2.2平面汇交力系的平衡
理论力学2.2、平面任意力系的合成与平衡
m F1 OA F2 OB F1 ( OA OB ) F1 AB
3
力 线 作用在刚体上的力可以离开其作用线而平 平 行移动到刚体上任意位置处,但必须对刚体 移 附加一个力偶,附加力偶的力偶矩等于原力 定 对平移后所得新力作用点的力矩。 理
求细绳的拉力和A、B两处的支持力。
解、研究对象：AB，受力 如图所示，则有：
Fix Fiy mD
0 0
(Fi )
0
FB FD G FA c
FA
os
sin 0
FB
BD
G
AB 2
0 sin
FA
AD
0
FA 115.5(N) FB 72.2(N ) FD 129.9(N) 12
例2.2-6、匀质细杆AB长度为L，重量为mg，静 止在半径为r的光滑半圆槽内（图2.2-17），
L=3r；求AB杆与水平线之间的夹角
解、研究对象:AB杆,受力如 图所示,则有:
Fix 0 Fiy 0 mO (Fi ) 0
FB FB
cos(2 ) FD sin sin(2 ) FD cos
d mO 2402 3.39(m) FR 709 .5
xE
d
sin
3.39 sin 70.8
3.59(m)
y yE tan 70.8 (x xE ) y 2.87x 10.31 0
10
课堂练习题(图示)：
第二章--平面汇交力系
B
C
a
A
D
RA
RD
2．画力三角形。因为力系平衡所以力三角形 自行封闭,力的箭头首尾相接。如果不能满足 首尾相接的条件，说明原来假设的力的方向
有误，则应把受力图中力的指向改正过来
[力三角形见图] P
B
C
A
D
RA
RD
2．画力三角形。因为力系平衡所以力三角形 自行封闭,力的箭头首尾相接。如果不能满足 首尾相接的条件，说明原来假设的力的方向 有误，则应把受力图中力的指向改正过来 [力三角形见图]
力的多边形 自行封闭．
必要充分条件
设刚体上作用一平面汇交力系(图)。现按 力的多边形法则合成:
F4
F3
F1 F2
若第一个力的起点与最后一个力的终点恰好 互相连接而构成一个自行封闭的力多边形， 即表示力系的合力 R 等于零，则此力系为 平衡力系.
例 刚体上作用一平面汇交力系,五个力大小
相等,彼此夹72°角
cos RX
R
4170
0.834
5000
Y RX O
Rα
X
RY
RX = ∑FX = - 4170N
RY = ∑FY = - 2750N
R 5000N
由于RX和RX都是负值， 所以合力只应在第三象限 α = 33.5 °
2.2平面汇交力系的平衡条件 及应用
1 平衡的几何条件:
要使平面汇交力 系成为平衡力系，
②求分力在坐标轴上的代数和:
RX = ∑FX RY = ∑FY
③合力的大小和方向用 R, 角度 α, β 表示 Y
RY β R
α
RX
X
Y
RY β R
平面汇交力系和平面力偶系
第二章 平面汇交力系与平面力偶系§2.1平面汇交力系合成与平衡的几何法一、汇交力系合成与平衡的几何法 汇交力系：是指各力的作用线汇交于同一点的力系。
若汇交力系中各力的作用线位于同一平面内时，称为平面汇交力系，否则称为空间汇交力系。
1、平面汇交力系的合成先讨论3个汇交力系的合成。
设汇交力系1F ，2F ，3F汇交于O （图1），由静力学公理3：力的平行四边形法则（力的三角形）可作图2，说明)(),,(321F F F F=如图和图所示，其中321F F F F ++=F2F 3F OFO1F 2F 3F12F讨论：1）图2中的中间过程12F 可不必求，去掉12F 的图称为力多边形，由力多边形求合力大小和方向的方法称为合力多边形法则。
2）力多边形法则：各分力矢依一定次序首尾相接，形成一力矢折线链，合力矢是封闭边，合力矢的方向是从第一个力矢的起点指向最后一个力矢的终点。
3）上述求合力矢的方法可推广到几个汇交力系的情况。
结论：汇交力系合成的结果是一个合力，合力作用线通过汇交点，合力的大小和方向即：∑=i F F用力多边形法则求合力的大小和方向的方法称为合成的几何法。
2．平面汇交力系的平衡1F 2F iF 2-n F 1-n F n F设作用在刚体上的汇交力系),,(21n F F F 为平衡力系，即 0),,(21≡n F F F先将121,,-n F F F 由力多边形法合成为一个力1-N F，（∑-=-=111n i i N F F ）0),(),,(121≡≡-n N n F F F F F由静力公理1，作用在刚体上二力平衡的必要充分条件是：1-N F 与n F等值，反向，共线，即n N F F =-1， 可得01=+-n N F F，或0=∑i F结论：平面汇交力系平衡的必要与充分条件是：力系中各力的乖量和为零，用几何法表示的平衡条件是0=∑i F，力多边形自行封闭。
例1． 已知：简支梁AB ，在中点作用力F，方向如图，求反力FA B C45F AF BACα 45FF BF α解：1。
平面汇交力系的合成与平衡
tan Fy Fy 122.3 0.501
Fx
Fx 243.91
方向角α=26.6°，合力的指向为第一象限。
机械工程基础
解： （1）选比例尺，如图所示。 （2）将F1、F2、F3首尾相接得到力多边形abcd，其封闭边矢量ad就是合
力矢量FR。量得ad的长度，得到合力FR＝1650N，FR与x轴夹角α＝16º21′。
平面力系
例2.2 一钢管放置在V形槽内如图a所示，已知：管重 P=5kN，钢管与槽面间的摩擦不计，求槽面对钢管的约束 力。 解：取钢管为研究对象，钢管受到的主动力为重力P和约 束力为FNA和FNB，汇交于O点，如图b所示。
F1
O F2
F4 F3
F1
O
B F2
FR
C
F3
D
F4
E
平面力系
（2）汇交力系的合成结果 共点力系可以合成为一个合力，合力作用在力系
的公共作用点，它等于这些力的矢量和，并可由此 力系的力多边形的封闭边表示。
矢量的表达式： FR= F1+ F2+ F3+ ···+ Fn
F1
O F2
F4 F3
F1
O
B F2
平面力系
解法一：选比例尺，令ab=P，bc=FNA，ca=FNB，将各力矢量 按其方向依次进行首尾相连得封闭的三角形abc，如图c所示。 量取bc边和ca边的边长，按照比例尺转换成力的单位，则槽面 对钢管的约束力为
FNA =bc=3.2kN FNB =ca=4.4kN
解法二：绘制力多边形如图2-4c所示，再利用三角关系的
FR
FR
C
F3
D
F4
E
平面力系
工程力学电子教案第二章
栓A和B乊间的距离l=0.2m。求两个螺栓所叐到的水平力。
解：以工件为研究对象。其叐三个 力偶及两个螺栓水平力的作用，处于平
衡状态。根据力偶系平衡条件，两螺栓
对工件的约束反力必定组成力偶才能不 三个力偶平衡。约束反力FA、FB的方向 如图所示。 建立方程如下： ∑M=0， FA l-M1-M2-M3=0
M1=F1d1,M2=-F2d2。保证力偶矩丌发前提下，改发力的大小 和力偶臂长短，公用一个力偶臂d，于是有新的等效力偶（F3，
F3 ′ ）、（F4，F4 ′ ）。
其中：F3= F4=
F1 d 1 d F2 d 2 d
，
F3 、F4分别作用于A和B两点，且AB=d，将力偶转动，使力
偶臂重合，如图2-18b。FR=F3-F4 ; FR ′=F3 ′-F4 ′ 合力偶（FR、FR ′），用Mo表示。 Mo=FRd=(F3-F4)d =F1d1-F2d2=M1+M2 若有n个力偶，则Mo= M =∑M
单位是Nm。
以力F为底边、矩心为顶点组成一个三角 形（阴影部分），则乘积Dd正好是这个三角 形面积A△的两倍。 即MO（F）= ±2 A△
适用于任何物体，矩心可以是转动点戒固定点，且可以是物 体上戒物体外的任意一点。
重点：
由力矩定义可知：
（1） 当力通过矩心时，此力对于该矩心的力矩为零。 （2） 当力沿作用线秱动时丌改发力对任一点的力矩。
FBC=1.366P=13.66kN FAB为负值，说明假设方向不实际方向相反。
2.2 力矩及平面力偶系的平衡 2.2.1 力矩及合力矩定理
重点：
1、力矩的概念：平面内力F使物体绕点O转动的效应。
用MO（F）表示。 MO（F）= ±Fd
材料力学第二章 力系的平衡
平衡范围: Pmin≤ P ≤ Pmax
看36页例2.8，需判断物体是否处于平衡状态。 看37页例2.9, 平衡范围问题的解法。
思考题2.1
已知:P = 50 N, fs = 0.2, f = 0.1,
F FN
A P
FA
思考题2.3
FA 200N 300N 400N F 20 N 50 N 50 N 试用力学知识解释下列问题: 1. 杆为何 10
题
§ 2.2 物体系统的平衡问题
例2.2 求梁AB 的约束力。 F B A 解：取梁 AB为研究对象 MA F A B FAx FB FAy 4个未知力, 3个平衡方程 未知量数 > 平衡方程数 超静定问题或静不定问题 两者之差为超静定的次数
分析步骤:
1. 选取研究对象, 显示待求未知量。 方法:在待求未知力作用处拆开。 2. 另取其他研究对象,列平衡方程, 直至解出全部待求未知量。
思考题2.2
已知: FP = G, , f = 20° = 25° 试问:物块动不动? 答:因为12.5 < 20, 所以物块不动。 G
f
FP FA 12.5°
2. 为何一边动,一边不动?
学会用力学知识定性 分析实际事物和现象
习
2 . 19 2 . 20
题
看32页例2.7 分析40页习题2.13, 2.14
习
题
2 . 12 2 . 15 2 . 17
§2.3 考虑摩擦的平衡问题
1. 滑动摩擦
G F FN FP
2. 摩擦角和自锁
FA (主动)FP 摩擦锥 FN
f G
F (被动) Fmax FR
摩擦力F应如何计算? 1.当F < Fmax , Fx = 0, F = FP 约束力 2.当F = Fmax , Fmax = fs FN 3.当F > Fmax , 滑动 F = f FN
理论力学02平面力系的简化和平衡
第二章
平面力系的简化和平衡
2.1力的合成与分解： 1.平行四边形法则： 作用于物体上同一点的两个力可合成 一个合力，此合力也作用于该点，合力的 大小和方向由以原两力矢为邻边所构成的 平行四边形的对角线来表示。
④ R ≠0, MO ≠0,为最一般的情况。此种情况还可以继续简 化为一个合力 R 。
合力R 的大小等于原力系的主矢 合力R 的作用线到简化中心的距离
MO d R
结论：
平面任意力系的简化结果 ：①合力偶MO ； ②合力 合力矩定理：由于主矩 而合力对O点的矩
R
M O mO ( Fi )
主矩：
M O M O ( F ) 3F1 1.5P 1 3.9P 2 2355kN m
（2）求合力及其作用线位置：
d x 3.514m 0 0 cos 90 70.84
（3）求合力作用线方程：
MO MO
' ' FR x FRy y FRx x FRy y FRx
二、汇交力系的合成 由几何法知合力等于各分力的矢量和，即
R F Fn F i 1 F 2 F 3
又 由于
Fi X ii Yi j Zi k Fxii Fyi j Fzi k
代入上式得 R
F i F
xi
yi
j Fzi k
根据合矢量投影定理得合力在坐标轴的投影
2016工程力学（高教版）教案：2.2平面汇交力系合成与平衡的解析法
第二节 平面汇交力系合成与平衡的解析法求解平面汇交力系问题的几何法，具有直观简捷的优点，但是作图时的误差难以避免。
因此，工程中多用解析法来求解力系的合成和平衡问题。
解析法是以力在坐标轴上的投影为基础的。
一、在坐标轴上的投影如图2－5所示，设力F 作用于刚体上的A 点，在力作用的平面内建立坐标系oxy ，由力F 的起点和终点分别向x 轴作垂线，得垂足a 1和b 1，则线段a 1b 1冠以相应的正负号称为力F 在x 轴上的投影，用X 表示。
即X=±a 1b 1；同理，力F 在y 轴上的投影用Y 表示，即Y=±a 2b 2。
力在坐标轴上的投影是代数量，正负号规定：力的投影由始到末端与坐标轴正向一致其投影取正号，反之取负号。
投影与力的大小及方向有关，即⎭⎬⎫=±==±=βαcos cos F ab Y F ab X （2－3） 式中α、β分别为F 与X 、Y 轴正向所夹的锐角。
图2－5反之，若已知力F 在坐标轴上的投影X 、Y ，则该力的大小及方向余弦为⎪⎭⎪⎬⎫=+=F X Y X F αcos 22 （2－4） 应当注意，力的投影和力的分量是两个不同的概念。
投影是代数量，而分力是矢量；投影无所谓作用点，而分力作用点必须作用在原力的作用点上。
另外仅在直角坐标系中在坐标上的投影的绝对值和力沿该轴的分量的大小相等。
二、合力投影定理设一平面汇交力系由F 1、F 2、F 3和F 4作用于刚体上，其力的多边形abcde 如图2－6所示，封闭边ae 表示该力系的合力矢F R ，在力的多边形所在平面内取一坐标系oxy ，将所有的力矢都投影到x 轴和y 轴上。
得X=a 1e 1, X 1=a 1b 1, X 2=b 1c 1，X 3=c 1d 1 ,X 4=d 1e 1由图2－6可知a 1e 1=a 1b 1+b 1c 1+c 1d 1 +d 1e 1即 X=X 1+X 2+X 3+X 4同理 Y=Y 1+Y 2+Y 3+Y 4将上述关系式推广到任意平面汇交力系的情形，得⎭⎬⎫∑=+++=∑=+++=Y Yn Y Y Y X Xn X X X 2121 （2－5）图2－6即合力在任一轴上的投影，等于各分力在同一轴上投影的代数和，这就是合力投影定理。
力的多边形自行封闭是平面汇交力系平衡的
力的多边形自行封闭是平面汇交力系平衡的一、介绍力的多边形自行封闭是平面汇交力系平衡的1.1 定义：力的多边形是指若干个力按照大小和方向首尾相连，形成一个封闭的多边形。
1.2 自行封闭的含义：多边形自行封闭是指多边形的最后一条边可以通过头尾相连而使其自行形成一个闭合的图形。
1.3 平面汇交力系的平衡：当多边形自行封闭时，所形成的力系可以达到平衡状态，即合力为零，力矩为零。
二、力的多边形自行封闭的深入探讨2.1 从简到繁探讨多边形的封闭性2.1.1 两个力的情况：当有两个力作用在物体上时，它们的合力可以通过首尾相连形成一个封闭的线段。
2.1.2 三个力的情况：当有三个力作用在物体上时，它们可以通过首尾相连形成一个封闭的三角形。
2.1.3 多个力的情况：当有多个力作用在物体上时，它们可以通过首尾相连形成一个封闭的多边形。
2.2 多边形的自行封闭性与力系的平衡性2.2.1 多边形自行封闭的条件：多边形的自行封闭是一个必要不充分条件，当多边形自行封闭时，力系中所有的力的合力才为零。
2.2.2 平衡状态下的多边形：当多边形自行封闭并且合力为零时，力系处于平衡状态，这也是平面汇交力系的条件之一。
三、总结力的多边形自行封闭是平面汇交力系平衡的3.1 多边形的自行封闭性是力学中一个重要的概念，它可以帮助我们分析和理解力系的平衡状态。
3.2 平面汇交力系的平衡条件可以通过多边形的自行封闭性进行理论推导和验证。
3.3 在工程和物理学中，多边形的自行封闭性和平衡条件有着广泛的应用，可以帮助工程师和学者解决实际问题。
四、个人观点和理解在我的理解中，力的多边形自行封闭是平面汇交力系平衡的这一理论概念，是力学中非常重要的一部分。
它帮助我们理解平衡条件的形成和判断，同时也推动了工程和物理学等领域的发展。
通过深入学习和实践，我相信可以更好地理解和应用这一理论，并在实际工作中取得更好的成绩。
以上是对“力的多边形自行封闭是平面汇交力系平衡的”主题的探讨和撰写，希望能够满足您的要求。
第2章 平面汇交力系与平面力偶理论
式中，负号表示合力偶的转向为顺时针方向转动。
欲求作用在A、B处的水平力，应以工件为研究对象，受力分析如图 2—13所示，由于工件在水平面内受四个力偶和两个螺栓的水平反力 的作用下而平衡。因为力偶只能与力偶平衡，故两个螺栓的水平反 力N一和jv”必然组成一个力偶。由平面力偶系的平衡方程
二、平面汇交力系合成与平衡的解析法
根据合力投影定理，可计算出合力R的投影Rx和Ry
合力R与x轴正向间的夹角为
平面汇交力系平衡的充要条件是该力系的合力R等于0，则有
上式成立，必须同时满足
平面汇交力系解析法平衡的必要与充分条件是：力系中所有 各力在两个坐标轴上投影的代数和分别等于零。
例2-2 图2-5(a)所示圆柱体A重Q，在中心上系着两条绳AB和 AC，并分别经过滑轮B和C，两端分别挂重为P和2P的重物，试 求平衡时绳AC和水平线所构成的角α及D处的约束反力。 解 选圆柱为研究对象，取分离体画受
（2）作用在同一平面内的两个力偶，只要它的力偶矩的大 小相等、转向相同，则该两个力偶彼此等效。这就是平面力 偶的等效定理。
定理的推论
(1)力偶可以在其作用面内任意移动，而不影响它对 刚体的作用效应。 (2)只要保持力偶矩大小和转向不变，可以任意改变 力偶中力的大小和相应力偶臂的长短。而不改变它 对刚体的作用效应 上述推论表明，在研究同一平面内有关力偶问题时， 只需考虑力偶矩的代数值，而不必研究其中力的大 小和力偶臂的长短。
从而解得
所以
例 图a 所示结构中，各构件自重不计。在构件AB 上作用1力 偶矩为M 的力偶，求支座A 和C 的约束力。
解（1）BC为二力杆： F c= −F B（图c） （2）研究对象AB，受力如图b 所示， F AFB' 构成力偶， 则
第2章 平面汇交力系与平面力偶系
离d称为该力偶的力偶臂。
力偶的作用面：力偶所在的平面称为力偶的作用面。
力偶矩：力偶中一个力的大小与力偶臂的乘积，并 取以正负号，称为该力偶的力偶矩。
表示为： m
m Fd 2S ABC
31
§2.3 平面力偶系
2.力偶的基本特性 不能合成一个合力，本身不能平衡，也不能被一个 力平衡，它只能由力偶来平衡。 对物体只能产生转动效应，不能产生移动效应，即 只能原地转动。 组成力偶的两个力对其作用面内任一点的矩的代数 和恒等于该力偶的力偶矩。
D
6cm
DE=6 cm点E在铅直线DA上
，又B ，C ，D都是光滑铰
(a)
链，机构的自重不计。
7
§2.1 平面汇交力系的合成与平衡的几何法
例 题 2-1
解： 几何法
AF
1.取制动蹬ABD作为研究对象， 并画出受力图。
BE
O
FD
FB
D
(b)
I
F
FD
J
FB
K
(c)
2.作出相应的力多边形。
3. 由图b几何关系得：
15
§2.2 平面汇交力系的合成与平衡的解析法 1.力在坐标轴上的投影与力沿轴的分解
✓力向坐标轴的投影是代数量 ✓力沿坐标轴方向的分量是矢量
16
§2.2 平面汇交力系的合成与平衡的解析法
2.合成的解析法 合力投影定理:
平面汇交力系的合力在某一轴上的投影等 于各分力在同一轴上投影的代数和。
y
F4 F1
FA=0， 得封闭力三角形abc。
a
FB G
F G tan 11.5 kN
FB
G
cos
23.09
kN
《理论力学》张功学 第2章解析
用，F=20 kN，刚架高度 h=4 m，跨度l=8 m，不计刚架自重。
求支座A、D的约束反力。 解：选取刚架ABCD为研究对象。作用在刚架上的力有：
已知力F水平向右；可动铰支座D的约束反力FD垂直向上；根
据三力平衡汇交定理，力F与FD相交于C点，所以铰支座A 处的约束反力FA必沿A、C连线方向。刚架受力情况如图2-2 (b)所示，为一平面汇交力系。
铰接，并用铰链A、C与墙连接。如两杆和滑轮的自重不计，
并忽略摩擦与滑轮的大小，试求平衡时杆AB和BC所受的力。 解：(1) 取研究对象。由于忽略各杆的自重，因此AB、 BC两杆均为二力杆。假设杆AB承受拉力，杆BC承受压力，如 图2-8(b)所示。这两个未知力可通过求两杆对滑轮的约束反力
来求解。因此，选择滑轮B为研究对象。
汇交力系，各力作用于同一点的力系称为平面共点力系，
共点力系是汇交力系的特殊情形。设某刚体受一平面汇交力 系作用(如图2-1(a)所示)，根据力的可传性定理，可将各力沿 其作用线移至汇交点A，形成一等效的共点力系(如图2-1(b) 所示)。
第2章
平面基本力系
图
2-1
第2章
Hale Waihona Puke 平面基本力系为合成此力系，可根据力的平行四边形法则，两两逐步 合成各力，最后得到一个通过汇交点A的合力FR(如图2-1(b) 所示)。用此方法可求平面汇交力系的合力，但求解过程比较 繁琐。 用力多边形法则可比较简单地求出平面汇交力系的合力。
第2章
平面基本力系
图 2-2
第2章
平面基本力系
刚架ABCD处于平衡状态，根据平面汇交力系平衡的几何 条件，作用在ABCD上的三个力应构成一个自行封闭的力三角 → 形。选定任一点a为起点，按照一定比例画出矢量 ab 代表力F， 再由点b作直线平行于FD，由点a作直线平行于FA，两直线相 交于点c，如图2-2(c)所示。由力三角形abc即可确定出FD和FA
建筑力学第2章平面汇交力系和平面力偶系
图 2.14
25
小结
本章主要研究了两种特殊力系———平面汇交 力系、平面力偶系的合成与平衡问题。 （1）平面汇交力系
1）平面汇交力系的合成 ①几何法：用力的多边形法则求合力。特点是形象 、直观，但不精确。主要用在定性分 析上。 ②代数法：用合力投影定理求合力。这是一种精确 方法，也是常用的方法。
26
7
图 2.2
8
（2）力在平面直角坐标系中的投影 如果把力 F 依次在其作用面内的两个正交轴 x 、y上投影（图 2.3），则有
9
（3）合力投影定理 合力在任一轴上的投影，等于各个分力在同一轴上 的投影的代数和。这就是合力投影定理。
10
图 2.3
图 2.4
11
（4）平面汇交力系合成的代数法假设有一平 面汇交力系作用在刚体上的 O 点，现要求其合力 。为此，首先建立一个合适的平面直角坐标系，为 了简化计算，应让尽量多的力位于坐标轴上。然后 再把每个力进行投影；并利用式（2.4）求出合力 FR在这两个轴上的投影。于是，合力的大小和方 向可由下式确定：
20
图 2.9
图 2.10
21
图 2.11
图 2.12
22
图 2.13
23
2.3.2 平面力偶系的平衡 与平面汇交力系的平衡条件类似，平面力偶系 的平衡条件是：平面力偶系平衡的充分必要 条件是组成力偶系的各力偶的力偶矩的代数和为零 。即
24
2.3.3 平面力偶系平衡方程的应用 求解物体在平面力偶系作用下的平衡问题时， 一定要注意：力偶只能由力偶去平衡。
2
2.1.1 平面汇交力系合成的几何法 我们知道，若平面汇交力系是由两个力组成， 则可用力的平行四边形法则去求它们的合力。若平 面汇交力系是由两个以上的力组成时，只要先求出 任意两个力的合力，再求出这个合力和另一个力的 合力，这样继续下去，最后得出的就是这许多力的 合力。
《平面力系》PPT课件_OK
解力三角形：
FN
F
cos
又：
cos
R2
(Rh)2 R
1 R
h(2Rh)
FN
FR h (2R h)
9
2.2 平面汇交力系合成与平衡的解析法
再研究球，受力如图： 作力三角形
解力三角形：
P FN sin
又sin
Rh R
FN FN
FNB= 0时为
球离开地面
P FN sin
F R R h P F(Rh)
（2）力偶对作用面内任一点的矩，与矩心的位置无关。
力偶对点O的矩为Mo（F，F′）,则
M o (F , F ) M o (F ) M o (F ) F(x d) Fx Fd
力偶矩是一个代数量，其绝对值等于力的 大小与力偶臂的乘积，正负号表示力偶的 转向：一般以逆时针转向为正，反之为负。
记为M（F，F′） 简记为M。
2.2 平面汇交力系合成与平衡的解析法
[例] 已知 P=2kN ，求CD所受的力和A处的约束反力。
解：①以AB杆为研究对象 ②画受力图 ③列平衡方程求解
F x 0 RA cos SCD cos 450 0
F y 0 PRAsin SCD sin450 0
tan EB 0.4 1
AB 1.2 3
M Fd 2 AABC
力偶矩的单位：N·m。
Fix 0 Fiy 0
称为平面汇交力系的平衡方程。
14
2.2 平面汇交力系合成与平衡的解析法
例：如图所示，重物P=20kN，用钢丝绳挂在支架的滑轮 上，钢丝绳的另一端缠绕在铰车D上。杆AB与BC铰接，并 以铰链A、C与墙连接。如两杆和滑轮的自重不计，并忽略 摩擦和滑轮的大小，试求平衡时杆AB和BC所受的力。
理论力学第二章
T
T1
T2
二、平面汇交力系合成的几何法
设有一个平面汇交力系 F1、F2、F3、F4作用于汇交点，如图2-1a
所示。我们可以依次地应用力三角形法则来求该平面汇交力系的
合力。即先将力 F1与 F2合成为一个力 FR1，再将力FR1与F3 合成 为一个力 FR2，最后将力FR2 与F4合成，即得该平面汇交力系的合 力 FR ，且合力的作用线通过汇交点，如图2-1b所示。
第二章 平面汇交力系和平面力偶系
2.1 平面汇交力系合成与平衡的几何法 2.2 平面汇交力系合成与平衡的解析法 2.3 平面力对点之矩的概念与计算 2.4 平面力偶
武汉大学出版社
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§2-1 平面汇交力系合成与平衡的几何法
一.平面汇交力系的概念
平面汇交力系：各力在同一平面内，作用线交于一
点的力系。
例：起重机的挂钩。
例2-3
已知：图示平面共点力系； 求：此力系的合力.
解：用解析法
FRx
F ix
F1
cos 30
F2
cos 60
F3
cos 45
F4
cos 45
129.3N
FRy
F iy
F1
sin
30
F2
sin
60
F3
sin
45
F4
sin
45
112.3N
FR
FCA AC 1 P AB
FCB BC 1 P AB 2
图2-2
解得
FCA 10 kN, FCB 5 kN
也可给P一定比例，量出FCA和FCB的大小，如取比例尺为1cm=5kN，作
课题2 平面汇交力系
【例2-2】用解析法求图（a）所示 用解析法求图（a 平面汇交力系的合力的大小和方向。 已知F1 =100 N， N， F2 = 100N， 100N， F3 = 150 N， N， F4 = 200 N
• 【分析】由式（2—6）计算合 分析】 力FR在x、y轴上的投影 F =∑ =F +F +F +F F
R x ix 1x 2x 3x 4x
=F +F cos50o −F cos60o −F cos20o 1 2 3 4 =100N+64.28N−75N−187.94N=−98.62N
F y =∑F = Fy +F y +Fy +F y R iy 1 2 3 4 =0+F sin50 +F sin60 −F sin20 2 3 4
F x = ± F cos α F y = ± F sin α
2.2.2平面汇交力系合成的解析法 2.2.2平面汇交力系合成的解析法
2.2.2.1合力投影定理 .2.2.1合力投影定理
F = F + F +⋅⋅⋅ + F = F R 1 2 n i
FRx = F x + F2x +L+ Fnx = ∑Fix 1 FRy = F y + F2 y +L+ Fny = ∑Fiy 1
• 总之，平面汇交力系可简化为一合力，其 总之，平面汇交力系可简化为一合力， 合力的大小与方向等于各分力的矢量和， 合力的大小与方向等于各分力的矢量和， 合力的作用线通过汇交点。 合力的作用线通过汇交点。设平面汇交力 个力， 表示它们的合力矢， 系包含n个力，以FR表示它们的合力矢，则 有：
平面汇交力系平衡方程
平面汇交力系平衡方程在我们日常生活中，常常会遇到各种各样的力，比如说当你在推门、拉抽屉，甚至是举个购物袋时，力就像是空气一样，无处不在。
不过，今天我们要聊的可不是简单的推拉，而是力的平衡，听上去有点复杂，但我保证，接下来的内容会让你轻松理解，绝对不会让你打瞌睡。
1. 力的基本概念1.1 力是什么？首先，力就是让物体运动或改变运动状态的“魔法”。
想象一下，当你用力推一个大石头，它可能会动，但如果你在推的时候感觉到石头在“抗拒”，那就是它的重力和摩擦力在跟你“较劲”。
这种时候，力就像是场上踢足球的队员，互相争夺球权，谁强谁弱一目了然。
1.2 平衡力的魅力那么，什么是平衡呢？简单来说，就是各路“球员”在场上各司其职，谁也不输给谁，最后大家都停下来，和谐共处。
就像你和朋友一起搬家，大家各自分工，搬箱子、搬椅子，最后顺利完成任务，乐呵呵的喝杯饮料，这就是力的平衡。
2. 平面汇交力系2.1 汇交力的定义讲到平面汇交力系，简单来说，就是所有的力都在一个平面上交汇，像一场华丽的聚会，力在这个平面上“撞”到一起，产生了各种各样的效果。
比如说，你站在一个桥上，桥的承重力、你自身的重量以及风的力量都在这一点上聚集。
如果它们达成平衡，桥就稳稳当当地存在；如果不平衡，那就可能“摔一跤”，可就麻烦了。
2.2 平衡方程的公式平衡方程其实很简单，听起来像个公式，其实就像我们平常说的“有来有往”。
在一个平面汇交力系中，如果所有的水平力加起来等于零，竖直力也加起来等于零，那这就是平衡了！这就像一个气氛很好的聚会，大家都有说有笑，最后都开开心心地回家，绝对不会出乱子。
3. 平衡的重要性3.1 生活中的平衡生活中其实到处都有平衡的影子。
比如，你在骑自行车的时候，如果身体前倾或者后仰，就容易摔倒；而当你恰到好处地保持重心，那就能稳稳骑行。
就像走钢丝一样，稍微一个不注意，可能就会“掉下去”，所以保持平衡才是王道。
3.2 力的应用同样，在工程和建筑中，平衡力更是重中之重。
平面汇交力系的独立平衡方程
平面汇交力系的独立平衡方程1. 引言大家好！今天我们来聊聊一个听上去有点复杂，但其实不难理解的话题——平面汇交力系的独立平衡方程。
先别担心，这可不是一篇枯燥的学术论文，而是用简单的语言，让你一听就懂的解说。
我们要做的就是把那些看起来让人头疼的数学公式，转化成生活中常见的例子，来帮助大家搞清楚这些力系的平衡到底是怎么一回事。
说白了，就是把这些“学术货”变成一盘“家常菜”，好让大家更轻松地搞懂这其中的原理。
2. 力的基本概念2.1 力的定义首先，我们得聊聊什么是“力”。
你可以把它想象成一股看不见的推力或拉力，像是当你在推门时，门就受到你的力。
而当你拉门时，门也在用力反抗。
这个力就像是一场无形的斗争，一边是你，一边是门。
其实，这些力在我们的生活中随处可见，只要你愿意留心观察。
2.2 平面汇交力系接下来，让我们来聊聊“平面汇交力系”这个概念。
平面汇交力系简单来说，就是几个力都作用在同一个平面上的点，并且这些力的作用线都在这个点上汇集。
想象一下，几个人一起推一个车，所有的推力都集中在车的某个点上，这就是一个典型的平面汇交力系。
3. 独立平衡方程3.1 力平衡方程那么，怎么让这些力处于平衡状态呢？这就要用到独立平衡方程了。
简单来说，平衡方程的意思就是要让所有作用在点上的力，经过计算后，总和为零。
就像你在拉一根绳子时，绳子两边的力必须相等，不然绳子会被拉断。
公式上说得更清楚，就是力的向量和必须为零。
你可以把这个方程想象成一个公式，像是做数学题时的那个解题公式。
3.2 力矩平衡方程除了力平衡方程，另一个重要的平衡方程是力矩平衡方程。
力矩可以理解为一种“旋转效应”。
就像当你用力去转动一个螺丝，力矩决定了这个螺丝会转得多快。
为了让物体保持稳定，这些力矩也得相互平衡。
比如，大家都知道当你拧瓶盖时，如果盖子没有松动，那就是因为你的力矩还没能战胜瓶盖的力矩。
这时候，力矩的总和也必须为零，这样瓶盖才不会再继续旋转下去。
4. 实际应用4.1 生活中的例子这些力学原理在我们的生活中其实随处可见。
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教师课时教案
课题： 2.2平面汇交力系的平衡
目的与要求： 1、能说出平面力系的分类；
2、知道平面汇交力系的平衡条件及其平衡方程；
3、能运用平面汇交力系的平衡方程计算简单的平衡问题；
4、感悟平面汇交力系的平衡问题在工程中的应用；
5、通过对平衡问题计算步骤的理解，培养学生的力学素养。
教学模式及教学方法：教学模式：能设计实验，体验三个汇交力作用下处于平衡状态时物体的受力的大小变化以及受力的性质；能探究三个汇交力作用下平衡问题的解题方法。
教学方法：实验法、讲授法、类比法
复习要点：力投影正负的判断和投影计算公式
新课重点、难点：重点：运用平面汇交力系的平衡方程求解简单的平衡问题；
难点：1、建立平面汇交力系的平衡方程；
2、感悟平面汇交力系的平衡问题在工程中的应用。
解决措施：通过重点讲解、分步探讨让学生掌握如何解决汇交力系平衡问题本课小结：本节课我们主要学习了汇交力系的平衡方程及应用平衡方程解决力学中的平衡问题。
课外作业（或复习题）：
1、通过本内容的学习，你有哪些收获？还存在哪些困惑？
2、参观构件吊装的施工现场，运用所学知识对吊装方法加以说明。
课后改进措施: 重视基础知识的讲解，循序渐进，让学生打好基础，同时重视习题讲解，而且要让学生自己多练习。
教学过程一、引入
1、如图一所示，手提一根弹簧，在弹簧下挂着一个重G=2N的砝码，问弹簧受到拉力有多大？
2、在图一中，再用手把另一根弹簧沿水平方向十分缓慢地向右拉，如图二所示，问两根弹簧受到的拉力大小如何变化？如何计算呢？
图一图二
二、导学提纲
1、平面力系的分类
（1）各力的作用线全部的平面力系，称为平面平行力系。
（2）各力的作用线都的平面力系，称为平面汇交力系。
（3）各力的作用线即不全，也不全的平面力系，称为平面一般力系。
（4）平面力系按各力的划分为上述三类，请举例说明。
2、平面汇交力系的平衡条件及平衡方程。
（1）平面汇交力系的平衡条件是该力系的。
（2）平面汇交力系的平衡方程是，即力系中所有各力在两个坐标轴上的的代数和分别为。
（3）平面汇交力系有个独立平衡方程，能求解个未知量。
3、平面汇交力系平衡问题的计算
（1）画出图一中砝码的受力图，此时弹簧AB受到的拉力为N。
（2）假如弹簧AB与水平的夹角α=450，弹簧BC沿水平方向，画出图二中B点的受力图，如何计算弹簧AB、BC受到的拉力？
教学过程三、教师精讲
平面汇交力系的平衡方程
根据此平面汇交力系的平衡条件可以求两个未知量。
2.平面汇交力系的平衡方程的应用
[例1]计算图二中弹簧AB、BC受到的拉力。
解：取B点为研究对象，根据平面汇交力系的平衡方程得：
由∑F x=0 F TBC-F TAB cos450=0
由∑F Y=0 -G+F TAB sin450=0
把G=2N代入解得：
F TAB=2.82N
F TBC=2N
[例2] 求下图a 所示三角支架中杆AC 和杆BC 所受的力（已知重物D重W = 10 kN）。
1. 平面汇交力系的平衡条件：力系中所有各力
在两个坐标轴上的投影的代数和分别为零。
⎩
⎨
⎧
=
∑
=
∑
F
F
y
x
教学过程（3）列平衡方程求解未知力。
四、练一练
练习1、图d 绘出当a 角分别为60°、30°、15°的情形。
a 角越小，拉力F T1、F T2 越大，例如当a = 15°时，F T1 = F T2 = 19.32 kN，几乎等于构件自重的2 倍。
在现场施工中必须注意防止因吊索AC、BC过短而被拉断的事故。
练习2 如图三所示，支架由AB、BC两杆构成，A、B、C处均为铰接。
已知w=10KN，求杆AB、BC所受到的力，并说明是拉力还是压力。
五、探究与感悟
1、探究：根据例1的计算结果，比较图一与图二，能否把图二中三个汇交力的平衡问题转化为图一中二力平衡问题来求解？如能，请试一试。
2、感悟：比较教材中P30例2-3和练习1的计算结果，α角度与钢索受到的拉力大小关系如何？请设计实验来做一做。
据此在现场施工中吊装构件时，为防止钢丝绳被拉断，应采取什么措施。
六、布置作业
课本作业：P51 2-3（a）（b）
课外作业：
1、通过本内容的学习，你有哪些收获？还存在哪些困惑？
2、参观构件吊装的施工现场，运用所学知识对吊装方法加以说明。
设计意图
本课题教学采用“前置作业导学+精讲”相结合的教学形式，以“自主学习、组内交流、小组展示、自我检测、反思提高”为基本教学环节，构建“阳光、自主、高效”课堂。
1、实验设计
图一、图二的实验设计，通过手提（拉）弹簧，“感”到力的大小；又通过观察弹簧的伸长情况“看”到力的大小，把抽象的力转化为摸得着、看得到的很形象的力。
另外也为后面要求设计实验探究钢索受到的拉力大小与其水平夹角的关系提供参考。
该实验可设计如下：先用双手拉住棉线（因其能承受的拉力小放采用）两端，并在棉线的中间挂一个砝码，再慢慢地向两边移开双手，使棉线与水平的夹角减小，直到棉线被拉断（拉力逐然增大），可以验证拉力与夹角的关系。
实验的设计，充分体现“做中学”、“做中教”的理念。
2、前置作业
课前精心预设由导学提纲、练一练、探究与感悟组成的前置作业，是为了培养学生自主学习能力，彰显学生为主体，教师为主导的思想，实现“先学后教（导）、以学定教”的教改理念。
考虑到当前中职学生的学习现状，教师在引导的基础上，应积极鼓励学生大胆交流与展示，重视课中动态生成。
对于重点内容，教师应精讲，确保课堂教学效果。
练一练中包括练习1和练习2，练习1要求相对低些，可模仿教材P31例2-3进行求解，练习2要求相对高些，以满足不同学生的学习需要。
3、探究与感悟
为较高要求，对不同的学生可设置定性分析与定量计算两个层次要求，达到课后反思提高的目的。
探究问题的设计，主要为了通过探究不同的解题方法，实现从二力平衡到三个汇交力系平衡的知识迁移，培养学生解决问题的科学的思维方法。
感悟问题的设计，主要为了突出工程应用，提高学生解决工程实际问题的能力，增强安全生产的意识。