初等几何研究第一章习题的答案(6)

六、关于共线点与共点线
1、 证明四边形两双对边中点连线的交点与两对角线之中点共线 证明：连接EF.FG.GH.HE.HJ.OJ.OI(如图) ∵E.H 分别是AB.AD 的中点，
F,G 分别是BC.CD 的中点 ∴EH =12BD FG=1
2
BD ∵EH ∥FG
∴四边形EFGH 是平行四边形 ∴ OH=OF
∵H.J 分别是AD.AC 的中点，F.I 分别是BG.BD 的中点
∴HJ=12CD IF=1
2
CD ∴HJ ∥IF ∴∠JHO=∠FIO
∵∠JHO=∠FIO , HJ=FI,HO=FO ∴△JHO ≅△IFO ∴∠HOJ=∠FOI ∴I.O.J 三点共线
∴四边形两双对边中点连线的交点，与两对角线之中点共线
2. 已知：E ，F 分别在正方形ABCD 的两边BC,CD 上，是∠EAF=45°，但AC 不是∠EAF 的角 平分线，自E,F 作AC 的垂线，垂足分别是P,Q 求证：△BPQ 的外心与B ，C 共线 证明:∵FQ ⊥AC ∴∠ABE=∠AQF 又∵∠EAF=45°
∴∠BAE=∠QAF ∴△ABE ∽△AQF 可得 AQ AB AF
AE
同理可得，△AEP ∽△AFD 即
AD
AP
=AF
AE
∴AQ AB =AB AP
利用切割线定理之逆定理，因△BPQ 的外心在BC 上， 等价于AB,APQ 是切，割线 ∴△BPQ 的外心在BC
3.在Rt △AB 为斜边，CH 为斜边上 的高，以AC 为半径作☉A ，过B 作☉A 的任一割线交☉A 于D 、E ，交 CH 于F(D 在B 、F 之间),又作∠ABG=∠ABD ，G 在☉A 上，G 与D 在AB 异侧。

求证：（1）A 、H 、D 共圆。

（2）E 、H 、G 共线。

（3）FD 、FE 、BD 、BE 四线段成比例 证明：如图所示：连结AE 、AD (1)∵BC 2=BH ·BA(摄影定理）
BC 2=BD ·BE(割线定理) ∴BD ·BE=BH ·BA ∴A 、H 、D 、E 四点共圆
(2)∵∠ABD=∠ABG ∴∠GBH=∠DBH(对称性） 又∵A 、H 、D 、E 四点共圆
∴∠FEA=∠DHB(对角等于内对角）
∠AHE=∠EDA （同弧所对的角） 又∵AE=AD ∴∠AEF=∠ADF
∴∠AEF=∠DHB=∠GHB=∠ADE=∠AHE ∴∠GHB=∠AHE （对顶角） ∴E 、H 、G 三点共线
(3)∵∠ABD=∠ABG ∴由对称知:HB 平分∠DHG(∠GHB=∠DHB) 又∵ CH 垂直AB E 、H 、G 三点共线 ∴HC 平分∠DHE ∴HC 、HB 是∠DHE 的内外角平分线
∴FE DF =HE HD =BE BD
4..设P 是正方形ABCD 内的一点，使PA:PB:PC=1:2:3,将BP 绕B 点朝 着BC 旋转90BP 至Q. 求证：A 、P 、 Q 共线.
证明：连接 CQ ,∵PA:PB:PC= 1:2:3 设AP=1 则 BP=2 CP=3
∵BP 绕B 点朝着BC 旋转90° ∴∠PBQ=90°BP=BQ=2 ①
∠BPQ=∠BQP=45° ∴PQ =√BP 2+BQ 2=2√2
A
D
C F
B
E P
Q
又∵四边形ABCD 是正方形 ∴AB=BC ② ∴∠ABC=∠PBQ= 90°即∠ABP+∠PBC=∠CBQ +∠PBC=90° ∴∠ABP=∠CBQ ③ ∴△ABP ≌△CBQ(由①②③可得到) ∴PA=QC=1
又∵PQ 2+QC 2=(2√2)2+12=32=PC 2 ∴∠PQC=90°, ∠BQC=∠PQC+∠BQP=90+45°=135°
又∵∠APB=180°-45°=135° ∴∠BQC=∠APB=135° 即A 、P 、Q 共线（∠APB 、∠BQP 是邻补角）
5. 在∆ABC 中，D,E,F 分别在AB.BC.CA 上，使得DE=BE,EF=CE.求证：∆ADF 的外心O 在∠DEF 的角平分线上。

证明：∵∠DEF=180O -∠1-∠2=180O -(180O -2∠B)-∠1
=180O -(180O -2∠B)-(180O -2∠C) =2(∠B+∠C)-180O =180O -2∠A
又∵∠DOF=2∠A ∴D.E.F.O 四点共圆 ∵O 是外心 ∴FO=DO ∴∠FEO=∠DEO ∴O 在∠DEF 的角平分线上。

6.在△ABC 中，∠A 、∠B 的平分线分别交于对边于D 、E ，∠C 的外角平分线交于对边延长线于F ，求证：D 、E 、F 共线。

证:∵AD 平分∠A ∴BD ／DC ＝AB ／AC …①
∵BE 平分∠B ∴CE ／EA ＝BC ／BA …② ∵CF 平分∠C 的外角∴AF ／BF ＝CA ／CB …③ 由①②③可得：B D ／DC*CE ／EA*AF ／BF ＝-1 根据梅涅劳斯定理得：D 、E 、F 共线
7，若三角形的三边两两不等。

求证：三外角平分线与对边的交点共线。

证明：如图所示： D 为∠C 外角平分线与AB 延长线的交点，E 为∠B 外角平分线与AC 延长线的交点，F 为∠A 外角平分线与
BC 延长线的交点。

∵ BE 为∠B 外角平分线， CD 为∠C 外角平分线，AF 为∠A 外角平分线
∴有AB BC EA EC =、AC BC AD DB =、AB AC FB FC =
1=∙∙=∙∙AC
AB
AB BC BC AC CF BF AE CE BD AD 由梅涅劳斯定理知，D 、E 、F 共线。

8. 在△ABC 与△A ˊB ˊC ˊ中，三双对应顶点的连线AA ˊ、BB ˊ、 CC ˊ交于一点S ，设三双对应边BC 、B ˊC ˊ,CA 、C ˊA ˊ和AB 、 A ˊB ˊ分别交于P 、Q 和R .求证：P ﹑Q 和R 共线 . 证明：如图,在△SBC 和截线PC'B'中根据梅氏定理可得:
''..1''BP CC SB PC C S B B =- ①
在△SCA 与截线QA'C'中根据梅氏定理可得：
''
..1''CQ AA SC QA A S C C =- ② 在△SAB 与截线RA'B'中根据梅氏定理可得:
''..1''AR BB SA RB B S S A =- ③ 将上式①②③相乘可得：
..1
B P
C Q A R
P C Q A R B =- 根据梅氏定理可得P 、Q 、R 三点共线。

9. □EFGH 的顶点在□ABCD 各边，求证： 对角线AC,BD,EG , FH 共点
证:连接BE,DG 在□ABCD 中，∠B=∠D ，A D ∥BC ∴∠BGE=∠DEG 在□EFGH 中，EH=FG , EH ∥FG , ∴∠FGE=∠HEG ∴∠FGB=∠HED ∴△FBG ≌△HDE ∴BG=DE ∴四边形BGDE 为平行四边形，BD,EG 为对角线
同理四边形AFCH 为平行四边形，AC,FH 为其对角线 ∴AC,BD,EG , FH 共点
10. 有两个正方形ABCD 与AB 1C 1D 1，B 与B 1不重合。

求证：直线BB 1、CC 1和DD 1共点。

证明:设BB 1、CC 1交于P ，在连结AC 、AC 1，
则有22'∠=∠⇒Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｐ共圆
11'∠=∠ 22'∠=∠
∴∆ABB'∞∆ACC'
∴33'∠=∠ ∴A 、B'、C'、P 共圆
又
A 、
B 、
C 、P ∴P 是两正方形外接圆的交点
∴P 在DD'上 ∴直线BB 1、CC 1和DD 1共点。

11. I 为△ABC 的内心，X 、Y 分别为内切圆与AB 、BC 的切点，D 、E 分别为BC 、CA 的中点. 求证：AI 、XY 与ED 共点.
思路：利用内切特性，证两线交点在第三线上。

证:设AB=c ，AC=b ，BC=a ，DE 与XY 交于P ，如图所示。

现应证P 在∠A 的角平分线上，为此，只需计算出
()
2b
PE AE = =
即可。

而计算PE ，又分步如下：由切线等长性可知
1
()2AX a a b c s
+ =++ =
∴ AX s a = -
同理
BX s b = BY = -
O
H
D
B
C
A E F G I A
B
C
D
Y
X
E
P
2BD BY DY s b DY
a
==-=--
∴2
a
D Y s b
=--
,
DE AB BX BY
// =
∴2
a
DP DY s b
==--
∴()
222
s b AE
c a b
PE DE DP---==
=-=
∴AE
∠APE=∠P再由DE AB
//即知AP平分∠A
12. 四边形ABCD外切于圆O，AC⊥BD并交于E，P、Q、R、S顺
次为边AB、BC、CD、DA上的切点，连结PR、QS，
求证：（1）四边形ABCD以其一条对角线为对称轴
（2）PR与QS都过E.
证明：设lAB、lBC、lCD 、lDA分别表示四边形ABCD
各边之长，则由四边形ABCD外切于圆。

可知
lAB+ LCD= lBC+ lAB (1) 再由四边形垂直又有
LAB*+lCD*=lBC*+lAB* (2) (1)*-(2)再除以2，得
lAB•lCD=lBC•lAB (3)
(1).(3)两式表明：lAB lCD lBC lDA都是X*+px+q=0的一对根，故
只有如下两种情况LAB=lBC, lCD=lAB或lAB=lAD,lCD=lBC
前者表明BD为对称轴，如右图所示，后者断定AC是对称轴，由
此得证
证(2)∵∠1=∠2=∠3=∠4 QS过点E 同理：PR也过点E
13. △ABC的内切圆⊙I分别切三边BC，CA和AB于A1，B1和C1，
线段AI,BI,和CI分别与⊙I交于A2，B2，C2.求证：直线A1A2，B1B2，
C1C2共点。

证明：连接A1，B1和C1 ∵圆I内切于△ABC,
∴AI，BI,CI分别平分∠A,∠B,∠C,
即AI,BI,CI分别平分弧B1C1，C1A1，B1A1
∴A1A2，B1B2，C1C2是△A1B1C1的内角平分线
∴A1A2，B1B2，C1C2共点。

14、等圆⊙O1与⊙O2交于AB，O为AB的中点，过O引⊙O1的弦CD
交⊙O2于P，过O引⊙O2的弦EF交⊙O1于Q，求证:AB、CQ、
EP三线交于一点。

证明：设CQ，EP分别交于AB于M、N
为证M≡N，应做CD关于AB对
称线段C’D’，则C’、D’在⊙O2上，
∵C’、D’、P、E共圆
∴∠C’EG=∠C’D’P=∠C’OA
∵OD’=OD=OP ∴∠PD’D=90°
又∵D,D’对称∴AB⊥DD’
∴PD’∥AB ∴C’,O,N,E共圆
由等角转化可得△OC’N≌△OCM
∴N≡M
即CQ，EP与AB共点。

D'
C'
M Q
P
E
C
B
A
O1O2
D
F。