚部与实部相等，则实数a的值为（）A . 1B .C . ﹣1D .2. （2分）若a，b为非零实数，且a＜b，则下列命题成立的是（）A .B . a2＜b2C . a2b＜ab2D . a3＜b33. （2分）下图是某算法的程序框图,则程序运行后输出的结果是（）A . 1B . 2C . 3D . 44. （2分）(2017·银川模拟) 《左传•僖公十四年》有记载：“皮之不存，毛将焉附？”这句话的意思是说皮都没有了，毛往哪里依附呢？比喻事物失去了借以生存的基础，就不能存在．皮之不存，毛将焉附？则“有毛”是“有皮”的（）条件．A . 充分条件B . 必要条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件5. （2分） (2019高三上·佳木斯月考) 若函数的图像向左平移（）个单位，所得的图像关于轴对称，则当最小时，（）A .B .C .D .6. （2分）某几何体的三视图如下，则几何体的表面积为（）。
A .B .C .D .7. （2分） (2018高一下·淮南期末) 若直线：经过圆：的圆心，则的最小值为（）A .B . 5C .D . 108. （2分） (2018高二上·长安期末) 甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩。
老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩。
看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩。
根据以上信息，则（）A . 乙可以知道四人的成绩B . 丁可以知道四人的成绩C . 乙、丁可以知道对方的成绩D . 乙、丁可以知道自己的成绩二、填空题： (共6题；共6分)9. （1分） (2019高一上·宜昌期中) 已知集合，，若，则实数的值为________．10. （1分） (2018高一上·上海期中) 已知，则的取值范围是________11. （1分） (2015高一下·正定开学考) 已知△ABC满足| |=3，| |=4，O是△ABC所在平面内一点，满足| |=| |=| |，且=λ + （λ∈R），则cos∠BAC=________．12. （1分） (2018高二上·湖南月考) 设定义域为的单调函数，对任意的，都有，若是方程的一个解，且，则实数________．13. （1分） (2016高二上·大庆期中) 设双曲线的一条渐近线与抛物线y=x2+1 只有一个公共点，则双曲线的离心率为________．14. （1分）(2018·安徽模拟) 若过点有两条直线与圆相切，则实数的取值范围是________．三、解答题： (共6题；共55分)15. （10分）(2020·泉州模拟) 中，的面积为 .（1）求（2）若为的中点，分别为边上的点（不包括端点），且，求面积的最小值.16. （10分） (2016高三上·成都期中) 已知公差不为0的等差数列{an}中，a1=2，且a2+1，a4+1，a8+1成等比数列．（1）求数列{an}通项公式；（2）设数列{bn}满足bn= ，求适合方程b1b2+b2b3+…+bnbn+1= 的正整数n的值．17. （10分）(2017·广州模拟) 已知某中学高三文科班学生共有800人参加了数学与地理的水平测试，学校决定利用随机数表法从中抽取100人进行成绩抽样调查，先将800人按001，002，…，800进行编号．（1）如果从第8行第7列的数开始向右读，请你依次写出最先检查的3个人的编号；（下面摘取了第7行到第9行）84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 7663 01 63 78 59 16 95 56 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 7933 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54（2）抽取的100人的数学与地理的水平测试成绩如下表：人数数学优秀良好及格地理优秀7205良好9186及格a4b成绩分为优秀、良好、及格三个等级；横向、纵向分别表示地理成绩与数学成绩，例如：表中数学成绩为良好的人数共有20+18+4=42．①若在该样本中，数学成绩优秀率是30%，求a，b的值；②在地理成绩及格的学生中，已知a≥11，b≥7，求数学成绩优秀人数比及格人数少的概率．18. （5分） (2018高二上·贺州月考) 如图，在三棱锥中，分别为的中点.（Ⅰ）求证：EF∥平面 ;（Ⅱ）若平面平面，且，º，求证：平面 .19. （10分） (2015高三上·石景山期末) 已知椭圆C：（a＞b＞0）的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形．（1）求椭圆C的标准方程；（2）设F为椭圆C的左焦点，M为直线x=﹣3上任意一点，过F作MF的垂线交椭圆C于点P，Q．证明：OM 经过线段PQ的中点N．（其中O为坐标原点）20. （10分） (2019高三上·安顺模拟) 已知函数 . （1）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围；（2）证明：， .参考答案一、选择题： (共8题；共16分)1、答案：略2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、二、填空题： (共6题；共6分)9-1、10-1、11-1、12-1、13-1、14-1、三、解答题： (共6题；共55分)15-1、15-2、16-1、16-2、17-1、17-2、18-1、19-1、19-2、20-1、20-2、。
2020年湖南省怀化市高考数学二模试卷2 (含答案解析)
2020年湖南省怀化市高考数学二模试卷2一、选择题（本大题共11小题，共55.0分）1.已知全集U=R，集合A={x|x2−x−6<0}，B={1,2，3，4}，则Venn图中阴影部分所表示的集合是()A. {1,2}B. {2,3}C. {3,4}D. {2,3，4}2.有关下列命题的说法正确的是()A. 命题“若x2=1，则x=1”的否命题为若“x2=1，则x≠1”B. “x=−1”是“x2−5x−6=0”的必要不充分条件C. 命题“∃x∈R，使得x2+x+1<0”的否定是“∀x∈R，均有x2+x+1<0”D. 命题“若x=y，则sin x=sin y”的逆否命题为真命题3.下列四个判断：①某校高三(1)班的人和高三(2)班的人数分别是m和n，某次测试数学平均分分别是a，b，则这两个班的数学平均分为a+b2；②对两个变量y和x进行回归分析，得到一组样本数据：(x1,y1)，(x2,y2)，…(x n,y n)，由样本数据得到回归方程∧y=∧bx+∧a必过样本点的中心(x,y)；③调查某单位职工健康状况，其青年人数为300，中年人数为150，老年人数为100，现考虑采用分层抽样，抽取容量为22的样本，则青年中应抽取的个体数为12；④频率分布直方图的某个小长方形的面积等于频数乘以组距．其中正确的有()A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个4.设正项等比数列{a n}的前n项和为S n，且a n+1a n <1，若a3+a5=10，a1⋅a7=16，则S4=()A. 60或152B. 60 C. 152D. 1205.设(2x−1)5=a0+a1(x−1)+a2(x−1)2+⋯+a5(x−1)5，则a0+a1+a2+⋯+a5的值为()A. 1B. −1C. 243D. −2436.已知向量a⃗，b⃗ 满足a⃗⋅b⃗ =1，|b⃗ |=2则(3a⃗−2b⃗ )⋅b⃗ =()A. 5B. −5C. 6D. −67.在区间[−12 ,12]上随机取一个数x，则cosπx的值介于√22与√32之间的概率为()A. 13B. 14C. 15D. 168. 已知x ，y 满足约束条件{x +y ⩾3x −y ⩾−12x −y ⩽3，若目标函数z =ax +by(a >0,b >0)的最大值为10，则5a+4b 的最小值为 ( ) A. 6 B. 8C. 4D. 109. 若函数f(x)=√3sin (ωx −π3)(ω>0)的最小正周期为π2，则f (π3)=( )A. 1B. 0C. √32D. √310. 已知三棱锥P −ABC 的四个顶点均在同一个球面上，底面△ABC 满足BA =BC =√6，∠ABC =90°，若该三棱锥体积的最大值为3，则其外接球的体积为 ( )A. 8πB. 16πC. 163π D. 323π11. 已知函数f (x )={x 2+1x ,x >1ln (x +a ),x ≤1的图象上存在关于直线x =1对称的不同两点，则实数a 的取值范围是( )A. (e 2−1,+∞)B. (e 2+1,+∞)C. (−∞,e 2−1)D. (−∞,e 2+1)二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）12. 若复数Z 1=1+i,Z 2=2−i(i 为虚数单位)，则Z 1Z 2的模为______． 13. 已知双曲线x 24−y 22=1右焦点为F ，P 为双曲线左支上一点，点A(0,√2)，则△APF 周长的最小值为________．14. 已知OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 是两个单位向量，且OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OB →=0.若点C 在∠AOB 内，且∠AOC =30°，OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =mOA →+nOB →(m,n ∈R)，则mn = ______ ．15. 如图所示的三角形数阵中，a ij 为第i 行第j 个数，若a mn =2017，则实数对(m,n)为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）16. 如图，在△ABC 中，已知点D 在边AB 上，AD =3DB ，cosA =45，cos∠ACB =513，BC =13．(1)求cos B的值；(2)求CD的长．17.如图，多面体ABCDB1C1为正三棱柱ABC−A1B1C1沿平面DB1C1切除部分所得，M为CB1的中点，且BC=BB1=2．(1)若D为AA1的中点，求证：AM//平面DB1C1．(2)若二面角D−B1C1−B的大小为π，求直线DB1与平面ACB1所成角的正弦值．318.某树苗培育基地为了解其基地内榕树树苗的长势情况，随机抽取了100株树苗，分别测出它们的高度(单位：cm)，并将所得数据分组，画出频率分布表如下：(2)估计该基地榕树树苗平均高度；(3)基地从上述100株榕树苗中高度在[108,112)范围内的树苗中随机选出5株进行育种研究，其中在[110,112)内的有X株，求X的分布列和期望．19.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)过点A(−√22,√32)，且短轴两个顶点与一个焦点恰好为直角三角形．(1)求椭圆C的标准方程；(2)是否存在以原点为圆心的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆C恒有两个交点P,Q，且OP⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥OQ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ？若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由．20.已知函数f(x)=lnx+ax+a(a为正实数)．(1)当a=1时，求f(x)的最小值；(2)若曲线f(x)=lnx+ax+a在点(1,f(1))处的切线方程为x+y−b=0，求a，b的值．21.在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为：{x=1+√7cosθy=√7sinθ(θ是参数)，以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．(Ⅰ)求曲线C的极坐标方程；(Ⅱ)已知直线l1：2ρsin(θ+π3)−√3=0，射线l2：θ=π3(ρ>0)与曲线C的交点为P，l2与直线l1的交点为Q，求线段PQ的长．22.设函数f(x)=|x−1|+2|x+1|(Ⅰ)解不等式f(x)≤4；(Ⅱ)当f(x)≤4时，|x+3|+|x+a|<x+6，求实数a的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：解：∵全集U =R ，集合A ={x|x 2−x −6<0}={x|−2<x <3}， B ={1,2，3，4}，C U A ={x|x ≤−2或x ≥3}，∴Venn 图中阴影部分所表示的集合是(C U A)∩B ={3,4}． 故选：C ．先求出集合A ，从崦求出C U A ，Venn 图中阴影部分所表示的集合是(C U A)∩B ，由此能求出结果． 本题考查集合的求法，考查交集、补集、维恩图等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．2.答案：D解析： 【分析】本题主要考查了命题的真假，全称命题的否定，充分必要条件的判定，属于基础题． 【解答】解：A.命题“若x 2=1，则x =1”的否命题为：“若x 2≠1，则x ≠1”，故错误； B .“x =−1”是“x 2−5x −6=0”的充分不必要条件，故错误；C .命题“∃x ∈R ，使得x 2+x +1<0”的否定是：“∀x ∈R ，均有x 2+x +1≥0”，故错误；D .命题“若x =y ，则sinx =siny ”的逆否命题为真命题，正确． 故选D ．3.答案：D解析：解：①某校高三(1)班的人和高三(2)班的人数分别是m 和n ，某次测试数学平均分分别是a ，b ，则这两个班的数学平均分为am+bn m+n，不一定等a+b 2，故错误；②对两个变量y 和x 进行回归分析，得到一组样本数据：(x 1,y 1)，(x 2,y 2)，…(x n ,y n )，由样本数据得到回归方程∧y =∧bx +∧a 必过样本点的中心(x,y)，故正确；③调查某单位职工健康状况，其青年人数为300，中年人数为150，老年人数为100，现考虑采用分层抽样，抽取容量为22的样本，则抽样比为：22300+150+100=125，故青年中应抽取的个体数为300×125=12，故正确；④频率分布直方图的某个小长方形的面积等于频数乘以组距，故正确． 故正确的命题的个数为3个， 故选：D求两个班的数学平均分可判断①；根据回归直线的几何特征，可判断②；根据分层抽样的方法，计算青年中抽取的个体数，可判断③；根据频率分布直方图中，频率的几何意义，可判断④． 本题考查的知识点是命题的真假判断与应用，此类题型往往综合较多的其它知识点，综合性强，难度中档．4.答案：B解析：【分析】本题考查了等比数列的通项公式，考查了等比数列的求和公式，属于一般题．由已知条件设出等比数列的公比，由a 3+a 5=10，a 1⋅a 7=16得{a 1q 2+a 1q 4=10a 1⋅a 1q 6=16，解出首项和公比即可求解．【解答】解：设正项等比数列{a n }的公比为q ， 由a 3+a 5=10，a 1⋅a 7=16得{a 1q 2+a 1q 4=10a 1⋅a 1q 6=16，解得{a 1=32q =12或{a 1=12,q =2, 因为a n+1a n<1，所以等比数列{a n }是递减数列， 所以{a 1=32q =12， 所以S 4=a 1(1−q 4)1−q=32×[1−(12)4]1−12=60，故选B ．5.答案：C解析：解：在(2x −1)5=a 0+a 1(x −1)+a 2(x −1)2+⋯+a 5(x −1)5， 令x =2可得，a 0+a 1+a 2+⋯+a 5=35=243； 故选：C ．根据题意，在(2x −1)5=a 0+a 1(x −1)+a 2(x −1)2+⋯+a 5(x −1)5，令x =2可得，a 0+a 1+。
湖南省怀化市2021届新高考数学二模考试卷含解析
湖南省怀化市2021届新高考数学二模考试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．甲、乙、丙三人相约晚上在某地会面，已知这三人都不会违约且无两人同时到达，则甲第一个到、丙第三个到的概率是（ ）A ．13B ．14C ．15D ．16【答案】D【解析】【分析】先判断是一个古典概型，列举出甲、乙、丙三人相约到达的基本事件种数，再得到甲第一个到、丙第三个到的基本事件的种数，利用古典概型的概率公式求解.【详解】甲、乙、丙三人相约到达的基本事件有甲乙丙，甲丙乙，乙甲丙，乙丙甲，丙甲乙，丙乙甲，共6种， 其中甲第一个到、丙第三个到有甲乙丙，共1种， 所以甲第一个到、丙第三个到的概率是16p =. 故选：D【点睛】本题主要考查古典概型的概率求法，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.2．若函数32()2()f x x mx x m R =-+∈在1x =处有极值，则()f x 在区间[0,2]上的最大值为（ ） A ．1427 B ．2 C ．1 D ．3【答案】B【解析】【分析】根据极值点处的导数为零先求出m 的值，然后再按照求函数在连续的闭区间上最值的求法计算即可.【详解】解：由已知得2()322f x x mx '=-+，(1)3220f m '∴=-+=，52m ∴=，经检验满足题意. 325()22f x x x x ∴=-+，2()352f x x x '=-+. 由()0f x '<得213x <<；由()0f x '>得23x <或1x >. 所以函数()f x 在20,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上递增，在2,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦上递减，在[1,2]上递增.则214()327f x f ⎛⎫== ⎪⎝⎭极大值，(2)2f =， 由于(2)()f f x >极大值，所以()f x 在区间[0,2]上的最大值为2.故选：B.【点睛】本题考查了导数极值的性质以及利用导数求函数在连续的闭区间上的最值问题的基本思路，属于中档题．3．在ABC ∆中，0OA OB OC ++=，2AE EB =，AB AC λ=，若9AB AC AO EC ⋅=⋅，则实数λ=( )A B ．C D 【答案】D【解析】【分析】 将AO 、EC 用AB 、AC 表示，再代入9AB AC AO EC ⋅=⋅中计算即可.【详解】由0OA OB OC ++=，知O 为ABC ∆的重心，所以211()323AO AB AC =⨯+=()AB AC +，又2AE EB =， 所以23EC AC AE AC AB =-=-，93()AO EC AB AC ⋅=+⋅2()3AC AB -2223AB AC AB AC AB AC =⋅-+=⋅，所以2223AB AC =，||322||AB AC λ===. 故选：D【点睛】 本题考查平面向量基本定理的应用，涉及到向量的线性运算，是一道中档题.4．已知定义在R 上的奇函数()f x 满足()()11f x f x +=-，且当[]0,1x ∈时，()2xf x m =-，则()2019f =（ ）A ．1B ．-1C ．2D ．-2【答案】B【解析】【分析】根据f （x ）是R 上的奇函数，并且f （x+1）=f （1-x ），便可推出f （x+4）=f （x ），即f （x ）的周期为4，而由x ∈[0，1]时，f （x ）=2x -m 及f （x ）是奇函数，即可得出f （0）=1-m=0，从而求得m=1，这样便可得出f （2019）=f （-1）=-f （1）=-1．【详解】∵()f x 是定义在R 上的奇函数，且()()11f x f x +=-；∴(2)()()f x f x f x +=-=-；∴(4)()f x f x +=；∴()f x 的周期为4；∵[0,1]x ∈时，()2x f x m =-；∴由奇函数性质可得(0)10f m =-=；∴1m =；∴[0,1]x ∈时，()21x f x =-；∴(2019)(15054)(1)(1)1f f f f =-+⨯=-=-=-.故选：B.【点睛】本题考查利用函数的奇偶性和周期性求值，此类问题一般根据条件先推导出周期，利用函数的周期变换来求解，考查理解能力和计算能力，属于中等题.5．总体由编号为01，02，...，39，40的40个个体组成.利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表（如表）第1行的第4列和第5列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为（ ）A ．23B ．21C ．35D ．32【答案】B【解析】【分析】 根据随机数表法的抽样方法，确定选出来的第5个个体的编号.【详解】随机数表第1行的第4列和第5列数字为4和6，所以从这两个数字开始，由左向右依次选取两个数字如下46，64，42，16，60，65，80，56，26，16，55，43，50，24，23，54，89，63，21，…其中落在编号01，02，…，39，40内的有：16，26，16，24，23，21，…依次不重复的第5个编号为21.故选：B【点睛】本小题主要考查随机数表法进行抽样，属于基础题.6．已知函数ln(1),0 ()11,02x xf xx x+>⎧⎪=⎨+≤⎪⎩，若m n<,且()()f m f n=，则n m-的取值范围为（）A．[32ln2,2)-B．[32ln2,2]-C．[1,2)e-D．[1,2]e-【答案】A【解析】分析：作出函数()f x的图象，利用消元法转化为关于n的函数，构造函数求得函数的导数，利用导数研究函数的单调性与最值，即可得到结论.详解：作出函数()f x的图象，如图所示，若m n<，且()()f m f n=，则当ln(1)1x+=时，得1x e+=，即1x e=-，则满足01,20n e m<<--<≤，则1ln(1)12n m+=+，即ln(1)2m n=+-，则22ln(1)n m n n-=+-+，设()22ln(1),01h n n n n e=+-+<≤-，则()21111nh nn n-=+=++'，当()0h n'>，解得11n e<≤-，当()0h n'<，解得01n<<，当1n=时，函数()h n取得最小值()1122ln(11)32ln2h=+-+=-，当0n=时，()022ln12h=-=；当1n e=-时，()1122ln(11)12h e e e e-=-+--+=-<，所以32ln2()2h n-<<，即n m-的取值范围是[32ln2,2)-，故选A.点睛：本题主要考查了分段函数的应用，构造新函数，求解新函数的导数，利用导数研究新函数的单调性和最值是解答本题的关键，着重考查了转化与化归的数学思想方法，以及分析问题和解答问题的能力，试题有一定的难度，属于中档试题.7．已知排球发球考试规则：每位考生最多可发球三次，若发球成功，则停止发球，否则一直发到3次结束为止．某考生一次发球成功的概率为()01p p <<，发球次数为X ，若X 的数学期望() 1.75E X >，则p 的取值范围为( )A ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．70,12⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．7,112⎛⎫ ⎪⎝⎭ 【答案】A【解析】【分析】根据题意，分别求出()()()123P X P X P X ===，，，再根据离散型随机变量期望公式进行求解即可【详解】由题可知()1P X p ==，()()21P X p p ==-，()()()()2323111P X p p p p ==-+-=-，则()()()()()()21232131 1.75E X P X P X P X p p p p =====+-+->+2+3解得5122p p ><或，由()0,1p ∈可得10,2p ⎛∈⎫ ⎪⎝⎭， 答案选A【点睛】本题考查离散型随机变量期望的求解，易错点为第三次发球分为两种情况：三次都不成功、第三次成功 8．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1AB AC ==，12BC AA ==，点,E O 分别是线段1,C C BC 的中点，1113A F A A =，分别记二面角1F OB E --，1F OE B --，1F EB O --的平面角为,,αβγ，则下列结论正确的是（ ）A ．γβα>>B ．αβγ>>C ．αγβ>>D ．γαβ>>【答案】D【解析】【分析】过点C 作//Cy AB ，以C 为原点，CA 为x 轴，Cy 为y 轴，1CC 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法求解二面角的余弦值得答案．【详解】解：因为1AB AC ==，12BC AA ==，所以222AB AC BC +=，即AB AC ⊥ 过点C 作//Cy AB ，以C 为原点，CA 为x 轴，Cy 为y 轴，1CC 为z 轴，建立空间直角坐标系， 则(1F ，0，22)，1(2O ，12，0)，(0E ，0，2)，1(1B ，1，2)， 111(,,2)22OB =，112(,,)22OE =--， 1122(,,)22OF =-，12(1,1,)EB =，2(1,0,)EF =， 设平面1OB E 的法向量(),,m x y z =，则111·2022112·0222m OB x y z m OE x y z ⎧=++=⎪⎪⎨⎪=--+=⎪⎩，取1x =，得()1,1,0m →=-， 同理可求平面1OB F 的法向量(52,2,3)n =--，平面OEF 的法向量272(,,3)p =-，平面1EFB 的法向量2(,2,3)2q =--． ∴461cos ||||m n m n α==，434cos 34||||m p m p β==，46cos 46||||m q m q γ==． γαβ∴>>．故选：D ．【点睛】本题考查二面角的大小的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．9．运行如图所示的程序框图，若输出的i 的值为99，则判断框中可以填（ ）A ．1S ≥B ．2S >C ．lg99S >D ．lg98S ≥【答案】C【解析】【分析】 模拟执行程序框图，即可容易求得结果.【详解】运行该程序：第一次，1i =，lg 2S =；第二次，2i =，3lg 2lglg32S =+=； 第三次，3i =，4lg3lg lg 43S =+=， …；第九十八次，98i =，99lg98lglg9998S =+=； 第九十九次，99i =，100lg99lg lg100299S =+==， 此时要输出i 的值为99.此时299S lg =>.故选：C.【点睛】本题考查算法与程序框图，考查推理论证能力以及化归转化思想，涉及判断条件的选择，属基础题.10．已知直线1l ：x my =（0m ≠）与抛物线C ：24y x =交于O （坐标原点），A 两点，直线2l ：x my m=+与抛物线C 交于B ，D 两点.若||3||BD OA =，则实数m 的值为（ ）A ．14B ．15C ．13D ．18【答案】D【解析】【分析】设()11,B x y ，()22,D x y ，联立直线与抛物线方程，消去x 、列出韦达定理，再由直线x my =与抛物线的交点求出A 点坐标，最后根据||3||BD OA =，得到方程，即可求出参数的值；【详解】解：设()11,B x y ，()22,D x y ，由24x my m y x=+⎧⎨=⎩，得2440y my m --=， ∵216160m m ∆=+>，解得1m <-或0m >，∴124y y m +=，124y y m =-.又由24x my y x=⎧⎨=⎩，得240y my -=，∴0y =或4y m =，∴()24,4A m m ， ∵||3||BD OA =，∴)()()224212(191616m y y m m +-=+， 又∵()()22212121241616y y y y y y m m -=+-=+， ∴代入解得18m =. 故选：D【点睛】本题考查直线与抛物线的综合应用，弦长公式的应用，属于中档题.11．已知向量()1,2a =-，(),1b x x =-，若()2//b a a -，则x =（ ）A ．13B ．23C ．1D ．3【答案】A【解析】【分析】利用平面向量平行的坐标条件得到参数x 的值.【详解】由题意得，()22,5b a x x -=+-，()2//b a a -，()2250x x ∴++-=，解得13x =. 故选A. 【点睛】 本题考查向量平行定理，考查向量的坐标运算，属于基础题.12．1777年，法国科学家蒲丰在宴请客人时，在地上铺了一张白纸，上面画着一条条等距离的平行线，而他给每个客人发许多等质量的，长度等于相邻两平行线距离的一半的针，让他们随意投放.事后，蒲丰对针落地的位置进行统计，发现共投针2212枚，与直线相交的有704枚.根据这次统计数据，若客人随意向这张白纸上投放一根这样的针，则针落地后与直线相交的概率约为（ ）A ．12πB ．3πC ．2πD ．1π【答案】D【解析】【分析】根据统计数据，求出频率，用以估计概率.【详解】70412212π≈. 故选:D.【点睛】本题以数学文化为背景，考查利用频率估计概率，属于基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
湖南省怀化市2020年5月高三(二模)考试文科数学试题(含答案)
A B C ME D怀化市高三第二次模拟考试(2020年5月)文科数学 参考答案及评分细则一、选择题二、填空题13．2y x =； 14．2； 15．85-； 16．3． 三、解答题17解：⑴设数列{}n a 的首项是1a ，公差是d ，则1111131131151048828a d a d a d a d a d +=+=⎧⎧⇒⎨⎨+=+++=⎩⎩， …………………3分 解得12,3a d ==，…………………5分所以 31n a n =-．…………………6分⑵ 由⑴得 3c o s n b n nπ=，…………………7分 20203cos 6cos 29cos312cos 46060cos 2020T πππππ=+++++ …………………8分 3691260576060=-+-+--+ …………………10分 10103333030=+++个＝ …………………12分18证明：⑴由已知 222DC DE EC +=，得DC DE ⊥ …………1分又AD CD ⊥，DA DE D =，所以 CD ⊥平面ADE ， …………………2分 又 AE ⊂平面ADE ，所以 CD AE ⊥，…………3分 又 DA DE =，M 是EA 的中点， 所以 DM AE ⊥， …………………4分A B M E D又 DM DC D =，所以 AE ⊥平面MCD ．…………………6分⑵ 方法一：由222DA DE EA +=得DE DA ⊥，…………………7分⑴中已证DE DC ⊥，又DADC D =，所以 DE ⊥平面ABCD ，…………………8分 设AB x =，则1(2)222ABCD S x x =+⨯=+，12(2)2(2)33E ABCD V x x -=+⨯=+，………9分 由M 是EA 的中点，得11(2)1(2)33M ABCD V x x -=+⨯=+，………………10分⑴中已证DM AE⊥，CD ⊥平面ADE ，所以1122323C MDE V -=⨯=， 所以 2121(2)(2)3333M B C E E A B C D M A B C D C M D E V V V V x x ----=--=+-+-=，………………11分 即 (2)21x +-=，解得 1x =，故 底棱1AB =．………………12分方法二：如图2，连AC ，由222DA DE EA +=得DE DA ⊥，…………7分⑴中已证DE DC ⊥，又DADC D =， 所以 DE ⊥平面ABCD ，…………………8分 设AB x =，由//CD AB 得 12ABC S AB AD x ∆=⋅=， 又 M 是EA 的中点，所以 12M ABC E ABC V V --=，…………………10分 所以 111122233M B C E E B C M E A B C V V V x ---===⨯⨯=，………………11分 得1x =，故 底棱1AB =．………………12分19解：⑴ 由已知1c =，12c e a ==，所以2a =，b =2分 所以椭圆C 的标准方程22143x y +=．………………4分 ⑵ 由已知切线l 的斜率存在，设其方程为y kx t =+，联立方程22143y kx t x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得222(34)84120k x ktx t +++-=，………………5分 由相切得 222(8)4(34)(412)0kt k t ∆=-+-=，化简得 2234t k =+， ………………6分又圆心O 到切线l的距离d =||MN = ………………7分 所以1||2OMN S MN d ∆=== ………………8分 把 2234t k =+ 代入得OMN S ∆= ………………9分 记 21u k =+，则 1u ≥，101u<≤，………………10分 所以OMN S ∆===11分 所以，11u=时，OMN ∆．………………12分 方法二：由已知切线l 的斜率存在，设其方程为y kx t =+， 联立方程22143y kx t x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得222(34)84120k x ktx t +++-=，………………5分 由相切得 222(8)4(34)(412)0kt k t ∆=-+-=，化简得 2234t k =+，即2234t k -=，………6分 把y kx t =+代入22:4O x y +=得 222(1)240k x ktx t +++-=，设1122(,),(,)M x y N x y ，则212122224,11kt t x x x x k k -+=-=++， ……………7分所以1211|||||||22OMN S t x x t t ∆=-==== ……………9分 因为22304t k -=≥，所以23t ≥，而221+y t t =在[3,)+∞上单调递增，1103+=33y ≥，……10分所以OMN S ∆=≤2=3t 即=0k 时取“＝”号，……………11分 故 OMN ∆的面积有最大值．……………12分20解：⑴因为110x ≤≤时，0.1y x =单调递增，10x >时，10x y e -=单调递减，所以10x =时，y 达到峰值，由 100.2x e -< 得110ln 0.2ln ln 5 1.615x -<==-≈-，所以11.61x >，……………1分 故 估计从第12天开始，志愿者身体内的IgM 含量水平低于0.2miu/ ml ．……………2分 ⑵①由已知，4t =，721()28i i t t =-=∑，……………3分所以7()()22.990.9623.85i it t u u r --===≈≈∑，……………4分 因为0.75r >，所以，可以用线性回归模型拟合u 与t 的关系．……………5分②剔除第4组数据(4,4.85)后，4t =，411(70.60ln )(70.6 1.58)0.4466u z =⨯-=⨯-≈，………6分 622222221123567124i i t==+++++=∑，……………7分 64139.874ln 39.874 1.5833.55i i i t uz ==-=-⨯=∑，……………8分61622133.55640.4422.99ˆ8212461660i ii i i t u ntu b tnt ==--⨯⨯=≈-⨯-∑∑==0.，……………9分 ˆˆ0.440.384 2.84au bt =-=-⨯=-，……………10分 所以，ˆˆln 0.82 2.84u z t ==-，即回归方程为 0.82 2.84ˆt z e -=， ……………11分当t 4=时，0.824 2.840.44ˆ 1.55ze e ⨯-==≈， 估计第4天时，该志愿者人体中IgG 的含量水平为/1.55()miu ml ．……………12分21解：⑴因为()cos f x k x '=+，……………1分 由题意，5,36x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()cos 0f x k x '=+≥恒成立，即 cos k x ≥-，……………2分而5,36x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，1cos ,22x ⎛⎫∈- ⎪ ⎪⎝⎭，……………3分所以，2k ≥．……………4分 ⑵ 1k ＝时，()cos f x ax x ≥即sin cos x x ax x +≥，因为0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以cos 0,sin 0x x ≥≥， ①当0a ≤时，sin cos x x ax x +≥显然成立，……………5分 ②当0a >时，记()sin cos g x x x ax x =+-，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则要原不等式成立，只要()0g x ≥． ()1cos cos sin 1(1)cos sin g x x a x ax x a x ax x '=+-+=+-+，……………6分若01a <≤，则()0g x '>，()g x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上递增，即有()(0)0g x g ≥=，原不等式成立，……………7分若12a <≤，则1(1)cos 0,sin 0a x ax x +-≥≥，即()0g x '>，同理原不等式成立，……8分若2a >，记()1(1)cos sin h x a x ax x =+-+，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则 ()(1)sin sin cos (21)sin cos 0h x a x a x a x a x a x '=-++=-+>，即()h x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上递增，……………9分 又(0)20h a =-<，1022a h ππ⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，即(0)0g '<，02g π⎛⎫'> ⎪⎝⎭ 所以00,2x π⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦，使0[0,)x x ∈时，()0g x '≤，即()g x 在区间0[0,)x 上递减，………10分 有 ()(0)0g x g ≤=，()0g x ≥不恒成立，……………11分综上所述，a 的取值范围为2a ≤．……………12分方法二：1k ＝时，()cos f x ax x ≥即sin cos x x ax x +≥，因为0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， ①当0x =或2x π=时，sin cos x x ax x +≥显然成立，……………5分 ②当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，则cos 0x x >， 要sin cos x x ax x +≥恒成立，只要sin cos x x a x x+≤恒成立，……………6分 记sin ()cos x x F x x x +=，0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则()22sin sin cos ()cos x x x x x F x x x +-'=，……………7分 记2()sin sin cos G x x x x x x =+-，0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则 222222()12sin cos cos sin 1cos 2sin cos sin G x x x x x x x x x x x x x '=++-+=-+++……………8分因为 0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以 2221cos 0,2sin cos sin 0x x x x x x ->++>， 即()0G x '>，()G x 在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上递增，所以()(0)0G x G >=， ……………9分 即()0F x '>，()F x 在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上也是递增的，……………10分 由洛必达法则 ()000sin 1cos lim lim lim 2cos cos sin x x x x x x F x x x x x x→→→++===-，……………11分 所以 a 的取值范围为2a ≤． ……………12分22解：⑴ 在直线l 的极坐标方程中令ρ得c o s 14πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以4πθ=，……………2分点M 的极坐标为4π⎫⎪⎭．……………3分 ⑵ 把⊙C 的方程化为普通方程得 22(1)+(2)=4x y --，圆心(1,2)C ，……………4分把直线l 的方程化为直角坐标方程得 2x y +-=0，所以点O 到直线l 的距离为d……………5分把直线l 的方程化为参数方程得,2x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，代入⊙C 的普通方程得23=0t -，设,A B 两点分别对应参数12,t t，则12123t t t t +==-， ……………7分所以12||||AB t t =-==，……………9分所以1||2OAB S AB d ∆==10分 23解：⑴由已知得3=2++22ab a b ≥，所以2320≥--，………2分 得≥2ab ≥，当且仅当2=2a b ab ⎧⎨=⎩即=1,=2a b 时取“=”号，………4分 故 ab 的最小值是2． ……………5分 ⑵ 由⑴问题等价于 |||2|2x m x -+-≤有解，……………7分 只要()min |||2|2x m x -+-≤，……………8分因为()min |||2||2|x m x m -+-=-，……………9分所以只要|2|2m -≤，得04m ≤≤．……………10分。
湖南省怀化市2024年数学(高考)部编版第二次模拟(提分卷)模拟试卷
湖南省怀化市2024年数学（高考）部编版第二次模拟(提分卷)模拟试卷一、单项选择题（本题包含8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）(共8题)第(1)题已知，，，点在内，且与的夹角为，设，则的值为A．2B．C．3D．4第(2)题直线与平行，则实数（）A．B．C．或D．0第(3)题的导函数满足：当时，，则A．B．C．D．第(4)题已知函数，，则下列命题不正确的是（）A ．有且只有一个极值点B．在上单调递增C．存在实数，使得D．有最小值第(5)题已知球是正三棱锥（底面为正三角形，顶点在底面的射影为底面中心）的外接球，，，点在线段上，且，过点作球的截面，则所得截面圆面积的取值范围是A．B．C．D．第(6)题将六位数“”重新排列后得到不同的六位偶数的个数为（）A．B．C．216D．第(7)题已知球的半径为2，四棱锥的顶点均在球的球面上，面，则该四棱锥的体积的最大值为（）A．B．4C．D．8第(8)题如图，过抛物线的焦点的直线与抛物线交于，两点，与抛物线准线交于点，若是的中点，则A．B．C．D．二、多项选择题（本题包含3小题，每小题6分，共18分。
在每小题给出的四个选项中，至少有两个选项正确。
全部选对的得6分，选对但不全的得3分，有选错或不答的得0分） (共3题)第(1)题定义在上的函数满足，且在上是增函数，给出下列真命题的有（）A．是周期函数；B．的图象关于直线对称；C．在上是减函数；D．.第(2)题如图，点A，B，C，M，N是正方体的顶点或所在棱的中点，则满足MN∥平面ABC的有（）A．B．C．D．第(3)题定义在上的奇函数满足，当时，（为自然对数的底数），则下列结论正确的有（）A．B．C．不是周期函数D．函数的图象关于点对称三、填空（本题包含3个小题，每小题5分，共15分。
请按题目要求作答，并将答案填写在答题纸上对应位置） (共3题)第(1)题已知函数的部分图象如图所示，则时，函数的值域为___________.第(2)题已知不是常数函数，且满足：.①请写出函数的一个解析式_________；②将你写出的解析式得到新的函数，若，则实数a的值为_________.第(3)题如图，在四面体中，，，，分别是的中点若用一个与直线垂直，且与四面体的每个面都相交的平面去截该四面体，由此得到一个多边形截面，则该多边形截面面积的最大值为______.四、解答题（本题包含5小题，共77分。
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湖南省怀化市高考数学二模试卷（文科）
姓名:________ 班级:________ 成绩:________
一、选择题 (共12题；共24分)
1. （2分） (2019高二下·赣县期中) 若复数满足（为虚数单位），则等于（）
A . 1
B . 2
C .
D .
2. （2分）已知集合U={1,2,3,4,5,6,7},A={2,4,5,7},B={3,4,5}则（）
A . {1,6}
B . {4,5}
C . {2,3,7}
D . {2,3,4,5,7}
3. （2分）在两个袋内,分别写着装有1,2,3,4,5,6六个数字的6张卡片,今从每个袋中各取一张卡片,则两数之和等于9的概率为（）
A .
B .
C .
D .
4. （2分）数列的通项公式为，当该数列的前n项和达到最小时，n等于（）
A . 24
B . 25
C . 26
D . 27
5. （2分）抛物线C1：的焦点与双曲线C2：的右焦点的连线交C1于第一象限的点M．若C1在点M处的切线平行于C2的一条渐近线，则p=（）
A .
B .
C .
D .
6. （2分）椭圆的焦距为2，则m的值等于（）
A . 5或3
B . 8
C . 5
D . 或
7. （2分） (2019高一上·河南月考) 《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，系统地总结了战国、秦、汉时期的数学成就.书中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为“阳马”，若某“阳马”的三视图如图所示（单位：），则该阳马的外接球的表面积为（）
A .
B .
C .
D .
8. （2分） (2017高三上·綦江期末) 秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法，如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入n，x的值分别为4，3，则输出v的值为（）
A . 20
B . 61
C . 183
D . 548
9. （2分）已知，函数在上单调递减，则的取值范围是（）
A .
B .
C .
D .
10. （2分） (2020高二下·河南月考) 函数的极大植与极小值分别为（）
A . 极小值为0，极大值为
B . 极大值为，无极小值
C . 极小值为，极大值为0
D . 极小值为，无极大值
11. （2分）已知四棱锥P-ABCD的三视图如图，则四棱锥P-ABCD的全面积为（）
A .
B .
C . 5
D . 4
12. （2分）已知函数f（x）=是（﹣∞，+∞）上的减函数，那么a的取值范围是（）
A . （0，3）
B . （0，3]
C . （0，2）
D . （0，2]
二、填空题 (共4题；共4分)
13. （1分） (2019高二上·上海月考) 如图在平行四边形中，已知，，，
，则的值是________.
14. （1分） (2019高三上·上海月考) 已知实数，满足约束条件，则的最大值________．
15. （1分） (2016高一下·岳池期末) 如果一个实数数列{an}满足条件：（d为常数，n∈N*），则称这一数列“伪等差数列”，d称为“伪公差”．给出下列关于某个伪等差数列{an}的结论：①对于任意的首项a1 ，若d＜0，则这一数列必为有穷数列；②当d＞0，a1＞0时，这一数列必为单调递增数列；③这一数列可以是一个周期数列；④若这一数列的首项为1，伪公差为3，- 可以是这一数列中的一项；n∈N*⑤若这一数列的首项为0，第三项为﹣1，则这一数列的伪公差可以是．其中正确的结论是________．
16. （1分）(2018·淮南模拟) 已知点是抛物线的对称轴与准线的交点，点是抛物线焦点，点在抛物线上，且满足，当取最大值时，点恰好在以为焦点的双曲线上，则该双曲线的离心率为________．
三、解答题 (共7题；共60分)
17. （5分） (2016高二上·枣阳开学考) 设△ABC的内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，cos（A﹣C）+cosB=
，b2=ac，求B．
18. （10分） (2018高一下·安庆期末) 如图，△ 内接于圆，是圆的直径，四边形
为平行四边形，平面， .
（1）求证：⊥平面；
（2）设，表示三棱锥的体积，求函数的解析式及最大值.
19. （10分）鹤岗市教育局为调查在校中学生每天放学后的自学时间情况，在本市的所有中学生中随机抽取了名学生进行调查，现将日均自学时间小于小时的学生称为“自学不足”者根据调查结果统计后，得到如下列联表，已知在调查对象中随机抽取人，为“自学不足”的概率为．
非自学不足自学不足合计
配有智能手机
没有智能手机
合计
附表及公式: ，其中
（1）请完成上面的列联表；
（2）根据列联表的数据，能否有的把握认为“自学不足”与“配在智能手机”有关？
20. （10分） (2016高二上·绵阳期中) 顶点在原点，焦点在x轴正半轴的抛物线，经过点（3，6），
（1）求抛物线截直线y=2x﹣6所得的弦长．
（2）讨论直线y=kx+1与抛物线的位置关系，并求出相应的k的取值范围．
21. （10分）设函数 .
（1）当时，证明：，；
（2）若，都成立，求实数的取值范围.
22. （10分）在极坐标系中，已知三点O（0，0），A（2，），B（2 ，）．
（1）求经过O，A，B的圆C1的极坐标方程；
（2）以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，圆C2的参数方程为（θ是参数），若圆C1与圆C2外切，求实数a的值．
23. （5分）(2017·鄂尔多斯模拟) 已知a，b，c∈R，a2+b2+c2=1．
（Ⅰ）求证：|a+b+c|≤ ；
（Ⅱ）若不等式|x﹣1|+|x+1|≥（a+b+c）2对一切实数a，b，c恒成立，求实数x的取值范围．
参考答案一、选择题 (共12题；共24分)
1-1、
2-1、
3-1、
4-1、
5-1、
6-1、
7-1、
8-1、
9-1、
10-1、
11-1、
12-1、
二、填空题 (共4题；共4分)
13-1、
14-1、
15-1、
16-1、
三、解答题 (共7题；共60分)
17-1、
18-1、
18-2、
19-1、19-2、
20-1、
20-2、
21-1、
21-2、
22-1、22-2、
23-1、。